Equacions Diferencials Ordin`aries - MAT UPCpoden coexistir indeﬁnidament en “harmonia”....

Equacions Diferencials Ordinaries

Jordi VillanuevaDepartament de Matematica Aplicada I

Universitat Politecnica de Catalunya

23 d’octubre de 2009

Index

1 Introduccio 5

1.1 Les equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Breu ressenya historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Definicions i generalitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Interpretacio geometrica de les solucions . . . . . . . . . . . . 161.5 Motivacio i objectius de l’estudi de les edo’s . . . . . . . . . . 21

2 Existencia i unicitat de solucions 23

2.1 El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 El teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Prolongacio de solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Regularitat respecte condicions inicials 47

3.1 Formulacio del problema i notacio basica . . . . . . . . . . . . 473.2 Continuıtat respecte condicions inicials . . . . . . . . . . . . . 513.3 Derivades respecte condicions inicials . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Sistemes d’edo’s lineals 67

3

Capıtol 1

Introduccio

En aquest capıtol anem a presentar alguns conceptes basics en relacio a lesequacions diferencials ordinaries (o be, edo’s de forma abreujada), entre ellsla seva formalitzacio i interpretacio geometrica, aixı com un breu resum delseu desenvolupament historic i alguns comentaris “motivadors” del “perque”del seu estudi. El primer punt es ubicar les edo’s dins del context de lesequacions diferencials generals. En particular, els exemples de la Seccio 1.1tambe ens seveixen per ressaltar la vessant “practica” de les edo’s i de lesequacions diferencials en general.

1.1 Les equacions diferencials

Una definicio enciclopedica d’equacio diferencial pot ser la seguent:

Definicio 1.1. Una equacio diferencial es qualsevol equacio on les incog-nites son una o diverses funcions, que depenen d’una o diverses variables(independents) i que apareixen relacionades en l’equacio mitjancant les sevesderivades o derivades parcials.

Exemple 1.2. L’equacio diferencial mes simple es el calcul de primitives:donada la funcio f(x) busquem y = y(x) (funcio incognita) tal que

y′ = f(x), (1.1)

essent x la variable independent i ′ = ddx

.

Exemple 1.3. Sigui y = y(t) la funcio que ens dona el nombre d’individusd’una poblacio en funcio del temps. Com podem modelar la seva variacioen termes d’una equacio diferencial? L’aproximacio mes simple es degudaa Quetelet (1796-1874), qui va observar que “quan una poblacio pot creixer

5

6 CAPITOL 1. INTRODUCCIO

lliurement i sense obstacles, aleshores creix d’acord amb una progressio ge-ometrica”. Aquesta observacio ens porta a una equacio diferencial ordinariade primer ordre:

y′ = ry, (1.2)

segons la qual y(t) = y(0) exp(rt), on r = n − m, essent n la taxa de na-talitat i m la de mortalitat. Si r > 0, obtenim un creixement exponencialde la poblacio. Obviament (1.2) no es un model realista, ja que presuposal’existencia de recursos il·limitats.1 El mateix Quetelet va observar que “si eldesenvolupament de la poblacio topa amb obstacles de qualsevol mena, quetendeixen a frenar-lo i que operen de forma uniforme, aleshores la poblaciono creix indefinidament, sino que tendeix progressivament a un estat esta-cionari”. Verhulst, cap al 1844, va conjecturar que en el creixement normald’una poblacio apareix un factor inhibidor proporcional a y2, donant lloc auna equacio diferencial ordinaria (mes realista) de la forma

y′ = r(1 − y

K

)y, r,K > 0, (1.3)

coneguda com “equacio logıstica”. Aquesta equacio es pot resoldre de formaexpıcita, y(t) = Ky(0) exp(rt)/[K+y(0)(exp(rt)−1)], d’on constatem que siy(0) > 0 aleshores limt→+∞ y(t) = K. (K depen dels recursos disponibles.)

Una de les deficiencies d’aquests models es que en ells s’assumeix quela taxa de natalitat actua “instantaniament” sobre tota la poblacio, quanrealment hem de tenir en compte factors com el temps necessari per assolir lamaduresa, el perıode de gestacio, etcetera. Volterra va generalitzar l’equaciologıstica de forma que inclogues l’influencia de “l’herencia” en el creixementde la poblacio i va plantejar una equacio integro-diferencial per a y(t):

y′(t) = r(1 − 1

K

∫ t

−∞w(t− s)y(s)ds

)y(t), (1.4)

on la integral preten modelar la component hereditaria com la suma delsfactors individuals que trobem en el passat. Tıpicament, el “pes” (o nucliintegral) w(t) ≥ 0 de l’equacio (1.4) es una funcio en forma de “campana deGauss”(figura 1.1), que tendeix a zero quan t → ±∞ i que acumula bonapart de la seva “massa” al voltant d’un cert valor, t = T , que te a veure ambel temps necessari per assolir la maduresa. Podem simplificar l’equacio si ensposem en el cas extrem i suposem que tota la massa de w(t) esta acumuladaen el punt t = T , i. e., si triem w(t) = δ(t − T ) la funcio delta de Dirac

1Sı es cert que des de 1900 la poblacio humana ha crescut de forma exponencial . . .

1.1. LES EQUACIONS DIFERENCIALS 7

T t

w(t)

Figura 1.1: Tıpic exemple de funcio pes w(t) per a l’equacio (1.4).

centrada en el punt T . Amb aquesta tria la integral dona 2

∫ t

−∞δ(t− T − s)y(s)ds = y(t− T ),

per a tota funcio y(t) contınua en R. Aixı, l’equacio (1.4) redueix a

y′(t) = r(1 − 1

Ky(t− T )

)y(t). (1.5)

Es tracta d’una equacio diferencial amb retard, on valor de la derivada y′(t)depen del valor de y en l’instant t, pero tambe en un instant anterior, t−T .

En particular, observeu que mentre en les equacions (1.2) i (1.3) es sufi-cient donar el valor de y(0) per a determinar y(t) per a t ≥ 0, en l’equaciointegro-diferencial (1.4) cal coneixer d’entrada el valors de y(t) per a tott ≤ 0, i en l’equacio amb retard (1.5) cal donar y(t) per a tot t ∈ [−T, 0].

Un model de poblacio encara mes realista hauria de tenir en compte tambela distribucio concreta d’edats de la poblacio i aplicar, en cada instant detemps, taxes de natalitat i mortalitat diferenciades per edats. Aixo ens portaa parametritzar la poblacio en termes de dues variables: la variable temporali la variable “edat”. Aixı, y = y(t, s) ens dona el nombre d’individus que enl’instant t ≥ 0 tenen edat s ≥ 0. Si per simplificar les equacions prescindim

2De fet δ(t) no es una funcio i cal interpretar aquesta igualtat en termes de distribucions.


de la correccio “logıstica”, llavors podem modelar l’evolucio temporal de lapoblacio mitjancant una equacio en derivades parcials de primer ordre:

∂y

∂t= −∂y

∂s−m(s)y, (t, s) ∈ (0,+∞) × (0,+∞), (1.6)

onm(s) es la taxa de mortalitat i el terme −∂y∂s

correspon a l’envelliment de lapoblacio. En aquest model la taxa de natalitat, n = n(s), l’hem d’introduirmitjancant una condicio de frontera, quan s = 0, donada per la integral:

y(t, 0) =∫ +∞

0n(s)y(t, s)ds.

Exemple 1.4. A mes dels models de poblacio anteriors podem considerarmodels ecologics per a diverses especies biologiques “interaccionant” en unmateix medi. Volterra va proposar el 1926 les seguents equacions

x′ = Ax− Bxy,y′ = −Cy +Dxy.

(1.7)

conegudes com equacions de Lotka–Volterra.3 Es tracta d’un sistema d’e-quacions diferencials ordinaries (de primer ordre i dimensio dos) que descriuun model ecologic depredador-presa, essent x = x(t) i y = y(t) les densitatsde preses i de depredadors en l’instant t, respectivament. Per la seva banda,A,B,C,D son constants positives que podem interpretar com:

A Es el coeficient que controla el creixement de les preses en absencia dedepredadors (“taxa de natalitat”, vegeu l’exemple 1.3).

B Controla com els depredadors “devoren” les preses. El fet que aquestterme intervingui mitjancant el producte xy s’interpreta com la proba-bilitat que una presa i un depredador arribin a trobar-se.

C Controla la mortalitat dels depredadors.

D Controla el creixement dels depredadors (i. e., com creix la seva taxade natalitat en funcio del nombre de preses).

Un dels punts mes interesants d’aquest model tan simple es l’existencia d’unasolucio periodica estable (cicle lımit) en la qual els depredadors i les presespoden coexistir indefinidament en “harmonia”.

3Lotka va deduir les mateixes equacions per a una reaccio quımica.

1.1. LES EQUACIONS DIFERENCIALS 9

y

•

W

m

l

?R

Figura 1.2: El pendol matematic.

Exemple 1.5. Les equacions diferencials tambe apareixen de manera natu-ral en el context de la mecanica. Aixı, l’equacio del pendol matematic esl’equacio que modela les oscil·lacions d’una barnilla rıgida, indeformable ide massa menyspreable, que pengem d’un dels seus extrems de forma quepot oscil·lar lliurement (i sense friccio) en un pla paral·lel a la vertical. Del’altre extrem hi penja una massa puntual sotmesa a una gravetat constant.Obtenim una equacio diferencial ordinaria de segon ordre de la forma

y′′ = −gl

sin y, (1.8)

on y = y(t) es l’angle que forma la barnilla amb la vertical (orientat positiva-ment) i t es el temps. Per la seva banda, l i g son, respectivament, la longitudde la barnilla i l’acceleracio de la gravetat. Observeu que el moviment de lamassa m que penja del pendol es produeix sobre una circunferencia de ra-di l. Aixı doncs, per obtenir l’equacio del pendol cal descomposar el pesW = mg en la seva component normal (W cos y) i la seva component tan-gencial (W sin y). Si suposem que la barnilla es indeformable, la componentnormal del pes s’ha de compensar amb la tensio que exerceix la barnilla pertal de mantenir la seva longitud constant, mentre que la component tangen-cial l’hem d’igualar al producte de m per l’acceleracio tangencial de la massapuntual que hi penja (ly′′). Vegeu la figura 1.2.

Exemple 1.6. Com a ultim exemple d’equacio diferencial considerem l’e-


quacio que modela la difusio de la calor en un solid Ω ⊂ R3 isotrop,

∂u

∂t= a2

3∑

i=1

∂2u

∂2xi, (1.9)

on u = u(t, x) (calor o temperatura) es la funcio incognita, essent t ≥ 0(temps) i x = (x1, x2, x3) ∈ Ω (punt del solid) les variables independents.La constant a s’anomena coeficient de difusio. L’equacio de la calor es unaequacio en derivades parcials de segon ordre. Observeu que a mes de l’equa-cio (1.9) tambe cal donar quin es el regim de temperatures en la frontera delsolid ∂Ω (frontera aıllada, amb temperatura constant, que estem escalfant orefredant, . . . ).

Exemple 1.7. Finalment, volem esmentar breument els anomenats sistemesdinamics discrets que, si be no son equacions diferencials, els podem motivarfacilment a partir d’aquestes. Es tracta de treballar amb un comptador detemps “discret” enlloc de continu, que podem obtenir, per exemple, discre-titzant les derivades d’una equacio diferencial per diferencies finites. Aixı, siens fixem en l’equacio del pendol (1.8) obtenim

y(t+ h) − 2y(t) + y(t− h)

h2= −g

lsin y(t),

on h > 0 es el pas de discretitzacio. Si considerem nomes els instants detemps tn = nh, n ∈ Z, i definim yn = y(nh), ε = −gh2/l, obtenim la seguentequacio en diferencies finites per a ynn∈Z:

yn+1 − 2yn + yn−1 = ε sin yn, n ∈ Z.

Si definim vn = yn − yn−1 li podem associar l’aplicacio 2-dimensional

(ynvn

)7→(yn+1

vn+1

)=

(yn + vn + ε sin ynvn + ε sin yn

), (1.10)

coneguda com aplicacio estandard de Chirikov, que es un model matematicmolt popular per a estudiar fenomens relacionats amb el caos determinista.

Retornant al context de la biologia, en algunes especies la reproduccionomes es desenvolupa en certes epoques i, a mes, no hi ha “solapament”entre generacions successives (o nomes entre les generacions mes proximes).Llavors, es clar que podem modelar la poblacio mitjancant un comptador detemps “discret”: nomes ens cal donar la seva evolucio despres d’un “perıodereproductiu” (tıpicament un any). El model de poblacio mes antic es preci-sament un model discret degut a Fibonacci (pseudonim pel que es coneix a

1.2. BREU RESSENYA HISTORICA 11

Leonardo de Pisa) qui en 1202 va modelar el creixement de la poblacio deconills —a partir d’una parella inicial— amb el sistema discret:

yn+1 = yn + yn−1, n ≥ 0, y0 = 1, y1 = 1, (1.11)

on yn es el nombre de parelles (mascle–femella) de conills engendrats en lageneracio n. Aquest model suposa que en cada etapa reproductiva intervenennomes els conills de les dues generacions anteriors, i que cada parella en ge-nera una de nova. S’obte aixı la famosa successio dels nombres de Fibonacci:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. . . . En el lımit, obtenim un creixement exponencial delnombre de conills, de forma que limn→+∞Nn/Nn+1 = (

√5−1)/2 es l’anome-

nada rao auria o nombre d’or, que apareix en diversos contexts de la natura(com en el creixement espiral de la closca d’alguns moluscs).

Nosaltres estudiarem nomes les anomenades equacions diferencials or-dinaries (edo’s pels ja iniciats), que son equacions diferencials amb una o mesfuncions incognita depenents d’una unica variable independent. Per tant, enuna equacio diferencial ordinaria nomes apareixen derivades respecte d’unavariable i no pas derivades parcials. El context d’equacions diferencials on lafuncio o funcions incognita depenen de mes d’una variable independent (comles equacions (1.6) o (1.9)) es coneix com equacions en derivades parcials (oedp’s) i es forca mes complexe que el de les edo’s.

En tot cas, no tota equacio diferencial on no apareguin derivades parcialses una equacio diferencial ordinaria! Sinteticament, una equacio diferencialordinaria es una equacio diferencial amb una unica variable independent, enque per avaluar l’equacio per una funcio donada (suposant una unica funcioincognita) i en un valor de la variable independent donat, nomes cal coneixerel valor de la funcio en aquest punt i el de les seves derivades fins un ordrefinit en el mateix punt, pero no cal coneixer els valors de la funcio o de lesseves derivades en d’altres punts. En la Seccio 1.3 donarem una definiciomes precisa d’equacio diferencial ordinaria, pero observeu que dels exemplesanteriors (1.1), (1.2), (1.3), (1.7) i (1.8) encaixen com a edo’s (de fet (1.7) esun sistema d’edo’s), pero no son edos’s (1.4), (1.5), (1.6) ni (1.9).4

1.2 Breu ressenya historica

Abans de ficar-nos de ple en l’estudi de les edo’s (definicions i propietats)podem aturar-nos un moment per fer una petita recopilacio d’algunes deles contribucions historiques mes importants que han permes configurar lesequacions diferencials ordinaries tal com les coneixem avui en dia.

4Es clar que els sistemes “discrets” (1.10) i (1.11) no son equacions diferencials.


El nom equatio differentialis va ser proposat per Leibniz el 1676. L’origende les equacions diferencials ordinaries el trobem en els metodes de calculdiferencial i integral desenvolupats per Newton i Leibniz a finals del segleXVII per resoldre problemes motivats per la fısica i la geometria.

La fonamentacio de les equacions diferencials ordinaries com una novabranca de les matematiques es basicament deguda als treballs d’Euler al segleXVIII. Euler va ser el primer en entendre i definir el concepte de “funcio”.Aquest fet va tenir un gran impacte per estudiar les solucions de les edo’s.

Al segle XIX l’arribada de l’analisi matematica a les equacions diferencialsva permetre una formulacio rigorosa de l’area (amb la introduccio de la nociode “lımit”). Gracies als treballs de Cauchy, Lipschitz, Peano i Picard vaser possible establir els primers resultats que demostraven l’existencia desolucions de les edo’s sota condicions molt generals sobre l’equacio. A mes, calmencionar l’establiment de les importants relacions entre l’analisi complexai les equacions diferencials (podem citar a Gauss i a Cauchy).

Finalment, des de principis del segle XX, i comencant pels treballs dePoincare, la contribucio mes important ha estat l’anomenada teoria qualitati-vad’equacions diferencials ordinaries. Crec que mereix la pena esquematitzarla significacio que la “teoria qualitativa” te dins de l’area.

Historicament, la manera d’entendre les solucions de les equacions di-ferencials ha anat evolucionant. Inicialment, trobar una solucio volia direxpressar-la en termes de funcions elementals. Quan es va constatar queaixo rarament era possible, els matematics es conformaven en trobar les so-lucions per quadratures, i. e., les solucions podien venir donades per relacionsimplıcites en les quals podien intervenir el calcul de primitives de funcionsconegudes i el calcul d’inverses de funcions congudes.

Exemple 1.8. y(x) = sin x+ x2 es solucio explıcita de y′′ + y = x2 + 2.

Exemple 1.9. y(x) − log y(x) =∫ x0 es

2ds defineix implıcitament y = y(x)

solucio de (y − 1)y′ = yex2

(solucio per quadratures).

