Elementos funciones 2015

1 Nociones generales sobre funciones

1.1 Introduccion

Una funcion, en matematicas, es el termino usado para indicar la relacion o correspondencia entre dos o mas cantidades.El termino funcion fue usado por primera vez en 1637 por el matematico frances Rene Descartes1 para designar unapotencia xn de la variable x.En 1694 el matematico aleman Gottfried Wilhelm Leibniz2 utilizo el termino para referirse a varios aspectos de una curva,como su pendiente. Hasta recientemente, su uso mas generalizado ha sido el definido en 1829 por el matematico aleman,Lejeune-Dirichlet3, quien escribio: una variable es un sımbolo que representa un numero dentro de un conjunto de ellos.Muchas cantidades dependen de otras, por ejemplo:

• Los costos totales de produccion, C, depende de la cantidad q de artıculos a producir.

• El nivel de contaminacion en una determinada region puede depender del numero de vehıculos circulando en la vıa.

• El area de un cırculo depende del radio.

• La presion depende de la temperatura.

Para describir como una cantidad depende o es determinada por otra se usa el concepto de funcion.El estudio de las propiedades de las funciones esta presente en todo tipo de fenomenos que acontecen a nuestro alrededor.Ası, podemos nombrar fenomenos sociales relacionados con crecimientos demograficos, con aspectos economicos, comola inflacion o la evolucion de los valores bursatiles, con todo tipo de fenomenos fısicos, quımicos o naturales, como lavariacion de la presion atmosferica, la velocidad y la aceleracion, la gravitacion universal, las leyes del movimiento,la funcion de onda de una partıcula a escala cuantica, la desintegracion de sustancias radiactivas o la reproduccion de

1Rene Descartes (La Haye, Turena francesa, 31 de marzo de 1596 - Estocolmo, Suecia, 11 de febrero de 1650), tambien llamado Renatus Cartesius,fue un filosofo, matematico y fısico frances, considerado como el padre de la geometrıa analıtica y de la filosofıa moderna, ası como uno de los nombresmas destacados de la revolucion cientıfica.

2Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filosofo, logico,matematico, jurista, bibliotecario y polıtico aleman. Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como el ultimogenio universal. Realizo profundas e importantes contribuciones en las areas de metafısica, epistemologıa, logica, filosofıa de la religion, ası como a lamatematica, fısica, geologıa, jurisprudencia e historia.

3Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Duren, actual Alemania, 13 de febrero de 1805 - Gottingen, actual Alemania, 5 de mayo de 1859) fue unmatematico aleman al que se le atribuye la definicion formal moderna de una funcion. Fue educado en Alemania, y despues en Francia, donde aprendiode muchos de los mas renombrados matematicos del tiempo, relacionandose con algunos como Fourier. Sus metodos proporcionaron una perspectivacompletamente nueva y sus resultados se encuentran entre los mas importantes de las matematicas.


especies vegetales y animales. Casi todo es susceptible de ser tratado a traves del planteamiento y estudio de una o variasfunciones que gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.

1.2 Conceptos Basicos

Variable La variable y es una variable dependiente de la variable x si existe una relacion, que puede estar dado por unaecuacion, en donde el valor de x interviene directamente en el valor y. La variable x es una variable no relacionada con lavariable y si el valor de una no afecta directamente a la otra.

Funcion Sea A el conjunto de valores que puede tomar una variable independiente, y sea B el conjunto de valores parala variable dependiente. Si f es una regla de asociacion entre los elementos de A y B, entonces A, B y f determinan unafuncion, si f asigna a cada elemento x ∈ A un unico elemento y ∈ B llamado f (x) o imagen de x bajo f .

f : A→ B

x→ f (x)

Dominio y Codominio Si se tiene una funcion f definida de un conjunto A en un conjunto B, es decir: f : A→ B,entonces al conjunto A se le llama dominio, y al conjunto B se le llama codominio de la funcion.

Ambito Es el conjunto formado por las imagenes de los elementos del dominio. Se puede denominar por Amb( f ) elambito de la funcion f .

