GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A Segmentos

Si has entendido las relaciones anteriores seguro que,a la vista de la figura, eres capaz de obtenermentalmente el valor de los segmentos que quedan pordeterminar:

Teorema de TalesLos segmentos producidos en dosrectas que se cortan por un haz derectas paralelas son proporcionales.

Observa que, además de las relaciones establecidas por el teorema deTales, también se pueden expresar otras relaciones entre segmentos delas dos rectas que se cortan:

También se producen relaciones deproporcionalidad entre segmentosde las rectas que se cortan ysegmentos producidos en las rectasparalelas.

Dados A y B, obtener los puntos P de la recta que pasapor ellos cuya relación de distancias a los puntos A yB sea PA/PB=5/2

En la recta que pasa por A y por P obtenemos los puntosM y N tales que AP=2MP y AP=2PN.Para que se mantenga la relación de distancias, las dossoluciones tendrán que ser paralelas a las rectasresultado de unir los puntos M y N con el punto B.

Solución: a=6; b=3; c=4; d=6; e=5; f=7,5; g=5; h=15

a =b =c =d =e =f =g =h =

a a+b a+b+cu v w= = = ... = cte.

a´ ac´ c=a´ a

b´ b=

Por último, un haz de rectas que secortan en un punto O, producen endos rectas paralelas segmentosproporcionales:

a´ b´ c´a b c= = = ... = constante

u u´v v´= = ... = constante

1

a´

... .

. .

.a

b´

c´c

b

O

... .

. .

.a

c

b

O

u

w

v.

.u´

v´

Trazar, por el punto P, la recta r que corte a las rectasa y b en puntos A y B, respectivamente, de tal maneraque se cumpla la relación PA/PB=2/5.

2

4c

6

d

12

b

10ae

gf

15

9 h

.... . .

. . .

.

Trazar, por el punto P, las rectas r que pasen a dobledistancia del punto A que del punto B.

..

.

P

A

B

r1

r2

M

N

En una recta auxiliar r´que pase por P situamos larelación PA´/PB´= 2/5, estando A´en a, y obteniendoB´. En punto B tendrá que encontrarse en la paralelaa la recta a por B´para que se mantenga la relación.

.

.

.

.

.

a

b

P

A

B

A´

B´

r

r´

Situamos la relación en una recta auxiliar que pase porA, obteniendo G, M y N. Las paralelas a las rectas MBy NB por G determinan los puntos P buscados.

.

.

Consecuencias del teorema de Tales

c´ cb´ b=

....P1A B

rP2

2

5

2

.

.

.M

N

G

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A Ángulos

Ángulos complementarios son los que suman 90º.Ángulos suplementarios son los que suman 180º.

Arco capazSe llama arco capaz de un segmento AB para un ánguloa dado al lugar geométrico de los puntos P desde losque se observa el segmento AB, fijo, bajo el ángulo a.

Recuerda

Construcción de un arco capaz conocido el segmento AB y el ángulo a.1.- Colocamos el ángulo como vemosen la figura, apoyándonos en elsegmento AB y hacia el otro ladodel arco que vamos a construir.Obtenemos r.2.- Trazamos la recta s perpen-dicular a r por A.3.- Trazamos la recta n, mediatrizdel segmento.4.- La intersección de s con lamediatriz es el centro del arcocapaz.

.2a

a

Se demuestra que la relación secumple puesto que para cualquierpunto P del arco, el ángulo APBresulta inscrito en la circunferenciay su valor es la mitad del ángulocentral AOB que mide precisamente2a.

2

Dados A, P, Q y r, obtener lospuntos B de la recta r tal que losángulos APB y AQB sean iguales.

El arco capaz es un arco de circunferencia que tienepor extremos los extremos del segmento.

El punto B será extremo de un arcocapaz del que no conocemos ni elsegmento ni el ángulo pero quepodemos construir pues los trespuntos dados pertenecen a él.

.

.

.

.P

A

B1Q

r.

B2.

.

A .B

.

C.V

Problema de Pothenot o de la trisección inversa: Determinar la posición del velero desde el que se observan lospuntos A, B y C de la costa bajo los siguientes ángulos: AVB = 105º; BVC = 60º

M

N

O.

.

BA

a

aa

a

P1

P2P3

P4Ángulo central es el que tiene suvértice en el centro de unacircunferencia. Ángulo inscrito esel que tiene su vértice en un puntode la circunferencia.El valor de un ángulo inscrito es lamitad del ángulo central que lecorresponde.

En tres rectas que se cortan los ángulos interioressuman 180º y un ángulo exterior mide la suma de losángulos interiores no adyacentes.

a + b + g = 180ºd = b + g

Se resuelve construyendo dos arcos capaces de 105ºy 60º para los segmentos AB y BC respectivamente.El velero V se encontrará en la intersección de ambos.

ab

g

d

.

r

M BA.

O

..

a

s

P

a

a

n.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A Triángulos

3

Rectas y centros

CircuncentroEs el centro de la circun-ferencia circunscrita.Está determinado por lasmediatrices.

IncentroEs el centro de la circun-ferencia inscrita. Estádeterminado por lasbisectrices.