Malgrat aquesta “generalitzacio” del concepte de solucio, els matematicsrapidament varen constatar que en general no es possible expressar les so-lucions ni en forma explıcita ni per quadratures. Aixı, si be sota condicions“raonables” podem demostrar que una edo donada te solucions, generalmenthem de renunciar a obtenir “formules tancades” per a elles. Alternativament,en el segle XVII, Newton va afirmar que “totes les edo’s es poden resoldreusant series de potencies amb coeficients indeterminants”. Durant molt detemps les series de potencies varen esdevenir un metode molt popular percalcular o aproximar solucions de les edo’s. . . sense que ningu en questionesla “convergencia” o, encara menys!, la possible no existencia de les solucions.

1.3. DEFINICIONS I GENERALITATS 13

Com a enfocs “moderns” per a estudiar les solucions de les edo’s tenimper un costat el calcul numeric (ja iniciat per Euler al segle XVIII), que s’hadesenvolupat fortament al llarg del segle XX en paral·lel a la informatica ia les millores en la potencia de calcul dels ordinadors, i per l’altre costat lateoria qualitativa, que intenta establir (rigorosament) propietats d’aquestessolucions sense coneixer-les explıcitament.5 Per assolir aquesta finalitat, lateoria qualitativa usa eines matematiques de tota mena: analisi matematica,topologia, geometria algebraica, . . . . Un exemple de resultat tıpic en teoriaqualitativa es que, en alguns casos, es possible establir el comportamentasimptotic de les solucions d’una edo, quan el temps tendeix a infinit, sensenecessitat de coneixer les solucions.

1.3 Definicions i generalitats

De cara a iniciar el seu estudi, el primer punt es definir rigorosament el queentenem per una edo i per a solucio d’una edo.

Definicio 1.10. Una equacio diferencial ordinaria (edo) d’ordre m es unarelacio de la forma

F (t, x, x′, . . . , x(m)) = 0, (1.12)

on

F : V ⊂ R × Rm+1 → R

(t, (x, x′, . . . , x(m))) 7→ F (t, x, x′, . . . , x(m))

essent V (domini de F ) un obert. Aixı, direm que una funcio x = σ(t),

σ : (a, b) ⊂ R → R,

es solucio de (1.12) si, essent ′ = ddt

, llavors

F (t, σ(t), σ′(t), . . . , σ(m)(t)) = 0, ∀t ∈ (a, b).

Es a dir, una solucio d’una edo d’order m es una funcio tal que les sevesm primeres derivades compleixen una certa relacio en tot punt.

Exemple 1.11. (i) y′ = y es una edo de primer ordre: F (x, y, y′) = y′−y.5En 1908 Poincare va dir: “En el passat una equacio es considerava resolta nomes si era

possible expressar les seves solucions en temes d’un nombre finit de funcions conegudes;aixo es tot just possible un cop de cada mil. El que sempre podem fer, o almenys el quesempre hem d’intentar fer, es considerar el problema qualitatiu, aixo es, mirar de trobarla forma general de la corba que representa la funcio desconeguda.”


(ii) x′′′ = 6t + x′′ + x2 es una edo de tercer ordre: F (t, x, x′, x′′, x′′′) =x′′′ − 6t− x′′ − x2.

(iii) y′(x) = y(y(x)) no es una edo.

(iv) x′(t) = x(t− 1) no es una edo (es una equacio diferencial amb retard).

(v) y′(x) =∫ x0 (1 + (y(s))2)1/2ds no es una edo (es una equacio integro-

diferencial). Ara be, si derivem l’equacio obtenim una edo per a y(x):y′′ = (1 + y2)1/2. Malgrat aixo, no tota equacio integral o integro-diferencial la podem transformar en una edo.

Definicio 1.12. Si tenim una edo en que intervenen diverses funcions incog-nita (depenents d’una unica variable independent) relacionades mitjancantdiverses equacions, parlarem d’un sistema d’edo’s. L’ordre del sistema eldefinim com l’ordre maxim de derivacio que apareix en les equacions i ladimensio del sistema es el nombre d’incognites o d’equacions funcionalmentindependents que el defineixen (suposarem ambdues quantitats coincidentsja que nomes tractarem sistemes expressables en “forma estandard” (1.14)).

Exemple 1.13. Sistema d’edo’s de segon ordre i dimensio dos:

y′′1 + y′2 + cos(y1)y′1 + log t = 0,

y′1 + y2 + sin(y1) + et = 0.

Si reprenem la discussio de l’edo (1.12), observem que estudiar la formu-lacio general de les equacions diferencials ordinaries obliga a tractar exemplesmolt “patologics”. Aixı, de forma natural apareixen equacions que no tenencap solucio (p. ex., (x′)2 + 1 = 0) o que involucren en una unica equaciomes d’una edo (p. ex., (x′ − 1)(x′ − t) = 0). Obviament el mateix succeeixamb els sistemes d’edo’s generals de la definicio 1.12 (p. ex., el sistema del’exemple 1.13 no te cap solucio!). La forma usual per “esquivar” aquestscasos patologics (tant des del punt de vista dels resultats teorics com performular metodes numerics) es considerar equacions de la forma seguent.

Definicio 1.14. Anomenarem edo en forma estandard a tot sistema d’edo’sde primer ordre i dimensio n (arbitraria) de la forma,

y′ = f(t, y) (1.13)

on y = (y1, . . . , yn) (vector d’incognites) i f = (f1, . . . , fn), essent:

f : U ⊂ R × Rn → R

n

(t, y) 7→ f(t, y).

1.3. DEFINICIONS I GENERALITATS 15

Exemple 1.15. Si considerem el sistema d’edo’s seguent,

y′1 = y1 + sin(t)y22 + t,

y′2 = y1y2 + log(t),

llavors y = (y1, y2) i f(t, y) = (y1 + sin(t)y22 + t, y1y2 + log(t)).

Si aquesta es la formulacio “estandard”, que fem amb l’equacio (1.12)?

Definicio 1.16. Direm que l’equacio (1.12) es pot expressar en forma normalsi podem aıllar la derivada d’ordre maxim que apareix en l’equacio, x(m), entermes de t, x i de les seves derivades d’ordre menor que m, i. e.,

x(m) = G(t, x, x′, . . . , x(m−1)). (1.14)

Si (1.12) verifica ∂F∂x(m) 6= 0, la podem expressar en forma normal almenys

localment. Llavors la podem re-escriure en forma estandard com segueix.

Proposicio 1.17. Una edo d’ordre m en forma normal es pot re-escriurecom un sistema de primer ordre i dimensio m equivalent (equivalent vol dirque si resolem una de les equacions podem trobar les solucions de l’altre).

Demostracio: Nomes cal introduır m funcions incognita adequades y =(y1, . . . , ym), definides per y1 = x, y2 = x′,. . . , ym = x(m−1). Llavors, l’equa-cio (1.14) esdeve y′ = f(t, y), on:

y′1 = y2 ≡ f1

y′2 = y3 ≡ f2

· · ·y′m−1 = ym ≡ fm−1

y′m = G(t, y1, . . . , ym) ≡ fm.

Exemple 1.18. Considerem l’equacio del pendol (1.8), x′′ = −a2 sin x, idefinim y = (y1, y2) com y1 = x i y2 = x′. Llavors

y′1 = y2, y′2 = −a2 sin y1.

Aixı, y′ = f(y) on f(y) = (y2,−a2 sin y1). (En aquest cas f no depen de t.)

D’ara en endavant, si no diem res en sentit contrari, quan parlem d’edo’s ensreferirem a sistemes d’edo’s de primer ordre i dimensio n (arbitraria) donatsen la forma estandard (1.13).


xa x0 b

y

y0

r

p0

y = σ(x)

-

6

Figura 1.3: y = σ(x) es la grafica d’una solucio de l’edo y′ = f(x, y) i r es larecta tangent a aquesta solucio en el punt p0 = (x0, y0).

Definicio 1.19. Direm que l’edo (1.13) es autonoma si f no depen de lavariable independent t, i. e., y′ = f(y).

Proposicio 1.20. L’edo n-dimensional (1.13) la podem re-escriure com unaedo (n+ 1)-dimensional autonoma equivalent.

Demostracio: Si definim y0 = t i y = (y0, y) ∈ Rn+1, aleshores:

y′0 = 1, y′ = f(y0, y) = f(y).

Es a dir, y′ = f(y) es autonoma, on f(y) = (1, f(y)).

En general, la reduccio d’una edo no autonoma a autonoma no es necessariapel seu estudi, pero pot ser util en alguns casos (pot evitar tenir que fertractaments diferenciats del cas autonom i del no autonom).

1.4 Interpretacio geometrica de les solucions

Per questions de visualitzacio grafica ens restringirem al cas n = 1.Considerem doncs l’edo 1-dimensional y′ = f(x, y) i sigui y = σ(x) una

solucio definida per a x ∈ (a, b) (i. e., σ′(x) = f(x, σ(x)), ∀x ∈ (a, b)). En lafigura 1.3 hem dibuixat la grafica en el pla (x, y) d’aquesta funcio.

1.4. INTERPRETACIO GEOMETRICA DE LES SOLUCIONS 17

1

1

Figura 1.4: Les flexes indiquen les pendents corresponents a la funciof(x, y) = xy en el punt base de la flexa. Les lınies puntejades son cor-bes solucio de l’edo y′ = xy. Veritat que nomes mirant les flexes ja es veuper on passaran les solucions?

Si considerem la recta tangent a la grafica de y = σ(x) en el punt p0 =(x0, y0), essent y0 = σ(x0), aquesta recta te pendent σ′(x0) = f(x0, σ(x0)) =f(p0). Es a dir, si una solucio de l’edo y′ = f(x, y) passa pel punt p0, aleshoresla pendent de la solucio en aquest punt ve donada per f(p0).

Aixı doncs, podem interpretar les solucions de l’edo y′ = f(x, y) de laforma seguent: donada una funcio f que assigna una pendent a cada puntdel pla (x, y), una solucio de l’edo es una corba en el pla tal que en cada puntpel que passa te pendent determinada pel valor que f assigna a aquell punt.Per tant, podem dir que les solucions d’una edo son corbes que “segueixenla pendent” prefixada per f .

Exemple 1.21. Considerem l’edo y′ = f(x, y) = xy. En la figura 1.4 podeuveure un dibuix del “camp de pendents” generat per f en el pla (x, y). Ames, en aquest cas es molt senzill calcular les solucions de l’edo, que venendonades per la famılia 1-parametrica de corbes y(x, c) = cex

2/2, c ∈ R. En lafigura 1.4 hem representat tambe algunes d’aquestes corbes solucio.

Una altra forma de visualitzar les solucions son les corbes isoclines.

Definicio 1.22. Donada una edo 1-dimensional y′ = f(x, y), anomenarenisoclines a les corbes de nivell de f , i. e., les corbes del pla (x, y) definidescom el lloc geometric dels punts que tenen una pendent prefixada.


1

1

Figura 1.5: Les corbes representades per lınies contınues son les isoclines del’edo y′ = xy. Sobre cadascuna d’aquestes corbes (hiperboles en aquest cas)la pendent es constant i l’hem indicat amb flexes que neixen de l’isoclinacorresponent. Les corbes puntejades son solucions de l’edo.

Exemple 1.23. La isoclina de pendent m ∈ R per a y′ = f(x, y) = xy es:

Im := (x, y) ∈ R2 : xy = m.

Per tant, Im es l’hiperbola y = m/x. Podeu veure un dibuix en la figura 1.5.

Per una edo de dimensio n qualsevol la interpretacio geometrica de lessolucions d’una edo es analoga, i. e., corbes en l’espai (n + 1)-dimensionalque segueixen la pendent prefixada per f .

Atenent als exemples considerats, es clar que no hem d’esperar que unaedo donada tingui “solucio unica”, sino que de forma natural el conjunt de lesseves solucions determina una “famılia” de funcions depenent de parametres.Anomenarem solucio general al conjunt de totes les solucions d’una edo.

Exemple 1.24. L’exemple “motivador” es el calcul de la primitiva d’unafuncio f(x) donada, definida per a x ∈ I interval de R. L’equacio es y′ = f(x)i la solucio general es y(x, c) =

∫ xx0f(s)ds + c, on x0 ∈ I es un valor fixat i

c ∈ R es un parametre que pot pendre valors arbitraris.

Aixı, la solucio general d’una edo n-dimensional de la forma y′ = f(x, y)“depen” de n parametres mentre que, p. ex., la d’una edo n-dimensional de laforma y′′ = g(x, y, y′) “depen” de 2n parametres.6 Les cometes del “depen”

6y′′ = g(x, y, y′) es equivalen al sistema de primer ordre y′ = z, z′ = g(x, y, z).

1.4. INTERPRETACIO GEOMETRICA DE LES SOLUCIONS 19

es deuen al fet de que cal que f i g siguin funcions “prou bones” per poder feraquestes afirmacions de forma categorica. Aixo ho discutirem en el capıtol 2.

Exercici 1.25. Digueu de quants parametres depen la solucio general delseguent sistema d’edo’s:

y′′1 − y′1 − x cos y2 − y′′3 = 0

y′2 − x sin y2 − y′′3 − ex = 0

y′′1 − y1 + y′′3 − (y′3)2 = 0.

Ho podeu fer “a vista”, pero per xequejar que el sistema “te sentit” no estade mes que primer el transformeu en un sistema de primer ordre “estandard”.(L’heu d’escriure en forma normal. Penseu que vol dir en aquest cas.)

En el context de les famılies de corbes ens podem plantejar tambe el“problema invers”: donada una famılia de corbes que depen de parametres(“un feix de corbes”), volem trobar una edo que la tingui com a solucio.

Proposicio 1.26. Sigui F ∈ C1(Ω), Ω ⊂ R3 obert, definida de la forma

F : Ω ⊂ R2 × R → R

((x, y), c) 7→ F (x, y, c)

i considereu la famılia de corbes en el pla (x, y) definida implıcitament perl’equacio F (x, y, c) = 0 (c es un parametre). Sigui (x0, y0, c0) ∈ Ω verificant

F (x0, y0, c0) = 0, DyF (x0, y0, c0) 6= 0, DcF (x0, y0, c0) 6= 0.

Aleshores, les equacions

F (x, y, c) = 0, DxF (x, y, c) +DyF (x, y, c)y′ = 0,

defineixen localment una edo de la forma y′ = f(x, y) que te la famılia decorbes com a solucio. (DxF , DyF i DcF denoten les derivades parcials.)

Demostracio: La condicio DcF (x0, y0, c0) 6= 0 permet aıllar c en funcio de(x, y) com a solucio de F = 0 (localment entorn (x0, y0, c0)). Obtenim doncsc = c(x, y). La condicio DyF (x0, y0, c0) 6= 0 permet expressar les corbes dela famılia de la forma y = y(x, c). Si derivem y(x, c) respecte de x obteniml’equacio DxF +DyFy

′ = 0. Aixı, la famılia de corbes es solucio de l’edo:

y′ = −DxF (x, y, c(x, y))

DyF (x, y, c(x, y))= f(x, y).


x

y

c1 c2 c3

Figura 1.6: Tres paraboles de la famılia y = (x − c)2 per c = c1, c2, c3. Lesbranques dibuixades com a corbes contınues verifiquen l’edo y′ = +2

√y i les

pintades de forma discontınua y′ = −2√y. La corba y = 0 es tangent a totes

les paraboles de la famılia i defineix una solucio singular de (y′)2 = 4y.

Exemple 1.27. Considerem la famılia de paraboles y = (x− c)2. En aquestcas F (x, y, c) = y − (x− c)2. Observeu que:

F = 0 ⇐⇒ y − (x− c)2 = 0 ⇐⇒ c = x±√y

DxF +DyFy′ = 0 ⇐⇒ −2(x− c) + y′ = 0 ⇐⇒ y′ = 2(x− c).

Obtenim doncs: y′ = ±2√y. Quin paper juga el ± en l’equacio?

DyF = 1 6= 0, DcF = 2(x− c) = 0 ⇐⇒ x = c.

Per tant, la condicio DcF 6= 0 ens diu que segons x > c o x < c hem de triaruna equacio o una altra (fixeu-vos en el signe de y′ = 2(x− c) i compareu-loamb el de y′ = ±2

√y). El problema es que per a cada punt del semi-pla

y > 0 passen dues corbes de la famılia, i per tant tenim dues edo’s i no una.Vegeu la figura 1.6. Si volem una unica edo que les aglutini hem d’escriure(y′)2 = 4y, pero aquesta equacio no es pot expressar en forma normal.7

Obviament es pot generalitzar la proposicio 1.26 a famılies de corbesmulti-parametriques i multi-dimensionals.

Exercici 1.28. Trobeu l’edo satisfeta per les circumferencies del pla.8

7La corba y = 0 es tangent a totes les paraboles y = (x − c)2 (envolvent de la famılia)i tambe verifica l’edo (y′)2 = 4y (solucio singular). Compareu amb l’exemple 2.4.

8L’equacio general de les circumferencies del pla es (x−a)2 +(y−b)2 = c2 on a, b, c ∈ R

1.5. MOTIVACIO I OBJECTIUS DE L’ESTUDI DE LES EDO’S 21

equacio diferencial ordinariaen molts casos unaModel matematic:

que governa el fenomen estudiatLlei objectiva (“matematica”)

Problema real

Estudi matematic del model

Resultats

model real: prediccionsInterpretacio en termes del

Analisi matematicaMetodes numericsAlgebraGeometria diferencialTeoria de controlTopologia . . .

-

?

?

6

6

6

Figura 1.7: Com interaccionen les matematiques i la realitat.

1.5 Motivacio i objectius de l’estudi de les

edo’s

Quines raons tenim per a estudiar les equacions diferencials ordinaries?

I. Per l’honor de les (ciencies) matematiques!

II. Les edo’s son una eina molt potent per modelar matematicament pro-blemes del mon real en multitud d’arees de la ciencia i la tecnologia:apareixen de forma natural en fısica, astronomia, enginyeria, quımica,economia, biologia, . . . .9 Podem il·lustrar esquematicament la interac-cio entre matematiques i “realitat” mitjancant l’equema de la figura 1.7.

son tres parametres. Si expressem y = y(x) i derivem tres cops l’equacio podem eliminarels parametres i obtenir (1 + (y′)2)y′′′ = 3y′(y′′)2.

