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ESOAMatemática Aplicada a

Sistemas de Tiempo Real

Unidad nº 3: CEROS DE FUNCIONES -SISTEMAS OPTIMOS

Profesor: Ing. Christian L. Galasso



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ESOA Unidad nº 3: CEROS DE FUNCIONES - SISTEMAS OPTIMOS MASTR

Búsqueda Binaria.

Regula-Falsi.

Método de Newton-Raphson.

Método de la Secante.

Bibliografía: Métodos numéricos para ingenieros. 5°Edición. Steven C. Chapra.



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Métodos cerrados

Son aquellos métodos que aprovechan el hecho de que una funcióncambia de signo en la vecindad de un raíz (se denominan métodoscerrados o de intervalos). Como su nombre lo indica, dichos valoresiniciales deben “encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz. Los métodoque veremos emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamenteel tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta.

Como preámbulo veremos el método gráfico, que si bién no es un métodocerrado, es útil para visualizar las propiedades de las funciones y elcomportamiento de los diversos métodos numéricos.



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Método gráfico (No pertenece a los métodos cerrados)

Halle la raíz de f (x) = Ln (x + 2) – 2.Comenzamos por hacer una tabla.

Luego graficamos la curva.

x F (x)

0 -1,306852 -0,6137

4 -0,20824

6 0,07944

8 0,30258



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Viendo el gáfico se puede inferir que la raíz se encuentraentre 5 y 5,5.Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado, ya

que no son precisas. Sin embargo los métodos gráficos seutilizan para obtener aproximaciones de la raíz. Dichasaproximaciones se pueden utilizar como valores inicialesen los métodos numéricos que analizaremos más adelante.En la siguiente figura se ilustran las formas generales en

que puede ocurrir una raíz en un intervalo preescrito por los límites inferior xl y superior xu. Las figuras a y c muestransi f (xl) y f (xu) tienen el mismo signo, entonces no habrá

raíces dentro del intervalo o habrá un número par de ellas.Las figuras b y d muestran que si la f tiene signos diferentes

en los extremos, entonces habrá un número impar de raícesdentro del intervalo.



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La siguiente figura muestra excepciones a los casosgenerales mostrados anteriormente. En a se ve quepueden ocurrir raíces múltiples cuando la función es

tangencial al eje X. En este caso aunque en los puntosextremos del intervalo la f tiene signo contrario, hayun número par de raíces en el mismo. En b la funciónes discontínua y nuevamente tenemos un número par de raíces aunque los signos de la f en los extremos

sean distintos.



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Método de Bisección (o Binario)

Sea f (x) una función real y contínua, y [xl

,xu

] un intervalo del dominio de

dicha función. Si f (xl) tiene signo contrario a f (xu), es decir f (xl) * f (xu) < 0;

podemos afirmar que existe al menos una raíz en (xl,xu).

Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característicalocalizando un intervalo donde la f cambie de signo. Una ves encontrado,

comienza a dividir el intevalo en varios subintervalos. Se investiga c/u paraencontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a laraíz mejora a medida que los subintervalos se hacen c/vez más pequeños.El método de bisección, conocido también como de corte binario, de

partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda

incremental en el que el intervalo siempre se divide a la mitad. Si la f cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la f en el puntomedio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio delsubintervalo, dentro del cuál a ocurrido el cambio de signo. El proceso serepite hasta obtener una mejor aproximación.



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Resumen del algoritmo

Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xl , y superior, xu , que encierren la

raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto severifica comprobando que f (xl) * f (xu) < 0.

Paso 2: Una aproximación de la raíz xr se determina mediante:

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en quésubintervalo está la raíz:

a) Si f (xl) * f (xr ) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo

inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga xu = xr y vuelva al Paso 2.

b) Si f (xl) * f (xr ) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo

superior o derecho. Por lo tanto, haga xl = xr y vuelva al Paso 2.

c) Si f (xl) * f (xr ) = 0, entonces la raíz es igual a xr ; termina el cálculo.

x r = x l x u

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Ejemplo 5.3 – Pag 12: La fig muestra las primeras aproximaciones.

Otro ejemplo: Emplee el método de bisección para encontrar la raíz de lasiguiente ecuación: f (x) = Ln (x + 2) – 2.

Por observación de la gráfica sabemos que la raíz está entre 4 y 6. Por lotanto usaremos dicho intervalo para comenzar a aproximar. Arme una tablacon los valores de iteración, el error verdadero y el aproximado.



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Criterios de parada y estimación de errores

El εt se desconoce, ya que si se conociera el valor de la raíz, para quecalcularla. Se hace necesario estimar el error de forma tal que no senecesite conocer previamente el valor de la raíz. En el ejemplo anteriosvimos que εa > εt siempre, esto nos da la confianza de que cualquier

criterio que establezcamos con

εa se cumplira mucho más en εt .

