Curso de Elasticidad 2015Ingeniera Civil/Mecnica - Plan 97Materia: Resistencia de Materiales

Prctico 4Tensor de tensiones

Ejercicio 4.1

Responder las preguntas siguientes:

a) Qu es el vector tensin y de qu variables depende? En qu hiptesis se basa lo anterior?

b) Qu afirma el Teorema de Accin y Reaccin?

c) Para un punto P considere la transformacin n 7 f(P,n). Qu demuestra el teorema de existen-cia del tensor de tensiones? Qu es y de qu variables depende la matriz del tensor de tensiones?

d) Qu se entiende por tensin normal y rasante?

e) Qu ecuacin se utiliza para demostrar la ecuacin puntual de balance mecnico? Qu ecuacinse utiliza para demostrar la simetra del tensor de tensiones? Qu conclusin inmediata se obtiene dedicha simetra?

Ejercicio 4.2

La barra de madera de la figura, de seccin transver-sal cuadrada de rea se encuentra sometida a unafuerza directa de valor P . Se pide:

PP

ji

k

a) Escribir la matriz asociada al tensor de tensiones en base {i, j,k}.b) Hallar el vector tensin y sus componentes normal y rasante sobre el plano indicado en la figura.

c) Hallar la matriz asociada al tensor de tensiones en una base solidaria al plano anteriormente men-cionado.

d) Sobre el plano indicado en la figura existe una junta encolada y se cumple < pi/4. Las tensionesde trabajo admisibles para la unin son adm = 7 MPa y adm = 4.2 MPa a traccin y corte respec-tivamente. Determinar el ngulo ptimo para la junta sabiendo que = 25 cm2, calcular la cargamxima de traccin para la pieza Pmax.

Ejercicio 4.3

Sea [T] la matriz del tensor de tensiones en la base ortonormal {i, j,k} en unpunto P . Determinar el versor normal n de un plano que pasa por P y es para-lelo a k, de tal forma que el vector tensin f(P,n) correspondiente a ese planosea tangente al mismo. Puede existir mas de un versor solucin. Analizar loscondiciones de signos de las constantes.

[T] =

a 0 d0 b ed e c

1

Ejercicio 4.4

Una chapa circular de acero tiene una fisura que haceque el material sea poco resistente a traccin y cor-te. Si es necesario utilizar la chapa y sabemos que lamisma estar sometida a las tensiones x = 70 MPa,xy = 35 MPa, y = 35 MPa, xz = yz = z =0, cul debe ser el ngulo que forma el eje x con lafisura para minimizar los efectos de la misma?

x

y

Ejercicio 4.5

Sea [T] la matriz asociada del tensor de tensiones Ten la base ortonormal {i, j,k}, en el punto P de coor-denadas (x, y, z). Determinar la densidad de fuerzasde volumen.

[T] =

3x2 x2 + z2 100x2 + z2 0 200100 200 z2

Ejercicio 4.6

Sea la chapa de la figura compuesta por una aleacinde aluminio de 1/4 in de espesor (1 in = 2.54 cm),con las tensiones aplicadas p1 = 200 MPa y p2 =100 MPa. Determinar el tensor de tensiones corres-pondiente.

p1p1

p2

p2

60

Ejercicio 4.7

La distribucin de tensiones, de acuerdo con la teorade la elasticidad lineal, para la placa semiinfinita deespesor d de la figura, con P = pd, es:

11 = 2p cos3()

pir, 22 = 2p sin

2() cos()

pir,

12 = 2p sin() cos2()

pir.

n

x2

x1

x3

r

P

Las dems tensiones se suponen nulas de acuerdo a la hiptesis de estado plano de tensiones. Sepide:

a) Encontrar las componentes, en la base {e1, e2, e3}, del vector tensin sobre un plano de normalsaliente n en un punto genrico (r, ). Evaluar la tensin para = pi/4.

b) Determinar las componentes normal y rasante del vector tensin hallado en la parte anterior. Eva-luar sus componentes para = pi/4. Verificar que la distribucin de tensiones sobre un semicilindrode radio r = a est en equilibrio con la carga aplicada para cualquier valor de a.

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Ejercicio 4.8

Se considera la pieza de la figura de radio exteriorb = 12.0 cm, radio interior a = 7.5 cm y espesore = 2.0 cm, bajo la accin de las cargas P = 10 kN.Sabiendo que las tensiones r y r son:

r =

(2Ar 2B

r3+D

r

)cos() ,

r =

(2Ar 2B

r3+D

r

)sin() .

Se pide:

P

P

eer

r

a) Calcular utilizando la ecuacin puntual de equilibrio.

b) Hallar TEmx = max{ | a 6 r 6 b,pi/2 6 6 pi/2}. Hallar la tensin mxima TVmxutilizando la teora de vigas, considerando que en la seccin media acta una fuerza directa P y unmomento 1

2P (a + b). Determinar el error relativo que se comete al calcular la tensin mxima por la

teora de vigas.

c) Hallar la tensin rasante mxima TErmx y determinar el error relativo del valor TVrmx calculado

con la frmula de Jouravski.

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Resultados de Prctico 4Tensor de tensiones

Ejercicio 4.2

c) =P

cos2(), =

P

cos() sin().

d) Para B = {i, j,k}: [T]B = P

cos2() cos() sin() 0 cos() sin() sin2() 00 0 0

,donde i = cos()i + sin()j, j = sin()i + cos()j.

e) = 3057, Pmax = 23.8 kN.

Ejercicio 4.3

n =

[(

b

b a)1/2

,( ab a

)1/2, 0

]sgn(a)sgn(b) < 0.

Ejercicio 4.4 = 1651 o = 1639.

Ejercicio 4.5 b = 6x i 2x j 2z k.

Ejercicio 4.6

En estado plano de tensiones [T ] =

259.8 50 050 86.6 00 0 0

.Ejercicio 4.7

a) f = 2p cos2()

pire1 2p cos() sin()

pire2 en = pi/4 f = p

pir(e1 + e2).

b) = 2p cos()pir

, = 0 en = pi/4 =

2p

pir.

Ejercicio 4.8

a) A = P2eN

, B =Pa2b2

2eN, D =

P (a2 + b2)

eN, con N = a2 b2 + (a2 + b2) ln

(b

a

).

= P cos()eN

(3r a

2b2

r3 a

2 + b2

r

).

b) TEmx =2(b2 a2)P

eNa 183.7 MPa, TVmx =

2(a+ 2b)P

e(b a)2 155.6 MPa Error 15.33 %.

c) TErmx 17.0 MPa en r 9.23 cm, TVrmx 16.7 MPa en r 9.75 cm Error 1.96 %

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