9“El mon que ens envolta esta escrit en llenguatge matematic” (Galileo Galilei). “Nohi ha cap branca de les matematiques, per abstracta que sigui, que algun dia no pugui seraplicada als fenomens del mon real” (Nikolai Ivanovich Lobachevsky).


La motivacio principal de la modelitzacio matematica de problemes realsper equacions diferencials ordinaries la trobem en les lleis de Newton de lamecanica. A Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1686) Newtondiu: “El canvi en la velocitat del moviment es proporcional a la forca motriui te lloc en la direccio de la lınia recta segons la qual aquesta forca actua”.Matematicament, si x(t) es la funcio que ens dona la posicio (en R

3) d’unapartıcula en funcio del temps, aleshores:

• x′(t) = dxdt

(t) ens dona la variacio instantania de la posicio en l’instantt, que anomenem velocitat instantania.

• x′′(t) = d2xdt2

(t) ens dona la variacio instantania de la velocitat en l’ins-tant t, que anomenem acceleracio instantania.

Aixı doncs, si denotem per m la massa de la partıcula:10

m× x′′(t) =∑

Forces externes que actuen sobre la partıcula en l’instant t.

Finalment, quins son els objectius que de forma natural ens hem de plan-tejar en abordar l’estudi les equacions diferencials ordinaries?

I. L’objectiu inherent a tota equacio: resoldre-la, i. e., trobar totes lesseves solucions (tambe es diu integrar una edo).

II. Objectius “realistes” mes precisos:

- Existencia i unicitat de solucions.

- Prolongacio de solucions.

- Calcul de solucions.

- Regularitat de les solucions (respecte condicions inicials i para-metres) a partir de la regularitat de les funcions que defineixenl’equacio.

- Calcul de les solucions o de solucions concretes.

- Solucions de tipus particular (punts fixos, solucions periodiques,solucions asimptotiques a d’altres solucions, . . . ).

- Propietats qualitatives de les solucions (p. ex., el seu comporta-ment asimptotic o estabilitat).

- Aplicacions de les edo’s a models matematics de la ciencia i latecnologia.

- Etcetera.

10Aquest postulat ja l’hem usat per deduir l’equacio del pendol (1.8).

Capıtol 2

Existencia i unicitat de

solucions

L’objectiu basic d’aquest capıtol es demostrar rigorosament existencia i uni-citat de solucions (locals) de l’anomenant problema de Cauchy per a una edode la forma (1.13), sota condicions de regularitat per f el mes febles possible.Tot seguit, discutirem fins “on” podem prolongar aquestes “solucions locals”.

2.1 El problema de Cauchy

Un cop hem motivat que les solucions de les equacions diferencials ordinariesformen famılies parametriques o multi-parametriques, en quin sentit podemparlar amb propietat “d’unicitat de solucions d’una edo”? El que farem esintroduir condicions que “etiquetin” les solucions de les edo’s, de forma quesigui raonable esperar que a cada valor de “l’etiqueta” li correspongui unaunica solucio. Son les anomenades condicions inicials.

Definicio 2.1. Donat el sistema d’edo’s n-dimensional y′ = f(t, y) i valors(t0, y0) ∈ R × R

n (condicions inicials), el problema de Cauchy o problemade valors inicials (PVI) associat a aquestes dades consisteix en buscar y(t)solucio de l’edo verificant y(t0) = y0.

Exemple 2.2. Considereu el PVI 1-dimensional

y′ = ay, y(t0) = y0,

essent a ∈ R un valor fixat. La solucio general de y′ = ay es y(t; c) = ceat,on c ∈ R es un parametre arbitrari. Si volem c0 tal que y(t0; c0) = y0 cal quec0 = y0e

−at0 . Per tant, l’unica solucio d’aquest PVI es y(t) = y0ea(t−t0).

23

24 CAPITOL 2. EXISTENCIA I UNICITAT DE SOLUCIONS

Definicio 2.3. Si considerem una edo d’ordre m de la forma (1.12), i. e.,F (t, x, x′, . . . , x(m)) = 0, un PVI per a aquesta equacio consisteix en donar

condicions inicials de la forma (t0, (x0, x′0, . . . , x

(m−1)0 )) ∈ R × R

m i buscar

x(t) solucio de l’edo tal que x(t0) = x0, x′(t0) = x′0, . . . , x(m−1)(t0) = x

(m−1)0 .

Si expresseu l’edo (1.12) en forma normal (1.14) i la transformeu en unsistema de primer ordre equivalent, us haurıeu de convencer rapidament queambdues definicions de PVI son equivalents.

Malauradament, existeixen edo’s molt simples per a les quals no tenimexistencia i unicitat de solucions per a tot PVI.

Exemple 2.4. Considereu l’edo y′ = 3y2/3. Es immediat verificar quey(t; a) = (t−a)3, a ∈ R, es una famılia de solucions de l’equacio. Si busquemsolucions de l’edo tals que y(0) = 0, obtenim que y(t; 0) = t3 es l’unica funciode la famılia verificant aquestes condicions inicials. Ara be, y(t) = 0 tambees solucio de l’edo i verifica y(0) = 0. Pero y(t) = 0 no pertany a la famıliade cubiques y(t; a) (aixo vol dir que y(t; a) no es la solucio general de l’edo).Per tant, tenim existencia pero no unicitat de solucio del PVI

y′ = 3y2/3, y(0) = 0.

De fet es facil veure que per a qualsevol condicio inicial (t0, y0) ∈ R2 el PVI

y′ = 3y2/3, y(t0) = y0, (2.1)

te infinites solucions. En la figura 2.1 hem representat tres solucions de (2.1)pel punt (1, 1). Malgrat l’existencia d’infinites solucions passant per (1, 1),observeu que el que sı que es cert es que hi ha unicitat local de solucions delPVI (2.1) entorn del punt (1, 1). Concretament, totes les solucions per (1, 1)son coincidents si t ≥ 0 i donades per la cubica y(t; 0) = t3. Identic resultat

d’unicitat local val si y0 > 0 i t ≥ a0 = t0−y1/30 , essent y(t; a0) l’unica solucio

local. Tot es analeg si y0 < 0. En canvi, la unicitat local no es certa si y0 = 0,ja que hi ha infinites solucions de (2.1) en qualsevol entorn de t = t0.

Una explicacio “rapida” del perque no hi ha unicitat local de solucionsde (2.1) si y0 = 0, es que la funcio que defineix l’edo, f(y) = 3y2/3, es contınuaen tot R pero no es derivable en y = 0, ja que f ′(y) = 2y−1/3 es fa “infinita”.La no derivabilitat de la funcio no es el fet clau en sı, pero que la derivadasigui infinita te com a consequencia que f(y) no es “Lipschitz” en cap entornde y = 0. Com veurem en el teorema de Picard (d’existencia i unicitat desolucions, teorema 2.15), la condicio Lipschitz es clau per demostrar unicitatde solucions locals d’un PVI, mentre com es prova al teorema de Peano, lacontinuıtat es suficient per establir la seva existencia (teorema 2.31).

2.1. EL PROBLEMA DE CAUCHY 25

(1,1)

(1,1) (1,1)

Figura 2.1: En la figura superior hem dibuixat tres cubiques de la famıliay(t; a) = (t−a)3. En particular, y(t; 0) = t3 es l’unica corba de la famılia quepassa pel punt (1, 1). En la figura inferior-esquerra hi ha una segona soluciode l’edo y′ = 3y2/3 pel punt (1, 1), obtinguda enganxant el tros de cubicay(t; 0) = t3 per t ≥ 0 amb la corba y(t) = 0 per t ≤ 0. Observeu que els dostrossos enganxen de forma C2. En la figura inferior-dreta hi ha una tercerasolucio de l’edo pel punt (1, 1) (tambe C2) obtinguda enganxant tres trossosde corbes: y(t; 0) = t3 per t ≥ 0, y(t) = 0 per −1 ≤ t ≤ 0 i y(t;−1) = (t+1)3

per t ≤ −1.


π2

−π2

Figura 2.2: La funcio y(t) = tan(t).

Una altra questio que hem de tenir present si volem formular qualsevolresultat sobre existencia de solucions d’una edo, es l’interval de valors de lavariable independent pel qual estan definides les solucions. Aixı, per exemple,si y(t) es solucio de y′ = f(t, y) on la funcio f esta definida ∀t ∈ R, aixo noimplica necessariament que y(t) tambe estigui definida ∀t ∈ R. Parlant deforma informal, si el domini de f en la “direccio” de la variable y es finit,pot ser que les solucions arribin a la frontera del domini per a un valor finitde t i no puguin ser prolongades mes enlla. Pero tampoc si f esta definida∀(t, y) ∈ R × R

n podem garantir que les solucions estiguin definides ∀t ∈ R.Pot ser que hi hagin solucions que “s’escapin a l’infinit” per a un valor finitde t (i tinguin doncs una “asımptota vertical”). Aixo no te res a veure ambla regularitat (contınua, Lipschitz, diferenciable, . . . ) de f , sino amb el seu“creixement” quan |y| → +∞. Com a mostra, vegeu el seguent exemple.

Exemple 2.5. y′ = 1 + y2 esta definida ∀(t, y) ∈ R2 i f(y) = 1 + y2 es C∞.

• Solucio general: y(t, c) = tan(t+ c), ∀c ∈ R.

• y(t) = tan(t) es (l’unica) solucio del PVI y(0) = 0, pero nomes estadefinida per a t ∈ (−π/2, π/2). Vegeu la figura 2.2.

2.1. EL PROBLEMA DE CAUCHY 27

Establir si les solucions de y′ = f(t, y) estan definides ∀t ∈ R pot ser encerts casos un objectiu “fonamental”, com p. ex. si es preten abordar l’estudiel seu comportament asimptotic quan t→ +∞. Malauradament, en generales un resultat molt difıcil de provar i en pocs casos (p. ex., si les solucionsson acotades o |f(t, y)| creix com a molt linealment en |y| quan |y| → +∞)es possible establir resultats generals en aquest sentit.1

Amb tots aquests comentaris hem volgut motivat el perque en l’enunciatdel teorema de Picard nomes podem garantir que les “solucions locals” estandefinides en intervals per a t que, en alguns casos, poden ser molt petits encomparacio amb el domini de f . Mes endavant, en la seccio 2.3, introduiremla nocio “d’interval maximal” de definicio d’una solucio d’una edo i discutiremfins “on” podem prolongar aquestes solucions.

Excepte en exemples “patologics”, com y′ = 3y2/3 amb y0 = 0, les condici-ons inicials son una bona forma d’etiquetar les solucions d’una edo. Malgrataixo, no sempre son les condicions “naturals” per demanar a aquestes soluci-ons. En molts problemes poden interessar d’altres tipus de condicions sobreles solucions, essent les mes usuals les anomenades condicions de frontera(problemes amb valors a la frontera o PVF). Es tracta de buscar solucionsd’una edo que compleixin certes condicions que involucren valors de la solucio(i potser de les seves derivades) en dos punts diferents (en els definicio 2.1de PVI nomes interve un punt, t = t0), que son els extrems de l’intervalon considerem l’equacio. La casuıstica que presenten les solucions dels PVF(existencia i unicitat de solucions, no existencia de solucions, multiples solu-cions) es molt mes rica que la dels PVI’s, fins i tot si considerem equacionsque verifiquin existencia i unicitat de solucions per a cada PVI donat.

Exemple 2.6. Considereu l’edo x+x = 0. La seva solucio general es x(t) =A cos t + B sin t, ∀A,B ∈ R. Llavors, pels problemes seguents tenim lessolucions que ressenyem tot seguit (exercici):

• PVI: x(t0) = x0, x(t0) = x0: x(t) = x0 cos(t−t0)+ x0 sin(t−t0) (soluciounica). (Exercici: Expresseu A i B en termes de t0, x0 i x0.)

• PVF: x(0) = 0, x(π/2) = 1: x(t) = sin t (solucio unica).

• PVF: x(0) = 0, x(π) = 1: Cap (no existencia de solucions).

• PVF: x(0) = 0, x(π) = 0: x(t) = B sin t, ∀B ∈ R (infinites solucions).

1En mecanica celest, hi ha exemples amb 5 cossos en R3 on un d’ells escapa a l’infinit

en temps finit a base d’acumular energia passant prous cops “prop” de col·lisio amb elsaltres (escapament super-hiperbolic). Es clar que no es consideren correccions relativistes!


2.2 El teorema de Picard

En aquesta seccio anem a enunciar i demostrar el resultat basic sobre exis-tencia i unicitat de solucions de les edo’s, conegut com teorema de Picard.Per enunciar-lo ens cal introduir algunes definicions previes.

Definicio 2.7. Donada F : U ⊂ Rn → R

m direm que F es Lipschitz ambconstant de Lipschitz L > 0 (o be L-Lipschitz) sı i nomes sı:

|F (x1) − F (x2)| ≤ L|x1 − x2|, ∀x1, x2 ∈ U.

Les | · | indiquen normes qualsevol en Rn i R

m.

Comentari 2.8. La definicio de funcio Lipschitz no depen de les normestriades (en R

n i Rm) en el sentit seguent: si canviem les normes aleshores F

continua essent Lipschitz, encara que potser amb una constant diferent.

La definicio 2.7 s’esten de manera natural al contexte d’espais metrics.

Definicio 2.9. Donada F : X → Y , essent (X, d) i (Y, d′) espais metrics,direm que F es L-Lipschitz sı i nomes sı:

d′(F (x1), F (x2)) ≤ Ld(x1, x2), ∀x1, x2 ∈ X.

Definicio 2.10. Donada F : U ⊂ Rn → R

m, U obert, direm que es localmentLipschitz si per a tot x0 ∈ U existeixen Lx0 > 0 i Vx0 ⊂ U entorn de x0 talsque F|Vx0

: Vx0 ⊂ Rn → R

m es Lx0-Lipschitz.

Comentari 2.11. F localment Lipschitz vol dir que entorn de cada punt po-dem definir una constant de Lipschitz. Ara be, si fem creixer Vx0 la constantLx0 tambe pot creixer tendir a infinit si ens acostem a la frontera ∂U .

Comentari 2.12. Si F ∈ C1 en U conjunt convex i |DF | ≤ L en U (| · | esaquı la norma matricial associada a les normes vectorials triades), aleshoresF es L-Lipschitz en U (consequencia directa del teorema del valor mig multi-dimensional). En particular, F ∈ C1 implica F localment Lipschitz.

Exercici 2.13. Demostreu que F es localment Lipschitz en U ⊂ Rn ⇐⇒

F|K es Lipschitz ∀K ⊂ U compacte.2

2Es mes entretingut del que pot semblar a primer cop d’ull: no es cert que si teniu unrecobriment finit d’un compacte K per entorns oberts i F es Lipschitz en cadascun delsentorns, el maxim de les constants de Lipschitz sigui constant de Lipschitz de F en K.

2.2. EL TEOREMA DE PICARD 29

Definicio 2.14. Donada

F : U ⊂ Rm × R

n → Rl

(x, y) 7→ F (x, y),

direm que F es Lipschitz respecte de y si existeix L > 0 tal que

|F (x, y1) − F (x, y2)| ≤ L|y1 − y2|, ∀(x, y1), (x, y2) ∈ U.

(Observeu que la “primera coordenada” esta fixada.)

Ara ja podem enunciar el teorema de Picard (d’existencia i unicitat desolucions d’equacions diferencials ordinaries).

Teorema 2.15. Sigui f = f(t, x) una funcio definida en Ω ⊂ R×Rn → R

n,Ω obert, contınua i localment Lipschitz respecte de x. Donats (t0, x0) ∈ Ω,siguin a, b > 0 tals que el “rectangle” 3

Ra,b(t0, x0) := (t, x) ∈ R × Rn : |t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b (2.2)

verifica Ra,b(t0, x0) ⊂ Ω. Definim

M := sup(t,x)∈Ra,b(t0,x0)

|f(t, x)|, α := mina, b/M.

Aleshores existeix una unica solucio x(t) del PVI

x′ = f(t, x), x(t0) = x0, (2.3)

definida per a t ∈ Iα(t0) := [t0 − α, t0 + α].

Comentari 2.16. Els valors de a, b i per tant els de M,α estan fortamentcondicionats pel punt (t0, x0). Observeu a mes que el valor de α depen deM , pero no de cap constant de Lipschitz de f (com ja hem dit, la condicioLipschitz nomes es garant de la unicitat de solucio, pero no de l’existencia).

Comentari 2.17. El teorema de Picard nomes garanteix existencia i unicitatde solucio definida per a t ∈ Iα(t0) (que pot ser un interval molt petit) i nodiu res sobre que succeeix amb aquesta solucio fora d’aquest interval. Enprincipi, no hem demostrat que admeti prolongacio o que no poguem perdrela unicitat. El que sı podem concloure de la demostracio del teorema dePicard es la unicitat de solucio local del PVI, i. e., si x(t) es una altra soluciodefinida per a t ∈ Iα′(t0), amb α′ < α, aleshores x(t) = x(t), ∀t ∈ Iα′(t0)(vegeu de nou la figura 2.1). La prolongacio de solucions mes enlla de Iα(t0)la discutirem en la seccio 2.3.

3En la definicio de Ra,b(t0, x0) usem indistintament | · | per indicar el valor absolut enR i una norma qualsevol en R

n.


