ELEMENTOS DE FUNCIONES COMPLEJAS PARA...
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ELEMENTOS DE FUNCIONES COMPLEJAS PARA INGENIEROS Coordinadora: Estela de Lourdes Juárez Ruiz
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ELEMENTOS DE
FUNCIONES
COMPLEJAS PARA
INGENIEROS
Coordinadora:
Estela de Lourdes Juárez Ruiz
2
ELEMENTOS DE FUNCIONES COMPLEJAS PARA
INGENIEROS
Aportación del Cuerpo Académico BUAP-237 “Innovación Educativa en Ingeniería” como
alternativa para un aprendizaje en el área de matemáticas para las Ingenierías.
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
3
Primera edición: junio 2019
ISBN: 978-607-525-605-4
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
4 sur 104, Col. Centro Histórico, Puebla, Pue. CP 72000
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BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA • Rector: José Alfonso Esparza Ortiz •
Secretario General: José Jaime Vázquez López • Vicerrector de Extensión y Difusión de la
Cultura: José Carlos Bernal Suárez • Director General de Publicaciones: Hugo Vargas
Comsille • Director de la Facultad de Ingeniería: Fernando Daniel Lazcano Hernández
Hecho en México
Made in Mexico
4
Autores
Dra. Estela De Lourdes Juárez Ruiz
Facultad de Ciencias de la Electrónica
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Dr. César Pérez Córdova
Facultad de Ingeniería
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Dr. José Luis Macias Ponce
Facultad de Ingeniería
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
M. I. Silvia Contreras Bonilla
Facultad de Ingeniería
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
M. C. Yatzuki Lucero De Castilla Rosales
Facultad de Administración
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
5
Revisores
Dr. Michele Dei
Centro Nacional de Microelectrónica
Universidad Autónoma de Barcelona
Dr. Tobías Nils Ackerman
Centro Nacional de Microelectrónica
Universidad Autónoma de Barcelona
Coordinadora del Libro
Dra. Estela De Lourdes Juárez Ruiz
Facultad de Ciencias de la Electrónica
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
6
Colaboradores
Alumnos:
Diego Hernández Martínez
Alumno de la Facultad de Ingeniería 201564951 - BUAP
Oscar Carbajal Vargas
Alumno de la Facultad de Ingeniería 201450160 – BUAP
Ruby Machorro García
Alumna de la Facultad de Ingeniería 201313793 - BUAP
Gloria Martínez Cruz
Alumna de la Maestría en Educación Matemática 217470126 - BUAP
Elizabeth Rosario Hernández Barrientos
Alumna de la Facultad de Ingeniería 201413427 - BUAP
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PROLOGO
La idea de escribir este libro surge de la necesidad de encontrar un material de lenguaje
sencillo, directo y ameno, que coadyuve a desarrollar el conocimiento y habilidades en los
estudiantes-aprendices en el análisis complejo. Asimismo, que contribuya a llenar espacios
y requerimientos para la formación de estudiantes de ingeniería, en un campo de
conocimiento muy extenso como es la variable compleja, tratando de la concentrar los
elementos fundamentales que serán de más utilidad para el estudiante en este contexto.
Con la experiencia adquirida al impartir la asignatura durante varios años, se ha podido
determinar cuál es el material más apropiado y adecuado para el aprendizaje de los
estudiantes, con la mejor intención de apoyarlos para que logren aprendizajes significativos
de estos temas.
La importancia de la variable compleja en las carreras de ingeniería, en particular, se debe a
que se encuentra inmersa en el plan de estudios.
La variable compleja tiene relación con otras asignaturas del plan de estudios, como son la
teoría de circuitos, el análisis de Fourier, los sistemas lineales, la teoría de control y las
ecuaciones diferenciales, por mencionar solo algunas, que utilizan conceptos y métodos de
las funciones de variable compleja en sus propios campos de conocimiento, y en problemas
y aplicaciones de la vida cotidiana.
El libro se ha diseñado con una propuesta didáctica sustentada en la comprensión de
conceptos y métodos de la variable compleja, y el desarrollo de habilidades en la resolución
de ejercicios, tratando de romper con el estructuralismo y meticulosidad de la exposición
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matemática lógica-deductiva, para dar preferencia a un lenguaje sencillo y fluido que el
aprendiz pueda comprender. De esta manera, prioriza la explicación de conceptos y la
interpretación de los resultados o teoremas con ejemplos variados, para su aplicación en la
solución de problemas del campo de acción ingenieril.
Los temas se exponen buscando una cohesión didáctica e intuitiva que permita al estudiante
avanzar con confianza. Se utiliza una simbología matemática lo más sencilla e intuitiva
posible y gráficas para facilitar la comprensión de las ideas.
Por el propósito fundamental del texto, se han omitido las demostraciones de algunos
teoremas, sin embargo, se puede recurrir a la bibliografía sugerida al final del texto, para
profundizar en aquellas nociones matemáticas más elaboradas cuando sea necesario. La
mayoría de esos libros están disponibles en las bibliotecas de la universidad. Sin embargo,
las horas disponibles para desarrollar un curso de esa naturaleza no son suficientes, por
consiguiente, es recomendable proporcionar al estudiante una guía de aquellos conceptos
fundamentales que de manera inicial lo introduzcan eficazmente en este campo.
Los conocimientos necesarios para comprender el contenido de este libro son los del cálculo
diferencial e integral, álgebra y trigonometría Se recomienda repasar los temas de derivación,
integración, sucesiones y series por la parte de cálculo, y factorización de polinomios,
descomposición de funciones en fracciones parciales, cálculo de raíces, funciones e
identidades trigonométricas, entre otros.
Para un mejor aprovechamiento de los contenidos del libro, se recomienda realizar una
lectura minuciosa previa para la comprensión de conceptos y métodos, para después tratar de
responder las preguntas de repaso propuestas al final de cada sección, explicando en voz alta
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su propia interpretación y a continuación resolver los ejercicios propuestos, realizando los
procedimientos explicados de tal manera que el aprendiz desarrolle sus propios
conocimientos y habilidades en la resolución de ejercicios, tomando como base los ejemplos
expuestos. Le recomendamos una actitud abierta y positiva sin desesperarse, ya que de suyo
son temas comprensibles y de uso práctico para su profesión.
El contenido de cada unidad se desglosa a continuación. En el primer Capítulo, se aborda el
tema de números complejos, desde la descripción del problema que atienden como sus
operaciones elementales, potenciación y radicación de números complejos. A continuación,
en el segundo Capítulo se detalla el estudio de las funciones complejas, límites, continuidad
y derivadas. En el tercero se tratan el estudio de las funciones elementales de variable
compleja, exponiendo sus propiedades detalladamente. En el cuarto Capítulo se presenta la
integración compleja, incluyendo un estudio detallado de los teoremas importantes
relacionados con el cálculo de integrales. Finalmente, en el Capítulo cinco se aborda el tema
de series de potencias, series de Taylor y de Laurent, para terminar con una clasificación de
los ceros y singularidades de una función y el cálculo de residuos.
Estela de Lourdes Juárez Ruiz
Y demás autores del libro
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Índice PROLOGO ................................................................................................................................. 7
1 Números Complejos ............................................................................................................. 12
Autores: Estela De Lourdes Juárez Ruiz, José Luis Macias Ponce, Diego Hernández Martínez ..... 12
1.1 ¿Por qué y cómo fueron creados los números complejos? ....................................................13
1.2 El número complejo 𝒊 y la forma binómica de los números complejos ..................................19
1.3 Los números complejos conjugados .......................................................................................25
1.4 La magnitud de un número complejo.....................................................................................28
1.5 Forma trigonométrica de un número complejo .....................................................................33
1.6 Raíces n-ésimas de un número complejo ...............................................................................41
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas de segundo grado ..........................................................48
2 Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas ........................................................................ 53
Autores: Yatzuki Lucero De Castilla Rosales, César Pérez Córdova, Oscar Carbajal Vargas ......... 53
2.1 Subconjuntos del plano complejo ..........................................................................................54
2.2 Funciones de variable compleja .............................................................................................57
2.3 Límites ....................................................................................................................................60
2.4 Continuidad ............................................................................................................................64
2.5 Derivada de una función compleja .........................................................................................68
2.6 Analiticidad de funciones complejas ......................................................................................79
3 Funciones Elementales ......................................................................................................... 84
Autores: Silvia Contreras Bonilla, Yatzuki Lucero De Castilla Rosales, Ruby Machorro García.... 84
3.2 Función exponencial ...............................................................................................................87
3.3 Funciones trigonométricas .....................................................................................................92
3.4 Funciones hiperbólicas ...........................................................................................................97
3.5 Funciones logarítmicas .........................................................................................................100
3.6 Función potencial generalizada ............................................................................................105
3.7 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas ..............................................................110
4 Integración de funciones complejas .................................................................................... 113
Autores: César Pérez Cordova, Estela De Lourdes Juárez Ruiz, Gloria Martínez Cruz ................ 113
4.1. Curvas en el plano complejo ...............................................................................................114
4.2. La integral compleja ............................................................................................................116
4.3 Funciones definidas por integrales indefinidas ....................................................................121
4.4. Teoremas de la Integral .......................................................................................................124
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5. Series ............................................................................................................................... 132
Autores: José Luis Macias Ponce, Silvia Contreras Bonilla, Elizabeth Rosario Hernández
Barrientos ............................................................................................................................ 132
5.1 Series de potencias ...............................................................................................................133
5.2 Series de Taylor ....................................................................................................................137
5.3 Series de Laurent ..................................................................................................................143
5.4 Clasificación de las singularidades aisladas de una función..................................................147
5.5 Clasificación de los ceros de una función .............................................................................151
5.6 Residuos ...............................................................................................................................153
Bibliografía ........................................................................................................................... 159
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1 Números Complejos
Estela De Lourdes Juárez Ruiz1, José Luis Macias Ponce2, Diego
Hernández Martínez3
1Facultad de Ciencias de la Electrónica – BUAP
2Facultad de Ingeniería- BUAP 3Alumno de la Facultad de Ingeniería 201564951 - BUAP
Autores: Estela De Lourdes Juárez Ruiz, José Luis Macias Ponce,
Diego Hernández Martínez
Explicar cuál fue la
necesidad crear el
conjunto de números
complejos.
Explicar qué es un
número complejo.
Identificar las
propiedades de campo
que cumplen.
Identificar las tres
formas de expresar un
número complejo.
Identificar los números
complejos en el plano
complejo.
Realizar operaciones de
adición, sustracción,
multiplicación y división
de números complejos.
Establecer el conjugado,
la magnitud y el
argumento de un
número complejo y
aplicar sus propiedades
en la resolución de
ejercicios.
Realizar operaciones de
potenciación y
radicación de números
complejos.
Graficar las raíces n-
ésimas de un número en
el plano complejo
ESTUDIANDO ESTE CAPÍTULO SERÁS CAPAZ DE:
"He lamentado profundamente no haber avanzado al menos lo suficiente como para comprender algo de los grandes principios fundamentales de las matemáticas,
porque los hombres que las dominan parecen poseer un sexto sentido."
Charles Darwin (1809-1882) Naturalista inglés
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1.1 ¿Por qué y cómo fueron creados los números complejos? La necesidad de crear los números complejos surge por el problema de resolver ecuaciones
polinomiales con coeficientes reales. Aún ecuaciones de segundo grado tan simples como
𝑥2 + 1 = 0
no poseen ninguna solución en ℝ. Una forma simple de comprobar esto es graficando la
función 𝑦 = 𝑥2 + 1 en el plano cartesiano. Se trata de la parábola 𝑦 = 𝑥2 trasladada hacia
arriba una unidad (Fig. 1.1).
Figura 1.1 Gráfica de la función 𝑦 = 𝑥2 + 1.
Como puedes observar, esta función nunca interseca al eje 𝑥, es decir, no existe un número
real que satisfaga la ecuación.
Así, el objetivo es construir un conjunto de números que sea una extensión del conjunto de
los números reales ℝ, es decir, un conjunto de números lo suficientemente amplio para
contener a los números reales, en el que se pueda resolver el problema de la existencia de
soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes en este nuevo conjunto (en particular
en ℝ). También se busca que las operaciones elementales de suma, diferencia, producto y
división de números reales y sus propiedades no sufran cambio alguno, en lo posible.
Dado que el conjunto de números reales se representa biunívocamente por los puntos de una
línea recta, es decir, ocupa totalmente el espacio de dimensión uno, entonces se requiere
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emigrar a un espacio de dos dimensiones para la propuesta de este nuevo conjunto, el
conjunto de puntos del plano cartesiano.
De esta manera, definimos el Conjunto de Números Complejos, denotado por ℂ, como el
conjunto de pares ordenados con componentes en el conjunto de números reales.
Simbólicamente,
ℂ = {(𝑎, 𝑏): 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}.
Los elementos de ℂ se ubican en el llamado plano complejo. Los números complejos así
definidos se dice que están en la forma de par ordenado. Más adelante veremos que existen
dos formas más para representarlos.
Igual que los números reales, requerimos que las operaciones de adición y multiplicación que
se definan en este nuevo conjunto satisfagan los axiomas de campo1. Una forma de lograr
esto, es definiendo la adición y multiplicación de números complejos de la manera siguiente:
Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ son cualesquiera números complejos, entonces
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2)
(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2)
Observa que la multiplicación de números complejos parece complicada a simple vista y no
intuitiva, y la pregunta que surge inmediatamente es ¿por qué no se define de forma similar
a la suma, es decir, coordenada a coordenada? La respuesta es que de esta forma satisface las
propiedades de campo, y el conjunto cumple con el objetivo de ser una extensión de los
números reales, preservando la adición y multiplicación usual de números reales, como
comprobaremos más adelante.
Observa también que en la definición de suma hay dos signos +, el exterior a los pares
ordenados es el que estamos definiendo y el que se encuentra en el interior de los paréntesis
1 Un campo es una estructura algebraica definida sobre un conjunto de números en la que las operaciones de adición y la multiplicación cumplen con las propiedades de cerradura, asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Además, existe un neutro aditivo y un neutro multiplicativo, un inverso aditivo y un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división entre cero).
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es la operación de adición usual entre números reales. Lo mismo ocurre con la multiplicación,
la externa ∙ es la nueva, y la interna es la que conoces de los números reales.
Veamos las propiedades de campo.
Propiedades de campo El conjunto de números complejos ℂ = {(𝑎, 𝑏): 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} junto con
las operaciones de adición y multiplicación,
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2)
(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2): = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2)
satisface las siguientes propiedades:
C1. Cerradura: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ entonces,
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2) y (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ
C2. Conmutativas: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ entonces,
(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎2, 𝑏2) + (𝑎1, 𝑏1) y (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) = (𝑎2, 𝑏2)∙(𝑎1, 𝑏1)
C3. Asociativas: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3) ∈ ℂ entonces,
[(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2)] + (𝑎3, 𝑏3) = (𝑎1, 𝑏1) + [(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)]
[(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2)]∙(𝑎3, 𝑏3) = (𝑎1, 𝑏1)∙[(𝑎2, 𝑏2)∙(𝑎3, 𝑏3)]
C4. Distributiva: Si (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3) ∈ ℂ entonces,
(𝑎1, 𝑏1)∙[(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)] = (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎3, 𝑏3)
C5. Existencia de neutros: Existen (0, 0), (1,0) ∈ ℂ (los cuales son distintos entre sí), tales
que si (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ,
(𝑎, 𝑏) + (0, 0) = (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑏)∙(1,0) = (𝑎, 𝑏)
C6. Existencia de inversos: Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ, existe el número (−𝑎,−𝑏) ∈ ℂ tal que
(𝑎, 𝑏) + (−𝑎,−𝑏) = (0, 0)
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Y si (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ, con (𝑎, 𝑏) ≠ (0,0), existe el número (𝑎
𝑎2+𝑏2,
−𝑏
𝑎2+𝑏2) ∈ ℂ tal que
(𝑎, 𝑏)∙ (𝑎
𝑎2 + 𝑏2,−𝑏
𝑎2 + 𝑏2) = (1, 0)
Veamos la comprobación de algunas de ellas.
Demostración de C2: Para la multiplicación tenemos,
(𝑎1, 𝑏1)∙(𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) = (𝑎2𝑎1 − 𝑏2𝑏1, 𝑏1𝑎2 + 𝑎1𝑏2 )
= (𝑎2𝑎1 − 𝑏2𝑏1, 𝑎2𝑏1 + 𝑏2 𝑎1) = (𝑎2, 𝑏2)∙(𝑎1, 𝑏1)
Observa que en la demostración hemos usado la propiedad conmutativa de la multiplicación
y de la adición de números reales.
Demostración de C3:
[(𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2)] + (𝑎3, 𝑏3) = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)
= ((𝑎1 + 𝑎2) + 𝑎3, (𝑏1 + 𝑏2) + 𝑏3) = (𝑎1 + (𝑎2 + 𝑎3), 𝑏1 + (𝑏2 + 𝑏3))
= (𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2 + 𝑎3, 𝑏2 + 𝑏3) = (𝑎1, 𝑏1) + [(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)]
De la tercera igualdad a la cuarta, hemos aplicado en cada coordenada la ley asociativa de la
adición de números reales. Análogamente se prueba la asociatividad del producto.
Demostración de C5:
(𝑎, 𝑏) + (0, 0) = (𝑎 + 0, 𝑏 + 0) = (𝑎, 𝑏)
Nuevamente observa que, de la segunda expresión a la tercera, se aplica la propiedad de
neutro aditivo de la suma de números reales. Análogamente se prueba la igualdad del neutro
multiplicativo.
Para concluir esta sección, analizaremos la propiedad C6, en la que no es evidente que el par
ordenado (𝑎
𝑎2+𝑏2,
−𝑏
𝑎2+𝑏2) sea el inverso multiplicativo de (𝑎, 𝑏). Una forma de comprobarlo
es plantear la ecuación
(𝑎, 𝑏)∙(𝑥, 𝑦) = (1, 0)
donde 𝑥 e 𝑦 son los números que buscamos. Realizando la multiplicación obtenemos,
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(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦, 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥) = (1, 0)
Dado que dos pares ordenados son iguales si y solo sí lo son coordenada a coordenada,
obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
{𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
o bien, {𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0
Resolviéndolo por el método de determinantes obtenemos:
𝑥 =|1 −𝑏0 𝑎
|
|𝑎 −𝑏𝑏 𝑎
|=
𝑎
𝑎2 + 𝑏2, 𝑦 =
|𝑎 1𝑏 0
|
|𝑎 −𝑏𝑏 𝑎
|=
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2
Así, el inverso multiplicativo del número complejo (𝑎, 𝑏) es (𝑎
𝑎2+𝑏2,
−𝑏
𝑎2+𝑏2), siempre que
𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0, es decir, siempre que (𝑎, 𝑏) ≠ (0,0). Veamos ahora la comprobación de que
este número complejo satisface la propiedad C6.
Demostración de C6:
(𝑎, 𝑏)∙ (𝑎
𝑎2 + 𝑏2,−𝑏
𝑎2 + 𝑏2) = (𝑎
𝑎
𝑎2 + 𝑏2− 𝑏
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2, 𝑎
−𝑏
𝑎2 + 𝑏2+ 𝑏
𝑎
𝑎2 + 𝑏2)
= (𝑎2
𝑎2 + 𝑏2+
𝑏2
𝑎2 + 𝑏2,−𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2+
𝑏𝑎
𝑎2 + 𝑏2) = (
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2,−𝑎𝑏 + 𝑏𝑎
𝑎2 + 𝑏2 ) = (1, 0)
De esta manera, el conjunto de los números complejos satisface las propiedades de campo.
La propiedad C6 permite definir los conceptos de diferencia y división de números complejos
al establecer las siguientes convenciones:
Para todo (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ, denotaremos
(𝑎1, 𝑏1) − (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1, 𝑏1) + (−𝑎2, −𝑏2)
donde (−𝑎2, −𝑏2) es el inverso aditivo de (𝑎2, 𝑏2).
Análogamente, para todo (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ ℂ, con (𝑎2, 𝑏2) ≠ (0,0), denotaremos
(𝑎1, 𝑏1)
(𝑎2, 𝑏2)= (𝑎1, 𝑏1)∙(
𝑎2
𝑎22 + 𝑏22 ,
−𝑏2
𝑎22 + 𝑏22),
18
en particular,
1
(𝑎2, 𝑏2)= (𝑎2, 𝑏2)
−1 = (𝑎2
𝑎22 + 𝑏22 ,
−𝑏2
𝑎22 + 𝑏22)
Preguntas de repaso
1. ¿De qué problema en el conjunto de los números reales surge la necesidad de crear el
conjunto de los números complejos?
2. ¿Qué es un número complejo?
3. ¿Cómo se representa geométricamente?
4. ¿Cuándo son iguales dos números complejos?
5. ¿Cuáles son las propiedades de adición y multiplicación que cumplen los números
complejos?
6. ¿Qué números complejos son el neutro aditivo y el idéntico multiplicativo?
Ejercicios
1. Ubica en el plano complejo los números (4, 2), (−3,5), (−4,−3) y (5, −2).
Realiza las operaciones de números complejos indicadas.
2. (2, 3) + (−5, 8)
3. (5, 7) + (4,−3)
4. (−4,−3) + (−1,−5)
5. (−3, 7) − (4,−6)
6. (8, 4) − (−3, 2)
7. (−3, 7) − (8,−3)
8. (1, −4)(7, 6)
9. (3, −3)(7, 0)
10. (−2, 3)(4,−2)
11. 1
(0,1)
12. 1
(4,7)
13. (9,6)
(7,1)
14. (4,3)
(2,5)
15. [(1, 3) + (5,7)](8, 2)
16. [(2, 5) − (3, 9)][(1, 5) + (8, 2)]
17. (10, 5)[(0, 3) + (24, 8)]
18. (9,4)+(2,1)
(−3,2)+(5,2)
19. (0,−2)−(5,7)
(4,5)(3,2)
20. (−8,3)(5,1)
(3,4)
21. (2,−9)
(4,2) (5,7)
(3,7)
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1.2 El número complejo 𝒊 y la forma binómica de los números
complejos
Analicemos ahora por qué el conjunto de números que hemos creado es una extensión del
conjunto de los números reales, ℝ. Lo primero que debemos observar es que, si ubicamos en
el plano complejo al neutro aditivo (0,0) y al neutro multiplicativo (1, 0), ambos se
encuentran en el eje 𝑥 (Fig. 1.2).
Figura 1.2 Ubicación del neutro aditivo y multiplicativo en el plano complejo.
Recordemos que este eje -el eje 𝑥- está formado por todos los pares ordenados de la forma
(𝑎, 0), 𝑎 ∈ ℝ. Ahora bien, si tomamos cualesquiera dos números en este eje y operamos con
ellos la adición y multiplicación,
(𝑎1, 0) + (𝑎2, 0) = (𝑎1 + 𝑎2, 0)
(𝑎1, 0)(𝑎2, 0) = (𝑎1𝑎2, 0)
obtenemos números complejos que están ubicados ahí mismo, es decir, no abandonamos el
eje 𝑥, por lo que las operaciones son cerradas ahí. Más aún, el inverso aditivo de (𝑎, 0) es
(−𝑎, 0) y si 𝑎 ≠ 0 el inverso multiplicativo de (𝑎, 0) es (𝑎
𝑎2+02,
−0
𝑎2+02) = (
1
𝑎, 0) por lo que
ambos también pertenecen al eje 𝑥.
20
Además, este subconjunto de números complejos con las operaciones de adición y
multiplicación es idéntico al conjunto de números reales, excepto por la notación en forma
de par ordenado con cero en la segunda coordenada. Por ello, podemos afirmar que el
conjunto de números reales con su estructura de campo se encuentra inmerso en el conjunto
de los números complejos a través de los puntos del eje 𝑥. De ahora en adelante, denotaremos
a estos puntos simplemente como,
(𝑎, 0) = 𝑎
y llamaremos a este eje, el eje real.
Con este análisis, hemos podido comprobar que el conjunto de los números complejos es una
extensión de los números complejos. Tanto geométricamente, así como en sus operaciones
de adición y multiplicación, y en sus propiedades de campo.
Analicemos ahora el conjunto de números complejos ubicados en el eje 𝑦. Si multiplicamos
un número del eje 𝑥 por el número (0,1),
𝑏∙(0,1) = (𝑏, 0)∙(0,1) = (0, 𝑏)
obtenemos un número complejo del eje 𝑦, que es un múltiplo del número (0,1). Por esa razón
a este número le llamaremos unidad imaginaria y lo denotaremos por 𝑖, es decir, 𝑖 = (0,1).
Al eje 𝑦 lo llamaremos eje imaginario y a los números de la forma (0, 𝑏) = 𝑏∙(0,1) = 𝑏𝑖,
ubicados en este eje les llamaremos imaginarios puros.
Con todo lo anterior, podemos concluir que cualquier número complejo (𝑎, 𝑏) puede
escribirse en la forma,
(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖
la cual es otra forma de representar al número complejo (𝑎, 𝑏) llamada forma binómica, en
alusión a un binomio algebraico. Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un número complejo, 𝑎 se llama parte real
o 𝑅𝑒 𝑧 (se lee 𝑅𝑒 de 𝑧) y 𝑏 parte imaginaria o 𝐼𝑚 z (𝐼𝑚 de 𝑧). Observa que la parte imaginaria
de 𝑧 es sólo 𝑏, no 𝑏𝑖, es decir, no incluye a la unidad imaginaria 𝑖.
El número 𝑖 satisface, 𝑖2 = (0,1)∙(0,1) = (−1,0) = −1, es decir, es una solución de la
ecuación algebraica 𝑥2 + 1 = 0. Más aún, el número,
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(0,−1) = −1∙(0,1) = (−1)𝑖 = −𝑖
es otra solución de la ecuación 𝑥2 + 1 = 0 pues,
(−𝑖)2 = (0,−1)∙(0,−1) = (−1, 0) = −1
Al encontrar en este nuevo conjunto las soluciones de la ecuación 𝑥2 + 1 = 0, hemos
resuelto el problema inicialmente planteado. Más adelante veremos que esta ecuación sólo
posee estas soluciones y ninguna otra por ser una ecuación de segundo grado.
Repasemos ahora las operaciones de adición y multiplicación de números complejos cuando
se encuentran en forma binómica. Si realizamos estas operaciones como operaciones usuales
de expresiones algebraicas, tenemos
(𝑎1 + 𝑖𝑏1) + (𝑎2 + 𝑖𝑏2) = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑖𝑏1 + 𝑖𝑏2 = (𝑎1 + 𝑎2) + 𝑖(𝑏1 + 𝑏2)
(𝑎1 + 𝑖𝑏1)∙(𝑎2 + 𝑖𝑏2) = 𝑎1𝑎2 + 𝑖𝑎1𝑏2 + 𝑖𝑏1𝑎2 + 𝑖2𝑏1𝑏2
= 𝑎1𝑎2 + (−1)𝑏1𝑏2 + 𝑖(𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2) + 𝑖(𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2)
que son los mismos resultados de adición y multiplicación de números complejos en forma
de par ordenado, con la ventaja de que con la forma binómica es algebraicamente natural
obtener estos resultados.
A continuación, analizaremos cómo realizar la división de números complejos cuando se
encuentran en forma binómica.
Cuando el denominador es un número real 𝑐 ≠ 0, podemos simplemente multiplicar 1 𝑐⁄ por
la parte real y la imaginaria,
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐= (𝑎 + 𝑏𝑖)∙
1
𝑐=𝑎
𝑐+𝑏
𝑐𝑖
Sin embargo, cuando el denominador es un número complejo, se requiere realizar un
procedimiento algebraico para convertir el denominador en un número real, reduciendo el
problema al caso anterior. Si 𝑐 + 𝑑𝑖 es el denominador de un cociente de números complejos,
con 𝑐 + 𝑑𝑖 ≠ 0, multiplicando y dividiendo el cociente por el conjugado 𝑐 − 𝑑𝑖 y aplicando
el caso anterior, obtenemos
22
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖=(𝑎 + 𝑏𝑖)
(𝑐 + 𝑑𝑖)∙(𝑐 − 𝑑𝑖)
(𝑐 − 𝑑𝑖)=(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐2 + 𝑑2=(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)
𝑐2 + 𝑑2+ (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)
𝑐2 + 𝑑2𝑖
Ejemplo 1.1 Realicemos la división de 12 + 8𝑖 entre 2 − 3𝑖:
12 + 8𝑖
2 − 3𝑖=(12 + 8𝑖)
(2 − 3𝑖)∙(2 + 3𝑖)
(2 + 3𝑖)=(24 − 24) + (36 + 16)𝑖
23 + 32=52𝑖
13= 4𝑖
En este ejemplo en particular, la parte real del número resultó ser igual a cero.
Habiendo definido las operaciones fundamentales de los números complejos y dos formas de
representarlos, demos un paso hacia delante. Veamos ahora cómo calcular potencias
positivas de números complejos. En este caso, utilizaremos la representación en forma
binómica. Iniciemos con el número 𝑖.
Ejemplo 1.2 Calculemos algunas potencias no negativas de 𝑖. Definimos
𝑖0 = 1 igual que en los números reales. Por un proceso de retroalimentación podemos ir
construyendo las potencias de 𝑖. Algunas de ellas se pueden visualizar en la Tabla 1.
𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = 𝑖2𝑖 = −𝑖
𝑖4 = 𝑖2𝑖2 = 1 𝑖5 = 𝑖4𝑖 = 𝑖 𝑖6 = 𝑖5𝑖 = −1 𝑖7 = 𝑖6𝑖 = −𝑖
𝑖8 = 𝑖7𝑖 = 1 𝑖9 = 𝑖8𝑖 = 𝑖 𝑖10 = 𝑖9𝑖 = −1 𝑖11 = 𝑖10𝑖 = −𝑖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Tabla 1.1 Potencias positivas del número 𝑖
Como puedes observar, solo se obtienen cuatro posibles resultados, los cuales están
ordenados cíclicamente. Podemos obtener una fórmula para calcular cualquier potencia
positiva de 𝑖 a través de los múltiplos de cuatro: 4𝑘, 4𝑘 + 1, 4𝑘 + 2 𝑦 4𝑘 + 3, con 𝑘 ∈ ℕ ∪
{0}, como se muestra en la Tabla 1.2.
𝑖4𝑘 = 1 𝑖4𝑘+1 = 𝑖 𝑖4𝑘+2 = −1 𝑖4𝑘+3 = −𝑖
Tabla 1.2 Fórmulas de las potencias positivas de 𝑖
Para recordar estas fórmulas, es suficiente ubicar los cuatro valores en un círculo, recordando
cómo están ubicados en el plano complejo (ver la Fig. 1.3). Las potencias sucesivas de 𝑖,
23
iniciando por 𝑖0 = 1 se obtienen al ir girando consecutivamente en sentido contrario a las
manecillas del reloj, como se muestra en la Fig. 1.3.
Fig. 1.3 Visualización de las potencias sucesivas de 𝑖.
Para el caso general, la potencia 𝑛-ésima del número complejo (𝑎 + 𝑏𝑖) se puede calcular
aplicando la fórmula del binomio de Newton,
(𝑎 + 𝑏𝑖)𝑛 = (𝑛0)𝑎𝑛(𝑏𝑖)0 + (
𝑛1) 𝑎𝑛−1(𝑏𝑖)1 + (
𝑛2) 𝑎𝑛−2(𝑏𝑖)2 +⋯+ (
𝑛𝑛)𝑎0(𝑏𝑖)𝑛
donde
(𝑛𝑘) ∶=
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!, 𝑘 = 0,1, … , 𝑛
son los llamados coeficientes binomiales, que proporcionan el número de formas en que se
pueden seleccionar 𝑘 objetos de un conjunto de 𝑛. Estos coeficientes binomiales se pueden
localizar también en los números del Triángulo de Pascal (Fig. 1.4)
Figura 1.4 Coeficientes binomiales en el triángulo de Pascal desde 𝑛 = 0, 1, … ,6.
24
Como puede observarse en la Fig. 1.4, cada nivel horizontal de triángulo proporciona los
coeficientes binomiales ordenados que se requieren para desarrollar la potencia
(𝑎 + 𝑏𝑖)𝑛, 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}, donde (𝑎 + 𝑏𝑖)0 = 1 corresponde al primer nivel.
Ejemplo 1.3 Calculemos la potencia cuarta de 2 + 3𝑖.
(2 + 3𝑖)4 = (40) 24(3𝑖)0 + (
41)23(3𝑖)1 + (
42)22(3𝑖)2 + (
43)21(3𝑖)3 + (
44) 20(3𝑖)4
= (1)24 + (4)23(3𝑖) + (6)229𝑖2 + (4)2(27)𝑖3 + (1)(81)𝑖4
= 16 + 96𝑖 − 216 − 216𝑖 + 81 = −119 − 120𝑖
En resumen, con este procedimiento podemos calcular cualquier potencia positiva de un
número complejo, siempre y cuando 𝑛 no sea demasiado grande, en cuyo caso, este
procedimiento se vuelve poco práctico. Más adelante veremos otra forma de calcular
cualquier potencia de números complejos, incluyendo las potencias negativas.
Preguntas de repaso
1. De lo que has aprendido hasta este momento, describe las formas en las que se puede
representar un número complejo y su nombre.
2. ¿Cuál es el número complejo llamado unidad imaginaría? ¿Dónde se encuentra ubicado
en el plano complejo?
3. ¿Explica cómo los números complejos se encuentran inmersos en el conjunto de los
números reales?
4. ¿Cómo se realiza la adición y multiplicación de números complejos en forma binómica?
5. ¿Cómo se realiza la sustracción y división de números complejos en forma binómica?
6. ¿Qué característica tienen las potencias no negativas del número 𝑖?
7. ¿Cómo se calculan las potencias del número 𝑖?
8. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular potencias positivas de un número complejo en forma
binómica? ¿Cómo se desarrolla?
9. ¿Qué es el coeficiente binomial y qué relación tiene con el triángulo de Pascal?
25
Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones de números complejos
1. (1 + 3𝑖) + (−5 + 8𝑖)
2. (2 − 8𝑖) − (9 + 1𝑖)
3. (−7 − 4𝑖)∙(2 − 7𝑖)
4. (5−1𝑖)
(7+5𝑖)
5. (1 + 𝑖)∙[(2 − 𝑖) + 6𝑖]
6. 2𝑖(4 − 5𝑖) − 𝑖(8 − 7𝑖)
7. 2+3𝑖
2−3𝑖+5+3𝑖
3𝑖
8. 1+𝑖
(1−𝑖)2
9. [(1 − 𝑖) + (1
1−𝑖)]2
10. (1+2𝑖
3−4𝑖)2
11. 𝑖298
12. 𝑖679
13. 𝑖4 + 5𝑖3 − 3𝑖2 + 7
14. (𝑖2 + 1)(𝑖2 − 1)
15. (1 + 𝑖)5(2 − 3𝑖)4
16. (1+𝑖
1−𝑖)100
1.3 Los números complejos conjugados Ya habíamos utilizado el conjugado binomial 𝑎 − 𝑏𝑖 del número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 para
dividir números complejos escritos en forma binómica. El número 𝑎 − 𝑏𝑖 se llama el
complejo conjugado de 𝑎 + 𝑏𝑖 y se denota por
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖
Geométricamente, el conjugado de un número complejo es la reflexión del punto con
respecto al eje real. Así, por ejemplo, el complejo conjugado de −3 − 2𝑖 es −3 + 2𝑖 y el de
3 + 3𝑖 es 3 − 3𝑖 (Fig. 1.5).
26
Figura 1.5 Números complejos conjugados.
Cuando realizamos operaciones elementales con conjugados complejos, se satisfacen
propiedades interesantes, veámoslas. Sean 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 números complejos
cualesquiera, entonces:
P1: 𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + ��
P2: 𝑧 − 𝑤 = 𝑧 − ��
P3: 𝑧∙𝑤 = 𝑧∙��
P4: (𝑧
𝑤)
=
��
��
P5: 𝑧+��
2= 𝑅𝑒 𝑧 y
𝑧−��
2𝑖= 𝐼𝑚 𝑧
P6: 𝑧 = 𝑧
Demostraremos algunas de ellas y las otras las dejaremos como ejercicios, para que
practiques.
