Sistemas de control

Estabilidad, Lugar Geomtrico de la races

Sistemas de control Estabilidad Estabilidad de un sistemaUn sistema es estable si la respuesta del sistema al impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si el sistema tiende a un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema es crticamente o marginalmente estable. Una magnitud infinita hace a el sistema inestable.

Sistemas de control Estabilidad Notas:Si los todos los polos de la funcin de transferencia estn en el lado izquierdo de plano-s entonces el sistema es estable.Un sistema es crticamente estable si uno o ms polos estn en el eje imaginario del plano-s.En el estudio de estabilidad slo los polos de la funcin de transferencia son importante, los zeros son irrelevantes.Los polos de un sistema son las races obtenidas de el denominador de la funcin de transferencia cuando es igualado a cero. Polinomio caracterstico. El concepto de estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo abierto.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzEl polinomio a(s) se dice Hurwitz si todas sus races tienen parte real negativa. Si

es la funcin de transferencia de un sistema, entonces el sistema es estable si el polinomio d(s), conocido como el polinomio caracterstico del sistema, es Hurwitz.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-HurwitzSirve para determinar si un polinomio a(s) es Hurwitz o no.Considere el polinomio a(s) de grado n escrito en la forma

donde los coeficientes son nmeros reales. Se supone que es decir a(s) no tiene races en s=0.2.Si alguno de los coeficientes es cero o negativo en presencia de al menos un coeficiente positivo, entonces el polinomio a(s) tiene races puramente imaginarias, o que tienen parte real positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz3.Si todos los coeficientes son positivos (o todos negativos) y diferentes de cero, construya el siguiente arreglo

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitzdonde

Se continua de esta forma hasta que la n-sima fila del arreglo ha sido completada.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-HurwitzEl criterio de Routh-Hurwitz establece que el nmero de races de a(s) con parte real positiva es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna del arreglo.Entonces, el polinomio a(s) es Hurwitz si y solo si y todos los coeficientes en la primera columna del arreglo son positivos.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitzejemplo:

Sistemas de control Estabilidad Casos especiales del criterio de Routh-HurwitzEl primer elemento de una fila es cero, y es el nico elemento de la fila, o los dems elementos de la fila son diferentes de cero. En este caso, el cero es reemplazado por un nmero positivo muy pequeo y se continua con el clculo del arreglo.Si el signo del coeficiente arriba del cero () en el arreglo es el mismo que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene un par de races imaginarias. En caso contrario, esto es, si el signo del coeficiente arriba del cero () es diferente que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene 2 races con parte real positiva.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitzejemplo:

Sistemas de control Estabilidad Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz2.Si todos los coeficientes de una fila son cero, entonces el polinomio a(s) tiene races de igual magnitud y opuestas en el plano-s, esto es, 2 races de igual magnitud y de signo contrario, o 2 races imaginarias conjugadas. En este caso, el arreglo de los coeficientes puede ser completado formando un polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila anterior y usando los coeficientes de la derivada de este polinomio en la siguiente fila. Las races de igual magnitud y opuestas en el plano s corresponden a las races del polinomio auxiliar.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitzejemplo:

Polinomio auxiliar au(s)Fila de ceros

Se remplaza la fila de ceros por la derivada del polinomio auxiliar.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitzejemplo:

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-HurwitzEl criterio de Routh-Hurwitz tambin puede usarse para estudiar la estabilidad relativa de un sistema; esto es, si el sistema es estable, qu tan cerca est de ser inestable. Nos interesa saber en este caso si el polinomio a(s) tiene races a la derecha de la lnea s=-, donde es una constante. Para ello hacemos la substitucin

en a(s) y aplicamos el criterio de Routh-hurwitz al polinomio El nmero de cambios de signo en la primera columna del arreglo construido para es igual al nmero de races de a(s) a la derecha de la lnea s=-.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-HurwitzEjemplo:

Hallar el valor de K para

Sistemas de control Estabilidad Lugar Geomtrico de la races (Root-locus)Utilizando los polos de la funcin de transferencia, el lugar geomtrico de las races es el grfico en el plano-s de la ubicacin de los polos conforme K varia desde cero a infinito. El root-locus complementario es desde menos infinito a cero. Ejemplo:

V(s)Y(s)