Comentari 2.18. Podem garantir que f(t, x) es localment Lipschitz res-pecte de x si la norma de la matriu diferencial de f respecte a la “segona”variable (la variable x) esta acotada en qualsevol compacte dins Ω (i. e.,supRa,b(t0,x0) |D2f | < +∞). Aixı doncs, malgrat l’aspecte tan tecnic de l’e-

nunciat, podem aplicar el teorema de Picard a tota f ∈ C1(Ω) i establir pera tals funcions existencia i unicitat de solucio local.

Exercici 2.19. Trobeu l’interval mes gran pel qual el teorema de Picardgaranteix existencia i unicitat de solucio del PVI x′ = 1 + x2, x(0) = 0. 4

Per demostrar el teorema 2.15 hem de discutir algunes questions de cairetecnic. Primer, recordem el teorema del punt fix en espais metrics complets.

Definicio 2.20. Sigui (X, d) un espai metric i F : X → X. Direm que F escontractiva si existeix 0 < k < 1 tal que

d(F (x), F (y)) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

(Aixo es, F es k-Lipschitz amb k < 1. Tambe direm que F es k-contractiva.)

Teorema 2.21. Sigui (X, d) un espai metric complet i F : X → X con-tractiva. Aleshores, F te un unic punt fix p ∈ X (i. e., p = F (p)) ilimn→+∞ F n(x0) = p, ∀x0 ∈ X.

No demostrem el teorema del punt fix ja que es un resultat basic del’analisi matematica que suposem ben conegut pel lector. El que sı demos-trarem es la seguent variacio del teorema 2.21.

Corol·lari 2.22. Sigui (X, d) un espai metric complet i F : X → X tal queFm es una contraccio per algun m ≥ 1. Aleshores, F te un unic punt fix p ilimn→+∞ F n(x0) = p, ∀x0 ∈ X.

Demostracio: Sigui p l’unic punt fix de G := Fm. Facilment podem verifi-car que p tambe es punt fix de F . En efecte,

Fm(p) = p =⇒ Fm+1(p) = F (p) =⇒ G(F (p)) = F (p),

d’on deduım que F (p) tambe es punt fix de G i per unicitat F (p) = p. Ames, es clar que p es l’unic punt fix de F .

Malauradament, amb aquest argument no demostrem el caracter “atrac-tor” de p com a punt fix de F , que es important en alguns resultats teorics.Per veure-ho, prenem x0 ∈ X qualsevol i considerem els punts:

x0, F (x0), F2(x0), . . . , F

m−1(x0) (m punts).

4Solucio: [−α, α] amb α = maxb>0b/(1 + b2) = 1/2.


Aleshores, les seguents m successions convergeixen a p (quan l → +∞):

x0, G(x0), G2(x0), . . . Gl(x0), . . .→ pF (x0), G(F (x0)), G2(F (x0)), . . . Gl(F (x0)), . . .→ p

· · ·Fm−1(x0), G(Fm−1(x0)), G2(Fm−1(x0)), . . . Gl(Fm−1(x0)), . . .→ p.

Aixo es clar degut al caracter contractiu de G = Fm. Donat que tenimun nombre finit de successions, podem afirmar que totes elles convergeixen“uniformement”. Aixo vol dir que, donat ε > 0, existeix Kε ∈ N tal que sil ≥ Kε aleshores d(Gl(F s(x0)), p) ≤ ε, per a tot s ∈ 0, . . . , m−1 (on s = 0vol dir que el punt inicial es x0, s = 1 que es F (x0), . . . ). Aquesta condicioes equivalent a dir que d(F lm+s(x0), p) ≤ ε si l ≥ Kε i s ∈ 0, . . . , m− 1. Apartir d’aquı es clar que F n(x0) → p quan n→ +∞. En efecte, donat ε > 0sigui n ≥ mKε. Aleshores tenim que d(F n(x0), p) ≤ ε, ja que si fem la divisioentera de n per m obtenim n = lm+ s amb l ≥ Kε i s ∈ 0, . . . , m− 1.

El seguent punt a discutir es l’anomenada forma integral del problemade Cauchy, que usarem profusament com a eina teorica per atacar multiplesquestions en relacio a les solucions de les edo’s.

Proposicio 2.23. Donat el PVI:

x′ = f(t, x), x(t0) = x0,

essent f una funcio almenys contınua. Es equivalent trobar una solucio x(t)(derivable) d’aquest PVI a trobar una solucio contınua de l’equacio integral

x(t) = x0 +∫ t

t0f(s, x(s))ds. (2.4)

Demostracio: Si x(t) es una solucio contınua de l’equacio integral (2.4), pelteorema fonamental del calcul la funcio t 7→ ∫ t

t0f(s, x(s))ds es derivable i per

tant x(t) tambe ho es. Clarament x′(t) = f(t, x(t)) i x(t0) = x0.Si x(t) es solucio del PVI (derivable i per tant contınua), l’unic que cal fer

es integrar respecte de t l’expressio x′(t) = f(t, x(t)), prenent com extremsd’integracio t0 i t, i observar que

∫ t

t0x′(s)ds = x(t) − x(t0) = x(t) − x0.


Per constatar la utilitat d’aquesta caracteritzacio integral del PVI, anem aveure com ens permet concatenar de forma directa trossos de solucions d’unaedo dels quals, a priori, nomes sabem que enganxen de forma contınua. Esl’anomenat principi de concatenacio de solucions.

Proposicio 2.24. Considerem l’edo x′ = f(t, x), essent f una funcio al-menys contınua. Sigui y(t) una solucio definita per t ∈ [a, b] i z(t) una altrasolucio definida per a t ∈ [b, c], tals que y(b) = z(b). Llavors la funcio x(t),definida per a t ∈ [a, c] per

x(t) =

y(t), si t ∈ [a, b]z(t), si t ∈ [b, c]

tambe es solucio de l’edo.

Demostracio: Es clar que x(t) es contınua per a tot t ∈ [a, c] i que x(t0) =x0, essent t0 = b i x0 = y(b) = z(b). Com que, per hipotesis, cada “tros” dex(t) es solucio de l’edo, en el corresponent costat de l’interval [a, c] i a mesverifica el mateix PVI en el punt t0, per la proposicio anterior obtenim quey(t) i z(t) admeten la seguent representacio integral:

y(t) = x0 +∫ t

t0f(s, y(s))ds, t ∈ [a, b],

z(t) = x0 +∫ t

t0f(s, z(s))ds, t ∈ [b, c].

Aixı doncs, es immendiat veure que la funcio x(t) definida per concatenaciode y(y) i z(t) verifica l’equacio integral (2.4) per a tot t ∈ [a, c], i per tant essolucio de l’edo en tot l’interval.

Ara ja podem demostrar el teorema de Picard.

Demostracio del teorema 2.15: En primer lloc, observeu que

Ra,b(t0, x0) = Ia(t0) × Bb(x0),

onBb(x0) := x ∈ R

n : |x− x0| ≤ b.D’ara en endavant, en el ben entes que el punt base sempre es (t0, x0), sim-plement escriurem Ra,b, Ia, Iα i Bb.

Sigui (E, ‖ · ‖) l’espai de Banach definit per E = C(Iα,Rn) (i. e., funcions

contınues definides en Iα amb valors a Rn) i ‖ϕ‖ = supIα |ϕ| per a ϕ ∈ E

(norma del suprem). Considerem el conjunt X = C(Iα, Bb). Es clar que


b

b

x0

ϕ

F (ϕ)

t0 − a t0 − α t0 t0 + α t0 + a t

x

Ω

Figura 2.3: Aquesta figura es un intent de representar alguns dels ingredientsinvolucrats en la demostracio del teorema de Picard (per a n = 1).

X ⊂ E es un subconjunt tancat de E (amb la topologia induıda per ‖ · ‖).Per tant, si anomenem d a la distancia associada a ‖·‖, i. e., d(ϕ, ψ) = ‖ϕ−ψ‖per ϕ, ψ ∈ E, llavors (X, d) es un espai metric complet.

Sigui F : X → X la funcio (“funcional no lineal”) definida per:

F (ϕ)(t) := x0 +∫ t

t0f(s, ϕ(s))ds.

El nostre objectiu es demostrar que F te un unic punt fix, que sera la soluciodel PVI. Per fer-ho veurem:

(i) F esta ben definida (i. e., F (X) ⊂ X).

(ii) F es Lipschitz (i per tant contınua).

(iii) Fm es una contraccio si m ≥ 1 es prou gran.

Aixı doncs, com a consequencia del corol·lari 2.22, obtenim l’existencia iunicitat d’aquest punt fix.


Comencem verificant (i). Sigui ϕ ∈ X = C(Iα, Bb) i volem veure queF (ϕ) ∈ X. Sabem que f esta definida i es contınua en Ra,b = Ia ×Bb ⊂ Ω, iper tant s ∈ Iα 7→ f(s, ϕ(s)) esta ben definida i es contınua. Aixo es clar jaque si s ∈ Iα aleshores (s, ϕ(s)) ∈ Iα × Bb ⊂ Ra,b. D’aquı deduım que F (ϕ)es una funcio contınua5 en Iα (i de fet C1, pero no ho usem). Per establir queF (ϕ) ∈ X nomes cal veure que F (ϕ)(t) ∈ Bb, ∀t ∈ Iα. En efecte,

|F (ϕ)(t) − x0| =

∣∣∣∣∫ t

t0f(s, ϕ(s))ds

∣∣∣∣ ≤ |t− t0| sups∈Iα

|f(s, ϕ(s))|, t ∈ Iα.

Ara usem que sups∈Iα |f(s, ϕ(s))| ≤ supRa,b|f | ≤ M i que |t − t0| ≤ α si

t ∈ Iα per obtenir

|F (ϕ)(t) − x0| ≤ αM ≤ b

MM = b, (2.5)

ja que α = mina, b/M ≤ b/M . Amb aixo hem provat (i).Vegem ara (ii). Siguin ϕ1, ϕ2 ∈ X, tenim:

(Fϕj)(t) = x0 +∫ t

t0f(s, ϕj(s))ds, ∀t ∈ Iα j = 1, 2.

Si restem:

(Fϕ1)(t) − (Fϕ2)(t) =∫ t

t0(f(s, ϕ1(s)) − f(s, ϕ2(s))ds.

Usem ara que f es localment Lipschitz respecte de x. Aixo vol dir que existeixL > 0 (associada al compacte Ra,b) tal que

|f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|, ∀t ∈ Iα, ∀x1, x2 ∈ Bb.

Per tant,

|(Fϕ1)(t) − (Fϕ2)(t)| ≤ L|t− t0|‖ϕ1 − ϕ2‖, ∀t ∈ Iα. (2.6)

Aixı doncs, es clar que F : X → X es (Lα)-Lipschitz respecte a la distanciainduıda per ‖ · ‖,

‖(Fϕ1) − (Fϕ2)‖ ≤ Lα‖ϕ1 − ϕ2‖.

En particular, F es un funcional contınu. El que no te perque ser cert es queLα < 1, i per tant potser F no es contractiva en general.6 Per veure que Fm

5Ull amb aixo!!! El que diem es que donada ϕ ∈ X , la funcio F (ϕ)(·) : Ia → Rn es

contınua. No hem demostrat encara que F : X → E sigui un “funcional continu”.6Observeu que si re-definim α = mina, b/M, 1/(2L), aleshores F es (1/2)-contractiva

i ja hem acabat. Quina es la pega? Que aleshores α depen de la constant de Lipschitzlocal, L. El que veurem a continuacio es que de fet aquesta dependencia no es necessaria.


es una contraccio si m es prou gran, el que farem es iterar la desigualtat (2.6)i demostrar que, per a tot m ≥ 1,

|(Fmϕ1)(t) − (Fmϕ2)(t)| ≤Lm|t− t0|m

m!‖ϕ1 − ϕ2‖, ∀t ∈ Iα. (2.7)

Clarament (2.6) ens dona (2.7) per a m = 1. Procedim ara per induccio.Suposem (2.7) certa per a un cert m ≥ 1 i verifiquem que tambe ho es per am+ 1. En efecte:

|(Fm+1ϕ1)(t) − (Fm+1ϕ2)(t)| =

∣∣∣∣∫ t

t0(f(s, (Fmϕ1)(s)) − f(s, (Fmϕ2)(s))ds

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ t

t0L|(Fmϕ1)(s) − (Fmϕ2)(s)|ds

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∣

∫ t

t0

Lm+1|s− t0|mm!

ds

∣∣∣∣∣ ‖ϕ1 − ϕ2‖

=Lm+1|t− t0|m+1

(m+ 1)!‖ϕ1 − ϕ2‖, ∀t ∈ Iα.

Aixo acaba l’induccio. Com a consequencia de (2.7) obtenim

‖(Fmϕ1) − (Fmϕ2)‖ ≤ (Lα)m

m!‖ϕ1 − ϕ2‖,

i per tant Fm es una contraccio si m es prou gran per tal que (Lα)m/m! < 1.Aixo prova (iii).

Comentari 2.25. Si en el teorema de Picard canviem X = C(Iα, Bb) perX ′ = C(Iα′ , Bb), amb 0 < α′ < α, aleshores la mateixa demostracio ens donaexistencia i unicitat de solucio de (2.3) definida ∀t ∈ Iα′ , que te que ser doncsla restriccio de la definida en Iα a l’interval Iα′ . D’aquı deduım la unicitatde solucio local comentada anteriorment.

Comentari 2.26. Per altra banda, hom pot preguntar-se si pot existir al-guna solucio del PVI (2.3), definida tambe ∀t ∈ Iα, pero que no pertanyi alconjunt de funcions X = C(Iα, Bb). A la demostracio del teorema de Picardhem definit el conjunt X a priori, i el fet que tinguem unicitat de solucionsen X no es suficient per descartar que no hi pugui haver cap altra solucio,definida en Iα, pero que surti de Bb. Anem a veure que aixo no es possible.Sigui x = x(t) una solucio de (2.3) definida ∀t ∈ Iα, pero tal que x /∈ X.Consequentment, x(t′) surt de Bb per algun t′ ∈ Iα. Aixo ho podem formularcom segueix. Suposem (per exemple) que t′ > t0 i aleshores podem afirmarque existeix 0 < α′ < α tal que x(t) ∈ Bb ∀t ∈ [t0, t0 + α′] i que x(t0 + α′)


esta en la frontera de Bb, i. e., |x(t0 +α′)−x0| = b. Pero aixo no es possible,ja que usant la formula integral per x(t) obtenim (vegeu (2.5)) que

|x(t0 + α′) − x0| ≤ α′M < αM ≤ b,

i per tant x(t0 + α′) no pot estar en la frontera de Bb.

Comentari 2.27. En particular, el teorema de Picard ens proporciona unamanera d’aproximar (de forma “constructiva”) les solucions del PVI (2.3) ique es coneix com a metode iteratiu de Picard. Concretament,

x0(t) = x0, xk+1(t) = x0 +∫ t

t0f(s, xk(s))ds, k ≥ 0,

defineix recurrentment una successio de funcions que, sota les condicions delteorema, convergeix quan k → +∞ cap a la solucio del PVI.

Exemple 2.28. Si apliquem el metode iteratiu de Picard al PVI

x′ = x, x(0) = 1,

obtenim la recurrencia

x0(t) = 1, xk+1(t) = 1 +∫ t

0xk(s)ds, k ≥ 0,

que genera la successio de funcions,

x1(t) = 1 +∫ t

0x0(s)ds = 1 +

∫ t

01ds = 1 + t,

x2(t) = 1 +∫ t

0x1(s)ds = 1 +

∫ t

0(1 + s)ds = 1 + t+

t2

2,

· · ·

En general, xk(t) = 1+ t/1!+ t2/2!+ t3/3!+ · · ·+ tk/k!. Clarament, obtenimlimk→+∞ xk(t) = et (uniformement sobre compactes).

Insistint de nou en el caracter local de la solucio del teorema de Picard,observeu que encara que f estigui definida per a valors de t amb |t− t0| > α,la restriccio t ∈ Iα(t0) ve motivada per dos fets:

(i) El tamany de M condiciona el tamany de α, ja que si α es molt granla solucio pot sortir del domini en la direccio “x”. Per aixo restringimels valors de (t, x) a un compacte, Ra,b, i imposem αM ≤ b.

(ii) En la demostracio ens cal que f tingui una constant de Lipschitz finitarespecte de x, i de nou aixo nomes ho podem garantir si treballem enun domini compacte.


Si afegim mes condicions a l’enunciat del teorema de Picard podem esquivaraquestes dues restriccions i obtenir un resultat global com el que segueix, onla solucio del PVI esta definida pels mateixos valors de t que f .

Proposicio 2.29. Sigui f = f(t, x) una funcio definida en [a, b]×Rn → R

n,contınua i (globalment) Lipschitz respecte de x. Aleshores, donats (t0, x0) ∈[a, b] × R

n, existeix una unica solucio x(t) del PVI

x′ = f(t, x), x(t0) = x0,

definida ∀t ∈ [a, b].

La demostracio d’aquest resultat la deixem com a exercici. (Indicacio:Repetiu la demostracio del teorema 2.15 canviant X = C(Iα, Bb) per X =C([a, b],Rn). Ara, ni el comentari (i) ni el (ii) suposen cap problema.)

Usant aquesta versio global del teorema de Picard podem obtenir elseguent resultat d’existencia i unicitat de solucions dels sistemes d’edo’s li-neals, i. e., sistemes on f(t, x) sigui una funcio lineal respecte de x (vegeu elcapıtol 4 per a un estudi detallat d’aquestes equacions). En poques paraules,si l’edo es lineal i contınua les seves solucions estan definides globalment, pera tot valor de t pel qual l’equacio tingui sentit. Aixo encara que l’interval dedefinicio de l’equacio sigui no acotat! Malauradament, aquest resultat tantpotent no s’esten, en general, al cas de les edo’s no-lineals.