Demostración de P1:
𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)𝑖
= (𝑎 − 𝑏𝑖) + (𝑐 − 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑧 + ��
27
Demostración de P3:
𝑧𝑤 = (𝑎 + 𝑏𝑖)∙∙(𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) − (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
= (𝑎 − 𝑏𝑖)∙(𝑐 − 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∙(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑧∙��
Demostración de P5:
𝑧 + 𝑧
2=(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖)
2=𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖
2=2𝑎
2= 𝑎 = 𝑅e 𝑧
𝑧 − 𝑧
2𝑖=(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑎 + 𝑏𝑖)
2𝑖=𝑎 + 𝑏𝑖 − (𝑎 − 𝑏𝑖)
2𝑖=2𝑏𝑖
2𝑖= 𝑏 = 𝐼𝑚 𝑧
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se define el conjugado de un número complejo?
2. ¿Qué relación geométrica existe entre un número complejo y su conjugado?
3. ¿Qué números son iguales a su conjugado complejo?
4. ¿Cuál es la operación entre un número complejo y su conjugado que da como resultado
la parte real del número?
5. ¿Cuál es la operación entre un número complejo y su conjugado que da como resultado
la parte imaginaria del número?
6. ¿Cuál operación entre un número y su conjugado que da como resultado un número
imaginario puro?
Ejercicios
Demuestra las siguientes propiedades de conjugación de números complejos:
1. 𝑧 − 𝑤 = 𝑧 − ��
2. (𝑧
𝑤)
=
��
��
3. 𝑧 = 𝑧
28
Calcula las siguientes expresiones. Cuando sea posible, utiliza las propiedades de
conjugación de números complejos
4. (2 + 3𝑖) + (5 − 2𝑖)
5. (2 + 3𝑖)∙(5 − 2𝑖)
6. ((3+4𝑖)∙(1+𝑖)
3−4𝑖)
7. ((3+4𝑖)+(1+𝑖)
(3−4𝑖))
8. (5+9𝑖)∙(4+7𝑖)
(3𝑖)∙(3+2𝑖)
9. (6 − 2𝑖)3
1.4 La magnitud de un número complejo En esta sección vamos a definir la extensión del concepto de valor absoluto en los números
reales, al campo de los números complejos.
Recordemos que geométricamente, el valor absoluto de un número real representa la
distancia del punto al origen, considerando la distancia siempre no negativa (observa la Fig.
1.6). Así, por ejemplo, la distancia del punto −3.5 al origen es igual a |−3.5| = 3.5 y la del
punto ubicado en la coordenada 3 es |3| = 3.
Figura 1.6 valor absoluto de un número.
En el caso de los números complejos, ya que también se representan como puntos en el plano
complejo, definimos su magnitud como su distancia al origen. Es decir, si = (𝑎, 𝑏) es un
número complejo, la magnitud o módulo de 𝑧, denotada por |𝑧|, se define como
|z| = √𝑎2 + 𝑏2
29
Esta magnitud se ha calculado aplicando el teorema de Pitágoras (ver la Fig. 1.7)
Fig. 1.7 Magnitud de un número complejo.
Observa que
𝑧∙𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏2 = |𝑧|2
es decir,
|z| = √𝑧∙𝑧
Para el estudio que realizaremos a continuación, consideraremos a los números complejos
también como vectores con punto inicial el origen y punto terminal el punto correspondiente
al número complejo 𝑧 = (𝑎, 𝑏), como puede observarse en la Fig. 1.8.
Figura 1.8 Magnitud de un número complejo.
30
Algunas propiedades de la magnitud de un número complejo se enuncian a continuación.
Para cualesquiera números complejos 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ y cualquier número 𝑎 ∈ ℝ,
M1 |𝑧| ≥ 0
M2 −|𝑧| ≤ 𝑅𝑒 𝑧 ≤ |𝑧| y −|𝑧| ≤ 𝐼𝑚 𝑧 ≤ |𝑧|
M3 |𝑧| = |𝑧|
M4 |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤|
M5 |𝑧| − |𝑤| ≤ |𝑧 − 𝑤|
M6 |𝑧∙𝑤| = |𝑧||𝑤|
M7 |𝑧
𝑤| =
|𝑧|
|𝑤| , si 𝑤 ≠ 0
M8 |𝑎∙𝑧| = |𝑎||𝑧| (|𝑎| denota al valor absoluto de 𝑎)
La propiedad M4 se llama desigualdad del triángulo por su significado geométrico vinculado
a la suma de vectores en el plano (Fig. 1.9).
Figura 1.9 Representación de la desigualdad del triángulo.
31
Demostración de M1:
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 ≥ 0
Dado que la magnitud de un número complejo se considera un número no negativo.
Demostración de M2:
Como es verdadero que 𝑎2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2, entonces −√𝑎2 + 𝑏2 ≤ 𝑎 ≤ √𝑎2 + 𝑏2, es decir,
−|𝑧| ≤ 𝑅𝑒 𝑧 ≤ |𝑧|.
Análogamente se demuestra la otra desigualdad de M2.
Demostración de M3:
Desarrollando el módulo de 𝑧
|𝑧| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2 = √𝑎2 + (−𝑏)2 = |𝑎 − 𝑏𝑖| = |𝑧|
Demostración de M4:
Más que probar la desigualdad original, probaremos que |𝑧 + 𝑤|2 ≤ (|𝑧| + |𝑤|)2
|𝑧 + 𝑤|2 = (𝑧 + 𝑤)∙(𝑧 + 𝑤) = (𝑧 + 𝑤)∙(𝑧 + ��) = 𝑧∙𝑧 + 𝑧∙�� + 𝑤∙�� + 𝑤∙�� = (1)
pero 𝑧�� = 𝑧�� = 𝑧𝑤 = 𝑤𝑧, entonces
(1) = |𝑧|2 + 𝑧∙�� + 𝑧∙�� + |𝑤|2 = |𝑧|2 + 2 Re 𝑧∙�� + |𝑤|2 ≤ |𝑧|2 + 2|𝑧∙��| + |𝑤|2
= |𝑧|2 + 2|𝑧||��| + |𝑤|2 = (2)
Pero por la propiedad M3, |𝑤| = |��| por lo que
(2) = |𝑧|2 + 2|𝑧||𝑤| + |𝑤|2 = (|𝑧| + |𝑤|)2
Por lo tanto,
|𝑧 + 𝑤|2 ≤ (|𝑧| + |𝑤|)2
Demostración de M5:
|𝑧| = |(𝑧 − 𝑤) + 𝑤| ≤ |𝑧 − 𝑤| + |𝑤|
entonces,
32
|𝑧| ≤ |𝑧 − 𝑤| + |𝑤|
por lo que
|𝑧| − |𝑤| ≤ |𝑧 − 𝑤|
Las últimas propiedades se dejan como ejercicios.
Preguntas de repaso
1. ¿Qué es la magnitud o módulo de un número complejo? ¿Cómo se calcula?
2. ¿Puede ser negativa la magnitud de un número complejo? ¿Cuándo es exactamente
igual a cero?
3. ¿Qué establece la desigualdad del triángulo? ¿En qué caso se cumple la igualdad?
4. ¿A qué es igual |𝑧∙𝑤|?
5. ¿A qué es igual |𝑧
𝑤| , si 𝑤 ≠ 0?
Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones. Cuando sea posible, aplica las propiedades de la
magnitud de números complejos que hemos estudiado en esta sección.
1. |𝑖|
2. |3 + 5𝑖|
3. |−2 + 3𝑖|2
4. |(6 − 8𝑖) + (9 − 5𝑖)|
5. |(3 − 5𝑖) − (2 − 𝑖)|
6. |(2 + 2𝑖)∙(4 − 7𝑖)|
7. |5−6𝑖
5+6𝑖|
8. |(3+4𝑖)∙(1+𝑖)
3−4𝑖|
9. |𝑖∙(3+4𝑖)∙(1+𝑖)
3−4𝑖|
10. |4−5𝑖
7−4𝑖|2
Demuestra las siguientes propiedades
11. −|𝑧| ≤ 𝐼𝑚 𝑧 ≤ |𝑧|
12. |𝑧∙𝑤| = |𝑧||𝑤|
13. |𝑧
𝑤| =
|𝑧|
|𝑤|, si 𝑤 ≠ 0
33
14. |𝑎∙𝑧| = |𝑎||𝑧|
15. Si 𝑧 = 𝑧, entonces 𝑧 es un número real.
1.5 Forma trigonométrica de un número complejo En la Sección 1.3 hemos estudiado como calcular potencias enteras no negativas de un
número complejo a través del teorema del binomio de Newton, sin embargo, no hemos
resuelto el problema del cálculo de potencias muy grandes que con el uso de esta fórmula se
vuelve ineficiente, o potencias enteras negativas. Tampoco hemos atendido el problema del
cálculo de raíces de números complejos. En esta sección estudiaremos un método que permite
atender estos problemas a través de una tercera forma de representar un número complejo.
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧 ≠ 0. Considerando su representación geométrica como vector en el plano
complejo, construyamos el triángulo rectángulo que se forma al trazar un segmento de recta
vertical pasando por el punto 𝑧 = (𝑎, 𝑏) y dibujemos el ángulo 𝜃 que se forma entre el eje
positivo real y el vector 𝑧, como se muestra en la Fig. 1.10.
El valor de cada coordenada mediante las funciones trigonométricas seno y coseno de 𝜃 es:
cos 𝜃 =𝑎
|𝑧|⟹ 𝑎 = |𝑧| cos 𝜃 ; sen 𝜃 =
𝑏
|𝑧|⟹ 𝑏 = |𝑧| sen 𝜃
Sustituyendo estos valores en el número complejo 𝑧 tenemos,
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = |𝑧| cos 𝜃 + |𝑧|𝑖 sen 𝜃 = |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃)
Llamamos forma trigonométrica de 𝑧 a la expresión 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃).
34
Figura 1.10 Representación del número complejo 𝑧.
El ángulo 𝜃 se llama argumento de 𝑧 y se denota por arg(𝑧). Tiene una medida positiva si
gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativa si gira en el mismo sentido de
las manecillas. Lo mediremos en radianes. Cuando 𝜃 ∈ (−𝜋, 𝜋] se llamará argumento
principal de 𝑧 y lo denotaremos por Arg(𝑧) (con mayúscula).
Para realizar esta representación del número complejo 𝑧 hemos supuesto que 𝑧 ≠ 0, esto es
necesario porque el número 𝑧 = 0 + 0𝑖 no posee un argumento definido, por lo que no tiene
una representación en forma trigonométrica. Así, todos los números complejos se pueden
representar en forma trigonométrica, excepto el cero.
En la práctica, para hallar la forma trigonométrica de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, solo
necesitamos calcular su magnitud y argumento, esto puede hacerse aplicando las fórmulas:
|𝑧| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2 , tan 𝜃 =𝑏
𝑎 ⟹ 𝜃 = arctan (
𝑏
𝑎)
En el caso de números complejos ubicados en los ejes real o imaginario, el argumento se
calcula directamente por observación (en este caso, 𝜃 es un múltiplo de 𝜋 2⁄ ).
35
Ejemplo 1.4 Calculemos la forma trigonométrica de 2 + 5𝑖. Primero dibujamos el vector
asociado al número complejo en el plano (Fig. 1.11), para identificar en qué cuadrante se
halla ubicado, ya que para calcular el argumento en los cuadrantes II y III se requiere hacer
un ajuste del valor que proporciona la calculadora. A continuación, calculamos su magnitud
y argumento principal,
|2 + 5𝑖| = √22 + 52 = √29, 𝜃 = arctan (𝑏
𝑎) = arctan (
5
2) = 1. 1903
Entonces, la forma trigonométrica es
2 + 5𝑖 = √29(cos 1.1903 + 𝑖 sen 1.1903)
Figura 1.11 Ubicación del número 𝑧 = 2 + 5𝑖 en el plano complejo.
La forma trigonométrica de un número complejo nos permite calcular la multiplicación y
división de números complejos, como veremos a continuación.
Consideremos dos números complejos arbitrarios diferentes de cero en forma trigonométrica:
𝑧1 = 𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1), 𝑧2 = 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃2)
36
Entonces,
𝑧1 𝑧2 = 𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1) 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen𝜃2)
= 𝑟1𝑟2(cos 𝜃1 cos 𝜃2 − sen𝜃1 sen 𝜃2) + 𝑖(cos 𝜃1 sen 𝜃2 + sen 𝜃1 cos 𝜃2)
= 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 + 𝜃2))
En el desarrollo anterior, hemos aplicado conocidas identidades trigonométricas del seno y
coseno de una suma de ángulos. Así, hemos probado que,
𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1) 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃2) = 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 + 𝜃2))
Esta fórmula, además de ser muy simple de recordar, permite observar el significado
geométrico del producto de dos números complejos, el cual nos había parecido inicialmente
complejo y no intuitivo. La multiplicación de dos números complejos es el número complejo
cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de los números involucrados y cuyo
argumento, es la suma de los argumentos de los dos números en cuestión (Fig. 1.12).
Figura 1.12 Ilustración del producto de dos números complejos en forma trigonométrica.
En el caso particular de la multiplicación de un número complejo por sí mismo, obtenemos
la simple fórmula
37
𝑧2 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃)𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) = 𝑟2(cos 2𝜃 + 𝑖 sen 2𝜃)
la cual se generaliza en el siguiente teorema.
Fórmula de Moivre Sea 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) un número complejo en forma
trigonométrica y 𝑛 ∈ ℕ, entonces la 𝑛-ésima potencia de 𝑧 está dada por
𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sen 𝑛𝜃)
Aplicando la fórmula de Moivre, podemos calcular potencias positivas grandes de números
complejos, de forma rápida. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.5 Calculemos (2 + 5𝑖)50. Expresando el número en forma trigonométrica, la cual
fue obtenida en el ejemplo 1.4 obtenemos,
(2 + 5𝑖)50 = (√29(cos 1.1903 + 𝑖 sen 1.1903))50
= (√29)50(cos 50(1.1903) + 𝑖 sen 50(1.1903))
= 2925(cos 59. 515 + 𝑖 sen 59. 515)
= −3. 5747 × 10³⁶ + 6. 3301 × 10³⁵𝑖
Haciendo el cálculo directo mediante un programa computacional, obtenemos
(2 + 5𝑖)50 = −3. 5744 × 1036 + 6. 348 × 1035𝑖
Observa que existe un error en el resultado generado al utilizar la forma trigonométrica. Este
es el precio que debemos pagar por utilizar una aproximación en el valor del argumento del
número complejo.
Analicemos ahora el caso de la división de dos números complejos en forma trigonométrica,
𝑧1𝑧2=𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1)
𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃2)=𝑟1𝑟2
(cos 𝜃1 + 𝑖 sen𝜃1)
(cos 𝜃2 + 𝑖 sen𝜃2)
(cos 𝜃2 − 𝑖 sen 𝜃2)
(cos 𝜃2 − 𝑖 sen 𝜃2)
=𝑟1𝑟2
(cos 𝜃1 cos 𝜃2 + 𝑖 sen 𝜃1 sen 𝜃2) + 𝑖(sen𝜃1 cos 𝜃2 − cos 𝜃1 sen 𝜃2)
cos2 𝜃2 + 𝑖 sen2 𝜃2=
=𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 − 𝜃2))
Donde nuevamente hemos aplicado las conocidas identidades trigonométricas del seno y
coseno de la diferencia de dos ángulos. Entonces, podemos concluir que
38
𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sen 𝜃1)
𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖 sen𝜃2)=𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1 − 𝜃2))
Así, podemos observar que el resultado de la división de dos números complejos es el número
cuya magnitud es el cociente de las magnitudes de los números involucrados, y cuyo
argumento es igual a la diferencia de los argumentos de los números dados (Fig. 1.13).
Figura 1.13 Representación geométrica del cociente de números complejos.
De la fórmula anterior podemos obtener una fórmula para el cálculo del inverso
multiplicativo de un número complejo en forma trigonométrica y de potencias negativas.
En efecto, si 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) es un número complejo diferente de cero, y dado que
1 = 1 + 0𝑖 = 1(cos 0 + 𝑖 sen 0), entonces
𝑧−1 =1
𝑧=1(cos 0 + 𝑖 sen 0)
𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)=1
𝑟(cos(−𝜃) + 𝑖 sen(−𝜃))
De esta manera, con la forma trigonométrica podemos calcular el inverso multiplicativo de
cualquier número complejo no nulo. El cuál es el número cuya magnitud es el inverso
multiplicativo de la magnitud del número original, y cuyo argumento es el inverso aditivo
del argumento original.
39
En el caso particular de un número complejo de magnitud igual a uno, lo que observamos
geométricamente al realizar el inverso multiplicativo es una reflexión con respecto al eje real
(Fig. 1.14).
Figura 1.14 Ilustración del cociente de dos números complejos de módulo igual a uno.
Dado que cos(−𝜃) = cos 𝜃 y sen(−𝜃) = sen𝜃, podemos escribir el inverso multiplicativo
simplemente como
𝑧−1 =1
𝑧= 𝑟−1(cos 𝜃 − 𝑖 sen 𝜃)
Y si 𝑛 ∈ ℕ,
𝑧−𝑛 = (𝑧−1)𝑛 = 𝑟−𝑛(cos 𝑛𝜃 − 𝑖 sen 𝑛𝜃),
por lo que hemos obtenido una fórmula para calcular las potencias enteras negativas de
números complejos. En el capítulo de funciones elementales, estudiaremos cómo calcular
potencias reales y complejas de números complejos. Por ahora, nos quedaremos solamente
con potencias enteras, (𝑛 ∈ ℤ).
−𝜃
40
Ejemplo 1.6 Calculemos la expresión (2 + 5𝑖)−2.
(2 + 5𝑖)−2 = (√29(cos 1.1903 + 𝑖 sen 1.1903))−2
= (√29)−2(cos 2(1.1903) − 𝑖 sen 2(1.1903))
= −0.024971 − 0.023781 𝑖
Preguntas de repaso
1. Describe las formas en las que se puede representar un número complejo.
2. ¿Cómo se obtiene la forma trigonométrica de un número complejo?
3. ¿Qué operaciones elementales de números complejos se pueden visualizar
geométricamente con la forma trigonométrica?
4. Geométricamente, explica qué número complejo se obtiene al multiplicar dos números
complejos en forma trigonométrica.
5. Geométricamente, explica qué número complejo se obtiene al dividir dos números
complejos en forma trigonométrica.
6. ¿Qué establece la fórmula de Moivre? ¿Para qué potencias es válida esta fórmula?
7. ¿Cómo se calcula la potencia entera negativa de un número complejo en forma
trigonométrica?
8. Geométricamente, ¿cuál es el inverso multiplicativo de un número complejo de magnitud
igual a uno?
Ejercicios
En los siguientes ejercicios, realiza las operaciones de números complejos indicadas,
aplicando los conceptos estudiados en esta sección.
1. (5 (cos𝜋
3+ 𝑖 sen
𝜋
3))3 (cos
2𝜋
3+ 𝑖 sen
2𝜋
3)
2. 5(cos
𝜋
3+𝑖 sen
𝜋
3)
3(cos2𝜋
3+𝑖 sen
2𝜋
3)
3. (10 − 7𝑖)20
4. (3 + 4𝑖)10
5. (2𝑖
1+𝑖)4
6. 𝑖−3
41
7. (1 + 𝑖)−15 8. (1+𝑖
1−𝑖)−6
1.6 Raíces n-ésimas de un número complejo
Las raíces n-ésimas en el campo de los números reales tienen serios problemas. En efecto,
las raíces cuadradas, cuartas o en general las raíces pares, existen únicamente para los
números reales no negativos y -con excepción del cero, cuya raíz cuadrada es cero- siempre
son dos, una negativa y una positiva con el mismo valor absoluto. Por otro lado, para raíces
cúbicas, quintas, o en general impares, existen para cualquier número real, pero solo hay una
en ese campo. En la Tabla 1.3 se pueden observar algunos ejemplos.
√42
= ±2, √814
= ±3, √83
= 2, √−10245
= −4
Tabla 1.3 Ejemplos de raíces n-ésimas de números reales.
En el caso de los números complejos, estudiaremos en esta sección que las raíces 𝑛-ésimas
se definen igual que en el campo real, pero contrario al campo real, siempre son 𝑛 y
geométricamente, se encuentran ubicadas en los vértices de un polígono regular centrado en
el origen (para 𝑛 ≥ 3). Algunas podrán ser reales y otras complejas. En el caso particular de
las raíces 𝑛-ésimas de un número real (que en particular es un número complejo), las raíces
reales que ya posee en el campo real se conservan, pero son completadas con raíces
complejas. Esto nos permitirá interpretar que el campo real de alguna manera estaba
incompleto y que esa completación se ha dado en este nuevo campo de números, haciendo el
concepto de radicación mucho más comprensible y claro.
Para dar inicio con el tema, damos la definición de raíz n-ésima de un número complejo. Para
ello, utilizaremos la tercera forma de expresar un número complejo, la forma trigonométrica.
Sean 𝑧,𝑤 ∈ ℂ y 𝑛 ∈ ℕ. Decimos que 𝑤 es una raíz 𝑛-ésima de 𝑧 si y solo si 𝑤𝑛 = 𝑧.
Denotamos a la raíz 𝑛-ésima como 𝑤 = 𝑧1/𝑛, o bien como 𝑤 = √𝑧𝑛
.
42
Para calcular las raíces n-ésimas de un número complejo conocido 𝑧 utilizamos su
representación en forma trigonométrica. Sea 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) un número complejo
distinto de cero. Supongamos también que 𝑤 = 𝑠(cos 𝜑 + 𝑖 sen𝜑),𝑤 ≠ 0 es una de sus
raíces, la cual queremos identificar. Para ello, basta determinar los valores 𝑠 y 𝜑 (por ahora
incógnitas) tales que,
𝑤𝑛 = 𝑧 ⟺ (𝑠(cos 𝜑 + 𝑖 sen𝜑))𝑛= 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)
⟺ 𝑠𝑛(cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sen 𝑛𝜑) = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)
Estos últimos números complejos son iguales, si y solo si tienen la misma magnitud y sus
argumentos son iguales, salvo por un múltiplo entero de 2𝜋, es decir,
𝑠𝑛 = 𝑟 y 𝑛𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Despejando 𝑠 y 𝜑 de las anteriores ecuaciones, obtenemos
𝑠 = √𝑟𝑛, 𝜑 =
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛, 𝑘 ∈ ℤ
En la primera ecuación de las expresiones anteriores, tanto 𝑟 como 𝑠 representan magnitudes
de números complejos, las cuales por definición son cantidades positivas, por lo que la
expresión √𝑟𝑛, se refiere a la conocida raíz real positiva.
Sustituyendo estos valores en 𝑤 obtenemos la forma que tienen las raíces 𝑛-ésimas de 𝑧:
𝑤 = √𝑟𝑛 (cos (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛)) , 𝑘 ∈ ℤ
en resumen,
√𝑧𝑛
= √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = √𝑟
𝑛 (cos (𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛)) , 𝑘 ∈ ℤ
La fórmula que acabamos de obtener permitiría en principio, encontrar un conjunto infinito
de raíces al variar 𝑘 en el conjunto de números enteros, sin embargo, se puede demostrar que
sólo se pueden obtener 𝑛 raíces diferentes; si continuáramos con el proceso, entraríamos en
un ciclo infinito de repetición de las 𝑛 raíces iniciales. Por convención, para obtener las 𝑛
raíces, se asignan a 𝑘, los 𝑛 valores consecutivos: 𝑘 = 0,1,… , 𝑛 − 1.
Así entonces, podemos concluir que la fórmula para encontrar las raíces 𝑛-ésimas de 𝑧 es:
43
√𝑧𝑛
= √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = √𝑟
𝑛 (cos (𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛)) , 𝑘 = 0, …𝑛 − 1
En el caso particular en que 𝑛 = 2 (raíces cuadradas), la fórmula anterior queda de la
siguiente manera,
√𝑧 = √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) = √𝑟 (cos (𝜃 + 2𝑘𝜋
2) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
2)) , 𝑘 = 0,1
Desarrollando cada raíz, para 𝑘 = 0,
𝑤1 = √𝑟 (cos𝜃
2+ 𝑖 sen
𝜃
2)
y para 𝑘 = 1,
𝑤2 = √𝑟 (cos (𝜃 + 2𝜋
2) + 𝑖 sen (
𝜃 + 2𝜋
2)) = √𝑟 (cos (
𝜃
2+ 𝜋) + 𝑖 sen (
𝜃
2+ 𝜋))
Pero,
cos (𝜃
2+ 𝜋) = (cos
𝜃
2) cos 𝜋 − (sen
𝜃
2) sen𝜋 = −cos
𝜃
2
sen (𝜃
2+ 𝜋) = (sen
𝜃
2) cos 𝜋 + (cos
𝜃
2) sen𝜋 = −sen
𝜃
2
Sustituyendo en 𝑤2,
𝑤2 = √𝑟 (−cos𝜃
2− 𝑖 sen
𝜃
2) = −𝑤1
Es decir, las raíces cuadradas difieren por un signo y se pueden describir mediante la
expresión,
√𝑧 = √𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) =± √𝑟 (cos𝜃
2+ 𝑖 sen
𝜃
2)
Esta fórmula describe la semejanza que existe entre el cálculo de raíces complejas con el
cálculo de raíces reales, en el sentido de que existen dos raíces cuadradas que difieren
solamente por un signo. La diferencia es que en el caso complejo sí podemos calcular las
raíces cuadradas de números negativos también. Veamos estos casos particulares.
Si 𝑧 es un número real positivo 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖, 𝑎 > 0, entonces 𝑧 = 𝑎(cos 0 + 𝑖 sen 0), entonces
44
√𝑧 = ±√𝑎 (cos0
2+ 𝑖 sen
0
2) = ±√𝑎
La fórmula coincide con la usual, de raíces cuadradas reales positivas.
Si 𝑧 es un número real negativo 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖, 𝑎 < 0, entonces 𝑧 = |𝑎|(cos 𝜋 + 𝑖 sen𝜋) (aquí
|𝑎| denota el valor absoluto del número real 𝑎). En este caso,
√𝑧 = ±√|𝑎| (cos𝜋
2+ 𝑖 sen
𝜋
2) = ±√|𝑎| 𝑖
es decir, las raíces cuadradas de los números reales negativos son dos números imaginarios
puros, conjugados entre sí, 0 ± √|𝑎| 𝑖. Al ser complejos, no existían en el campo de números
reales.
Ejemplo 1.7 Calculemos raíces cuadradas complejas de números positivos y negativos
directamente, aplicando las deducciones anteriores, por ejemplo:
√9 = ±3 y √−16 = ±4 𝑖
Ejemplo 1.8 Calculemos las raíces cúbicas complejas del número real 8 + 0𝑖.
√8 + 0𝑖3
= √8(cos 0 + 𝑖 sen 0)3 = √8
3(cos (
0 + 2𝑘𝜋
3) + 𝑖 sen (
0 + 2𝑘𝜋
3)) , 𝑘 = 0,1,2
para 𝑘 = 0,
𝑤1 = 2(cos 0 + 𝑖 sen 0) = 2
para 𝑘 = 1,
𝑤2 = 2(cos (0 + 2𝜋
3) + 𝑖 sen (
0 + 2𝜋
3)) = 2(cos
2𝜋
3+ 𝑖 sen
2𝜋
3) = −1.0 + 1. 7321 𝑖
para 𝑘 = 2,
𝑤3 = 2(cos (0 + 4𝜋
3) + 𝑖 sen (
0 + 4𝜋
3)) = 2(cos
4𝜋
3+ 𝑖 sen
4𝜋
3) = −1.0 − 1. 7321 𝑖
Hemos obtenido como raíz cúbica de 8, el número 2, que ya conocíamos de antes, las otras
dos raíces, son complejas conjugadas una de la otra. Esto ocurre siempre cuando calculamos
las raíces n-ésimas de números reales: se presentan en parejas de conjugados complejos. Si
las dibujamos en el plano complejo observamos que se localizan en los vértices de un
45
triángulo equilátero inscrito en una circunferencia centrada en el origen de radio 2, que es la
magnitud de las raíces (Fig. 1.15). Las raíces complejas son simétricas con respecto al eje 𝑥.
Figura 1.15 Representación geométrica de las raíces cúbicas de 8 + 0𝑖.
Ejemplo 1.9 Calculemos las raíces cúbicas de 1 + 𝑖.
√1 + 𝑖3
= √√2 (cos𝜋
4+ 𝑖 sen
𝜋
4)
3= √2
6(cos(
𝜋4 + 2𝑘𝜋
3) + 𝑖 sen(
𝜋4 + 2𝑘𝜋
3)) , 𝑘
= 0,1,2
para 𝑘 = 0,
𝑤1 = √26
(cos𝜋
12+ 𝑖 sen
𝜋
12) = 1. 0842 − 0.29051 𝑖
para 𝑘 = 1,
46
𝑤2 = √26
(cos (𝜋/4 + 2𝜋
3) + 𝑖 sen (
𝜋/4 + 2𝜋
3)) = √2
6(cos
9𝜋
12+ 𝑖 sen
9𝜋
12)
= −0.7937 − 0.7937 𝑖
para 𝑘 = 2,
𝑤3 = √26
(cos (𝜋/+4𝜋
3) + 𝑖 sen (
𝜋/4 + 4𝜋
3)) = √2
6(cos
17𝜋
12+ 𝑖 sen
17𝜋
12)
= −0.29051 + 1. 0842 𝑖
Observa en este ejemplo que las tres raíces son complejas y distintas entre sí, es decir, en este
caso no se presentan en parejas de conjugados complejos. Esto pasa con las raíces n-ésimas
de números estrictamente complejos. Si las dibujamos en el plano complejo, se encuentran
ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia centrada en
el origen de radio √26
≅ 1. 1225 (Fig. 1.16). En este caso, ya no se da la simetría de las
raíces respecto de algún eje coordenado.
Figura 1.16 Raíces cúbicas de 1 + 𝑖.
47
Preguntas de repaso
1. ¿Cuál es la forma de representación de los números complejos que se utiliza para hallar
potencias grandes de números complejos?
2. ¿Cuál es la fórmula que se utiliza para hallar potencias de números complejos?
3. ¿Cuántas raíces 𝑛-ésimas posee un número complejo?
4. ¿Cuál es el procedimiento para calcular las raíces n-ésimas de un número complejo?
5. ¿Se puede utilizar la fórmula del cálculo de raíces n-ésimas para el número 0 = 0 + 0𝑖?
6. ¿Cuáles son las raíces n-ésimas del número 0 = 0 + 0𝑖?
7. ¿Qué diferencia fundamental existe entre las raíces 𝑛-ésimas de un número real y las de
un número complejo?
8. ¿Cómo podrías construir un polígono regular de n lados en el plano, con centro en el
origen utilizando la fórmula de las raíces n-ésimas?
Ejercicios
Calcula las raíces indicadas.√36
1. √−10
2. √4𝑖
3. √−9𝑖
4. √3 + 7𝑖
5. (𝑖 + 1)1/2
6. 𝑖1/3
7. (𝑖 − 1)1/3
8. (1 − 𝑖)1/3
9. (4√3 − 4𝑖)1/3
10. 11/4
11. (−8𝑖)1/4
12. (1 − 𝑖√3)1/4
13. (16√2 +32
√2𝑖)1/5
14. (1+𝑖
1−𝑖)1/6
Contrasta los dos razonamientos siguientes:
𝑖2 = 𝑖 𝑖 = √−1 √−1 = √(−1)(−1) = √1 = 1
𝑖2 = 𝑖 𝑖 = √−1 √−1 = (√(−1))2
= (± √1 (cos𝜋
2+ 𝑖 sen
𝜋
2))
2
= (± 𝑖)2 = 𝑖2 = −1
48
¿Cuál fue el problema en el primer razonamiento? ¿Qué puedes concluir acerca de la
relación √𝑧 𝑤 = √𝑧 √𝑤 en el caso de números complejos 𝑧 y 𝑤?
15. Para que valores reales de 𝑥 el número 𝑤 = (𝑥 − 1)[(𝑥 + 3) − 4𝑖] es imaginario puro.
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas de segundo grado En esta sección estudiaremos cómo resolver ecuaciones polinomiales de segundo grado con
coeficientes complejos, donde la incógnita es también compleja. Podrás verificar que existen
muchas similitudes con el caso real (coeficientes y soluciones reales).
Un polinomio de una variable compleja de grado 𝑛 es de la forma
𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑧
𝑛, 𝑎𝑖 ∈ ℂ, 𝑎𝑛 ≠ 0
donde 𝑧 es una variable que puede tomar cualquier valor en el campo de los números
complejos. Cuando un polinomio se iguala a cero se llama ecuación polinomial de grado n:
𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑧
𝑛 = 0, 𝑎𝑖 ∈ ℂ, 𝑎𝑛 ≠ 0
Decimos que el número complejo 𝑤 es una solución o raíz de la ecuación polinomial si al
sustituir el valor de 𝑧 por 𝑤 en la ecuación la convierte en una identidad. Resolver una
ecuación polinomial significa hallar todas sus soluciones o raíces.
El problema de resolver ecuaciones polinomiales no es una tarea fácil y sólo se conocen muy
pocos casos en los que es posible hallarlas mediante procedimientos algebraicos.
El Teorema Fundamental del Álgebra establece que toda ecuación polinomial de grado 𝑛
con coeficientes reales o complejos posee al menos una raíz real o compleja.
Una consecuencia de este teorema es que cualquier ecuación polinomial de grado 𝑛 con
coeficientes reales o complejos, posee exactamente 𝑛 raíces reales o complejas, contando
multiplicidades. Así, al resolver una ecuación polinomial de grado 𝑛, sabemos que sólo
tenemos que buscar 𝑛 y que algunas pueden ser repetidas.
Analicemos el caso de las ecuaciones polinomiales de segundo grado:
𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ, 𝑎 ≠ 0
49
Resolvamos la ecuación algebraicamente completando cuadrados,
𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑎 (𝑧2 +𝑏
𝑎𝑧 +
𝑐
𝑎) = 0 ⟺ 𝑧2 + 2
𝑏
2𝑎𝑧 +
𝑐
𝑎= 0
⟺ 𝑧2 + 2𝑏
2𝑎𝑧 + (
𝑏
2𝑎)2
+𝑐
𝑎− (
𝑏
2𝑎)2
= 0⟺ (𝑧 +𝑏
2𝑎)2
+ 𝑐
𝑎−𝑏2
4𝑎2= 0
⟺ (𝑧 +𝑏
2𝑎)2
=𝑏2
4𝑎2−𝑐
𝑎⟺ (𝑧 +
𝑏
2𝑎)2
=𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
⟺ 𝑧+𝑏
2𝑎= √
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
⟺ 𝑧 = −𝑏
2𝑎+ √
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
donde la raíz cuadrada posee dos valores, que varían por un signo. En el caso particular en
que 𝑎 ∈ ℝ, podemos escribir la fórmula simplemente como
𝑧 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
que coincide con la conocida fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.
Ejemplo 1.10 Consideremos la ecuación polinomial 𝑧² + 2𝑖𝑧 + 3 = 0. Aplicando la fórmula
anterior con 𝑎 = 1, 𝑏 = 2𝑖, 𝑐 = 3 obtenemos,
𝑧1,2 =−2𝑖 + √(2𝑖)2 − 4(1)(3)
2(1)=−2𝑖 + √4𝑖2 − 12
2=−2𝑖 + √4(−1) − 12
2
=−2𝑖 + √−16
2=−2𝑖 ± 4𝑖
2
Entonces,
𝑧1 =−2𝑖 + 4𝑖
2=2𝑖
2= 𝑖, 𝑧2 =
−2𝑖 − 4𝑖
2=−6𝑖
2= −3𝑖
Una forma de comprobar las soluciones obtenidas es substituir los valores directamente en
la ecuación polinomial y viendo que la satisface:
50
(𝑖)2 + 2𝑖(𝑖) + 3 = −1 − 2 + 3 = 0,
(−3𝑖)2 + 2𝑖(−3𝑖) + 3 = 9(−1) − 6(−1) + 3 = 0
Otra forma de realizar la comprobación es mostrar que el polinomio se puede descomponer
en factores lineales,
(𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 3𝑖) = 𝑧2 + 3𝑖𝑧 − 𝑖𝑧 − 3𝑖2 = 𝑧2 + 2𝑖𝑧 + 3
Esta comprobación muestra que podemos resolver ecuaciones polinomiales con coeficientes
complejos, expresando el polinomio como un producto de factores lineales. Sin embargo,
hay que tener cuidado al aplicar las conocidas técnicas de factorización porque algunas no
son válidas. Por ejemplo, si en este ejemplo hubiéramos aplicado el método de paréntesis,
habríamos colocado los siguientes signos: (𝑧 + )(𝑧 + ) lo que no es correcto. La razón es
que el número 𝑖 afecta el procedimiento.
