CAAPPIITTUULLOO 33 TEENNSSIIOONN E ES SIYY ... · Conceptos de Elasticidad Modelos Matemáticos ....

Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 33

TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIIÓÓNN DDEE

PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFÍÍSSIICCOOSS

División 2

Conceptos de Equilibrio

Conceptos de Elasticidad

Modelos Matemáticos

Versión 2014


1. Introducción

La selección de un elemento de máquina es frecuentemente una actividad muy simple (o de

mediana complejidad) en la cual es necesario calcular sólo tensiones, deformaciones y quizás

desplazamientos para garantizar que en su vida de servicio, el elemento se comporte según

criterios establecidos. Sin embargo la primer etapa de este proceso consiste en estipular

adecuadamente las cargas, las restricciones y los lugares (secciones o puntos) donde existe

mayor riesgo de rotura en la pieza. Luego de ello se deberá plantear la estrategia de cálculo

adecuada siguiendo uno de dos esquemas: MODELOS DE RESISTENCIA DE

MATERIALES (Básico) o MODELOS DE LA TEORIA DE ELASTICIDAD (mejorados).

Las solicitaciones o cargas

Toda pieza que forma parte de una máquina se halla sometida a una serie de solicitaciones

que le confieren un determinado estado de desplazamientos, deformaciones y tensiones. Las

solicitaciones o cargas, dependiendo de su esencia y características pueden clasificarse en los

siguientes grupos

a) Según su Ubicación

a.1) Externas: son todo tipo de cargas que actúan fuera del contorno superficial de la

pieza o del dominio. Ejemplo: Cargas lineales, puntuales, etc.

a.2) Internas: Son todo tipo de cargas que actúan dentro del contorno superficial de la

pieza o del dominio. Ejemplo: Peso propio.

b) Forma de aplicación:

b.1) Puntuales: son aquellas cuya acción puede considerarse localizada (caso

idealizado)

b.2) Lineales: se hallan distribuidas en una línea (caso idealizado)

b.3) Superficiales: Se hallan distribuidas en una superficie. Las fuerzas de contacto

son un ejemplo clásico de este tipo de solicitaciones

b.4) Volumétricas: Se hallan distribuidas sobre un volumen. La gravedad y las fuerzas

inerciales son dos ejemplos clásicos de este tipo de fuerzas.

c) Según su tiempo de aplicación

c.1) Estáticas o estacionarias: Estas fuerzas no varían con el tiempo y se suponen

constantes siempre.

c.2) Quasi-estáticas: Van creciendo desde cero a su valor máximo siguiendo una

variación temporal muy lenta.

c.3) Transitorias: Estas cargas varían con el tiempo, sin embargo poseen características

de amortiguación que las conducen a un valor estacionario. Ejemplos de este tipo de

carga son las cargas por impacto, las cargas en los amortiguadores de un vehículo, etc.

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c.4) Cíclicas: Poseen una variación repetitiva en ciclos. Ejemplo: las cargas que

soporta el perno de pistón de una máquina de combustión interna.

d) Según el patrón de tensiones que origine

d.1) Normales: tractivas, compresivas o flexionales.

d.2) Transversales: por corte o por torsión

d.3) Mixtas: Normales y transversales.

e) Según su esencia física.

e.1) Mecánica: se lleva a cabo mediante contacto o aplicación de presiones

e.2) Térmica: Genera estados de tensiones por dilatación.

e.3) Magnética: Originada por campos electromagnéticos. Ejemplo los frenos y

acoplamiento electrodinámicos.

Casos de carga a) y b)

Figura 3.3. Ejemplos típicos de diferentes tipos de carga

Figura 3.4. Reducción de una carga general como combinación de casos conocidos

En la Figura 3.3 se muestran ejemplos con los diferentes tipos de cargas enumeradas más

arriba. En la Figura 3.4 se puede apreciar una forma típica de reducción de una carga no

estándar a una combinación de casos conocidos. Se debe tener presente que esta clasificación

no es en absoluto rígida e inamovible, dado que se puede presentar en combinaciones de los

casos de cargas a) con los b) o con los c) y así siguiendo.

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Los vínculos y las reacciones de vínculo

Un “elemento de máquina”, por su misma concepción física, posee movimiento. Al ser

analizado, calculado, etc. tal elemento requiere de cumplimentar un conjunto de condiciones

para poder representar su funcionamiento con un esquema matemático. Es claro que el

“elemento de máquina” puede estar conectado a otras piezas de diferentes maneras para

cumplimentar diferentes acciones. Un ejemplo clásico de ello es una biela de un motor, la cual

se halla conectada a un pistón y a un cigüeñal.

Un vínculo es básicamente una restricción al movimiento, de tal forma que el cuerpo puede

quedar inmóvil y rígido en el espacio si se restringen todos los grados de libertad que posee.

Asociado con la restricción al movimiento, lo que significa fijar un desplazamiento de valor

determinado (casi siempre nulo), hay una fuerza o solicitación o carga denominada “reacción

de vínculo”.

Los vínculos se pueden clasificar según los grados de libertad que restrinjan o bien según las

reacciones de vínculo que presenten, dependiendo del tipo de movimiento que se favorezca,

así por ejemplo en el caso de elementos ubicados en un plano se tiene:

a) Biela o Cable: tanto una como otro poseen una reacción de vínculo de carga a lo largo

del eje de la misma, tal como se muestra en Figura 3.5.a.

b) Rodillo o corredera: posee una reacción en la dirección restringida, si se halla en un

plano, tal como se muestra en Figura 3.5.b

c) Articulación: Posee dos reacciones de carga en las direcciones restringidas, tal como

se ve en al Figura 3.5.c

d) Empotramiento: Posee dos restricciones de tipo carga y una de tipo momento, según

se ve en la Figura 3.5.d

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.5. Tipos de reacciones de vínculo posibles en el plano

Las reacciones de vínculo puestas en consideración en Figura 3.5, se pueden generalizar sin

complicaciones al caso tridimensional. Mayores detalles y más casos de vínculos se darán en

el Capítulo 3, donde se analizarán desde un punto de vista cinemático.

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2. El Equilibrio

El Equilibrio Estático

Una forma sencilla de analizar una pieza que posee movimiento, es considerarla estáticamente

equilibrada y/o determinada, lo cual significa conocer en un instante y circunstancias fijadas

todas (activas y reactivas) las fuerzas que actúan en la pieza.

Figura 3.6. Cuerpo Genérico sometido a la acción de cargas.

Entonces un cuerpo, como el de la Figura 3.6, se hallará en equilibrio estático cuando se

satisfagan las siguientes condiciones:

0F

N

1i

i

(3.12)

0FrM

N

1i

ii

N

1i

i

(3.13)

Téngase presente que (3.12) y (3.13) poseen significado vectorial. Estas dos ecuaciones se

pueden descomponer en las siguientes seis:

0F

N

1i

X

, 0F

N

1i

Y

, 0F

N

1i

Z

(3.14.1-3)

0M

N

1i

X

, 0M

N

1i

Y

, 0M

N

1i

Z

(3.15.1-3)

Un cuerpo que deba ser analizado en el espacio requiere del cumplimiento de las seis

ecuaciones (3.14.1-3) y (3.15.1-3). Si se pueden efectuar hipótesis de reducción para

representar el problema del equilibrio en un plano o bien en una línea, la cantidad de

ecuaciones a verificar será menor: Por ejemplo en el caso de una barra sometida a tracción

con eje coincidente con X, será necesario cumplir con (3.14.1), en cambio, en el caso de una

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viga con eje en la dirección X, será necesario verificar las ecuaciones (3.14.1), (3.14.2) y

(3.15.3).

El Equilibrio Dinámico

El caso de equilibrio más general, que también cubre al anterior, es el equilibrio dinámico. En

estas circunstancias se verificará equilibrio siempre que se cumplan las siguientes ecuaciones:

amF

N

1i

i .

(3.16)

dt

HdFrM

N

1i

ii

N

1i

i

(3.17)

siendo en las dos anteriores m la masa, a la aceleración lineal y H el momento cinético. Es

claro que (3.16) y (3.17) reproducen (3.12) y (3.13) respectivamente, cuando existe

conservación de cantidad de movimiento (o momentum lineal) y momento cinético.

Análisis del equilibrio: Diagramas de cuerpo libre

Una de las formas típicas de efectuar un análisis del equilibrio es por medio de un diagrama

de cuerpo libre. Así como ejemplo en el Figura 3.7 se puede observar el caso simple de

equilibrio estático de un freno de doble zapata externa junto con su diagrama de cuerpo libre

en cada una de sus partes constituyentes.

(a) (b)

Figura 3.7. Ejemplo de diagrama de cuerpo libre y su descomposición en partes constituyentes.

(Extractada de Figura 3.6 referencia [2])

En la Figura 3.7 se observa la representación esquemática del freno de zapatas externas y sus

diagramas de cuerpo libre. Obsérvese que sobre la palanca en L, al costado superior derecho,

ya se ha efectuado el equilibrio de momento a partir de aplicar la geometría. En la Figura 3.8

se puede apreciar un problema real de análisis de un pedal de accionamiento y su diagrama de

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cuerpo libre asociado. Estos dos ejemplos muestran dos facetas importantes del diagrama de

cuerpo libre como modelo reducido de la realidad. El primero obtiene el diagrama de cuerpo

libre desde un esquema y el segundo directamente de la realidad. En el segundo caso también

se podría haber efectuado un esquema simplificativo previo al diagrama de cuerpo libre (Ver

Figura 3.9), sin embargo la simplicidad del caso no lo amerita. Para un análisis profundo y

claro es necesario ser prudente a la hora de prescindir de un esquema.

(a) (b)

Figura 3.8. Ejemplo de realidad y su diagrama de cuerpo libre asociado.