Proposicio 2.30. Sigui I ⊂ R un interval (qualsevol) i A(t), b(t) funcionscontınues per a tot t ∈ I, amb valors en Mn×n(R) i R

n, respectivament.Aleshores, donats (t0, x0) ∈ I × R

n, existeix una unica solucio x(t) del PVI

x′ = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0, (2.8)

definida per a tot t ∈ I.

Demostracio: Si I es tancat i acotat el resultat es consequencia directade la proposicio 2.29. En efecte, observeu que f(t, x) = A(t)x + b(t) escontınua en I × R

n i Lipschitz respecte de x, amb constant de LipschitzL = supt∈I |A(t)| < +∞ (on | · | es la norma matricial).

Si I no es compacte (no tancat i/o no acotat), escrivim I = ∪m∈NIm, onIm = [am, bm] es tancat i acotat, amb t0 ∈ Im. Aplicant la proposicio 2.29 alPVI (2.8) en Im × R

n, obtenim, per a cada m ≥ 1, una unica solucio xm(t)definida per a tot t ∈ Im. Per unicitat de solucions es clar que xm(t) = xm′(t)si t ∈ Im ∩ Im′ . Aleshores, definim x(t) de la forma seguent. Donat t ∈ Itriem m ∈ N tal que t ∈ Im i fem x(t) = xm(t) (valor independent del mtriat). Es clar que x(t) es l’unica solucio (global) del PVI. 1


La condicio Lipschitz de l’enunciat del teorema de Picard es fonamental per agarantir unicitat de solucions (recordeu l’exemple 2.4), pero no es necessariaper a demostrar existencia de solucions. Aixı, si f es contınua pero no local-ment Lipschitz podem enunciar el seguent resultat, conegut com teorema dePeano.


n,Ω obert, almenys contınua. Donats (t0, x0) ∈ Ω, siguin a, b > 0 tals que elrectangle (2.2) compleixi Ra,b(t0, x0) ⊂ Ω. Definim

M := sup(t,x)∈Ra,b(t0,x0)

|f(t, x)|, α := mina, b/M.

Aleshores, el PVIx′ = f(t, x), x(t0) = x0, (2.9)

te almenys una solucio x(t) (potser no unica!) definida per a t ∈ Iα(t0).

La demostracio d’aquest resultat la farem combinant el teorema de Picardamb dos resultats classics de l’analisi matematica que enunciem tot seguit(pero que no demostrarem). El primer es el teorema d’Arzela-Acoli.

Teorema 2.32. Sigui (K, d) un espai metric compacte i I un conjunt defuncions de la forma f : K → R

n. Suposem que les funcions de I son:

(i) Uniformement equi-contınues: ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si x, x′ ∈ Kverifiquen d(x, x′) ≤ δ i f ∈ I, llavors d(f(x), f(x′)) ≤ ε. Aixo es,δ = δε, pero no depen de x, x′ ni de f .

(ii) Uniformement acotades: ∃M > 0 tal que ∀f ∈ I i ∀x ∈ K, llavors|f(x)| ≤M . Aixo es, M no depen ni de f ni de x.

Llavors, donada una successio (fk)k∈N de funcions fk ∈ I, existeix una sub-successio (fkp

)p∈N uniformement convergent en K.

Comentari 2.33. Per verificar equi-continuıtat el mes raonable es intentardemostrar que les funcions del conjunt I son uniformement Lipschitz. Aixoes, que existeix una constant L > 0 tal que d(f(x), f(x′)) ≤ Ld(x, x′), essentL independent de f i dels punts. (Exercici: Trobeu δε per aquest cas.)

El segon dels resultat que usarem es el teorema de Weierstraß.

Teorema 2.34. Sigui K ⊂ Rm compacte i f : K → R una funcio contınua.

Llavors, ∀ε > 0 donat, existeix p = pε polinomi en m variables tal que|f(x) − p(x)| ≤ ε, ∀x ∈ K.


Comentari 2.35. El teorema de Weierstraß tambe es cert si f : K → Rl.

Ara p = (p1, . . . , pl) es un vector de funcions amb components polinomials.

Demostracio del teorema de Peano: Sigui K := Ra,b(t0, x0), conjuntcompacte de R

n+1. Pel teorema de Weierstraß podem construir una succes-sio de funcions (pk)k∈N, pk = pk(t, x), tal que les seves components siguinpolinomis en n + 1 variables, convergint uniformement a f en K. Observeuque ∀k ∈ N la funcio pk es C∞ i per tant contınua i localment Lipschitzrespecte de x en el compacte K. A mes, podem triar la successio de formaque7 |pk| ≤M , ∀k ∈ N. Si apliquem el teorema de Picard al PVI

x′ = pk(t, x), x(t0) = x0,

obtenim una successio de solucions I = (xk(t))k∈N, definides per t ∈ Iα :=Iα(t0). Anem a veure que I compleix les hipotesis del teorema 2.32 en l’in-terval (compacte) Iα.

(i) Usant l’expressio integral xk(t) = x0 +∫ tt0pk(s, xk(s))ds tenim:

|xk(t)−xk(t′)| =

∣∣∣∣∫ t

t′pk(s, xk(s))ds

∣∣∣∣ ≤M |t−t′|, ∀t, t′ ∈ Iα, ∀k ∈ N.

Per tant totes les funcions del conjunt I son uniformement Lipschitz i,en consequencia, uniformement equi-contınues.

(ii) L’acotacio uniforme tambe es immediata. Aixı, ∀k ∈ N i ∀t ∈ Iα tenim:

|xk(t)| ≤ |x0| +∣∣∣∣∫ t

t0pk(s, xk(s))ds

∣∣∣∣ ≤ |x0| +M |t− t0| ≤ |x0| +Mb.

Per tant, podem concloure que existeix una subsuccessio de (xk)k∈N unifor-mement convergent en Iα. Per simplificar suposem que aquesta parcial con-vergent es tota la successio (sino re-definim la successio (pk)k∈N perque siguila corresponent a la parcial convergent). Tenim doncs x(t) = limk→+∞ xk(t),uniformement en Iα, on x(t) es almenys contınua. Si suposem cert que lasuccessio de funcions (pk(t, xk(t)))k∈N convergeix uniformement a f(t, x(t))en Iα, llavors prenent lımit en l’equacio integral (2.4) per a xk(t), obtenimque x(t) verifica l’equacio integral corresponent al PVI (2.9) i que, per tant,n’es solucio.

Anem a verificar la convergencia uniforme de pk(t, xk(t)). Concretament,hem de veure que ∀ε > 0, ∃kε ∈ N tal que si k ≥ kε i t ∈ Iα, llavors|f(t, xk(t)) − pk(t, xk(t))| ≤ ε (i. e., kε depen de ε pero no del t triat). Per

7Trieu pk tal que |(1 − 1/k)f − pk| ≤ M/k.


fer-ho observem primer que f , en quant a funcio contınua en el compacteK, es tambe uniformement contınua.8 Aixı, ∀ε > 0, ∃δε > 0 tal que si(t, x), (t′, x′) ∈ K verifiquen |t−t′|+ |x−x′| ≤ δε, llavors |f(t, x)−f(t′, x′)| ≤ε/2. Un cop fixat δε usem ara la convergencia uniforme de pk → p i xk → xen els seus respectius dominis. Definim kε tal que si k ≥ kε tenim:

|f(t, x) − pk(t, x)| ≤ ε/2, ∀(t, x) ∈ K,

|x(t) − xk(t)| ≤ δε, ∀t ∈ Iα.

Finalment, combinant aquestes desigualtats, obtenim que ∀k ≥ kε i ∀t ∈ Iα:

|f(t, xk(t)) − pk(t, xk(t))| ≤ |f(t, xk(t)) − pk(t, xk(t))|+|f(t, x(t)) − f(t, xk(t))| ≤

ε

2+ε

2= ε.

Comentari 2.36. Es clar que no podem garantir la unicitat de la solucioque hem construit en aquesta prova, ja que ni la parcial convergent que ensproporciona el teorema d’Arzela-Ascoli te perque ser unica, ni tampoc ho esla successio de polinomis del teorema de Weierstraß.

2.3 Prolongacio de solucions

Hem vist doncs que, sota les hipotesis del teorema de Picard, donades con-dicions inicials qualsevol existeix una unica solucio local de l’edo que lesinterpola. La seguent questio es si podem polongar aquesta solucio local mesenlla de Iα(t0) i fins “on”. Respondre aixo ens permetra definir solucionsmaximals d’un PVI, i. e., solucions definides en l’interval de valors mes granpossible per a la variable independent. Per poder definir solucions maximals,el punt clau es demostrar que quan sortim de l’interval Iα(t0) no perdemla unicitat de solucio. A primer cop d’ull sembla natural que l’existencia demultiples prolongacions xoca de ple amb la unicitat local donada pel teoremade Picard. Pero ho hem de demostrar! Per fer-ho, usarem el seguent resul-tat tecnic conegut com la desigualtat de Gronwall que admet moltıssimesaplicacions.

Lema 2.37. Donades funcions u, v, w : [a, b) → R contınues, v ≥ 0 i talsque

u(t) ≤ w(t) +∫ t

av(s)u(s)ds, ∀t ∈ [a, b),

llavors, per a tot t ∈ [a, b) tenim:

8La continuıtat de f per sı sola no es argument suficient per provar convergencia uni-forme de la composicio pk(t, xk(t)) a partir de la convergencia uniforme de xk i pk.

2.3. PROLONGACIO DE SOLUCIONS 41

(a)

u(t) ≤ w(t) +∫ t

aw(s)v(s) exp

(∫ t

sv(r)dr

)ds.

(b) Si a mes w ∈ C1,

u(t) ≤ w(a) exp(∫ t

av(s)ds

)+∫ t

aw′(s) exp

(∫ t

sv(r)dr

)ds.

Demostracio: Si definim y(t) :=∫ ta v(s)u(s)ds, observeu que per hipotesis

tenim u(t) ≤ w(t) + y(t). Calculem (recordeu que v ≥ 0):

y′(t) = v(t)u(t) ≤ v(t)w(t) + v(t)y(t),

i per tant,y′(t) − v(t)y(t) ≤ v(t)w(t).

Si multipliquem aquesta desigualtat per exp(− ∫ ta v(s)ds

)> 0, obtenim:

y′(t) exp(−∫ t

av(s)ds

)+ y(t) exp

(−∫ t

av(s)ds

)(−v(t))

≤ v(t)w(t) exp(−∫ t

av(s)ds

),

i per tant,

(y(t) exp

(−∫ t

av(s)ds

))′

≤ v(t)w(t) exp(−∫ t

av(s)ds

).

Si integrem entre a i t (observeu que y(a) = 0),

y(t) exp(−∫ t

av(s)ds

)≤∫ t

av(s)w(s) exp

(−∫ s

av(r)dr

)ds,

d’on (observeu que∫ ta −

∫ sa =

∫ ts ),

y(t) ≤∫ t

av(s)w(s) exp

(∫ t

sv(r)dr

)ds.

De u(t) ≤ w(t) + y(t) surt (a). Si w ∈ C1 integrant per parts tenim (b).9

Exercici 2.38. Part I: Particularitzeu (b) si: (i) w(t) = A; (ii) w(t) =A + B(t − a), v(t) = K. Part II: Adapteu la desigualtat (a) al cas b < a,i. e., si t ∈ (b, a].10

9∫

UdV = UV −∫

V dU amb U = w(s) i V = − exp(∫ t

sv(r)dr

).

10u(t) ≤ w(t) +∫ a

tv(s)u(s)ds =⇒ u(t) ≤ w(t) +

∫ a

tw(s)v(s) exp

(∫ s

tv(r)dr

)ds.


En la practica, la versio mes usada de la desigualtat de Gronwall es la seguent.

Corol·lari 2.39. Si u(t), contınua i u ≥ 0, verifica u(t) ≤ A+L| ∫ ta u(s)ds|,llavors u(t) ≤ A exp (L|t− a|) (independentment de si t ≥ a o t ≤ a).

La nostra primera aplicacio de la desigualtat de Gronwall es la seguent.

Proposicio 2.40. Sigui f = f(t, x) definida en Ω ⊂ R × Rn → R

n, Ωobert, contınua i localment Lipschitz respecte de x. Siguin γ(t) i σ(t) duessolucions (qualsevol) de l’edo x′ = f(t, x), definides en el (mateix) interval[a, b]. Aleshores, existeix L > 0 tal que:

|γ(t) − σ(t)| ≤ |γ(t0) − σ(t0)|eL|t−t0|, ∀t, t0 ∈ [a, b].

Demostracio: Usant que f es localment Lipschitz, existeix L > 0 tal que:11

|f(t, γ(t)) − f(t, σ(t))| ≤ L|γ(t) − σ(t)|, ∀t ∈ [a, b].

Considerem les expressions integrals de γ i σ:

γ(t) = γ(t0) +∫ t

t0f(s, γ(s))ds, σ(t) = σ(t0) +

∫ t

t0f(s, σ(s))ds,

valides per a tot t ∈ [a, b]. Si les restem, obtenim:

|γ(t) − σ(t)| ≤ |γ(t0) − σ(t0)| +∣∣∣∣∫ t

t0L|γ(s) − σ(s)|ds

∣∣∣∣ , ∀t ∈ [a, b].

Si apliquem el corol·lari 2.39 amb a = t0, u(t) = |γ(t) − σ(t)|, v(t) = L iw(t) = |γ(t0) − σ(t0)|, obtenim l’acotacio desitjada.

Comentari 2.41. Si γ(t) i σ(t) son dues solucions d’una mateixa edo ambcondicions inicials properes, γ(t0) ≈ σ(t0), la constant de Lipschitz L “me-sura” quant rapid poden separar-se. Aixo es, com a molt exponencialmentrapid respecte de |t − t0|. Fixeu-vos que, si L es “gran”, dues solucions ini-cialment properes pot ser que estiguin molt separades despres de poc temps(“sensibilitat respecte condicions inicials”, un dels paradigmes del caos).12

Tornat a un enfoc mes “academic”, la proposicio 2.40 implica el seguentresultat d’unicitat “global” de solucions d’una edo.

11Observeu que els conjunts γ([a, b]) i σ([a, b]) son compactes.12La impossiblitat de fer prediccions meterologiques a llarg termini n’es un bon exemple.

Recordeu el tıtol de la famosa xerrada d’Edward Lorenz (1972): “Predictability: does theflap of a butterfly’s wings set off a tornado in Texas?” (“l’efecte papallona”).


Corol·lari 2.42. Amb les mateixes hipotesis que la proposicio 2.40. Si exis-teix t0 ∈ [a, b] tal que γ(t0) = σ(t0), aleshores γ(t) = σ(t), ∀t ∈ [a, b].

Ara ja podem definir la solucio maximal d’un PVI.

Proposicio 2.43. Sigui f = f(t, x) definida en Ω ⊂ R×Rn → R

n, Ω obert,contınua i localment Lipschitz respecte de x. Aleshores per a tot (t0, x0) ∈ Ωexisteix un interval obert

I(t0, x0) = (ω−(t0, x0), ω+(t0, x0)),

amb t0 ∈ I(t0, x0), i una unica solucio χ(t) del PVI

x′ = f(t, x), x(t0) = x0,

definida per t ∈ I(t0, x0) complint el seguent: si ψ(t), definida per a t ∈ J(interval obert) es solucio del mateix PVI, aleshores J ⊆ I(t0, x0) i χ|J = ψ.(χ s’anomena solucio maximal del PVI i I(t0, x0) interval maximal.)

Demostracio: Sigui M el conjut

M := (J, ψ) : J interval obert, t0 ∈ J i ψ solucio del PVI definida en J.

Pel teorema de Picard sabem que M 6= ∅. Definim

I(t0, x0) :=⋃

(J,ψ)∈M

J,

interval obert que conte t0. Donat t ∈ I(t0, x0), definim χ(t) = ψ(t), essent(J, ψ) ∈ M tal que 〈t0, t〉 ⊂ J .13 Es clar pel corol·lari 2.42 que el valor deχ(t) es independent de la ψ triada i que χ es la solucio maximal.

Comentari 2.44. Podem rebaixar les condicions de l’enunciat de la propo-sicio 2.43 i definir solucions i intervals maximals per a edo’s x′ = f(t, x) on fnomes sigui contınua, pero verificant que ∀(t0, x0) ∈ Ω el PVI x(t0) = x0 teuna unica solucio local. La demostracio usa arguments topologics sofisticats,ja que no podem fer servir constants de Lipschitz, i es molt mes complicada.

Ara que ja hem establert existencia de solucions maximals de x′ = f(t, x), esnatural preguntar fins on podem prolongar aquestes solucions. La respostaes que una solucio maximal esta definida “mentre no arribi a la frontera ∂Ωdel domini de definicio de f”, en el sentit que precisem tot seguit.

13Recordeu que 〈t0, t〉 := [t0, t], si t0 ≤ t; 〈t0, t〉 := [t, t0], altrament.


ω+ω−

χ(t)

t∗ t

x

Ω

K

Figura 2.4: Solucio maximal χ(t) en Ω i el valor t∗ pel compacte K ⊂ Ω


n,Ω obert, contınua i localment Lipschitz respecte de x. Sigui χ(t) una soluciomaximal de x′ = f(t, x) definida en I = (ω−, ω+). Aleshores, (t, χ(t)) → ∂Ωquan t→ ω±.

Definicio 2.46. Direm que (t, χ(t)) → ∂Ω quan t→ ω+ si per a tot compacteK ⊂ Ω existeix t∗ < ω+ (que depen de K) tal que ∀t ∈ (t∗, ω+) es verifica que(t, χ(t)) /∈ K (i. e., no podem confinar (t, χ(t)) en cap compacte continguten Ω quan t→ ω+). Vegeu la figura 2.4. Idem per ω−.