Observe que la distancia entre

el valor verdadero de la raíz y el

punto medio del Intervalo nunca

es mayor que: ∆x/2.

a = ∣ x r

nuevo− x r

anterior

x r

nuevo ∣100%



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Criterios de parada y estimación de errores

Debido a que∆

x/2 = xr

nuevo

– xr

anterior

(Figura) la ecuación vistaproporciona un límite superior exacto del error verdadero. Para que serebase este límite, la raíz verdadera debe estar fuera del intervalo; lo cuálno es posible en el método de la bisección.



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Criterios de parada y estimación de

errores

Errores en el método de bisección.

Los errores verdadero y aproximado

se grafican contra el número de

Iteraciones.Ejemplo: Realice las gráficas

comparativas del error del ejemplo

anterior.



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Método de la falsa posición (Regula falsi)

El método de la bisección es relativamente ineficiente. La falsa posición esuna alternativa basada en un visualización gráfica.

Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo enmitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de f (xl) y

f (xu). Por ejemplo, si f (xl) está mucho más cercana a cero que f (xu), es

lógico que la raíz se encuentre más cerca de xl , que de xu (figura). Unmétodo alternativo que aprovecha esta visualización consiste en unir f (xl) y

f (xu) con una recta. La intersección de la recta con el eje X, representa una

mejor aproximación de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsaposición.

SO º C OS C O S S S S O OS S



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Usando semejanza de triángulos, la intersección de la línea recta con eleje X se estima mediante:f x l

x r − x l =

f x u

x r − x uEc 5.6 ; despejamos x r ⇒ x r = x u−

f x u x l − x u

f x l −f x uEc 5.7

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Ejemplo: Realice el mismo ejemplo desarrollado por método de labisección y compare resultados.

Aunque el método de la falsa posición parecería ser siempre la mejor opción entre los métodos cerrados, hay casos donde funciona de manera

deficiente. Ejemplo 5.6 – pag 136:Con los métodos de la falsa posición y de bisección localice la raíz de:

f (x) = x10 – 1; entre x = 0 y 1,3. Forme una tabla con las iteraciones,errores y valores. Dibuje también la gráfica de errores (tanto del método dela bisección como del método de la falsa posición) Vs. Iteraciones, en unaúnica gráfica. Conclusiones.

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El 2° ejemplo ilustra que, comúnmente,no es posible realizar generalizaciones con los métodos de obtención de raíces. Se puedeapreciar también una importante deventaja del regula falsi: suunilateralidad. Es decir, conforme avanzan las iteraciones, uno de lospuntos limitantes del intervalo tiende a permanecer fijo. Esto puede llevar auna mala convergencia, especialmente en funciones con una curvaturaimportante.

Falsa posición modificada

La forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falza posición consisteen obtener un algoritmo que detecte cuando se “estanca” uno de los límitesdel intervalo.

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Falsa posición modificada

La forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falza posición consisteen obtener un algoritmo que detecte cuando se “estanca” uno de los límitesdel intervalo. Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor de la función en elpunto de estancamiento. En resumen:

Si xu se repite mas de 2 veces → f (xu) = f (xu)/2. Si xl se repite mas de 2 veces → f (xl) = f (xl)/2.

Como ejemplo realizaremos el ejercicio anterior, en el cuál vimos que el

método de la falsa posición convergía mucho más lentamente que el de labisección. Conclusiones.




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ESOA Unidad n 3: CEROS DE FUNCIONES - SISTEMAS OPTIMOS MASTR

Búsquedas por incrementos y determinación de valores iniciales

Además de verificar una respuesta individual, se debe determinar si se hanlocalizado todas las raíces posibles. Como se mencionó, por lo general unagráfica de la función ayudará a realizar dicha taréa.

Otra opción es incorporar una búsqueda incremental al inicio del programa.

Esto consiste en empezar en un extremo del intervalo de interés y realizar evaluaciones de la función con pequeños incrementos a lo largo delintervalo. Si la f cambia de signo, se supone que la raíz está dentro delincremento. Los valores de x, al principio y al final del incremento, puedenservir como valores inciales del intervalo.




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Búsquedas por incrementos y determinación de valores iniciales

Un problema potencial de los métodos de búsqueda por incremento es elde escoger la longitud del incremento. Longitudes grandes, pueden hacer que raices próximas entre sí pasen inadvertidas. El problema se complicaaún más con la existencia de raíces múltiples. Un remedio parcial consisteen calclar f ' al inicio y al final de c/intervalo. Cuando la derivada cambia designo, puede existir un máx o un mín en ese intervalo, lo que sugiere una

búsqueda más minuciosa para detectar una posible raíz.