Preimagenes e imagenes A los elementos de A se les llama preimagenes; y a los elementos de Amb( f ) se les llamaimagenes. La imagen es unica; no ası la preimagen.

Grafico Es el conjunto de pares ordenados (x,y).

Grafica Es el conjunto de puntos representados en el plano cartesiano.

Criterio Es una regla de asociacion entre los elementos A y B.

Monotonıa

• Una funcion f : A→ B es estrictamente creciente en un intervalo ]x1,x2[⊂ A si para cualquier par de numeros a,ben ]x1,x2[ tal que a < b, entonces f (a)< f (b).

• Una funcion f : A→ B es estrictamente decreciente en un intervalo ]x1,x2[⊂ A si para cualquier par de numeros a,ben ]x1,x2[ tal que a < b, entonces f (a)> f (b).

• Una funcion f : A→ B es constante en un intervalo ]x1,x2[⊂ A si para cualquier par de numeros a,b en ]x1,x2[ talque a < b, entonces f (a) = f (b).

Los intervalos en los cuales una funcion es estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante se conocen comointervalos de monotonıa.

Positividad y negatividad de una funcion

• f (x) es positiva en un subconjunto M de A si para todos los valores x ∈M , f (x)> 0.

• f (x) es negativa en un subconjunto M de A si para todos los valores x ∈M , f (x)< 0.

Paridad de una funcion Una funcion f (x) con dominio A es:

3

1. Par si f (−x) = f (x), ∀x ∈ A 2. Impar si f (−x) =− f (x), ∀x ∈ A

Interpretacion de una Grafica

Dada la grafica de una funcion es posible determinar su dominio, ambito, intervalos de monotonıa y su signo.

1. En el eje x se puede observar el dominio de una funcion, y en el eje y su ambito.

2. Una funcion es estrictamente creciente si conforme x se desplaza a la derecha, f (x) se desplaza hacia arriba.

3. Una funcion es estrictamente decreciente si conforme x se desplaza a la derecha, f (x) se desplaza hacia abajo.

4. Una funcion es constante si su grafica se mantiene paralela al eje x

5. Una funcion es positiva para los valores de x tales que f (x) se encuentra sobre el eje x

6. Una funcion es negativa para los valores de x tales que f (x) se encuentra bajo el eje x

Dominio Maximo

El dominio maximo real es el mayor subconjunto de R en el cual f (x) esta definida. Hay que revisar:

1. Que no haya division por cero: hay que excluir todos los valores que hagan que los denominadores sean cero.

2. Que los argumentos de las raıces de ındice par no sean numeros negativos: hay que considerar los valores para loscuales el argumento sean mayor o igual a cero.

3. Que los argumentos de los logaritmos no sean numeros negativos: hay que considerar los valores para los cuales elargumento sean mayor a cero.

Transformaciones de funciones

Traslacion vertical

1. La grafica de y = f (x)+ c; c > 0 consiste en trasladar f (x), c unidades hacia arriba.

2. La grafica de y = f (x)− c; c > 0 consiste en trasladar f (x), c unidades hacia abajo.

Traslacion Horizontal

1. La grafica de y = f (x+ c); c > 0 consiste en trasladar horizontalmente a f (x), c unidades hacia la izquierda.

2. La grafica de y = f (x− c); c > 0 consiste en trasladar horizontalmente a f (x), c unidades hacia la derecha.

Elongacion o compresion vertical

1. La grafica de y = c f (x); c > 1 consiste en una elongacion vertical en un factor c de la grafica de y = f (x).

2. La grafica de y = c f (x); 0 < c < 1 consiste en una compresion vertical en un factor1c

de la grafica de y = f (x).