BaricentroEs el punto donde secortan las medianas. Seencuentra a 1/3 del piéde cada mediana y a 2/3del vértice.

OrtocentroEs el punto donde secortan las alturas.

Mediatrices son las per-pendiculares a los ladospor sus puntos medios.

Bisectrices son las rectasque dividen a los ángulosen dos ángulos iguales.

Medianas son las rectasque pasan por un vérticey por el punto medio dellado opuesto.

Alturas son las perpendi-culares a los lados por elvértice opuesto.

ha

A

hb

H.BC

.

.

.

hc.

A

Ma

G

BC

Mb Mcma

mbmc

A

waI.wc wb

BC

Mc.

A

Ma BC

O

.Mb. ...

El baricentro está alineado con elortocentro y el circuncentro, y adoble distancia del primero que delsegundo. La recta que pasa porestos tres puntos se llama rectade Euler. A

BC

O..

.G

H

e

Recta de Euler

GH = 2GO

Puntos medios

Las rectas que pasan por dospuntos medios son paralelas altercer lado y pasan a la mitad desu altura.Los segmentos que tienen porextremos puntos medios miden lamitad del tercero de los lados.

A

BC

2mb

a a D

mb

A

BC

2mc

DesdoblamientosObserva las relaciones que producen las medianas al realizar desdoblamientosa partir del triángulo original ABC.

D

A

Ma BC

Mb Mca/2ha2

ha2

.

A

wa

M BC

P

.

.

O

Construir un triángulo conocidos:A=45º, ha=39, mb=30

Construir un triángulo conocidos:b=24, c=45, ma=30

Trazamos tres rectas paralelasseparadas la mitad de la altura.Tomamos un punto B y trazamosarco de radio la mediana obteniendoMb. Obtenemos A con un arco capazde 45º para mb.

h a/2

h a/2

B C

A

Mb.O

mb

A

B

C

m a

c

b bMb..

Ma

c/2

2ma

Colocado un lado b, podemosobtener Ma a partir del punto medioMb o bien podemos obtener B apartir del punto doble P.

P

La bisectriz de un ángulo y lamediatriz del lado opuesto secortan en un punto P de lacircunferencia circunscrita.

Bisectriz y mediatriz

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

Triángulos rectángulos

Teorema de la altura: La altura trazada desde el ángulorecto es media proporcional entre los dos segmentos enque su pié divide a la hipotenusa.Teorema del cateto: Cada cateto es media proporcionalentre la hipotenusa y su proyección sobre ella.Teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de los catetos.

A

ha

BC .P

.

b c

b1 c1a

ha2 = b1c1

b2 = ab1

c2 = ac1

a2 = b2+c2

Triángulos

4

Si en un triángulo FGH abatimos sobre uno de los ladoslos otros dos, se producen las siguientes relacionesque habrá que considerar cuando de un triángulo seconozca la suma de dos o de tres lados.

Los triángulos FPG y FQH son isósceles.Los ángulos en P y en Q son la mitad de los ángulos enG y en H respectivamente.Los vértices G y H se encuentran en las mediatricesde los segmentos FP y FQ.

Suma de lados

b/c = PC/PB = QC/QB

Las bisectrices interior y exterior de un ángulo producenen el lado opuesto segmentos proporcionales a los ladosdel ángulo considerado.

Teorema de la bisectriz

Un lugar geométrico importanteAl formar las bisectrices interior y exterior un ángulode 90º se puede afirmar que el lugar geométrico de lospuntos (como el A) cuya razón de distancias a dospuntos fijos (C y B) es conocida (b/c), es una circun-ferencia de diámetro PQ, puntos que mantienen lamisma relación de distancias y se encuentran en larecta que pasa por dichos puntos fijos.

B

wi we

C

A

b c

QP. .. .

.

Construir un triángulo conocidos:45 mm, mc = 24 mm, c/b = 5/2

HG

F

h

fP h Qg

gg/2 b/2bg

Construir un triángulo conocidos:A = 45º, a = 33 mm, b+c = 59 mm

Construir un triángulo conocidos:a = 42 mm, ma = 36 mm, c/b = 1/3

BC QP. . . .

Ma

Am a

cb

Colocamos el lado a.A continuación obtenemos los puntos P y Q que mantienenla misma relación de distancias (1/3) respecto de losextremos del lado a. Trazamos la circunferencia dediámetro PQ, en ella estará el vértice A.Completamos el triángulo trazando arco de centro May radio ma.

a

BCQ P. .. . .

2mc

D

b c

A

a

Como en el caso anterior colocamos el lado a y obtene-mos los puntos P y Q que ahora mantienen la relación dedistancias 5/2 respecto de los extremos del lado a.Trazamos la circunferencia de diámetro PQ.Completamos en este caso el triángulo haciendo uso delpunto doble D: trazando el arco de centro D y radio dosveces la mediana mc.

Colocamos la suma de lados en una recta, el segmentoBP. En el extremo P colocamos la mitad del ángulo A ycon centro en el extremo B trazamos arco de radio a,obteniendo el vértice C. En la mediatriz de CP seencontrará el vértice A.También podríamos haber colocado el lado a y construidoun arco capaz para el ángulo A/2. Con centro B y radiob+c obtendríamos P y a partir de él, el triángulo.