Corol·lari 2.47. Si x′ = f(t, x) esta definida ∀(t, x) ∈ R×Rn i compleix les

hipotesis del teorema 2.45, llavors hi ha dos possibilitats per a χ(t) i ω+:

(i) ω+ = +∞.

(ii) ω+ < +∞ i |χ(t)| → +∞ quan t→ ω+.

Per tant si en aquestes condicions demostrem que |χ(t)| < +∞ quan t→ ω+

aixo implica que ω+ = +∞. Obviament podem formular l’analeg per a ω−.


Demostracio del teorema 2.45: Suposem que existeix un compacte K ⊂Ω pel qual no es possible trobar t∗ < ω+ tal que (t, χ(t)) /∈ K si t ∈ (t∗, ω+).Veurem que aixo ens porta a contradiccio amb el fet de que χ(t) es soluciomaximal. Aquesta suposicio no implica que (t, χ(t)) ∈ K per a tot t prouproper a ω+, sino que podem trobar valors de t tant propers a ω+ comvulguem pels quals (t, χ(t)) ∈ K. Mes concretamen, existeix una successiocreixent (tm)m∈N tal que limm→+∞ tm = ω+ i (tm, χ(tm)) ∈ K, ∀m ∈ N. Enconsequencia, existeix una parcial convergent, que per simplificar, suposaremque es la mateixa successio, tal que limm→+∞(tm, χ(tm)) = (ω+, x0) ∈ K (esclar que ω+ < +∞). Com que f(t, x) es contınua en Ω i localment Lipschitzrespecte de x, podem aplicar el teorema 2.15 (de Picard) al PVI:

x′ = f(t, x), x(ω+) = x0.

Aixı, sigui Ra,b(ω+, x0) = Ia(ω+) × Bb(x0) ⊂ Ω i M = supRa,b|f |. Sabem

que existeix ϕ(t) solucio (local) d’aquest PVI definida almenys per a tott ∈ Iα(ω+), essent α = mina, b/M.14 De fet, el teorema de Picard elpodem aplicar “uniformement” a tots els PVI’s amb condicions inicials prouproperes a (ω+, x0). Concretament, sigui (t, x) ∈ Ra/2,b/2(ω+, x0). Aleshores,podem definir solucio local del PVI x(t) = x almenys ∀t ∈ Iα/2(t). En aquestpunt, per obtenir una contradiccio nomes hem de pendre m ∈ N prou granper tal que (tm, χ(tm)) ∈ Ra/2,b/2(ω+, x0) i tm + α/2 > ω+, i considerar ϕ(t)la solucio del PVI x(tm) = χ(tm). Per la versio “uniforme” del teorema dePicard que acabem d’establir en Ra/2,b/2(ω+, x0), sabem que ϕ(t) esta definidaalmenys per a tot t ∈ (tm−α/2, tm +α/2). A mes, per la unicitat de soluciod’aquest PVI s’ha de complir que ϕ(t) = χ(t), ∀t ∈ (tm−α/2, ω+). Definim:

χ(t) =

χ(t) si t ∈ (ω−, tm]ϕ(t) si t ∈ [tm, tm + α/2).

Pel principi de concatenacio de solucions (proposicio 2.24) es clar que χ(t) essolucio de l’edo x′ = f(t, x) i que prolonga χ(t) fins t = tm + α/2 > ω+.

14El problema d’aquesta solucio ϕ(t) es que no es obvi que la poguem “enganxar” ambχ(t), ja que no hem demostrat limt→ω+

χ(t) = x0, sino nomes per a una successio (tm)m∈N.

Capıtol 3

Regularitat respecte condicions

inicials

Un cop establertes condicions garantint existencia i uniciat de solucions deles edo’s per a un PVI donat, volem discutir la regularitat —contınua o Cr—d’aquestes solucions com a funcions de les condicions inicials, en el sentit queprecisarem tot seguit. Encara mes, si l’edo depen de parametres “externs”(p. ex., en mecanica aquests parametres poden ser els valors de les masseso carregues el·lectriques definint les equacions), extendrem la questio a ladependencia de les solucions respecte d’aquests parametres.

Es facil motivar l’interes practic d’aquesta regularitat. Aixı, si coneixemuna solucio particular de l’edo, la regularitat Cr de les solucions respectecondicions inicials ens permet aproximar les solucions, amb condicions inici-als properes, via desenvolupaments de Taylor. Identicament, si l’edo depende parametres i podem calcular solucions corresponents a un valor concretdels parametres (pel qual potser l’edo pren una forma “senzilla”), llavors po-dem aproximar per Taylor les solucions per a valors propers dels parametres.En molts casos una simple aproximacio lineal (“linealitzacio”) ja ens donamoltıssima informacio sobre el comportament de les solucions properes!

Malauradament, suposant coneguda una solucio de l’edo, per poder calcu-lar les derivades parcials respecte condicions inicials o parametres, avaluadessobre aquesta solucio concreta, cal resoldre d’altres sistemes d’edo’s (lineals).Son les anomeanades equacions variacionals.

3.1 Formulacio del problema i notacio basica

Considerem un sistema d’edo’s n-dimensional de la forma x′ = f(t, x), onf : Ω ⊂ R × R

n → Rn essent Ω obert. Per fixar idees, suposarem que f es

47

48 CAPITOL 3. REGULARITAT RESPECTE CONDICIONS INICIALS

(almenys) contınua i localment Lipschitz respecte de x. Per tant, donadescondicions inicials (t0, x0) ∈ Ω, existeix una unica solucio x(t) del PVI

x′ = f(t, x), x(t0) = x0.

Per fer explıcita la dependencia de x(t) respecte de (t0, x0) escriurem:

x(t) := φ(t; t0, x0).

Definir φ es una manera sistematica de repesentar totes les solucions de l’edoper una unica funcio. Llavors, φ esta definida per les condicions:1

d

dtφ = f(t, φ), φ(t0; t0, x0) = x0. (3.1)

Podem generalitzar aquesta definicio considerant sistemes d’edo’s depenentsde parametres, i. e., x′ = f(t, x, λ), on f : Ω ⊂ R × R

n × Rm → R

n,essent λ ∈ R

m un vector de parametres. En aquest cas la solucio generalde l’edo la representarem per φ = φ(t; t0, x0, λ0) per indicar la dependenciaparametrica. Discutir teoricament la dependencia de φ en λ0 no te perqueintroduir dificultats adicionals si l’abordem mitjancant el seguent resultat(veure pero el comentari 3.10).

Proposicio 3.1. Un sistema d’edo’s n-dimensional depenent de m parame-tres el podem re-escriure com un sistema d’edo’s (n +m)-dimensional senseparametres equivalent.

Demostracio: Si tenim l’edo x′ = f(t, x, λ), amb λ ∈ Rm, introduım el

nou vector d’incognites y = (x, λ) ∈ Rn+m. Es clar que essent λ ∈ R

m unvector de parametres llavors es constant sobre cada solucio i per tant d

dtλ = 0.

Llavors y′ = F (t, y) on F (t, y) = (f(t, y), 0). (Aquı 0 vol dir 0 ∈ Rm.)

A continuacio enunciem algunes propietats basiques de φ.

Lema 3.2. Amb les notacions i hipotesis anteriors la funcio φ(t; t0, x0) de-finida en (3.1) verifica:

(a) φ(t3; t2, φ(t2; t1, x0)) = φ(t3; t1, x0).

(b) φ(t; t0, x0) = x ⇐⇒ φ(t0; t, x) = x0.

(c) Si l’edo es autonoma, x′ = f(x), llavors φ(t; t0, x0) = φ(t − t0; 0, x0).Si definim ϕ(t, x0) := φ(t; 0, x0) (i. e., fem t0 = 0) es compleix:

1La notacio ddt

φ vol dir que fixem (t0, x0) i derivem t 7→ φ(t; t0, x0).

3.1. FORMULACIO DEL PROBLEMA I NOTACIO BASICA 49

(i) ϕ(0, x0) = x0, (ii) ϕ(t+ s, x0) = ϕ(t, ϕ(s, x0)),

(iii) ϕ(t, x0) = x ⇐⇒ ϕ(−t, x) = x0.

Demostracio:

(a) En aquesta propietat esta implıcit que si els dos costat tenen sentitllavors es dona la igualtat. Definim x(t) = φ(t; t2, φ(t2; t1, x0)) i y(t) =φ(t; t1, x0). Per construccio ambdues son solucio de l’edo. A mes, sifem t = t2 son coincidents:

x(t2) = φ(t2; t2, φ(t2; t1, x0)) = φ(t2; t1, x0) = y(t2).

Per unicitat de solucions, x(t) = y(t) per a tot t pel qual estiguindefinides. Llavors nomes cal fer t = t3.

(b) Suposem φ(t; t0, x0) = x. Llavors:

φ(t0; t, x) = φ(t0; t, φ(t; t0, x0)) = φ(t0; t0, x0) = x0,

on hem aplicat (a) amb t1 = t0, t2 = t i t3 = t0. L’altre implicacio escompletament simetrica.

(c) Definim x(t) = φ(t; t0, x0) i y(t) = φ(t− t0; 0, x0). Per construccio x(t)es solucio i degut al caracter autonom de l’edo y(t) tambe ho es. Enefecte, observeu que si f = f(t, x) depen de t tenim

y′(t) = f(t− t0, φ(t− t0; 0, x0)) = f(t− t0, y(t)),

i en general y(t) no es solucio. En el cas autonom, f = f(x), llavorsy′(t) = f(y(t)). Clarament x(t0) = y(t0) = x0 i per tant, per unicitatde solucions, x(t) = y(t) per a tot t. Tot seguit anem a demostrar (ii)(les altres son obvies). Per fer-ho, usem la definicio de ϕ, la propietatque acabem de demostrar i (a) amb t1 = 0, t2 = s i t3 = t+ s. Tenim:

ϕ(t, ϕ(s, x0)) = φ(t; 0, φ(s; 0, x0)) = φ(t+ s; s, φ(s; 0, x0))

= φ(t+ s; 0, x0) = ϕ(t+ s, x0).

Comentari 3.3. Si considerem l’edo x′ = f(t, x) on f depen “explıcitament”de t, llavors el valor de t0 en la tria de les condicions inicials (t0, x0) juga unpaper fonamental, ja que dues solucions comencant en el mateix punt x0 peroper diferents t0 no tenen, en general, cap relacio trivial. En el cas autonom,


x′ = f(x), el paper de t0 no es realment trascendent de cara a calcular lasolucio φ(t; t0, x0). El que realment importa es el temps transcorregut des del’instant inicial t0, i. e., t− t0. D’aquı la relacio φ(t; t0, x0) = φ(t− t0; 0, x0)i la definicio de ϕ, on suposem que el temps inicial es t0 = 0.2

Exemple 3.4. (i) Per a l’edo x′ = x es clar que φ(t; t0, x0) = et−t0x0 iϕ(t) = etx0. Si dibuixem aquestes solucions en el pla (t, x), llavorsobtenim grafiques que si les desplacem paral·lelament en la direccio del’eix t es solapen les unes amb les altres.

(ii) Per a l’edo no autonoma x′ = 2t, llavors φ(t; t0, x0) = t2 − t20 + x0 esfuncio de t i de t0 pero no ho es nomes de t− t0.

Definicio 3.5. En les condicions del lema 3.2. Donada una edo autonomax′ = f(x), la funcio ϕ(t, x0) s’anomena flux de l’edo. Si per a cada t fixatescrivim ϕt(x0) = ϕ(t, x0), llavors ϕt(·)t es un grup uni-parametric localcommutatiu de transformacions. Aixo es, ϕt(·) : x0 ∈ R

n 7→ ϕt(x0) ∈ Rn es

una aplicacio injectiva (definida pels valors de x0 pels quals ϕ(t, x0) tinguisentit) i es compleixen les seguents propietats de grup:3

(i) ϕ0 = Id, (ii) ϕs ϕt = ϕt ϕs = ϕs+t, (iii) (ϕt)−1 = ϕ−t.

El caracter “local” del grup refereix al fet que aquestes propietats tenen sentitsempre que les corresponents expressions estiguin definides.

Exercici 3.6. Considereu l’edo 2-dimensional x′ = f(t, x), on x = (x1, x2) if contınua i localment Lipschitz respecte de x. Siguin x = α(t) i x = β(t)dues solucions diferent i Cα, Cβ les corbes de R

2 que obtenim si les projectemen el pla (x1, x2) (aquestes corbes s’anomenen orbites de α i β). Pot ser queCα i Cβ es tallin en algun punt o aquest fet vulnera el teorema d’existencia iunicitat de solucions? Pot ser que la corba Cα tingui auto-interseccions? Sil’edo es autonoma, es possible que es donin aquestes circumstancies?4

2La consequencia practica mes important d’aquest comentari es que si x(t) es soluciod’una edo autonoma, llavors x(t + c) tambe es solucio ∀c ∈ R. En el cas no autonom noes cert, en general, que si “traslladem” en t una solucio obtinguem una nova solucio.

3Mes endavant podrem concloure que si f ∈ C1 llavors ϕt(·) es un difeomorfisme.4Resposta: Es clar que si p ∈ Cα llavors p = α(t), per a un cert t. Pero si nomes

coneixem la corba projectada, desconeixem quin es el t que correspon a cada punt p ∈ Cα.Per tant, si l’edo no es autonoma es possible que Cα∩Cβ = p. Simplement el punt de tallcorrespont a valors de t diferents per a cadascuna de les solucions, i. e., p = α(t1) = β(t2).Idem per a les auto-interseccions de α. En el cas autonom, les orbites de dues solucions obe son sempre disjuntes o be si es tallen en un punt han de coincidir.

3.2. CONTINUITAT RESPECTE CONDICIONS INICIALS 51

a ba1 b1

δ0

δ0

x0

x1

x(t)

y(t)

t0 t1 t

x

Aδ0

Figura 3.1: Representacio grafica, si n = 1, del “tub” Aδ0 definit en (3.3)(domini tancat per les corbes de punts i ratlles) i d’altres ingredients involu-crats en la demostracio del teorema 3.7. La idea es que si (t1, x1) ≈ (t0, x0)llavors y(t) esta definida per a tot t ∈ [a, b] i no surt de Aδ0 .

3.2 Continuıtat respecte condicions inicials

Com ja hem fixat, l’objectiu d’aquest capıtol es estudiar la regularitat de φcom a funcio de (t, t0, x0) en termes de la regularitat de f . Comencem veientla continuıtat de φ respecte les condicions inicials (t0, x0).

Teorema 3.7. Sigui f = f(t, x) una funcio definida en Ω ⊂ R × Rn → R

n,Ω obert, contınua i localment Lipschitz respecte de x. Donats (t0, x0) ∈ Ωdenotem per x(t) = φ(t; t0, x0) la solucio del PVI

x′ = f(t, x), x(t01) = x0,

definida en l’interval maximal t ∈ I(t0, x0) = (ω−(t0, x0), ω+(t0, x0)). Lla-vors, el domini de definicio de φ, donat pel conjunt

D := (t, t0, x0) ∈ R × R × Rn : (t0, x0) ∈ Ω, t ∈ I(t0, x0) (3.2)

es obert i φ : D → Ω es contınua en D.


Demostracio: Primerament una observacio obvia pero important. La con-tinuıtat d’una funcio (ıdem que sigui Cr) o el caracter obert d’un conjunt sonpropietats “locals”. Aixo vol dir que no cal verificar-les “simultaniament”en tots els punts, sino que es suficient fer-ho en un entorn d’un punt donat,pero de forma que els arguments siguin valids per a tot punt del conjunt.

Fixem (t0, x0) ∈ Ω i t′0 ∈ I(t0, x0) (per tant (t′0, t0, x0) es un punt genericde D). Volem veure que φ(t′1; t1, x1) ≈ φ(t′0; t0, x0) si (t′1, t1, x1) ≈ (t′0, t0, x0).Denotem per x(t) := φ(t; t0, x0) i fixem un interval compacte [a, b] ⊂ I(t0, x0)tal que t0, t

′0 ∈ (a, b) i δ0 > 0 prou petit tal que el conjunt5

Aδ0 := (t, x) ∈ R × Rn : t ∈ [a, b], |x− x(t)| ≤ δ0 (3.3)

verifica Aδ0 ⊂ Ω (vegeu la figura 3.1). Com que Aδ0 es compacte, existeixenM := supAδ0

|f | i L > 0 constant de Lipschitz de f respecte de x en Aδ0 , i. e.,

|f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|, ∀(t, x1), (t, x2) ∈ Aδ0 .

Volem mostrar que existeix ε0 > 0 prou petit, amb ε0 ≤ δ0, tal que si(t1, x1) ∈ Ω verifica |t1 − t0| ≤ ε0, |x1 − x0| ≤ ε0 i denotem per y(t) :=φ(t; t1, x1),

(i) [a, b] ⊂ I(t1, x1), (ii) (t, y(t)) ∈ Aδ0 , ∀t ∈ [a, b],

(iii) |y(t) − x(t)| ≤ (|x1 − x0| +M |t1 − t0|)eL|t−t1|, ∀t ∈ [a, b].

En poques paraules, si (t1, x1) es prou proper al (t0, x0) fixat, la solucio y(t)que te condicions inicials (t1, x1) tambe esta definida (almenys) per a tott ∈ [a, b] (com per hipotesis ho esta x(t)), no surt de Aδ0 ni la distancia entrex(t) i y(t) creix gaire si t ∈ [a, b].

Comencem agafant un punt (t1, x1) ∈ Aδ0 qualsevol. Es clar que a priorino sabem si [a, b] ⊂ I(t1, x1) ni si la grafica de la solucio y(t) surt de Aδ0per algun t ∈ [a, b]. Sigui doncs [a1, b1] ⊂ [a, b] l’interval mes gran tal quet1 ∈ [a1, b1] ⊂ I(t1, x1) i (t, y(t)) ∈ Aδ0 , ∀t ∈ [a1, b1]. Volem veure que si(t1, x1) ≈ (t0, x0) llavors a1 = a i b1 = b (vegeu de nou la figura 3.1).