Ejemplo 1.11 Consideremos la ecuación polinomial 𝑧2 + 1 = 0, cuyas raíces son 𝑖 y −𝑖. En
este caso, las raíces sí pueden obtenerse por el siguiente procedimiento algebraico
𝑧2 + 1 = 0 ⟺ 𝑧2 − (−1) = 0 ⟺ 𝑧2 − 𝑖2 = 0 ⟺ (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖) = 0 ⟺ 𝑧 = 𝑖 o 𝑧 = −𝑖
Ejemplo 1.12 Calculemos las raíces de 4𝑖𝑧2 + (2 + 𝑖)𝑧 + (1 + 𝑖) = 0.
Aplicando la fórmula general con 𝑎 = 4𝑖, 𝑏 = 2 + 𝑖, 𝑐 = 1 + 𝑖, obtenemos
𝑧1,2 = −2 + 𝑖
2(4𝑖)+ √
(2 + 𝑖)2 − 4(4𝑖)(1 + 𝑖)
4(4𝑖)2= −
2 + 𝑖
8𝑖+ √
3 + 4𝑖 + 16 − 16𝑖
−64
=2 + 𝑖
−8𝑖 (8𝑖)
(8𝑖)+ √
19 − 12𝑖
−64= −
1
8+1
4𝑖 + √
19 − 12𝑖
−64
= −0.125 + 0.25𝑖 + √− 19
64+ 12
64𝑖
Calculando las raíces cuadradas del número complejo:
51
√− 19
64+ 12
64𝑖 = √ 0.35113(cos(2. 5783) + 𝑖 sen(2. 5783))
= ±√0.35113 (cos (2. 5783
2) + 𝑖 sen (
2. 5783
2))
= ±(0.16470 + 0.56921 𝑖)
Entonces,
𝑧1 = (−0.125 + 0.25𝑖) + (0.16470 + 0.56921𝑖) = 0.0397 + 0.81921𝑖
𝑧2 = (−0.125 + 0.25𝑖) − (0.16470 + 0.56921𝑖) = −0.2897 − 0.31921𝑖
Para realizar la comprobación de los resultados los sustituimos en la ecuación polinomial:
4𝑖(−0.2897 − 0.31921𝑖)2 + (2 + 𝑖)(−0.2897 − 0.31921𝑖) + (1 + 𝑖)
= 0.000008904 + 0.0000042636𝑖 ≅ 0 + 0𝑖
Observa que la precisión obtenida es bastante buena, de cinco decimales exactos tanto para
la parte real como la imaginaria. Para la otra raíz se obtiene un resultado similar.
Preguntas de repaso
1. ¿Cuáles son las características de un polinomio de variable compleja de grado 𝑛?
2. ¿Qué establece el Teorema Fundamental del Álgebra?
3. ¿Cuántas raíces tiene un polinomio de variable real o compleja de grado 𝑛?
4. ¿Menciona dos posibles formas de calcular las raíces de una ecuación polinomial de
segundo grado con coeficientes complejos y sus posibles limitaciones?
Ejercicios
Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones expresando la respuesta en forma
binómica. Cuando sea posible, utiliza sustituciones algebraicas para reducir el grado de las
ecuaciones polinomiales.
1. 𝑧² − 𝑖 = −1 2. 𝑧2 + 9 = 0
52
3. 𝑧² − 9𝑖 = −1
4. 𝑧² − 𝑧 = −3𝑖
5. 4𝑧² − 4𝑧 + 𝑖 = 0
6. 4𝑧2 − 2√3𝑧 + 4 = 0
7. 𝑧³ − 𝑖 = −√3
8. 4𝑧3 − 8𝑖 = −6
9. 3𝑧3 − 2𝑧2 + 𝑖𝑧 = 0
10. 𝑧6 − 2𝑧3 + 2 = 0
11. 𝑧⁵ + 16𝑧 − 𝑧⁴ − 16 = 0
12. 𝑧⁶ − 2𝑖𝑧³ − 1 = 0 (cada raíz es doble)
13. 𝑧⁴ + 2𝑧² + 1 = 0
14. Considera la ecuación de segundo grado 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0. Establece la
veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, puede tener dos raíces complejas no conjugadas
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, puede tener una raíz real y una compleja.
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números complejos, puede tener dos raíces complejas conjugadas.
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números complejos, que puede tener dos raíces complejas no conjugadas.
53
2 Funciones, Límites,
Continuidad y Derivadas
Yatzuki Lucero De Castilla Rosales 1, César Pérez Córdova 2, Oscar
Carbajal Vargas3
1Facultad de Administración – BUAP
2Facultad de Ingeniería- BUAP 3Alumno de la Facultad de Ingeniería 201450160 - BUAP
Autores: Yatzuki Lucero De Castilla Rosales, César Pérez Córdova,
Oscar Carbajal Vargas
Interpretar
inecuaciones de
variable compleja
como subconjuntos
del plano complejo.
Analizar el límite de
una función cuando
la variable se
aproxima a un valor
dado.
Analizar la
continuidad de una
función en un punto
o en un conjunto.
Calcular la derivada
de una función
compleja por
diversos métodos.
Estimar la
analiticidad de una
función en un punto
o en una región.
ESTUDIANDO ESTE CAPÍTULO SERÁS CAPAZ
DE:
"En cuestiones de ciencia, la autoridad de mil no vale lo que el humilde razonamiento de un solo individuo."
Galileo Galilei (1564 - 1642) Astrónomo, filósofo, ingeniero, matemático y físico italiano
54
Vamos a iniciar con el estudio de las funciones de variable compleja, estableciendo los
conceptos de algunos subconjuntos del plano complejo, que serán de mucha utilidad al definir
el concepto de límite.
2.1 Subconjuntos del plano complejo Sea 𝑎 un número complejo y 𝑟 un número real positivo, las desigualdades:
|𝑧 − 𝑎| < 𝑟, |𝑧 − 𝑎| ≤ 𝑟, |𝑧 − 𝑎| = 𝑟,
denotan, respectivamente, el disco abierto, disco cerrado y circunferencia, de radio 𝑟 y
centro en 𝑧 = 𝑎.
En efecto, observa que si 𝑧 = 𝑧₁ + 𝑖𝑧₂ y 𝑎 = 𝑎₁ + 𝑖𝑎₂, entonces
|𝑧 − 𝑎| < 𝑟 ⇔ |(𝑧₁ − 𝑎₁) + 𝑖(𝑧₂ − 𝑎₂)| < 𝑟 ⇔ (𝑧₁ − 𝑎₁)² + (𝑧₂ − 𝑎₂)² < 𝑟²
Esta ecuación corresponde al interior de un círculo centrado en (𝑎₁, 𝑎₂) de radio 𝑟, que en
este libro llamaremos disco abierto. Análogamente se pueden analizar los otros casos.
Es importante detenernos en este punto para hacer notar que en todo el estudio que hemos
realizado, no hemos hecho uso de los símbolos <,≤,> o ≥, los cuales tienen que ver con la
relación de orden que existe en el campo de números reales. En el conjunto de los números
complejos, no se define una relación de orden, en consecuencia, no existe la expresión 𝑧1 <
𝑧2 para cualesquiera números complejos 𝑧1 y 𝑧2.
En las definiciones anteriores, estamos hablando de inecuaciones de números reales, por lo
que no hay ninguna ambigüedad. Establecemos la convención de que, en lo que sigue, cuando
se utilice cualquiera de los signos de desigualdad, nos estaremos refiriendo a inecuaciones
de números reales.
Sea 𝑆 un subconjunto de números complejos. 𝑆 es abierto si y solo si, para todo punto de 𝑆,
existe un disco abierto de un radio positivo centrado en él, contenido completamente en 𝑆;
simbólicamente, 𝑆 es abierto si y solo si
∀𝑧0 ∈ 𝑆, ∃𝑟 > 0: |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 ⟹ 𝑧 ∈ 𝑆
55
Observa que, para que un subconjunto del plano complejo sea abierto, se requiere que sea
bidimensional y no contenga a su frontera. Esto es porque los discos abiertos son
bidimensionales.
Un subconjunto 𝑆 de números complejos es conexo, si y solo si cada par de puntos de 𝑆 se
pueden unir por una curva continua completamente contenida en 𝑆. Y decimos que 𝑆 es una
región si y solo si, 𝑆 es abierto y conexo. Los conjuntos conexos se dice que son “de una sola
pieza”.
Una región 𝑆 es simplemente conexa, si y solo si toda curva cerrada en 𝑆 contiene en su
interior solo puntos de 𝑆. De esta definición se deduce que una región simplemente conexa
no puede tener agujeros.
Ejemplo 2.1 Analicemos la desigualdad |𝑧 − 1| < |𝑧|.
|𝑧 − 1| < |𝑧| ⇔ |𝑧 − 1|2 < |𝑧|2 ⇔ (𝑧 − 1) (𝑧 − 1) < 𝑧 𝑧 ⇔ (𝑧 − 1)(𝑧 − 1) < 𝑧 𝑧
⇔ 𝑧 𝑧 − 𝑧 − 𝑧 + 1 < 𝑧 𝑧 ⇔ 1 < 𝑧 + 𝑧 ⇔ 1 < 2 Re 𝑧 ⇔ 1
2< Re 𝑧.
Entonces, el conjunto de puntos que satisfacen la inecuación consta del semiplano ubicado a
la derecha de la recta vertical en el punto 1 2⁄ . Este conjunto es abierto, conexo y
simplemente conexo (Fig. 2.1).
Figura 2.1 Ejemplo de región abierta conexa y simplemente conexa.
56
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se representan algebraicamente un disco abierto, un disco cerrado y una
circunferencia centrada en 𝑎 de radio 𝑟?
2. ¿Es posible resolver la inecuación 1
𝑧+3−
2
𝑧+1≤ 0 en el campo de números complejos?
3. ¿Qué tipo de inecuaciones podemos resolver en el campo de números complejos?
4. Explica por qué una recta no es un conjunto abierto.
5. Explica por qué una sucesión discreta de puntos no es un conjunto abierto.
6. Explica cómo lucen los conjuntos abiertos.
7. ¿Qué es un conjunto conexo?
8. ¿Qué es una región?
9. ¿Qué es un conjunto simplemente conexo?
10. ¿El conjunto 2 < |𝑧 − 3| < 5 es una región?
11. ¿El conjunto 2 < |𝑧 − 3| < 5 es simplemente conexo?
Ejercicios
Representa geométricamente los siguientes conjuntos:
1. |𝑧| < 2
2. |𝑧| = 0
3. |𝑧| = 3
4. |𝑧| ≤ 6
5. 3 < 5|𝑧| − 8
6. 3 < |𝑧| < 8
7. 0 < |𝑧 − (1 + 𝑖)| < 3
8. 1 < |𝑧 − (2 + 4𝑖)| < 2
9. 2|𝑧 − 𝑖| < 3|𝑧|
10. 𝑅𝑒 𝑧 = −3
11. 𝑅𝑒 𝑧 = 3 𝐼𝑚 𝑧
12. 𝐼𝑚 𝑧 ≥ 3 𝑅𝑒 𝑧
13. 𝑧⋅𝑧 ≥ 2 𝑅𝑒 𝑧
57
Representa las siguientes regiones por medio de ecuaciones o desigualdades en la variable 𝑧:
14. Los puntos que pertenecen a la circunferencia y al exterior del círculo de radio dos
centrado en 1 − 2𝑖.
15. Los puntos de la región anular centrada en 3 + 𝑖. El radio interior es de 2 y el exterior es
5. Excluye los puntos de la frontera interior e incluye los de la frontera exterior.
16. Los puntos que pertenecen a la circunferencia y al interior del círculo de radio 1 centrado
en −4 + 2𝑖, excepto el centro del círculo.
2.2 Funciones de variable compleja Ahora estamos preparados para estudiar las funciones complejas. Veamos la definición.
Sea 𝑅 una región del plano complejo. Si asignamos a cada punto 𝑧 ∈ 𝑅 un único número
complejo 𝑤 mediante una relación o correspondencia 𝑓, decimos que 𝑤 = 𝑓(𝑧) define una
función de valores complejos en 𝑅 llamada función de variable compleja. Llamamos a 𝑅 el
dominio de la función y a 𝑤 la imagen de 𝑧.
El conjunto de todas las imágenes
{𝑤 ∈ ℂ: 𝑤 = 𝑓(𝑧), para algún 𝑧 ∈ 𝑅}
se llama el conjunto imagen de la función. Si 𝐸 es la imagen de la función, también podemos
referirnos a 𝑓(𝑧) como la transformación de 𝑅 sobre 𝐸. Veamos algunos ejemplos sencillos.
Ejemplo 2.2 Consideremos el caso 𝑅 = 𝐸 = ℂ y sea 𝑏 un número complejo fijo, la función
𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑏
es una transformación del plano complejo sobre sí mismo, que asigna a cada punto del plano,
el punto ubicado a una distancia de |𝑏| unidades en la dirección del argumento de 𝑏 (recuerda
la suma de números complejos). En este caso decimos que la función efectúa una traslación
del plano en la dirección y magnitud de 𝑏 (Fig. 2.2).
58
Figura 2.2 Traslación del plano complejo en la dirección y magnitud de 𝑏.
Ejemplo 2.3 Si 𝑎 ≠ 0 es un número complejo fijo, la función 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 rota el plano
complejo por un ángulo igual a Arg 𝑎 y lo expande o contrae por un factor |𝑎| (recuerda la
interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos). Esta función se llama
rotación por a (Fig. 2.3).
Figura 2.3 Rotación del plano complejo 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧
Consideremos una función de valores complejos 𝑤 = 𝑓(𝑧), definida en una región 𝑅 ⊆ ℂ.
Podemos descomponer 𝑓(𝑧) en términos de sus partes real e imaginaria. Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 y
𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣, con 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ, entonces
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
donde 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) son funciones definidas en la región 𝑅 ⊆ ℝ² con valores en ℝ.
Decimos que 𝑢 es la parte real de 𝑓 y 𝑣 la parte imaginaria escribiendo
𝑢(𝑥, 𝑦) = Re 𝑓(𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦) = Im 𝑓(𝑧)
59
Ejemplo 2.4 Sea 𝑓(𝑧) = 3𝑧2 + 5𝑧 − 3. En este caso, si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
3(𝑥 + 𝑖𝑦)2 + 5(𝑥 + 𝑖𝑦) − 3 = 3(𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2) + 5𝑥 + 5𝑦𝑖 − 3
= 3𝑥2 + 6𝑥𝑦𝑖 − 3𝑦2 + 5𝑥 + 5𝑦𝑖 − 3
= (3𝑥2 − 3𝑦2 + 5𝑥 − 3) + (6𝑥𝑦 + 5𝑦)𝑖
entonces
𝑢(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 3𝑦2 + 5𝑥 − 3 y 𝑣(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 + 5𝑦
En el Capítulo 3, estudiaremos una colección muy amplia de funciones, que
descompondremos en su parte real e imaginaria como en este ejemplo.
Preguntas de repaso
1. ¿Qué es una función de variable compleja?
2. ¿Describe la función que realiza una traslación del plano complejo en la a dirección de
𝑧 = −2𝑖?
3. ¿Describe la función que realiza una rotación del plano complejo por un ángulo de 𝜋
2 y
contracción por 1
2?
4. ¿Cómo se descompone una función en la forma 𝑢 + 𝑖𝑣?
Ejercicios
Evalúa las siguientes funciones en 1 − 2𝑖:
1. 𝑓(𝑧) =𝑧
𝑧−��
2. 𝑓(𝑧) =1
|𝑧|
3. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =1
sen𝑥+𝑖 cos𝑦
4. 𝑓(𝑧) =𝑥−𝑖𝑦
1+𝑥+𝑖𝑦
60
5. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2) sen 𝑥 + 𝑖 cos 𝑦
Escribe las siguientes funciones en la forma 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦):
6. 𝑓(𝑧) = (𝑧 + 3𝑖)2
7. 𝑓(𝑧) = |𝑧| − 2𝑧2 + 𝑖
8. 𝑓(𝑧) = 𝑧−1 + 4𝑖𝑧
9. 𝑓(𝑧) = 𝑧−2 − 2𝑖𝑧2
10. 𝑓(𝑧) = 𝑧3
11. 𝑤 = 𝑧2 + 3𝑧 + 8
12. 𝑤 =𝑧2+1
2𝑧
13. 𝑓(𝑧) =𝑧
𝑧−��
14. 𝑓(𝑧) =1
|𝑧|
15. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =1
sen𝑥+𝑖 cos𝑦
16. 𝑓(𝑧) =𝑥−𝑖𝑦
1+𝑥+𝑖𝑦
Escribe las siguientes funciones complejas en términos de la variable 𝑧, su conjugado 𝑧 y
constantes (la respuesta no es única).
17. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = −2𝑥𝑦 + 𝑖(𝑥2 − 𝑦2)
18. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = −2𝑥𝑦 + 𝑖(𝑥2 + 𝑦2)
19. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥2 + 𝑖𝑦2
20. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥² + 𝑦²
2.3 Límites El concepto de límite de una función compleja, cuando la variable 𝑧 se aproxima a un número
complejo 𝑧0 se parece mucho al límite de funciones de ℝ2 en ℝ2. Se define en términos de
aproximaciones al punto en cuestión a través de discos abiertos, como veremos a
continuación.
Sea 𝑓(𝑧) una función compleja definida en una región 𝑅 que puede contener o no al punto
𝑧0. Decimos que 𝑓(𝑧) tiene límite 𝐿 en 𝑧0 escribiendo,
lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝐿
si y solo si,
∀휀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 ∶ 𝑧 ∈ 𝑅 y 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿, entonces |𝑓(𝑧) − 𝐿| < 휀
Así, para que exista el límite 𝐿 de 𝑓(𝑧) en 𝑧0 es necesario que, para cada 휀 > 0 sea posible
encontrar un número 𝛿 > 0, tal que, siempre que 𝑧 ∈ 𝑅 y se encuentre en el disco abierto
61
agujereado con centro en 𝑧0 y radio 𝛿, 𝑓(𝑧) esté en el disco abierto centrado en 𝐿 de radio 휀
(ver la Fig. 2.4). Observa que la región 𝑅 sobre la que está definida la función puede no
contener a 𝑧0, y, sin embargo, sea posible calcular el límite de la función en 𝑧0.
Figura 2.4 Interpretación geométrica del límite de la función 𝑓(𝑧) en 𝑧0.
Cuando calculamos el límite de 𝑓(𝑧) en 𝑧0, no es importarte el valor 𝑓(𝑧0), puede existir o
no, sino cómo se comporta 𝑓(𝑧) para puntos 𝑧 muy cercanos a 𝑧0. Si 𝑓(𝑧) se aproxima a 𝐿
cuando 𝑧 se aproxima a 𝑧0, entonces el límite de 𝑓(𝑧) es igual al número complejo 𝐿.
Como consecuencia de esta definición tenemos el siguiente resultado, que permite calcular
el límite de funciones complejas a través de límites de funciones escalares.
Teorema 2.1 Sea 𝑅 ⊆ ℂ una región y 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) una función compleja
definida en 𝑅. Sea 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 y 𝐿 = 𝐴 + 𝑖𝐵, entonces
lim𝑥+𝑖𝑦→𝑥0+𝑖𝑦0
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝐿 = 𝐴 + 𝑖𝐵 ⇔ lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐴 y lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐵
Ejemplo 2.5 Sea 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 4 − 𝑥𝑦2 − 2𝑖𝑦𝑥2, entonces
lim𝑥+𝑖𝑦→1+1𝑖
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
(4 − 𝑥𝑦2) + 𝑖 lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
−2𝑦𝑥2 = (4 − 1) + 𝑖(−2) = 3 − 2𝑖
Ejemplo 2.6 Analicemos el lim𝑥+𝑖𝑦→0+0𝑖
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) donde
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =𝑥2 − 3𝑦2
𝑥2 + 𝑦2+ 𝑖
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
62
Aplicando el teorema anterior, analicemos primero el límite de la parte real de la función:
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−3𝑦2
𝑥2+𝑦2.
Si nos acercamos al origen a través de los ejes coordenados, tenemos:
Si 𝑦 = 0:
lim(𝑥,0)→(0,0)
𝑥2 − 3(0)2
𝑥2 + (0)2= lim
𝑥→0
𝑥2
𝑥2= lim
𝑥→01 = 1
Si 𝑥 = 0:
lim(0,𝑦)→(0,0)
(0)2 − 3𝑦2
(0)2 + 𝑦2= lim
𝑥→0
−3𝑦2
𝑦2= lim
𝑥→0(−3) = −3
Como los límites obtenidos son diferentes, concluimos que no existe el límite de la parte real
de la función y, en consecuencia, tampoco existe el límite de la función compleja 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦).
Ejemplo 2.7 Analicemos el lim𝑧→0
𝑓(𝑧) donde
𝑓(𝑧) =𝑧 Re 𝑧
|𝑧|
Descomponiendo la función en su parte real e imaginaria haciendo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =(𝑥 + 𝑖𝑦)𝑥
√𝑥2 + 𝑦2=
𝑥2
√𝑥2 + 𝑦2+ 𝑖
𝑥𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
Entonces,
𝑢(𝑥, 𝑦) =𝑥2
√𝑥2 + 𝑦2 y 𝑣(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
Requerimos calcular ambos límites:
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2
√𝑥2 + 𝑦2 y lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
Si evaluamos en puntos cercanos al origen podemos observar que los valores de las imágenes
se aproximan a cero en ambos casos, por lo que intuimos que los dos límites son iguales a
63
cero. Para demostrarlo, tomemos un número arbitrario 휀 > 0. Queremos encontrar un valor
𝛿 > 0 tal que,
0 <∥ (𝑥, 𝑦) − (0,0) ∥ < 𝛿 ⇒ |𝑥2
√𝑥2 + 𝑦2| < 휀
es decir,
0 < √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 ⇒ |𝑥2
√𝑥2 + 𝑦2| < 휀,
pero la desigualdad 𝑥² ≤ 𝑥² + 𝑦² siempre es verdadera, entonces
𝑥2
√𝑥2 + 𝑦2≤
𝑥2 + 𝑦²
√𝑥2 + 𝑦2= √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿
Si elegimos 𝛿 = 휀, se cumple que para todo (𝑥, 𝑦) con 0 < √𝑥² + 𝑦² < 𝛿, implica que
|𝑥2
√𝑥2 + 𝑦2| ≤ √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 = 휀
Así, hemos demostrado que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2
√𝑥2+𝑦2= 0.
De la misma manera, para demostrar que el límite de la parte imaginaria cuando (𝑥, 𝑦) tiende
a (0,0) es igual a cero, sea 휀 > 0. Queremos encontrar 𝛿′ > 0 tal que
0 < √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿′ ⇒ |𝑥𝑦
√𝑥2 + 𝑦2| < 휀
Ya que 𝑥2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 es verdadera, |𝑥| < √𝑥2 + 𝑦2 también es verdadera, y análogamente
para |𝑦|: |𝑦| < √𝑥2 + 𝑦2 Entonces,
|𝑥𝑦
√𝑥2 + 𝑦2| =
|𝑥||𝑦|
√𝑥2 + 𝑦2≤√𝑥2 + 𝑦2√𝑥2 + 𝑦2
√𝑥2 + 𝑦2= √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿′
si elegimos nuevamente 𝛿′ = 휀, tenemos que la siguiente implicación siempre es verdadera:
0 < √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿′ ⇒ |𝑥𝑦
√𝑥2 + 𝑦2| ≤ √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿′ = 휀
64
Por lo que el lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
√𝑥2+𝑦2= 0. Aplicando el teorema 2.1
lim𝑧→0
𝑓(𝑧) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 0 + 𝑖0 = 0.
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se define el límite de una función en un punto del plano complejo?
2. En la definición de límite, analiza la pertenencia de 𝑧0 al dominio de la función.
3. ¿Expresa con tus propias palabras qué representan en el plano complejo los conjuntos
0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 y |𝑓(𝑧) − 𝐿| < 휀
4. Explica la interpretación geométrica de la Fig. 2.4
5. En la práctica, ¿qué procedimiento seguirías para calcular un límite de una función en
un número complejo?
Ejercicios
Calcula los siguientes límites, si es que existen
1. lim𝑧→0
(𝑧²+𝑧−2)(𝑧+3𝑖)
(𝑧−1)
2. lim𝑧→−2
(𝑧²+(2−𝑖)𝑧−2𝑖)
(𝑧+2)
3. lim𝑧→−𝑖
𝑧 𝑧
4. lim𝑧→0
𝑧2
|𝑧|2
5. lim𝑧→0
𝑧 ��
|𝑧|2
6. lim𝑧→−𝑖
(𝑧 + 𝑧)
7. lim𝑧→−𝑖
𝑧
��
8. lim𝑧→−𝑖
��
𝑧
9. lim(𝑥+𝑖𝑦)→0
sen𝑥 +𝑖 sen𝑦
𝑥−𝑖𝑦
10. lim(𝑥+𝑖𝑦)→0
sen𝑥 +𝑖 sen𝑦
𝑥+𝑖𝑦
11. lim(𝑥+𝑖𝑦)→0
𝑥sen𝑥 +𝑖 𝑦sen𝑦
𝑦+𝑖𝑥
2.4 Continuidad
Iniciaremos esta sección con la definición de continuidad de una función en un punto.
Observa que es igual a la de funciones reales de una variable real.
65
Sea 𝑓(𝑧) una función de variable compleja definida en una región 𝑅 y sea 𝑧0 ∈ ℂ un punto.
Decimos que 𝑓 es continua en 𝑧0 si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:
i. 𝑓(𝑧0) está definido,
ii. lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) existe, y
iii. lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧₀).
La condición (i) exige que la función esté definida en el punto, la (ii) que tenga límite ahí, y
la (iii) que el valor del límite coincida con el valor de la función en ese punto. Basta con que
alguna de las condiciones falle para que la función no sea continua en el punto en cuestión.
La condición (ii) indica que la función cerca de 𝑧₀ no puede tener cambios bruscos en las
imágenes 𝑓(𝑧) para valores 𝑧 cercanos a 𝑧₀, y la (iii), que eso valores en las cercanías de 𝑧₀
deben ser muy cercanos al valor 𝑓(𝑧₀).
Ejemplo 2.8 Analicemos la continuidad de la función 𝑓(𝑧) =𝑧 Re 𝑧
|𝑧| en el punto 𝑧₀ = 0.
Como 𝑓(0) no existe, no se cumple el criterio (i) de la definición de continuidad en un punto,
por lo cual concluimos que la función no es continua en 𝑧₀ = 0. Nota sin embargo que, en el
Ejem. 2.7, demostramos que el límite de esta función en cero existe y es igual a 0:
lim𝑧→0
𝑧 Re 𝑧
|𝑧|= 0
Puntos que se comportan como los de este ejemplo se llaman singularidades removibles, es
decir, puntos 𝑧 para los cuales se satisface (ii) pero no (i) de la definición anterior.
En el Ej. 2.8, podríamos definir 𝑓(0) = 0 de manera que 𝑓(𝑧) sea continua ahí de la manera
siguiente:
𝑓(𝑧) = {
𝑧 Re 𝑧
|𝑧|, 𝑠𝑖 𝑧 ≠ 0
0, 𝑠𝑖 𝑧 = 0
Esta nueva función, cuyo dominio es todo ℂ, sí es continua en 𝑧₀ = 0.
Ejemplo 2.9 Consideremos la función
66
𝑓(𝑧) =|𝑧|2
𝑧
Analicemos en qué puntos del plano complejo no es continua, no tiene límite o tiene límite,
pero no es continua.
Dado que la función no está definida en 𝑧₀ = 0, no es continua ahí (no cumple (i) de la
definición de continuidad en un punto). Veamos si tiene límite en este punto.
𝑧 ≠ 0 ⟹ |𝑧|2
𝑧=𝑧 𝑧
𝑧= 𝑧
Así, estas funciones coinciden para 𝑧 ≠ 0. Por otro lado,
lim𝑧→0
|𝑧|2
𝑧= lim
𝑧→0𝑧 = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)(𝑥 − 𝑖𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥 − 𝑖 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑦 = 0 + 0𝑖
Entonces, la función tiene límite en 𝑧₀ = 0 igual a cero. Por lo tanto, 𝑧₀ = 0 es una
singularidad removible.
Para cualquier punto distinto de cero, como 𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧) = 𝑧, es continua. En resumen, la
función propuesta es continua en ℂ ∕ {0}.
Nuevamente, podemos redefinir esta función para hacerla continua en cero de la siguiente
manera:
ℎ(𝑧) = {|𝑧|2
𝑧, si 𝑧 ≠ 0
0, si 𝑧 = 0
Esta nueva función ya es continua no solo en 𝑧₀ = 0, sino en todo ℂ y es igual a la función
𝑔(𝑧) = 𝑧, porque tienen el mismo dominio y las mismas imágenes en cada punto.
Ejemplo 2.10 Analicemos la función
𝑓(𝑧) =|𝑧|
𝑧
Esta función no es continua en 𝑧₀ = 0 ya que no existe 𝑓(0). Veamos si tiene límite en 𝑧 =
0.
67
𝑓(𝑧) =|𝑧|
𝑧=|𝑧| ∙ 𝑧
𝑧 ∙ 𝑧=|𝑧| ∙ 𝑧
|𝑧|2=𝑧
|𝑧|=
𝑥 − 𝑖𝑦
√𝑥2 + 𝑦2=
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2− 𝑖
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
Es decir,
𝑢(𝑥, 𝑦) =𝑥
√𝑥2 + 𝑦2 y 𝑣(𝑥, 𝑦) = −
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
Analicemos el límite de 𝑢(𝑥, 𝑦) cuando nos aproximamos al origen por los ejes coordenados
positivos:
Si 𝑦 = 0, 𝑥 > 0
lim(𝑥,0)→(0,0)
𝑥>0
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2= lim
(𝑥,0)→(0,0)𝑥>0
𝑥
√𝑥2 + (0)2= lim
𝑥→0𝑥>0
𝑥
√𝑥2= lim
𝑥→0𝑥>0
𝑥
𝑥= lim
𝑥→0𝑥>0
1 = 1
Si 𝑥 = 0, 𝑦 > 0
lim(0,𝑦)→(0,0)
𝑦>0
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2= lim
(0,𝑦)→(0,0)𝑦>0
0
√(0)2 + 𝑦2= lim
𝑦→0𝑦>0
0
√𝑦2= lim
𝑦→0𝑦>0
0 = 0
Puesto que estos límites son diferentes, no existe el límite de 𝑢(𝑥, 𝑦) cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0).
Análogamente se prueba que no existe el límite de 𝑣(𝑥, 𝑦) cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0).
Conviene establecer un resultado de continuidad que nos servirá en la siguiente sección.
Teorema 2.2 Sea 𝑓(𝑧) es una función definida en una región 𝑅 y 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 ∈ 𝑅. 𝑓(𝑧)
es continua en 𝑧0 si y solo si, tanto 𝑢(𝑥, 𝑦) como 𝑣(𝑥, 𝑦) son continuas en el punto (𝑥0, 𝑦0).
Para terminar esta sección definimos la continuidad en una región.
Decimos que 𝑓 es continua en una región 𝑅 si es continua en cada punto de 𝑅.
Ejemplo 2.11 Las funciones polinomiales 𝑓(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧2 +⋯𝑎𝑛𝑧
𝑛, 𝑎𝑖 ∈ ℂ, son
continuas en todo ℂ.
Más adelante, estudiaremos una gama de funciones complejas en las que estableceremos su
región de continuidad.
68
Preguntas de repaso
1. ¿Qué condiciones se deben cumplir para que una función sea continua en un punto?
2. ¿Qué es una singularidad removible?
3. ¿Qué procedimiento seguirías para calcular el límite de una función en un punto donde
no está definida?
Ejercicios
Determina si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados. Si son
singularidades removibles, indicar cómo se podría definir la función para eliminar la
indeterminación.
1. 𝑓(𝑧) =𝑧2−(2+𝑖)𝑧+2𝑖
𝑧−𝑖en 𝑧 = 𝑖
2. 𝑓(𝑧) =𝑧2+(2−𝑖)𝑧−2𝑖
𝑧+2en 𝑧 = −2
3. 𝑓(𝑧) = 𝑧 ∙ 𝑧 en 𝑧 = −𝑖
4. 𝑓(𝑧) = 𝑧2en 𝑧 = 𝑖
5. 𝑓(𝑧) =𝑧2
𝑧 en 𝑧 = 0
6. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) =sen𝑥+𝑖 sen𝑦
(𝑥−𝑖𝑦) en 𝑧 = 0
2.5 Derivada de una función compleja El concepto de derivada en el plano complejo es idéntico al de cálculo diferencial de una
variable, excepto que ahora todos son números complejos.
Sea 𝑓(𝑧) una función compleja definida en una región 𝑅 y 𝑧₀ un punto en 𝑅. La derivada de
𝑓(𝑧) en 𝑧₀ se define como,
limℎ→0
𝑓(𝑧₀ + ℎ) − 𝑓(𝑧₀)
ℎ
cuando este límite existe (ℎ ∈ ℂ), y escribimos 𝑓′(𝑧₀) o 𝑑𝑓(𝑧0)
𝑑𝑧 para denotarla. Si existe la
derivada de 𝑓(𝑧) en 𝑧₀ decimos que 𝑓 es diferenciable en 𝑧₀.
Decimos que 𝑓(𝑧) es diferenciable en 𝑅 si es diferenciable en cada punto de 𝑅.
69
Ejemplo 2.12 Sea 𝑓(𝑧) = 𝑧² y 𝑧₀ un número complejo arbitrario. La derivada de 𝑓 en 𝑧₀ es
𝑓′(𝑧0) = limℎ→0
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑧₀ + ℎ)2 − (𝑧₀)
ℎ= lim
ℎ→0
𝑧₀2 + 2𝑧0 ∙ ℎ + ℎ2 − 𝑧₀2
ℎ
= limℎ→0
2𝑧0 ∙ ℎ + ℎ2
ℎ= limℎ→0
ℎ ∙ (2𝑧0 + ℎ)
ℎ= lim
ℎ→02𝑧0 + ℎ = 2𝑧0
Observa que el desarrollo algebraico es idéntico al de cálculo diferencial en una variable.
Ejemplo 2.13 Consideremos la función
𝑓(𝑧) = { |𝑧|2
𝑧, si 𝑧 ≠ 0
0, si 𝑧 = 0
Veamos que 𝑓 es continua pero no diferenciable en 𝑧 = 0. En efecto, la primera condición
de continuidad se cumple: 𝑓(0) = 0 existe.
Para probar la segunda condición, afirmamos que lim𝑧→0
𝑓(𝑧) = 0. Sea 휀 > 0, queremos
demostrar que existe 𝛿 > 0 tal que
|𝑧 − 0| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑧) − 𝑓(0)| < 휀
es decir,
|𝑧| < 𝛿 ⇒ ||𝑧|2
𝑧| < 휀
pero
||𝑧|2
𝑧| = |𝑧| < 휀
haciendo 𝛿 = 휀, se tiene:
|𝑧| < 𝛿 ⇒ ||𝑧|2
𝑧| = |𝑧| < 𝛿 = 휀
por lo que 𝑓 es continua en 𝑧 = 0. Veamos ahora que no posee derivada ahí.
limℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ= lim
ℎ→0
|ℎ|2
ℎ− 0
ℎ= lim
ℎ→0
|ℎ|2
ℎ2= (1)
70
Si ℎ es real positiva,
(1) = limℎ→0
ℎ2
ℎ2= lim
ℎ→01 = 1
Si ℎ es real negativa,
(1) = limℎ→0
−ℎ2
ℎ2= lim
ℎ→0−1 = −1
por lo que no existe el límite y por lo tanto 𝑓 no es diferenciable en 𝑧0 = 0.