Si bien todas estas técnica automáticas ayudan, no son infalibles y seránecesario complemnetarlas con cualquier otra información que dé idea de

la localización de las raíces; como por ejemplo, graficar la función oentendiendo el problema físico de donde proviene la ecuación.




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Métodos abiertos

En los métodos cerrados vistos, la raíz se encuentra dentro de un intervalopredeterminado por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetidade estos métodos siempre genera aproximaciones c/v más cercanas a laraíz. Se dice que tales métodos son convergentes porque se acercanprogresivamente a la raíz a medida que se avanza en el cálculo.

En contraste los métodos abiertos que se describirán acontinuación sebasan en fórmulas que requieren un único valor de inicio x o un par devalores pero que no necesariamente tiene que encerrar a la raíz. Éstos,algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera, a medida que

avanzan. Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen, engeneral lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.

Vamos a empezar con un método simple que será útil para ilustrar suforma general y también para mostrar el concepto de convergencia.




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Métodos abiertos




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Iteración simple de punto fijo

Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz. Estafórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo(también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método depunto fijo), al arreglar la ecuación f (x) = 0 de tal modo que x esté del ladoizquierdo de la ecuación:

Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas osimplemente sumando x a c/lado de la ecuación original. Por ejemplo:

Otro ejemplo:

x =g x Ec 6.1

x 2−2 x 3=0 se arregla para obtener x =

x 23

2

sin x =0 se arregla para obtener x = sin x x




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Iteración simple de punto fijo

La utilidad de la Ec 6.1 es que proporciona una fórmula para predecir unnuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dadoun valor inicial para la raíz xi, la ecuación Ec 6.1 se utiliza para obtener una

nueva aproximación xi+1 , expresada por la fórmula iterativa.

Como otras fórmulas iterativas, el error aproximado se calcula como:

Ejemplo: Use iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de

f (x) = e - x – x ; tomando como valor inicial Xi = 0 y calculando hasta un εa menor al 1%.

x i 1=g x i Ec 6.2

a = ∣ x i 1− x i

x i 1∣100%




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Convergencia

Si observamos el error relativo porcentual verdadero en c/iteración delejemplo anterior, veremos que estan relacionados por un factor de 0,5 a0,6 del error anterior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal,es característica de la iteración simple de punto fijo.

Además dela velocidad de convergencia, en este momento debemosenfatizar la posibilidad de convergencia. Los conceptos de convergencia ydivergencia se pueden ilustrar gráficamente. Anteriormente se graficó una f para visualizar su estructura y comportamiento. Ese método se emplea enla figura 6.2 a para la función f (x) = e - x – x. Un método fráfico alternativoconsiste en separar la ecuación en 2 partes, graficando c/parte por separado, figura 6.2 b.




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Convergencia

Fig 6.2 a: f (x) = e - x – x.

Fig 6.2 b: f 1 (x) = x , y f 2 (x) = e - x .




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Convergencia

Representación gráfica en

a y b, de la convergencia;

en c y d de la divergencia.

Las gráficas a y c tienen un

comportamiento monótono

mientras que b y d tienen un

comportamiento oscilatorio

o en espiral.

note que la convergencia

se obtiene cuando:

|g '(x)| < 1.




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Método de Newton – Raphson

Una de las fórmulas más utilizadas par localizar raíces es la de Newton –Raphson. La siguiente figura es un esquema del cálculo que realiza lafórmula.




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Método de Newton – Raphson

Si el valor inicial para la raíz es xi

, entonces se puede trazar una tg esde el

punto [ xi ,f (xi) ] de la curva. Por lo común, el punto donde ésta tg cruza al

eje X representa una aproximación mejorada de la raíz.

La Ec. 6.6 se conoce como fórmula de Newton – Raphson.

Ejemplo: Utilice el método de Newton – Raphson para calcular la raíz def (x) = e - x – x empleando como valor inicial x0 = 0.

f ' x i =f x i −0

x i − x i 1

⇒ despejamos y obtenemos ⇒ x i 1 = x i −f x i

f ' x i

Ec 6.6




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Criterio de terminación y estimación de errores

Como en los métodos anteriores se utiliza la ecuación:

El análisis del error del método de Newton – Raphson, puede realizarse apartir de la expansión de la serie de Taylor.

a = ∣ x i 1− x i

x i 1∣100%




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Desventajas del método de Newton – Raphson

Aunque en gral. el método es muy eficiente, hay situaciones donde secomporta de manera deficiente. Por ejemplo en el caso especial de lasraíces múltiples. Sin embargo, también cuando se trata de raíces simples,se pueden encontrar dificultades, esta situación se ilustra en el siguienteejemplo:

Ejemplo: Determine la raíz positiva de f (x) = x10 – 1, usando el método deNewton – Raphson y un valor inicial de x0 = 0,5 .