5Aδ0es un “tub” (n + 1)-dimensional de radi δ0 entorn del tros de grafica de la solucio

x(t) corresponent a t ∈ [a, b]. Si n = 1 es la “cinta” de la figura 3.1.

3.2. CONTINUITAT RESPECTE CONDICIONS INICIALS 53

Usant les expressions integrals (2.4) de x(t) i y(t) tenim, ∀t ∈ [a1, b1]:6

|y(t) − x(t)| ≤∣∣∣∣x1 +

∫ t

t1f(s, y(s))ds−

(x0 +

∫ t

t0f(s, x(s))ds

)∣∣∣∣

≤ |x1 − x0| +∣∣∣∣∫ t1

t0f(s, x(s))ds

∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∫ t

t1(f(s, y(s)) − f(s, x(s)))ds

∣∣∣∣

≤ |x1 − x0| +M |t1 − t0| +∣∣∣∣∫ t

t1L|y(s) − x(s)|ds

∣∣∣∣ .

Com a consequencia de la desigualtar de Gronwall (corol·lari 2.39) obtenim:

|y(t) − x(t)| ≤ (|x1 − x0| +M |t1 − t0|)eL|t−t1|, ∀t ∈ [a1, b1]. (3.4)

A la vista de (3.4), triem el seguent valor concret per a ε0:

ε0 :=δ0

4eL|b−a|min1, 1/M.

Llavors, si |t1 − t0| ≤ ε0 i |x1 − x0| ≤ ε0 tenim [a1, b1] = [a, b]. Vegem-honomes per a b1 (l’altre cas es analeg). Suposem que b1 < b. Aixo vol dir quela grafica de la solucio y(t) surt de Aδ0 abans que t assoleixi el valor b. Comque per a t = b1 “topem” amb la frontera de Aδ0 , tindrem |y(b1)−x(b1)| = δ0.Aixo contradiu la desigualtat (3.4), ja que fent t = b1 obtenim:7

|y(b1) − x(b1)| ≤ (|x1 − x0| +M |t1 − t0|)eL|b1−t1| ≤ δ0/2.

Hem demostrat doncs (i), (ii) i (iii).Vegem ara que D es obert. Prenem el punt “generic” (t′0, t0, x0) ∈ D que

hem fixat inicialment. Llavors, es immediat verificar que el conjunt

B := (t′1, t1, x1) ∈ R × R × Rn : t′1 ∈ (a, b), |t1 − t0| < ε0, |x1 − x0| < ε0

es un entorn (obert) de (t′0, t0, x0) i B ⊂ D. (Exercici: Xequejeu els detalls.)Ens queda provar que φ es contınua en (t′0, t0, x0). Recordant que x(t) =

φ(t; t0, x0) i y(t) = φ(t; t1, x1), observeu que la desigualtat (iii) ens diu que

|φ(t; t1, x1) − φ(t; t0, x0)| ≤ (|x1 − x0| +M |t1 − t0|)eL|t−t1|, ∀t ∈ [a, b].

6Observeu que en triar els extrens de les integrals hem de recordar que y(t) nomes latenim controlada per a t ∈ [a1, b1], i ni tant sols sabem si t0 ∈ [a1, b1].

7|x1 − x0| ≤ (δ0/4)× e−L|b−a|, |t1 − t0| ≤ (δ0/4M) × e−L|b−a| i eL|b1−t1| ≤ eL|b−a|.


Per altre banda, via l’expressio integral de les solucions:

|φ(t; t0, x0)−φ(t′; t0, x0)| =

∣∣∣∣∣

∫ t′

tf(s, φ(s; t0, x0))ds

∣∣∣∣∣ ≤M |t−t′|, ∀t, t′ ∈ [a, b].

Finalment, si (t′1, t1, x1) ∈ B obtenim:

|φ(t′1; t1, x1) − φ(t′0; t0, x0)| ≤ |φ(t′1; t0, x0) − φ(t′0; t0, x0)|+|φ(t′1; t1, x1) − φ(t′1; t0, x0)|

≤ M |t′1 − t′0| + (|x1 − x0| +M |t1 − t0|)eL|t′

1−t1|.

Es clar que si (t′1; t1, x1) → (t′0, t0, x0) llavors φ(t′1; t1, x1) → φ(t′0; t0, x0).

Comentari 3.8. De fet hem demostrat que φ es una funcio localment Lipsc-hitz. (Exercici: Expliciteu la constant de Lipschitz de φ en B.)

Comentari 3.9. Usant la proposicio 3.1, podem generalitzar directamentel teorema 3.7 al cas en que f = f(t, x, λ) depen d’un vector de parametresλ ∈ R

m i es contınua i localment Lipschitz respecte de (x, λ), establint aixıel teorema de continuıtat de les solucions respecte condicions inicials i para-metres. (Exercici: Formalitzeu l’enunciat.)

Comentari 3.10. Per provar continuıtat de les solucions respecte parame-tres a partir del teorema 3.7, de fet no cal demanar que f sigui Lipschitzrespecte de λ. Es suficient suposar que f es contınua i localment Lipschitzrespecte de x. Pero llavors la generalitzacio no es tant directa (es clar que, perexemple, no podem obtenir que φ = φ(t; t0, x0, λ0) sigui Lipschitz respecte deλ0). Aquest comentari el podrıem considerar com a “poc trascendent”, donatque la hipotesis que f sigui Lipschitz respecte de λ es prou raonable comper a considerar el resultat del comentari 3.9 prou “util” de cara a la sevaaplicacio a edo’s concretes. Malauradament, tot seguit, en la demostraciodel teorema 3.17, ens cal fer us de la dependencia contınua de les solucionsrespecte parametres per a una edo que, a priori, no podem demanar quesigui Lipschitz respecte d’aquests. Afortunadament, en aquest cas f es linealen x, i llavors el resultat es mes simple d’establir. No pretenem donar aquıtots els detalls, pero sı el calcul que considerem mes determinant. Aixı,considerem l’edo (lineal) n-dimensional x′ = A(t;λ)x, on A(t;λ) es contınua(pero no Lipschitz) i denotem per x(t) = φ(t; t0, x0, λ0) i y(t) = φ(t; t0, x0, λ1).Llavors, usant la forma integral (2.4), tenim8

y(t) − x(t) = x1 − x0 +∫ t

t0(A(s;λ1)y(s) − A(s;λ0)x(s))ds

=∫ t

t0A(s;λ1)(y(s) − x(s))ds+

∫ t

t0(A(s;λ1) − A(s;λ0))x(s)ds.

8Recordeu que per la proposicio 2.30 sabem que, fixat λ0, llavors si A(t; λ0) es contınuaen t les solucions estan definides per a tot t pel qual l’edo tingui sentit.

3.3. DERIVADES RESPECTE CONDICIONS INICIALS 55

Si, per a fixar idees, suposem t0 < t, |t− t0| ≤ α, |A(s, λ1)| ≤ L i |x(s)| ≤M ,∀s ∈ [t0, t], prenent normes i aplicant la desigualtat de Gronwall obtenim:

|φ(t; t0, x0, λ1) − φ(t; t0, x0, λ0)| ≤ αMeLα sups∈[t0,t]

|A(s;λ1) − A(s;λ0)|.

Llavors, es clar que si λ1 → λ0 tenim φ(t; t0, x0, λ1) → φ(t; t0, x0, λ0), i pertant “continuıtat de φ respecte λ0”. Completar tots els detalls (i. e., forma-litzar les acotacions que hem usat, xequejar que el corresponent domini Dde (3.2) es obert i provar continuıtat de φ respecte de totes les variables) espot fer a partir de l’adaptacio directa de la demostracio del teorema 3.7 i hodeixem com a exercici.

Comentari 3.11. Si volem anar un pas mes enlla, de fet la condicio Lipschitzrespecte de x no es necessaria per demostrar el teorema 3.7. N’hi ha prouamb suposar que f es contınua i que tenim existencia i unicitat de solucionsper a cada (t0, x0) ∈ Ω. Pero ara la prova es molt mes complicada!

3.3 Derivades respecte condicions inicials

El seguent pas es provar que si f ∈ Cr(Ω) llavors φ ∈ Cr(D), essent Dl’obert (3.2) i r ∈ N ∪ ∞.

Comentari 3.12. Denotarem les derivades parcials de f = f(t, x) com:

Dtf =∂f

∂t,

mentre que si f = (f1, . . . , fn) i x = (x1, . . . , xn), llavors

Dxf =

Dx1f1 Dx2f1 · · · Dxnf1

Dx1f2 Dx2f2 · · · Dxnf2

· · · · · · · · · · · ·Dx1fn Dx2fn · · · Dxn

fn

es la matriu de derivades parcials de f respecte de x. Extendrem les no-tacions a φ = φ(t; t0, x0) per introduir Dtφ, Dt0φ i Dx0φ. Identicament, sif i φ depenen de λ i λ0, respectivament, escriurem Dλf i Dλ0φ per a lescorresponents matrius de derivades.

Comentari 3.13. Observeu que es obvi que φ es derivable respecte de t enquan a solucio de l’edo, i. e.,

Dtφ = f(t, φ). (3.5)


A mes, la continuıtat de φ (ja demostrada) ens garanteix que Dtφ es contınua.Aixı, φ es C1 respecte de t encara que f no sigui derivable (nomes cal quesigui contınua i localment Lipschitz respecte de x). Si a mes suposem quef ∈ C1 llavors derivant (3.5) respecte de t obtenim

D2tφ = Dtf(t, φ) +Dxf(t, φ)Dtφ.

Per tant φ es C2 respecte de t. Aquest argument el podem iterar i demostrarque si f ∈ Cr llavors φ es Cr+1 respecte de t. Aixı doncs, demostrarem que sif ∈ Cr llavors φ ∈ Cr, pero de fet tenim una derivada “extra” respecte de t.

Malauradament no podem extendre aquests argument al calcul de lesderivades parcials de φ respecte de t0 i x0 (o respecte parametres). Peroes clar que si volem provar diferenciabilitat de φ es practicament obligatconeixer a priori un candidat a matriu de derivades parcials. Aixı doncs,com calculem, per exemple, la matriu Dx0φ? Es obvi que si coneguessimexplıcitament φ aquest calcul el podriem abordar de forma directa. Perol’unica informacio explıcita que tenim de φ es l’equacio (3.1) que verifica.Per motivar com calcularem Dx0φ comencem introduint un exemple concret.

Exemple 3.14. Considerem l’edo 1-dimensional x′ = f(t, x) = 2tx2. Essentuna edo separable facilment veiem que la seva solucio general es:

x(t) =−1

t2 + c, c ∈ R ∪ ∞,

on el valor c = ∞ ens dona la solucio constant x(t) = 0 que no obtenim pera cap c ∈ R. Si ajustem el valor de c corresponent a les condicions inicialsx(t0) = x0 obtenim c = −t20 −1/x0 (on c = ∞ correspon a x0 = 0) i per tant:

φ(t; t0, x0) =x0

1 − (t2 − t20)x0.

En aquest cas, conexier l’expressio explıcita de φ ens permet verificar trivi-alment que φ ∈ C∞. En particular,

Dx0φ(t; t0, x0) =1

(1 − (t2 − t20)x0)2.

Exercici 3.15. Trobeu el domini D de (3.2) per a l’edo de l’exemple 3.14.

Pero l’exemple 3.14 no es “realista”, ja que en general la funcio φ ens esdesconeguda! La idea que usarem es que podem obtenir Dx0φ com a soluciod’una nova edo que construım a partir de f i φ. Aixı, si considerem la relacio

d

dtφ = f(t, φ)


i la diferenciem respecte de x0, obtenim:

d

dt(Dx0φ) = Dx0

(d

dtφ

)= Dx0(f(t, φ)) = Dxf(t, φ)Dx0φ,

on hem suposat (sense donar cap justificacio!) que podem permutar lesderivades d

dti Dx0 aplicades sobre φ. Per altre banda, si diferenciem respecte

de x0 la condicio φ(t0; t0, x0) = x0, obtenim:

Dx0φ(t0; t0, x0) = Idn,

essent Idn la matriu identitat n-dimensional. Per tant, si suposem a prioril’existencia de Dx0φ (evidentment encara no hem demostrat que φ sigui di-ferenciable!) i que les derivades parcials anteriors commuten, llavors podemcalcular Dx0φ de la forma que expliquem tot seguit. Fixades unes condicionsinicials (t0, x0) concretes, sigui x(t) := φ(t; t0, x0) la solucio del PVI correspo-nent. Denotem per Y (t) la matriu n×n de derivades parcials Dx0φ avaluadasobre la solucio x(t) triada, aixo es:

Y (t) := Dx0φ(t; t0, x0).

Llavors, Y (t) es solucio del PVI seguent:

Y ′ = A(t)Y, Y (t0) = Idn, (3.6)

essent A(t) := Dxf(t, x(t)). El PVI (3.6) s’anomena equacions variacionals(de primer ordre) associades a l’edo x′ = f(t, x) i a les condicions inicials(t0, x0) triades. Observeu que (3.6) es una edo lineal i homogenia, ambcondicions inicials no homogenies. Aixı doncs, sota les hipotesis anteriors,podem calcular la matriu de derivades parcials Dx0φ avaluada sobre unasolucio concreta com a solucio d’una nova edo lineal.

Exemple 3.16. Considerem de nou l’edo x′ = f(t, x) = 2tx2 de l’exem-ple 3.14 i la solucio del PVI x(0) = 1, i. e., x(t) = 1/(1 − t2). Si avalueml’expressio explıcita deDx0φ sobre aquesta solucio obtenim Y (t) = 1/(1−t2)2,que podem verificar directament que es solucio del PVI (3.6):

Y ′ =4t

1 − t2Y, Y (0) = 1,

ja que en aquest cas A(t) = Dxf(t, x(t)) = 4tx(t) i Id1 = 1.

D’entrada, pot resultar xocant que en aquest contexte la solucio Y (t) del’edo variacional (3.6) sigui una matriu n × n i no pas un vector com en


totes les edo’s considerades fins ara. Pero observeu que tot es perfectamentcoherent, ja que el producte de les matrius A(t) i Y (t) ens proporciona unanova matriu n× n que podem assignar a la derivada respecte t de la matriuY (t). En el Capıtol 4 discutirem en detall les edo’s lineals i veurem com enel cas homogeni es natural discutir les seves solucions mitjancant solucionsmatricials n× n. Ara be, si volem podem tractar les equacions variacionalsde forma vectorial si les escrivim columna a columna. Concretament, siguiYj(t) la j-esima columna de la matriu Y (t),

Yj(t) := Y (t)ej = D(x0)jφ(t; t0, x0), j = 1, . . . , n,

on escrivim x0 = ((x0)1, . . . , (x0)n) i ej ∈ Rn es el j-esim vector de la base

natural de Rn. Aixo es, Yj(t) es el vector derivada parcial de φ respecte

la component j-esima de x0 i avaluat sobre la solucio x(t) que hem fixatanteriorment. Llavors, per a cada j = 1, . . . , n, el vector columna Yj(t) essolucio (vectorial) del PVI:

Y ′j = A(t)Yj, Yj(t0) = ej .

Es a dir, cada columna de Y (t) es solucio de la mateixa edo lineal x′ = A(t)x,pero amb condicions inicials diferents en t = t0.

Un cop motivada la definicio de la matriu Y (t) com a solucio de lesequacions variacionals (3.6), anem a demostrar en el seguent resultat dediferenciabilitat de solucions respecte condicions inicials que realment Y (t)ens dona la matriu de derivades parcials de φ avaluada sobre la solucio triada.


n,Ω obert, contınua i diferenciable respecte de x amb Dxf tambe contınua.Donats (t0, x0) ∈ Ω denotem per x(t) := φ(t; t0, x0) la solucio del PVI

x′ = f(t, x), x(t0) = x0,

definida en l’interval maximal t ∈ I(t0, x0). Llavors, φ admet derivadesparcials contınues respecte de x0 en el seu domini de definicio:

D := (t, t0, x0) ∈ R × R × Rn : (t0, x0) ∈ Ω, t ∈ I(t0, x0).

A mes, fixats (t0, x0) ∈ Ω, la matriu Y (t) := Dx0φ(t; t0, x0) es solucio de lesequacions variacionals

Y ′ = A(t)Y, Y (t0) = Idn, t ∈ I(t0, x0), (3.7)

essent A(t) := Dxf(t, x(t)).


Demostracio: En primer lloc, recordeu que en esser Dxf contınua aixoimplica que f es localment Lipschitz respecte de x. Per tant, pel teorema 3.7de continuıtat de solucions respecte condicions inicials, φ(t; t0, x0) esta bendefinida en l’obert D i es contınua.

Tot seguit considerem la matriu Y (t) com a funcio de totes les sevesvariables, aixo es, Y (t; t0, x0). Llavors, per a cada (t0, x0) fixat, Y (t; t0, x0)es solucio del PVI

d

dtY = A(t; t0, x0)Y, Y (t0; t0, x0) = Idn, t ∈ I(t0, x0), (3.8)

on A(t; t0, x0) := Dxf(t, φ(t; t0, x0)) es una funcio contınua en D. Llavorstenim les seguents propietats per a Y (t; t0, x0):

(a) Per la proposicio 2.30 d’existencia i unicitat de solucions d’edo’s lineals,tenim que per a cada (t0, x0) ∈ Ω fixat la solucio Y (t; t0, x0) de (3.8)esta definida per a tot t pel qual A(t; t0, x0) estigui definida i siguicontınua. Aixo es, per a tot t ∈ I(t0, x0). Per tant, Y (t; t0, x0) esta bendefinida per a tot (t, t0, x0) ∈ D.