Figura 3.9. Esquema simplificado del caso de la Figura 3.8.

Ahora bien establecidos los diagramas o modelos sintetizados de la estructura o pieza, se

impondrán a ella las correspondientes condiciones de equilibrio que el problema amerite, las

(3.12) y (3.13) o las (3.16) y (3.17) según sea estático o dinámico respectivamente.

La selección del modelo de cálculo: Resistencia de Materiales o Mecánica del

continuo

Una vez asegurado el equilibrio se deberá efectuar el análisis por resistencia, involucrando los

conceptos, modelos y enfoques de resistencia de materiales. En estas circunstancias es

necesario determinar de acuerdo con la forma de la pieza, el modo deformación relevante:

tractivos, compresivos, cortantes, flexionales, torsionales, de pandeo, etc. a la vez de

determinar sus correspondientes estados de esfuerzos internos y de tensiones. Es claro que

para efectuar el análisis siguiendo alguno de los casos de deformación mencionados, la pieza

se debe ajustar fuertemente a las hipótesis que se imponen para los casos de deformación

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mencionados. Tales hipótesis son, en determinadas circunstancias, difíciles de cumplimentar

en piezas reales que poseen geometría bastante apartada al modelo - a modo de ejemplo - de

viga bajo torsión o flexión. En estos casos es necesario recurrir a otras formas de análisis o

cálculo, disponibles en la Teoría de Elasticidad bidimensionales o tridimensionales, que son la

base fundamental para entender los cálculos de los programas de Elementos Finitos, mediante

metodologías de CAD-CAM-CAE.

Para aclarar el interrogante de que modelo utilizar se puede observar la Figura 3.10, donde se

exponen los particulares de selección y preferencia de un criterio de modelación por sobre

otro. Es decir que los modelos basados en descripciones 2D o 3D de la teoría de la elasticidad,

empleando principios de mecánica del contínuo poseen mayor grado de representatividad

(entiéndase cercanía con la realidad que modelan) que su contraparte unidimensional más

típica de las teorías simplificadas de resistencia de materiales. Sin embargo tales modelos

tienen la desventaja de no ser reducibles al uso de simples fórmulas de cálculo, debiendo ser

resueltos en plataformas computacionales por métodos numéricos.

Figura 3.10. Esquema de selección de modelos de cálculo.

En la Figura 3.11 se muestra el enfoque de modelación de un diente de engranaje basado en

una teoría de resistencia de materiales, reduciendo el modelo físico a un modelo de viga

empotrada-libre resistiendo por flexión. Nótese que esta simplificación es muy restrictiva y

como se verá en el capítulo de dimensionado de engranajes, requiere de una serie de

modificaciones (entiéndase coeficientes de forma o concentraciones de tensiones, etc.) para

acercar el modelo a los estados de tensiones existentes en el diente del engranaje. En las

Figuras 3.12 y 2.13 se muestran modelos de la elasticidad 2D y 3D respectivamente,

empleando el método de elementos finitos para la solución de las ecuaciones de la elasticidad

correspondientes. Nótese que en estos últimos dos casos la representación geométrica es casi

similar a la realidad que se pretende modelar a diferencia del caso de la Figura 3.11.

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Figura 3.11. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Unidimensional.

Figura 3.12. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Bidimensional. (Referencia [4])

Figura 3.13. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Tridimensional. (Referencia [5])

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3. Revisión de Principios de Elasticidad

Breves Conceptos Introductorios y Nociones del Medio Continuo

En este apartado se describen sucintamente algunos tópicos de elasticidad lineal. En el

trascurso de tal descripción no se abundará en detalles precisos de deducciones ni

demostraciones por considerarlas fuera de los alcances de estas notas de curso, sin embargo el

lector interesado podrá recurrir a la bibliografía indicada oportunamente para obtener mayores

explicaciones. En consecuencia el material de estas notas tendrá solamente el ánimo de ser

sustancialmente sintético y suficiente como para servir de repaso a los homónimos contenidos

de las asignaturas de Estabilidad I y II, a la vez de sustentar las bases para las explicaciones de

determinadas correcciones a las teorías de resistencia de materiales, como por ejemplo, el uso

de factores de concentración de tensiones, etc.

Los conceptos que se utilizarán en este apartado del Capítulo 2, son más generales que los

involucrados en las teorías de Resistencia de Materiales, y estas últimas, como se verá son

casos particulares de los modelos derivados de la teoría de la Elasticidad.

Luego de seguir los cursos de resistencia de materiales, se puede entender claramente, que un

cuerpo sometido a la acción de solicitaciones (activas o reactivas) presentará un estado de

tensiones internas en cada punto, que desaparecerá si desaparece el estado de solicitación,

obviamente en tanto que el material se comporte en forma lineal elástica. Asociado con el

estado particular de tensiones existe un estado particular de deformaciones y un estado de

desplazamientos, propios del tipo de solicitación ejercida. Para identificar con mayor claridad

este punto, considérense los ejemplos que se muestran en la Figura 3.14, de un mismo cuerpo

(una viga) sometido a dos solicitaciones distintas, una tractiva y la otra flexional. La Viga

posee longitud L, área A y momento de inercia I.

Figura 3.14. Ejemplo de diferentes solicitaciones y estados de tensiones en una misma pieza

En la Tabla 3.3 se puede apreciar las diferencias entre el estado tensional, las deformaciones y

los desplazamientos en todo el dominio, siguiendo las teorías típicas de resistencia de

materiales. Nótese que en el caso de flexión el desplazamiento lateral flexional, depende solo

de la variable axial x.

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Caso de Tracción Caso de Flexión

Valor de la Tensión A

Pxxx )(

I

yxLPyxxx

)(),(

Valor de las deformaciones L

L

EA

Pxxx

)(

EI

yxLPyxxx

)(),(

Valor de los desplazamientos xL

Lx

EA

Pxux

)(

EI6

xxL3Pyxu

2

y

)(),(

Tabla 3.3. Comparación de los estados de tensión, deformación y desplazamiento para tracción y flexión.

En los casos expuestos en Tabla 3.3, queda claro que los valores de tensiones, deformaciones

y desplazamientos, son los más representativos para las hipótesis que oportunamente fueron

hechas al elaborar los modelos simplificados bajo criterios de resistencia de materiales. Esto

significa que existen tensiones, deformaciones y desplazamientos en otras direcciones cuyos

valores son muy pequeños y pueden considerarse nulos frente a los presentados en Tabla 3.3.

Sin embargo, para cuerpos de forma general no se puede asegurar la simplicidad de

representación, antes bien, la forma matemática que adoptan los desplazamientos,

deformaciones y tensiones, será compleja y en el común de tales casos no será posible

obtenerla como una función algebraica. A su vez, en casos generales, si la complejidad

geométrica del cuerpo o pieza es importante no será posible despreciar componentes de

tensión frente a otras, de no ser que exista plena seguridad del comportamiento o una

condición geométrica que lo avale.

Para no abundar en mayores prólogos se darán a continuación esbozos muy elementales de

conceptos de mecánica del continuo para poder entender algunos aspectos claves y básicos de

modelación computacional.

La definición convencional de medio continuo, lo concibe como a un conjunto de partículas

que forman parte de un sólido (pudiendo ser también un líquido o un gas según sea el caso)

que se analiza sin que exista o se presuponga discontinuidad entre las partículas que lo

componen. Esto significa que toda la representación analítica-matemática del medio

contínuo se puede llevar a cabo con funciones continuas.

Los desplazamientos, deformaciones y tensiones de un cuerpo, tendrán entonces la forma de

funciones continuas. Cada punto del cuerpo tendrá un conjunto de entidades que definirán su

estado de tensiones y de deformaciones y desplazamientos. Tales entidades que pueden ser

vectoriales o tensoriales son representadas en la Tabla 3.4, con las componentes del

desplazamiento, de la deformación y de la tensión en un punto. Así, se puede observar que el

desplazamiento de un punto vendrá dado por tres componentes asociadas a todo vector en el

espacio. La deformación y la tensión, cada una viene representada por nueve componentes de

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los denominados tensores de deformación y de tensión. Estos tensores se representan

matemáticamente con formas matriciales.

Entidad (Vectorial o Tensorial) Componentes de la Entidad

Desplazamiento (Vectorial) zyx uuuu ,,

Deformación (Tensorial)

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Tensión (Tensorial)

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Tabla 3.4. Elenco de Variables en un punto material de un cuerpo

Para identificar la ubicación de las componentes de los tensores de deformación y de tensión

se recurrirá a la Figura 3.15, donde se muestra el significado de los subíndices en un ejemplo

del plano XY.

Figura 3.15. Convención de las componentes de tensión (idem para deformación).

En la Figura 3.15 se puede apreciar la distribución de las componentes del tensor de tensiones

en un elemento diferencial de volumen. Por equilibrio de momentos, empleando (3.15) se

pueden obtener las siguientes relaciones:

yzzy

zxxz

yxxy

(3.18)

Otro tanto puede demostrarse para las componentes de deformación (ver referencia [6],

cap.2), en consecuencia:

yzzy

zxxz

yxxy

(3.19)

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Figura 3.16. Descripción de las componentes de tensión en un cubo elemental.

Ecuaciones de equilibrio interno estático

Así pues, un cuerpo bajo solicitación estática tendrá un estado de equilibrio particular y

determinado que puede representarse en función de las tensiones producidas por las

solicitaciones. Tal estado de equilibrio viene dado por el siguiente conjunto de ecuaciones

diferenciales.

