E S P E C I F I C A C I Ó N D E U N S I S T E M A D E D E M A N D A Y S U A P L I C A C I Ó N A M É X I C O

Pascual García Alba Iduñate Comité de Asesores Económicos de la Presidencia (México)

Muchos análisis empíricos del bienestar económico requieren, como insumo, el conocimiento de las elasticidades de u n sistema de demanda consistente c o n los postulados de la teoría del consumidor; en especial, que la matriz de Slutsky de derivadas con respecto a los precios de la demanda compen­sada sea negativa semidefinida. Las dificultades prácticas para imponer esta restricción en especificaciones muy generales ha llevado, en la práctica, al uso casi exclusivo, en ese tipo de estudios, del Sistema Lineal de Gasto (Dea-ton y Muellbauer, 1980). El problema con este procedimiento es que la impo­sición de utilidad aditiva que se halla implícita en el Sistema Lineal de Gasto (SLG) implica que: a) las elasticidades precio cruzadas sean cercanas a cero, y b) que las elasticidades respecto del propio precio sean casi proporciona­les a las elasticidades ingreso (Deaton, 1974). De éstos, el problema más serio es quizá el segundo, ya que, en las palabras de Deaton:

Puesto que el número completo de efectos cruzados de los precios casi nunca es estimable sin información previa y puesto que estos efectos son probablemente de importancia limitada, . . . el supuesto de aditividad podría ser enormemente útil. . . Sin embargo, las restricciones sobre las elasticidades respecto del p r o p i o precio y la evidencia acerca de la distorsión ponen en entredicho la uti l idad de este supuesto.

E n la primera sección de este estudio se desarrolla una especificación general de la función de la utilidad. En la segunda se muestra que la función de Geary-Stone, de la que se deriva el SLG (Geary, 1950-1951), es un caso especial de aquélla, y después se estudia otro caso especial de dicha especi­ficación general que no impone las restricciones sobre elasticidades ingreso y precio propio que se derivan, en el caso del SLG , del supuesto de aditivi­dad. Las implicaciones de este sistema respecto de las elasticidades precio son entonces comparadas con las del SLG , en términos teóricos. E n la ter­cera sección se dan algunas razones de por qué el sistema de demanda pro­

s e o , 1, 2, 1986 305

306 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

puesto podría ser preferible a otro aparentemente mucho más flexible: el Sistema de Demanda Casi Ideal (Deaton y Muellbauer, 1980). E n la cuarta sección, se estiman los dos casos de la especificación general discutidos en la segunda sección: el SLG y el Sistema Alternativo Propuesto (SAP). Luego, se comparan las estimaciones de ambos sistemas. En la última sección se enfa-tizan las conclusiones más relevantes de este estudio.

1. Especif icación de l a función de u t i l i d ad

La especificación general de funciones de utilidad que se explorará aquí es la siguiente:

V(x) = máKV[Vj(¿)]J=l9 (1.1)

L/ x? < x

en la que la utilidad Ves función, solamente, del vector x de los consumos totales de cada una de las n mercancías:

X' = (XiXi . . . Xn) ( 1 . 2 )

_ La función de utilidad total es igual al valor máximo de otra función V de 5 funciones particulares de utilidad V), sujeto a la restricción de que la suma de los argumentos oí sea igual a la disponibilidad total L * 7 = x, donde la igualdad refleja el supuesto de no saciedad. Para mostrar que V (x) cum­ple c o n los requisitos impuestos por la teoría del consumidor, es necesario demostrar que los conjuntos de la forma (x\V(x)>k) son convexos.

Se supone que cada una de las funciones Vj cumple con todos los supues­tos usuales de la teoría del consumidor, en el sentido de que cualquiera de ellas sería aceptable como una función de utilidad simple. De hecho, el supuesto que aquí se hace es aún más restrictivo, al exigirse que las funcio­nes Vj sean semicóncavas:

Vj [Xa' + (1 - X) tí]>XVj {a*) + (1-X) Vj{tí) (1.3)

Este mismo supuesto de semiconcavidad se hace para la función V:

V [XVj {a>) + (1 - X)Vj{tí))>XV [Vj (aj)) + (1 - X)V[Vj (tí)] (1.4)

Para demostrar que los conjuntos (x\V (x)>k) son convexos, tomemos V (a) = V(b), 0 < X < 1,1/ a!' = a, y 1/ tí: = b, donde af y tí son los valores que maximizan el lado derecho de (1.1), sujeto a las disponibilidades totales a y b, respectivamente. Es claro que:

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 307

V[Xa + (1 - X) b]^V[Vj(Xa) + (1 - X) V], (1.5)

ya que, de acuerdo a la definición (1.1), Vmaximiza V. Ahora, haciendo uso del supuesto de semiconcavidad de las funciones Vj (1.3), resulta que:

V(Vj[Xaj + (1 - X) ti])>V[XVj (a!) + (1 - X) Vj (b¡)] (1.6)

Pero, debido a la semiconcavidad de V,

V [XVjicJ) + (1 - X) Vjib1)] >XV [Vj (aj)] + (1 - X) V [Vj (bj)] = = XV(a) + (\ - X) V(b) (1.7)