Sistemas de control Estabilidad Lugar Geomtrico de la races (Root-locus)Ejemplo (cont.):

Sistemas de control Estabilidad Construccin root-locusSi

a lazo cerrado

La ecuacin caracterstica debe ser igualada a cero

Si K>0, k=1, 2,Si K

Sistemas de control Estabilidad Construccin root-locusPodemos re-escribir

Obteniendo entonces:

Debemos hacer lo mismo con los ngulos

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locusEjemplo:

Paso 1: Debido a que el lugar geomtrico de las races comienza en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros a lazo abierto se debe dibujar estos sobre el plano-s.-1-2-3-4-5jw-s

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus

Paso 2:Utilizando la condicin de ngulo se determina que parte del eje real pertenece al root-locus. Supondremos races dentro de los intervalos en el plano-s.-1-2-3-4-5s1jw-sXXXX0

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus

Paso 3: Considerando que la funcin de transferencia a lazo abierto tiene n polos y m zeros y que para los sistemas n>m, se tiene un cierto nmero de ramas que comienzan en los polos y deben dirigirse a los zeros, como hay menos zeros que polos, estas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de asntotas. El Nmero de asntotas es:NA=n-m La ubicacin del punto de partida

Y el ngulo de salida es:

Esta ecuacin es positiva, me equivoque en clase

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locusPaso 4: Puntos de ruptura

sR1=-0.43; sR2=-1.6; sR3=-3,3+0,68j; sR4=-3,3-0,68j

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locusPaso 5: Dibujar

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locusPaso 6: el punto en el cual el root locus corta el eje imaginario. Se puede hallar usando el criterio de Routh-Hurwitz.

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locusPaso 6: Se clcula el valor de K para que una fila completa sean puros ceros. En este caso la fila es s1 y el valor de K=9.65. Tomaremos el polinomio auxiliar y despejaremos el valor de s.

Entonces los puntos donde el LGR cruza el eje imaginario es 1.5888j.

Sistemas de control Estabilidad Resultado final

Ejercicio de Lugar Geomtrico de las RacesUniversidad Simn BolvarSede del LitoralSistema de Control TI-2233Miguel Rodrguez Celimirodriguez@usb.ve

EjercicioDibuje el LGR del siguiente funcin de transferencia a lazo abierto

1 paso, representar los polos y zerosMiguel Rodrguez*xxo-1-5-10

Miguel Rodrguez

Ejercicio2 paso: Hallar donde existe el LGR, se procede de derecha a izquierda a contar los polos y zeros, y cuando la suma sea impar en ese intervalo si existe el LGR, si es par No existe el LGR.Miguel Rodrguez*xxo-1-5-10Nmero imparNmero ParNmero impar

Miguel Rodrguez

Ejercicio3 paso: Hallar las asntotas, los ngulos de las asntotas y los puntos de partidas.Miguel Rodrguez*xxo-1-5-10Solo hay una Asntotaq es solamente 0, porque NA=1El punto de partida se encuentra en el lado derecho.

Miguel Rodrguez

Ejercicio4 paso: Hallar los puntos de rupturas, como los polos deben ir a los zeros, y solo tenemos un cero y est despus de los dos polos el LGR debe alejarse del eje real para poder llegar al zero en -10 y al zero en inf. Miguel Rodrguez*xxo-1-5-10

Miguel Rodrguez

Ejercicio5 paso: Dibujar el LGR, debemos alejarnos,

En realidad con esta tcnica se dibuja un croquis del LGR, para hallar los verdaderos puntos donde el sistema es crticamente amortiguado, que son los lugares donde el LGR se separa del eje real se debe usar la EC a lazo cerrado. Miguel Rodrguez*xxo-1-5-104.52

Miguel Rodrguez

EjercicioValores de K para que el sistema sea crticamente amortiguado:

Comparando la EC con la respuesta ideal

De la primera ecuacin tenemos K=2a-6 y sustituyendo en la segunda. Miguel Rodrguez*

Miguel Rodrguez

EjercicioAs el LGR queda definido como:

Miguel Rodrguez*xxo-1-5-10-16.70-3.29

Miguel Rodrguez

EjercicioUsando un programa matemtico:

Miguel Rodrguez*

Miguel Rodrguez

*