0fzyx

0fzyx

0fzyx

zzzzyzx

y

yzyyyx

x

xzxyxx

(3.20)

Siendo fx, fy y fz las fuerzas distribuidas por unidad de volumen y ij las tensiones actuantes en

un punto proyectadas en las direcciones del sistema de referencia

Para entender de donde surgen estas ecuaciones se deducirá la primera de ellas. Si se observa

el elemento de volumen diferencial de la Figura 3.17, se podrá notar que empleando la

ecuación (3.14.1) correspondiente al equilibrio estático en la dirección X, se tendrá:

0dVfdxdzdxdzdydz

dxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

F

xxzxyxx

xz

xz

xy

xy

xx

xxX

(3.21)

Simplificando términos de igual valor y dividiendo ambos miembros por el volumen

elemental dV=dxdydz, se obtendrá la ecuación (3.22) que es la primera de las (3.20).

0fzyx

x

xzxyxx

(3.22)

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La obtención de las restantes dos ecuaciones de (3.20) se deja al lector dado que el

procedimiento es el mismo, obviamente recurriendo a las ecuaciones (3.14.2) y (3.14.3)

respectivamente.

En resumen el equilibrio interno de un cuerpo sometido por cargas

estáticas, queda definido si se cumplen las ecuaciones (3.18) y (3.20).

Ecuaciones de Equilibrio Externo.

El cuerpo no solamente se hallará bajo tensiones internas, sino que al estar vinculado al

medio, deberá verificar un equilibrio entre las tensiones externas actuantes en el contorno del

mismo. Estas ecuaciones vienen dadas por la siguiente expresión:

zzzzyzyxzx

yzyzyyyxyx

xzxzyxyxxx

Tnnn

Tnnn

Tnnn

(3.23)

siendo {nx, ny, nz} las componentes del vector normal al plano oblicuo (ver Figura 3.17) y

{Tx, Ty, Tz} son las componentes del vector de tensión distribuida en la superficie.

Para deducir la primer ecuación de (3.23), se efectúa el equilibrio de fuerzas actuantes la

dirección X según se muestra en la Figura 3.17. De manera que empleando la (3.14.1) se

obtiene:

0dATdAndAndAnF xzxzyxyxxxX (3.24)

Simplificando términos de igual valor y dividiendo ambos miembros por el volumen

elemental dA, se obtendrá la ecuación (3.25) que es la primera de las (3.23).

xzxzyxyxxx Tnnn (3.25)

Figura 3.17. Descripción de las componentes de tensión superficial.

La ecuación (3.23) se puede escribir de la siguiente forma matricial:

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z

y

x

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

T

T

n

n

n

(3.26)

Esta expresión es de mucha utilidad para entender la obtención de las tensiones principales en

un punto.

Las tensiones principales

Si se considera un estado tensional particular en un punto cualquiera P, como por ejemplo el

que se muestra en la Figura 3.18 (recordar que se trata de un volumen diferencial), en tal

punto serán las tensiones principales cuando el tensor de tensiones quede diagonalizado, es

decir cuando se puede obtener la transformación (3.27), mientras que las direcciones

principales serán las direcciones asociadas con cada tensión principal, las cuales son

ortonormales las unas a las otras.

3

2

1

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

00

00

00

(3.27)

Figura 3.18. Punto P y plano de tensiones principales.

En (3.27) se cumple que 1 2 3. Para obtener el tensor de tensiones diagonalizado, se

puede recurrir a la expresión (3.26) en la cual el vector de fuerzas por unidad de superficie se

recompone en función del vector unitario normal del plano y una constante “”. Es decir:

z

y

x

z

y

x

z

y

x

n

n

n

000000

n

n

n

T

T

T

(3.29)

Entonces, reemplazando (3.29) en (3.26) y operando queda:

000

n

n

n

n

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ˆ.

(3.30)

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Se puede observar que (3.30) es la forma canónica para la resolución del problema de

autovalores. De tal forma que para que exista solución se debe cumplir que:

0Det . (3.31)

Luego se obtendrá la ecuación característica del problema de autovalores:

032

2

1

3 III (3.32)

donde I1, I2 e I3 son los invariantes de primer, segundo y tercer orden dados por:

xzyzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx3

2

xz

2

yz

2

xyzzxxyyzzyyxx2

zzyyxx1

2

I

I

I

(3.33)

De las raíces la ecuación (3.32) se obtiene los valores de las tensiones 1 2 3.

Si se posee un sistema de álgebra simbólica como por ejemplo Mathematica o Matlab, se

puede resolver directamente el problema de autovalores y autovectores. Los autovectores

corresponderán a las direcciones principales.

Se recordará que en un estado de tensiones principales, las tensiones cortantes son nulas. Sin

embargo las tensiones cortantes máximas se pueden obtener en función de las tensiones

principales de la siguiente manera

2

2121

, ,

2

32

32

, ,

2

31

31

, (3.34)

Es claro que las (3.34) tendrán siempre valores positivos, en tanto que se cumpla 1 2 3.

En la Figura 3.19 se puede apreciar la representación del estado de tensiones principales y las

tensiones de corte máximas.

Figura 3.19. Representación del estado de tensiones principales y las tensiones de corte máximas.

Si se suprimen las tensiones en la dirección Z (es decir zx, zy y zz) se obtendrá el clásico

diagrama del círculo de Mohr, del cual no se abundará en material teórico por considerarlo

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suficientemente descripto en los cursos de Estabilidad I y II. Sin embargo en el Apéndice 3, se

ofrece material suplementario para el cálculo de tensiones principales en dos o tres

dimensiones.

Las tensiones en planos octaédricos

En ciertas circunstancias es muy útil representar las tensiones en un volumen octaédrico en

vez de un elemento cúbico con las tensiones principales. En la Figura 3.20 se muestra la

orientación delos planos octaédricos y su relación con los planos del cubo convencional, de tal

manera que las tensiones en un plano octaédrico vienen representadas por solo dos

componentes. Estas componentes octaédricas son la tensión normal octaédrica no y la

tensión tangencial octaédrica to, las cuales son las mismas para cada plano octaédrico,

según se desprende de la Figura 3.20. Esto significa que:

- Las ocho tensiones normales octaédricas tienden a comprimir o a estirar el octaedro

pero no lo distorsionan.

- Las ocho tensiones tangenciales octaédricas distorsionan el octaedro pero no

modifican su volumen.

Las tensiones octaédricas se calculan de la siguiente forma.

23,2

23,1

22,1

2

31

2

32

2

21to

2xz

2yz

2xy

2

yyzz

2

zzxx

2

yyxxto

zzyyxx321no

3

2

3

1

63

1

3

1

3

1

(3.35)

Figura 3.20. Representación del estado de tensiones octaédricas.

El verdadero impacto e importancia de las tensiones octaédricas se verá en el planteo de las

teorías de rotura en los próximos capítulos.

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El tensor de deformaciones

Se recordará del curso de Resistencia de Materiales, que la deformación unitaria axial () se

define matemáticamente como:

original Longitud

promedio Elongación (3.36)

Si se observa la Figura 3.21.a se podrá concluir que las deformaciones normales en las tres

direcciones de referencia serán

x

x

0xxx

lim ,

y

y

0yyy

lim ,

z

z

0zzz

lim (3.37)

Si se observa la Figura 3.21.b (referida estrictamente a lo que ocurre en los planos

perpendiculares al eje Z), las deformaciones transversales serán dadas

yxyx0x

xyx

y

tanlim , yzyz

0yyz

y

z

tanlim , zxzx

0zzx

z

x

tanlim (3.38)

xzxz0x

xzx

z

tanlim , yxyx

0yyx

y

x

tanlim , zyzy

0zzy

z

y

tanlim (3.39)

Recuérdese que las expresiones (3.38) y (3.39) se verificarán siempre y cuando se considere

desplazamientos y deformaciones infinitesimales. Nótese que en la Figura 3.21.a se indica a

su vez el efecto Poisson.

(a) (b)

Figura 3.21. Representación de las deformaciones unitarias normales y transversales (en sentido ingenieril).

En la Tabla 3.4, se ha introducido el tensor de deformaciones como entidad para identificar

las variables puestas en juego en el problema de elasticidad. En el tensor de deformaciones

xy, xz, yx, yz, zx y zy representan deformaciones transversales, sin embargo en las

expresiones (3.38) y (3.39) las deformaciones transversales se han representado con otros

símbolos, es decir xy, xz, yx, yz, zx y zy La diferencia entre las primeras y las segundas

(denominadas representación ingenieril de las deformaciones transversales) se pone de

manifiesto en la Figura 3.22 comparándola con la Figura 3.21.b y cuya descripción

matemática se rige por la siguiente expresión:

ijij 2 (3.40)

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Figura 3.22. Representación de las deformaciones unitarias

En consecuencia el tensor de deformaciones puede ser representado por alguna de las

siguientes expresiones.

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

22

22

22

//

//

//

(3.41)

De la misma manera que se ha hecho para el tensor de tensiones, con el tensor de

deformaciones se puede obtener un estado de deformaciones principales, por medio de la

diagonalización , o bien resolviendo el problema de autovalores y de autovectores asociado

con la matriz .

La concepción del tensor de deformaciones dada por las ecuaciones (3.36) a (3.39), se ha

efectuado según planteos geométricos simplificados (siguiendo algunos esquemas de la

referencia [2]), que permiten entender gráfica e intuitivamente el concepto de deformación y

sus diferentes componentes a partir de las Figuras 3.21 y 2.22. No obstante los componentes

del tensor de deformaciones (3.41) se pueden representar en una forma más apropiada para

efectuar cálculos y describir los modelos de comportamiento. Esta forma de representación

recurre a las funciones de los desplazamientos en los puntos del cuerpo (ver referencia [6]),

que vienen definidos por las siguientes expresiones:

),,( Zdir. desp.

),,(Y dir. desp.