De (1.5), (1.6), (1.7) y V(a)= V{b\ se sigue que V [ ta + (1 - X)b)>V(á) = V (b), con lo que la convexidad de los conjuntos (x\V (x)>k) queda

demostrada. El problema de maximizar la función de utilidad V (x) —la que, c o m o

ha sido demostrado, es una función de utilidad válida que cumple con los supuestos de la teoría del consumidor—, sujeto a precios e ingresos cons­tantes, puede, bajo ciertas condiciones, ser descompuesto, de una manera ficticia, pero analíticamente válida, en dos problemas. El primero consiste en la determinación de la fracción del ingreso total a ser gastada en cada subcanasta sé' (j = 1,. . ., s) y el segundo en escoger cada elemento de X? para maximizar la respectiva Vj, sujeto a la fracción del ingreso que le corresponda. Por supuesto, éste es un procedimiento completamente ficticio. N o se quiere c o n esto implicar que, en efecto, los individuos tengan varias funciones de util idad. El propósito es obtener funciones de utilidad simples que, siendo una especie de combinación de otras, sean más flexibles que cualquiera de estas últimas individualmente.

Para obtener el máximo de utilidad V, la siguiente condición debe cum­plirse:

dV dV¡ dV dVj . -WJMJ >>J^,..,s, (1.8)

donde Yk es el ingreso gastado en la subcanasta x*. Escribiendo esta última condic ión en forma de elasticidades:

donde y* es la elasticidad de V respecto de Vk y \ik la de V* respecto de Yk. La participación de Y¡ en Y es, entonces,

308 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

Una vez que se conocen las fracciones de ingreso, las demandas totales p o r cada una de las mercancías pueden ser expresadas de la siguiente manera:

xt =jíxii(p, ft/ Y), / = 1 , . . . , rc, (1.11)

donde p = (p\ p2. . .pn) es el vector de precios y xj(p, Yj) es la función de demanda que se obtiene de maximizar Vj. Suponiendo que todas las funcio­nes x¡ son derivadas de funciones de utilidad homogéneas, tenemos:

úfatoY) = p 7 y - * í ( p , i ) ,

de suerte que (1.11) puede expresarse en términos de participaciones en el ingreso, y i = p¡ x¡/Y, como:

yi = . ¿ p ; ^ ( P W = l , (1.12)

La ecuación anterior representa u n método muy conveniente y senci­l lo para combinar diferentes sistemas de demanda en uno solo que posea todas las virtudes de cada uno de ellos, más otras que se derivan de su com­binación. Las ventajas operacionales de (1.12) se ven aumentadas cuando las P, se toman c o m o constantes. Ello es consistente c o n (1.9), haciendo

V = nVjaj a , - > 0 ; / = l , . . ., n, (1.13)

puesto que en este caso las elasticidades de V respecto de Vk son constantes (Y* = <*>k), mientras que la constancia de la elasticidad de Vk respecto de Yk está asegurada por el supuesto de homogeneidad en (1.12). Resulta enton­ces que, en este caso, las P, son constantes, de acuerdo c o n (1.10). E n todas las aplicaciones que aquí se harán las P, serán tomadas como constantes.

U n inconveniente de (1.12) es el de imponer elasticidades ingreso uni­tarias, al estar derivada de funciones de utilidad homogéneas. Para eliminar la homogeneidad de la función de utilidad implícita —la equivalente de (1.1)—, se desplazan las coordenadas de dicha función de utilidad en las mag­nitudes expresadas en el vector q = (qi, . . ., qn), c on lo que (1.12) se trans­forma en

» = 1?JJ¿ (P)l ( 1 " + i- 1. • • n. (1.14)

Puesto que (1.12) está bien definida para x> 0, (1.14) está bien definida para x>q. Obviamente, no quedan excluidos los valores negativos de qk,

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 309

siempre y cuando ^ > 0. La función (1.14), a la que llamaremos función gene­radora de sistemas de demanda, será utilizada en la siguiente sección.

2 . D o s casos espec ia les de l a función g e n e r a d o r a de s i s temas

En esta sección se combinarán dos sistemas de demanda (s = 2) derivados de una función de utilidad Cobb-Douglas y de una del tipo Leontief, respec­tivamente:

y\ = b¡ i = l , . . ., n (2.1)

^ = y U Í n \ » * , * = 1 , . . . , « , (2.2) 2-A: Clk pk

donde b¡ y a¡ son constantes no negativas. Es inmediatamente obvio que si sustituimos (2.1) y (2.2) en (1.14) c o n

02 = 0 (3i = 1), obtenemos el Sistema Lineal de.Gasto (SLG):

LA: qk pk. qipi . . -N

= b¡ (1 y ^ - ) + 2_£L i = l , . . ., w. (2.3)

Pero este sistema no es más que un caso especial de (1.12) en el que (2.1) y (2.2) se combinan con P2 > 0, y que da como resultado el Sistema Alter­nativo Propuesto (SAP):

^ - D í f c + d - B ^ T l I l - 5 ^ ^ . ' - I . - - . . » . (2-4) ¿'A: ¿*A; -f Y

donde se imponen las restricciones siguientes:

q'p < Y, 0 < P < 1 , h>0 y a > 0 . (2.5)

para asegurar que el sistema cumpla con todos los postulados de la teoría del consumidor.

El SAP tiene ventajas claras sobre el SLG . Puesto que este último es u n caso especial del primero, cualquier característica satisfactoria de SLG tam­bién lo es del SAP. Ninguno de los dos sistemas acepta la existencia de bie­nes inferiores ni de bienes sustitutos brutos cuando los niveles de subsis­tencia (qk) son no negativos. 1 Mientras que en el SLG todos los bienes son

1 Si las condiciones (2.5) suficientes, pero no necesarias, para que la matriz de Slutsky sea negativa semidefinida, fueran desechadas, entonces el SAP podría aceptar bienes inferiores y sustituibilidad bruta. La inflexibilidad impuesta por (2.5) es un costo que hay que aceptar para asegurar, de manera sencilla, la negatividad de dicha matriz.