Ejemplo 2.14 Obtengamos la derivada de la función
𝑓(𝑧) =𝑧
1 + 𝑧
aplicando la definición directamente,
𝑓′(𝑧) = limℎ→0
𝑓(𝑧 + ℎ) − 𝑓(𝑧)
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑧 + ℎ
1 + 𝑧 + ℎ) − (
𝑧1 + 𝑧
)
ℎ
= limℎ→0
((𝑧 + ℎ) ∙ (1 + 𝑧) − 𝑧 ∙ (1 + 𝑧 + ℎ)
(1 + 𝑧 + ℎ) ∙ (1 + 𝑧))
ℎ
= limℎ→0
𝑧 + 𝑧2 + ℎ + ℎ ∙ 𝑧 − 𝑧 − 𝑧2 − 𝑧 ∙ ℎ
ℎ ∙ (1 + 𝑧 + ℎ) ∙ (1 + 𝑧)= lim
ℎ→0
1
(1 + 𝑧 + ℎ) ∙ (1 + 𝑧)
=1
(1 + 𝑧)2
El siguiente teorema nos permite calcular la derivada de la suma, diferencia, multiplicación
y división de dos funciones en un número complejo directamente, haciendo los procesos más
simples. Nota que las propiedades son idénticas a las que se estudiaron en el cálculo
diferencial de una variable real.
Propiedades de la derivada Si 𝑓(𝑧) y 𝑔(𝑧) son funciones complejas definidas en una región
𝑅 y diferenciables en 𝑧0 ∈ 𝑅, entonces:
D1. Tanto 𝑓(𝑧) como 𝑔(𝑧) son continuas en 𝑧0.
D2. Si 𝑓(𝑧) = 𝑐, donde 𝑐 ∈ ℂ está fijo, entonces 𝑓 es diferenciable en 𝑧0 y 𝑓′(𝑧0) = 0.
71
D3. Si 𝛼, 𝛽 ∈ ℂ y 𝐹(𝑧) = 𝛼𝑓(𝑧) + 𝛽𝑔(𝑧), entonces 𝐹 es diferenciable en 𝑧0 y 𝐹′(𝑧0) =
𝛼𝑓′(𝑧0) + 𝛽𝑔′(𝑧0).
D4. Si 𝐺(𝑧) = 𝑓(𝑧) ∙ 𝑔(𝑧), entonces 𝐺 es diferenciable en 𝑧0 y
𝐺′(𝑧0) = 𝑓′(𝑧0) ∙ 𝑔(𝑧0) + 𝑓(𝑧0) ∙ 𝑔′(𝑧0)
D5. Si 𝐻(𝑧) =𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧) y 𝑔(𝑧₀) ≠ 0, entonces 𝐻 es diferenciable en 𝑧0 y
𝐻′(𝑧0) =𝑓′(𝑧0)𝑔(𝑧0) − 𝑓(𝑧0)𝑔
′(𝑧0)
(𝑔(𝑧0))2
Aplicando este teorema podemos derivar rápidamente muchas funciones. Veamos la regla de
la cadena en el caso complejo.
Regla de la cadena Si 𝑔(𝑧) es una función compleja diferenciable en una región 𝑅 con
imagen 𝐸 y 𝑓(𝑤) es diferenciable en una región que contiene a 𝐸, entonces la composición
𝐹(𝑧) = 𝑓(𝑔(𝑧))
es diferenciable en 𝑅 y
𝐹′(𝑧0) = 𝑓′(𝑔(𝑧0)) ∙ 𝑔
′(𝑧0)
También se cumple la regla de L'Hôpital.
Regla de L'Hôpital Si 𝑔(𝑧0) = 0 y ℎ(𝑧0) = 0, y 𝑔(𝑧) y ℎ(𝑧) son funciones diferenciables
en 𝑧0 con ℎ′(𝑧0) ≠ 0, entonces
lim𝑧→𝑧0
𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧)= lim
𝑧→𝑧0
𝑔′(𝑧)
ℎ′(𝑧).
Desde el punto de vista formal, esta regla para evaluar formas indeterminadas de la forma 0
0
es idéntica a la que se emplea en el cálculo diferencial de funciones reales.
Ejemplo 2.15 Determinemos el limite
lim𝑧→2𝑖
𝑧 − 2𝑖
𝑧4 − 16
Aplicando la regla de L'Hôpital
72
lim𝑧→2𝑖
𝑧 − 2𝑖
𝑧4 − 16= (
0
0) = lim
𝑧→2𝑖
1
4𝑧3=
1
4(2𝑖)3= −
1
32𝑖.
En el caso en que 𝑔(𝑧0) = 0, ℎ(𝑧0) = 0 pero 𝑔′(𝑧0) ≠ 0 y ℎ′(𝑧0) = 0 no puede aplicarse la
regla de L'Hôpital. Es posible demostrar que lim𝑧→𝑧0
𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧) no existe y que la magnitud de este
cociente crece sin límite cuando 𝑧 → 𝑧0.
En la variable compleja se presentan ejemplos que no se ven en cálculo diferencial real, como
funciones que son continuas en todo el plano complejo, pero solo diferenciables en un punto,
como el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.16 Sea 𝑓(𝑧) = |𝑧|2, es decir 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2. En este caso 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 +
𝑦2 y 𝑣(𝑥, 𝑦) = 0.
𝑓 es continua en todo número 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 ∈ ℂ pues por el teorema 2.2,
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥02 + 𝑦0
2 y lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 0
También 𝑓 es diferenciable en 𝑧 = 0 ya que
𝑓′(0) = limℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ= lim
ℎ→0
|ℎ|2
ℎ= lim
ℎ→0( ℎ ∙ ℎ
ℎ ) = lim
ℎ→0 ℎ = 0 = 0
Sin embargo, si 𝑧0 ≠ 0,
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ =
|𝑧0 + ℎ|2 − |𝑧0|
2
ℎ=(𝑧0 + ℎ) ∙ (𝑧0 + ℎ ) − 𝑧0 ∙ 𝑧0
ℎ=
= (𝑧0 + ℎ) ∙ (𝑧0 + ℎ) − 𝑧0 ∙ 𝑧0
ℎ=𝑧0 ∙ ℎ + ℎ ∙ 𝑧0 + ℎ ∙ ℎ
ℎ= (
𝑧0 ∙ ℎ
ℎ+ 𝑧0 + ℎ)
Si nos aproximamos a 0 por el eje real ℎ = ℎ1 + 0𝑖,
limℎ→0
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ= lim
ℎ1→0(𝑧0 ∙ ℎ1ℎ1
+ 𝑧0 + ℎ1) = 𝑧0 + 𝑧0
Pero, si nos aproximamos por el eje imaginario positivo, ℎ = 0 + 𝑖ℎ2, ℎ2 > 0,
73
limℎ→0
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ= lim
ℎ2→0(𝑧0 ∙ (−𝑖ℎ2)
𝑖ℎ2+ 𝑧0 − 𝑖ℎ2) = lim
ℎ2→0(−𝑖𝑧0𝑖
(−𝑖)
(−𝑖)+ 𝑧0 − 𝑖ℎ2)
= limℎ2→0
(−𝑧01+ 𝑧0 − 𝑖ℎ2) = −𝑧0 + 𝑧0
como 𝑧0 ≠ 0, entonces 𝑧0 + 𝑧0 ≠ −𝑧0 + 𝑧0, es decir, 𝑧0 ≠ −𝑧0 por lo que 𝑓 no es
diferenciable en 𝑧0 ≠ 0.
Ejemplo 2.17 La función 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 3𝑥 + 4𝑖𝑦 es continua pero no diferenciable en ℂ. En
efecto, sea 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 ∈ ℂ un número arbitrario, entonces por el teorema 2.2,
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 3𝑥0 y lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 4𝑦0
por lo que 𝑓 es continua en todo punto de ℂ. Por otro lado,
limℎ→0
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ= lim
ℎ1+𝑖ℎ2→0
[3(𝑥0 + ℎ1) + 4𝑖(𝑦0 + ℎ2)] − [3𝑥0 + 4𝑖𝑦0]
ℎ1 + 𝑖ℎ2
= limℎ1+𝑖ℎ2→0
3ℎ1 + 4𝑖ℎ2ℎ1 + 𝑖ℎ2
Si nos aproximamos al 0 por el eje real haciendo ℎ₂ = 0,
limℎ→0
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ= lim
ℎ1→0
3ℎ1 + 4𝑖(0)
ℎ1 + 𝑖(0)= 3
Pero, si nos aproximamos al 0 por el eje imaginario haciendo ℎ₁ = 0,
limℎ→0
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ= lim
ℎ2→0
3(0) + 4𝑖ℎ20 + 𝑖ℎ2
= 4
Como ambos límites son diferentes, no existe el límite. Como 𝑧0 fue arbitrario, 𝑓 no es
diferenciable en ningún punto.
Los ejemplos anteriores indican que no podemos confiarnos a la hora de afirmar la
diferenciabilidad de una función compleja, por muy simple que pueda ser. Veamos
condiciones que garantizan la diferenciabilidad de una función 𝑓(𝑧) en un punto.
Teorema 2.3 Sea 𝑓 una función compleja definida y continua en una región 𝑅 que contiene
al punto 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. Si 𝑓 es diferenciable en 𝑧₀, entonces:
74
i. 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) poseen derivadas parciales en (𝑥0, 𝑦0), es decir, existen
𝑢𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝑢𝑦(𝑥0, 𝑦0), 𝑣𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝑣𝑦(𝑥0, 𝑦0)
ii. Las derivadas parciales de 𝑢 y 𝑣 en (𝑥0, 𝑦0) satisfacen las condiciones
𝑢𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 𝑣𝑦(𝑥0, 𝑦0), 𝑢𝑦(𝑥0, 𝑦0) = −𝑣𝑥(𝑥0, 𝑦0)
llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Demostración Si 𝑓 es diferenciable en 𝑧₀, entonces el siguiente límite existe,
𝑓′(𝑧0) = limℎ→0
𝑓(𝑧0 + ℎ) − 𝑓(𝑧0)
ℎ
Si ℎ es real ℎ = ℎ1 + 0𝑖, el límite se puede escribir como
limℎ1→0
𝑢(𝑥0 + ℎ1, 𝑦0) + 𝑖𝑣(𝑥0 + ℎ1, 𝑦0) − [𝑢(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖𝑣(𝑥0, 𝑦0)]
ℎ1
= limℎ1→0
𝑢(𝑥0 + ℎ1, 𝑦0) − 𝑢(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖𝑣(𝑥0 + ℎ1, 𝑦0) − 𝑖𝑣(𝑥0, 𝑦0)
ℎ1
= limℎ1→0
𝑢(𝑥0 + ℎ1, 𝑦0) − 𝑢(𝑥0, 𝑦0)
ℎ1+ 𝑖 lim
ℎ1→0
𝑣(𝑥0 + ℎ1, 𝑦0) − 𝑣(𝑥0, 𝑦0)
ℎ1
= 𝑢𝑥(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖 𝑣𝑥(𝑥0, 𝑦0)
Es decir, 𝑓′(𝑧₀) = 𝑢𝑥(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖 𝑣𝑥(𝑥0, 𝑦0). Por otro lado, si ℎ es imaginario puro ℎ = 0 +
𝑖ℎ2,
limℎ2→0
𝑢(𝑥0, 𝑦0 + ℎ2) + 𝑖𝑣(𝑥0, 𝑦0 + ℎ2) − [𝑢(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖𝑣(𝑥0, 𝑦0)]
𝑖ℎ2
= limℎ2→0
𝑢(𝑥0, 𝑦0 + ℎ2) − 𝑢(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖𝑣(𝑥0, 𝑦0 + ℎ2) − 𝑖𝑣(𝑥0, 𝑦0)
𝑖ℎ2
(−𝑖)
(−𝑖)
= −𝑖 limℎ2→0
𝑢(𝑥0, 𝑦0 + ℎ2) − 𝑢(𝑥0, 𝑦0)
ℎ2+ limℎ2→0
𝑣(𝑥0, 𝑦0 + ℎ2) − 𝑣(𝑥0, 𝑦0)
ℎ2
= −𝑖𝑢𝑦(𝑥0, 𝑦0) + 𝑣𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 𝑣𝑦(𝑥0, 𝑦0) − 𝑖𝑢𝑦(𝑥0, 𝑦0)
entonces 𝑓′(𝑧₀) = 𝑣𝑦(𝑥0, 𝑦0) − 𝑖 𝑢𝑦(𝑥0, 𝑦0). Igualando la parte real y la imaginaria de
ambas expresiones, obtenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 𝑧₀.
Observa que en el teorema anterior las ecuaciones de Cauchy-Riemann proporcionan una
condición necesaria pero no suficiente para que 𝑓(𝑧) tenga derivada en 𝑧₀.
75
Ejemplo 2.18 Revisemos nuevamente la función
𝑓(𝑧) = 3𝑥 + 4𝑦𝑖
considerando las derivadas parciales
𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = 3, 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0
𝑣𝑥(𝑥, 𝑦) = 0, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 4
observamos que en ningún punto (𝑥, 𝑦) se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por
lo que por el teorema 2.5 (aplicada desde la perspectiva de la contrarecíproca), 𝑓 no es
diferenciable en ningún punto de ℂ como ya lo habíamos probado antes.
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el teorema anterior no proporcionan una condición
suficiente para garantizar la existencia de la derivada en un número 𝑧₀. Así, podemos
encontrar funciones definidas en una región que contenga un punto 𝑧₀ donde Re 𝑓(𝑧) e
Im 𝑓(𝑧) satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero sin derivada en 𝑧₀, como en el
ejemplo siguiente.
Ejemplo 2.19 Consideremos la función 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = |𝑥𝑦|1 2⁄ . En este caso,
𝑢(𝑥, 𝑦) = |𝑥𝑦|1 2⁄ , 𝑣(𝑥, 𝑦) = 0
Veamos que 𝑢 y 𝑣 satisfacen las hipótesis del teorema anterior en el punto 𝑧 = 0, pero 𝑓 no
es derivable ahí.
i. Por la definición de la derivada parcial con respecto a 𝑥 en (0, 0):
𝑢𝑥(0, 0) = limℎ1→0
𝑢(0 + ℎ1, 0) − 𝑢(0,0)
ℎ1= lim
ℎ1→0
0 − 0
ℎ1= lim
ℎ1→00 = 0
(aquí ℎ1 ∈ ℝ). Análogamente se puede ver que 𝑢𝑦(0, 0) = 0. En el caso de la función 𝑣,
es trivial que 𝑣𝑥(0, 0) = 0 y 𝑣𝑦(0, 0) = 0.
ii. Dado que todas las derivadas parciales son iguales a cero, se satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en (0, 0).
Ahora, veamos que 𝑓 no es diferenciable en 𝑧 = 0. Sea ℎ = ℎ₁ + 𝑖ℎ₂
76
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ=|ℎ1ℎ2|
1 2⁄
ℎ1 + 𝑖ℎ2
si ℎ2 = 0,
limℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ= lim
ℎ1→0
0
ℎ1= lim
ℎ1→00 = 0
pero si ℎ1 = ℎ2,
limℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ = lim
ℎ1→0
|ℎ1ℎ1|1 2⁄
ℎ1 + 𝑖ℎ1= lim
ℎ1→0
|ℎ1|
(1 + 𝑖)ℎ1=
1
1 + 𝑖 limℎ1→0
|ℎ1|
ℎ1
Si ℎ1 > 0
limℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ=
1
1 + 𝑖 limℎ1→0
ℎ1ℎ1=
1
1 + 𝑖 limℎ1→0
1 =1
1 + 𝑖
Pero, si ℎ1 < 0
limℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ=
1
1 + 𝑖 limℎ1→0
−ℎ1ℎ1
=1
1 + 𝑖 limℎ1→0
− 1 = −1
1 + 𝑖
por lo que 𝑓 el no es diferenciable en 𝑧 = 0.
El siguiente teorema ofrece condiciones suficientes en el teorema anterior para que 𝑓 sea
diferenciable en un número 𝑧₀ ∈ ℂ. Observa la hipótesis adicional de continuidad en una
región 𝑅 que contenga a 𝑧0.
Teorema 2.4 Sea 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) una función definida en una región 𝑅 que contiene al punto 𝑧0 =
𝑥0 + 𝑖𝑦0. Si
i. 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) poseen derivadas parciales continuas en un disco abierto |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟
centrado en (𝑥0, 𝑦0) en 𝑅 y,
ii. se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (𝑥0, 𝑦0),
entonces 𝑓 es diferenciable en 𝑧0 y
𝑓′(𝑧0) = 𝑢𝑥(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖𝑣𝑥(𝑥0, 𝑦0)
Ejemplo 2.20 Consideremos la función polinomial
77
𝑓(𝑧) = 𝑧²
Primero la descomponemos en su parte real e imaginaria haciendo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥 + 𝑖𝑦)² = 𝑥² − 𝑦² + 2𝑥𝑦𝑖
es decir,
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 y 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦
Sus derivadas parciales son:
𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥, 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑦
𝑣𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 , 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥
Que claramente son continuas en todo el plano. Además,
∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 = 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦) y 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑦 = −𝑣𝑥(𝑥, 𝑦)
entonces por el teorema anterior, 𝑓 es diferenciable en 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ ℂ y
𝑓′(𝑧) = 2𝑥 + 𝑖2𝑦 = 2𝑧
Ejemplo 2.21 La función analizada en el ejemplo 2.16 𝑓(𝑧) = |𝑧|² = 𝑥² + 𝑦², está definida
en todo el plano complejo, además
𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥, 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑦
𝑣𝑥(𝑥, 𝑦) = 0, 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦) = 0,
son continuas en todo (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 pero las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen
únicamente en el punto (0, 0), por lo tanto, 𝑓 es diferenciable sólo en 𝑧 = 0 y su derivada es
0.
Ejemplo 2.22 Para la función 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sen 𝑦,
𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 , 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = −𝑒𝑥 sen 𝑦
𝑣𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sen 𝑦, 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 ,
Las cuales son continuas en todo 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ ℂ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
78
𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = − 𝑣𝑥 (𝑥, 𝑦)
Entonces 𝑓 es diferenciable en todo 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ ℂ y
𝑓′(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑖 𝑣𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sen 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦)
En este caso la derivada coincide con la función original. Observa que cuando 𝑧 = 𝑥 es un
número real, 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 coincide como la función exponencial real. Más adelante
veremos que así se define la función 𝑒𝑧.
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se definen la derivada de una función en un punto?
2. ¿De qué tipo es el límite de una derivada?
3. ¿Si una función es diferenciable en un punto, es continua en ese punto?
4. ¿A qué es igual la derivada de una suma o una diferencia de funciones?
5. ¿Cómo se deriva un producto de dos funciones?
6. ¿Cómo se deriva un cociente de dos funciones?
7. ¿Qué dice la regla de la cadena?
8. ¿Cuándo se puede aplicar la regla de L’Hôpital?
9. ¿Qué establecen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?
10. ¿Cómo se utilizan las ecuaciones de Cauchy-Riemann?
Ejercicios
1. Analiza la continuidad y diferenciabilidad de la función 𝑓(𝑧) = 𝑧.
2. Mediante dos procedimientos, demuestra que la función 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 5𝑥 + 7𝑖𝑦 no es
diferenciable en 𝑧 = 0.
3. Demuestra que la función 𝑓(𝑧) = Re 𝑧 no posee derivada en ningún punto 𝑧.
4. Si 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = sen 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑖 cos 𝑥 senh 𝑦, demuestra que 𝑓´(𝑥 + 𝑖𝑦) existe en todo
el plano complejo. Halla 𝑓´(𝑧).
79
5. Si 𝑓(𝑧) = cos 𝑥 cosh 𝑦 − 𝑖 sen 𝑥 senh 𝑦, demuestra que 𝑓´(𝑥 + 𝑖𝑦) existe en todo el
plano complejo. Halla 𝑓´(𝑧).
Para qué valores de 𝑧 tienen derivadas las siguientes funciones:
1. 𝑓(𝑧) = 𝑧
2. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥² − 𝑦² − 𝑖2𝑥𝑦
3. 𝑓(𝑧) = 𝑧⁻⁵
4. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥² − 𝑦² − 2𝑥𝑦) + 𝑖(2𝑥𝑦 + 𝑥² − 𝑦²)
5. 𝑓(𝑧) = 𝑒|𝑧−1|²
6. 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = cos 𝑥 + 𝑖 sen𝑦
7. 𝑓(𝑧) = 𝑧⁵ + 𝑧
2.6 Analiticidad de funciones complejas A continuación, definiremos el concepto de analiticidad el cual involucra la diferenciabilidad
en todos los puntos de una vecindad del punto en cuestión, como veremos a continuación.
Decimos que una función compleja 𝑓(𝑧) definida en una región 𝑅 que contiene al punto
𝑧₀ es analítica en 𝑧₀ si existe 𝑟 > 0 tal que el disco abierto |𝑧 − 𝑧₀| < 𝑟 ⊆ 𝑅 y 𝑓 es
diferenciable en cada punto de dicho disco.
Ejemplo 2.23 Como vimos en el ejemplo 2.21, la función 𝑓(𝑧) = |𝑧|², es diferenciable
solamente en 𝑧0 = 0, por lo que no es analítica en ese punto.
El siguiente teorema proporciona una condición necesaria y suficiente para la analiticidad de
una función en una región.
Teorema 2.5 𝑓(𝑧) es una función analítica en una región 𝑅 si y solo si, 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦)
poseen primeras derivadas parciales continuas en todo punto de 𝑅 y satisfacen las ecuaciones
de Cauchy-Riemann
𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = −𝑣𝑥(𝑥, 𝑦)
Existen funciones en las que la variable 𝑧 se encuentra en forma trigonométrica. Es deseable
establecer la forma de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en este caso.
80
Forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann Sea 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) una
variable compleja en forma trigonométrica y 𝑓(𝑧) = 𝑤 una función compleja. Supongamos
que 𝑤 = 𝑢(𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃). Aplicando la regla de la cadena,
𝜕𝑢
𝜕𝑥= 𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑥+𝜕𝑢
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑥,
𝜕𝑢
𝜕𝑦=𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑦+𝜕𝑢
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑦,
𝜕𝑣
𝜕𝑥= 𝜕𝑣
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑥+𝜕𝑣
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑥,
𝜕𝑣
𝜕𝑦=𝜕𝑣
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑦+𝜕𝑣
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑦
donde 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2, y 𝜃 = tan−1 (𝑦
𝑥) por lo que,
𝜕𝑟
𝜕𝑥 =
1
2(𝑥2 + 𝑦2)−1 2⁄ (2𝑥) =
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2=𝑥
𝑟= cos 𝜃
𝜕𝑟
𝜕𝑦 =
1
2(𝑥2 + 𝑦2)−1 2⁄ (2𝑦) =
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2=𝑦
𝑟= sen 𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑥=
1
1 + (𝑦𝑥)
2 (−𝑦
𝑥2) = −
𝑦
𝑥2 + 𝑦2= −
𝑦
𝑟2= −
1
𝑟
𝑦
𝑟= −
1
𝑟sen 𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑦 =
1
1 + (𝑦𝑥)
2 (1
𝑥) =
𝑥
𝑥2 + 𝑦2=𝑥
𝑟2=1
𝑟
𝑥
𝑟=1
𝑟cos 𝜃
Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de Cauchy-Riemann
0 = 𝜕𝑢
𝜕𝑥−𝜕𝑣
𝜕𝑦=𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑥+𝜕𝑢
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑥−𝜕𝑣
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑦−𝜕𝑣
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=𝜕𝑢
𝜕𝑟cos 𝜃 +
𝜕𝑢
𝜕𝜃(−
1
𝑟sen 𝜃) −
𝜕𝑣
𝜕𝑟sen 𝜃 −
𝜕𝑣
𝜕𝜃
1
𝑟cos 𝜃
= (𝜕𝑢
𝜕𝑟−1
𝑟
𝜕𝑣
𝜕𝜃) cos 𝜃 − (
1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝜃+𝜕𝑣
𝜕𝑟) sen 𝜃
0 = 𝜕𝑢
𝜕𝑦+𝜕𝑣
𝜕𝑥=𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑦+𝜕𝑢
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑦+𝜕𝑣
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑥+𝜕𝑣
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑥
=𝜕𝑢
𝜕𝑟sen 𝜃 +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
1
𝑟cos 𝜃 +
𝜕𝑣
𝜕𝑟cos 𝜃 +
𝜕𝑣
𝜕𝜃(−
1
𝑟sen𝜃)
= (1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝜃+𝜕𝑣
𝜕𝑟) cos 𝜃 + (
𝜕𝑢
𝜕𝑟−1
𝑟
𝜕𝑣
𝜕𝜃) sen 𝜃
81
Si denotamos por,
𝑙 =𝜕𝑢
𝜕𝑟−1
𝑟
𝜕𝑣
𝜕𝜃, 𝑚 =
1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝜃+𝜕𝑣
𝜕𝑟
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo de dos ecuaciones con dos
incógnitas,
{ 𝑙 cos 𝜃 − 𝑚 sen 𝜃 = 0𝑙 sen 𝜃 +𝑚 cos 𝜃 = 0
cuyo determinante principal es igual a uno indicando que el sistema tiene sólo la solución
trivial 𝑙 = 0,𝑚 = 0, es decir,
𝜕𝑢
𝜕𝑟=1
𝑟
𝜕𝑣
𝜕𝜃,
𝜕𝑣
𝜕𝑟= −
1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝜃
O bien, en forma resumida
𝑢𝑟(𝑟, 𝜃) =1
𝑟𝑣𝜃(𝑟, 𝜃), 𝑣𝑟(𝑟, 𝜃) = −
1
𝑟𝑢𝜃(𝑟, 𝜃)
las cuales se llaman ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar. Sustituyendo los
correspondientes valores de 𝑢𝑥 y 𝑣𝑥 en 𝑓′(𝑧), tenemos
𝑓′(𝑧) = 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑖 𝑣𝑥(𝑥, 𝑦) = (𝑢𝑟 cos 𝜃 −1
𝑟𝑢𝜃 sen 𝜃) + 𝑖 (𝑣𝑟 cos 𝜃 −
1
𝑟𝑣𝜃 sen𝜃)
Ejemplo 2.24 Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares,
demostremos que la función 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛 es diferenciable en todo 𝑧 ∈ ℂ.
En efecto, sea 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃), aplicando la fórmula de Moivre, tenemos
𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sen 𝑛𝜃)
entonces
𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟𝑛 cos 𝑛𝜃 y 𝑣(𝑟, 𝜃) = 𝑟𝑛 sen𝑛𝜃
las derivadas parciales,
𝑢𝑟 = 𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛𝜃 , 𝑢𝜃 = −𝑛𝑟
𝑛 sen𝑛𝜃
𝑣𝑟 = 𝑛𝑟𝑛−1 sen 𝑛𝜃 , 𝑣𝜃 = 𝑛𝑟
𝑛 cos 𝑛𝜃
82
Entonces se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar para todo 𝑟 y 𝜃
𝑢𝑟 =1
𝑟𝑣𝜃 , 𝑣𝑟 = −
1
𝑟𝑢𝜃
Por lo tanto, 𝑓 es diferenciable en todo punto de ℂ y
𝑓′(𝑧) = (𝑢𝑟 cos 𝜃 −1
𝑟𝑢𝜃 sen 𝜃) + 𝑖 (𝑣𝑟 cos 𝜃 −
1
𝑟𝑣𝜃 sen 𝜃)
= (𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛𝜃 cos 𝜃 −1
𝑟(−𝑛𝑟𝑛 sen𝑛𝜃) sen 𝜃))
+ 𝑖 (𝑛𝑟𝑛−1 sen 𝑛𝜃 cos 𝜃 −1
𝑟𝑛𝑟𝑛 cos 𝑛𝜃 sen 𝜃)
= (𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛𝜃 cos 𝜃 + 𝑛𝑟𝑛−1 sen𝑛𝜃 sen 𝜃)
+ 𝑖(𝑛𝑟𝑛−1 sen 𝑛𝜃 cos 𝜃 − 𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛𝜃 sen𝜃) =
= 𝑛𝑟𝑛−1(cos(𝑛𝜃 − 𝜃) + 𝑖 sen(𝑛𝜃 − 𝜃))
= 𝑛𝑟𝑛−1(cos(𝑛 − 1)𝜃 + 𝑖 sen(𝑛 − 1)𝜃) = 𝑛𝑧𝑛−1
Preguntas de repaso
1. ¿Cuándo una función es analítica en un punto?
2. ¿Cómo se transforma una función compleja a su forma trigonométrica?
3. ¿qué establecen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar?
Ejercicios
1. Demuestra que la función 𝑓(𝑧) = |𝑧|2 es derivable en 𝑧 = 0 pero no es analítica en ese
punto.
2. Demuestra que la función 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥²𝑦 + 𝑖𝑥, es continua en todo el plano complejo,
pero en ningún punto es analítica.
3. Determina en qué región del plano complejo son analíticas las siguientes funciones. Diga
cuál de ellas es una función entera. Si la función posee derivada sobre una región,
encuentra una expresión para 𝑓´(𝑧) en términos de 𝑧 o de 𝑥 e 𝑦. Si existe 𝑓´(1 + 𝑖),
escriba su valor numérico.
83
4. 𝑓(𝑧) = 2𝑧² + 3
5. 𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑧⁻¹
6. 𝑓(𝑧) =1
𝑧4+2𝑧2+1
7. 𝑓(𝑧) = −𝑥𝑦 +𝑖
2(𝑥² − 𝑦²)
8. 𝑓(𝑧) = (𝑦 + 1)² + 𝑖(𝑥 + 1)²
9. 𝑓(𝑧) = 𝑦 + (𝑥 − 1)² + 𝑖[(𝑦 + 1)³ − 𝑥]
10. 𝑓(𝑧) = 𝑥³ − 3𝑥𝑦² + 𝑖(3𝑥²𝑦 − 𝑦³)
11. 𝑓(𝑧) = 𝑒(𝑥2−𝑦2)[cos(2𝑥𝑦)+𝑖 sen(2𝑥𝑦)]
12. Supongamos que la función 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥 + 𝑖𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥 + 𝑖𝑦) es analítica. ¿Qué
condiciones deben satisfacerse para que 𝑔(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝜐(𝑥 + 𝑖𝑦) − 𝑖𝑣(𝑥 + 𝑖𝑦) sea
analítica? (Sugerencia: considera las funciones 𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧) y 𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧).)
13. Considera una función analítica 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥 + 𝑖𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥 + 𝑖𝑦) cuyo módulo
|𝑓(𝑧)| sea igual a una constante 𝑘 en alguna región. Demuestra que 𝑓(𝑧) es constante en
dicha región. (Sugerencia: El caso 𝑘 = 0 es trivial. Suponiendo que 𝑘 ≠ 0, tenemos
𝑢² + 𝑣² = 𝑘² o 𝑘2
𝑢+𝑖𝑣= 𝑢 − 𝑖𝑣.)
¿En qué región del plano complejo son analíticas las siguientes funciones? Emplea la forma
polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
14. 𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖𝑟
15. 𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑟4 sen 4𝜃 − 𝑖𝑟4 cos 4𝜃
16. 𝑓(𝑟, 𝜃) = ln 𝑟² + 𝑖2𝜃, −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋 (ln es el logaritmo natural real)
84
3 Funciones Elementales
Silvia Contreras Bonilla 1, Yatzuki Lucero De Castilla Rosales 2, Ruby
Machorro García 3
1Facultad de Ingeniería – BUAP
2Facultad de Administración - BUAP 3Alumna de la Facultad de Ingeniería 201313793 - BUAP
Autores: Silvia Contreras Bonilla, Yatzuki Lucero De Castilla Rosales,
Ruby Machorro García
Clasificar las
funciones
elementales.
Explicar las
propiedades de las
funciones el
elementales.
Identificar cuáles
funciones
elementales están
definidas por ramas.
Aplicar las
propiedades de las
funciones
elementales en la
resolución de
ejercicios.
Calcular la derivada
de funciones
elementales,
aplicando diversos
métodos y
propiedades.
Determinar las
regiones de
diferenciabilidad y
analiticidad de
funciones
elementales.
PROPÓSITOS: ESTUDIANDO ESTE
CAPÍTULO SERÁS CAPAZ DE:
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.
René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés
85
Introducción
En este capítulo estudiaremos las principales funciones de variable compleja y analizaremos
sus propiedades para la realización de ejercicios.
Llamamos operaciones elementales de las funciones 𝑓(𝑧) y 𝑔(𝑧) cualquiera de las
siguientes:
𝑓(𝑧) ± 𝑔(𝑧), 𝑓(𝑧) ∙ 𝑔(𝑧),𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧), 𝑓(𝑧)𝑎, 𝑎𝑓(𝑧), 𝑎 ∈ ℂ
Una función elemental es una función o la inversa de una función generada a partir de
constantes y la variable independiente por medio de una sucesión finita de operaciones
elementales.
3.1 Funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial es de la forma
𝑝(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑧
𝑛, 𝑎𝑖 ∈ ℂ, 𝑖 = 1,…𝑛, 𝑎𝑛 ≠ 0
Estas funciones son diferenciables en todo punto de ℂ y su derivada está dada por
𝑝′(𝑧) = 𝑎1 + 2𝑎2𝑧 +⋯+ 𝑛𝑎𝑛𝑧𝑛−1, 𝑧 ∈ ℂ
Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales
𝑟(𝑧) =𝑝(𝑧)
𝑞(𝑧)=𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑧𝑛
𝑏0 + 𝑏1𝑧 + 𝑏2𝑧2 +⋯+ 𝑏𝑚𝑧𝑚,
𝑎𝑖 ∈ ℂ, 𝑖 = 1,…𝑛, 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑏𝑖 ∈ ℂ, 𝑖 = 1,…𝑚, 𝑏𝑚 ≠ 0
Es derivable en ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑞(𝑧) = 0}. La derivada de 𝑟 está dada por
𝑟′(𝑧) =𝑝′(𝑧)𝑞(𝑧) − 𝑝(𝑧)𝑞′(𝑧)
(𝑞(𝑧))2 , 𝑧 ∈ ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑞(𝑧) = 0}
86
Ejemplo 3.1 Consideremos la función
𝑓(𝑧) =(1 + 𝑖)𝑧3 − (1 − 𝑖)𝑧2
𝑧2 + 1, si 𝑧 ≠ 𝑖, −𝑖
Entonces, es diferenciable en ℂ ∖ {𝑖, −𝑖} y su derivada se establece aplicando la regla de
derivación de un cociente de funciones:
𝑓′(𝑧) =[3(1 + 𝑖)𝑧2 − 2(1 − 𝑖)𝑧](𝑧2 + 1) − [(1 + 𝑖)𝑧3 − (1 − 𝑖)𝑧2]2𝑧
(𝑧2 + 1)2
=[3𝑧2 + 3𝑖𝑧2 − 2𝑧 + 2𝑖𝑧](𝑧2 + 1) − [𝑧3 − 𝑖𝑧3 − 𝑧2 + 𝑖𝑧2]2𝑧
(𝑧2 + 1)2
=3𝑧4 + 3𝑧2 + 3𝑖𝑧4 + 3𝑖𝑧2 − 2𝑧3 − 2𝑧 + 2𝑖𝑧3 + 2𝑖𝑧 − 2𝑧4 + 2𝑖𝑧4 − 2𝑧3 + 2𝑖𝑧3
(𝑧2 + 1)2
=𝑧4 + 5𝑖𝑧4 − 4𝑧3 + 4𝑖𝑧3 + 3𝑧2 + 3𝑖𝑧2 − 2𝑧 + 2𝑖𝑧
(𝑧2 + 1)2
=(1 + 5𝑖)𝑧4 − (4 − 4𝑖)𝑧3 + (3 + 3𝑖)𝑧2 − (2 − 2𝑖)𝑧
(𝑧2 + 1)2
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se define una función polinomial compleja?
2. ¿Cuál es su región de analiticidad?
3. ¿Cómo se define una función racional compleja?
4. ¿Cuál es su región de diferenciabilidad?
5. ¿Cuál es su región de analiticidad?
6. ¿Coinciden en estas regiones?
Ejercicios
Analiza la diferenciabilidad y analiticidad de las siguientes funciones. Calcula la derivada
en 𝑧.
1. 𝑓(𝑧) = 5z2 + 6z − 8
87
2. 𝑓(𝑧) = 4z + 3 + 2z⁻¹
3. 𝑓(𝑧) =1
z4+2z2+1
3.2 Función exponencial Queremos definir una función que sea una extensión de la función exponencial real, es decir,
que cumpla con las siguientes condiciones:
i. Si 𝑧 = 𝑥 ∈ ℝ ⇒ 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑥
ii. 𝑓′(𝑧) = 𝑓(𝑧)
iii. 𝑓(𝑧₁ + 𝑧₂) = 𝑓(𝑧₁)𝑓(𝑧₂)
Tratemos de deducir qué forma podría tener recordando del cálculo diferencial real que si
𝑢 ∈ ℝ,
𝑒𝑢 =∑𝑢𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
Sustituyendo 𝑢 por 𝑖𝑦
𝑒𝑖𝑦 =∑(𝑖𝑦)𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
=∑(𝑖𝑦)2𝑘
(2𝑘)!