Reflexion

1. La grafica de y =− f (x) consiste en una reflexion con respecto al eje x de la grafica de y = f (x)

2. Si la grafica de y = f (x) pasa por el punto (a,b) entonces la grafica de y =− f (x) pasa por el punto (a,−b)

3. La grafica de y = f (−x) consiste en una reflexion con respecto al eje y de la grafica de y = f (x)

4. Si la grafica de y = f (x) pasa por el punto (a,b) entonces la grafica de y = f (−x) pasa por el punto (−a,b)


Clases de funciones

Funcion Lineal Sea f : R→ R; f (x) = mx+ b donde mindica la pendiente y b el punto de interseccion mejor lla-mado como intercepto. Su grafica es:

Funcion Cuadratica Sea f : R→ R; f (x) = (x+a)2 +b.Su grafica es:

Funcion Cubica Sea f : R→ R; f (x) = x3.Su grafica es:

Funcion radical Sea f : [0,+∞[→ R; f (x) =√

x. Sugrafica es:

5

Valor absoluto La grafica de y = | f (x)| consiste en lagrafica de:

f (x) =

f (x), si x≥ 0

− f (x), si x < 0

Como se puede ver se trata basicamente de una re-flexion parcial de la grafica de y = f (x): el trazopor abajo del eje x se refleja con respecto al eje y.

Funcion Inyectiva

Sea f : A → B , se dice que f es inyectiva si y solo si cada elemento del ambito tiene una y solo una preimagen.

• Se dice que si f es creciente en todo su dominio, entonces f es inyectiva.

• Se dice que si f es decreciente en todo su dominio, entonces f es inyectiva.

Funcion Sobreyectiva

Sea f : A → B , se dice que f es sobreyectiva si y solo si el ambito de f es igual a su codominio.

Funcion biyectiva

Se dice que una funcion f : A → B es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva.

1.3 Operaciones con funciones

Operaciones fundamentales

Sean f : A1→ R y g : A2→ R funciones. A1 y A2 subconjuntos de R. Se denota f + g una nueva funcion que asocia acada x ∈ A1∩A1 con un unico elemento f (x)+g(x). Es decir

f ±g(x) = f (x)±g(x)

De igual manera se define la resta, multiplicacion.

Division Sean las funciones f (x) y g(x) definidas en su dominio maximo, A y B respectivamente, entonces(

fg

)(x) =

f (x)g(x)

.

Su dominio es A ∩ B siempre que g(x) 6= 0

Composicion de Funciones Sean f : A → B , y g : B → C dos funciones reales. La funcion compuesta f ◦g : A → Cesta definida como la funcion.

(g◦ f )(x) = g( f (x))


Funcion Inversa

Toda funcion f : A → B posee una relacion inversa de B en A . Esta relacion no es necesariamente una funcion

Si f : A → B es una funcion real; la funcion inversa f−1 existe sı y solo sı f es biyectva.∀ funcion biyectiva se cumple que

f ( f−1(x)) = x

yf−1( f (x)) = x

2 Funcion Lineal

Definicion 2.1 Una funcion lineal es una funcion cuyo dominio son todos los numeros reales y cuya expresion analiticaes un polinomio de primer grado.

f : R→ R / f (x) = mx+b ∀ a,b ∈ R

El ultimo renglon se lee: f de R en R, tal que, f de equis es igual a mx+b

f : R−→ R, f (x) = 4x+8 m = 4, b = 8f : R−→ R, f (x) =− 1

2 x m = −12 , b = 0

f : R−→ R, f (x) = 13 m = 0, b = 1

3

Ejemplo 2.1

La funcion f : R→ R, f (x) = x, conocida como funcion identidad tiene por grafica la recta que contiene al origen ybiseca los cuadrantes II y III.

La grafica de una funcion de la forma y = mx, se puede obtener, a partir de la grafica de la funcion y = x, mutiplicando lacoordenada y de cada uno de los puntos de la grafica y = x por el factor m.