310 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

sustitutos netos entre sí, en el SAP puede haber tanto sustituibilidad c o m o complementariedad neta entre bienes. Pero quizá el aspecto más satisfacto­rio del SAP , en comparación c o n el SLG , es el de que elimina la restricción ex ante de proporcionalidad cercana entre las elasticidades ingreso y las elas­ticidades respecto del precio propio . Todas estas relaciones del SLG y del SAP se derivan de las fórmulas de las elasticidades en el cuadro 2 .1 , recor­dando que el SLG es u n caso especial del SAP c o n P = 1.

C U A D R O 2.1

F ó r m u l a s de las elasticidades del SAP1

% = ^ »bi + (1 - P) At]

H = - ( 1 ~ G ) [fri + (1 - P) At] + Ti, (yi - Qi)

(1 - G) *u = ~ 0 - P) Y ¡

A ' AJ - *i QJ> {* i

n*ij= - (1 - P) 0 " . G ) Ai Aj + m (yj - Qj); i * j

donde: v a k Pk A a k Pk ^ 4k Pk

1 i\k es la elasticidad ingreso de la demanda de la mercancía k; T\¡J es la elasticidad de la demanda de la mercancía i respecto del precio de la mercancía j; y el asterisco se refiere a las demandas compensadas.

3. E l SAP y e l S i s tema de D e m a n d a Cas i Ideal

Existen en la literatura varias especificaciones de sistemas de demanda que se piensa que son muy flexibles y, que de ser el caso, harían que la labor de buscar una especificación alternativa fuera estéril. Concentremos la aten­ción en el Sistema de Demanda Casi Ideal (SDCI), que algunos sostienen que es mejor que cualquier otra especificación existente. Sin embargo, el SAP puede, en muchas circunstancias, ser superior al SDCI en al menos dos aspec­tos, de naturaleza práctica uno y teórica el otro. Primero, el SDCI requiere la estimación de 2(n - 1) + n(n + l)/2 parámetros independientes (número que parece excesivo para cualquier aplicación muy desagregada), de acuerdo c o n su especificación:

yi = a/ + 1/ jij log pj + 8/ log (Y/p), / = ! , . . . , « (3.1)

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 3 1 1

donde

log p = aQ + 1/ a/ log pi + Vi 1/1/ yu (log pi) (log pj)

y las siguientes restricciones son impuestas:

l i a i = 1, Z i pi = 0 , E/ Yi7 = 0, I Í Y</- = 0, y</ = y// ( 3 . 2 )

E n segundo lugar, las restricciones (3.2) aseguran que Z i j i = 1 y la sime­tría de la matriz de Slutsky, pero no el que ésta sea negativa semidefinida. Para algunas aplicaciones, esto último no sería u n inconveniente s i , c o m o en algunos estudios se ha supuesto, el SDCI fuera lo suficientemente flexi­ble c o m o para desacreditar el uso de los postulados de la teoría del consu­midor individual como una aproximación satisfactoria en las demandas agre­gadas; lo que no es el caso, tal como será mostrado con el uso de u n ejemplo sencillo. Además, existen aplicaciones en análisis de políticas que requieren de estos postulados para que los resultados tengan sentido.

Si bien el SDCI tiene justo el número suficiente de parámetros para ajus-tar un punto cualquiera (un conjunto de valores de j>,) c o n cualquier combi­nación de elasticidades ingreso y precio que cumplan con la restricción pre-supuestal, este sistema se ve en problemas cuando el mismo se ajusta a varios puntos a la vez, como es siempre el caso en la práctica. Supongamos que el interés principal se concentra en las elasticidades precio p r o p i o , más que en las cruzadas, de suerte que podemos concentrarnos en el análisis de las respuestas al precio propio en el SDCI , considerando el caso en el que en términos relativos de unos c o n otros todos los precios, excepto uno (el primero), son constantes. Así, el análisis colapsa al caso de dos bienes (Hicks, 1948) . Para simplificar, el análisis se restringe al caso de utilidad homogénea haciendo 5i = 0, para toda de manera que (3.1), tomando en cuenta (3.2) se puede escribir como:

yx = a i + y l o g p 2 , (3 .3)

donde sin pérdida de generalidad, p\ se hizo igual a la unidad. Ahora, supon­gamos que se tienen las observaciones siguientes:

log p2

0 . 0 2 0

0 . 0 1 6 4 3 4 0.2

Estas observaciones pudieron haber sido generadas por una función del tipo Leontief, que es un caso especial del S A P . 2 Supongamos que tal es el

2 Haciendo P = q\ = q2 = 0, a\ = 1 y a2 = 49 en (2.4).

312 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

caso y, por tanto, que el comportamiento de la demanda es consistente c o n los postulados de la teoría del consumidor, c o n = T|*2 = 0. Sin embargo, si (3.3) es ajustado a estos datos, resultan las siguientes estimaciones:

log pi

0.2 -0.08855

+ 0.10131

^ 2 2

-0.00181 + 0.001693

las que contradicen el supuesto de que el comportamiento^observado era consistente c o n los postulados de la teoría del consumidor, que implican ri ¿ *<0. Resulta pues injustificable rechazar estos postulados sólo porque el S D C I no pudo reproducirlos. Por otra parte, en el S A P estas elasticidades "observadas" pueden hacerse consistentes c o n las observaciones de yi, puesto que el caso tipo Leontief fue modelado, explícitamente, como u n caso particular de su especificación.