B

C

A b+c

a

P

b

A/2c

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

Sus cuatro ángulos son inscritos ala circunferencia y por lo tanto losángulos opuestos son suplemen-tarios.

Cuadrilátero inscriptible

Cuadriláteros

Es el cuadrilátero que tiene suscuatro vértices en una mismacircunferencia.

Las rectas que unen los puntos me-dios de los lados forman un paralelo-gramo.Las rectas que unen los puntosmedios de dos lados opuestos y lospuntos medios de las diagonalesforman un paralelogramo.

Para construir un polígono de n lados se necesitan, en general, un mínimode 2n-3 datos de magnitudes independientes entre sí.

La suma de los ángulos interioreses 360º.

Construcción de polígonos

Criterios de semejanza de triángulosDos triángulos son semejantes si tienen:

I.- Dos ángulos iguales.II.- Un ángulo igual y dos lados proporcionales.III.- Los tres lados proporcionales.

Semejanza de polígonosIgualdad de polígonos

A

BC A

B

C

A´

B´

C´

Recuerda que dos polígonos semejantes tienen todossus ángulos ordenadamente iguales y los lados que loscomprenden son proporcionales.

Recuerda que dos polígonos iguales tienen todos suselementos, lados, ángulos y diagonales iguales ydispuestos del mismo modo.

Criterios de igualdad de triángulosDos triángulos son iguales si tienen:

I.- Dos ángulos iguales y un lado igual.II.- Un ángulo igual y dos lados iguales.III.- Los tres lados iguales.

a´ b´ c´a b c= = = r

A´

B´

C´ b´

c´a´c

b

a

(razón de semejanza)

b

ag

b

ag

Polígonos

5

P

A

B

CD

M

R

S

Q

N

Trapecios

A

B

CD 180º-a

a

Si en un trapecio restamos a la base mayor la base menor obtenemos untriángulo FGH que permitirá construir el trapecio cuando se conozcan loscuatro lados.Si sumamos las bases, el triángulo FGH permitirá construir el trapeciocuando se conozcan las dos bases y las dos diagonales.

A

B

C

Da

E Mb

N

Así en el pentágono dado por su croquis comenzaríamos construyendo,mediante un arco capaz y un punto doble, el triángulo BDE, del queconocemos lado BE, ángulo opuesto b y mediana BM.A continuación construiríamos el triángulo BCD sabiendo que EC=2MN.Con facilidad obtendríamos el último vértice A.

El procedimiento para la cons-trucción de polígonos será obsevarlos datos que se tienen y comenzarconstruyendo el triángulo del quese tiene más datos (mínimo tres).La construcción de uno de lostriángulos supone disponer de másdatos para el siguiente triángulo.La construcción sucesiva de trián-gulos conducirá a la construccióndel polígono.

b1 b2

b2

d1 d2 d2

b1

b2

b2

l1 l2 l2

Además, a la vista de la segunda figura observamos que d2 divide a d1 ensegmentos proporcionales a b1 y b2 por lo que se puede afirmar que lasdiagonales se dividen mutuamente en segmentos proporcionales a las bases.

H

G F

H

G F

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

Áreas polígonos semejantesÁrea de un polígono irregular

Polígonos equivalentes

6

Triángulo en un cuadrado equivalenteCon un lado a del triángulo y la mitad de su altura ha/2realizamos la siguiente construcción:1 Semicircunferencia de diámetro a+ha/2.2 Perpendicular por Q.3 El punto de corte de la perpendicular con la semicir-cunferencia determina el valor del lado del cuadradoequivalente.

Descomponemos el polígono en un triángulo + otro po-lígono y transformamos el triángulo en otro equivalenteprolongando un lado contiguo del polígono dado .

ha/2aQP R

S

l

Efectivamente el triángulo obtenido PSR es rectánguloy por tanto se cumple el teorema de la altura.

Polígono de n lados en otro de n-1 lados

ABCDE = ABC+ACDE

AFC+ACDE = FCDE

G

Repitiendo la opera-ción siempre podemosllegar a transformarcualquier polígono enun triángulo equiva-lente:

A E

D

C

B

F

FCDE = CDE+EFC

CGE+EFC = FCG

Puedes observar que los cuatro triángulos de la figurason equivalentes al tener todos la misma base a y lamisma altura ha.

Triángulo en rectángulo equivalente: manteniendo unlado y tomando la midad de su altura o bien manteniendola altura y tomando la mitad de su lado:

Transformaciones equivalentesDos polígonos son equivalentes si tienen la misma área.Un triángulo se puede transformar con facilidad en otroequivalente manteniendo un lado fijo y moviendo el vérticeopuesto en la paralela a dicho lado.