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Desventajas del método de Newton –

Raphson

Luego de la primera predicción deficiente, latécnica converge a la raíz verdadera, 1,pero muy lentamente.En la figura vemos otros casos donde sepresentan dificultades en la convergencia

del método.Concluimos que no hay un criterio gral. deconvergencia para el método Newton -Raphson. Su convergencia depende de lanaturaleza de la función y de la exactitud

del valor inicial.




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Desventajas del método de Newton – Raphson

La única solución en estos casos es tener un valor inicial que seasuficientemente cercano a la raíz. Y para algunas funciones, ningún valor inicial funcionará.

Los buenos valores iniciales por lo común se predicen con un conocimientodel problema físico o mediante el uso de recursos alternativos, tales comográficas.

A la luz de este análisis, el programa se podría mejorar incorporandoalgunas consideraciones adicionales, como que al final de los cálculos senecesitará sustituir siempre la raíz final calculada en la función original,para determinar si el resultado se acerca a 0. Esta prueba protege eldesarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presentaconvergencia lenta u oscilatoria, la cuál puede llevar a valores pequeñosde εa, mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz. Deberá

alertar al usuario cuando f ' (x) = 0, para no realizar la división; etc.




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Método de la secante

Un problema potencial en la implementación del método de Newton –

Raphson es la evaluación de laderivada. Esto no es un incon_ veniente para los polinomios,ni para muchas otras f; peroexisten f cuyas derivadas en

ocasiones son muy difíciles decalcular. En dichos casos laderivada se puede aproximar mediante una diferencia finitadividida hacia atrás, como:

f ' x i ≃

f x i −1−f x i

x i −1− x i




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Método de la secante

Como puede observarse, esta técnica es similar a la anterior, en el sentido

de que una aproximación de la raíz se predice extrapolando una tg de la f al eje X. Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia divididaen lugar de una derivada para estimar la pendiente. Reemplazando laexpresión anterior en la Ec. 6.6 , obtenemos:

La Ec. 6.7 es la fórmula del método de la secante. Observe que el métodorequiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que no senecesita que f (x) cambie de signo entre los dos valores dados, este

método no se clasifica como un método cerrado.Ejemplo: Utilizando el método de la secante para calcule la raíz def (x) = e - x – x, empleando como valores iniciales x-1 = 0 y x0 = 1.

x i 1 = x i −

f x i x i −1− x i

f x i −1−f x i Ec 6.7




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Diferencia entre el método de la secante y el de la falsa posición

Si bién las ecuaciones del método de la falsa posición y del método de la

secante, son idénticas; ambas usan dos valores para calcular laaproximación de la pendiente de la función que se utiliza para proyectar hacia el eje x una nueva aproximación de la raíz. Sin embargo, existe unadiferencia significativa en la forma en que uno de los valores iniciales sereemplaza en la nueva aproximación. Mientras en la falsa posición, la

última aproximación de la raíz reemplaza cualquiera de los valores inicialesque dé un valor de la función con el mismo signo que f (xr ); en el método

de la secante se reemplazan los valores en secuencia estricta: con elnuevo valor xi+1 se reemplaza a xi y xi reemplaza a xi-1. En consecuencia,

algunas veces los dos valores están del mismo lado de la raíz. En ciertos

casos esto puede llevar a divergencias; esto nunca ocurre en el método dela falsa posición.




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Ejemplo: Utilice los métodos de la secante y de la falsa posición para

calcular la raíz de f (x) = ln x. Empiece los cálculos con los valores inicialesxl = xi-1 = 0 y xu = xi = 5 .

Método de la secante modificado

En lugar de usar dos valores arvitrarios para aproximar la derivada, unmétodo alternativo considera un cambio fraccionario de la variableindependiente para estimar f '(x), donde “δ” es un pequeño cambiofraccionario. Esta aproximación se sustituye en la Ec. 6.6 quedando de la

siguiente forma:

x i 1 = x i − f x i

f x i x i −f x i Ec 6.8




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Método de la secante modificado

Ejemplo: Con el método de la secante

modificado estime la raíz de f (x) = e - x – x.

Use un valor de 0,01 para δ y comience con

x0 = 1.

Una correcta elección de δ es fundamental

para llegar a un resultado coherente.



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Fin Unidad N°3

Todas las cosas me son lícitas, mas no todas convienen; todas las cosas

me son lícitas, mas yo no me dejaré dominar de ninguna. Ap.Pablo.

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