Por supuesto, se pueden construir otros ejemplos en los que se suponga que cierto caso especial del S D C I es cierto y el S A P dé resultados insatisfacto-rios. Sin embargo, se pueden hacer dos consideraciones en favor de este último. Primero, este sistema es siempre congruente con el enfoque de la utilidad; no así el S D C I . La teoría del consumidor provee algunas restriccio­nes útiles, en un contexto donde la estimación no restringida puede dar, fácilmente, resultados absurdos. Mientras no haya evidencia seria de que estas restricciones sesgan considerablemente los resultados, lo mejor que en la práctica puede hacerse es imponerlas. Segundo, aun cuando el S D C I tiene, en el caso general, más parámetros que el S A P , éste tiene más parámetros para, en ciertas condiciones, modelar las respuestas a los precios propios. Esto puede verse comparando (3.3) c o n la especificación del S A P para el mismo caso (dos bienes y utilidad homogénea):

yx = P¿i + (1 - P) ~ P * , (3.4) 1 + ai p2

[donde se hizo ai = 1, para tomar en cuenta la homogeneidad de grado cero de (2.4) respecto de las a¡¡. Se puede esperar, entonces, que el S A P sea más eficiente que el S D C I para modelar elasticidades respecto del propio precio, al menos en algunos casos. Por otra parte, podría esperarse que el S D C I sea más apropiado que el S A P para modelar elasticidades cruzadas, ya que, en el caso general (más de dos bienes), hay en total más parámetros a estimar en el primero que en el segundo. Esto es, sin embargo, una ventaja más bien pequeña si, como se supone muchas veces, las respuestas cruzadas son sólo de una importancia secundaria (véase Deaton, 1974). Más aún, si el S D C I es tan ineficiente para reflejar elasticidades respecto del propio precio, no se puede sino ser sumamente escéptico respecto de las elasticidades cruzadas resultantes.

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 313

La discusión anterior subraya lo apropiado de proponer un sistema alter­nativo de demanda que supere algunos de los problemas de otros sistemas, como el SLG , que suponen utilidad aditiva, a pesar de la existencia de otros sistemas que supuestamente son muy flexibles, pero que i m p o n e n fuertes requerimientos de datos y que, después de todo, no son tan flexibles c o m o parece. Esta discusión sirve también para justificar la imposición d e los pos­tulados de la teoría del consumidor, a pesar de cierta " e v i d e n c i a " reciente en su contra. En la próxima sección, tanto el SLG como el SAP s o n estima­dos para la economía mexicana, c o n el propósito de resaltar empíricamente las ventajas del segundo.

4. Estimación de l S L G y d e l SAP

E n esta sección se discute, primero, la agregación de los datos utilizados en el análisis. Después se consideran algunos aspectos relacionados c o n la espe­cificación dinámica de los sistemas de demanda aquí aplicados (el SLG y el SAP) y c o n la del comportamiento de los componentes aleatorios para la esti­mación econométrica. En seguida, ambos sistemas son estimados y los resul­tados comparados.

4 .1 . Agregación de los datos

Las cuentas nacionales de México (SPP, 1981, 1982 y 1983) incluyen datos sobre el consumo privado desagregados en lo que allí se denomina grandes divisiones. Todos los sectores productivos de la economía se hallan agrupa­dos en 9 grandes divisiones. A su vez, la gran división 3 (manufacturas), es dividida en 9 divisiones. Puesto que el consumo proveniente de la gran divi ­sión 4 (construcción) es cero, hay información para 16 agregados de c o n ­sumo privado. La vivienda queda incluida en la gran división 5, que agrupa también a los servicios financieros. Sin embargo, las cuentas nacionales recien­tes sólo contienen información anual a partir de 1970, y el último año para el que había información al momento en que se realizaron las estimaciones es 1981. Doce años es un periodo muestral muy pequeño para la realización del presente ejercicio. Por ello, se usó información de las antiguas cuentas nacionales (Banco de México , 1977) y de la matriz de insumo-producto de 1960 (Banco de M é x i c o , 1966) para obtener una primera aproximación del comportamiento del consumo privado por sector de origen antes de 1970. Los resultados sirvieron para extrapolar los datos de 1970 a 1981 en el periodo 1960-1970, eliminando la discontinuidad o salto en los datos por cambio de fuente. La necesidad de lograr consistencia con la disponibilidad de datos impuso la necesidad de agrupar el consumo privado en 14 componentes, en vez de los 16 originalmente disponibles. La definición de cada uno de

314 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

estos 14 agregados es reportada en el cuadro 4.1 y las series respectivas en el apéndice estadístico.