),,(X dir. desp.

zyxu

zyxu

zyxu

z

y

x

(3.42)

Con los desplazamientos (3.42) se pueden obtener los componentes del tensor de

deformaciones de la siguiente manera (ver referencia [6]):

z

u

y

ux

u

Normales

zzz

y

yy

x

xx

(3.43)

Versión 2014


z

u

y

u

2

1

22

x

u

z

u

2

1

22

x

u

y

u

2

1

22

esTangencial

yzzyyz

zyyz

zxxzxz

zxxz

yxyxxy

yxxy

(3.44)

Si se conociera el campo de desplazamiento (3.42) se podrían conocer las deformaciones en

cada punto y en consecuencia el tensor de deformaciones. Sin embargo aun conociendo las

deformaciones es necesario que las mismas verifiquen las condiciones de compatibilidad

(3.45), las cuales son imprescindibles para garantizar que en todo punto exista un solo estado

de desplazamientos, deformaciones y tensiones, para evitar configuraciones de deformación

como la que se muestra en la Figura 3.23

0zyxxyz

0zyxyzx

0zyxzyx

0yx

2yx

0xz

2xz

0yz

2yz

xyxzyzxx

2

xyxzyzyy

2

xyxzyzzz

2

xy

2

2

xx

2

2

yy

2

xz

2

2

zz

2

2

xx

2

yz

2

2

zz

2

2

yy

2

(3.45)

Figura 3.23. Deformaciones-desplazamientos compatibles (a) y no compatibles (b) para

Las Ecuaciones constitutivas

Las ecuaciones constitutivas identifican matemáticamente el comportamiento del material,

relacionando los estados de tensiones con los estados de deformaciones. La ley de Hooke

dada por la ecuación (3.46), es una ecuación constitutiva para el problema de tensiones

Versión 2014


uniaxiales, siendo , E y , valores escalares que representan la tensión axial normal, el

módulo de elasticidad normal y la deformación axial, respectivamente.

E (3.46)

Ahora bien en la expresión (3.47) y (3.48) se representan las formas genéricas

tridimensionales de tensiones a deformaciones y viceversa

D (3.47)

C (3.48)

Donde

xyxzyzzzyyxx ,,,,, (3.49)

xyxzyzzzyyxxxyxzyzzzyyxx 222 ,,,,,,,,,, (3.50)

21

21

21

000000000000000000100010001

211

ED (3.51)

120000001200000012000000100010001

E

1DC 1 (3.52)

Siendo E y el módulo de elasticidad normal y el coeficiente de Poisson respectivamente.

Nótese que (3.52) se puede obtener como la inversa de (3.51) y viceversa.

Se debe tener siempre presente la diferencia entre y o y . En el caso de una barra

sobre la letra, se entiende un vector en el sentido de las expresiones (3.49) o (3.50), pero en el

caso de doble barra sobre la letra se tratará de un tensor como en la Tabla 3.4.

Las expresiones (3.47) y (3.48) se entenderán válidas para un material isótropo, homogéneo y

lineal, tal como el acero, aluminio, bronce, etc. Para materiales de diferente composición y

macroestructura, como los materiales compuestos, se verifican otro tipo de leyes como las que

se pueden seguir en la referencia [7]

De (3.47) y (3.48) se pueden reducir varios casos particulares:

a) Estado uni-axial de tensión: El caso típico de tracción, compresión. Se obtiene de (3.47)

anulando toda tensión de (3.49) excepto la axial xx queda:

xxxx E (3.53)

xxzzyyE

(3.54)

Versión 2014


b) Estado de tensión de corte puro. Se define un plano donde se ejerce la tensión de corte,

por ejemplo el plano XY luego las restantes componentes de (3.49) se suponen nulas

quedando:

xyxyxy G12

E

(3.55)

donde G es el módulo de elasticidad transversal.

c) Estado Plano de Tensión: Se obtiene suponiendo un plano de acción, por ejemplo XY,

fuera del cual las tensiones son nulas, es decir que en (3.49) se suponen nulas xz, zz y yz. En

consecuencia, (3.47) se reduce a:

xy

yy

xx

2

xy

yy

xx

21000101

1

E

/ (3.56)

yyxxzz

E

(3.57)

d) Estado Plano de deformación: Se obtiene suponiendo un plano de acción, por ejemplo

XY, fuera del cual las deformaciones son nulas, es decir que en (3.50) se suponen nulas xz, zz

y yz. En consecuencia, (3.47) se reduce a:

xy

yy

xx

21

xy

yy

xx

000101

211

E

(3.58)

yyxxzz

211

E

(3.59)

Solución del problema de elasticidad

La solución del problema de elasticidad de un cuerpo cualquiera cuya superficie es definida

por zyx nnnn ,,ˆ , implica obtener valores en todo el cuerpo a las siguientes entidades:

zyxxyxzyzzzyyxxxyxzyzzzyyxx uuu ,,,,,,,,,,,,,, (3.60)

en función de los datos del material {E, G, } y en función de las condiciones de solicitación

siguientes:

zyxzyx TTTfff ,,,,, (3.61)

Para ello se debe recurrir a satisfacer en forma conjunta las ecuaciones (3.20), (3.23), (3.43),

(3.44), (3.45), (3.47) y (3.48). Es decir que se tiene que verificar, el equilibrio interno, el

equilibrio externo, compatibilidad de desplazamientos y deformaciones y la ley de Hooke.

Versión 2014


Existen diferentes formas para resolver tal conjunto de ecuaciones para poder obtener (3.60),

sin embargo la solución exacta en términos de desplazamientos, aún para casos de geometría

relativamente simple, implica la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden a

derivadas parciales. La respuesta a tal problema no se obtiene con una fórmula simple y

elegante al estilo de los problemas de flexión de vigas según la teoría de Bernouilli-Euler.

Para resolver problemas reales con solicitaciones complejas y geometría compleja se necesita

otro enfoque. Tal enfoque reside en los métodos numéricos, como el método de elementos

finitos, que a pesar de ser un método de solución aproximada, permite resolver con solvencia

y facilidad la gran mayoría de problemas de diseño y cálculo de ingeniería mecánica.

Por otro lado una de las formas de resolver el problema de la elasticidad para configuraciones

simples, y que también está relacionado con el método de elementos finitos, se realiza

mediante la suposición “a priori” de un campo de desplazamiento que represente la

cinemática del problema en cuestión. Sin embargo es necesario que el campo de

desplazamientos con el cual se obtendrán las deformaciones y luego las tensiones (mediante la

ley de Hooke), de todos los posibles campos de desplazamientos imaginables, debe cumplir

con una condición de minimizar la energía de deformación total del cuerpo que se pretende

estudiar. Para ello es fundamental revisar algunos aspectos de los métodos energéticos.

4. Métodos Energéticos

La Energía de deformación

La energía de deformación total para un cuerpo de volumen V, se recordará de Estabilidad II,

viene definida por medio de la siguiente expresión:

VV

yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx dV2

1dV

2

1U (3.62)

La deducción de esta expresión puede verse en las referencias [3,5,8]. A su vez se puede

reemplazar en (3.62) la (3.47) o la (3.48) para obtenerla en función de las deformaciones o en

función de las tensiones, respectivamente. Estas expresiones se pueden ver en el Apéndice 3.

La energía de deformación es generada por el conjunto de solicitaciones que actúan sobre el

cuerpo, y éstas son cargas por unidad de volumen {fx, fy, fz}, las cargas por unidad de

superficie {Tx, Ty, Tz} y las cargas puntuales Pi = {Pxi, Pyi, Pzi}. Cuando estas cargas

desaparecen la energía de deformación es restituida en forma de trabajo. El trabajo generado

por todas las cargas viene dado por la siguiente expresión:

PN

1i

iiSV

P PudVTudVfuW (3.63)

donde zyx uuuu ,, es el vector de desplazamiento genérico del cuerpo y

ziyixii uuuu ,,

es el vector desplazamiento de un punto donde se aplican cargas puntuales. En (3.63), V, S y

Versión 2014


NP son el volumen del dominio, la superficie del dominio y el número de cargas puntuales

actuantes.

El teorema de Castigliano

Una de las aplicaciones más conocidas del concepto de energía de deformación es el empleo

del denominado método de Castigliano para la obtención de desplazamientos (y rotaciones)

en configuraciones de barras relativamente complejas. Para ello es necesario disponer la

(3.62) del sistema en función de las solicitaciones, de tal manera que el desplazamiento (o

rotación) en un punto donde actúa una carga Q (o momento), vendrá dado por la siguiente

expresión:

,i

iQ

U

donde i es la carga i-esima en el punto i-esimo (3.64)

Para la aplicación práctica de (3.64) se recordarán las siguientes reglas:

1) Obtener la energía de deformación total (3.62) en función de todas las cargas

actuantes, es decir fuerzas normales y cortantes, momentos flectores y torsores (para

ello emplear los valores de energía de Tabla 3.5, para casos particulares) .

2) Emplear fuerzas ficticias para el cálculo de desplazamientos en puntos donde no actúa

ninguna carga. (recuérdese que estas fuerzas ficticias influyen el cálculo de momentos

y diagramas de cuerpo libre)

3) Recurrir a la expresión (3.64) y despejar el valor del desplazamiento deseado. Si la

carga actuante en tal punto es ficticia, se impone su nulidad (Qi=0).

Tipo de carga Entidades Expresión general para la

Energía de deformación

Expresión de Energía de

deformación (sec. constante)

Axial P, E, A

L

0 A

2

xx dAdxE2

U

L

0

2

dxEA2

PU

Flexional M, E, I

L

0

2

dxEI2

MU

Torsional T, G, J

L

0 A

2

x dAdxG2

U

L

0

2

dxGJ2

TU

Cortante

transversal

(Rectángulo)

Q, G, A

L

0 A

2

xydAdx

G2U

L

0

2

dxGA5

Q3U

Cortante

transversal

(círculo)

Q, G, A

L

0

2

dxGA10

Q7U

Tabla 3.5. Algunos casos particulares de energía de deformación para vigas o barras

Versión 2014


En la Tabla 3.5, las entidades E y G significan son los módulos de elasticidad normal y

transversal. P, M, T y Q son la fuerza axial, el momento flector, el momento torsor y la fuerza

de corte respectivamente. Además A, I y J son área, momento de inercia axial y momento de

inercia polar. En el Apéndice 3 se extienden algunos tópicos a modo ilustrativo y como

referencia para los trabajos prácticos. En la Guía de Ejercicios N° 3 se verán algunos casos

para resolver en forma práctica.