Rectángulo en otro equivalente de lado l conocido:colocando el lado l a continuación de uno de los lados delrectángulo dado y construyendo la siguiente figura:

a

ha

B C

A1A4 A3 A2

Para obtener el área de un polígono irregular lo normales descomponer en triángulos y sumar las areas de lostriángulos. Sin embargo en algunos casos puede sermás práctico descomponer en trapecios o inclusoinscribir el polígono en un paralelogramo. Observa lasfiguras:

a

La relación entre las áreas de dos polígonos semejanteses igual al cuadrado de la razón de semejanza.Observa como ejemplo los dos triángulos de la figura,son semejantes de razón 2 y la relación entre las áreases el cuadrado de 2, esto es 4.

a´=2a

Si queremos construir un polígono semejante a otrosiendo conocida la relación entre las áreas, no tendremosmás que obtener la razón de semejanza que será iguala la raiz cuadrada de dicha relación entre las áreas.

l

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

División de triángulos

División pasando por un punto P situado en uno de los lados

Transformamos el triángulo ABCen otro equivalente de vértice P, elPDC.Dividimos el nuevo triánguloobteniendo las rectas PE y PF.La recta PF es solución por sercomún a los dos triángulos, el ABCy el PDC.La recta PE no es común a los dostriángulos, necesitamos realizar unatransformación en sentido contrariopara darle la forma del triángulooriginal ABC.Lo conseguimos trazando otraparalela por E para obtener G y conello la segunda solución PG.

1 Transformamos el polígono en untriángulo equivalente de vértice P.2 Dividimos el triángulo, cumpliendolas condiciones de área, medianterectas que pasan por P.3 Si es necesario volvemos arealizar transformaciones equi-valentes en sentido contrario paradevolver a las divisiones obtenidasen el triángulo la forma del polígonooriginal.

Las medianas dividen al triángulo endos partes equivalentes.

En tres partes proporcionales atres números m, n y q medianterectas que pasan por un vértice.

En dos partes equivalentes medianteuna recta que pasa por un vértice.

A

a/2 a/2

ha

Dividiendo el lado opuesto en partesproporcionales a m, n y q.

División de un triángulo en trespartes proporcionales a tresnúmeros m, n y q de modo que cadadivisión tenga por base uno de loslados del triángulo.

A

m

ha

n q

P

m n q

Dividiendo como en el caso anteriory luego transformando triángulosobtenemos el punto P.

Ejemplo: Dividir el triángulo ABC en partes proporcionales a 1, 4, 1 medianterectas que pasen por el punto P.

División de polígonos medianterectas que pasan por un punto Psituado en uno de los lados:

.P .P

División de polígonos

7

A

E

D C

B

F

Dividir el polígono ABCDE en cuatro partes proporcionales a 1, 2, 2 y 2 mediante rectas que pasen por P.

.

G HI J K

L

N

M

P

1 12

2

3 3

33

2

Ahora dividimos el lado HG ensegmentos proporcionales a 1, 2, 2,2 obteniendo los puntos I, J y K.La recta KP del triángulo es comúnal polígono original luego es válida.La división por J y por I se salendel polígono original y requieren latransformación 3 en sentidocontrario para obtener M y L.M ya es del polígono original luegoMP es válida, sin embargo el puntoL sigue siendo exterior y requierela transformación 2 en sentidocontrario para obtener N y con élla última recta NP.

Observa las transformaciones realizadas hasta llegaral triángulo PHG:

1- ABCDE en APHDE2- APHDE en PHDF3- PHDF en PHG

A

1 4

.P

B CD E F

G

1

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

Circunferencias tangentes a una recta t en un punto Ty a otra circunferencia c

Tangencias

8

Tomamos el radio r de la circunferencia dada y lo situamosa partir de T en la recta s perpendicular a t, obteniendolos puntos A y B. Las intersecciones de la recta s con lasmediatrices de los segmentos AO y BO serán los centrosde las dos circunferencias solución.

Circunferencias tangentes a una recta r y que pasanpor dos puntos P y Q (Razonamiento: ejes radicales)

(Razonamiento: ejes radicales)

Procedimiento: Trazamos una circunferencia auxiliar cque pase por P y Q. Desde el punto N, intersección de rcon la recta que pasa por P y Q, trazamos tangente a c,obteniendo T. Giramos el segmento tangente NT sobre rpara obtener T1 y T2, puntos de tangencia de lascircunferencias solución.

Procedimiento:Trazamos una circunferencia auxiliar c´que pase por Py por Q obteniendo los puntos de intersección con lacircunferencia dada, R y S.Trazamos las rectas a y b que pasan respectivamentepor P y Q y por R y S. Obtenemos su intersección, elpunto C.Desde C trazamos las tangentes a la circunferencia dadaobteniendo T1 y T2, puntos de tangencia de lascircunferencias solución.Los centros de las circunferencias solución son los puntosintersección de la mediatriz de PQ con las rectas queresultan de unir los puntos de tangencia obtenidos con elcentro de la circunferencia dada.

De la misma manera se resolvería en el caso de encontrarselos puntos P y Q en el interior de la circunferencia dada.

Q

P

c

O1O2

O

.

.

.. ...

.T2

T1

R

S

.

.

c´

C

a b

Circunferencias que pasan por dos puntos P y Q y son tangentes a otra circunferencia c

Q

P

O1O2.

.

..