4.2. Estimación

Las ecuaciones que fueron estimadas para el SLG y para el SAP son , respecti­vamente:

yit = (1 - 0) hi (1 - *J pjt q°j ^ + ( 1 - 8 ) * « ? * + yit

Y, ( 4 . 1 + OjV—i + U i t

/ = 1 , . . . , n C U A D R O 4.1

A g r e g a c i ó n de m e r c a n c í a s para la e s t i m a c i ó n de los sistemas de demanda

Divisiones de las cuentas nacionales incluidas

1. Sector primario Gran división 1 Agricultura, ganadería, si lvicultura y pesca

Gran división 2 Minería 2. Electricidad Gran división 5 Electricidad 3. Restaurantes y hoteles Gran división 6 C o m e r c i o , restaurantes y hoteles 4. Transporte Gran división 7 Transporte, almacenamiento y co­

municaciones 5. Servicios financieros Gran división 8 Servicios financieros, seguros y bie­

y vivienda nes raíces 6. Otros servicios Gran división 9 Servicios comunales, sociales y

personales 7. Alimentos procesados División I: Productos alimenticios, bebidas y

tabaco 8. Textiles División II: Textiles, ropa e industrias de cuero 9. Productos de madera División III: Industria de la madera y productos

de madera 10. Papel División IV: Papel, productos de papel , impre­

sión y edición 11. Productos químicos División V: Sustancias químicas, derivados de

petróleo y productos de hule y plástico

12. Productos minerales División VI: Productos minerales no metálicos n o metálicos excepto carbón y derivados

del petróleo 13. Productos metálicos División VII: Industrias metálicas básicas.

División VIII: Productos metálicos, maquinaria y equipo

14. Otras manufacturas División IX: Otras industrias manufactureras

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 315

y

yit - (1 - Q P * + (1 - - + (1 - +

+ Qyitt-i + uit, i = 1, . . ., w, (4.2)

donde t designa el año de la observación, Nt es un índice del tamaño de la población y un es un error aleatorio. Las ecuaciones (4.1) y (4.2) son los equivalentes estocásticos de las ecuaciones (2.3) y (2.4), excepto por dos nuevas características ahora introducidas. En vez de qk se usa ahora q°k Nt

para permitir que los niveles de subsistencia varíen con el tamaño de la pobla­ción. El parámetro 0 fue incluido para permitir rezagos en las respuestas del consumo de acuerdo a u n esquema de ajuste temporal del tipo de K o y c k . Note que se restringe 6 al mismo valor para todos los sectores. Permitir u n coeficiente diferente por sector sería inconsistente con la restricción presu-puestal (Brainard y T o b i n , 1968). U n procedimiento más satisfactorio que imponer la misma 9 a todos los sectores sería permitir que el ajuste en cada sector dependiera de los desequilibrios en todos los demás sectores, c o m o Brainard y T o b i n proponen. Sin embargo, esto haría necesario tener que esti­mar un número demasiado grande de parámetros (16 x 16). En la estimación (4.1) y (4.2) se logró un ajuste mucho mayor que el que se obtiene cuando se hace 0 = 0.

E n cuanto a la especificación de los errores se supuso que V(ü) = a 2/, aun cuando este supuesto es inconsistente en el presente contexto (Lluch et al., 1977). Puesto que la agregación implica i'u = 0, no todas las cova-rianzas pueden ser c e r o . 3 Sin embargo, el que el error en cualquier sector deba ser compensado en los otros sectores puede, en la práctica, ignorarse, en la estimación de sistemas de demanda muy desagregados. Ésta es la idea implícita en la mayoría de los análisis de la demanda por un solo bien c o n p o c o peso en el consumo total. Mas aún, se ha mostrado que las estimacio­nes de los parámetros coh V(ü) = o 2 / son equivalentes a las que se obtienen c o n el supuesto de V(ü) = o\l - ii'ln), el que, en vista de /"(/ - ii'ln) i = 0, es consistente c o n i'u = 0 (Deaton, 1975). Esto se debe a que esta matriz de covarianzas es idempotente y, por tanto, igual a su inversa generalizada, por lo que mínimos cuadrados generalizados se obtienen minimizando e{(I - ii'Iri) et, donde et es el vector de residuos en t (véase T h e i l , 1971, p. 271); ello es equivalente a minimizar I*tet'et, en este caso, puesto que:

!,*?/(/ - ii'ln) et = I Í [(/ - ii'ln) et\' [(/ - ii'ln) et]

= I , Z i (eit - = I , £ * £

3 De aquí en adelante Í, excepto cuando aparezca como subíndice, representa u n vector de unos.

316 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

donde la última igualdad se sigue de la propiedad de los sistemas de demanda de que E/e,-* = 0.

Consideremos ahora la aplicación de mínimos cuadrados ordinarios a (4.1) y a (4.2). El caso del SLG (4.1) es muy simple y ha sido muy discutido en la literatura; por ejemplo Intrüligator (1978) discute el caso c o n 0 = 0. el caso 0?íO no impone problemas especiales. La ecuación (4.1), cuando se conocen q°k y 0, es lineal en hrf y cuando las b¿ son conocidas, la ecuación es lineal en (1 - 0) q° y 0. Por tanto, el sistema puede ser estimado iterativa­mente. Las estimaciones de los parámetros así obtenidas son reportadas en el cuadro 4.2.