(b) Si considerem ara les variables (t0, x0) com a parametres en (3.8), lla-vors usant continuıtat de les solucions respecte parametres (recordeuel comentari 3.10 per al cas de les edo’s lineals parametriques) tenimque la funcio Y (t; t0, x0) es contınua en D (sense necessitat de discutirla dependencia Lipschitz en (t0, x0)).

Aixı, si demostrem que φ es diferenciable i que Dx0φ(t; t0, x0) = Y (t; t0, x0)haurem vist tambe que Dx0φ es contınua en D.

Tot seguit anem a demostrar que Dx0φ(t; t0, x0) = Y (t; t0, x0) sobre unasolucio concreta de l’edo x′ = f(t, x). Per fer-ho procedirem de forma similara la prova del teorema 3.7 de continuıtat de les solucions respecte condicionsinicials. Fixem (t0, x0) ∈ Ω i un interval [a, b] ⊂ I(t0, x0) tal que t0 ∈ (a, b).Denotem per x(t) := φ(t; t0, x0) i triem δ0 > 0 prou petit tal que el conjunt

Aδ0 := (t, x) ∈ R × Rn : t ∈ [a, b], |x− x(t)| ≤ δ0

verifica Aδ0 ⊂ Ω (recordeu la figura 3.1). Com que Aδ0 es compacte i Dxfes contınua, sabem que existeix L := supAδ0

|Dxf | (aquı | · | indica la norma

matricial associada a la norma vectorial triada).9 A mes, usant la continuıtatde les solucions respecte condicions inicials, sabem que existeix ε0 > 0 proupetit, amb ε0 ≤ δ0, tal que si h ∈ R

n verifica |h| ≤ ε0, llavors y(t) :=φ(t; t0, x0+h) esta definida (almenys) per a tot t ∈ [a, b] i a mes (t, y(t)) ∈ Aδ0

9De fet L es tambe la constant de Lipschitz de f respecte de x en Aδ0.


per a tot t ∈ [a, b].10 Llavors, si Y (t) es la matriu n×n solucio del PVI (3.7),definim

Z(t; h) := φ(t; t0, x0 + h) − φ(t; t0, x0) − Y (t)h = y(t) − x(t) − Y (t)h. (3.9)

El nostre objectiu es provar que

limh→0

|Z(t; h)||h| = 0, ∀t ∈ [a, b]. (3.10)

Llavors, per la definicio de “matriu diferencial” tindrem que φ es diferenciablerespecte x0 al llarg de la solucio x(t) triada i que Dx0φ(t; t0, x0) = Y (t) pera tot t ∈ [a, b]. Si volem concloure que (3.10) es cert ∀t ∈ I(t0, x0), nomeshem de recobrir I(t0, x0) per intervals compactes.

Per veure (3.10) comencem usant les expressions integrals de x(t), y(t) iY (t) per a obtenir la seguent expressio per a Z(t; h):

Z(t; h) = y(t) − x(t) − Y (t)h

=(x0 + h +

∫ t

t0f(s, y(s))ds

)−(x0 +

∫ t

t0f(s, x(s))ds

)

−(Idn +

∫ t

t0Dxf(s, x(s))Y (s)ds

)h

=∫ t

t0(f(s, y(s)) − f(s, x(s)) −Dxf(s, x(s))Y (s)h) ds.

De cara a acotar aquesta expressio emprearem una versio integral del teoremadel valor mig. Aixı, si g(x) es una funcio de n-variables, diferenciable en elsegment que uneix x1 i x2, llavors:

g(x2) − g(x1) = [g(rx2 + (1 − r)x1)]r=1r=0 =

∫ 1

0

d

dr[g(rx2 + (1 − r)x1)] dr

=(∫ 1

0Dxg(rx2 + (1 − r)x1)dr

)(x2 − x1).

Tot seguit usem aquesta formula amb g(x) = f(s, x), x1 = x(s) i x2 = y(s)(entenem s fixat). Per simplificar les notacions introduım tambe:

f(s) :=∫ 1

0Dxf(t, ry(s) + (1 − r)x(s))dr.

Llavors obtenim

f(s, y(s))− f(s, x(s)) = f(s)(y(s) − x(s)), ∀s ∈ [a, b].

10De fet hauriem d’escriure yh(t) per “ressaltar” la dependencia de y(t) en h, pero persimplificar les notacions ometrem h.


Si ho substituım en l’expressio de Z(t; h):

Z(t; h) =∫ t

t0

[f(s)(y(s) − x(s)) −Dxf(s, x(s))Y (s)h

]ds

=∫ t

t0f(s)(y(s) − x(s) − Y (s)h)ds

+∫ t

t0

[f(s) −Dxf(s, x(s))

]Y (s)hds. (3.11)

Aleshores observem les seguent propietats:

1. Com que ry(s) + (1 − r)x(s) ∈ Aδ0 , ∀s ∈ [a, b], r ∈ [0, 1] i |Dxf | ≤ Len Aδ0 , llavors |f(s)| ≤ L, ∀s ∈ [a, b].

2. Com que x(t) = φ(t; t0, x0), y(t) = φ(t; t0, x0 + h) i φ es contınua,llavors, per continuıtat uniforme sobre compactes,

limh→0

y(s) = x(s),

uniformement ∀s ∈ [a, b].

3. Per continuıtat uniforme de Dxf en Aδ0 tenim que

limh→0

Dxf(s, ry(s) + (1 − r)x(s)) = Dxf(s, x(s)),

uniformement ∀t ∈ [a, b], r ∈ [0, 1].

4. Per tant, usant la convergencia uniforme en l’expressio integral de f(s),

limh→0

f(s) = Dxf(s, x(s)),

uniformement ∀s ∈ [a, b]. Equivalentment:

|f(s) −Dxf(s, x(s))| ≤ σ(h), ∀s ∈ [a, b],

on limh→0 σ(h) = 0 (aixo es, σ no depen de s).

Finalment, si denotem M := sups∈[a,b] |Y (s)| i recordem la definicio (3.9) deZ(t; h), llavors acotant (3.11) obtenim:

|Z(t; h)| ≤∣∣∣∣∫ t

t0L|Z(s; h)|ds

∣∣∣∣+ (b− a)Mσ(h)|h|, ∀t ∈ [a, b].

Usant la desigualtat de Gronwal (corol·lari 2.39) podem concloure que

|Z(t; h)| ≤ (b− a)Mσ(h)|h|eL|t−t0| ≤ (b− a)Mσ(h)|h|eL|b−a|, ∀t ∈ [a, b].

Per tant, si dividim per |h| i fem h→ 0 obtenim (3.10).


Comentari 3.18. La derivabilitat de φ respecte de t0 es consequencia de ladiferenciabilitat de φ respecte de x0. En efecte, usant la propietat (a) dellema 3.2, podem escriure la seguent equivalencia:

φ(t; t0 + h, x0) = φ(t; t0, φ(t0; t0 + h, x0)).

Si derivem ambdos costats respecte de h i fem h = 0 obtenim:

Dt0φ(t; t0, x0) = Dx0φ(t; t0, φ(t0; t0, x0))Dt0φ(t0; t0, x0)

= Dx0φ(t; t0, x0)Dt0φ(t0; t0, x0).

A mes, derivant respecte de t0 la identitat φ(t0; t0, x0) = x0 obtenim:

Dtφ(t0; t0, x0) +Dt0φ(t0; t0, x0) = 0.

Finalment, usant que φ es solucio de l’edo tenim que Dtφ = f(t, φ) i podemconcloure la seguent formula explıcita per a Dt0φ en termes de Dx0φ:

Dt0φ(t; t0, x0) = −Dx0φ(t; t0, x0)f(t0, x0).

Comentari 3.19. Si f = f(t, x, λ) depen d’un vector de parametres λ ∈ Rm,

llavors la diferenciabilitat de φ respecte parametres la podem establir com acorol·lari del teorema 3.17 si, usant la proposicio 3.1, afegim els parametrescom a noves variables del sistema i demanem que f sigui diferenciable respec-te de (x, λ) ∈ R

n+m, amb derivades parcials contınues. (Exercici: Formalit-zeu l’enunciat del teorema de diferenciabilitat de solucions respecte condicionsinicials i parametres.)

Alternativament, podem tractar la diferenciabilitat de φ(t; t0, x0, λ0) res-pecte de λ0 ∈ R

m de forma especıfica i introduir les anomenades equacionsvariacionals respecte parametres. Aixı, si diferenciem respecte de λ0 la relacio

d

dtφ = f(t, φ, λ0)

i permutem les derivades ddt

i Dλ0 , obtenim:

d

dt(Dλ0φ) = Dxf(t, φ, λ0)Dλ0φ+Dλf(t, φ, λ0),

onDλ0φ es una matriu amb n files im columnes. A mes, diferenciant respecteλ0 l’identitat φ(t0; t0, x0, λ0) = x0, obtenim Dλ0φ(t0; t0, x0, λ0) = 0. Per tant,si fixem condicions inicials (t0, x0, λ0) i denotem per x(t) := φ(t; t0, x0, λ0),


llavors la matriu Λ(t) := Dλ0φ(t; t0, x0, λ0), i. e., la matriu Dλ0φ avaluadasobre la solucio x(t), la podem obtenir resolent el PVI:

Λ′ = A(t)Λ + b(t), Λ(t0) = 0,

on A(t) := Dxf(t, x(t), λ0) es una matriu n × n i b(t) := Dλf(t, x(t), λ0)es una matriu n ×m. Aixo es, les equacions variacionals (de primer ordre)respecte parametres venen donades per una edo lineal no homogenia ambcondicions inicials homogenies.

Exemple 3.20. Com a generalitzacio al cas parametric de l’edo de l’exem-ple 3.14, considerem ara x′ = f(t, x, λ) = 2λtx2. Es facil veure que:

φ(t; t0, x0, λ0) =x0

1 − (t2 − t20)λ0x0

, Dλ0φ =x2

0(t2 − t20)

(1 − (t2 − t20)λ0x0)2.

Si fixem t0 = 0, x0 = 1 i λ0 = 1 llavors x(t) = 1/(1− t2) i Λ(t) = t2/(1− t2)2.Aleshores, podem comprovar que Λ(t) es solucio del PVI

Λ′ =4t

1 − t2Λ +

2t

(1 − t2)2, Λ(0) = 0,

ja que Dxf(t, x(t), λ) = 4λtx(t) i Dλf(t, x(t), λ) = 2t(x(t))2.

Reprenenet la discussio sobre la regularitat de φ, observeu que si com-binem la diferenciabilitat de les solucions respecte condicions inicials (teore-ma 3.17) amb els comentaris 3.13 i 3.18 sobre la derivabilitat de φ respectet i t0, facilment podem concloure el seguent resultat de regularitat C1 de φ.

Teorema 3.21. Amb les notacions del teorema 3.17. Si f ∈ C1(Ω) llavorsφ ∈ C1(D).

Comentari 3.22. Es clar que el mateix resultat es cert si f = f(t, x, λ)depen d’un vector de parametres λ ∈ R

m i f ∈ C1. Llavors φ ∈ C1 (respectecondicions inicials i parametres).

El seguent pas es extendre el teorema 3.21 al cas Cr.

Teorema 3.23. Si f ∈ Cr(Ω) llavors φ ∈ Cr(D).

Demostracio: Procedim per induccio respecte de r. Es clar que si r = 1 elresultat es cert. Suposem que es cert per a un r ≥ 1 donat i anem a veureque tambe es valid pel cas r + 1.

Sigui doncs f ∈ Cr+1 fixada i considerem l’edo x′ = f(t, x). Volem veureque la funcio φ = φ(t; t0, x0) que ens dona les seves solucions es Cr+1. Com


que f ∈ Cr+1, i per tant Cr, llavors per la hipotesis d’induccio tenim queφ es almenys Cr. Per provar que de fet φ ∈ Cr+1 el que veurem es que lesderivades parcials de φ son Cr. Es clar que una manera de definir una funcioCr+1 es demanar que les seves derivades primeres siguin Cr.

Com que Dtφ = f(t, φ) i Dt0φ = −Dx0φ · f(t0, x0), llavors si veiem queDx0φ es Cr ja hem acabat. Pero Y = Dx0φ la podem obtenir com a soluciode les equacions variacionals:

Y ′ = F (t, Y ), Y (t0) = Idn, (3.12)

on F (t, Y ) := Dxf(t, φ)Y . Llavors es clar que si f ∈ Cr+1 i φ ∈ Cr, la funcioF es Cr. Aleshores, per hipotesis d’induccio, les solucions de l’equacio (3.12)son Cr i per tant Dx0φ ∈ Cr tal com voliem veure.

Comentari 3.24. Analogament al comentari 3.22, es clar que la regularitatCr tambe es valida en el cas de dependencia parametrica.

Tal com ja hem discutit breument al inici del capıtol, un context on la “re-gularitat de les solucions” juga un paper molt important es en l’anomenadateoria de pertorbacions. Aixo es, quan l’edo depen d’un o mes parametres,pero de forma que per a un valor concret dels parametres (tipicament zero)llavors l’equacio pren una forma “senzilla”. Aquest plantejament es para-digmatic en multitud de contextes de la ciencia i la tecnologia, ja que es moltcomu que poguem modelar exemples aplicats en termes d’un sistema d’edosmes o menys senzill (sistema no pertorbat) mes una pertorbacio “petita” (unaaltra cosa es si en el problema real la pertorbacio es o no prou petita perquel’estudi pertorbatiu serveixi d’alguna cosa!).

Un bon exemple n’es el camp de l’astrodinamica. Aixı, si per exemplevolem modelar el moviment d’un objecte atrificial al voltat de la Terra, esnatural que el problema no pertorbat sigui el corresponent al moviment d’a-quest objecte sota l’atraccio gravitatoria de la Terra i la Lluna, mentre queel problema pertorbat correspondria a afegir l’atraccio solar i, si volem unmodel mes acurat, tambe la dels planetes mes massius.11

Per a introduır algunes nocions basiques de la teoria de pertorbacions,considerem el seguent sistema d’edo’s n-dimensional:

x′ = g(t, x, ε) := f0(x) + εf1(t, x) + ε2f2(t, x) + · · · , (3.13)

on 0 < ε << 1 es un parametre petit. Suposem coneguda x0(t) una so-lucio corresponent al sistema no pertorbat ε = 0 amb x0(0) = x0 i volem

11El Jet Propulsion Laboratory (JPL) de la NASA proporciona un model “complert”per a la navegacio en el Sistema Solar, conegut com a JPL Ephemerides, que fins i tot teen compta l’efecte de la pressio solar i correccions relativistes.


aproximar, per a ε prou petit, la solucio x(t; ε) de (3.13) amb les mateixescondicions inicials, i. e., x(0; ε) = 0 per a tot ε. Aleshores, si suposem queg ∈ Cr, podem aproximar x(t; ε) desenvolupant (per Taylor) en potencies deε. Aixo es:12

x(t; ε) = x0(t) + εx1(t) + ε2x2(t) + · · · + εrxr(t) + or(ε), (3.14)

on xj(t)j=1,...,r son funcions (incognita) verificant xj(0) = 0, per a totj = 1, . . . , r. Per obtenir-les, substituım l’expressio (3.14) en l’edo (3.13) iigualem potencies de ε. Aixı (es clar que ′ = d

dt):

(x0(t) + εx1(t) + ε2x2(t) + · · · )′ = f0(x0(t) + εx1(t) + ε2x2(t) + · · · )+εf1(t, x0(t) + εx1(t) + · · · )+ε2f2(t, x0(t) + · · · ) + · · · ,

ens porta a equacions de la forma

x′0 = f0(x0), x0(0) = x0, (3.15)

x′j = A(t)xj + bj(t), xj(0) = 0, j = 1, . . . , r, (3.16)

on A(t) = Dxf0(x0(t)) i els vectors bj(t) es poden calcular a partir de lesfuncions fll≤j i xll<j. Per exemple, b1(t) = f1(t, x0(t)) i13

b2(t) =1

2D2xf0(t, x0(t))[x1(t), x1(t)] +Dxf1(t, x0(t))x1(t) + f2(t, x0(t)).

Aixı doncs, l’equacio (3.15) es obvia en quant x0(t) es solucio del sistema nopertorbat, mentre que per a calcular xj(t), per a tot j = 1, . . . , r, cal resoldreun sistema d’edo’s lineal i no homogeni, amb condicions inicials homogenies(mes detalls en el proper capıtol 4), on el terme independent bj(t) el podemcalcular recursivament un cop conegudes les solucions xl(t) per a l < j.

12La notacio or(ε) (“o petita”) vol dir limε→0or(ε)

εr = 0.13Recordeu que si h : Ω ⊂ R

n 7→ R es Ck i a ∈ Ω, llavors la seva diferencial k-esimaDk

xh(a) : (Rn)k 7→ R es una forma multi-lineal simetrica definida per Dkxh(a)[v1, . . . , vk] =∑

j1,...,jk∈1,...,n Dkxj1

,...,xjkf(a)v1,j1 · · · vk,jk

, on el sumatori s’esten per a totes les possibles

tries d’indexs (repetits o no) j1, . . . , jk dins del conjunt 1, . . . , n i on v1, . . . , vk ∈ Rn,

essent vl,j la componet j del vector vl. En el cas h = (h1, . . . , hs), llavors Dkxh(a) : (Rn)k 7→

Rs es calcula component a component.

Equacions Diferencials Ordin`aries - MAT UPCpoden coexistir indeﬁnidament en “harmonia”....

Documents

Transcript of Equacions Diferencials Ordin`aries - MAT UPCpoden coexistir indeﬁnidament en “harmonia”....