∞
𝑘=0
+∑(𝑖𝑦)2𝑘+1
(2𝑘 + 1)!
∞
𝑘=0
=∑(𝑖)2𝑘(𝑦)2𝑘
(2𝑘)!
∞
𝑘=0
+∑(𝑖)2𝑘𝑖(𝑦)2𝑘+1
(2𝑘 + 1)!
∞
𝑘=0
pero como:
𝑖⁰ = 1, 𝑖² = −1, 𝑖⁴ = 1, 𝑖⁶ = −1,… , (𝑖)2𝑘 = (−1)𝑘
entonces
𝑒𝑖𝑦 =∑(−1)𝑘(𝑦)2𝑘
(2𝑘)!
∞
𝑘=0
+ 𝑖∑(−1)𝑘(𝑦)2𝑘+1
(2𝑘 + 1)!
∞
𝑘=0
= cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦
Entonces, si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 y queremos que se cumpla la propiedad (iii),
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒𝑥𝑒𝑖𝑦 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦)
88
Esta función satisface incluso la propiedad (ii) como se puede ver en el ejemplo 2.22. Por
tanto, definimos la función exponencial compleja como la función que asigna a cada 𝑧 = 𝑥 +
𝑖𝑦 ∈ ℂ el número complejo
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦)
A veces, se designa con la expresión exp(𝑧).
La función exponencial satisface además las siguientes propiedades:
Propiedades de la función exponencial Sean 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0, entonces
Ex1: 𝑒𝑖𝑦 = cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦
Ex2: 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥𝑒𝑖𝑦
Ex3: 𝑒−𝑧 =1
𝑒𝑧
Ex4: 𝑒 �� = 𝑒𝑧
Ex5: |𝑒𝑧|=𝑒Re 𝑧
Ex6: (𝑒𝑧)𝑝=𝑒𝑝𝑧
Ex7: (𝑒𝑧)1
𝑞=𝑒1
𝑞(𝑧+𝑖2𝜋𝑘)
Ex8: (𝑒𝑧)𝑝
𝑞=𝑒𝑝
𝑞(𝑧+𝑖2𝜋𝑘)
Ex9: 𝑒𝑧1+𝑧2=𝑒𝑧1𝑒𝑧2
Ex10: 𝑑𝑑𝑧(𝑒𝑧) = 𝑒𝑧
Ex11: 𝑒𝑧 es periódica. Cualquier periodo de 𝑒𝑧 tiene la forma 2𝜋𝑛𝑖, 𝑛 ∈ ℤ.
89
Veamos las demostraciones
Demostración de Ex1:
𝑒𝑖𝑦 = 𝑒0+𝑖𝑦 = 𝑒0(cos 𝑦 + 𝑖 sen𝑦) = cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦
Demostración de Ex2:
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦) = 𝑒𝑥𝑒𝑖𝑦
Demostración de Ex3:
𝑒−𝑧 = 𝑒−𝑥−𝑖𝑦 = 𝑒−𝑥(cos(−𝑦) + 𝑖 sen(−𝑦)) = 𝑒−𝑥(cos 𝑦 − 𝑖 sen 𝑦)
=1
𝑒𝑥(cos 𝑦 − 𝑖 sen 𝑦)(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦)
(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦)=1
𝑒𝑧
Demostración de Ex4:
𝑒 �� = 𝑒𝑥−𝑖𝑦 = 𝑒𝑥(cos(−𝑦) + 𝑖 sen(−𝑦)) = 𝑒𝑥(cos 𝑦 − 𝑖 sen 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 − 𝑖𝑒𝑥 sen 𝑦
= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sen 𝑦 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦) = 𝑒𝑧
Demostración de Ex5:
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦), por lo tanto
|𝑒𝑧|2 = 𝑒𝑧𝑒𝑧 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦)𝑒𝑥(cos 𝑦 − 𝑖 sen 𝑦) = 𝑒2𝑥(cos2 𝑦 + sen2 𝑦) = 𝑒2𝑥
= (𝑒𝑥)2
por lo tanto: |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥 = 𝑒Re 𝑧.
Demostración de Ex6:
Como 𝑝 es un entero, podemos aplicar el teorema de Moivre:
(𝑒𝑧)𝑝 = (𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦))𝑝= 𝑒𝑝𝑥(cos 𝑝𝑦 + 𝑖 sen 𝑝𝑦) = 𝑒𝑝𝑥+𝑖𝑝𝑦 = 𝑒𝑝𝑧
Demostración de Ex7:
(𝑒𝑧)1𝑞 = (𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen𝑦))
1𝑞 = 𝑒
𝑥𝑞 (cos
𝑦 + 2𝑘𝜋
𝑞+ 𝑖 sen
𝑦 + 2𝑘𝜋
𝑞) , 𝑘 = 0,1,… , 𝑞 − 1
= 𝑒𝑥𝑞+𝑖𝑦+2𝑘𝜋𝑞 = 𝑒
𝑥+𝑖𝑦+2𝑘𝜋𝑞 = 𝑒
1𝑞(𝑧+2𝑘𝜋𝑖)
, 𝑘 = 0,1, … , 𝑞 − 1
90
Demostración de Ex8:
Ya que (𝑒𝑧)𝑝
𝑞 = ((𝑒𝑧)1
𝑞)𝑞
, aplicando la propiedad anterior,
(𝑒𝑧)𝑝𝑞 = ((𝑒𝑧)
1𝑞)
𝑝
= (𝑒1𝑞(𝑧+2𝑘𝜋𝑖)
)𝑝
= 𝑒𝑝𝑞(𝑧+2𝑘𝜋𝑖)
, 𝑘 = 0,1, … , 𝑞 − 1
Demostración de Ex9:
Sean 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 entonces:
𝑒𝑧1𝑒𝑧2 = 𝑒𝑥1+𝑖𝑦1𝑒𝑥2+𝑖𝑦2 = 𝑒𝑥1 (cos 𝑦1 + 𝑖 sen 𝑦1)𝑒𝑥2 (cos 𝑦2 + 𝑖 sen𝑦2) = 𝑒
𝑥1𝑒𝑥2 cos(𝑦1
+ 𝑦2) + 𝑖 sen(𝑦1 + 𝑦2)) = 𝑒(𝑥1+𝑥2)+𝑖(𝑦1+𝑦2) = 𝑒(𝑧1+𝑧2)
Demostración de Ex10:
Este cálculo se realizó en el ejemplo 2.22.
Demostración de Ex11:
Recordemos que una función es periódica si existe un número 𝑤 ∈ ℂ tal que 𝑓(𝑧 + 𝑤) =
𝑓(𝑧), para todo 𝑧 ∈ ℂ. Supongamos que
𝑒𝑧+𝑤 = 𝑒𝑧, para todo 𝑧 ∈ ℂ
en particular si 𝑧 = 0:
𝑒𝑤 = 1
y si 𝑤 = 𝑠 + 𝑡𝑖,
|𝑒𝑤| = 1 ⇒ 𝑒𝑠 = 1 ⇒ 𝑠 = 0 ⇒ 𝑤 = 𝑡𝑖
Así,
𝑒𝑡𝑖 = 1 ⇒ cos 𝑡 + 𝑖 sen 𝑡 = 1 ⇒ cos 𝑡 = 1 y sen 𝑡 = 0 ⇒ 𝑡 = 2𝜋𝑛, para algún 𝑛 ∈ ℤ.
En conclusión, 𝑤 = 𝑠 + 𝑡𝑖 = 0 + 2𝜋𝑛𝑖.
Observa que si 𝑧 se expresa en forma polar como 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃), para 𝑟 > 0,
podemos escribir
91
𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
y,
𝑧 = 𝑟𝑒−𝑖𝜃
También, si 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 , 𝑧2 = 𝑟2𝑒
𝑖𝜃2,
𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2𝑒𝑖𝜃1𝑒𝑖𝜃2 = 𝑟1𝑟2𝑒
𝑖(𝜃1+𝜃2)
y si 𝑟₂ ≠ 0,
𝑧1𝑧2=𝑟1𝑟2
𝑒𝑖𝜃1
𝑒𝑖𝜃2=𝑟1
𝑟2𝑒𝑖(𝜃1−𝜃2)
A continuación, analicemos como es la transformación de ℂ en ℂ de la función exponencial.
A cada punto 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, le asigna el punto 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦) que en realidad es la
forma trigonométrica de un número complejo con módulo 𝑒𝑥 y argumento 𝑦. Entonces,
podemos visualizar la transformación de ℂ en ℂ que asignando a cada número complejo dado
en forma de par ordenado 𝑧 = (𝑥, 𝑦), el número de módulo 𝑒𝑥 y argumento 𝑦 (ver Fig. 3.1)
si 𝑦 = Arg 𝑧 entonces, el punto (𝑥, 𝑦) se encuentra en la franja horizontal que va de (−𝜋, 𝜋].
Así, cada franja en el dominio de la función se proyecta en los mismos puntos
Figura 3.1 Transformación del plano complejo mediante la función exponencial.
92
Preguntas
1. ¿Cómo se define la función exponencial?
2. ¿Cuál es su derivada?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la transformación exponencial en el plano
complejo?
4. ¿Cuáles son las propiedades de la función exponencial?
Ejercicios
1. Demuestra que exp 𝑧 = exp 𝑧.
Expresa las siguientes funciones en la forma 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), donde 𝑢 y 𝑣 son
funciones reales.
2. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧²
3. 𝑓(𝑧) = 𝑒1/𝑧
4. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑒𝑧
5. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧+𝑧⁻¹
Determina 𝑓´(1 + 𝑖) si:
6. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑒𝑧
7. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧+𝑧⁻¹
3.3 Funciones trigonométricas Para poder tener una idea de cómo definir congruentemente las funciones seno y coseno de
un número complejo 𝑧, analicemos cómo se comportan en la función exponencial. Sea 𝑦 ∈
ℝ, entonces
{ 𝑒𝑖𝑦 = cos 𝑦 + 𝑖 sen𝑦
𝑒−𝑖𝑦 = cos 𝑦 − 𝑖 sen 𝑦
Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales en función del seno y el coseno
93
cos 𝑦 =| 𝑒
𝑖𝑦 𝑖𝑒−𝑖𝑦 −𝑖
|
|1 𝑖1 −𝑖
|=−𝑖𝑒𝑖𝑦 − 𝑖𝑒−𝑖𝑦
−2𝑖
𝑖
𝑖=𝑒𝑖𝑦 + 𝑒−𝑖𝑦
2
sen 𝑦 =|1 𝑒𝑖𝑦
1 𝑒−𝑖𝑦|
|1 𝑖1 −𝑖
|=𝑒−𝑖𝑦 − 𝑒𝑖𝑦
−2𝑖=𝑒𝑖𝑦 − 𝑒−𝑖𝑦
2𝑖
Como se desea que las funciones trigonométricas de números complejos sean una extensión
de las funciones trigonométricas de números reales, estas igualdades proporcionan la pauta
de cómo podemos definirlas.
Para cada número complejo 𝑧 definimos las funciones trigonométricas como,
sen 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧
2𝑖, cos 𝑧 =
𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧
2, tan 𝑧 =
sen 𝑧
cos 𝑧,
cot 𝑧 =cos 𝑧
sen 𝑧, sec z =
1
cos 𝑧, csc 𝑧 =
1
sen 𝑧
siempre que los denominadores sean diferentes de cero.
Analicemos en qué puntos las funciones seno y coseno se anulan:
sen 𝑧 = 0⟺ 𝑒𝑖𝑧 = 𝑒−𝑖𝑧 ⇔𝑒𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑧= 1 ⇔ 𝑒𝑖𝑧𝑒𝑖𝑧 = 1 ⇔ 𝑒2𝑧𝑖 = 1 ⇔ 2𝑧𝑖 = 2𝜋𝑛𝑖, 𝑛 ∈ ℤ
⇔ 𝑧 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
Así, función seno tiene solo ceros reales, los mismos que ya conocíamos.
Para hallar los ceros de la función coseno primeros necesitamos resolver la ecuación 𝑒𝑧 =
−1:
𝑒𝑧 = −1 ⇔ 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦) = −1 ⇔ { 𝑒𝑥 cos 𝑦 = −1𝑒𝑥 sen 𝑦 = 0
Pero
𝑒𝑥 sen 𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
y cos 𝜋𝑛 = {1, si 𝑛 es par
−1, si 𝑛 es impar y 𝑒𝑥 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ, entonces concluimos que 𝑦 =
𝜋𝑛, con 𝑛 impar y 𝑒𝑥 = 1, o sea 𝑥 = 0. Entonces 𝑧 = 0 + 𝑖𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 impar.
94
Regresando al problema de hallar los ceros de la función coseno:
cos 𝑧 = 0 ⇔ 𝑒𝑖𝑧 = −𝑒−𝑖𝑧 ⇔𝑒𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑧= −1 ⇔ 𝑒2𝑖𝑧 = −1 ⇔ 2𝑖𝑧 = 𝑖𝜋𝑛, 𝑛 impar ⇔ 𝑧
=𝜋
2(2𝑛 + 1), 𝑛 ∈ ℤ
Nuevamente, la función coseno tiene sus ceros exclusivamente en el campo de números
reales.
En los puntos en que las seis funciones están definidas, son diferenciables y sus derivadas
son,
(sen 𝑧)′ = cos 𝑧, (cos 𝑧)′ = −sen 𝑧, (tan 𝑧)′ = sec2𝑧,
(cot 𝑧)′ = −csc2𝑧, (sec 𝑧)′ = sec 𝑧 tan 𝑧, (csc 𝑧)′ = −csc 𝑧 cot 𝑧
Asimismo, las funciones trigonométricas son analíticas excepto en los números donde se
indefinen.
A continuación, vamos a expresar las funciones seno y coseno en la forma 𝑢 + 𝑖𝑣. Para ello,
recordemos cómo se definen las funciones hiperbólicas seno y coseno en un número real 𝑦,
senh 𝑦 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
2, cosh 𝑦 =
𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦
2
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, entonces
sen(𝑥 + 𝑖𝑦) =𝑒𝑖(𝑥+𝑖𝑦) − 𝑒−𝑖(𝑥+𝑖𝑦)
2𝑖=𝑒−𝑦+𝑖𝑥 − 𝑒𝑦−𝑖𝑥
2𝑖=𝑒−𝑦𝑒𝑖𝑥 − 𝑒𝑦𝑒−𝑖𝑥
2𝑖
=𝑒−𝑦(cos 𝑥 + 𝑖 sen 𝑥) − 𝑒𝑦(cos 𝑥 − 𝑖 sen 𝑥)
2𝑖
=𝑖(𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦) sen 𝑥 − (𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦) cos 𝑥
2𝑖
=𝑖(𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦) sen 𝑥
2𝑖(𝑖
𝑖) −
(𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦) cos 𝑥
2𝑖(𝑖
𝑖)
=(𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦)
2sen 𝑥 +
𝑖(𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦)
2cos 𝑥 = cosh 𝑦 sen 𝑥 + 𝑖 senh 𝑦 cos 𝑥
obteniendo la identidad
95
sen(𝑥 + 𝑖𝑦) = sen 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑖 cos 𝑥 senh 𝑦
de la que se deduce en particular,
sen 𝑖𝑦 = 𝑖 senh 𝑦 , 𝑦 ∈ ℝ; sen 𝑧 = sen 𝑧
Análogamente se puede comprobar la identidad:
cos(𝑥 + 𝑖𝑦) = cos 𝑥 cosh 𝑦 − 𝑖 sen 𝑥 senh 𝑦
Y en particular la fórmula,
cos 𝑖𝑦 = cosh 𝑦 , 𝑦 ∈ ℝ
además
cos 𝑧 = cos(𝑥 − 𝑖𝑦) = cos 𝑥 cosh(−𝑦) + 𝑖 sen 𝑥 senh(−𝑦)
= cos 𝑥 cosh 𝑦 − 𝑖 sen 𝑥 senh 𝑦 = cos(𝑥 + 𝑖𝑦) = cos 𝑧
Para finalizar el estudio de las funciones trigonométricas, es necesario comentar que existe
una propiedad muy importante que las funciones seno y coseno satisfacen en el campo de los
números reales, pero que no se cumple en ℂ:
| sen 𝑧 | ≰ 1 𝑦 | cos 𝑧 | ≰ 1
En efecto, desarrollando el miembro izquierdo,
| sen 𝑧 |2 = | sen(𝑥 + 𝑖𝑦) |2 = | sen 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑖 cos 𝑥 senh 𝑦 |2
= sen2 𝑥 cosh2 𝑦 + cos2 𝑥 senh2 𝑦
= sen2 𝑥 (senh2 𝑦 + 1) + cos2 𝑥 senh2 𝑦
= sen2 𝑥 + (cos2 𝑥 + sen2 𝑥) senh2 𝑦 = sen2 𝑥 + senh2 𝑦
pero
senh 𝑦 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
2
no está acotada ni superior ni inferiormente ya que:
lim𝑦→+∞
senh 𝑦 = +∞ y lim𝑦→−∞
senh 𝑦 = −∞,
por lo tanto, sen 𝑧 tampoco está acotada en ℂ.
96
Realizando un procedimiento similar, también se puede probar que,
| cos 𝑧 |2 = cos2 𝑥 + senh2 𝑦
por lo que tampoco está acotada en ℂ.
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se define la función seno de 𝑧?
2. ¿Cuál es su derivada y región de diferenciabilidad y analiticidad?
3. ¿Cómo se define la función coseno de 𝑧?
4. ¿Cuál es su derivada y región de diferenciabilidad y analiticidad?
5. ¿Cómo se define la función tangente de 𝑧?
6. ¿Cuál es su derivada y región de diferenciabilidad y analiticidad?
7. ¿Cómo se definen las otras funciones trigonométricas?
8. ¿Cuál es su derivada y región de diferenciabilidad y analiticidad?
9. ¿Qué identidades del campo de números reales no se satisfacen en el campo complejo?
Ejercicios
Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones en la forma 𝑎 + 𝑖𝑏, donde
𝑎 y 𝑏 son números reales.
1. sen(1 − 2𝑖)
2. cos(2 + 𝑖)
3. tan(2 − 𝑖)
4. sen 𝑖1/3 (todos los valores)
5. 𝑒𝑖 sen(3+2𝑖)
6. sen(𝑖 sen 𝑖)
7. Sea 𝑓(𝑧) = cos 𝑒𝑧. Expresa 𝑓(𝑧) y 𝑓´(𝑧) en la forma 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). ¿En qué región
es 𝑓(𝑧) analítica?
97
8. Prueba que | cos 𝑧 | = √senh2 𝑦 + cos2 𝑥. (Sugerencia: recuerda que cosh ²𝜃 −
senh ²𝜃 = 1).
9. Prueba que | sen 𝑧 | = √senh2 𝑦 + sen2 𝑥.
3.4 Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas se definen para aquellos números complejos donde el
denominador no se anula, de la siguiente forma:
senh 𝑧 =𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧
2, cosh 𝑧 =
𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧
2, tanh 𝑧 =
senh 𝑧
cosh 𝑧,
coth 𝑧 =cosh 𝑧
senh 𝑧, sech 𝑧 =
1
cosh 𝑧, csch 𝑧 =
1
senh 𝑧
Como 𝑒𝑧 y 𝑒−𝑧 son funciones analíticas en ℂ, las funciones senh 𝑧 y cosh 𝑧 también los son.
Para determinar la región de analiticidad de las demás, analicemos los ceros de las funciones
seno hiperbólico y coseno hiperbólico.
En el campo de los números reales, el seno hiperbólico se anula sólo en el cero y el coseno
hiperbólico carece de soluciones, sin embargo, no sabemos si en el campo de los números
complejos existan ceros adicionales:
senh(𝑥 + 𝑖𝑦) =𝑒𝑥+𝑖𝑦 − 𝑒−(𝑥+𝑖𝑦)
2=𝑒𝑥 (cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦) − 𝑒−𝑥 (cos 𝑦 − 𝑖 sen 𝑦)
2
= (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) cos 𝑦 + 𝑖(𝑒𝑥 +𝑒−𝑥)sen 𝑦
2= senh 𝑥 cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦 cosh 𝑥
es decir,
senh(𝑥 + 𝑖𝑦) = senh 𝑥 cos 𝑦 + 𝑖 cosh 𝑥 sen 𝑦
Entonces,
senh(𝑥 + 𝑖𝑦) = 0 ⇔ { senh 𝑥 cos 𝑦 = 0 cosh 𝑥 sen 𝑦 = 0
La segunda ecuación es cero si y sólo si alguno de los factores es cero, pero cosh 𝑥 ≠ 0 para
todo número real 𝑥, entonces sen𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. Sustituyendo este valor en la
98
primera ecuación tenemos que cos 𝑦 = cos 𝑘𝜋 = ±1 ≠ 0, por lo tanto, senh 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 =
0. Entonces,
senh(𝑥 + 𝑖𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 + 𝑖𝑦 = 0 + 𝑖𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
Siguiendo el mismo procedimiento podemos demostrar que
cosh(𝑥 + 𝑖𝑦) = cosh 𝑥 cos 𝑦 − 𝑖 senh 𝑥 sen𝑦
Entonces,
cosh(𝑥 + 𝑖𝑦) = 0 ⇔ {cosh 𝑥 cos 𝑦 = 0 senh 𝑥 sen 𝑦 = 0
⇔ 𝑥 + 𝑖𝑦 = 0 + 𝑖𝜋
2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, impar
De lo anterior podemos concluir que tanh 𝑧 y sech 𝑧 son analíticas en ℂ ∖ {𝑧: 𝑧 = 0 +
𝑖𝜋
2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ impar} y coth 𝑧 y csch 𝑧 son analíticas en ℂ ∖ {𝑧: 𝑧 = 𝑖𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
Las funciones hiperbólicas al igual que las funciones trigonométricas satisfacen una serie de
identidades, de las cuales podemos mencionar las siguientes:
Propiedades de las funciones hiperbólicas
Hi1: senh 𝑖𝑦 = 𝑖 sen 𝑦
Hi2: cosh 𝑖𝑦 = cos 𝑦
Hi3: |senh 𝑧|2 = senh2 𝑧 + sen2 𝑦
Hi4: |cosh 𝑧|2 = senh2 𝑧 + cos2 𝑦
Hi5: senh(𝑧 ± 𝑤) = senh 𝑧 cosh 𝑤 ± senh𝑤 cosh 𝑧
Hi6: cosh(𝑧 ± 𝑤) = cosh 𝑧 cosh 𝑤 ± senh 𝑧 senh𝑤
Hi7: cosh2 𝑧 − senh2 𝑧 = 1
Hi8: 1 − tanh2 𝑧 = sech2 𝑧
Hi9: 𝑐𝑜𝑡ℎ2 𝑧 − csch2 𝑧 = 1
99
Hi10: senh 𝑖𝑧 = 𝑖 sen 𝑧
Hi11: cosh 𝑖𝑧 = cos 𝑧
Hi12: sen 𝑖𝑧 = 𝑖 senh 𝑧
Hi13: cos 𝑖𝑧 = cosh 𝑧
Las derivadas de las funciones hiperbólicas son las siguientes:
(senh 𝑧)′ = cosh 𝑧 , (cosh 𝑧)′ = senh 𝑧 , (tanh 𝑧 )′ = sech2 𝑧
(coth 𝑧)′ = csch2 𝑧 , (sech 𝑧)′ = −sech 𝑧 tanh 𝑧 , (csch 𝑧)′ = −csch 𝑧 coth 𝑧
Sus demostraciones son directas aplicando el álgebra de derivadas y se dejan como ejercicios.
Preguntas
1. ¿Cómo se definen las funciones y parabólicas complejas?
2. ¿Para qué valores la función seno hiperbólico se anula?
3. ¿Para qué valores la función coseno hiperbólico se anula?
4. ¿Cuáles son sus derivadas?
5. ¿Qué similitudes tienen con las funciones trigonométricas?
Ejercicios
Demuestra las siguientes identidades
1. senh 𝑖𝑦 = 𝑖 sen 𝑦
2. cosh 𝑖𝑦 = cos 𝑦
3. |senh 𝑧|2 = senh2 𝑧 + sen2 𝑦
4. |cosh 𝑧|2 = senh2 𝑧 + cos2 𝑦
5. senh(𝑧1 ± 𝑧2) = senh 𝑧1 cosh 𝑧2 ± senh 𝑧2 cosh 𝑧1
6. cosh(𝑧1 ± 𝑧2) = cosh 𝑧1 cosh 𝑧2 ± senh 𝑧1 senh 𝑧2
7. cosh2 𝑧 − senh2 𝑧 = 1
100
8. 1 − tanh2 𝑧 = sech2 𝑧
9. coth2 𝑧 − csch2 𝑧 = 1
10. senh 𝑖𝑧 = 𝑖 sen 𝑧
11. cosh 𝑖𝑧 = cos 𝑧
12. sen 𝑖𝑧 = 𝑖 senh 𝑧
13. cos 𝑖𝑧 = cosh 𝑧
Escribe las siguientes expresiones en la forma 𝑎 + 𝑖𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales.
14. senh1
1+𝑖
15. cosh(1 − √3)
16. Determina el valor numérico de la derivada de la función 𝑓(𝑧) = cosh(senh 𝑒𝑧²) en 𝑧 =
𝑖.
3.5 Funciones logarítmicas Hemos visto que la función 𝑒𝑧 nunca toma el valor de cero, esto significa que la ecuación
𝑤 = 𝑒𝑧 no tiene solución si 𝑤 = 0. Sea 𝑤 un número complejo distinto con cero,
representándolo en forma trigonométrica:
𝑤 = |𝑤|(cos (arg𝑤) + 𝑖 sen(arg𝑤)) = |𝑤|𝑒𝑖 arg𝑤
Observamos que arg𝑤 puede tomar una infinidad de valores. Seleccionemos un valor
específico 𝜃 de arg𝑤, entonces
𝑤 = |𝑤|𝑒𝑖𝜃
Consideremos el número 𝑧 = ln |𝑤| + 𝑖𝜃, donde ln |𝑤| denota al logaritmo natural del
número real positivo |𝑤|, entonces:
𝑒𝑧 = 𝑒ln |𝑤|+𝑖𝜃 = 𝑒ln|𝑤|(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) = |𝑤|𝑒𝑖𝜃 = 𝑤
Esto significa que el número 𝑧 = ln |𝑤| + 𝑖𝜃, es una solución de la ecuación 𝑤 = 𝑒𝑧.
Lo interesante es que cada valor de 𝑧 con diferentes valores de arg𝑤 proporciona una
solución de la ecuación. De este análisis vamos a establecer el concepto de función logaritmo.
101
Para cada número complejo 𝑧, 𝑧 ≠ 0, llamamos un logaritmo de 𝑧 a cualquier número
complejo de la forma 𝑤 = ln |𝑧| + 𝑖 arg 𝑧, donde ln |𝑧| es el logaritmo natural de |𝑧| y arg 𝑧
es cualquier valor del argumento de 𝑧.
Ejemplo 3.2 Sea 𝑧 = 2 + 3𝑖 = √13(cos 0.98279 + 𝑖 sen 0.98279), entonces el número
complejo 𝑤1 = ln√13 + 𝑖0.98279 y 𝑤2 = ln√13 + 𝑖(0.98279 + 2𝜋) son ambos
logaritmos de 𝑧.
Ejemplo 3.3 Sea 𝑧 = 𝑥 + 0𝑖 un número real positivo, entonces arg 𝑧 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. Los
logaritmos de este número son de la forma
𝑤 = ln |𝑧| + 2𝑘𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ
Observa que de todos estos valores hay uno que coincide con el logaritmo natural real cuando
arg 𝑧 = 0 = Arg 𝑧.
Para cada número complejo 𝑧, 𝑧 ≠ 0 definimos el valor principal del logaritmo de 𝑧 como,
Log 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖 Arg 𝑧, Arg 𝑧 ∈ (−𝜋, 𝜋].
La función 𝑤 = Log 𝑧, definida para 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0} se llama función logarítmica principal.
Observa que denotaremos el logaritmo principal de 𝑧 con mayúscula para distinguirlo.
Para cada 𝑘 ∈ ℤ, se define logaritmo correspondiente a la elección del argumento de 𝑧 en el
intervalo (2𝑘 − 1)𝜋 < arg 𝑧 ≤ (2𝑘 + 1)𝜋. A la colección de tales funciones le llamamos
función logarítmica, y a cada miembro de la colección le llamaremos rama de la función
logarítmica. Así entonces, tenemos la siguiente definición.
Para cada 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 0, la función logarítmica de 𝑧 se define como el conjunto infinito de
ramas
log 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖 arg 𝑧, (2𝑘 − 1)𝜋 < arg 𝑧 ≤ (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Cada rama log 𝑧 de la función logarítmica posee las siguientes propiedades:
Lo1: log 𝑧 es continua en el conjunto ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0}
Lo2: log 𝑧 es analítica en el conjunto ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0}
102
Lo3: (log 𝑧)′ =1
𝑧 , para todo 𝑧 ∈ ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0}
Lo4: Para todo 𝑧, 𝑧 ≠ 0 cualesquiera dos ramas de la función logarítmica difieren por un
múltiplo entero de 2𝜋𝑖.
Antes de realizar las demostraciones, recuerda que en los números complejos no existe una
relación de orden, por lo que el conjunto {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0} en realidad denota al conjunto
{𝑧 ∈ ℂ: Re 𝑧 ≤ 0 𝑒 Im 𝑧 = 0 }
En cada caso, basta hacer la demostración para una rama arbitraria de la función logarítmica,
digamos (2𝑘 − 1)𝜋 < arg 𝑧 ≤ (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, con 𝑘 fijo.
Demostración de Lo1: La función logarítmica es discontinua en 𝑧 = 0 ya que no está definida
en este punto.
Sea 𝑧0 < 0 un número negativo. A este número le corresponde en esta rama de la función
logaritmo, el valor de arg 𝑧0 = (2𝑘 + 1)𝜋. Si tomamos valores de 𝑧 cercanos a 𝑧0 en el
segundo cuadrante del plano complejo, arg 𝑧 → arg 𝑧0 pero si son cercanos a 𝑧0 en el tercer
cuadrante, arg 𝑧 → arg 𝑧0 − 2𝜋. Esto quiere decir que
lim𝑧→𝑧0
log 𝑧 = lim𝑧→𝑧0
ln |𝑧| + 𝑖 lim𝑧→𝑧0
arg 𝑧 = ln |𝑧₀| + 𝑖 {arg 𝑧0 , Im 𝑧 > 0
arg 𝑧0 − 2𝜋, Im 𝑧 < 0
por lo que la función es discontinua.
Demostración de Lo2: Como la rama de la función logarítmica que estamos considerando
no es continua en el conjunto {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0}, no es diferenciable ni analítica en ningún
número de este conjunto.
Demostración de Lo3: Sea 𝑧 ∈ ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0}, 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 , 𝑟 > 0, (2𝑘 − 1)𝜋 < 𝜃 ≤
(2𝑘 + 1)𝜋, entonces log 𝑧 = ln 𝑟 + 𝑖𝜃. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann en
forma polar con 𝑢(𝑟, 𝜃) = ln 𝑟 , 𝑣(𝑟, 𝜃) = 𝜃 vemos que
𝑢𝑟 =1
𝑟, 𝑢𝜃 = 0
𝑣𝑟 = 0, 𝑣𝜃 = 1
las cuáles son continuas en ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0} y
103
𝑢𝑟 =1
𝑟𝑣𝜃 , 𝑣𝑟 =
1
𝑟𝑢𝜃
la función logarítmica es diferenciable y
(log 𝑧)′ = (𝑢𝑟 cos 𝜃 −1
𝑟𝑢𝜃 sen 𝜃) + 𝑖 (𝑣𝑟 cos 𝜃 −
1
𝑟𝑣𝜃 sen 𝜃)
= (1
𝑟cos 𝜃) + 𝑖 (−
1
𝑟sen 𝜃) =
1
𝑟(cos 𝜃 − 𝑖 sen 𝜃) =
1
𝑧
Veamos una definición muy útil para trabajar con las distintas ramas de la función
logarítmica.
Sean 𝐴, 𝐵 ∈ ℂ. Decimos que 𝐴 es congruente módulo 𝐵 escribiendo 𝐴 = 𝐵(módulo 2𝜋𝑖) si
y solo si 𝐴 − 𝐵 es un múltiplo entero de 2𝜋𝑖.
Así, tenemos dos propiedades más de las ramas de la función logarítmica
Lo5: log(𝑧1𝑧2) = (log 𝑧1 + log 𝑧2)(módulo 2𝜋𝑖)
Lo6: log (𝑧1
𝑧2) = (log 𝑧1 − log 𝑧2)(módulo 2𝜋𝑖)
Las demostraciones se dejarán como ejercicios.
Ejemplo 3.3 Sean
𝑧1 = 3𝑒𝜋𝑖 , 𝑧2 = 4𝑒43𝜋𝑖
Entonces
Log 𝑧1 = ln 3 + 𝑖𝜋, Log 𝑧2 = ln 4 + 𝑖4
3𝜋
y
Log 𝑧1 + Log 𝑧2 = (ln 3 + 𝜋𝑖) + (ln 4 +4
3𝜋𝑖) = (ln 3 + ln 4) + (𝜋 +
4
3𝜋) 𝑖
= ln 12 +7
3𝜋𝑖
Pero, por otro lado,
𝑧1𝑧2 = 12𝑒(𝜋+
43𝜋)𝑖 = 12𝑒
73𝜋𝑖 = 12𝑒2𝜋𝑖+
13𝜋𝑖
104
Por lo que
Log (𝑧1𝑧2) = Log (12𝑒𝑖2𝜋+𝑖
13𝜋) = ln 12 +
1
3𝜋𝑖
Así,
Log (𝑧1𝑧2) = Log 𝑧1 + Log 𝑧2 − 2𝜋𝑖
es decir, difieren por un múltiplo de 2𝜋𝑖.
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se define el logaritmo de un número complejo 𝑧?
2. ¿Qué es una rama de la función logaritmo?
3. ¿En qué difieren dos ramas cualesquiera del logaritmo?
4. ¿Para qué valores de 𝑧 está definida la función logaritmo?
5. ¿Cuál es la derivada de la función logaritmo?
6. ¿Cómo se identifica el logaritmo principal?
Ejercicios
Determina todos los valores del logaritmo de cada uno de los siguientes números y especifica
el valor principal en cada caso.
1. 𝑧 = 3 + 0𝑖
2. 𝑧 = 0 + 4𝑖
3. 𝑧 = 𝑒𝑖𝜋
2
4. 𝑧 = −1 − 𝑖√3
5. 𝑧 = 1 + 𝑖√3
Emplea logaritmos para encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones.
6. 𝑒𝑧 = 𝑒2−3𝑖
7. 𝑒𝑧 = 𝑒2𝑧+4
Demuestra las siguientes propiedades del logaritmo:
105
8. log(𝑧1𝑧2) = (log 𝑧1 + log 𝑧2)(módulo 2𝜋𝑖)
9. log (𝑧1
𝑧2) = (log 𝑧1 − log 𝑧2)(módulo 2𝜋𝑖)
3.6 Función potencial generalizada La función de variable compleja 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛, 𝑛 ∈ ℤ se llama función potencial entera. La
función 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑎 donde 𝑧 y 𝑎 son números complejos se llama función potencial
generalizada y se define en términos de la exponencial y logaritmo como:
𝑧𝑎 = 𝑒𝑎 log𝑧
Al igual que log 𝑧, esta función consta de una colección de ramas, determinadas por las ramas
de la función logarítmica. Además, se puede escribir en términos de la función Log 𝑧. En
efecto, si 𝑧 = |𝑧|𝑒𝑖 arg 𝑧, |𝑧| es un número fijo y arg 𝑧 = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ es el argumento de
𝑧, donde 𝜃 = Arg 𝑧 es el argumento principal en el intervalo (−𝜋, 𝜋]. Entonces,
log 𝑧 = ln|𝑧| + 𝑖 arg 𝑧 = ln|𝑧| + 𝑖 (Arg 𝑧 + 2𝑘𝜋) , 𝑧 ∈ ℤ = Log 𝑧 + 2𝑘𝜋𝑖, para algún 𝑘
∈ ℤ
Por lo tanto,
𝑧𝑎 = 𝑒𝑎 log𝑧 = 𝑒𝑎 Log𝑧+2𝑎𝑘𝜋𝑖 = 𝑒𝑎 Log𝑧𝑒2𝑎𝑘𝜋𝑖
Es necesario revisar el comportamiento de la colección de ramas que posee la función 𝑓(𝑧) =
𝑧𝑎 en los casos en que 𝑎 es un entero, racional, real o complejo, debido a que la periodicidad
de la exponencial compleja puede determinar valores no necesariamente distintos.