8 Funcion Lineal

Grafique, en el mismo plano cartesiano, las funciones:

f : R→ R, f (x) = πx h : R→ R, h(x) = 2x

Ejemplo 2.2

SOLUCION:Se sabe que las graficas de h y de f contienen al origen ademas tenemos que la grafica de h es la recta que contiene los pun-tos en los cuales la cordenada y es el doble de la coordenada x, algunos puntos de esta grafica son (1,2), (−1,−2), (2,4).La grafica de f se puede obtener como vimos anteriormente, multiplicando la segunda coordenada de la recta y = x porπ. Por la tanto la grafica de f contiene a los puntos (1,π),(−2,−2π),(π,π2).

Las graficas de estas funciones son:

2.1 La pendiente de una recta

Cuando se conocen dos puntos de una recta (x1,y1) y (x2,y2) con x1 6= x2, y1 = f (x1), y2 = f (x2) se cumple

y1 = mx1 + b ⇒ y1 − mx1 = b y y2 = mx2 + b⇒ y2−mx2 = b.De lo anterior se tiene

y1−mx1 = y2−mx2

mx2−mx1 = y2− y1

m(x2− x1) = y2− y1

m = y2−y1x2−x1

m es una constante para cualquier par de puntos distintos (x1,y1) y (x2,y2) m se llama pendiente de la recta.En general se puede afirmar que las graficas de las funcion, f : R −→ R, f (x) = mx, tienen alguna de las siguientes

9

formas:

2.1.1 ¿Que representa m?

Considere la recta de ecuacion y = 5x+1. La pendiente de la recta es m = 5. Algunos valores de (x, f (x)) se representanen la tabla.

x -2 -1 0 1 2 3f (x) -9 -4 1 6 11 16

Los valores de y aumentan 5 unidadesel incremento en x es ∆x = 1el incremento en y es ∆y = 5

En general:Por cada unidad de incremento en la variable x, la variable y aumenta m unidades.Simbolicamente:

f (x+1)− f (x) = m

m =∆x∆y

A partir de la grafica y = mx, se puede construir la grafica y = mx+ b, para ello basta hacer un traslacion vertical de |b|unidades hacia arriba, si b > 0, y hacia abajo si b < 0.

2.2 Rectas paralelas

Dos rectas `1 : y1 = m1x+b1 y `2 : y2 = m2x+b2 son par-alelas si sus pendientes son iguales.

`1 y `2 ‖ ⇔ m1 = m2

Como `1 y `2 tienen igual pendiente entonces las rectas nose intersecan, es decir, son paralelas.

`1 : y = 4x−3 y `2 : y = 4x+1 son rectas paralelas.

Ejemplo 2.3

10 Funcion Lineal

2.3 Rectas perpendiculares

Dos rectas `1 : y1 = m1x+b1 y `2 : y2 = m2x+b2 son perpendiculares si m1 ·m2 =−1

`1 y `2 ⊥⇔ m1 ·m2 =−1

`1 : y = −23 x+6 y `2 : y = 3

2 x−7 son rectas perpendiculares.

Ejemplo 2.4

3 Funcion Cuadratica

3.1 Definiciones

Se llama funcion cuadratica a la funcion: f : R→ R / f (x) = ax2 +bx+ c donde a,b,c ∈ R y a 6= 0

Definicion 3.1

f : R−→ R, f (x) = 4x2 +8x−2f : R−→ R, f (x) =− 1

2 x2 +7xf : R−→ R, f (x) = 1

3 x2−π

Ejemplo 3.1

• Otra forma de expresar la funcion cuadratica:La expresion y = ax2 +bx+ c tambien se puede expresar en la forma:

y = a(

x+b2

)−(

b2−4ac4a

)Algunas caracterısticas de la funcion cuadratica se pueden estudiar mas facilmente gracias a esta expresion (omi-tiremos los pasos para llegar a esta expresion pero se puede obtener completando cuadrados).

3.2 Grafica de una funcion cuadratica

La grafica de una funcion cuadratica se llama parabola. Es el conjunto de puntos del plano (x,y) dondey = ax2 + bx + c. Para representar la funcion cuadratica se tienen que considerar las siguientes caracterısticas de laparabola:


3.2.1 Concavidad

Una manera sencilla de referirnos a la concavidad es hacia donde “abre” la parabola.

a > 0 a < 0

3.2.2 Vertice

Es el punto extremo de la grafica. Puede decirse que es el punto mas bajo o mas alto de la grafica.