Principio de la mínima energía potencial total

Un cuerpo como el de la Figura 3.3 sometido a las cargas por unidad de volumen {fx, fy, fz} a

las cargas por unidad de superficie {Tx, Ty, Tz} y a cargas puntuales Pi = {Pxi, Pyi, Pzi}poseerá

una energía de deformación dada por (3.62) y un trabajo de las cargas externas dado por la

expresión (3.63). La energía potencial total de un cuerpo es la suma de ambas. Es decir:

PWU (3.65)

Ahora bien, el principio de mínima energía potencial total establece que “de todas las

posibles configuraciones de un campo de desplazamientos u en un sistema conservativo, la

configuración que corresponde al equilibrio es la que hace mínima la energía potencial

total”. Es decir:

0u

(3.66)

Este principio de la mínima energía potencial total es una herramienta fundamental para el

desarrollo de soluciones aproximadas mediante métodos numéricos como el de elementos

finitos a la vez de ser una herramienta importante para la obtención de modelos matemáticos

de cálculo y análisis más refinados.

Solución de Algunos Problemas Conocidos: Método de Rayleigh

Antes de introducir el método de elementos finitos, se efectuará una aplicación del principio

de mínima energía potencial total en la resolución de un par de problemas conocidos y típicos

de tracción y compresión. El objetivo de esta operatoria es identificar las virtudes y

potenciales limitaciones de los métodos de aproximación. Para ello se empleará a modo de

ejemplo el método de Rayleigh-Ritz, el cual se puede discriminar en los siguientes pasos:

1) Suponer un campo de desplazamiento aproximado con un conjunto de funciones

i(x,y,z) y constantes ai, tal como se muestra en (3.67). El campo de desplazamientos

u debe verificar las condiciones de borde del problema

PN

1i

i zyxau ,, (3.67)

Versión 2014


2) Se reemplaza (3.67) en (3.65) obteniendo la energía potencial total en función de las

constantes ai, es decir

Pi N1ia ,...,, (3.68)

3) Luego se calculan las derivadas parciales de (3.68) respecto de las ai.

P

i

N1i0a

,...,,

(3.69)

4) Se obtienen las ai del sistema de NP ecuaciones (3.69)

EJEMPLO 1.

En la Figura 3.24 se muestra una barra traccionada en un extremo por la fuerza P. La

barra tiene rigidez axial EA. Se desea hallar una función para el campo de

desplazamientos.

Para resolver este problema “académico ilustrativo” se empleará el método de Rayleigh-Ritz.

La energía de deformación para una barra traccionada se puede tomar de la Tabla 3.5,

transformada en función de los desplazamientos -emplear las (3.53) y (3.43) – y se puede

escribir en la forma de la ecuación (3.70).

Figura 3.24. barra traccionada. Ejemplo 1.

xL

L

0

2

x uPdxx

uEA

2

1.

con )(Luu xxL (3.70)

Se supone el siguiente campo de desplazamiento lineal que debe cumplir con las condiciones

de borde del problema:

L/uaLauLu

0a00uxaaxu

xL22xLx

1x

21x x.L

u)x(u xL

x (3.71)

Reemplazando (3.71) en (3.70) se obtiene

xL

2

xLxL

L

0

2

xL u.PuL2

EAu.Pdx

L

u

2

EA

(3.72)

Derivando (3.72) y despejando la única incógnita del problema

0Pu.

L

EA

uxL

xL

EA

PLuxL (3.73)

Versión 2014


en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra desde el

empotramiento hasta el extremo libre como:

x.EA

P)x(ux (3.74)

La cual es la solución obtenida previamente en el contexto de Estabilidad I y II.

EJEMPLO 2.

En la Figura 3.25 se muestra una barra solicitada por una fuerza volumétrica que actúa

en la dirección axial. Se desea aproximar la solución exacta (3.75) del desplazamiento del

problema mediante el método de Rayleigh-Ritz.

E2

xLxxux

)( (3.75)

En (3.75), E es el módulo de elasticidad.

Figura 3.25. barra traccionada. Ejemplo 2.

La energía potencial total para este caso viene dada por:

L

0x

L

0

2

x dxAudxx

uEA

2

1 (3.76)

Se supone el siguiente campo de desplazamiento cuadrático que debe cumplir con las

condiciones de borde del problema:

LaauLu

0a00uxaxaaxu

32xLx

1x2

321x Lxxaxu 3x .)( (3.77)

Reemplazando (3.77) en (3.76) e integrando se obtiene

3

32

3

3L

0

2

3

L

0

22

3 a6

ALa

6

EALdxxLxaAdxLx2

2

EAa (3.78)

Derivando (3.78) y despejando la única incógnita del problema (a3)

0

6

ALa

3

EAL

a

3

3

3

3

E2a3

(3.79)

en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra como:

E2

xLxxux

)( (3.80)

La cual es idéntica a (3.75).

Versión 2014


Tanto en el Ejemplo 1 como en el Ejemplo 2, se ha visto que seleccionando adecuadamente la

función de aproximación se puede llegar a obtener la solución EXACTA. Sin embargo este

tipo de alternativas se dan en problemas muy elementales. Aún así, existen problemas

ligeramente más complejos a los planteados en los ejemplos anteriores que no son resueltos

satisfactoriamente con una función de aproximación a no ser que se plantee un esquema

alternativo que mejore la aproximación, esto se verá a continuación.

EJEMPLO 3.

En la Figura 3.26 se muestra una barra (E=1, A=1, L=1) solicitada por una fuerza puntual

P=2 que actúa en la dirección axial. Se desea aproximar la solución del desplazamiento

mediante el método de Rayleigh-Ritz. La solución exacta es:

,

, )(

21xx210xx

xux (3.81.a)

, 1

, )(

21x10x1

xxx (3.81.b)

(a) (b)

Figura 3.26. Barra sometida a tracción. Ejemplo 3.

La energía potencial total para este caso viene dada por:

xL

L

0

2

x uPdxx

uEA

2

1.

con )(Luu xxL (3.82)

Se supone el siguiente campo de desplazamiento cuadrático que debe cumplir con las

condiciones de borde del problema:

32xLx

1x2

321x a2au2u

0a00uxaxaaxu 2xxaxu 3x .)( (3.83)

Reemplazando (3.83) en (3.82) e integrando se obtiene

3

2

33

L

0

22

3 a2a3

4a2dx2x2

2

a (3.84)

Derivando (3.84) y despejando la única incógnita del problema (a3)

02a

3

8

a3

3

4

3a3 (3.85)

Versión 2014


en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra como:

x2x4

3xux .)( (3.86)

El valor de las tensiones será

x12

3xxx )( (3.87)

En la Figura 3.27.a se muestra la comparación entre los desplazamientos dados por (3.81.a) y

(3.86) y en la Figura 3.27.b se muestran tensiones dadas por las (3.81.b) y la (3.87). Nótese

que la aproximación con una sola función en todo el dominio trae aparejado serios errores

frente a la solución exacta.

(a) (b)

Figura 3.27. barra traccionada. comparacione de soluciones exactas y aproximadas.

(a) despalzamientos (b) tensiones

Ahora bien si se plantea la disgregación del dominio en dos subdominios (Ver Figura 3.26),

uno desde el empotramiento izquierdo hasta la carga y el otro desde el empotramiento

derecho a la carga, se pueden definir una función de aproximación de desplazamientos para

cada dominio con la exigencia de mantener la compatibilidad entre subdominios.

La energía potencial total de cada subdominio será

xL

L

0

2

xi

i u2

Pdx

x

uEA

2

1.

con )(Luu xixL , i = 1,2 (3.88)

Así pues se tendrán las siguientes funciones de aproximación para los dos subdominios,

siguiendo una referenciación independiente en cada subdominio, según muestra Figura 3.26b:

xL2xL1x

11x211x uau1u

0a00uxaaxu xuxu xL1x .)( (3.89.a)

xL42x

xL3xL2x432x ua01u

uau0uxaaxu ).()( x1uxu xL2x (3.89.b)

Reemplazando (3.89) en (3.88) e integrando para cada subdominio se obtiene

xL

2

xLxL

L

0

2

xL1 uu2

1udxu

2

1 (para el subdominio 1) (3.90.a)

Versión 2014


xL

2

xLxL

L

0

2

xL2 uu2

1udxu

2

1 (para el subdominio 2) (3.90.b)

OBSERVESE QUE (3.90.a) y (3.90.b) SON IDENTICAS. Ahora, derivando para cada

subdominio y despejando la única incógnita del problema

01u

axL

3

i 1uxL (3.91)

en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada subdominio de la barra como:

x1xu

xxu

2x

1x

)(

)( (3.92)

El valor de las tensiones será

1x

1x

2x

1x

)(

)(

(3.93)

Se debe tener presente que en este enfoque de partición la coordenada x comienza en cada

subdominio en la izquierda del segmento, tal como se ve en Figura 3.27.b. En consecuencia

(3.92) y (3.93) darán los mismos resultados que (3.81.a) y (3.81.b).

