Colegio Salesiano Don Bosco

Prof. Luis Diego Aguilar S.

GEOMETRÍASÉTIMO AÑO

Geometría en la Naturaleza

El hombre y la Geometría

Conceptos primitivosExisten 3 elementos con los que se originan y sustentan todos los demás elementos geométricos y definiciones, por tanto, carecen de definición formal y solo pueden ser explicados o descritos de manera intuitiva. Como estos elementos no están definidos, se les denomina:

Conceptos Primitivos

PUNTOEl punto es la unidad geométrica que origina todo lo demás. Solo tiene posición. No tiene dimensión, anchura ni espesor.

Podemos imaginarlo haciendo una marca con un lápiz en un papel, aunque este punto gráfico por tener forma, no representa estrictamente al punto geométrico.

𝑨 ∙

RECTAUna recta es un “trazo” que no tiene principio ni fin. Puede imaginarse como un punto en movimiento perpetuo en ambas direcciones.La recta no tiene anchura ni grosor, pero sí longitud infinita.

Simbólicamente se representa de dos formas:

𝐴𝐵Recta𝑨

𝑩 𝒎

𝑚Recta

PLANOEs la región donde se puede trazar líneas rectas, por tanto, es también infinita. Posee longitud y anchura, pero no tiene espesor.Podemos imaginarlo como una página de papel, una pared o un terreno llano.Se representa simbólicamente de dos maneras:

𝑨 ∙ ∙𝑩�̇�𝑨𝑩𝑪Plano

𝝅

𝝅Plano

Con tres puntos quepertenezcan al plano

Con una letra delAlfabeto griego

Confirmemos lo aprendidoEn la siguiente figura, identifique los puntos, rectas y planos.

𝝅

𝑫 𝑬

𝑭𝑮

Subconjuntos de la Recta

Una semirrecta a cada una de las partes que se obtiene al “cortar” una recta en un punto llamado frontera u origen , que no pertenece a ninguna de las semirrectas.

Simbólicamente, se representa así:

SEMIRRECTA

𝑨 𝑩𝑷

�⃗�𝐵Semirrecta

Subconjuntos de la Recta

La unión de una semirrecta con el punto frontera recibe el nombre de rayo. El rayo tiene principio (punto frontera) , pero no tiene fin.

Simbólicamente, se representa así:

RAYO

𝑨 𝑩𝑷

�⃗�𝐵Rayo

Subconjuntos de la Recta

Es la parte de la recta entre los puntos extremos, incluyéndolos. El segmento tiene longitud, pues es la distancia más corta entre dos puntos.

Simbólicamente, se representa así:

SEGMENTO

𝑨 𝑩𝐴𝐵Segmento

Cuadro Resumen

�⃗�𝐵Rayo

�⃗�𝐵Semirrecta

𝐴𝐵Segmento

𝑩𝑨

𝑩𝑨

𝑨 𝑩

𝑨 𝑩Recta 𝐴𝐵 𝐵𝐴o

𝐵𝐴o

¿Cuántos puntos son necesarios para trazar una recta?¿Y qué tal dos puntos?

1. Dos puntos determinan una recta.

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

2. Tres o más puntos que pertenecen a una recta se llaman Puntos Colineales. Caso contrario, se llaman No Colineales.

𝑨 𝑪𝑫

𝑩𝒎𝒏

Simbólicamente:

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

3. Cuatro o más puntos que pertenecen a un mismo plano se llaman Puntos Coplanares.

𝑯

𝑳𝑲

𝑴 Simbólicamente:

𝐻 ,𝑀 ,𝐾 ,𝐿∈ 𝛿𝜹

Son coplanares.

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

4. Tres puntos no colineales determinan un plano. Si dos o más rectas están contenidas en un mismo plano, se llaman Rectas Coplanares.

𝑫

𝑭

𝑬

𝜷

Simbólicamente:

𝐷𝐸 ,𝐸𝐹 ,𝐹𝐷∈𝛽Son coplanares.

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

5. Dos rectas m y k son paralelas si son coplanares y no se intersecan.

Simbólicamente:

𝑚 ,𝑘∈𝛼⇒𝑚‖𝑘𝜶𝒎

𝒌 𝑚∩𝑘=∅

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

6. Una recta tiene infinitos puntos. Cuando dos rectas se intersecan, lo hacen en un punto.

𝑷

𝒎𝒏

Simbólicamente:

𝑚∩𝑛={𝑃 }

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

7. Si una recta está contenida en un plano, entonces la intersección entre una recta y un plano es la misma recta.

Simbólicamente: 𝜶𝒎 𝑚∩𝛼=𝑚

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

8. Si una recta y un plano no se intersecan, entonces la recta es paralela al plano.

Simbólicamente:

𝜹

𝒌

𝑘∩𝛿=∅𝛿 ‖𝑘⇒

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

9. Si una recta no está contenida en un plano y no es paralela a él, entonces la intersección de la recta y el plano es un punto.

Simbólicamente:

𝝅

𝒎

⇒𝑚∩𝜋= {𝑅 }𝑚⊄𝜋 ,𝑚∦𝜋𝑹

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

10. La intersección de dos planos diferentes es una recta.

Simbólicamente:

𝜷

𝒍

𝛽∩𝜔=𝑙

𝝎

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

11. Una recta contenida en un plano, lo divide en tres subconjuntos: la recta y dos semiplanos.

Simbólicamente:

𝜷

𝒍𝛽=𝑙∪𝛽1∪𝛽2semiplano

rect

a

semiplanoSemiplanos 𝛽1 y 𝛽2

𝜷𝟏

𝜷𝟐

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

12. Dos rectas son perpendiculares, si se intersecan formando ángulos rectos.

𝑷𝒎

𝒏Simbólicamente:

𝑚⏊𝑛𝑚∩𝑛={𝑃 }

Relaciones entre puntos, rectas y planos.

13. Dos rectas se llaman alabeadas, si no tienen ningún punto en común y no pueden contenerse en un plano.

𝒎

𝒍Simbólicamente:

𝑚⊂𝛿 , 𝑙⊂𝛽𝑚∩𝑙=∅

𝜹

𝝁

𝜷