Las coordenadas del vertice estan dadas por el punto:

V =

(−b2a

,−b2−4ac

4a

)Ademas si la parabola es concava hacia arriba (a > 0) el vertice es un punto mınimo de esta curva, mientras que si laparabola es concava hacia abajo (a < 0 el vertice es un punto maximo.Se llama discriminante de la ecuacion ax2 +bx+c = 0 a la expresion b2−4ac y se representa por ∆, ası ∆ = b2−4ac portanto el vertice esta dado por el punto:

V =

(−b2a

,−∆

4a

)En resumen:

a > 0 Concava hacia arriba V =

(−b2a

,−∆

4a

)es el punto mınimo.

a < 0 Concava hacia abajo V =

(−b2a

,−∆

4a

)es el punto maximo.

13

El vertice de la parabola que corresponde a la funcion f : RtoR, f (x) = 2x2 +3x−27 esta dado por:

V =

(−32 ·2

,−(32−4 ·2 ·−27)

4 ·2

)=

(−34

,−225

8

)

Como la parabola es concava hacia arriba pues a = 2 > 0, entonces el punto V =

(−34

,−225

8

)es su punto mınimo.

Ejemplo 3.2

3.2.3 Eje de simetrıa:

Se dice entonces que la recta x =−b2a

es un eje que divide a la parabola en dos partes simetricas.

Eje de simetrıa x =−b2a

3.2.4 Intersecciones con los ejes

3.2.4.1 Interseccion con el eje Y El punto de interseccion de la grafica de una funcion con el eje Y es (0,y). Dadoque f (0) = c entonces el punto de interseccion es (0,c).

La parabola corta al eje Y en (0,c)

3.2.4.2 Interseccion con el eje X: El punto de interseccion de la grafica de una funcion con el eje X es un puntodonde f (x) = 0 por tanto hay que resolver la ecuacion:

0 = ax2 +bx+ c

Esta ecuacion es de grado 2 y puede tener en los numeros reales 2 soluciones, 1 solucion o ninguna solucion.

1. Si ∆ < 0 entonces la ecuacion no tiene solucion y la parabola no corta al eje X .

2. Si ∆ = 0 la unica solucion es x =−b2a

. Por tanto el punto de interseccion es(−b2a

,0)

que tambien es el vertice de

la parabola.

3. Si ∆ = 0 la ecuacion tiene dos soluciones x1 =−b−

√∆

2ay x2 =

−b+√

∆

2a.

3.2.5 Ambito de una funcion cuadratica

Como se analizo antes el vertice es un punto maximo o mınimo segun la parabola sea concava hacia arriba o hacia abajo.

Por esto cualquier imagen se compara con−∆

4aque es el valor de la ordenada en V =

(−b2a

,−∆

4a

).

Entonces:

Concavidad Vertice Ambito

a > 0 hacia arriba V =

(−b2a

,−∆

4a

) [−∆

4a,+∞

[a < 0 hacia abajo V =

(−b2a

,−∆

4a

) ]−∞,−∆

4a

]


3.2.6 Analisis de la funcion cuadratica a partir de la grafica.

• f (x) = ax2 +bx+ c, con a > 0

Ambito :[−∆

4a,+∞

[

Creciente :[−b2a

,+∞

[

Decreciente:]−∞,−b2a

[V: punto mınimo.

f (x)< 0 si x ∈]x1,x2[

f (x)> 0 si x ∈]−∞,x1[∪]x2,∞[

f (x) = 0 si x ∈ {x1,x2}

• f (x) = ax2 +bx+ c, con a < 0

Ambito :]−∞,−∆

4a

]

Creciente :]−∞,−b2a

]

Decreciente:]−b2a

,+∞

[V: punto maximo.