Estos tres ejemplos muestran que los métodos aproximados pueden ser útiles para resolver los

problemas más complejos de ingeniería, siempre y cuando se tenga tino en la adopción de las

funciones de aproximación para las variables del problema. Por otro lado se ha visto (en el

ejemplo 3) que ante ciertas complicaciones es posible disgregar el dominio y analizar el

problema en subdominios más pequeños y que tengan una forma de aproximación de la

solución más simple y por combinación de las respuestas en cada subdominio, tener la

solución completa al problema. Se habrá notado que la solución de los problemas anteriores

condujo a la obtención de una sola incógnita, el valor de la constante del polinomio de

aproximación.

La secuencia de pasos realizada en los ejemplos anteriores unidimensionales puede ser puesta

en juego para enfoques unidimensionales con mayor complejidad y hasta para enfoques

tridimensionales. En la Figura 3.28 se puede apreciar un esquema general de la secuencia de

pasos necesaria para efectuar un cálculo por aproximaciones por minimización de la energía

potencial total. Téngase presente que siendo un método, el mismo es plausible de ser

sistematizado en un programa de computadora para acelerar los procesos repetitivos. Esto es

lo que precisamente se hace en los programas comerciales de cálculo por elementos finitos u

otros métodos.

En estas últimas ideas radica el espíritu del método de elementos finitos, que se verá en forma

sucinta en el próximo apartado, solo con el fin de entender los basamentos y utilizar

programas académicos y profesionales para la solución de problemas más complejos y reales

que los que se pueden encarar con los métodos de resistencia de materiales y como

corroboración de los alcances y límites de estos últimos.

Versión 2014


Figura 3.28. Procedimiento general de calculo por aproximaciones

Con algunas variantes ligeras el mismo esquema de la Figura 3.28 se usa en forma sistemática

para desarrollar el método de elementos finitos.

5. El método de Elementos Finitos

Introducción

El método de elementos finitos es uno de los métodos de cálculo y análisis de mayor

preferencia en la ingeniería, cubriendo distintas áreas que van desde la elasticidad estática al

cálculo térmico, pasando por diversas aplicaciones en mecánica de fluidos, fractura, y

dinámica entre otras. La noción de utilidad del método radica en que se trata de una

herramienta para la resolución aproximada de modelos matemáticos a derivadas parciales,

como por ejemplo los de la teoría de la elasticidad, ecuaciones de transferencia de calor,

ecuaciones de flujo de fluidos, ecuaciones de dinámica de sólidos, etc.

En el método en sí mismo lo que se hace para hallar la solución al problema determinado en

un dominio continuo es, subdividir el dominio en pequeños subdominios llamados

ELEMENTOS, y en cada uno de los subdominios proponer y hallar una solución aproximada

que luego se ensamblará en el conjunto para obtener la solución completa. En la Figura 3.29

se pueden apreciar tres tipos distintos de dominios: uni, bi y tridimensionales, con sus

respectivas discretizaciones. La respuesta del problema se halla en los puntos extremos de

cada elemento, los cuales son llamados NODOS. La ventaja de esta forma de cálculo es que el

problema de hallar en forma exacta la solución en los infinitos e indefinidos puntos del

continuo se reduce a la solución de un número discreto de variables (ubicadas en los nodos de

los elementos).

Nótese de la Figura 3.29.a que un esquema de discretización unidimensional solo está

compuesto por segmentos de línea recta. En el caso de la Figura 3.29.b se pueden apreciar

Versión 2014


elementos cuadrangulares, sin embargo se pueden emplear también elementos triangulares.

En la Figura 3.29.c se pueden apreciar elementos con forma de tetraedros, sin embargo

también se pueden emplear elementos con forma de cubos o cuñas. El uso de estas

alternativas depende del calculista.

(a) (b) (c)

Figura 3.29. Discretización de dominios (a) unidimensionales (b) bidimensionales (c) Tridimensionales

Es claro que para las configuraciones de la Figura 3.29 no es posible ni razonable calcular la

solución aproximada siguiendo en forma analítica para cada elemento, los pasos hechos en los

Ejemplos 1, 2 y 3 del parágrafo anterior, ya que es algo inviable. Este procedimiento (como el

que se muestra en la Figura 3.28) lo llevan a cabo los programas comerciales de elementos

finitos mediante técnicas que están fuera del alcance y espíritu de las notas de curso. Aquellos

interesados en extender sus conocimientos en el método de elementos finitos pueden recurrir a

las referencias [8,9] a título introductorio. El profesional de ingeniería solo tiene que definir

en el programa el modelo matemático, el modelo geométrico, las restricciones y el tipo de

cálculo que desea efectuar para finalmente analizar los resultados.

Figura 3.30. Etapa del cálculo con elementos finitos

Versión 2014


En estas circunstancias el ingeniero ante la contingencia de realizar un cálculo por

elementos finitos debe CONOCER MUY BIEN “la mecánica o la física del problema”, es

decir el MODELO MATEMATICO y sus HIPOTESIS DE MODELACION.

El procedimiento de cálculo computacional por medio del método de elementos finitos (que

es similar a cualquier otro método numérico alternativo) se puede ver esquemáticamente en la

Figura 3.30.

Existen dos tipos de programas de elementos finitos que se emplearán en este curso de

Elementos de máquina:

- Programas de Diseño Formal o Matemáticos Intensivos: en estos programas se

calcula un problema a partir de describir matemáticamente las ecuaciones, condiciones

de borde, ecuaciones constitutivas, etc. Un ejemplo de este tipo es el programa

FlexPDE. Estos programas son muy útiles para resolver problemas donde el modelo

matemático no sea estándar.

- Programas de Diseño Geométrico o CAD Intensivos: Son los más conocidos y

comunes de los programas de elementos finitos. Poseen interfaces graficas CAD para

la construcción del modelo geométrico. El cálculo se efectúa sobre modelos

matemáticos programados que no permiten mayores alteraciones a las establecidas en

las rutinas programadas como cajas negras enlatadas, esto es que estos programas no

permiten la modificación de sus modelos matemáticos a diferencia de los anteriores..

A pesar de ello, ofrecen una batería muy grande de modelos de cálculo y son muy

utilizados por su facilidad de representación y visualización. Ejemplos de estos

programas con los sistemas comerciales ALGOR, ABAQUS, MSC-NASTRAN,

COSMOS/M, I-DEAS, NISA, PATRAN, CATIA, etc.

Introducción a resolución de problemas de elasticidad lineal con FlexPDE

En la Figura 3.31 muestra una típica ventana de salida de FlexPDE. Los problemas que

resuelve este programa son en dominios 2D y 3D de ecuaciones diferenciales a derivadas

parciales, aunque se puede abundar en problemas unidimensionales. Los problemas que se

abordarán en este curso serán solamente de elasticidad estática y se dejará al estudiante

interesado la posibilidad de profundizar otros modelos y formas de resolución con el

programa, ya que se trata del material inherente a la asignatura electiva “El cálculo en

Ingeniería Mecánica con Elementos Finitos”.

El programa FlexPDE realiza todas las etapas de cálculo del método de elementos finitos en

automática. El programa se basa en definir el modelo matemático del problema junto con sus

condiciones de borde y propiedades más características (densidad, módulos de elasticidad,

etc). La discretización del dominio la efectúa el mismo programa automáticamente con sólo

definir el paso y control de error en la aproximación (esto debe hacerlo el usuario). Para

entender como se calcula un problema con FlexPDE, se puede recurrir a la Tabla 3.6 donde se

Versión 2014


muestra el esquema básico para la definición de un problema y en la secuencia que deben ir

las secciones donde se define cada parte del modelo.

Figura 3.31. Una ventana Típica de FlexPDE

Sección Descripción

TITLE (1) Título del problema

SELECT (1) Se definen: el tipo de aproximación, métodos de integración, error

máximo, etc.

COORDINATES (3) Se emplea sólo si el sistema de coordenadas no es cartesiano

VARIABLES (1) Se definen las variables del problema (los desplazamientos

representativos)

DEFINITIONS (1) Se definen constantes y otras entidades de utilidad

INITIAL VALUES (2) Se definen los valores iniciales de in problema variable en el tiempo

EQUATIONS (1) Se definen las ecuaciones diferenciales de equilibrio del problema

CONSTRAINTS (4) Se definen restricciones adicionales

RESOLVE (4) Se usa para resolver determinadas entidades de importancia en el proceso.

EXTRUSION (4) Se plantean los planos de extrusión para piezas tridimensionales

BOUNDARIES (1) Se definen las condiciones de borde y el contorno del problema

TIME (2) Se especifica el rango de variación de las variables en el tiempo

MONITORS (2) Se ven las evoluciones temporales en pasos

PLOTS (1) Se definen las salidas gráficas que se desean.

HISTORIES (2) Se muestra la evolución de una variable en el tiempo

END (1) Fin del archivo descriptor

Tabla 3.6. Esquema Básico de un archivo descriptor en FlexPDE. (1) secciones Mandatorias a todo problema.

(2) van en problemas dependientes del tiempo (3) van si no son sistemas cartesianos. (4) útiles para imponer

condiciones adicionales o piezas tridimensionales

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El desarrollo del archivo que se muestra en Tabla 3.6 implica la confección del “archivo

descriptor” del problema que tiene formato “*******.PDE”. Con el objeto de fijar ideas, en la

Tabla 3.7 se muestra el archivo descriptor de FlexPDE para el Ejemplo 3 de la sección 4.