C U A D R O 4.2

P a r á m e t r o s del S L G 1

i a - ojí? bi

1 22640.0 0.091930 (13.6178) (22.6646)

2 1263.63 0.012438 (6.34417) (49.7639)

3 10547.4 0.061140 (13.2990) (26.0625)

4 10711.6 0.086367 (11.9903) (27.8321)

5 20394.2 0.030028 (14.0302) (9.45056)

6 20201.3 0.034160 (14.7058) (6.59433)

7 55608.5 0.230843 (13.7920) (31.5007)

8 24357.2 0.149231 (12.8176) (33.8139)

9 3326.34 0.009633 (11.3976) (5.23492)

10 1796.91 0.007211 (8.89563) (12.1226)

11 14373.8 0.119551 (11.6207) (67.0882)

12 1480.06 0.008336 (7.46368) (16 .1003)

13 14796.7 0.140745 (10.9804) (39.8926)

14 278.189 0.018388 (11.7762) (11.9718)

8 = 0.473411 (12.8527)

1 Estadístico "t" en paréntesis.

El procedimiento que se siguió para estimar el SAP es un poco más com­plicado, debido a la no linealidad de los términos aipitfLjapjt en la ecuación

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 317

(4.2), así como a las restricciones (2.5). Para facilitar la exposición, conside­ramos primero la forma de estimar el SAP sin imponer restricciones. La ecua­ción se simplifica mucho usando la aproximación

ZjUjpjt = kpt, (4.3)

donde k es una constante y pt es un índice de precios del consumo total. Se supone, así, que las variaciones porcentuales del precio de una canasta definida por los pesos ¿z¿ son aproximadamente iguales que las del consumo total. E n general, es de esperarse que esta aproximación sea buena para sis­temas muy desagregados, en la media que dicha canasta contenga gran parte de los bienes de consumo. 4 Aproximaciones similares han sido utilizadas en la estimación de otros sistemas de demanda, como el Sistema c o n Elastici­dades de Sustitución Constantes (Sato, 1972) y el SDCI (Deaton y Muellbauer, 1980).

Sustituyendo (4.3) en (4.2) se tiene:

yit = (1 - 9) Otó, + - Mi4J!!t) + ( 1 _ qP*ÉLñ + Qy,^ + u u

Pt It It

i = 1, . . ., n. (4.4)

En esta última expresión, el factor (1 - §)lk fue eliminado haciendo uso del hecho de que en (4.2) los valores de a¡ (i = 1, . . ., n) sólo están determi­nados en términos relativos de unos c o n otros. La ecuación (4.4) puede ser fácilmente estimada siguiendo un método iterativo similar al aplicado al SLG. C o n fihj y a¡ conocidas, la ecuación es lineal en (1 - 0) q° y 0, y c o n 0 y las q° conocidas, es lineal en las P¿?, y las a¡. Sin embargo, debido a la aproxi­mación (4.3), (4.4) no impone aditividad de lasj>¿ a uno. Sin embargo, cuando los valores de los parámetros estimados se sustituyen en (4.2), la aditividad queda asegurada. Pero para evitar que todo este ajuste ad hoc recayera sobre sólo una parte de la ecuación, los valores de P&, y de a¡ fueron modificados por una constante que hiciera que las y¡ sumaran uno en el último año del periodo muestral. Por las razones dadas para justificar el uso de la aproxi­mación (4.3), el ajuste debe ser muy pequeño. De hecho, sólo fue necesario ajustar p en menos de un quinto de u n punto porcentual. Las estimaciones de los parámetros del SAP son reportadas en el cuadro 4.3.

Hasta ahora no se ha discutido c ó m o se impusieron las restricciones (2.5) en la obtención de estas estimaciones. Las restricciones p#i>0 y ¿?/>0 tuvie­r o n que ser impuestas explícitamente. Si en algún paso del proceso iterativo

4 Las estimaciones del SAP que se reportan más adelante dieron c o m o resultado que el coeficiente de variación del cociente Hájpjtlpt, donde áj son las estimaciones de cij, fuera sólo de 0.018.

318 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

C U A D R O 4.3

P a r á m e t r o s del SAP1

i (i - e;*? af

1 26940.2 0.0 0.084536 (15.1909) (30.8388)

2 1658.86 0.008474 0.004167 (8.05764) (4.32322) (2.55130)

3 12628.4 0.058377 0.0 (14.6160) (34.2682)

4 13339.8 0.086745 0.0 (13.0322) (36.8167)

5 23933.3 0.031332 0.0 (15.9705) (15.2130)

6 23922.7 0.0 0.047772 (16.3842) (11.7763)

7 66635.4 0.0 0.219387 (15.2445) (47.2351)

8 29635.3 0.146008 0.0 (13.9901) (46.3759)

9 3916.64 0.008865 0.0 (13.2637) (6.23415)

10 2103.55 0.0 0.006518 (10.5399) (15.0917)

11 18106.7 0.090530 0.028385 (12.7086) (3.95661) (1.38364)

12 1774.29 0.0 0.007736 (9.04700) (20.9920)

13 18898.5 0.144559 0.0 (11.9126) (55.3450)

14 3879.52 0.0 0.016293 (13.2427) (15.0772)

6 = 0.396002 (10.8378)

1 Estadísticos "t" en paréntesis, excepto para parámetros cuya estimación es cero. 2 Valores obtenidos directamente de (4.4). En el cálculo de las elasticidades, 3 fue multipli­

cada por 1.001779, por las razones dadas en el texto. 3 En el SAP, sólo los valores relativos de las a¡ están identificados; los valores aquí reporta­

dos son los de los coeficientes de p¡/p en (4.4).

ambas restricciones fueron satisfechas para cierta las estimaciones res­pectivas fueron adoptadas para la siguiente interación. Si alguna restricción no se cumplía, se hizo uso del hecho de que la minimización de una fun­ción estrictamente convexa 5 sobre un conjunto cerrado y convexo implica que, si el mínimo se obtiene en un punto interior, éste debe obedecer las

5 La función objetivo en el procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios es siempre estrictamente convexa, excepto en el caso de multicolinealidad perfecta de las variables en el lado derecho de la ecuación.