f (x)< 0 si x ∈]−∞,x1[∪]x2,∞[

f (x)> 0 si x ∈]x1,x2[

f (x) = 0 si x ∈ {x1,x2}

4 Funciones exponenciales ylogarıtmicas

4.1 Funcion exponencial

4.1.1 Previos

Antes de iniciar este tema es importante recordar las leyes de potencias:

1. Todo numero elevado a 1 es igual al mismo numero.

x1 = x

2. Todo numero elevado a 0 es 1.x0 = 1

3. Todo numero elevado a un numero negativo es igual a 1 entre la base elevada al mismo exponente, pero positivo.

x−n =1xn

4. En la multiplicacion de numeros de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

xnxm = xn+m

5. En la division de numeros de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes (el resultado de la resta secoloca donde estaba el numero de mayor grado)

xm

xn = xm−n

6. Potencia de una potencia: Se multiplican los exponentes.

(xn)m = xn.m

7. Un numero elevado a una fraccion puede transformarse a una raız; el denominador se convierte en el ındice de laraız y el numerador en el exponente de la base.

xmn = n√

xm

16 Funciones exponenciales y logarıtmicas

4.1.2 Funcion exponencial

La funcion exponencial esta definida por la ecuacion f (x) = ax, a > 0 y a 6= 0 donde la constante a, se llama base y elexponente x, es una variable.

f (x) = ax,a > 1 No interseca al eje xInterseca a y en (0,1)Es crecienteAsıntota en x por la izquierdaDominio: R Ambito: R+

Biyectiva

f (x) = ax,0 < a < 1No interseca al eje xInterseca a y en (0,1)Es decrecienteAsıntota en x por la derechaDominio: R Ambito: R+

Biyectiva

4.1.3 Caracterısticas de la funcion exponencial

1. f recorre todo el eje x, su dominio maximo es R

2. El ambito de f es R+. Es decir, ax > 0; ∀x ∈ R

3. f interseca el eje y en 1. Es decir, la grafica de f pasa por el punto (0,1), dado que a0 = 1; ∀a 6= 0

4. f no interseca el eje x dado que f (x)> 0; ∀x ∈ R

5. f posee asıntota horizontal y = 0. Es decir, cuando x→±∞, f (x)→ 0. Esto significa que cuando x es suficiente-mente grande o pequena, su imagen tiende a cero.

6. Para a > 1, f es estrictamente creciente y para 0 < a < 1, f es estrictamente decreciente. Esto significa que f esinyectiva.

4.1.4 Graficas de Funciones exponenciales

A partir de la funcion exponencial estandar y de los conocimientos sobre transformaciones de graficas, podemos obtenerbuenos bosquejos de otras exponenciales.

17

Transformacion una unidad hacia la izquierda, y=(x+1)=ax+1, a > 1

Transformacion una unidad hacia la derecha, y = f (x) =ax−1, a > 0

Note que cuando la suma o resta esta elevada, junto a la x, las transformaciones son hacia la izquierda y derecha respecti-vamente, sobre el eje x.

Traslacion una unidad hacia arriba,y = f (x)+1 = ax +1, a > 1

Traslacion una unidad hacia abajo,y = f (x)−1 = ax−1, a > 1


Note que cuando la suma o resta esta junto a la x, sin estar elevado, las transformaciones son hacia arriba y abajo respec-tivamente, sobre el eje x.

Reflexion de una grafica y = ax,−ax, a > 1

Cuando f (x) tiene un menos adelante, la funcion se refleja.