TITLE "Ejemplo 3 "

SELECT

errlim=1e-3

VARIABLES

Ux

DEFINITIONS

Lx =1 Ly=0.1

Em = 1 A = 1 EA=Em*A

P=2

Forz1 = P

SigmaX=Em*dx(Ux)

EQUATIONS

dx(Em*dx(Ux)) = 0

BOUNDARIES

Region 1

start(0,0) Natural[Ux]=0

line to(Lx,0) Natural[Ux]=Forz1

line to(Lx,Ly) Natural[Ux]=0

line to(0,Ly) Value[Ux]=0 line to finish

Region 2

start(Lx,0) Natural[Ux]=0

line to(2*Lx,0) Value[Ux]=0

line to(2*Lx,Ly) Natural[Ux]=0

line to(Lx,Ly) Natural[Ux]=0 line to finish

PLOTS

Surface(Ux)

Surface(SigmaX)

Elevation(Ux) From(0,Ly/2) to (2*Lx,Ly/2)

Elevation(SigmaX) From(0,Ly/2) to (2*Lx,Ly/2)

END

Definición de la variable del Programa

errlim con un error menor a 0.001

Definición de Ux como desplazamiento

para el problema unidimensional

Definición de longitudes de la barra: Lx, Ly

Definición de módulos de elasticidad: Em

Definición de Area: A, fuerza actuante P y

tensión normal: SigmaX

Definición de la ecuación diferencial

0x

UE

x

x

m

Definición de las condiciones de borde y de

la geometría. Con las funciones, Start, Line

to, y line to finish se definen los contornos

del dominio en forma de segmentos de línea

recta. Nótese que a continuación de cada

inicio de segmento aparecen las funciones

Natural o Value afectando Ux. Estas son

las condiciones de borde que imperan sobre

Ux. Natural(Ux)=0 significa que no actúa

ninguna carga, mientras que Value(Ux)=0

significa que el Ux=0

Aquí se define el tipo de salida gráfica que

se desea: Surface(Ux) muestra la superficie

de la variable Ux, Surface(SigmaX) hace lo

propio para SigmaX. Con Elevation(Ux) se

muestra la variación de Ux a lo largo de la

línea definida por From

Tabla 3.7. Descriptor FlexPDE para el Ejemplo 3 de la sección 4.

En términos generales se debe seguir el esquema presentado en la columna izquierda de la

Tabla 3.7 para describir un problema. Se habrá podido apreciar diferentes formas de

definición de las cantidades que intervienen en el problema. En lo referente a las derivadas se

indican con la letra “d” seguida de la variable independiente respecto a la que se deriva, p.e.

“y”. Definiciones de derivadas de una variable “f” se pueden ver a continuación:

)(

)(

)(

fdzz

f

fdyy

f

fdxx

f

))((

))((

))(( o )(

fdzdxzx

f

fdydxyx

f

fdxdxfdxxx

f

2

2

2

2

, etc. (3.94)

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De la (3.94) es inmediatamente clara la aplicabilidad de la regla de la cadena. Por ejemplo si

se define una entidad “ex” como la derivada de la variable representativa “Ux”, entonces la

derivada de la entidad “ex” vendrá dada como sigue:

UxdxxUxdxdxexdxUxdxex )()( (3.95)

El empleo de (3.95) se puede simplificar y condensar las ecuaciones de equilibrio con las que

se representa la mecánica del problema.

Es claro que para definir un problema es necesario definir el conjunto de desplazamientos

representativos del modelo matemático. Dentro de los problemas de elasticidad

convencionales que se verán en este curso los desplazamientos podrán ser uno, dos o tres o

más según que el modelo tenga una, dos o tres o más ecuaciones de equilibrio,

respectivamente, según se muestra en la Tabla 3.8.

Tipo de problema

Dominio del

Modelo /dominio

en Flexpde

Cantidad de

variables y de

ecuaciones del

modelo en flexpde

Variables representativas del problema

Tracción Simple 1D / 2D 1 Ux: desplazamiento en eje x

Tensión Plana 2D / 2D 2 Ux: desplazamiento en eje x

Uy: desplazamiento en eje y

Deformación Plana 2D / 2D 2 Ux: desplazamiento en eje x


tensión tridimensional 3D / 3D 3

Ux: desplazamiento en eje x

Uy: desplazamiento en eje x

Uz: desplazamiento en eje z

Teoría de vigas de

Bernoulli Euler 1D / 2D 1 Uy: desplazamiento en eje y

Teoría de vigas de

Timoshenko 1D / 2D 2


Rz: rotación en eje z

Teoría de vigas

Generalizadas 1D / 2D 7

Ux: desplazamiento en eje x


Uz: desplazamiento en eje z

Rx: rotación en eje x

Ry: rotación en eje y

Rz: rotación en eje z

Uw: variable de alabeo

Tabla 3.8. Relación de las ecuaciones de equilibrio con las variables representativas

La otra parte neurálgica de la descripción del problema con Flexpde es la definición de las

condiciones de borde del problema, las cuales se aplicarán a las variables representativas

mediante el uso de funciones apropiadas del programa. En la Figura 3.32 se muestra un caso

de elasticidad plana donde se exponen diferentes casos de condiciones de borde que van desde

la fijación de desplazamientos hasta la imposición de cargas. Las expresiones en flexpde

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correspondientes a las condiciones de la Figura 3.32 se indican en la Tabla 3.8. Nótese que las

condiciones de borde de cargas distribuidas Tx y Ty pueden definirse de la misma manera

utilizando dos comandos distintos.

Figura 3.32. Esquema de elasticidad plana y sus condiciones de borde para un caso típico

Tipo de Condición de Borde Descripción en Flexpde

Anulación de desplazamientos en un

segmento

Value(Ux)=0

Value(Uy)=0

Desplazamientos forzados en un segmento Value(Ux)=Ux0

Value(Uy)=Uy0

Desplazamientos fijados en un punto PointValue(Ux)=Ux1

Pointvalue(Uy)=Uy1

Cargas aplicadas en un punto PointLoad(Ux)=Px0

PointLoad(Uy)=Py0

Segmento libre de cargas Natural(Ux)=0

Natural(Uy)=0 o

Load(Ux)=0

Load(Uy)=0

Segmento con cargas distribuidas Natural(Ux)=Tx

Natural(Uy)=Ty o

Load(Ux)=Tx

Load(Uy)=Ty

Tabla 3.8. Lista de condiciones de borde para Flexpde en un caso de elasticidad plana

Si bien en Tabla 3.8 se muestran las condiciones de borde más comunes, existe otro tipo de

condiciones de borde aplicables a problemas especiales y que el programa puede cubrir, sin

embargo tal cometido está fuera de los objetivos de las notas de este curso de elementos de

máquina. Para aquellos que desean mayores detalles sobre el particular se sugiere la lectura de

los libros indicados en las referencias [10,11]. Para afirmar las ideas y nociones sobre este

programa se efectuará a continuación un ejemplo.

EJEMPLO DE CÁLCULO DE FLEXPDE

En la Figura 3.33 se muestra una planchuela de 10 cm de alto y 40 cm de largo, sometida a

fuerzas superficiales tractivas en un extremo de 10 N/m y empotrada en el extremo

izquierdo. Posee dos agujeros de 1 cm de radio centrados a una distancia de 10 cm del

empotramiento y muescas de 1 cm de radio a 30 cm del empotramiento. Se desea

determinar el perfil de tensiones xx en las secciones (1) y (2). El material es acero.

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Figura 3.33. Esquema de la planchuela.

En la Tabla 3.9 se muestra el archivo descriptor de Flexpde bajo la suposición de un estado

plano de tensiones. En las Figuras 3.34 se muestran las salidas gráficas de Flexpde en las

zonas críticas solicitadas

Title 'Estado plano de tensión con agujeros y muescas'

select

errlim = 1e-5 { se fija el paso de error }

variables

Ux Uy { Se declaran las variables Ux y Uy }

definitions

{definición de algunas dimensiones}

H1 = 0.1 L1 = 0.4 L2 = 0.1 L3 = 0.25 L4=0.38 R1 = 0.01 R2 = 0.01

{definición de constantes elasticas}

nu = 0.3 Em = 2.1e11 Gm =Em/2/(1+nu) C1= Em/(1-nu**2)

{definicion de deformaciones}

ex=dx(Ux) ey=dy(Uy) exy=dx(Uy)+dy(Ux)

{definición de tensiones y deformación ezz}

Sxx = C1*(ex+nu*ey) Syy = C1*(ex*nu+ey)

Sxy = C1*(1-nu)/2*exy ezz=-nu/Em*(Sxx+Syy)

{definición de cargas actuantes en N/m}

Tx = 10 Ty = 0

equations {se define un estado plano de tensiones}

dx(Sxx) + dy(Sxy) = 0

dx(Sxy) + dy(Syy) = 0

boundaries

region 1

start (0,0)

{se define el borde inferior}

load(Ux)=0 load(Uy)=0 line to (L3-R2,0) arc(center=L3,0) angle = -180 line to (L1,0)

{se define el lado derecho}

load(Ux)=Tx load(Uy) = Ty line to (L1,H1)

{se define el borde superior}

load(Ux)=0 load(Uy)=0 line to (L3+R2,H1) arc(center=L3,H1) angle = -180 line to (0,H1)

{ se define el extremo fijo}

value(Ux)=0 value(Uy)=0 line to finish

{ definición de los agujeros}

load(Ux) = 0 load(Uy) = 0

start(L2,H1/4+R1) arc(center=L2,H1/4) angle=-360 to finish

start(L2,3*H1/4+R1) arc(center=L2,3*H1/4) angle=-360 to finish

plots {definición de los graficos de salida}

grid(x,y) Elevation(Sxx) From(L2,0) to (L2,H1)

Elevation(Sxx) From(L3,0) to (L3,H1) Elevation(Sxx) From(L4,0) to (L4,H1)

end

Tabla 3.9. Archivo descriptor del problema de la planchuela

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(a) (b)

Figura 3.34. Tensiones normales XX. (a) en la Sección (1) y (b) en la sección (2)

NOTA: En este curso de elementos de máquina se hará profusa utilización de

modelización en Flexpde para abordar distintos problemas de la mecánica de materiales

como también para servir de comparación adicional a modelos reducidos de resistencia

de materiales y también como identificación de lo que están resolviendo los programas

comerciales de elementos finitos tales como IDEAS o COSMOS/M.

6. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000

[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.

[4] V.G. Sfakiotakis, N.K. Anifantis. “Finite element modeling of spur gearing fractures”.

Finite Elements in Analysis and Design 39, 79–92 2002

[5] Algor News, http://www.algor.com

[6] X. Oliver Olivella y C. Agelet de Saracibar Bosch. “Mecánica de medios continuo para

ingenieros”. Ediciones UPC, Ed. Alfaomega. (2002).

[7] E.J. Barbero, "Introduction to Composite Materials Design". Taylor and Francis, 1998.

[8] R.E. Rossi, “Introducción al Método de Elementos finitos, Curso Básico con aplicaciones

en elasticidad lineal”. Departamento de Ingeniería. Universidad Nacional del Sur. 1993.

[9] T. Chandrupatla, A. Belegundu, “Introducción al método de los elementos finitos”. Ed.

Prentice Hall, (1998)

[10] G. Backstrom, “Deformation an Vibration by Finite Element Analysis”. Ed.

Studentlitteratur, (1998)

[11] G. Backstrom, “Fields of Physics by Finite Element Analysis”. Ed. Studentlitteratur,

(1998)

7. Problemas resueltos en clase y para completar

Problema tipo 3.1

Un ingeniero diseñador y calculista debe desarrollar el concepto y la conectividad de los

elementos que constituyen cierto diseño sin olvidar la idea de optimización. La entidad a

optimizar puede ser el costo del diseño, o bien la forma o bien ambas o muchas otras variables

que se tengan en cuenta. En el caso de la optimización de costo, téngase presente que el

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mismo está asociado a los aspectos geométricos y másicos del sistema. Así pues, en la figura

adjunta se muestra una estructura de ménsula para soportar una cierta carga W. No se han

hecho especificaciones sobre la sección de cada barra, siendo c0 el costo por unidad de peso

de metal. Si es el peso específico del metal, si se supone que las barras están solicitadas a

tracción o compresión (sin pandeo), y que pueden aguantar una tensión permisible , entonces

demuestre que la función costo de la ménsula se puede calcular como:

CosSen

CosLWcfc

2

20 1

Siendo L2 la longitud del tramo AB. Determine si hay algún costo óptimo para tal estructura.

Figura 3.PTN1. Esquema de las barras

En primer lugar se debe establecer un equilibrio estático para saber las fuerzas que actúan en

cada barra.

0X

F

0y

F

Luego se establece la ecuación de resistencia a tensiones normales para cada barra y se

despeja el área.

i

i

A

F

Luego se establece la ecuación de costo en función del volumen:

PESOcfc 0

Se deja al alumno la manipulación algebraica para llegar a la demostración.

Finalmente para hallar un punto óptimo no hay más que hallar un máximo o un mínimo de la

función fc es decir:

0d

dfc

De donde resultaría un ángulo que puede hacer óptima la función fc. Esto se deja como

trabajo a los alumnos.

Problema tipo 3.2

Una barra de torsión como la de la figura se halla sujeta a la acción de una carga F y un par de

torsión T. Utilizar el teorema de Castigliano para hallar el desplazamiento del punto donde se

ubican las solicitaciones. En primera instancia ignorar los efectos del corte transversal, luego

emplearlos y comparar los resultados.

Versión 2014


Figura 3.PTN2.

Solución Problema tipo 3.2 En primer lugar hay que establecer el equilibrio estático. Para ello se debe disponer un centro

de reducción (cosa que debe decidir el alumno) y establecer cuáles de las siguientes

ecuaciones son útiles

0X

F

0y

F

0Z

F

0X

M

0y

M

0Z

M

Luego al haber dos segmentos se tiene que establecer los esfuerzos internos en cada uno de

ellos para poder determinar la energía de deformación de todo el sistema.

Problema tipo 3.3

La velocidad de enfriamiento al aire libre de una pieza plana de un cierto material, es

proporcional a la diferencia entre la temperatura de la pieza y la temperatura del ambiente.

Sabiendo que el medio ambiente tiene una temperatura 25 ºC y que la pieza se enfrió de 150

ºC a 80 ºC en 40 minutos, se desea saber cuánto demorará para enfriar la pieza hasta 30ºC.

Solución Problema tipo 3.3 La velocidad de enfriamiento es la primera derivada de la temperatura (que llamamos T) con

respecto al tiempo (que llamamos t), o sea dT/dt. Si el enfriamiento es proporcional a la

diferencia de temperatura de la pieza (T) y del medio ambiente (TA=25º) implica que la

ecuación tendrá la siguiente forma:

Versión 2014


A

TTkdt

dT

Esta ecuación diferencial se puede resolver por los métodos convencionales:

40

2580

15040

0

80

150

40

0

80

150

TLn

ktkTTLnkdtTT

dTA

A

De la expresión anterior se extrae k, que luego se usa para resolver el problema definitivo, el

cual se puede plantear como

k

TLnttkTTLnkdt

TT

dT t

A

t

A

30

80

0

30

80

0

30

80

25

Queda para el alumno ejecutar todos los pasos al detalle.

8. Problemas propuestos

Problema 1.

Obtener la función de costo fc en términos de los ángulos y además de tener en cuenta que

las barras AB y CB tienen costos por unidad de volumen de c1 y c2 en tanto que tienen pesos

específicos 1 y 2, áreas A1 y A2 y longitudes L1 y L2. Se sabe que ambas barras pueden

aguantar una tensión permisible de . Luego, determine si existe alguna relación ventajosa

entre los ángulos y que haga óptima la función costo.

Figura 3.P1. Esquema de las barras

Problema 2.

Hallar el tiempo necesario para vaciar un tanque de 10 dm de profundidad y 16 cm de

diámetro a través de un orificio de 1/6 dm de diámetro practicado en el fondo, sabiendo que la

velocidad de salida del fluido se puede aproximar en h8.4v , siendo h la altura del agua en

un instante dado.

Problema 3.

Determine si los siguientes campos de tensiones verifican las ecuaciones de equilibrio interno.

Estado A:

xx = a x; yy = c x y; xy = b y; zz = zx = yz = fx = fy =fz = 0

Estado B:

xx = a x; yy = 0; xy = -b y; zz = zx = yz = fx = fz = 0; fy = 100, con b = 40, a = 60

Problema 4.

Versión 2014


El eje troncocónico de la figura tiene diámetro mayor “D” y menor “d” con una longitud L

entre el extremo que se supone empotrado y el extremo libre, donde actúa un engranaje de

radio primitivo R impulsado por una fuerza P. Se desea determinar el desplazamiento

flexional y la rotación torsional en el extremo libre.

Figura 3.P4.

Problema 5.

Usted tiene una capacidad para generar trabajo de deformación dada por W [N.m]. Con esa

capacidad, que será más fácil deformar una viga por tracción o la misma viga por flexión.

Fundamente su respuesta en términos matemáticos a partir de observar las siguientes figuras:

Figura 3.P5.

Problema 6.

Se desea conocer el desplazamiento flexional en el extremo libre de una viga recta de sección

no uniforme que tiene una carga puntual a ¾ del empotramiento. El perfil de la superficies

superior varía según la siguiente ley: y(x) = 2-x2 y la superficie inferior con: y(x) =-2+x

2. La

longitud de la viga es L y el ancho es constante de valor b=h/3 siendo h la altura de la viga.

NOTA: Utilice solamente la componente energética de la tensión normal. Luego de plantear

las expresiones puede emplear algún software de álgebra simbólica.

Problema 7.

Resuelva el Problema 6, pero considerando el efecto de la tensión tangencial por fuerza

cortante. Compare las soluciones.

Problema 8.

Se tiene un entramado como el de la figura. Se supone que en cada barra el tipo de

solicitación es sólo tensión uniaxial. Se desea saber cuál es el desplazamiento del punto O en

la dirección horizontal debido a la fuerza vertical F. NOTA: Recuerde el principio de

Castigliano y el criterio para calcular desplazamientos.

Versión 2014


Figura 3.P8.

Problema 9.

Una viga como la de la Figura 3.P9, de sección rectangular (b=8 cm, h=20 cm) está solicitada

por una carga P=100 N en su extremo libre. Comparar los valores de los desplazamientos

máximos y tensiones normales y cortantes máximas obtenidas con las formulaciones de

elasticidad plana (usar FlexPDE) y resistencia de materiales en los puntos indicados sobre la

figura. El material es acero.

Figura 3.P9.

Nota:

-Suponer la carga, en FlexPDE, como (a) puntual o (b) distribuyendo los 100 N en h=20 cm.

-Efectuar la misma comparación cuando la longitud se reduce a la mitad

-Incluir en el informe una Tabla donde se compare punto a punto las diferencias

Problema 10.

En una viga de las mismas características que en el problema anterior, se efectúan unos

agujeros y muescas de 1 cm de radio (ver Figura adjunta), para el anclaje de un gancho.

Efectuar las homónimas comparaciones de tensiones que en el problema anterior, pero en los

puntos indicados en el detalle de la Figura adjunta.

Notas:

Versión 2014


- Tener presente para el cálculo con herramientas de resistencia de materiales, el efecto de

concentración de tensiones. En un primer caso despreciando el efecto y luego considerándolo.

- Para definir la Geometría en Flexpde, tener presente que el agujero no tiene cargas en su

contorno (ver el archivo TENSION.PDE que viene como ejemplo en la instalación).

Problema 11.

Hacer el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los elementos y eslabones del mecanismo

de la figura y sus correspondientes ecuaciones de equilibrio estático en el instante que se

muestra. Ubique el sistema de referencia según su criterio.

CAAPPIITTUULLOO 33 TEENNSSIIOONN E ES SIYY ... · Conceptos de Elasticidad Modelos Matemáticos ....

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