T2

.. .T1

T

N

c

. r

Rectas tangentes comunes a dos circunferencias c y c

Circunferencias tangentes a una circunferencia c en unpunto T y a otra circunferencia c´

Trazamos dos circunferencias auxiliares c1 y c2 concén-tricas a la c´y de radio suma y resta de los radios.Las rectas buscadas serán las paralelas a las tangentesdesde O a las circunferencias auxiliares c1 y c2.

Tomamos el radio r de la circunferencia c´y lo situamosa partir de T en la recta s (radio OT), obteniendo lospuntos A y B. Las intersecciones de la recta s con lasmediatrices de los segmentos AO´y BO´serán los centrosde las dos circunferencias solución.

.T ...

AB r

c

r

O1O2

O

s

r

c

..

O´.

.r

c

t1c1

O

r

cc2

O´

.t2

t3

t4

r

t1

t2

t3

t4

´

´

´

.T .

.

.. .

A

B r

c

rr

t O1

O2

O

s

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A La elipse

9

Curvas cónicasSon secciones producidas al cortarun cono de revolución por un plano.

Elipse es el lugar geométrico de los puntos como el P cuya suma de distanciasa dos puntos fijos F y F´, llamados focos, es constante (2a): PF + PF´= 2a

.

La elipse

Si el plano corta a todas las gene-ratrices: Elipse.Si el plano es paralelo a una gene-ratriz: Parábola.Si el plano es paralelo a dos gene-ratrices: Hipérbola.

Hipé

rbola

Parábola

Elipse

Es la circunferencia que tiene por centro un foco y por radio la constante 2a.Circunferencia focal

. .

2a . .

F´F

Si unimos un punto cualquiera M dela circunferencia focal con los focosF y F´, la mediatriz t del segmentoMF´corta al radio FM en un puntoT:El punto T es punto de la elipsepuesto que TF+TF´=TF+TM=2a.La mediatriz t es tangente a laelipse pues para cualquier otrop u n t o T 1 d e t , r e s u l t aT1F+T1F´=T1F+T1M que siempreserá mayor que el radio FM=2a.

tT

M

.

La tangente a una elipse por un punto de ella se obtiene con facilidad sin másque trazar la perpendicular a la bisectriz del ángulo FTF´.Otra definición de elipse: Lugar geométrico de los puntos (como el T) queequidistan de un punto (F´) y de una circunferencia (focal de F).

Diámetros conjugadosDos diámetros se dice que son con-jugados si por los extremos de unode ellos las tangentes a la elipse sonparalelas al otro diámetro.

Tangentes por un punto exteriorComo la elipse es también el lugargeométrico de los centros de lascircunferencias que pasan por unpunto (F´) y son tangentes a una cir-cunferencia (focal de F).

Intersección con una recta

Los puntos intersección serán loscentros de las dos circunferenciastangentes a la circunferencia focalde F, que pasan por F´y, para que elcentro se encuentre en r, por el simé-trico de F´respecto de r, Q.

Podemos obtener puntos P de laelipse trazando arcos de circunfe-rencia de centro los focos y radiossegmentos m y n que sumen 2a.Si en la recta que pasa por los focossituamos la mitad de la constantea cada lado de O, obtenemos lospuntos A y B que son de la elipsepues AF+AF´=AF+FB=2a.Si además trazamos arco decircunferencia de centro un foco yradio a , obtenemos los puntos C yD que también son de la elipse.

.. ..

.

F´FA B

.PC

D

a

Los segmentos AB y CD son los llamados ejes de la elipse. Una elipsetambién estaría definida conocidos los ejes pues la constante 2a sería eleje mayor y los focos se obtendrían trazando un arco de circunferenciade radio la mitad de la constante y centro un extremo del eje menor.

Trazando el arco de circunferenciade centro P y radio PF´ obtendre-mos los puntos M de corte con lacircunferencia focal de F. Lasmediatrices de los segmentosMF´serán las tangentes buscadas.

. .. .

F´F

..

.

.

.

t1 T1 M1

t2

T2

M2

r

Trazando la perpendicular desdeF´a la recta obtenemos los puntosM que dan lugar a las dos tangentesbuscadas.

. ..

.

F´F

t1T1

M1

.

..

P

t2

T2M2

Tangentes paralelas a una recta

..F´F

I1

..

Q

I2

r

.

O.

aa

m+n = 2a

n

m

Los ejes de la elipse son tambiéndiámetros conjugados:

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A Parábola e hipérbola

10

La parábolaEs el lugar geométrico de los puntoscomo el P que equidistan de un puntofijo F (foco) y de una recta fija d(directriz).

Podemos obtener puntos de la pará-bola trazando arcos de circunferen-cia de centro F y rectas paralelasa la directriz a la misma distancia.Vértice de la parábola V es el puntomedio de la perpendicular FM.

.d

FV. . m

m

Trazado de tangentesPara obtener la tangente a unaparábola por un punto T de ellabastará trazar la perpendiculardesde T a la directriz. La bisectrizdel ángulo MTF será la tangente.

Para trazar la tangente paralela auna dirección bastará trazar por Fla perpendicular a la dirección, elpunto M intersección con ladirectriz determinara la tangente.Para trazar las tangentes por unpunto exterior P trazaremos el arcode circunferencia de centro P yradio PF, los puntos M de corte conla directriz determinarán lastangentes buscadas.