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 319

condiciones de primer orden (Lancaster, 1968). Por tanto, si el m í n i m o n o restringido estaba fuera del conjunto viable, se estimaron los parámetros sus­tituyendo P#¿ = 0 primero y, luego, sustituyendo a¡ = 0, y tomando el resul­tado en el que se obtenía el mínimo valor de las desviaciones al cuadrado.

4.3 Comparación de los resultados del SLG y del SAP

Hemos argumentado, desde una perspectiva teórica, que el SAP tiene la ven­taja sobre el SLG de que no impone ex ante una relación cercana entre las elasticidades precio propio y las elasticidades ingreso. Las estimaciones de los parámetros para ambos sistemas reportadas en los cuadros 4.2 y 4.3 pue­den ser usadas para calcular estas elasticidades, c o n el propósito de evaluar tal afirmación en términos empíricos. Los cuadros 4.4 y 4.5 muestran los valores de las elasticidades ingreso, así como de las elasticidades compensa­das y no compensadas respecto del precio p r o p i o . La proporcionalidad cer­cana entre elasticidades ingreso y precio, cuando se supone aditividad de la util idad, como en el SLG , se aprecia mejor usando las elasticidades precio compensadas. En los diagramas 4.1 y 4.2 se gráfica la elasticidad ingreso c o n la respectiva elasticidad compensada, respecto del precio p r o p i o , para cada mercancía o sector, que resultan del SLG y del SAP, respectivamente. E n el caso del SLG la proporcionalidad es casi perfecta. E n el del SAP, aun cuando se observa todavía cierta correlación, la dependencia lineal está lejos de ser muy cercana. C o m o ejemplo, la mercancía agregada 12, que se refiere a pro­ductos minerales no metálicos, tiene una elasticidad ingreso relativamente

C U A D R O 4.4

Elasticidades ingreso y precio propio del SLG

Elasticidad Elasticidad precio propio

Mercancía ingreso No compensada compensada

1 0.841705 - 0 . 1 7 3 6 6 6 - 0 . 0 8 1 7 3 6 2 2.926523 - 0 . 3 2 1 5 0 2 - 0 . 3 0 9 0 6 4 3 0.905963 - 0 . 1 5 2 0 9 9 - 0 . 0 9 0 9 5 9 4 1.437703 - 0 . 2 2 6 8 3 4 - 0 . 1 4 0 4 6 7 5 0.364873 - 0 . 0 6 7 8 7 5 - 0 . 0 3 7 8 4 7 6 0.306819 - 0 . 0 6 5 8 5 0 - 0 . 0 3 1 6 9 0 7 0.881700 - 0 . 3 0 3 3 6 5 - 0 . 0 7 2 5 2 2 8 1.244603 - 0 . 2 6 2 4 6 4 - 0 . 1 1 3 2 3 3 9 0.544141 - 0 . 0 6 7 2 6 2 - 0 . 0 5 7 6 2 9

10 0.709805 - 0 . 0 8 2 5 6 9 - 0 . 0 7 5 3 5 8 11 2.007926 - 0 . 3 0 8 6 0 4 - 0 . 1 8 9 0 5 3 12 1.114225 - 0 . 1 2 6 4 9 6 - 0 . 1 1 8 1 6 0 13 2.142075 - 0 . 3 3 7 5 4 7 - 0 . 1 9 6 8 2 9 14 0.798354 - 0 . 1 0 2 1 9 3 - 0 . 0 8 3 8 0 5

320 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

C U A D R O 4.5

Elasticidades ingreso y precio p r o p i o del SAP

Elasticidad Elasticidad precio propio

Mercancía ingreso No compensada Compensada

1 0.790746 - 0 . 0 9 1 3 5 2 - 0 . 0 0 5 6 5 5 2 2.677331 - 0 . 1 3 9 5 0 4 - 0 . 1 2 8 7 9 1 3 0.870061 - 0 . 1 0 8 8 2 2 - 0 . 0 5 0 3 4 1 4 1.435464 - 0 . 1 6 7 4 4 7 - 0 . 0 8 0 5 4 8 5 0.378877 - 0 . 0 5 3 9 4 0 - 0 . 0 2 2 5 5 2 6 0.512267 - 0 . 0 6 1 3 1 7 . - 0 . 0 0 2 5 1 4 7 0.827657 - 0 . 2 3 0 9 5 4 - 0 . 0 1 4 9 2 2 8 1.226580 - 0 . 2 1 0 6 2 0 - 0 . 0 6 4 3 5 2 9 0.502838 - 0 . 0 3 9 5 0 7 - 0 . 0 3 0 6 2 6

10 0.781283 - 0 . 0 0 8 3 7 6 - 0 . 0 0 0 5 1 3 11 1.923531 - 0 . 1 9 5 6 0 9 - 0 . 0 8 3 5 9 7 12 1.078307 - 0 . 0 0 8 6 6 8 - 0 . 0 0 0 7 1 6 13 2.214096 - 0 . 2 6 1 1 7 5 - 0 . 1 1 6 3 5 9 14 1.041200 - 0 . 0 2 6 2 9 6 - 0 . 0 0 2 1 0 2

Fuente: cuadro 4.4.

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 321

Diagrama 4.2

Relación entre elasticidades ingreso y precio propio en el SAP

TI/

Fuente: cuadro 4.5.

alta y una elasticidad precio compensada muy baja, de acuerdo al cuadro 4.5 y al diagrama 4 .2.