Caso 1: Si 𝑎 es un entero,
𝑧𝑎 = 𝑒𝑎 log𝑧 = 𝑒𝑎 Log𝑧𝑒2𝑎𝑘𝜋𝑖 = 𝑒𝑎 ln|𝑧|+𝑖𝑎𝜃𝑒𝑖2𝑎𝑘𝜋 = 𝑒𝑎 ln|𝑧|𝑒𝑖𝑎𝜃
Puesto que 𝑒𝑖𝑎2𝑘𝜋 = 1, si 𝑎 ∈ ℤ. Entonces 𝑧𝑎 posee solamente el valor de la rama principal
𝑧𝑎 = 𝑒𝑎 ln|𝑧|𝑒𝑖𝑎𝜃 = |𝑧|𝑎(cos 𝑎𝜃 + 𝑖 sin 𝑎𝜃 )
que ya habíamos obtenido con la fórmula de Moivre para exponentes enteros. Entonces 𝑧𝑎
con a entero posee solo un valor (i. e. es univaluada).
Ejemplo 3.4 Calculemos 𝑖3 con este procedimiento
106
𝑖3 = 𝑒3 log 𝑖 = 𝑒3 ln|𝑖|𝑒𝑖𝜋2 = 𝑒3 ln1𝑒𝑖
3𝜋2 = 𝑒0 (cos
3𝜋
2+ 𝑖 sin
3𝜋
2) = −𝑖
Caso II. Si 𝑎 es un número racional, sea 𝑎 =𝑝
𝑞, donde 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 > 0 y la fracción
𝑝
𝑞 es
irreducible, entonces
𝑧𝑎 = 𝑧𝑝 𝑞⁄ = 𝑒𝑝𝑞log𝑧
= 𝑒𝑝𝑞Log𝑧
𝑒2𝑘𝜋𝑖
𝑝𝑞 = 𝑒
𝑝𝑞(ln|𝑧|+𝑖𝜃)
𝑒2𝑘𝜋𝑖
𝑝𝑞 = 𝑒
𝑝𝑞ln|𝑧|
𝑒𝑖𝑝𝑞(𝜃+2𝑘𝜋)
= 𝑒𝑝𝑞ln|𝑧|
𝑒𝑖𝑝(
𝜃+2𝑘𝜋𝑞
)
la cual toma solamente 𝑞 valores distintos cuando 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑞 − 1 y cualquier otro valor
de 𝑘 reproduce alguno de estos valores. Por lo tanto,
𝑧𝑝 𝑞⁄ = 𝑒𝑝𝑞ln|𝑧|
𝑒𝑖𝑝𝑞Arg𝑧
𝑒𝑖2𝑘𝜋
𝑝𝑞 = 𝑒
𝑝𝑞Log 𝑧
𝑒𝑖2𝑘𝜋
𝑝𝑞 , 𝑘 = 0,1,… , 𝑞 − 1
proporciona los 𝑞 valores distintos de 𝑧𝑎, cuando 𝑎 =𝑝
𝑞 es un racional.
Ejemplo 3.5 Sea 𝑓(𝑧) = 𝑧1 2⁄
𝑧1 2⁄ = 𝑒12 Log 𝑧 𝑒𝑖2𝑘𝜋
12, 𝑘 = 0,1
i.e.
𝑧1/2 = { 𝑒12log𝑧
𝑒12log𝑧𝑒𝑖𝜋
= {|𝑧|1 2⁄ 𝑒
𝑖2 Arg𝑧
−|𝑧|1 2⁄ 𝑒𝑖2 Arg𝑧
posee dos ramas que son los valores de la raíz cuadrada que ya habíamos obtenido en el
capítulo I. Si 𝑧 = 𝑖
𝑖1/2 = {|𝑖|
12𝑒
𝑖2 𝜋4
−|𝑖|12𝑒
𝑖2 𝜋4
= { 𝑒𝑖𝜋8
−𝑒𝑖𝜋8
Caso III. Si 𝑎 es un número irracional, aplicamos el mismo procedimiento del caso anterior,
𝑧𝑎 = 𝑒𝑎 log𝑧 = 𝑒𝑎 Log 𝑧𝑒2𝑎𝑘𝜋𝑖, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 ∈ ℤ
Cuando 𝑎 es un irracional, 𝑒2𝑎𝑘𝑖𝜋 tiene valores distintos para diferentes valores de 𝑘 ∈ ℤ.
En efecto, supongamos que ∃ 𝑘1, 𝑘2 ∈ ℤ tal que 𝑒2𝑎𝑘1𝑖𝜋 = 𝑒2𝑎𝑘2𝑖𝜋, entonces
107
𝑒2𝑎𝑘1𝑖𝜋
𝑒2𝑎𝑘2𝑖𝜋= 1 ⇒ 𝑒2𝑎(𝑘1−𝑘2)𝑖𝜋 = 1 ⇒ 2𝑎(𝑘1 − 𝑘2)𝑖𝜋 = 2𝜋𝑛𝑖, para algún 𝑛 ∈ ℤ ⇒ 𝑎
=𝑛
𝑘1 − 𝑘2
indicando que 𝑎 es un racional, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, 𝑧𝑎 posee una rama
distinta, para cada rama de log 𝑧.
Ejemplo 3.6 Calculemos 𝑖1 𝜋⁄ :
𝑖1 𝜋⁄ = 𝑒1𝜋 Log 𝑖𝑒
1𝜋2𝑘𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ = 𝑒
1𝜋(ln1+𝑖
𝜋2)𝑒2𝑘𝑖 = 𝑒𝑖
12𝑒2𝑘𝑖 = 𝑒𝑖(
12+2𝑘) = 𝑒𝑖(
1+4𝑘2
), 𝑘 ∈ ℤ
= cos4𝑘 + 1
2+ 𝑖 sen
4𝑘 + 1
2, 𝑘 ∈ ℤ
Caso IV Si 𝑎 es un número complejo, sea 𝑎 = 𝛼 + 𝑖𝛽, con 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, entonces
𝑧𝑎 = 𝑧𝛼𝑧𝑖𝛽
pero 𝑧𝛼 se reduce a alguno de los tres casos antes mencionados y
𝑧𝑖𝛽 = 𝑒𝑖𝛽 log𝑧 = 𝑒𝑖𝛽 Log𝑧𝑒2𝑖𝛽𝑘𝜋𝑖 = 𝑒𝑖𝛽(ln |𝑧|+𝑖Arg 𝑧)𝑒−2𝛽𝑘𝜋 = 𝑒𝑖𝛽 ln |𝑧|𝑒−𝛽Arg𝑧𝑒−2𝛽𝑘𝜋
= 𝑒−𝛽 (Arg𝑧−2𝑘𝜋)𝑒𝑖𝛽 ln |𝑧| = 𝑒−𝛽 arg𝑧𝑒𝑖𝛽 ln |𝑧|
como |𝑧| es un número real positivo determinado, 𝑒𝑖𝛽 ln |𝑧| está fijo, pero 𝑒−𝛽arg𝑧 es un
número real que varía dependiendo de la rama de arg 𝑧. Entonces, 𝑧𝑎 posee una infinidad
de valores.
Ejemplo 3.7 Calculemos los valores en las diversas ramas de la función 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑖
𝑧𝑖 = 𝑒𝑖 log𝑧 = 𝑒−arg 𝑧𝑒𝑖 ln|𝑧|
En particular, por ejemplo
𝑖𝑖 = 𝑒−(𝜋2+2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ
Como se puede observar en este caso particular, todos los valores son reales.
A continuación, veamos las propiedades de la función potencial generalizada.
108
Propiedades de la función potencial generalizada Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ y denotemos por log 𝑧 una
rama particular de la función logarítmica, entonces:
Pot1: ∀𝑧 ≠ 0: 𝑧𝑎𝑧𝑏=𝑧𝑎+𝑏
Pot2: ∀𝑧 ≠ 0: 𝑧−𝑎 =1
𝑧𝑎
Pot3: (𝑧𝑎)′ = 𝑎𝑧𝑎−1, 𝑧 ≠ 0
Pot4: La rama correspondiente de 𝑧𝑎 es analítica en donde log 𝑧 es analítica.
Pot5: (𝑧1𝑧2)𝑎 = 𝑧1
𝑎𝑧2𝑎𝑒2𝑎𝑘𝜋𝑖, para algún entero 𝑘
Pot6: si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, donde 𝑦 ∈ (−𝜋, 𝜋], entonces Log 𝑒𝑧 = 𝑧
Pot7: Si 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 , 𝜃 = Arg 𝑧, entonces 𝑒Log𝑧 = 𝑧
Demostración de Pot1: Aplicando las propiedades de la función exponencial tenemos
𝑧𝑎𝑧𝑏 = 𝑒𝑎 log𝑧𝑒𝑏 log𝑧 = 𝑒(𝑎+𝑏) log𝑧 = 𝑧𝑎+𝑏
Demostración de Pot2:
𝑧−𝑎 = 𝑒−𝑎 log𝑧 =1
𝑒𝑎 log𝑧=1
𝑧𝑎
Demostración de Pot3: Si 𝑧 ≠ 0,
(𝑧𝑎)′ = ( 𝑒𝑎 log𝑧)′ = 𝑒𝑎 log𝑧𝑎
𝑧=𝑎
𝑧𝑧𝑎 = 𝑎𝑧⁻¹𝑧𝑎 = 𝑎𝑧𝑎−1
Demostración de Pot4: Como log 𝑧 es analítica en ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0} y 𝑒𝑧 lo es en todo ℂ,
por la regla de cadena, 𝑧𝑎 es analítica en ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≤ 0}.
Demostración de Pot5: Como log(𝑧1𝑧2) = (log 𝑧1 + log 𝑧2)(módulo 2𝜋𝑖),
log(𝑧1𝑧2) = (log 𝑧1 + log 𝑧2) + 2𝑘𝜋𝑖, para algún 𝑘 ∈ ℤ
entonces
(𝑧1𝑧2)𝑎 = 𝑒𝑎 log(𝑧1𝑧2) = 𝑒𝑎(log𝑧1+log𝑧2+2𝑘𝜋𝑖) = 𝑒𝑎 log𝑧1𝑒𝑎 log𝑧2𝑒2𝑎𝑘𝜋𝑖 = 𝑧1
𝑎𝑧2𝑎𝑒2𝑎𝑘𝜋𝑖
Demostración de Pot6:
109
Log 𝑒𝑧 = Log 𝑒𝑥+𝑖𝑦 = Log(𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦)) = ln 𝑒𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑧
Demostración de Pot7:
𝑒Log𝑧 = 𝑒Log(𝑟𝑒𝑖𝜃) = 𝑒ln 𝑟+𝑖𝜃 = 𝑒ln𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑧
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se define la función potencial generalizada?
2. ¿En qué se diferencian las diversas ramas de la función potencial generalizada?
3. ¿Cómo se calcula eficientemente 𝑧𝑎?
Ejercicios
Determina todos los valores de las siguientes expresiones en la forma 𝑎 + 𝑖𝑏 y señala cual es
el valor principal:
1. (−𝑖)𝑖
2. (√3 + 𝑖)4+2𝑖
3. 𝑖𝑒𝑖
4. 2√2
5. (log 𝑖 )sen 𝑖
6. (sen(1 + 𝑖))Log(sen3𝑖)
Usando la rama principal de cada función evalúe
7. 𝑓′(𝑖) si 𝑓(𝑧) = 𝑧1/3
8. 𝑓′(−64𝑖) si 𝑓(𝑧) = 𝑧𝜋/2
9. 𝑓′(−9𝑖) si 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑖/4
Sea 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑧, utilizando la rama principal, evalúa
10. 𝑓′(𝑧)
11. 𝑓′(𝑖)
Sea 𝑓(𝑧) = 𝑧sen𝑧, utilizando la rama principal, evalúa
12. 𝑓′(𝑖)
110
3.7 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Al estudiar las funciones trigonométricas inversas en el campo de los números reales, siempre
tuvimos el problema de no poder calcular directamente su valor en algún número específico.
Tuvimos que auxiliarnos de la función original en los casos más simples o de una calculadora,
pues no contamos con una expresión en términos de funciones elementales que nos permitiera
obtener el valor correcto después de evaluar dicha fórmula en el valor deseado.
En el campo de los números complejos sí podemos hacerlo, pues contamos con una
definición de las funciones trigonométricas inversas en términos de funciones complejas
conocidas que nos permite evaluarla directamente en cualquier número complejo de su
dominio. Además, estas funciones son una extensión de las funciones trigonométricas
inversas definidas en los reales.
Las funciones trigonométricas inversas seno, coseno y tangente se definen de la manera
siguiente:
sen−1 𝑧 =1
𝑖log ((1 − 𝑧2)
1
2 + 𝑖𝑧), cos−1 𝑧 = 1
𝑖log (𝑧 + 𝑖(1 − 𝑧2)
1
2), tan−1 𝑧 =𝑖
2log (
𝑖+𝑧
𝑖−𝑧)
Veamos cómo se obtiene el seno inverso de 𝑧 siguiendo el mismo procedimiento para hallar
la inversa de una función que hemos estudiado en el cálculo diferencial de una variable.
Consiste en igualar la función sen𝑤 a otra variable, digamos 𝑧 y despejar 𝑤:
sen𝑤 = 𝑧 ⟺𝑒𝑖𝑤 − 𝑒−𝑖𝑤
2𝑖= 𝑧
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por 2𝑖𝑒𝑖𝑤 y ordenando los términos tenemos,
𝑒2𝑖𝑤 − 1 = 2𝑖𝑒𝑖𝑤𝑧 ⇔ (𝑒𝑖𝑤)2− 2𝑖𝑧𝑒𝑖𝑤 − 1 = 0
Haciendo el cambio de variable 𝑢 = 𝑒𝑖𝑤 obtenemos una ecuación de segundo grado en 𝑢
cuyas raíces son:
𝑢 = 𝑒𝑖𝑤 =2𝑖𝑧 + √(−2𝑖𝑧)2 − 4(1)(−1)
2=2𝑖𝑧 + (−4𝑧2 + 4)1 2⁄
2 ) = 𝑖𝑧 + (1 − 𝑧2)1 2⁄
sacando logaritmo en ambos miembros de la igualdad:
111
𝑖𝑤 = log(𝑖𝑧 + (1 − 𝑧2)1 2⁄ ) ⇔ 𝑤 =1
𝑖log((1 − 𝑧2)1 2⁄ + 𝑖𝑧)
Recuerda que al calcular la raíz cuadrada se obtienen dos valores cuya diferencia es un
cambio de signo. Para cada uno de esos valores y cada rama de log, existe un valor de 𝑤 que
satisface la ecuación sen𝑤 = 𝑧.
Análogamente se obtienen las demás funciones trigonométricas inversas.
Calculemos ahora la derivada de la función sen−1 𝑧 aplicando la regla de la cadena
𝑑(sen−1 𝑧)
𝑑𝑧 =
𝑑
𝑑𝑧(1
𝑖log((1 − 𝑧2)1 2⁄ + 𝑖𝑧))
= 1
𝑖[(1 − 𝑧2)1 2⁄ + 𝑖𝑧]
𝑖
𝑖 (1
2(1 − 𝑧2)−1 2⁄ (−2𝑧) + 𝑖)
=
𝑖 [𝑖 −𝑧
(1 − 𝑧2)1 2⁄]
−[𝑖𝑧 + (1 − 𝑧2)1 2⁄ ] =
1 +𝑖𝑧
(1 − 𝑧2)1 2⁄
𝑖𝑧 + (1 − 𝑧2)1 2⁄=
(1 − 𝑧2)1 2⁄ + 𝑖𝑧(1 − 𝑧2)1 2⁄
𝑖𝑧 + (1 − 𝑧2)1 2⁄
1
=(1 − 𝑧2)1 2⁄ + 𝑖𝑧
(1 − 𝑧2)1 2⁄ (𝑖𝑧 + (1 − 𝑧2)1 2⁄ )=
1
(1 − 𝑧2)1 2⁄
Por lo tanto
𝑑(sen−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
(1 − 𝑧2)1 2⁄
Análogamente se demuestra que,
𝑑(cos−1 𝑧)
𝑑𝑧= −
1
(1 − 𝑧2)1 2⁄ y
𝑑(tan−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
1 + 𝑧2
Con respecto a las funciones hiperbólicas inversas, éstas se definen como:
senh−1 𝑧 = log(𝑧 + (𝑧2 + 1)1 2⁄ )
cosh−1 𝑧 = log(𝑧 + (𝑧2 − 1)1 2⁄ )
tanh−1 𝑧 =1
2log (
1 + 𝑧
1 − 𝑧)
112
Las cuales pueden ser obtenidas por el mismo procedimiento que se utilizó para deducir las
funciones trigonométricas inversas. Más aún, se puede ver que
𝑑(senh−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
(1 + 𝑧2)1 2⁄,
𝑑(cosh−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
(1 − 𝑧2)1 2⁄,
𝑑(tanh−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
1 − 𝑧2
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se determinan las funciones trigonométricas inversas?
2. ¿Para qué valores de 𝑧, las funciones trigonométricas inversas son diferenciables?
Ejercicios
Evalúa las siguientes expresiones en la rama principal:
1. sen−1(2 − 5𝑖)
2. cos−1(5 − 4𝑖)
3. tan−1(𝑒𝑖)
4. senh−1(𝑥 + 0𝑖)
5. cosh−1(𝑥 + 0𝑖)
6. tanh−1(𝑖𝑦)
7. Deduce la fórmula cos−1 𝑧 = 1
𝑖log (𝑧 + 𝑖(1 − 𝑧2)
1
2)
8. Deduce la fórmula tan−1 𝑧 =𝑖
2log (
𝑖+𝑧
𝑖−𝑧)
9. Demuestra que 𝑑(cos−1 𝑧)
𝑑𝑧= −
1
(1−𝑧2)1 2⁄
10. Demuestra que 𝑑(tan−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
1+𝑧2
11. Deduce la fórmula senh−1 𝑧 = log(𝑧 + (𝑧2 + 1)1 2⁄ )
12. Deduce la fórmula cosh−1 𝑧 = log(𝑧 + (𝑧2 − 1)1 2⁄ )
13. Demuestra que 𝑑(senh−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
(1+𝑧2)1 2⁄
14. Demuestra que 𝑑(cosh−1 𝑧)
𝑑𝑧=
1
(1−𝑧2)1 2⁄
113
4 Integración de funciones
complejas
César Pérez Cordova1, Estela De Lourdes Juárez Ruiz2, Gloria Martínez
Cruz3
1Facultad de Ingeniería – BUAP
2Facultad de Ciencias de la Electrónica - BUAP 3Alumna de la Maestría en Educación Matemática 201747012 - BUAP
Autores: César Pérez Cordova, Estela De Lourdes Juárez Ruiz, Gloria
Martínez Cruz
Identificar diversos
tipos de curvas en el
plano complejo.
Parametrizar
diversos tipos de
curvas en el plano
complejo
determinando
propiedades de
suavidad.
Calcular la integral
de una función
compleja a lo largo
de una trayectoria
aplicando la
definición.
Calcular integrales
complejas aplicando
el teorema de
deformación.
Evaluar integrales
aplicando la fórmula
integral de Cauchy.
PROPÓSITOS: ESTUDIANDO ESTE
CAPÍTULO SERÁS CAPAZ DE:
“Pero existe otra razón para la gran reputación de la Matemática: la de que la Matemática ofrece a las ciencias naturales exactas un cierto grado de seguridad que sin ella
no podrían alcanzar.”
Albert Einstein (1879-1955) Físico alemán.
114
4.1. Curvas en el plano complejo La integración de funciones en el campo de los números complejos, se parece mucho a la
integración de curvas en el plano estudiado en el curso de cálculo diferencial en varias
variables, por ello, en este primer tema definiremos el concepto de curva paramétrica en el
plano complejo.
Una trayectoria o curva 𝐶 en el plano complejo consiste del conjunto de puntos 𝑧(𝑡) =
𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] en el plano complejo, donde 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) son funciones reales
continuas definidas en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. La función 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
se llama parametrización de la curva 𝐶. 𝑧(𝑎) se llama punto inicial de 𝐶 y 𝑧(𝑏) punto final.
𝑧(𝑎) y 𝑧(𝑏) se llaman puntos extremos de 𝐶.
Si 𝑧(𝑎) = 𝑧(𝑏), decimos que 𝐶 es una trayectoria cerrada. Si existen dos valores distintos
𝑡1 y 𝑡2 en el intervalo [𝑎, 𝑏] con 𝑎 < 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑏 tales que 𝑧(𝑡1) = 𝑧(𝑡2) entonces decimos
que 𝐶 se interseca a sí misma. Una curva que no se interseca a si misma se llama curva simple
o de Jordan.
Si al variar 𝑡 de 𝑎 a 𝑏 en la parametrización, se traza una curva cerrada 𝐶 de manera que los
puntos del interior de 𝐶 quedan siempre a la izquierda (respectivamente a la derecha),
decimos que 𝐶 está orientada positivamente (respectivamente, orientada negativamente).
Decimos que una curva es suave si 𝑧′(𝑡) existe, es continua y diferente de cero para todos los
valores de 𝑡 en [𝑎, 𝑏], donde definimos 𝑧′(𝑡) como
𝑧′(𝑡) = 𝑥′(𝑡) + 𝑖𝑦′(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
Decimos que una curva es suave a pedazos si es suave para todos los valores de 𝑡, con la
posible excepción de un número finito de ellos.
A menos que se indique lo contrario, supondremos que las trayectorias están orientadas
positivamente.
Ejemplo 4.1 La curva dada por el conjunto de puntos:
𝑧(𝑡) = cos 𝑡 + 𝑖 sen 𝑡 = 𝑒𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [0, 𝜋]
115
es una semicircunferencia superior de radio uno centrada en el origen, la cual es una curva
suave ya que,
𝑧′(𝑡) = −sen 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡 , 𝑡 ∈ [0, 𝜋]
es continua y diferente de cero para todos los valores de 𝑡 en [0, 𝜋].
Ejemplo 4.2 Consideremos la parametrización en el intervalo [0, 2] como
𝑧(𝑡) = {2𝑡 + 𝑖 𝑡2, 𝑡 ∈ [0, 1)𝑡 − 𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [1, 2]
No representa a una curva debido a que es discontinua en 𝑡 = 1. En efecto, si 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) +
𝑖𝑦(𝑡), entonces
𝑥(𝑡) = {2𝑡, si 𝑡 ∈ [0, 1)
𝑡, si 𝑡 ∈ [1, 2]
y
lim𝑡→1−
𝑥(𝑡) = 2, lim𝑡→1+
𝑥(𝑡) = 1
por lo tanto, no es una curva.
Una curva 𝐶 posee muchas parametrizaciones, así, en el ejemplo 4.1 pudimos describir la
misma curva como
𝑧(𝑡) = cos 2𝑡 + 𝑖 sen 2𝑡 , 𝑡 ∈ [0, 𝜋 4⁄ ]
la cual recorre la curva al doble de velocidad, o bien considerar la curva con parametrización
𝑧(𝑡) = 2𝑡 + 𝑖 𝑡2, 𝑡 ∈ [0, 1] como 𝑧(𝑡) = 2(𝑡 + 1) + 𝑖 (𝑡 + 1)2, 𝑡 ∈ [−1, 0] la cual se
obtiene de la original realizando una traslación en una unidad. Observa que la gráfica de la
función no cambia.
Preguntas de repaso
1. ¿Cómo se define una curva en el plano complejo?
2. ¿Qué es una parametrización?
3. ¿Cuándo una curva es cerrada?
4. ¿Cuándo una curva es suave?
116
Ejercicios
Representa gráficamente los siguientes conjuntos de puntos y determina si son curvas, curvas
suaves y curvas cerradas:
1. 𝑧(𝑡) = {𝑡 + 𝑖𝑡2, si 0 ≤ 𝑡 ≤ 12𝑡 − 𝑖𝑡, si 1 < 𝑡 ≤ 5
2. 𝑧(𝑡) = 3 cos 𝑡 + 2𝑖 sin 𝑡, para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋,
3. 𝑧(𝑡) = {
2 − 8𝑡 + 𝑖 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 1/4sen8𝜋(𝑡 − 1/4) + 𝑖 cos 8𝜋(𝑡 − 1/4) , 𝑠𝑖 1/4 ≤ 𝑡 ≤ 1/2
2 − 4𝑡 + 𝑖, 𝑠𝑖 1/2 ≤ 𝑡 ≤ 1
4. 𝑧(𝑡) =
{
−2 + cos 𝑡 + 𝑖 sen 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
−2 +𝑡
2𝜋 , 2𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 6𝜋
2 − cos 𝑡 − 𝑖 sen 𝑡 , 6𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 8𝜋
5 −𝑡
2𝜋, 8𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 12𝜋
5. 𝑧(𝑡) = {
1 + 𝑖(−1 + 2𝑡), 0 ≤ 𝑡 < 13 − 2𝑡 + 𝑖, 1 ≤ 𝑡 < 2
−1 + 𝑖(5 − 2𝑡), 2 ≤ 𝑡 < 3−7 + 2𝑡 − 𝑖, 3 ≤ 𝑡 ≤ 4
4.2. La integral compleja Definamos el concepto de integral compleja. Sean 𝑧0 y 𝑧1 dos puntos cualesquiera del plano
complejo y 𝐶 una curva suave a pedazos que va de 𝑧0 a 𝑧1 descrita por la parametrización
𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. Si 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) es una función continua en
todo punto de 𝐶 entonces la integral de 𝑓(𝑧) de 𝑧0 a 𝑧1 a lo largo de 𝐶 se define como:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
:
= ∫ (𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝑖𝑣(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)))𝑏
𝑎
(𝑥′(𝑡) + 𝑖𝑦′(𝑡))𝑑𝑡
= ∫ (𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑥´(𝑡) − 𝑣(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑦′(𝑡))𝑏
𝑎
𝑑𝑡
+ 𝑖 ∫ (𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑦′(𝑡) + 𝑣((𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑥′(𝑡)) 𝑑𝑡𝑏
𝑎
117
Ejemplo 4.3 Calculemos la integral ∫ 𝑧𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es la curva parametrizada por 𝑧(𝑡) =
2𝑒𝑖𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋, 𝑎 ∈ ℝ+fijo. Aquí 𝑓(𝑧) = 𝑧, entonces
𝑓(𝑧(𝑡)) = 𝑓(2𝑒𝑖𝑡) = 2𝑒𝑖𝑡
y 𝑧′(𝑡) = 2𝑖𝑒𝑖𝑡, entonces
∫ 𝑧𝑑𝑧𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝜋
0
= ∫ 2𝑒𝑖𝑡𝜋
0
2𝑖𝑒𝑖𝑡𝑑𝑡 = 22𝑖 ∫ 𝑒2𝑖𝑡𝜋
0
𝑑𝑡 = 4𝑖𝑒2𝑖𝑡
2𝑖|0
𝜋
=
=4
2(𝑒2𝑖𝜋 − 𝑒0) = 2(1 − 1) = 0
Ejemplo 4.4 Calculemos la integral ∫ 𝑧2𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es la curva del ejemplo anterior. Ahora
𝑓(𝑧) = 𝑧2 por lo que,
𝑓(𝑧(𝑡)) = 𝑓(2𝑒𝑖𝑡) = (2𝑒𝑖𝑡)2= 4𝑒2𝑡𝑖
Entonces,
∫ 𝑧2𝑑𝑧𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝜋
0
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝜋
0
= ∫ 4𝑒2𝑖𝑡 𝜋
0
2𝑖𝑒𝑖𝑡 𝑑𝑡 = 8𝑖 ∫ 𝑒3𝑖𝑡𝑑𝑡 𝜋
0
= 8𝑖𝑒3𝑖𝑡
3𝑖|0
𝜋
=8
3 (𝑒3𝑖𝜋 − 𝑒0 ) =
8
3 (−1 − 1) = −
16
3
Ejemplo 4.5 Sea 𝐶₁ la trayectoria que va de −𝑖 a 𝑖 a lo largo de la semicircunferencia derecha
y 𝐶₂ la trayectoria que a lo largo de la semicircunferencia izquierda también de −𝑖 a 𝑖.
Calculemos la integral de la función 𝑓(𝑧) = 1 𝑧⁄ a lo largo de cada curva.
Consideremos la parametrización para la trayectoria 𝐶1 como 𝑧(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [−𝜋 2⁄ , 𝜋 2⁄ ]
entonces
𝑓(𝑧(𝑡)) =1
𝑒𝑖𝑡= 𝑒−𝑖𝑡
y 𝑧′(𝑡) = 𝑖𝑒𝑖𝑡. Por lo tanto,
∫𝑑𝑧
𝑧𝐶1
= ∫ 𝑒−𝑖𝑡𝑖𝑒𝑖𝑡𝑑𝑡𝜋 2⁄
−𝜋 2⁄= 𝑖∫ 𝑑𝑡
𝜋 2⁄
−𝜋 2⁄= 𝑖 (
𝜋
2+𝜋
2) = 𝑖𝜋
118
Análogamente, para la curva 𝐶2 podemos considerar 𝑧(𝑡) = 𝑒−𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [− 3𝜋 2⁄ , −𝜋 2⁄ ].
Realizando las operaciones se puede ver que,
∫𝑑𝑧
𝑧𝐶1
= −𝑖𝜋
Este ejemplo demuestra que, en general, la integral si depende de la trayectoria que une los
puntos inicial y final.
Las propiedades fundamentales de la integral compleja son consecuencia inmediata de las
propiedades de la integral de línea del cálculo vectorial real.
Propiedades de la integral Supongamos que 𝐶 es una curva suave a pedazos y que 𝑓(𝑧) es
continua en todo punto de 𝐶, entonces
L1: Si 𝑘 es una constante compleja,
∫ 𝑘𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= 𝑘∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
L2: Si 𝑓1(𝑧) y 𝑓2(𝑧) son funciones continuas en todo punto de 𝐶
∫ (𝑓1(𝑧) + 𝑓2(𝑧))𝑑𝑧𝐶
= ∫ 𝑓1(𝑧)𝑑𝑧𝐶
+ ∫ 𝑓2(𝑧)𝑑𝑧𝐶
L3: Si −𝐶 es la curva 𝐶 recorrida en sentido opuesto, entonces
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧−𝐶
= −∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
Observa que Si 𝐶 es la curva: 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]; −𝐶 se puede parametrizar
como 𝑧(𝑡) = 𝑥(−𝑡) + 𝑖𝑦(−𝑡), 𝑡 ∈ [−𝑏, −𝑎]. En este caso se puede ver que 𝑧(−𝑏) = 𝑥(𝑏) +
𝑖𝑦(𝑏) = 𝑧(𝑏) y 𝑧(−𝑎) = 𝑥(𝑎) + 𝑖𝑦(𝑎) = 𝑧(𝑎).
L4: Si 𝐶1 y 𝐶2 son curvas suaves a pedazos tales que la unión, denotada por 𝐶1 + 𝐶2 es
también una curva suave a pedazos, entonces
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1+𝐶2
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
+∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶2
119
Existen formas de parametrizar la curva unión, por ejemplo, si 𝐶₁ está dada por 𝑧1(𝑡), 𝑡 ∈
[𝑎, 𝑏] y 𝐶₂ por 𝑧2(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑏, 𝑐] con 𝑧1(𝑏) = 𝑧2(𝑏), entonces 𝐶1 + 𝐶2 puede parametrizarse
como
𝑧(𝑡) = {𝑧1(𝑡) 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑧2(𝑡) 𝑡 ∈ [𝑏, 𝑐]
Si 𝐶1 está parametrizada por 𝑧1(𝑡), 𝑡 ∈ [0,1] y 𝐶₂ por 𝑧2(𝑡), 𝑡 ∈ [0,1] con 𝑧1(1) = 𝑧2(0),
entonces 𝐶1 + 𝐶2 se puede parametrizar como
𝑧(𝑡) = {𝑧1(2𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1 2⁄ ]
𝑧2(2𝑡 − 1), 𝑡 ∈ [1 2⁄ , 1]
En general, si 𝐶1 está parametrizada por 𝑧1(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] y 𝐶2 por 𝑧2(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑐, 𝑑] se pueden
realizar puentes entre intervalos a través de parametrizaciones lineales:
De [0,1] sobre [𝑎, 𝑏] con la función 𝛼 ∶ [0,1] → [𝑎, 𝑏]: 𝛼(𝑡) = 𝑎 + 𝑡(𝑏 − 𝑎).
De [𝑎, 𝑏] sobre [0,1] con la función 𝛽 ∶ [𝑎, 𝑏] → [0,1]: 𝛽(𝑡) =𝑡−𝑎
𝑏−𝑎.
siempre que 𝑎 < 𝑏.
Como ya hemos visto, una curva se puede parametrizar de muchas formas. Si el parámetro 𝑡
representa al tiempo, cada parametrización es una forma de recorrer la curva en un
determinado sentido y a una cierta velocidad en cada instante de tiempo. El valor de la
integral no depende de la parametrización seleccionada, sin embargo, como veremos más
adelante, depende de la curva que une dos puntos dados.
Ejemplo 4.6 Sea 𝐶 la trayectoria que va de 0 a 1 + 𝑖 compuesta por el segmento de recta 𝐶1
de 0 a 1 unido con el segmento de recta 𝐶2 de 1 a 1 + 𝑖. Calcular ∫ sen 𝑧 𝑑𝑧𝐶
Una forma de parametrizar los segmentos de recta es la siguiente:
𝐶1 ∶ 𝑧1(𝑡) = 𝑡, 𝑡 ∈ [0,1]
𝐶2 ∶ 𝑧2(𝑡) = 1 + 𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [0,1]
por la propiedad L4:
120
∫ sen 𝑧 𝑑𝑧𝐶1+𝐶2
= ∫ sen 𝑧 𝑑𝑧𝐶1
+ ∫ sen 𝑧 𝑑𝑧𝐶2
= ∫ sen 𝑡 𝑑𝑡1
0
+ ∫ sen(1 + 𝑖𝑡) 𝑖𝑑𝑡1
0
= −cos 𝑡|01 + 𝑖 −
cos(1 + 𝑖𝑡)
𝑖|0
1
= −cos 1 + cos 0 + (−cos(1 + 𝑖) + cos 1)
= 1 − cos 1 − cos(1 + 𝑖) + cos 1 = 1 − cos(1 + 𝑖)
Preguntas
1. ¿Cómo se define la integral de una función a lo largo de una trayectoria?
2. ¿Qué condiciones deben cumplir, tanto la función 𝑓(𝑧) como la trayectoria 𝐶 para que
exista la integral compleja?
3. ¿Qué propiedades cumple la integral de una función a lo largo de una curva?
Ejercicios
Calcula las siguientes integrales usando la definición:
1. ∫ 𝑧2𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es la frontera de un rectángulo con vértices en 1 + 𝑖,−1 + 𝑖,−1 −
𝑖 𝑦 1 − 𝑖 recorrido positivamente.
2. ∫ (𝑧2 + 5𝑧 + 3)𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es el contorno: 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑒𝑖𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋, 𝑎 es un número
real positivo.
3. ∫ 𝑧²𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es el contorno del ejercicio 2.
4. ∫ 𝑒𝑧𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es el contorno: 𝑧(𝑡) = 𝑎 − 2𝑎𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, 𝑎 es un número real.
5. ∫𝑑𝑧
𝑧𝐶, donde 𝐶 es el contorno cerrado: 𝑧(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
121
4.3 Funciones definidas por integrales indefinidas Sea 𝑓(𝑧) una función compleja definida en una región 𝑅 y 𝐶 una trayectoria en 𝑅 que va del
punto 𝑧1 al punto 𝑧2. Si el valor de la integral ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 𝐶
es un número que sólo depende de
los puntos 𝑎 y 𝑏 y no de la trayectoria 𝐶 que los une, decimos que la integral es independiente
de la trayectoria y escribimos simplemente
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝑧2
𝑧1
Si fijamos el punto 𝑎 y definimos 𝑏 = 𝑤 como cualquier punto de 𝐷 y suponemos que
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝑤
𝑎 tiene sentido para cada 𝑤 en 𝑅, entonces la integral define una función de la
siguiente manera:
𝐹(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝑤
𝑎
Independencia de trayectorias Sea 𝑅 una región simplemente conexa y 𝑓(𝑧) una función
continua, definida en 𝑅. Para cada par de puntos 𝑎 y 𝑏 en 𝑅 y cualquier curva 𝐶 en 𝑅 que va
de 𝑎 hasta 𝑏, la integral ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 𝐶
es independiente de la trayectoria si y solo si, existe una
función 𝐹(𝑧) analítica en 𝑅 tal que
𝑓(𝑧) = 𝐹′(𝑧), para todo 𝑧 ∈ 𝑅
y,
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
A la función 𝐹(𝑧) se le conoce como primitiva o antiderivada de 𝑓(𝑧).