Para cualquier punto M de la direc-triz d, la mediatriz t del segmentoFM es tangente a la parábola y elpunto T, intersección con la perpen-dicular a la directriz por M, es elpunto de tangencia.

Observa que la parábola se comporta como una elipse con un foco F´impropio,y la directriz como la circunferencia focal de F´, de radio infinito.

.M

.. .

F

T

td

.

Intersección con una rectaObserva que por ser TM=TF, laparábola se puede definir como ellugar geométrico de los centros delas circunferencias que pasan por unpunto (F) y son tangentes a una recta(directriz).

. ...

Es el lugar geométrico de los puntoscuya diferencia de distancias a dospuntos fijos F y F´, llamados focos,es constante (2a).

La hipérbolaEs la que tiene por cento un foco ypor radio la constante 2a.

Circunferencia focal

..

..

Vértices de la hipérbola son los pun-tos A y B situados a una distancia ade O (punto medio de FF´).Podemos obtener puntos de la hipér-bola trazando arcos de circunfe-rencia de centros F y F´ y radios my n, pares de segmentos cuya dife-rencia sea 2a.

Si unimos un punto cualquiera M dela circunferencia focal con los focosF y F´, la mediatriz t del segmentoMF´es tangente a la hipérbola y elpunto T, intersección con el radioFM, es el punto de tangencia (lademostración es análoga a la de laelipse).

F F´

MT

t

2a

. ...F F´

P.

A B.O

m

a a

n

.

Tangentes AsíntotasSon las tangentes a la hipérbola ensus puntos impropios.

Intersección con una recta

Las asíntotas d y d´se obtienen apartir de los puntos de tangenciaM de las tangentes trazadas desdeun foco a la circunferencia focaldel otro foco. La mediatriz del seg-mento MF´ resulta paralela al radioFM, por tanto el punto de tangenciaT se encontrará en el infinito.

Los procedimientos para el trazadode tangentes a la hipérbola sonanálogos a los ya estudiados en laelipse y en la parábola:La tangente a una hipérbola por unpunto T de ella es la bisectriz delángulo FTF´.

La hipérbola es también el lugar geo-métrico de los centros de las circun-ferencias que pasan por un punto (F´)y son tangentes a una circunferencia(focal de F).

Los puntos intersección serán loscentros de las dos circunferenciastangentes a la circunferencia focalde F, que pasan por F´y, para que elcentro se encuentre en r, por su si-métrico Q respecto de r.

.P

M

Los puntos intersección con una rec-ta serán los centros de las circunfe-rencias tangentes a d, pasando por Fy, para que se encuentren en r, por susimétrico Q respecto de r.

d

F

Qr

I1I2

F..

.T8

T8

M

F´

dd´ .

2aLas tangentes paralelas a una di-rección se obtendrán trazando porun foco la perpendicular a la direc-ción. Los puntos M intersección conla circunferencia focal del otro fo-co determinaran las tangentes.Para obtener las tangentes desdeun punto P trazaremos el arco decircunferencia de centro P y radioPF´. Los puntos M de corte con lacircunferencia focal del otro focodeterminarán las tangentes bus-cadas.

....

F F´r

.I1

Q

I2

2a

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

Si obtenemos las dos rectas límitesa partir de los puntos del infinitode una recta r y de su homóloga r´:

Homología planaDos figuras F y F´ son homológicassi se corresponden punto a punto yrecta a recta de tal forma que:1- Las rectas que unen pares depuntos homólogos pasan por unpunto fijo O llamado centro dehomología.2-Los pares de rectas homólogasse cortan en puntos de una rectafija e llamada eje de homología.

Determinación de una homología

Así en la homología de centro O yeje e, los puntos A´, B´son homó-logos de los A, B y la recta r´eshomóloga de r (y viceversa).

Las rectas límites también definenuna homología pues cualquier rectatrazada por O determinará un parde puntos homólogos como el L y elL´ .

Homología definida por O, e, A y A´

Rectas límitesSon las homólogas de las rectas delinfinito de ambas figuras.Las dos rectas límites, l e i´, sonparalelas al eje puesto que han deconcurrir en él con sus homólogas,las rectas del infinito.

Obtención de figuras homológicasSi una figura corta a su recta límitesu homóloga tendrá puntos en elinfinito.

Resolución de problemas

Así, en la homología definida porO, e y la recta límite l, hemos obte-nido los homólogos de los puntosA´y B apoyándonos en un par depuntos homólogos cualquiera, L yL´, obtenidos a partir de la rectalímite dada.

Siempre se puede proceder puntoa punto, pero suele ser más conve-niente considerar los puntos comointersección de rectas. Así se haobtenido la figura homológica delcuadrado ABCD.

Debes considerar:Rectas paralelas tienen por homólogasrectas que pasan por un mismo puntode la recta límite.Los ángulos de una de las figuras soniguales a los que producen las rectasauxiliares que, partiendo de O, de-terminan los puntos en la recta límitede la otra figura.