4.1.5 Exponencial natural

La funcion exponencial con base e es:

f : R→ R, tal que f (x) = ex

Donde e≈ 2,7182828Dado que 2 < e < 3 la grafica satisface todas las caracterısticas de las funciones exponenciales con base mayor que 1, lagrafica de la esponencial natural es la siguiente:

4.2 Funcion logarıtmica

Una funcion logarıtmica con base a, a ∈ R+, a 6= 1, es una funcion que se denotaf (x) = loga x y esta definida como:

loga x = y⇔ ax = x

Ejemplo. Calcule el valor de log2 32, log3181 , log0,01

19

Solucion

1. log2 32 = y⇔ 2y = 32⇒ y = 5. O sea, log2 32 = 5

2. log3181 = n⇔ 3n = 3−4⇒ n =−4. O sea log3

181 =−4

3. log0,01 = z⇔ 10z = 0,01⇔ 10z = 10−2⇒ z =−2 = log0,01.

4.2.1 Propiedades

Dado que a > 0, a 6= 1

1. loga 1 = 0 2. loga a = 1

Es posible considerar dos casos:

f (x) = loga x, a > 1

f (x) = loga x, 0 < a < 1

Algunas caracterısticas de la funcion logarıtmica son:

1. f recorre todo el eje x positivo, su dominio maximo es R

2. El ambito de f es R. Es decir, loga x ∈ R;∀x > 0

3. f interseca el eje x en 1. Es decir, la grafica de f pasa por el punto (1,0), dado que loga 1 = 0 porque a0 = 1;∀x 6= 0


4. f no interseca el eje y dado que ax > 0; ∀x ∈ R

5. f posee asıntota vertical x= 0. Es decir, cuando x→ 0+, f (x)→±∞. Esto significa que cuando x es suficientementegrande o pequena, su imagen tiende a cero.

6. Para a > 1, f es estrictamente creciente y para 0 < a < 1, f es estrictamente decreciente.

4.2.2 Graficas de funciones logarıtmicas

Es importante notar que estas transformaciones pueden implicar cambios en las caracterısticas anteriores.

Traslacion una unidad hacia la izquierda,y = f (x+1) = loga(x+1), a > 1

Traslacion una unidad hacia la derecha,y = f (x−1) = loga(x−1), a > 1

Traslacion una unidad hacia arriba,y = f (x+1) = loga x+1, a > 1

21

Traslacion una unidad hacia abajo,y = f (x−1) = loga(x−1), a > 1

Reflexion de la grafica y = loga x, y =− loga x, a > 1

4.2.3 Logaritmos naturales

La funcion logaritmo con base e, se denota f (x) = lnx y esta definida como:

lnx = y⇔ ey = y

y = lnx y = ex

4.2.3.1 Composicion de la exponencial y logarıtmica Una funcion y su inversa complen las propiedades: f−1( f (x))=x; ∀x ∈ D f y f ( f−1) = x∀x ∈ D f−1 , al alpicar estas propiedades al caso de las funciones exponenciales f (x) = ax ylogarıtmica f−1(x) = loga x obtenemos:

1. loga ax = x; x ∈ R

2. aloga x = x; x > 0


4.2.4 Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo del producto es igual a la suma de los factores de los logaritmos de cada factor

loga(x.y) = loga x+ loga y

2. El logaritmo del cociente es igual a la resta del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador

logaxy= loga x− loga y

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente y el logaritmo de la base de la potencia

loga(xn) = n. loga x

4. Cambio de base: Es posible reescribir un logartimo de base a a una expresion de logaritms en base n

loga b =logn blogn a

Bibliografıa

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[2] Stewart, J. (2001). Precalculo. 3era Edicion. Mexico: International Thomson Editores.

[3] Sancho, L y Blanco, R. (2012). Matematica para la Ensenanza Media. 1era Edicion, Costa Rica: Edit. UCR.

[4] Bartle, R. (1990). Introduccion al Analisis Matematico. 2da Edicion. Mexico: Limusa.

[5] Porras N., V. (2005). Matematica 11mo; recopilacion de ejercicios, nuevo temario unificado. 3ra Ed. PublicacionesPorras y Gamboa. San Jose, Costa Rica.

[6] Swokowski, E y Cole. J. (2002). Algebra y Trigonometrıa con Geometrıa Analıtica. 10ma Edicion. Mexico: Thom-son Editores, S.A.

Elementos funciones 2015

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