E l cuadro 4.6 muestra todas las elasticidades precio no compensadas del SLG para 1981, el último año del periodo muestral. C o m o se esperaba, todas las elasticidades cruzadas en dicho cuadro son negativas, lo que signi­fica que en este sistema todos los bienes son complementos brutos entre sí. Por otro lado, el cuadro 4.7 muestra las elasticidades precio no compen­sadas del SAP para el mismo año. En este caso, todos los bienes resultan ser también complementos brutos entre sí. Las elasticidades precio compensa­das en 1981 para el SLG y para el SAP son reportadas en los cuadros 4.8 y 4.9, respectivamente. Como se esperaba, todos los bienes son sustitutos netos en el SLG . C o n el SAP se logra una flexibilidad u n tanto mayor para modelar elasticidades compensadas. El cuadro 4.9 muestra que, en este sistema, algu­nos bienes son complementos netos entre sí, mientras otros son sustitutos netos. Esta aparentemente mayor flexibilidad del SAP, en comparación c o n el SLG , no debe enfatizarse demasiado, ya que, en cualquier caso, la manera c o m o el SAP modela las elasticidades cruzadas es también altamente insatis-factoria.

322 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

V

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CN o o ON 1—4 NO NO ON NO ON cA ON X NO ON ^ X o X CN NO NO o IA IA X cO O o CN NO O f O o ON o (N ON ON ON m CA X CN IA r - ON T—1 »—i CN o O o o t—1 o o T-• r-H (N o d d d d d d d d d d d d d

I I I I I i I I I I I I I I

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 323

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IO ON i n ON CN CN IO X PO NO m O O O O O O O o o r- CN o O O O O O q o o o o O n o o d d d d d d d d d d © d d d I I I I I I I I I I I I I I

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324 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

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E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 325

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ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó I I I I I I I I I I I I I I

r - V O N O P O O C N P O C N X N O r ^ O P O C N h O O f O i n f C O N M A H h ^ ^ r H V O N f C N P O r ^ N O ^ X h - X p O X l O C N r - i X N O X P O p O l O X r - . N H H X X n n t - i O C N O n O O O n O O n n C N r - i O O O O O O O O O O O O O O

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326 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

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E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 327

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328 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

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E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 329

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330 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

5. C o m e n t a r i o s f inales

En la sección 1 se discutió una manera simple de combinar diferentes siste­mas de demanda en uno solo que, como tal, tiene una mayor flexibilidad que cualquiera de sus componentes para analizar el comportamiento del con­sumo. Este método abre la posibilidad de extender los análisis empíricos de la demanda del consumidor en muchas direcciones. Aquí, sólo se exploró una de éstas. Es obvio , también, que algunas de las ideas del presente estu­dio pueden aplicarse con éxito en el análisis del comportamiento de las empresas. Otras aplicaciones de este método quedan como tareas para inves­tigaciones futuras.

El sistema de demanda concreto aquí propuesto (el SAP), resultó ser, en la teoría y en la práctica, mucho más flexible que el SLG . En especial, la pro­porcionalidad ex ante y casi exacta entre elasticidades ingreso y precios p r o p i o , que en el caso del SLG resulta del supuesto de utilidad aditiva, fue eliminada en el caso del SAP. Sin embargo, la representación de las elastici­dades cruzadas es muy insatisfactoria en ambos sistemas.

Si bien existen otros sistemas que, en principio , permiten una repre­sentación más adecuada de las respuestas cruzadas, estos sistemas imponen fuertes requerimientos de datos, son muy difíciles de estimar c o n mucha desagregación y no son susceptibles a la imposición del requisito de que la matriz de Slutsky sea negativa semidefinida. A u n cuando este requisito teórico derivado de la teoría del consumidor individual no necesariamente se aplica a la demanda agregada, el hecho de que modelarla en una forma realmente flexible implica la estimación de un alto número de parámetros c o n pocas restricciones, el no imponer negatividad lleva a procedimientos de estimación que fácilmente dan resultados poco plausibles. La estimación restringida lleva, generalmente, a resultados intuitivamente más satisfacto­rios. Más aún, la negatividad semidefinida de la matriz de Slutsky es un requi­sito de muchos análisis del bienestar.

Es de subrayar, c o n base en los dos sistemas aquí estimados (el SLG y el SAP), la gran sensibilidad de las estimaciones de las elasticidades a la forma funcional adoptada. Ésta no es una característica sólo de los sistemas aquí considerados, sino de todos los existentes, incluyendo aquellos que depen­den de u n gran número de parámetros. Recuérdese, por ejemplo, la discu­sión del SDCI en la sección 1. Esto se debe a las múltiples influencias cruza­das que deben, en principio, ser incorporadas en las ecuaciones de demanda y que ni siquiera los muy complicados y más flexibles sistemas pueden hacerlo de manera realmente satisfactoria. Esto ha llevado a muchos econo­mistas al escepticismo respecto de los análisis que requieren del conocimiento de u n sistema de demanda más o menos desagregado (Tresch, 1980). Por ello, sería una buena idea que, cuando se usen las estimaciones del SAP en el análisis de alguna política, los resultados se sometan a u n análisis de sensi­bi l idad, usando las estimaciones de algún otro sistema.

E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 3 3 1

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332 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

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E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 333

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334 ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S

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E S P E C I F I C A C I Ó N DE UN SISTEMA DE DEMANDA 335

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