.O ....

eA

B

A´

B´

rr´

Una homología queda determinada conocidos, además del centro y el eje de ho-mología, un par de puntos homólogos o bien un par de rectas homólogas:

Homología definida por O, e, r y r´

Para hallar el homólogo de un puntoB trazaremos la recta r, que pasapor B y por A, y obtendremos suhomóloga r´que pasará por el puntodel eje y por A´. El punto buscadoB´se encontrará en la intersecciónde r´con la recta OB.

Para hallar el homólogo de un puntoA trazaremos una recta s que pasepor A y obtendremos su homólogas´que pasará por B´, homólogo deB. El punto buscado A´se encon-trará en la intersección de s´conla recta OA.

.O err´.

...

A

A´

B´

B ss´

.O .. eA A´

..B´

Br

r´

.O

... eA

A´r

r´

8L´8L´L

l

Para obtener una recta límite bastaobtener el homólogo de un puntodel infinito de la otra figura. Laparalela al eje por dicho punto esla recta límite.

La figura OLEI´es un paralelogramopor lo que se puede afirmar que ladistancia del centro de homologíaa una recta límite es igual que ladel eje a la otra recta límite.

Relación entre las rectas límites Homología definida por recta límite

.O

... eA

A´r

r´

8L´

8L´L

l

i´ 8I8I

I. E.

8

Observa cómo el triángulo A´B´C´,por cortar a su recta límite i´, tienepor homólogo el triángulo ABC conlos puntos S y T en el infinito.

.

A

.

T8

A´

T´

S 8

i´

e

O

S´

S 8

B C´D

D

CB

.OA

i´

.O A

B

C´ CB e

S 8

S 8

T8

T8

S´.T..

a

.

N´8

Nl

e

O

M

a

.

M´8

a

b c´

a b c

d´

d

Homología

11

.O

.

..

e

A

A´

rr´ 8L´

L

l

8L´. . 8L´s´

s

B´B

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

Figura homológica de la circunferenciaLa figura homológica de una circun-ferencia es una curva cónica:

Si la circunferencia es secante asu recta límite tendrá por homólogauna hipérbola, si es tangente, unaparábola y si no tiene puntos encomún con su recta límite tendrápor homóloga una elipse.

Si queremos obtener la figura homóloga de una circunferencia siemprepodemos tomar puntos de la circunferencia y obtener sus homólogos, queserán puntos de la cónica correspondiente.

Si la circunferencia se transformaen elipse podemos obtener dosdiámetros conjugados tomando paraello un punto cualquiera L de larecta límite y trazar desde él lastangentes a y b a la circunferencia.Sus homólogas serán paralelas aOL y por tanto los puntos de tan-gencia A´y B´, homólogos de A yB, constituirán un diámetro de laelipse.El conjugado se encontrará en larecta c´, por tanto obtenemos suhomóloga c y los puntos de corte Cy D con la circunferencia. Sus homó-logos C´y D´son los extremos deldiámetro conjugado al A´B´.

Elipse homóloga de una circunferencia

Homología/Afinidad

12

Siempre podemos definir una afini-dad elipse-circunferencia fijandoun eje cualquiera y obteniendo elpar de puntos homólogos de maneraque el paralelogramo circunscritoa la elipse se transforme en cuadra-do circunscrito a la circunferencia.Sin embargo más sencillas son lasafinidades que tienen por eje unaparalela a un eje de la elipse:

La elipse como figura afín de una circunferencia Afinidades elipse-circunferenciaLa afinidad proporciona un mediosencillo para resolver problemasen la elipse: resolviendolos en lacircunferencia afín y obteniendoluego sus homólogos.

Al no existir rectas límites, unacircunferencia se transformarásiempre en una elipse.

Puntos P de la elipse tienen comohomólogos puntos P´de la circunfe-rencia en la dirección de afinidadd; tangentes t a la elipse tienencomo homólogas tangentes t´a lacircunferencia, ...

Así, por ejemplo, la intersecciónde una recta r con la elipse c seobtendrá hallando r´, homóloga der. Los puntos buscados serán P yQ, homólogos de P´Y Q´, inter-sección de r´con la circunferenciac´. Pero para ello necesitaremosdefinir en primer lugar una afinidadque transforme la elipse en unacircunferencia y no en otra elipse:

d

.e

PP´

tt´

....

TT´

OO´. r r´

c´ P´

Q´

.... P

Q

c

d

.

e

O O´.45º

AfinidadHomología afín o afinidad es la ho-mología que tiene por centro unpunto impropio y por eje una rectapropia.

Una afinidad queda definida cono-cidos el eje, la dirección del centrode homología (dirección de afinidad)y un par de puntos homólogos o unpar de rectas homólogas.Los pares de puntos homólogos seencontrarán siempre sobre rectasparalelas a la dirección de afinidad.

En una afinidad no hay rectas límites puesto que la recta del infinito, porpasar por el centro, es homóloga de sí misma. Puntos del infinito de unafigura tienen como homólogos puntos del infinito de la otra figura.

