1 Capítulo 1. Introducción Capítulo 2. Análisis de tensiones Capítulo 3. ANÁLISIS DE...

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• Capítulo 1. Introducción

• Capítulo 2. Análisis de tensiones

• Capítulo 3. ANÁLISIS DE DEFORMACIONES

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

Analogías entre tensiones y deformaciones

Concepto de deformación

Matriz de deformaciones: Significado de sus componentes

Ecuaciones de compatibilidad

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ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones

Deformaciones producidas por el esfuerzo normal

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Deformaciones producidas por el esfuerzo cortante

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Concepto de deformación: Se denomina deformación a la variación de la distancia relativa entre los puntos de un sólido elástico como consecuencia de una solicitación externa.

Sea P un punto del sólido elástico inicialmente indeformado y Q un punto del entorno infinitesimal de P, tal que:

dr PQ dx. i dy. j dz.k

Analicemos la deformación en el entorno del punto P a través de la transformación que sufre dr bajo la acción de una solicitación externa.

Analizando dicho vector en función de dr podremos estudiar la deformación producida.

Cuando el sólido se somete a una solicitación externa los puntos P y Q pasan a una nueva posición, P’ y Q’.

dr PQ dr

• Una vez producida la deformación el entorno del punto P’ estará representado por un nuevo vector dr’

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Antes de proceder al estudio de la deformación veamos algunas definiciones:

P PP u.i v. j w.k

Q QQ u.i v.j w.k

Las funciones u, v y w:u = u (x,y,z)

v = v (x,y,z)

w = w (x,y,z)

Dependen de la posición del punto en el espacio

Se supone que tanto ellas como sus derivadas son infinitesimos de primer orden (Teoría de los pequeños desplazamientos y deformaciones)

Se supone que son continuas y derivables en el espacio en el que están definidas

•Se denominan vectores desplazamiento, a los vectores que unen las posiciones inicial y final de dichos puntos:

Cuando se produce la deformación los puntos del sólido elástico pasan a ocupar otra posición

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Q P

u x

uy

uz

v x

vy

vz

w x

wy

wz

dr P [M] dr

Teniendo en cuenta que el entorno del punto P’ es infinitesimal, podemos expresar los desplazamientos del punto Q, Q (u’,v’,w’), en función de los del punto P, P (u,v,w), y de sus derivadas primeras mediante un desarrollo en serie de Taylor:

[M ] 12 [M MT ] 1

2 [M MT ] [D] [H]

[D]

ux

12

u y v

x12

uz w

x12

vx u

yvy

12

vz w

y12

wx u

z12

w y v

z wz

[H]

0 12

u y v

x12

uz w

x12

vx u

y 0 12

vz w

y12

wx u

z12

w y v

z 0

Matriz deformación

Matriz giro

Q P [M ] dr

u u u x

dx u y

dy u z

dz

v v v x

dx v y

dy v z

dz

w w w x dx w

y dy w z dz

Q p [D H]dr


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dr [I M ].dr [I H].dr [D].dr

[I H].drTranslación + Giro =

Movimiento de sólido rígido

Deformación

[D].drCambio de dirección

Cambio de módulo =


Deformaciones en el entorno de un puntoEl vector dr’ que representa la transformación en el entorno del punto P, se puede expresar en función de la posición inicial (dr) y de los vectores desplazamiento:

dr dr Q p dr [M].dr

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[D]

ux

12

u y v

x12

uz w

x12

vx u

yvy

12

vz w

y12

wx u

z12

w y v

z wz

x

12 xy

12 xz

12 xy y

12 yz

12 xz

12 yz z

x LxLx

u x dxdx

u x

y Ly

Ly

v y dy

dy v

y

z LzLz

wz dzdz

w z

Deformaciones lineales o longitudinales

En la dirección del eje x

En la dirección del eje y

En la dirección del eje z


Matriz de Deformación. Significado de sus componentes

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tan v x dxdx

v x

tan uy dy

dyu

y

xy v x u

y

[D]

ux

12

u y v

x12

uz w

x12

vx u

yvy

12

vz w

y12

wx u

z12

w y v

z wz

x

12 xy

12 xz

12 xy y

12 yz

12 xz

12 yz z

Deformaciones angulares

xz wx u

z

yz wy v

z


Matriz de Deformación. Significado de sus componentes

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Matriz de Deformación. Criterio de Signos

Deformaciones angulares

Deformaciones lineales

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ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES

• Sin embargo, para que a partir de las componentes de la matriz de deformación obtengamos unos desplazamientos físicamente posibles, se deben cumplir ciertas condiciones de integrabilidad o compatibilidad, que serán necesarias y suficientes:

• Conocido el vector desplazamiento se pueden obtener las componentes de la matriz de deformación fácilmente:

2 2x

y z x

yz

x xz

y xy

z ;

2 2y

x z y

xz

y xy

z xz

y ;

2 2 z

x y

z

xy

z

yz

x

xz

y;

2 yz

y z 2z

y 2 2y

z2

2 xz

x z 2x

z2 2 z

x2

2 xy

x y

2y

x2 2 x

y2

x u x

; y v y

; x w z

xy uy v

x ; xz uz w

x ; yz v z w

y


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ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES• Al igual que las tensiones, las deformaciones son magnitudes de carácter tensorial, es decir, para un mismo punto P del continuo, la deformación depende de la dirección que se considere, se denomina:

[D] u

Vector deformación unitaria, , en una dirección definida por el vector unitario u ), normal a un plano a la transformación:

Las proyecciones de dicho vector sobre las direcciones normal y tangencial al plano, darán lugar a las componentes intrínsecas:

Componente intrínseca normal o deformación longitudinal unitaria

n .u uT[D] u x 2 y 2 z 2 xy yz xz

Componente intrínseca tangencial o deformación transversal unitaria 12 n 2 n

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ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONESDirecciones principales de deformación: Son aquellas en las que la deformación sólo produce cambio de módulo y no de dirección (la componente tangencial del vector deformación es nula):

En la referencia principal, la matriz de deformaciones es diagonal:

[D] u u[DI] u0

(x ) 12 xy

12 xz

12 xy (y ) 1

2 yz

12 xz

12 yz (z )

0

1

2

3

uI

uII

uIII

[D]I,II,III 1 0 00 2 00 0 3

Existen tres invariantes, el primero de ellos representa la variación unitaria de volumen:

e VV 1 2 3 x y z


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ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES El estado de deformaciones en el entorno de un punto puede representarse gráficamente por medio de los Círculos de Mohr en deformaciones:

( C1 ) 0 n2 1

4 n2 n(2 3) 23 0 Centro

2 3

2 , 0

( C2 ) 0 n2 1

4 n2 n(1 3) 13 0 Centro

1 3

2 , 0

(C3 ) 0 n2 1

4 n2 n(1 2 ) 12 0 Centro

1 2

2 ,0


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