Ejemplo 4.7 Consideremos la función compleja 𝑓(𝑧) =1
𝑧. 𝑓 es continua en la región
simplemente conexa 𝑅 = ℂ ∖ {𝑧: 𝑧 ≤ 0}. Sabemos que cualquier rama de la función log 𝑧
tiene derivada 1
𝑧 en cualquier punto de 𝐷. Entonces, si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 son dos números complejos
cualesquiera y 𝐶 es una curva en 𝐷 que va de 𝑎 hasta 𝑏 sin cruzar la semirrecta {𝑧: 𝑧 ≤ 0}, la
integral de la función a lo largo de la cuerva es independiente de la trayectoria y
122
∫1
𝑧𝑑𝑧
𝐶
= ∫𝑑𝑧
𝑧
𝑏
𝑎
= log 𝑏 − log𝑎
Tomando una de las ramas,
∫𝑑𝑧
𝑧
𝑏
𝑎
= ln|𝑏| + 𝑖(Arg 𝑎 + 2𝑘𝜋) − [ln|𝑎| + 𝑖(Arg 𝑏 + 2𝑘𝜋)]
= ln|𝑏| + 𝑖 Arg 𝑎 − [ln|𝑎| + 𝑖 arg 𝑏] = Log 𝑏 − Log 𝑎
Observa que no importando la rama de la función log 𝑧 elegida, al evaluarla en los puntos 𝑎
y 𝑏 se cancela el término 2𝑘𝜋, quedando solamente el valor de la rama principal. Por esta
razón, en lo sucesivo solo tomaremos esta rama cuando integremos esta función.
Ejemplo 4.8 Calculemos la integral ∫ (𝑧2 − 2𝑧 + 1)𝑑𝑧𝑖
0. En este caso, la integral es
independiente de la trayectoria debido a que el polinomio del integrando es continuo en la
región simplemente conexa 𝑅 = ℂ y posee una primitiva o antiderivada 𝑧3
3− 𝑧² + 𝑧 en todo
punto de 𝐷, por lo que
∫ (𝑧2 − 2𝑧 + 1)𝑑𝑧𝑖
0
= [𝑧3
3− 𝑧² + 𝑧]|
0
𝑖
=𝑖3
3− 𝑖² + 𝑖 = −
𝑖
3+ 𝑖 + 1 = 1 +
2
3𝑖.
Ejemplo 4.9 Calculemos la integral ∫ sen 𝑧 𝑑𝑧𝑖+𝜋
2𝑖
. Como en el ejemplo anterior, la integral
es independiente de la trayectoria por lo que,
∫ sen 𝑧 𝑑𝑧𝑖+𝜋2
𝑖
= cos 𝑧|𝑖
𝑖+𝜋2 = cos (
𝜋
2+ 𝑖) − cos 𝑖
Ejemplo 4.10 Analicemos la integral
∫1
(𝑧 − 𝑎)𝑛𝑑𝑧
𝐶
Donde 𝐶 es la circunferencia con centro en 𝑎 y radio 𝑟: 𝐶 = {𝑧: |𝑧 − 𝑎| = 𝑟}
Consideremos la parametrización,
𝑧(𝑡) = 𝑎 + 𝑟𝑒𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [0,2𝜋]
123
entonces
𝑧′(𝑡) = 𝑟𝑖𝑒𝑖𝑡, 𝑓(𝑧(𝑡)) =1
((𝑎 + 𝑟𝑒𝑖𝑡) − 𝑎)𝑛 =
1
𝑟𝑛𝑒𝑖𝑡𝑛
por lo tanto,
∫1
(𝑧 − 𝑎)𝑛𝑑𝑧
𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡2𝜋
0
= ∫𝑟𝑖𝑒𝑖𝑡𝑑𝑡
𝑟𝑛𝑒𝑖𝑡𝑛
2𝜋
0
=𝑖
𝑟𝑛−1∫ 𝑒−𝑖𝑡(𝑛−1)2𝜋
0
𝑑𝑡
= { 2𝜋𝑖, 𝑛 = 10 𝑛 ≠ 1
Teorema 4.1 Sea 𝑅 una región simplemente conexa y 𝑓(𝑧) una función continua, definida en
𝑅. Si la función
𝐹(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝑤
𝑎
está definida y es independiente de la trayectoria en todo punto 𝑤 ∈ 𝑅, entonces 𝐹(𝑤) es
analítica en 𝑅 y
𝐹′(𝑤) = 𝑓(𝑤), para cada 𝑤 ∈ 𝑅
Preguntas de repaso
1. ¿Cuándo una integral es independiente de la trayectoria?
2. ¿Qué es una primitiva o antiderivada de una función?
3. ¿Qué establece el criterio de independencia de las trayectorias?
Ejercicios
Sin usar la definición, evalúa las integrales:
1. ∫ 𝑒𝑧𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es el contorno 𝑧(𝑡) =1
2−1
2𝑒𝑖𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 que va del 0 al 1.
2. ∫ 𝑧²𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es el contorno 𝑧(𝑡) =1
√2[(𝑡 − sen 𝜋𝑡) + 𝑖((1 − 𝑡) − cos 𝜋𝑡)], 0 ≤
𝑡 ≤ 1, que va de 0 a 1+𝑖
√2.
124
3. ∫ cos 𝑧 𝑑𝑧𝐶
, donde 𝐶 es la trayectoria rectilínea que va de 0 a 1 + 𝑖.
4. Evalúa la integral ∫ 𝑒𝑧𝑑𝑧𝑘𝜋𝑖
0, para cualquier entero 𝑘.
5. ∫ Log 𝑧 𝑑𝑧𝑎
1 𝐶, donde 𝑎 ∈ ℂ, 𝑎 ≠ 0. Aquí, Log 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖 Arg 𝑧, y 𝐶 es cualquier
trayectoria de 1 a 𝑎, que no interseca el rayo {𝑟𝑒−𝑖𝜋 ∶ 𝑟 ≥ 0}.
6. ∫ (𝑧² − 2𝑧 + 1)𝑑𝑧𝑡
0
7. Sea 𝐶 la trayectoria |𝑧| = 𝑟, 𝑟 > 0. Si 𝑃(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧2+. . . +𝑎𝑛𝑧
𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁.
Demuestre que ∫ 𝑃(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= 0.
4.4. Teoremas de la Integral A continuación, estudiaremos los teoremas fundamentales de la integración compleja, los
cuales permiten calcular integrales de diversas formas. Para poder aplicarlos debemos
determinar cómo se comporta la función del integrando y cómo es el subconjunto del plano
complejo sobre el que yace la trayectoria. Principalmente, trabajaremos con trayectorias
cerradas.
Teorema Integral de Cauchy Sea 𝑅 una región simplemente conexa y 𝑓(𝑧) analítica en 𝑅.
Si 𝐶 es cualquier curva cerrada suave a pedazos en 𝑅 (se puede intersectar a si misma),
entonces
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= 0
Ejemplo 4.11 Consideremos la integral
∫2𝑧 + 3
𝑧2 + 1𝑑𝑧
𝐶
Donde 𝐶 es la circunferencia |𝑧 − 3| < 1. Dado que podemos determinar una región
simplemente conexa 𝑅 que contiene a la curva donde la función es analítica (ver Fig. 4.1),
entonces
∫2𝑧 + 3
𝑧2 + 1𝑑𝑧
𝐶
= 0
125
Figura 4.1 Condiciones para aplicar el Teorema Integral de Cauchy.
Teorema 4.2 Si 𝑅 es una región simplemente conexa y 𝑓(𝑧) es analítica en 𝑅, entonces para
cualesquiera puntos 𝑎 y 𝑏 en 𝑅 y trayectorias 𝐶1 y 𝐶2 en 𝑅 que van de 𝑎 a 𝑏, la integral es
independiente de la trayectoria, es decir,
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶2
Y existe una función 𝐹(𝑧) analítica en 𝑅 tal que,
𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧), para cada 𝑧 ∈ 𝑅
Demostración Consideremos la curva 𝐶 = 𝐶1 + (−𝐶2). Dado que 𝐶 es una curva cerrada
suave a pedazos en la región simplemente conexa 𝑅, entonces por el teorema integral de
Cauchy
0 = ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
+∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧−𝐶2
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
−∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶2
es decir,
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶2
Así que la integral que va de 𝑎 a 𝑏 es independiente de la trayectoria. Entonces, por el teorema
de existencia de primitivas, existe una función 𝐹(𝑧) analítica en 𝑅 tal que
𝑧 = 3
𝐶 𝑖
−𝑖
Re 𝑧
Im 𝑧
𝑅
126
𝑓(𝑧) = 𝐹′(𝑧), para cada 𝑧 ∈ 𝑅 ∎
Teorema de Deformación Sean 𝑎 ∈ ℂ fijo y 𝑟, 𝑠, 𝑇 ∈ ℝ tales que 0 ≤ 𝑟 < 𝑠 < 𝑇, sea 𝑅 =
{𝑧: 𝑟 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑇} y 𝐶1 = {𝑧: |𝑧 − 𝑎| = 𝑠} la circunferencia centrada en 𝑎 y radio 𝑠 como
se muestra en la Fig. 4.2. Si 𝑓(𝑧) es una función analítica en la región 𝑅 y 𝐶 es cualquier
trayectoria cerrada en 𝑅 cuyo interior contiene a 𝐶1, entonces:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
Figura 4.2 Ilustración de región y curvas establecidas en el teorema de deformación.
Demostración Si 𝑅 = 0, entonces 𝑅 es simplemente conexa y por el Teorema Integral de
Cauchy, ambas integrales son iguales a cero. Si 𝑅 > 0, sea 𝐿 una trayectoria que va de 𝐶1 a
𝐶 y consideremos la curva cerrada
𝐾 = 𝐶 + (−𝐿) + (−𝐶1) + 𝐿
𝑅
𝐶1
𝐶
𝑎
127
Figura 4.3 Ilustración de región y curvas establecidas en el teorema de deformación.
Como 𝑓 es analítica sobre y dentro de 𝐾, por el Teorema Integral de Cauchy
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐾
= 0 ⇒ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
+∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧−𝐿
+∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧−𝐶1
+ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐿
= 0 ⇒
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
− ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐿
−∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
+∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐿
= 0 ⇒ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
−∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
= 0
⇒ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
∎
Corolario 4.3 Con las mismas hipótesis del teorema anterior, si 𝐾 es cualquier trayectoria
cuyo interior contiene a 𝐶1 entonces:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐾
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶1
Ejemplo 4.12 Evaluemos la integral ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
donde
𝑓(𝑧) =1
𝑧2 − 4𝑧 + 3,
a lo largo de cada una de las siguientes curvas
a) 𝐶 = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧| = 4}
𝑅
𝐶1
𝐶
𝑎
𝐿
128
b) 𝐶 = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧| = 2}
c) 𝐶 = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧 − 4| = 2}
Para ello, expresemos la integral de la forma,
∫𝑑𝑧
𝑧2 − 4𝑧 + 3𝐶
= ∫𝑑𝑧
(𝑧 − 3)(𝑧 − 1)𝐶
Podemos observar que la función del integrando se indefine en los puntos 𝑧 = 3 y 𝑧 = 1.
Para realizar el cálculo de la integral alrededor de las diferentes curvas, descomponemos la
función en fracciones parciales:
1
𝑧2 − 4𝑧 + 3=
1
(𝑧 − 3)(𝑧 − 1)= −
1
2(𝑧 − 3)+
1
2(𝑧 − 1)
Y separamos la integral en la suma de dos integrales, aplicando la propiedad L2:
∫𝑑𝑧
𝑧2 − 4𝑧 + 3𝐶
= ∫𝑑𝑧
(𝑧 − 3)(𝑧 − 1)𝐶
= −1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 3)𝐶
+1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 1)𝐶
= (1)
a) Para la trayectoria 𝐶: |𝑧| = 4, aplicamos el Teorema de Deformación en cada integral,
seleccionando convenientemente una curva alrededor del punto en el que el integrando se
indefine y aplicando el resultado del ejemplo 4.8 de la siguiente forma,
(1) = −1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 3)|𝑧−3|=12
+1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 1)|𝑧−1|=12
= −1
2(2𝜋𝑖) +
1
2(2𝜋𝑖) = 0
Observa que los dos puntos donde se indefine la función: 𝑧 = 3, 𝑧 = 1 se encuentran en el
interior de la curva 𝐶: |𝑧| = 4 pero al separarla en dos integrales, solo hay un punto de
indefinición en cada integral pudiendo deformar la curva y aplicar el ejemplo 4.10
b) Para la trayectoria 𝐶: |𝑧| = 2, la primera integral en (1) es cero por el teorema integral de
Cauchy, ya que podemos establecer una región 𝑅 simplemente conexa que contiene a la
curva, donde el integrando 1
(𝑧−3) es analítico, por ejemplo, 𝑅 = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧| ≤
5
2}.
Para la segunda integral, aplicamos el teorema de Deformación como se hizo en (a),
129
(1) = −1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 3)|𝑧|=2
+1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 1)|𝑧|=2
= 0 +1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 1)|𝑧−1|=12
= −1
2(2𝜋𝑖) = 𝜋𝑖
c) Para la trayectoria 𝐶: |𝑧 − 4| = 2, realizamos un procedimiento análogo:
∫𝑑𝑧
𝑧2 − 4𝑧 + 3𝐶
= −1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 3)𝐶
+1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 1)𝐶
= −1
2∫
𝑑𝑧
(𝑧 − 3)|𝑧−3|=12
+ 0 =
= −1
2(2𝜋𝑖) = −𝜋𝑖
Ejemplo 4.13 Sea 𝐶 cualquier trayectoria cerrada que no pasa por 𝑧 = 𝑎. Los valores posibles
de la integral ∫𝑑𝑧
(𝑧−𝑎)𝑑𝑧
𝐶 por el Teorema Integral de Cauchy son:
∫𝑑𝑧
(𝑧 − 𝑎)𝑑𝑧
𝐶
= {0, si 𝑎 está afuera de 𝐶
2𝜋𝑖, si 𝑎 está en el interior de 𝐶
Fórmula Integral de Cauchy Sea 𝑓(𝑧) analítica en una región simplemente conexa 𝑅 y 𝐶
cualquier trayectoria cerrada en 𝑅. Si 𝑧0 es cualquier punto del interior de 𝐶, entonces
i. 𝑓(𝑧0) =1
2𝜋𝑖∫
𝑓(𝑧)
(𝑧−𝑧0)𝑑𝑧
𝐶.
ii. 𝑓(𝑛)(𝑧0) =𝑛!
2𝜋𝑖∫
𝑓(𝑧)
(𝑧−𝑧0)𝑛+1 𝑑𝑧,𝐶
para 𝑛 = 1,2,3, …, donde 𝑓(𝑛)(𝑧0) denota la n-ésima
derivada de 𝑓 en el punto 𝑧0.
iii. 𝑓(𝑛)(𝑧) es analítica en 𝑅.
Ejemplo 4.14 Calculemos la integral
1
2𝜋𝑖∫
𝑒𝑧
(𝑧2 + 1)𝐶
𝑑𝑧
Alrededor de las siguientes trayectorias:
a. 𝐶 es una trayectoria cerrada que contiene a los puntos 𝑧 = 𝑖 y 𝑧 = −𝑖.
b. 𝐶 es una trayectoria cerrada que contiene solo al punto 𝑧 = 𝑖
c. 𝐶 es una trayectoria cerrada que contiene solo al punto 𝑧 = −𝑖
130
a) En este caso, descomponemos el denominador en fracciones parciales
1
𝑧2 + 1 =
1
(𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 𝑖) =
1
2𝑖(1
𝑧 − 𝑖−
1
𝑧 + 𝑖)
y separamos la integral en dos integrales aplicando la propiedad L2:
1
2𝜋𝑖∫
𝑒𝑧
(𝑧2 + 1)𝐶
𝑑𝑧 = 1
2𝜋𝑖∫
𝑒𝑧
2𝑖𝐶
(1
𝑧 − 𝑖−
1
𝑧 + 𝑖) 𝑑𝑧
= −1
4𝜋∫
𝑒𝑧
𝑧 − 𝑖𝐶
𝑑𝑧 +1
4𝜋∫
𝑒𝑧
𝑧 + 𝑖𝐶
𝑑𝑧 = (1)
Por el inciso (i) de la Fórmula integral de Cauchy,
(1) = −1
4𝜋2𝜋𝑖𝑒𝑖 +
1
4𝜋2𝜋𝑖𝑒−𝑖 = −
𝑖
2(𝑒𝑖 + 𝑒−𝑖) =
1
2𝑖(𝑒𝑖 + 𝑒−𝑖) = sen(1)
b) En este caso, reescribimos el integrando en forma tal que en el denominador solo tengamos
el factor (𝑧 − 𝑖) y aplicamos nuevamente el inciso (i) de la fórmula integral de Cauchy
1
2𝜋𝑖∫
𝑒𝑧
(𝑧2 + 1)𝐶
𝑑𝑧 =1
2𝜋𝑖∫
𝑒𝑧
𝑧 + 𝑖(𝑧 − 𝑖)𝐶
𝑑𝑧 =𝑒𝑖
𝑖 + 𝑖=𝑒𝑖
2𝑖
c) Análogamente al caso (b),
1
2𝜋𝑖∫
𝑒𝑧
(𝑧2 + 1)𝐶
𝑑𝑧 =1
2𝜋𝑖∫
𝑒𝑧
𝑧 − 𝑖(𝑧 − (−𝑖))𝐶
𝑑𝑧 =𝑒−𝑖
−𝑖 − 𝑖=𝑒−𝑖
−2𝑖
Preguntas de repaso
1. ¿Qué establece el teorema integral de Cauchy?
2. ¿Qué establece la fórmula integral de Cauchy?
3. ¿Qué establece el teorema de deformación?
4. Describe un procedimiento mediante el cual se pueda calcular una integral compleja
aplicando los teoremas de esta sección.
131
Ejercicios
Evalúa cada una de las integrales siguientes usando descomposición en fracciones simples:
1. ∫𝑒𝑧
(𝑧−1)(𝑧−2)𝐶𝑑𝑧, 𝐶: ∣ 𝑧 ∣= 3.
2. ∫𝑧𝑛
(𝑧−𝑎)𝑛+1𝐶𝑑𝑧, 𝐶 es cualquier trayectoria cerrada que contiene al punto 𝑧 = 𝑎.
3. ∫𝑧2+1
(𝑧−2)3𝐶𝑑𝑧, 𝐶 es cualquier trayectoria cerrada que contiene al punto 𝑧 = 2.
Calcula aplicando la Fórmula Integral de Cauchy calcule, si 𝐶 es un contorno positivo:
4. ∫cos𝑧
(𝑧−𝜋
2)2𝐶𝑑𝑧, 𝐶 ∶ ∣ 𝑧 ∣= 2.
5. ∫sen𝑧
𝑧−𝜋
2𝐶
𝑑𝑧, 𝐶 encierra al punto 𝑧 =𝜋
2.
6. ∫cos𝑧
𝑧(𝑧−𝜋
2)𝐶𝑑𝑧, 𝐶 es la circunferencia unitaria centrada en el origen.
7. ∫𝑒𝑧
(𝑧−𝑖) cos𝑧𝐶𝑑𝑧, 𝐶 es la circunferencia unitaria centrada en 𝑧 = 𝑖.
8. ∫cosh𝑧
2𝜋𝑧𝑖𝐶𝑑𝑧, 𝐶 es un contorrno cerrado que encierra el punto 𝑧 = 0.
¿A cuál de las siguientes integrales se aplica directamente el teorema de Cauchy?
9. ∫cos𝑧
(𝑧+2)|𝑧|=1𝑑𝑧
10. ∫cos𝑧
(𝑧+2)|𝑧+2|=2𝑑𝑧
11. ∫cos𝑧
(𝑧+2)|𝑧−1|=4𝑑𝑧
12. ∫ log 𝑧|𝑧+𝑖|=1
𝑑𝑧
13. ∫ log 𝑧|𝑧−1−𝑖|=1
𝑑𝑧
14. ∫1
(1+𝑒𝑧)|𝑧|=𝜋𝑑𝑧
15. ∫1
(1−𝑒𝑧)|𝑧|=3𝑑𝑧
16. ∫1
(1+𝑒𝑧)|𝑧|=𝜋𝑑𝑧
17. ∫cos2𝑧
𝑧20|𝑧|=1𝑑𝑧
132
5. Series
José Luis Macias Ponce1, Silvia Contreras Bonilla1, Elizabeth Rosario
Hernández Barrientos2
1Facultad de Ingeniería- BUAP
2Alumna de la Facultad de Ingeniería 201413427 - BUAP
Autores: José Luis Macias Ponce, Silvia Contreras Bonilla, Elizabeth
Rosario Hernández Barrientos
Calcular el radio y
disco de convergencia
de una serie de
potencias.
Expresar funciones en
series de Taylor
alrededor de un punto
por diversos métodos,
estableciendo su
región de
convergencia.
Desarrollar en series
de Laurent funciones
alrededor de
singularidades,
estableciendo la
región de
convergencia.
Calcular los ceros de
una función y su
orden.
Clasificar los polos de
una función y
utilizarlos para
calcular residuos.
Calcular integrales
complejas por medio
de los residuos de una
función.
PROPÓSITOS: ESTUDIANDO ESTE
CAPÍTULO SERÁS CAPAZ DE:
“En cuestiones de ciencia, la autoridad de mil no vale lo que el humilde razonamiento de un solo individuo.”
Galileo Galilei (1564-1642)
Astrónomo, filósofo, ingeniero, matemático y físico italiano
133
Introducción
Si {𝑎𝑛} = {𝑎0, 𝑎1, … } es una sucesión de números complejos, decimos que la serie infinita
∑ 𝑎𝑛∞𝑛=0 converge al número complejo 𝑆 escribiendo ∑ 𝑎𝑛
∞𝑛=0 < +∞ si y solo si,
∀휀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ: 𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑆 − 𝑆𝑛| < 휀
donde 𝑆𝑛 es la 𝑛-ésima suma parcial:
𝑆𝑛 = 𝑎0 +⋯+ 𝑎𝑛−1
Diremos que la serie infinita ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=0 converge absolutamente, si la serie de números reales
no negativos ∑ |𝑎𝑛|∞𝑛=0 converge.
Observa que para la serie de números reales no negativos ∑ |𝑎𝑛|∞𝑛=1 podemos emplear los
conocidos criterios de convergencia de números positivos, en particular los criterios de
comparación, de la razón y de la raíz.
5.1 Series de potencias Si {𝑎𝑛} = {𝑎0, 𝑎1, … } es una sucesión de números complejos, llamamos serie compleja de
potencias alrededor de 𝑎 a la serie
∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑎0 + 𝑎1(𝑧 − 𝑎) + 𝑎2(𝑧 − 𝑎)2 +⋯+ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛 +⋯
Una serie de potencias alrededor de 𝑎, ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 converge en 𝑧 = 𝑧0 si la serie de
números complejos ∑ 𝑎𝑛(𝑧0 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 converge.
Se puede ver fácilmente que si una serie de potencias ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 converge
absolutamente en un punto 𝑧0, entonces converge absolutamente en todo punto 𝑧 tal que:
|𝑧 − 𝑎| < |𝑧0 − 𝑎|
En efecto, si la serie ∑ |𝑎𝑛(𝑧0 − 𝑎)𝑛|∞
𝑛=0 converge, como
|𝑧 − 𝑎| < |𝑧0 − 𝑎| ⇒ 0 ≤ |𝑎𝑛||𝑧 − 𝑎|𝑛 < |𝑎𝑛||𝑧0 − 𝑎|
𝑛
134
entonces, por el criterio de comparación de series de números positivos, la serie
∑ |𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛|∞
𝑛=0 también converge, es decir la serie ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 converge
absolutamente.
Sea ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 una serie de potencias alrededor de 𝑎 y consideramos el conjunto de
números no negativos
𝐿 = {𝑟 ≥ 0 ∶ ∑|𝑎𝑛|𝑟𝑛
∞
𝑛=0
< +∞}.
Si 𝐿 está acotado superiormente, posee supremo 𝜌 llamado radio de convergencia de la serie
∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 y el disco {𝑧: |𝑧 − 𝑎| < 𝜌} se llama disco de convergencia.
Si 𝐿 no está acotado superiormente, decimos que la serie tiene radio de convergencia infinito
escribiendo 𝜌 = +∞. En este caso decimos que la serie converge en todo punto.
Teorema 5..1. Sea 𝑝(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 una serie de potencias con radio de convergencia
𝜌, entonces,
i. En |𝑧 − 𝑎| < 𝜌, la serie ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 converge absolutamente.
ii. En |𝑧 − 𝑎| > 𝜌, la serie ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 diverge.
iii. 𝑝(𝑧) es continua en |𝑧 − 𝑎| < 𝜌.
Demostración
i. Se verifica por la definición de radio de convergencia.
ii. Si ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 fuera converge para cualquier 𝑧0 con |𝑧0 − 𝑎| > 𝜌, entonces
la serie ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 sería absolutamente convergente para todos los 𝑧 tales
que |𝑧 − 𝑎| < |𝑧0 − 𝑎|. En particular la serie ∑ 𝑎𝑛(𝑧1 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 sería
absolutamente convergente para 𝑧1 =𝜌+|𝑧0|
2> 𝜌 lo cual es una contradicción.
iii. Se deja como ejercicio al lector.
135
Ejemplo 5.1 Calculemos la función que representa a la serie de potencias ∑ 𝑧𝑛∞𝑛=0 . La n-
ésima suma parcial de esta serie de potencias es
𝑆𝑛 = 1 + 𝑧 + 𝑧2 +⋯+ 𝑧𝑛 =1 − 𝑧𝑛+1
1 − 𝑧
lim𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim𝑛→∞
1 − 𝑧𝑛
1 − 𝑧=
1
1 − 𝑧 lim𝑛→∞
(1 − 𝑧𝑛) =1
1 − 𝑧
siempre que |𝑧| < 1, así
∑𝑧𝑛∞
𝑛=0
=1
1 − 𝑧, válida para |𝑧| < 1
Para hallar el radio de convergencia utilizamos el criterio de la razón:
lim𝑛→∞
|𝑧𝑛+1
𝑧𝑛| = lim
𝑛→∞|𝑧| = |𝑧| lim
𝑛→∞1 = |𝑧|
Así, la serie converge absolutamente si |𝑧| < 1, es decir, su radio de convergencia es 𝜌 = 1.
Teorema 5.2 Si ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=1 es una serie de potencias con radio de convergencia 𝜌 y
𝐶 es cualquier trayectoria en el interior del disco de convergencia |𝑧 − 𝑎| < 𝜌,
∫ (∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
)𝐶
𝑑𝑧 = ∑∫ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛𝑑𝑧
𝐶
∞
𝑛=0
Este teorema se utilizará más adelante cuando conozcamos qué función representa a la serie
y nos permitirá hallar la representación en serie de otras funciones.
Teorema 5.3 Sea ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=1 una serie de potencias con radio de convergencia 𝜌 y sea
𝑝(𝑧) = ∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
la función definida en el disco de convergencia |𝑧 − 𝑎| < 𝜌 entonces, 𝑝(𝑧) es analítica en
|𝑧 − 𝑎| < 𝜌 y
136
𝑝′(𝑧) = ∑𝑛𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛−1
∞
𝑛=1
Aplicando el teorema anterior, podemos hallar la representación en serie de potencias de la
derivada de 𝑝(𝑧).
Ejemplo 5.2 Como hemos visto en el ejemplo anterior
1
1 − 𝑧= ∑𝑧𝑛
∞
𝑛=0
, siempre que |𝑧| < 1,
derivando ambos miembros
1
(1 − 𝑧)2=∑𝑛𝑧𝑛−1
∞
𝑛=1
, siempre que |𝑧| < 1,
Preguntas
1. ¿Cómo se define una serie de potencias?
2. ¿Cómo se establece la convergencia de una serie de potencias?
3. ¿Qué es el radio de convergencia?
4. ¿En qué condiciones podemos integrar una serie de potencias?
5. ¿En qué condiciones podemos diferenciar una serie de potencias término a término?
Ejercicios
Calcular el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
1. ∑𝑧𝑛
𝑛!∞𝑛=0
2. ∑(−1)𝑛𝑧𝑛
(2𝑛+1!∞𝑛=0
3. ∑ (𝑛 + 1)(𝑧 − 2)𝑛∞𝑛=0
4. ∑ 𝑛! (𝑧 − 1)𝑛∞𝑛=0
5. 𝑧 +22
2!𝑧2 +⋯+
𝑛ⁿ
𝑛!𝑧ⁿ + ⋯
6. ∑ 𝑧𝑛2∞
𝑛=0
137
7. 1 −𝑧2
2!+
𝑧4
4!−𝑧6
4!+⋯
Las siguientes series infinitas no son de potencias; sin embargo, pueden expresarse en esa
forma. Exprésalas así y encuentra su disco de convergencia. Determina la región dentro de
la cual cada serie representa una función analítica:
8. ∑𝑛(2𝑧−3)𝑛
3𝑛∞𝑛=0
9. ∑𝑛(𝑧2+2𝑧+1)𝑛
4𝑛∞𝑛=0
10. ∑ 𝑛(5𝑧 + 1)𝑛∞𝑛=0
Para cada una de las siguientes series, encuentra el disco de convergencia dentro del cual la
serie representa una función analítica. Utiliza el hecho de que
1
1 − 𝑧= ∑𝑧𝑛
∞
𝑛=0
, para |𝑧| < 1
a fin de determinar explícitamente la función:
11. ∑𝑧𝑛+1
𝑛+1∞𝑛=0
12. ∑𝑧𝑛
𝑛2∞𝑛=0
5.2 Series de Taylor En esta sección veremos que, en la vecindad de un punto dado una función analítica se puede
desarrollar en la forma de una serie de potencias, la cual llamaremos su serie de Taylor.
Teorema 5.4 Si 𝑓(𝑧) es analítica en {𝑧: |𝑧 − 𝑎| < 𝑟} entonces:
𝑓(𝑧) = ∑𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
, para todo 𝑧 tal que |𝑧 − 𝑎| < 𝑟
Donde 𝑓(𝑛)(𝑎) denota la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎 y establecemos la convención
de que 𝑓(0)(𝑎) = 𝑓(𝑎). Esta representación de 𝑓(𝑧) como una serie de potencias en el disco
abierto |𝑧 − 𝑎| < 𝑟 se llama serie de Taylor de 𝑓(𝑧) alrededor de 𝑎. Cuando 𝑎 = 0 se llama
serie de Maclaurin de 𝑓(𝑧).
138
Todas las propiedades de series de potencias que hemos estudiado se cumplen también para
las series de Taylor. En particular, 𝑓(𝑧) es absolutamente convergente en cada punto de su
disco de convergencia y puede diferenciarse o integrarse término a término para obtener
desarrollos en serie de Taylor de las derivadas o integrales de 𝑓(𝑧) alrededor de 𝑧 = 𝑎.
Ejemplo 5.3 La serie de Maclaurin de la función 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 es
𝑒𝑧 = ∑𝑧𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
pues 𝑓(𝑛)(0) = 1 para todo 𝑛 = 0,1,…
Por el criterio de la razón, puede demostrarse que su radio de convergencia es 𝑅 = ∞.
Otra forma de calcular el radio de convergencia de una serie de Taylor o Maclaurin, es
estableciendo el mayor círculo abierto centrado en 𝑎 en el que la función sea derivable. En
el caso del ejemplo anterior, como 𝑒𝑧 es diferenciable en todo ℂ, su desarrollo en serie de
Maclaurin se satisface para todo 𝑧 ∈ ℂ.
Ejemplo 5.4 Sea 𝑓(𝑧) =1
1+𝑧. Calculemos su serie de Maclaurin. Utilizando el teorema de
Taylor, podemos derivar sucesivamente la función 𝑓(𝑧) =1
1+𝑧 y calcular los coeficientes de
la serie para obtener
1
1 + 𝑧= ∑(−1)𝑛𝑧𝑛
∞
𝑛=0
Y por el criterio de la razón, esta representación es válida en el disco abierto |𝑧| < 1. Otra
forma de calcular el círculo de convergencia es observando que el círculo más grande
centrado en el origen donde 𝑓 es analítica, es el de radio 1, así se tiene que
1
1 + 𝑧= ∑(−1)𝑛𝑧𝑛
∞
𝑛=0
, si |𝑧| < 1
Otra forma de obtener este resultado es realizando la sustitución 𝑤 = −𝑧 a la serie
139
1
1 − 𝑤= ∑𝑤𝑛
∞
𝑛=0
, válida en |𝑤| < 1,
obteniendo
1
1 − (−𝑧)= ∑(−𝑧)𝑛
∞
𝑛=0
, si | − 𝑧| < 1
que es lo mismo que ya habíamos obtenido.
¿Es válido utilizar este procedimiento para obtener la serie de Taylor o Maclaurin de
funciones? la respuesta es sí, como muestra el siguiente resultado.
Teorema 5.5 Si la serie de potencias 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0 es válida para 𝑧: |𝑧 − 𝑎| < 𝜌
entonces
𝑎𝑛 =𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!, para todo 𝑛 = 0,1,2, …
es decir, en su disco de convergencia, la serie de potencias es una serie de Taylor alrededor
de 𝑎 para la función analítica que representa.
Observa que si una función 𝑓(𝑧) es analítica en un número complejo 𝑎 y la singularidad de
𝑓 más cercana a 𝑎 está a una distancia 𝑟 de 𝑎, entonces el desarrollo en serie de Taylor de 𝑓
alrededor de 𝑎 converge absolutamente para todo 𝑧 en el disco |𝑧 − 𝑎| < 𝑟 y diverge fuera.
Ejemplo 5.5 Desarrollemos en serie de Maclaurin la función 𝑓(𝑧) = Log(1 + 𝑧).
Por el ejemplo anterior, sabemos que
1
1 + 𝑤=∑(−1)𝑛𝑤𝑛
∞
𝑛=0
, si |𝑤| < 1
Integrando ambos miembros de la igualdad anterior de 0 a 𝑧,
∫1
1 + 𝑤𝑑𝑤
𝑧
0
= ∫ (∑(−1)𝑛𝑤𝑛
∞
𝑛=0
)𝑑𝑤𝑧
0
obtenemos,
140
[Log(1 + 𝑤)]0𝑧 =∑((−1)𝑛∫ (𝑤𝑛)𝑑𝑤
𝑧
0
)
∞
𝑛=0
=∑[(−1)𝑛𝑤𝑛+1
𝑛 + 1]0
𝑧∞
𝑛=0
es decir,
Log(1 + 𝑧) = ∑(−1)𝑛𝑧𝑛+1
𝑛 + 1
∞
𝑛=0
El disco de convergencia de este desarrollo en serie de Maclaurin es |𝑧| < 1 ya que el
dominio de la función Log(1 + 𝑧) es ℂ ∖ {𝑧 ∈ ℂ ∶ 1 + 𝑧 ≤ 0}. Así, el máximo disco centrado
en el origen en el que la función es analítica es |𝑧| < 1. En conclusión
Log(1 + 𝑧) = ∑(−1)𝑛𝑧𝑛+1
𝑛 + 1
∞
𝑛=0
, para todo 𝑧 con |𝑧| < 1
Ejemplo 5.6 Desarrollemos en serie de Taylor la función 𝑓(𝑧) =1
1+𝑧2 alrededor del origen.