Como puedes observar, al contrarioque en la homología, en una afini-dad el paralelismo se conserva, estoes, dos rectas r y s paralelas tienencomo homólogas otras dos r´y s´quetambién lo son.Esto permite obtener los homólogosde puntos y de rectas de maneramás sencilla:

Si en la afinidad conocemos un par de puntos homólogos A y A´, la homólogade una recta cualquiera s se puede obtener trazando la paralela r por A,obteniendo su homóloga r´por A´. La paralela a r´por el punto del eje serála recta buscada s´.Si conocemos un par de rectas homólogas r y r´, el homólogo de un puntoB se obtendrá trazando por él la recta auxiliar s, paralela a r y obteniendosu homóloga s´, que será paralela a r´. B´se encontrará en s´y en la direc-ción de afinidad.

Paralelismo

.O .

..eA

B

A´

B´

r r´8

O ..e

M

A

M´

A´

rr´8

8

8

s´s

B B´. .O 8

.l

e

O

c

c c

elipse hipérbolaparábola

.l

e

O

..

...

..

..

A

A´

BC´

D

D

CB

ab

ab

L

c

c

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAJ E S Ú S G A R C Í A U Y A R R A

Afinidad de eje un diámetro de la elipse

Diámetros conjugados y ejes de la elipseDados los ejes AB y CD de una elipsepodemos obtener con facilidad unpar de diámetros conjugados PQ yRS:

Si lo que conocemos de una elipse son dos diámetros conjugados AB y CDes posible definir una afinidad de eje un diámetro de la elipse. La circun-ferencia homóloga tendrá por diámetro el mismo que la elipse y por tantola podemos trazar. No queda más que trazar el diámetro perpendicular aAB para obtener C´y D´en la circunferencia que serán los homólogos deldiámetro conjugado CD. En este caso la afinidad no es ortogonal y sudirección vendrá dada al unir C con C´o D con D´.

Afinidad

13

Afinidad de eje un eje de la elipse Dos afinidades

Puedes obsevar con que facilidadse han obtenido los puntos inter-sección de la recta r con la elipse:trazando s, paralela a r por C,obteniendo su homóloga s´por C´;r´, homóloga de r, será paralela as´por el punto del eje y corta a lacircunferencia en los puntos I´yJ´, homólogos de los puntos inter-sección buscados.

Si definimos dos afinidades quetransforman la elipse en dos circun-ferencias podemos obtener puntosP de la elipse trazando radios OP´y, por los puntos P´y P´ de las doscircunferencias, paralelas a las dosdirecciones de afinidad.

Es la afinidad más sencilla y práctica que se puede definir. La circunferenciaafín tendrá por diámetro el mismo eje de la elipse AB que, por encontrarseen el eje de afinidad, es homólogo de sí mismo. La afinidad queda definidapor los extremos del eje menor de la elipse C y D y sus homólogos en lacircunferencia, los extremos del diámetro perpendicular C´y D´.

. d1e1

.

.

.

.. ... C

C´

D

D´

A B

P´

P .P ´

. .A ´ B ´

e2 d2

O

Para poder definir esta afinidad esnecesario conocer al menos un ejede la elipse.

. de

.

.

.

.. .C

C´

D

D´

A B..

.

.I´

J´

I

J

s

s´ r

r´

Observamos además en la figuraanterior que si giramos el triánguloPP´P´´, 90º hacia S obtenemos P1 yse forma un rectángulo de ladosparalelos a los ejes.Esta relación nos proporciona unprocedimiento sencillo para resolverel problema contrario, la obtenciónde los ejes a partir de dos diámetrosconjugados PQ y RS:

Giramos 90º OP hacia OS obteniendoP1. Trazamos la circunferencia dediámetro P1S y unimos su centro conel centro de la elipse determinandoen la circunferencia los puntos S´yS´´y con ellos las direcciones de losejes d1 y d2 . Sólo queda trazar lasparalelas por O y los arcos de radiosOS´y OS´´para obtener los ejes ABy CD.

Para ello, una vez trazadas las doscircunferencias resultado de las dosafinidades, hemos tomado dos diá-metros perpendiculares cualquieraP´Q´ y R´S´ en las circunferenciasy hemos obtenido sus homólogos PQy RS que serán diámetros conjugadosen la elipse.

d1C

D

A

B

P

d2

O

Q

R

P1

d1

d2

. .. .

.. ..

..

.S. S´´S

Una vez definida esta afinidad po-demos obtener puntos de la elipsesimplemente tomando puntos de lacircunferencia y obteniendo sushomólogos.En la figura se ha tomado el puntoP´y se ha trazado por él paralela ar´hasta el eje; por el punto del ejeparalela a r y desde P´paralela a ladirección de afinidad.Observa que se forman triángulossemejantes de lados paralelos.

C

D

A B

´

P

O

QR

S

P

´P

S

S

´

´

R

Q´

´

.P1

..

...

... . . .

.

.

...

d

e. C

C´

D

D´

AB

P´

Pr

r´

. ..

.

..

..

Od

d

También podemos resolver otrosproblemas como por ejemplo tan-gentes a la elipse desde un punto P:Se ha obtenido P´, homólogo de P.Desde P´se han trazado las tan-gentes a la circunferencia a´y b´.Sus homólogas a y b son las tangentesbuscadas. .

d

e. C

C´

D

D´

A B

P´

P

. ..

..

O

..

ba

ba

d