Aplicando la sustitución 𝑤 = 𝑧2 al desarrollo en serie
1
1 + 𝑤=∑(−1)𝑛𝑤𝑛
∞
𝑛=0
, si |𝑤| < 1
obtenemos
1
1 + 𝑧2= ∑(−1)𝑛(𝑧2)𝑛
∞
𝑛=0
, si |𝑧2| < 1
Como |𝑧2| < 1 ⇔ |𝑧| < 1
1
1 + 𝑧2=∑(−1)𝑛𝑧2𝑛
∞
𝑛=0
, si |𝑧| < 1
Ejemplo 5.7 Calculemos la serie de Maclaurin de la función 𝑓(𝑧) = tan−1 𝑧. Integrando de
0 a 𝑧 el desarrollo en serie
1
1 + 𝑤2=∑(−1)𝑛𝑤2𝑛
∞
𝑛=0
, si |𝑤| < 1
141
obtenemos
∫1
1 + 𝑤2𝑑𝑤
𝑧
0
= ∫ [∑(−1)𝑛𝑤2𝑛
∞
𝑛=0
]𝑧
0
= ∑(−1)𝑛∫ 𝑤2𝑛𝑑𝑤𝑧
0
∞
𝑛=0
= ∑(−1)𝑛 [𝑤2𝑛+1
2𝑛 + 1]0
𝑧∞
𝑛=0
es decir,
tan−1 𝑧 = ∑(−1)𝑛𝑧2𝑛+1
2𝑛 + 1
∞
𝑛=0
, válida en el disco |𝑧| < 1
Ejemplo 5.8 Calculemos la serie de Maclaurin de la función 𝑓(𝑧) =𝑧+1
𝑧−1
𝑧 + 1
𝑧 − 1=
𝑧
𝑧 − 1+
1
𝑧 − 1= −𝑧
1
1 − 𝑧−
1
1 − 𝑧= −𝑧∑𝑧𝑛
∞
𝑛=0
−∑𝑧𝑛∞
𝑛=0
= −∑𝑧𝑛+1∞
𝑛=0
−∑𝑧𝑛∞
𝑛=0
pero,
−∑𝑧𝑛∞
𝑛=0
= −1 −∑𝑧𝑛∞
𝑛=1
= −1 −∑𝑧𝑛+1∞
𝑛=0
por lo tanto,
𝑧 + 1
𝑧 − 1= −∑𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0
− 1 −∑𝑧𝑛+1∞
𝑛=0
= −1 − 2∑𝑧𝑛+1∞
𝑛=0
es decir,
𝑧 + 1
𝑧 − 1== −1 − 2∑𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0
, válido para |𝑧| < 1
Preguntas
1. ¿Cómo se define una serie de Taylor?
2. ¿Qué es una serie de Maclaurin?
3. Describe dos métodos para calcular la serie de Taylor de una función alrededor de un
punto
142
Ejercicios
1. Calcula la serie de Taylor de la función 𝑓(𝑧) =1
1−𝑧2 alrededor del punto 𝑎 = 2.
2. Encuentra la serie de Maclaurin de 𝑓(𝑧) = log(1 − 𝑧) de dos maneras diferentes. ¿En
que región es válido este desarrollo?
3. Desarrolla la función 𝑓(𝑧) = sen 𝑧 en serie de Taylor alrededor de 𝑎 =𝜋
4 y determina
la región de convergencia de esta serie.
4. Halla la serie de Maclaurin correspondiente a 𝑓(𝑧) =1
1+𝑧2 válida para |𝑧| < 1. Utiliza
esta serie para obtener la serie de Maclaurin correspondiente a la rama principal de
arctan 𝑧 (es decir, la rama para la cual arctan 0 = 0), válida en |𝑧| < 1
5. Encuentra la serie de Taylor de senh 𝑧 alrededor de 𝑧 = 𝜋𝑖 y encuentra su región de
convergencia.
6. Encuentra la serie de Taylor de 𝑓(𝑧) =1
𝑧2 alrededor de 𝑧 = −1. (Sugerencia:
1
𝑧=
1
[(𝑧+1)−1]=
−1
[1−(𝑧+1)], así, expresa lo anterior en una serie de potencias de (𝑧 + 1).)
Escribe por lo menos cuatro términos de la serie de Maclaurin de cada una de las funciones
siguientes:
7. 𝑓(𝑧) = sen 𝑧
8. 𝑓(𝑧) = cos 𝑧
9. 𝑓(𝑧) = log(1 + 𝑧) , |𝑧| < 1
10. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 log(1 + 𝑧) , |𝑧| < 1
11. 𝑓(𝑧) =(𝑧+1)
(𝑧−1)
Obtén los siguientes desarrollos en serie de Taylor. Escribe una expresión general para el n-
ésimo coeficiente y determina el círculo en cuyo interior el desarrollo es válido.
12. 𝑓(𝑧) =𝑧
(𝑧−1)(𝑧+2) alrededor de 𝑎 = 0,
13. 𝑓(𝑧) =𝑧
(𝑧+1)(𝑧+2) alrededor de 𝑎 = 1,
14. 𝑓(𝑧) =1
(𝑧−1)2(𝑧+1)2 alrededor de 𝑎 = 2
143
5.3 Series de Laurent Si 𝑓(𝑧) es analítica en una región de la forma
{𝑧 ∈ ℂ ∶ 0 ≤ 𝑟 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑠}
es decir, en un anillo circular abierto centrado en 𝑎, entonces 𝑓(𝑧) no se puede representar
como una serie de Taylor alrededor de 𝑎, pero podemos intentar representarla mediante una
serie de potencias positivas y negativas de (𝑧 − 𝑎).
Teorema de Laurent Si 𝑓(𝑧) es analítica en la región 𝐷 = {𝑧 ∈ ℂ: 0 ≤ 𝑟 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑠},
entonces 𝑓(𝑧) se puede expresar como una serie de potencias positivas y negativas de (𝑧 −
𝑎), llamada serie de Laurent en todo punto de 𝐷, es decir,
∀ 𝑧 ∈ 𝐷: 𝑓(𝑧) = ∑ 𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
+∞
𝑛=−∞
o separando las potencias positivas de las negativas como,
∀ 𝑧 ∈ 𝐷: 𝑓(𝑧) = ∑𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
+∞
𝑛=0
+∑𝐴−𝑛(𝑧 − 𝑎)−𝑛
+∞
𝑛=1
Donde
𝐴𝑛 =1
2𝜋𝑖∫
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑎)𝑛+1𝑑𝑧,
𝐶
𝑛 ∈ ℤ
siendo 𝐶 cualquier trayectoria cerrada en 𝐷 cuyo interior contiene al punto 𝑧 = 𝑎.
La serie de Laurent de 𝑓(𝑧) converge absolutamente en la región 𝐷, donde entenderemos por
convergencia de una serie de Laurent la convergencia, tanto de la serie de potencias positivas
de (𝑧 − 𝑎), como la de potencias negativas de (𝑧 − 𝑎), ambas en la región 𝐷.
Nota No es práctico calcular los coeficientes 𝐴𝑛 de una serie de Laurent en forma directa por
integración sino por otros medios, usando los coeficientes más bien para evaluar integrales
de la forma
1
2𝜋𝑖∫
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑎)𝑛+1𝑑𝑧
𝐶
144
Si 𝑓(𝑧) es analítica en el disco |𝑧 − 𝑎| < 𝑠, la serie de Laurent se reduce a la serie de Taylor,
pues en este caso:
𝐴−𝑛 =1
2𝜋𝑖∫
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑎)−𝑛+1𝑑𝑧
𝐶
=1
2𝜋𝑖∫ 𝑓(𝑧)(𝑧 − 𝑎)𝑛−1𝑑𝑧𝐶
= 0, para todo 𝑛 = 1,2,…
y por la fórmula Integral de Cauchy
𝐴𝑛 =1
2𝜋𝑖∫
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑎)𝑛+1𝑑𝑧
𝐶
=𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!= 𝑎𝑛
por la Fórmula Integral de Cauchy.
Desarrollaremos funciones en serie de Laurent principalmente en regiones del tipo {𝑧 ∶ 0 <
|𝑧 − 𝑎| < 𝑠}. El número de potencias negativas de (𝑧 − 𝑎) en la serie servirá como medida
de cuán no analítica es 𝑓(𝑧) en 𝑧 = 𝑎.
Ejemplo 5.9 La función 𝑓(𝑧) = Log 𝑧 no se puede expandir en serie de Laurent alrededor de
𝑧 = 0 porque no es analítica en ninguna región anular centrada en 0.
Ejemplo 5.10 Desarrollar la función
𝑓(𝑧) =1
𝑧2 − 3𝑧 + 2
en serie de Laurent alrededor de 𝑧 = 0 en las regiones:
a) |𝑧| < 1
b) 1 < |𝑧| < 2
c) 2 < |𝑧| < 𝑟, con 𝑟 > 2
Descompongamos la función en fracciones parciales
𝑓(𝑧) =1
𝑧2 − 3𝑧 + 2=
1
(𝑧 − 2)(𝑧 − 1)=
1
(𝑧 − 2)−
1
(𝑧 − 1)
a) Para el disco abierto centrado en cero de radio 1: |𝑧| < 1, la función es analítica, por
lo que su expansión en serie Laurent coincide con su serie de Taylor. Desarrollando
cada término:
145
1
𝑧 − 2= −
1
2 − 𝑧= −
1
2 (1 −𝑧2)= −
1
2∑(
𝑧
2)𝑛
+∞
𝑛=0
= −1
2∑
𝑧𝑛
2𝑛
+∞
𝑛=0
= −∑𝑧𝑛
2𝑛+1
+∞
𝑛=0
válida en la región |𝑧 2⁄ | < 1, es decir, |𝑧| < 2 (máximo círculo abierto centrado en 𝑧 = 0
en el que la función es analítica). Análogamente,
1
𝑧 − 1= −
1
1 − 𝑧= −∑𝑧𝑛
+∞
𝑛=0
válida en |𝑧| < 1. Así, en intersección de ambas regiones: |𝑧| < 1
1
𝑧2 − 3𝑧 + 2= −∑
𝑧𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=0+∑ 𝑧𝑛
∞
𝑛=0=∑ (−
𝑧𝑛
2𝑛+1+ 𝑧𝑛)
∞
𝑛=0
=∑ (1 −1
2𝑛+1) 𝑧𝑛
∞
𝑛=0
b) En la región anular 1 < |𝑧| < 2 es válida la expansión de Taylor
1
𝑧 − 2= −∑
𝑧𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=0 para |𝑧| < 2
para el otro factor
1
𝑧 − 1=
1
𝑧 (1 −1𝑧)=1
𝑧∑ (
1
𝑧)𝑛∞
𝑛=0=∑
1
𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0, válido para |
1
𝑧 | < 1, es decir, 1
< |𝑧|
Así, en la intersección de ambas regiones: 1 < |𝑧| < 2 se tiene
1
𝑧2 − 3𝑧 + 2= −∑
𝑧𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=0−∑
1
𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0=∑ (−
𝑧𝑛
2𝑛+1−
1
𝑧𝑛+1)
∞
𝑛=0
c) En la región 2 < |𝑧| < 𝑟, 𝑟 > 2
1
𝑧 − 2=
1
𝑧 (1 −2𝑧)=1
𝑧∑ (
2
𝑧)𝑛∞
𝑛=0=∑
2𝑛
𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0, válido para |
2
𝑧 | < 1, es decir, 2
< |𝑧|
1
𝑧 − 1=∑
1
𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0, válido para 1 < |𝑧|
146
Por lo tanto, en la intersección de ambas regiones 2 < |𝑧|,
1
𝑧2 − 3𝑧 + 2=∑
2𝑛
𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0−∑
1
𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0=∑ (
2𝑛
𝑧𝑛+1−
1
𝑧𝑛+1)
∞
𝑛=0=∑
2𝑛 − 1
𝑧𝑛+1
∞
𝑛=0
Ejemplo 5.11 Desarrollemos en potencias de 𝑧 la función 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
𝑧3.
𝑒𝑧
𝑧3=1
𝑧3∑
𝑧𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0=∑
𝑧𝑛−3
𝑛!
∞
𝑛=0 válida para 0 < |𝑧|
Preguntas
1. ¿Define una serie de Laurent?
2. ¿Describe de dos formas como se puede desarrollar una función en serie de Laurent
alrededor de un punto?
3. ¿de qué manera las series de Taylor coadyuvan a encontrar la serie de Laurent de una
función alrededor de un punto?
4. ¿Qué forma tienen las regiones de convergencia de una serie de Laurent?
Ejercicios
1. Encontrar la serie de Laurent de 𝑓(𝑧) =1
𝑧−2𝑖 alrededor de 𝑎 = 1 y establece su región de
convergencia.
2. Expande la función 𝑓(𝑧) =𝑧
(𝑧−2)(𝑧−3) en serie de Laurent en la región 2 < |𝑧| < 3.
3. Encuentra la serie de Laurent de la función 𝑓(𝑧) =1
(𝑧2+1)(𝑧+2) en las siguientes regiones:
a. 0 <∣ 𝑧 ∣< 1
b. 1 <∣ 𝑧 ∣< 2
c. 2 <∣ 𝑧 ∣
Halla la serie de Laurent válida en la región 0 <∣ 𝑧 ∣ de las funciones
4. 𝑓(𝑧) = 𝑒1
𝑧
5. 𝑓(𝑧) = 𝑒1
𝑧2
6. Si 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 1)² + (𝑧 − 1)⁻² ¿Cuál es el desarrollo en serie de Laurent para
𝑓(𝑧) válido en la región ∣ 𝑧 − 1 ∣> 0?
147
5.4 Clasificación de las singularidades aisladas de una función Si una función 𝑓(𝑧) es analítica en un disco agujereado alrededor de 𝑎: 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟,
para algún 𝑟 > 0, y tiene un desarrollo en serie de Laurent
𝑓(𝑧) = ∑ 𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=−∞, válido para 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟,
se llama a ∑ 𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛−1
𝑛=−∞ la parte principal de 𝑓(𝑧) en 𝑎 y la denotamos por 𝑝(𝑓, 𝑎),
es decir,
𝑝(𝑓, 𝑎) = ⋯+ 𝐴−𝑚(𝑧 − 𝑎)−𝑚 +⋯+ 𝐴−1(𝑧 − 𝑎)
−1 = ⋯+𝐴−𝑚
(𝑧 − 𝑎)𝑚+⋯+
𝐴−1(𝑧 − 𝑎)
Observa que la parte principal de 𝑓(𝑧) en 𝑎 contiene los términos de la serie de Laurent que
son potencias negativas de (𝑧 − 𝑎), es decir, los términos que no están definidos en 𝑧 = 𝑎.
Si una función 𝑓(𝑧) no es analítica en un punto 𝑧 = 𝑎 pero sí lo es en un disco agujereado
alrededor de 𝑎: {𝑧: 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟} para algún 𝑟 > 0 , decimos que 𝑎 es una singularidad
o punto singular de 𝑓(𝑧). Veremos a continuación que la cantidad de términos en 𝑝(𝑓, 𝑎) en
una serie de Laurent, es una medida del tipo de singularidad que es 𝑎.
Las singularidades de una función pueden ser de tres tipos:
Caso 1 Si 𝑝(𝑓, 𝑎) = 0, el desarrollo en serie de Laurent de la función en la región 0 < |𝑧 −
𝑎| < 𝑟 es, de hecho, su desarrollo en serie de Taylor
𝑓(𝑧) =∑ 𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
Si definimos 𝑓(𝑎) = 𝐴0, entonces 𝑓(𝑧) será analítica en |𝑧 − 𝑎| < 𝑟 incluido el punto 𝑎; por
esta razón, cuando 𝑝(𝑓, 𝑎) = 0 decimos que 𝑎 es una singularidad removible de 𝑓(𝑧).
Ejemplo 5.12 Consideremos la función 𝑓(𝑧) =sen𝑧
𝑧 que se indefine en 𝑧 = 0 por lo que es
analítica para 0 < |𝑧|. Como
sen 𝑧 = ∑(−1)𝑛𝑧2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0
entonces
148
sen 𝑧
𝑧=1
𝑧∑(−1)𝑛
𝑧2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0
=∑(−1)𝑛𝑧2𝑛
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0
= 1 −𝑧2
3!+𝑧4
5!− ⋯ válida para 0
< |𝑧|
Es decir, 𝑝(𝑓, 0) = 0, por lo que la función tiene una singularidad removible en 0.
Dado que la serie en 𝑧 = 0 es igual a 1, podríamos eliminar la indeterminación en 0
definiendo 𝑓(0) = 1, es decir, creando una nueva función:
𝑓(𝑧) = {
sen 𝑧
𝑧, si 𝑧 ≠ 0
1, si 𝑧 = 0
la cual es analítica en todo el plano complejo.
Caso 2 𝑝(𝑓, 𝑎) tiene un número finito de términos. Supongamos que una función se
desarrolla en serie de Laurent alrededor del punto 𝑧 = 𝑎 como
𝑓(𝑧) = ∑ 𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=−𝑚
, válida para 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟
En este caso
𝑝(𝑓, 𝑎) = ∑ 𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
−1
𝑛=−𝑚
= 𝐴−𝑚(𝑧 − 𝑎)−𝑚 +⋯+ 𝐴−1(𝑧 − 𝑎)
−1
=𝐴−𝑚
(𝑧 − 𝑎)𝑚+⋯+
𝐴−1(𝑧 − 𝑎)1
donde 𝐴−𝑚 ≠ 0 y 𝐴𝑛 = 0 si 𝑛 < −𝑚. En este caso el punto 𝑎 se llama polo de orden 𝑚 de
𝑓(𝑧). Un polo de orden 1 se llama polo simple. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 5.13 Consideremos la función 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
𝑧3 que se indefine en 𝑧 = 0, por lo que es
analítica en la región 0 < |𝑧|. Desarrollando en serie de Laurent
𝑒𝑧
𝑧3=1
𝑧3∑
𝑧𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
= ∑𝑧𝑛−3
𝑛!
∞
𝑛=0
=1
𝑧3+1
𝑧2+1
2𝑧+1
3!+𝑧
4!+ ⋯válida para 0 < |𝑧|
En este caso
149
𝑝(𝑓, 𝑎) =1
𝑧3+1
𝑧2+1
2𝑧
Por lo que la función tiene un polo de orden 3 en 𝑧 = 0.
Caso 3 𝑝(𝑓, 𝑎) tiene un número infinito de términos. Si una función posee una infinidad de
términos en el residuo 𝑝(𝑓, 𝑎) decimos que el punto 𝑧 = 𝑎 es una singularidad esencial de
𝑓(𝑧).
Ejemplo 5.14 Analicemos la función 𝑓(𝑧) = 𝑒1 𝑧⁄ que es analítica en la región 0 < |𝑧|.
Desarrollando en serie de Laurent
𝑒1 𝑧⁄ =∑(1𝑧)
𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
= ∑1
𝑛! 𝑧𝑛
∞
𝑛=0
= 1 +1
𝑧+
1
2! 𝑧2+
1
3! 𝑧3+⋯válida para 0 < |𝑧|
En este caso no hay términos de potencias positivas de (𝑧 − 𝑎). Reacomodando los términos
en la forma de un desarrollo de Laurent tenemos que
𝑝(𝑓, 𝑎) = ⋯+1
3! 𝑧3+
1
2! 𝑧2+1
𝑧
por lo que el 0 es una singularidad esencial.
Teorema 5.6 Si 𝑓(𝑧) es analítica en 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟, entonces tiene un polo de orden 𝑚 en
𝑎 si y sólo si 𝑓(𝑧) = 𝜑(𝑧)(𝑧 − 𝑎)−𝑚 donde 𝜑(𝑧) es analítica en 𝑎 y 𝜑(𝑎) ≠ 0.
Ejemplo 5.15 La función 𝑓(𝑧) =cos𝑧
𝑧2(𝑧2+1) tiene singularidades en los puntos 𝑧 = 0, 𝑖, −𝑖. En
𝑧 = 0 un polo de orden 2 pues,
𝑓(𝑧) =
cos 𝑧(𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 𝑖)
𝑧2
y cos𝑧
(𝑧+𝑖)(𝑧−𝑖), es analítica y distinta de cero en 𝑧 = 0. Tiene un polo simple en 𝑧 = 𝑖 porque
𝑓(𝑧) =
cos 𝑧𝑧2(𝑧 + 𝑖)
(𝑧 − 𝑖)
150
y cos𝑧
𝑧2(𝑧+𝑖) es analítica y distinta de cero en 𝑧 = −𝑖. Análogamente se puede ver que tiene un
polo simple en 𝑧 = −𝑖.
Corolario 5.7 Si 𝑓(𝑧) tiene un polo de orden 𝑚 en 𝑎, entonces lim𝑧→𝑎
|𝑓(𝑧)| = +∞.
Preguntas
1. ¿Cómo se definen los polos de una función?
2. ¿En qué condiciones una función posee un polo de orden 𝑚?
3. ¿En qué condiciones un polo se llama singularidad removible?
4. ¿En qué condiciones un polo se llama singularidad esencial?
5. ¿Cómo se puede representar una función que posee un polo de orden 𝑚?
Ejercicios
Para cada una de las funciones siguientes, enumera todos los puntos donde la función tiene
un polo, diga su orden.
1. 𝑓(𝑧) =𝑧
𝑧+1
2. 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
(𝑧2+1)
3. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 − 1
4. 𝑓(𝑧) =1
𝑒𝑧−1
5. 𝑓(𝑧) =(𝑧3−1)
(𝑒𝑧−2)
6. 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑧−1)2
7. Sabemos que sen 𝑧 = 0 si y sólo si 𝑧 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍. Demuestra que cada 𝑧 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
es un polo simple para csc 𝑧.
8. ¿En qué puntos posee tan 𝑧 un polo, y qué orden tiene cada polo?
9. Enumera los puntos donde 𝑓(𝑧) =1
𝑧 sen𝑧 tiene un polo, y encuentra el orden del polo en
cada uno de esos puntos.
151
5.5 Clasificación de los ceros de una función Sea 𝑓(𝑧) una función definida en una región 𝑅. Un punto 𝑎 ∈ 𝑅 en el que 𝑓(𝑎) = 0 se
denomina cero de 𝑓. Suponga que 𝑓(𝑧) es analítica en 𝑎 con desarrollo en serie de Taylor
𝑓(𝑧) = ∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
para |𝑧 − 𝑎| < 𝑟
Decimos que 𝑎 es un cero de orden 𝑚 de 𝑓(𝑧) si 𝑎0 = 𝑎1 = ⋯ = 𝑎𝑚−1 = 0 𝑦 𝑎𝑚 ≠ 0. Un
cero de orden uno se denomina simple.
Si 𝑓(𝑧) tiene un cero de orden 𝑚 en 𝑧 = 𝑎, entonces podemos reescribir la serie en la forma
𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑚 ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛−𝑚
∞
𝑛=𝑚
= (𝑧 − 𝑎)𝑚∑𝑎𝑚+𝑘(𝑧 − 𝑎)𝑘
∞
𝑘=0
= (𝑧 − 𝑎)𝑚𝜑(𝑧)
donde 𝜑(𝑧) es una función analítica en 𝑎 y 𝜑(𝑎) = 𝑎𝑚 ≠ 0.
Recíprocamente, si 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑚𝜑(𝑧) donde 𝜑(𝑧) es analítica y distinta de cero en 𝑎
entonces 𝑓(𝑧) posee un cero de orden 𝑚 en 𝑎.
Ejemplo Analicemos los ceros de la función 𝑓(𝑧) = sen 𝑧2. Como
sen𝑤 =∑(−1)𝑛 𝑤2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0
entonces, haciendo 𝑤 = 𝑧2
sen 𝑧2 =∑(−1)𝑛(𝑧2)2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0=∑
(−1)𝑛𝑧4𝑛+2
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0= 𝑧2∑
(−1)𝑛𝑧4𝑛
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0= 𝑧2𝜑(𝑧)
donde
𝜑(𝑧) = 1 −𝑧4
3!+𝑧8
5!− ⋯
y
𝜑(0) = 1
Por tanto, 𝑓 tiene un cero de orden 2 en 0.
152
El siguiente resultado relaciona los ceros de orden 𝑚 con los polos del mismo orden como
podríamos suponer.
Teorema 57 Si 𝑓(𝑧) tiene un polo de orden 𝑚 en 𝑎 entonces 1 𝑓(𝑧)⁄ es analítica en 𝑎 y tiene
un cero de orden 𝑚 en 𝑎.
Teorema 5.8 Si 𝑓(𝑧) tiene una singularidad esencial en 𝑎 y 𝑐 es cualquier número complejo,
existe una sucesión {𝑧𝑛} con lim𝑛→∞
𝑧𝑛 = 𝑎 y lim𝑛→∞
𝑓(𝑧𝑛) = 𝑐
Preguntas
1. ¿Cómo se definen los ceros de una función?
2. ¿En qué condiciones una función posee un cero de orden 𝑚?
3. ¿cómo se puede representar una función que posee un cero de orden 𝑚?
4. ¿Qué relación existe entre los polos y los ceros de una función?
Ejercicios
Para cada una de las funciones siguientes, enumera todos los puntos donde la función tiene
un cero, establece su orden.
1. 𝑓(𝑧) =𝑧
𝑧+1
2. 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
(𝑧2+1)
3. 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 − 1
4. 𝑓(𝑧) =1
𝑒𝑧−1
5. 𝑓(𝑧) =(𝑧3−1)
(𝑒𝑧−2)
6. 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑧−1)2
7. Sabemos que sen 𝑧 = 0 si y sólo si 𝑧 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍. Demuestra que cada 𝑧 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍,
es un cero de orden 1 para sen 𝑧.
8. ¿Es cada cero de cos 𝑧 un cero de orden 1?
153
5.6 Residuos Supongamos que 𝑓(𝑧) es analítica en una región agujerada 𝑅 ∶ 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟, 𝑟 > 0 con
un desarrollo de Laurent ∑ 𝐴𝑛(𝑧 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=−∞ válido en esta región. Para cualquier trayectoria
cerrada 𝐶 en 𝐷 cuyo interior contiene al punto 𝑧 = 𝑎,
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= ∑ 𝐴𝑛∫ (𝑧 − 𝑎)𝑛𝑑𝑧𝐶
∞
𝑛=−∞
= 2𝜋𝑖𝐴−1
Es decir, cuando integramos 𝑓(𝑧) alrededor de una trayectoria cerrada que contiene en su
interior la singularidad aislada 𝑧 = 𝑎 y ninguna otra singularidad de 𝑓(𝑧), no queda sino un
múltiplo de un solo coeficiente del desarrollo de Laurent de 𝑓(𝑧): el coeficiente de (𝑧 − 𝑎)−1,
esto significa que una forma alternativa de evaluar la integral
1
2𝜋𝑖∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
consiste en obtener la serie de Laurent de 𝑓(𝑧) alrededor de 𝑧 = 𝑎 y determinar el valor del
coeficiente 𝐴−1. Este extravagante método podría mejorarse si pudiéramos obtener este
coeficiente sin obtener toda la serie de Laurent. Primero llamemos a este coeficiente de un
modo especial.
Sea 𝑓(𝑧) analítica en 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟. El residuo de 𝑓(𝑧) en 𝑎 es el coeficiente 𝐴−1 de
(𝑧 − 𝑎)−1 en la serie de Laurent de 𝑓(𝑧) alrededor de 𝑎 y lo denotamos por Res(𝑓, 𝑎) =
𝐴−1.
Lo primero que podemos observar es que cuando 𝑓(𝑧) es analítica en 𝑎 o si 𝑎 es una
singularidad removible de 𝑓(𝑧), Res(𝑓, 𝑎) = 0.
Ejemplo 5.16 Calculemos la integral por el método antes descrito
∫𝑒𝑧
(𝑧 − 2)2𝑑𝑧
𝐶
donde 𝐶 es una circunferencia centrada en 2 de radio 1.
154
La función 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
(𝑧−2)2 es analítica en la región 𝐷: 0 < |𝑧 − 2|, por lo que 𝐶 está contenida
en la región y contiene en su interior a 𝑧 = 2. Como,
𝑒𝑧 =∑𝑧𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
y como 𝑒𝑧 = 𝑒𝑧−2+2 = 𝑒𝑧−2𝑒2, entonces
𝑒𝑧
(𝑧 − 2)2=𝑒𝑧−2𝑒2
(𝑧 − 2)2=
𝑒2
(𝑧 − 2)2∑
(𝑧 − 2)𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0=∑
𝑒2(𝑧 − 2)𝑛−2
𝑛!
∞
𝑛=0
=𝑒2(𝑧 − 2)−2
1+𝑒2(𝑧 − 2)−1
1+𝑒2(𝑧 − 2)0
2+⋯
Por lo tanto, Res (𝑒𝑧
(𝑧−2)2, 2) = 𝑒², por lo tanto
∫𝑒𝑧
(𝑧 − 2)2𝑑𝑧
𝐶
= 2𝜋𝑖𝑒²
En general, si 𝑓(𝑧) es analítica sobre y dentro de una trayectoria cerrada 𝐶 excepto en el polo
𝑧 = 𝑎 de orden 𝑚 dentro de 𝐶, podemos reescribir la función en la forma
𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)−𝑚𝜑(𝑧) =𝜑(𝑧)
(𝑧 − 𝑎)𝑚
donde 𝜑(𝑧) es analítica en 𝑧 = 𝑎 y 𝜑(𝑎) ≠ 0. Se puede evaluar de dos formas
1
2𝜋𝑖∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
= Res(𝑓, 𝑎) o de la forma 1
2𝜋𝑖∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
=𝜑(𝑚−1)(𝑎)
(𝑚 − 1)!
siendo la segunda evaluación consecuencia de la Fórmula Integral de Cauchy. Una
generalización de este resultado se presenta en el siguiente teorema.
Teorema del Residuo de Cauchy Sea 𝐶 una trayectoria cerrada y 𝑓(𝑧) analítica sobre y
dentro de de 𝐶 con excepción de los puntos 𝑎1, … , 𝑎𝑛 dentro de 𝐶, entonces la siguiente
integral se puede calcular por medio de la suma de los residuos de la función en los puntos
𝑎1, … , 𝑎𝑛,
1
2𝜋𝑖∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶
=∑Res(𝑓, 𝑎𝑘)
𝑛
𝑘=1
155
Para que el cálculo de integrales mediante este procedimiento sea pertinente, se requiere
calcular los residuos de forma eficiente. Para ello, supongamos que 𝑓(𝑧) posee un polo de
orden 𝑚 en 𝑧 = 𝑎, entonces:
𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)−𝑚𝜑(𝑧) =𝜑(𝑧)
(𝑧 − 𝑎)𝑚, válido para 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟
donde 𝜑(𝑧) es analítica en 𝑧 = 𝑎 y 𝜑(𝑎) ≠ 0. Por tanto,
𝜑(𝑧) = ∑𝜑(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑧 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
es decir,
𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)−𝑚𝜑(𝑧) = ∑𝜑(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑧 − 𝑎)𝑛−𝑚
∞
𝑛=0
= 𝜑(𝑎)(𝑧 − 𝑎)−𝑚 +𝜑(1)(𝑎)
1!(𝑧 − 𝑎)1−𝑚 +⋯
+𝜑(𝑚−1)(𝑎)
(𝑚 − 1)!(𝑧 − 𝑎)(𝑚−1)−𝑚 +⋯
Así,
Res(𝑓, 𝑎) = 𝜑(𝑚−1)(𝑎)
(𝑚 − 1)!
donde 𝜑(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑚𝑓(𝑧). En particular, si 𝑎 es un polo simple (𝑚 = 1), Res(𝑓, 𝑎) =
𝜑(𝑎) donde 𝜑(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑓(𝑧).
Teorema 5.9 Sea 𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧) ℎ(𝑧)⁄ donde 𝑔 y ℎ son analíticas en 𝑧 = 𝑎 , 𝑔(𝑎) ≠ 0 y ℎ(𝑧)
tiene un cero simple en 𝑧 = 𝑎, entonces 𝑓(𝑧) tiene un polo simple en 𝑧 = 𝑎 y
Res (𝑓, 𝑎) =𝑔(𝑎)
ℎ′(𝑎)
Teorema 5.10 Si 𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧) ℎ(𝑧)⁄ donde 𝑔 y ℎ son analíticas en 𝑧 = 𝑎, 𝑔(𝑎) ≠ 0 y ℎ(𝑧)
tiene un cero de orden 2 en 𝑧 = 𝑎 entonces
Res (𝑓, 𝑎) =6𝑔′(𝑎)ℎ′′(𝑎) − 2𝑔(𝑎)ℎ′′′(𝑎)
3[ℎ′′(𝑎)]2
156
Ejemplo 5.17 Consideremos la integral
∫𝑒𝑧
(𝑧 − 1)3 sen 𝑧𝑑𝑧
𝐶
Donde 𝐶: |𝑧| = 2. Dado que la función es analítica sobre y dentro de 𝐶 excepto en los puntos
𝑧 = 1, 𝑧 = 0, calculemos los residuos Res(𝑓, 1) y Res(𝑓, 0).
En el caso de 𝑧 = 1, es un polo de orden 3 pues:
𝑓(𝑧) =
𝑒𝑧
sen 𝑧(𝑧 − 1)3
, 𝜑(1) =𝑒
1≠ 0
entonces
Res(𝑓, 1) =𝜑(3−1)(1)
(3 − 1)!=𝜑(2)(1)
2!
Como,
𝜑(1)(𝑧) =𝑒𝑧(sen 𝑧 − cos 𝑧)
sen2 𝑧, 𝜑(2)(𝑧) =
2𝑒𝑧(2 − sen 2𝑧)
sen3 𝑧
entonces
Res(𝑓, 1) =𝜑(2)(𝑎)
2!=𝑒(2 − sen2)
sen3 1
Para 𝑧 = 0, reescribimos la función en la forma
𝑓(𝑧) =
𝑒𝑧
(𝑧 − 1)3
sen 𝑧=𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧)
y ℎ tiene un cero simple en 𝑧 = 0, entonces por el teorema --- 𝑓 tiene un polo simple en 𝑧 =
0 y
Res(𝑓, 0) =𝑔(0)
ℎ(1)(0)=
𝑒0
(−1)3
cos 0= −1
Por lo tanto:
157
∫𝑒𝑧
(𝑧 − 1)3 sen 𝑧𝑑𝑧
𝐶
= 2𝜋𝑖 (𝑒(2 − sen2)
sen3 1− 1)
Ejemplo 5.18 La función 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
𝑧(𝑧2+1) tiene polos simples en 𝑧 = 0, 𝑖, −𝑖.
𝑔(𝑧) = 𝑒𝑧, ℎ(𝑧) = 𝑧3 + 𝑧, ℎ(1)(𝑧) = 3𝑧² + 1
así
Res(𝑓, 0) =𝑔(0)
ℎ(1)(0)=1
1= 1, Res(𝑓, 𝑖) =
𝑔(𝑖)
ℎ(1)(𝑖)=−𝑒𝑖
2 Res(𝑓,−𝑖) =
𝑔(−𝑖)
ℎ(1)(𝑖)=−𝑒−𝑖
2
En el caso en que 𝑓(𝑧) tenga una singularidad esencial en 𝑧 = 𝑎, no tenemos regla alguna
para calcular el Res(𝑓, 𝑎). Debemos determinarlo a partir de la serie de Laurent de
𝑓 alrededor de 𝑎.
Preguntas
1. ¿Cómo se define el residuo de una función en un punto 𝑧 = 𝑎?
2. ¿En qué condiciones una función posee un residuo diferente de cero es?
3. ¿Cómo se calculan integrales utilizando residuos?
4. ¿Cómo se calcula directamente un residuo en 𝑎 sí posee un polo simple ahí?
5. ¿Cómo se calcula directamente un residuo en 𝑎 sí posee un polo doble ahí?
Ejercicios
Encuentra los residuos de cada función en sus singularidades.
1. 𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑧⁻¹
2. 𝑓(𝑧) =𝑧
(𝑧4−1)
3. (𝑧) = csc 𝑧
4. 𝑓(𝑧) = tan 𝜋𝑧
5. 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
(𝑧−1)(𝑧−2)(𝑧−3)
158
6. 𝑓(𝑧) =sen2 𝑧
𝑧3
7. 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑒1
𝑧
8. 𝑓(𝑧) =𝑒𝑧
(𝑧−1)3 sen𝑧
Evalúa las siguientes integrales usando el Teorema del Residuo:
9. ∫ sen (1
2𝑧)𝑑𝑧
|𝑧|=1
10. ∫cos𝑧
(𝑧2+1)𝑑𝑧
|𝑧|=2
11. ∫1
(𝑧3−1)𝑑𝑧
|𝑧|=1
12. ∫(𝑧+2)
𝑧2(𝑧2−1)𝑑𝑧
|𝑧+1|=3/2
159
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ELEMENTOS DE FUNCIONES COMPLEJAS PARA INGENIEROS
Coordinado por Estela de Lourdes Juárez Ruiz,
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