Resistencia de Materiales EL SÓLIDO ELÁSTICO (El · PDF fileEl Tensor de...

Resistencia de Materiales

EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de tensiones)

Resistencia de Materiales

EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de tensiones)

• Introducción.• Componentes intrínsecas del vector tensión.• El tensor de tensiones.• Ecuaciones de equilibrio interno.• Reciprocidad de las tensiones tangenciales.• Lema de Cauchy.• Cambio de sistemas de referencia.• Tensiones y direcciones principales.• Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr• Tensiones tangenciales máximas.• Tensiones octaédricas.• Tensor esférico y tensor desviador.• Tensión plana

El Tensor de Tensiones

Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n

uuuu

P(x)P(x)P(x)P(x)

PPPP2

PPPP1PPPPi

PPPPn

Ω

Γ

Introducción



Introducción



Diagramade sólido libre

0=∑F

0M =∑

Introducción



¿Qué ocurre en el interior?

Introducción



z

y

x


Introducción



z

y

x z

yx

P(x,y,z)


Introducción



z

y

x

Introducción



0limzS

F

S∆ →

∆=∆

T

z

y

x

Introducción



z

y

x

z

yx

P(x,y,z)

El tensor de tensiones



z

y

P(x,y,z)

x

z

y

x




z

y

P(x,y,z)

0limyS

F

S∆ →

∆=∆

Tx

z

y

x




P(x,y,z)

z

y

x




P(x,y,z)


z

y

x



z

yx

P(x,y,z)


z

y

x



z

y

P(x,y,z)

z

yx

0limxS

F

S∆ →

∆=∆

T


z

y

x

x



z

y

x

P(x,y,z)


z

y

x



z

y

x

P(x,y,z)


z

y

x

xyT

xxT

xzT

xT



( , , )yx zx

yy

xx

xy

xz

zy

yx zz

T T

T T

T

y

T

x

T

z T

T

=

T


z

y

x

z

y

x

P(x,y,z)xyT

xxT

xzT

xT



z

y

x

P(x,y,z)


z

y

x

yT

yxT

yzT

yyT

( , , )yx zx

yy

xx

xy

xz

zy

yx zz

T T

T T

T

y

T

x

T

z T

T

=

T



z

y

x

P(x,y,z)


z

y

x

( , , )yx

yy

zx

z

xx

y

zzx yz

xy

z

T

T

T

T

z Tx T

T

T

y

T

=

T

yT

yxT

yzT

yyT



z

y

x

P(x,y,z)


z

y

x

zzT

zyT

zxT

zT

( , , )yx

yy

zx

z

xx

y

zzx yz

xy

z

T

T

T

T

z Tx T

T

T

y

T

=

T



z

y

xxxT

xzT

xyTP(x,y,z)

yxT

yzT

yyT

zzT

zyT

zxT

La representación gráficade todas las componentes juntas

no tiene ningún sentidoni interés práctico


z

y

x

( , , )yx

yy

zx

z

xx

y

zzx yz

xy

z

T

T

T

T

z Tx T

T

T

y

T

=

T



P(x,y,z)P(x,y,z)

yxT

yzTyyT

zzT

zyT

zxT

Pero su representaciónen el llamado

paralelepípedo elementalnos permite “ver”el estado tensional

en el entorno del punto


z

y

x

xxT

xzT

xyT

( , , )yx

yy

zx

z

xx

y

zzx yz

xy

z

T

T

T

T

z Tx T

T

T

y

T

=

T



yxT

yzTyyT

zzT

zyT

zxT




P(x,y,z)

z

yx

P(x,y,z)


z

y

x

xxT

xzT

xyT

( , , )yx

yy

zx

z

xx

y

zzx yz

xy

z

T

T

T

T

z Tx T

T

T

y

T

=

T



yxT

yzTyyT

zzT

zyT

zxT




P(x,y,z)


P(x,y,z)

z

y

x

P(x,y,z)

z

yx

xxT

xzT

xyT

( , , )yx

yy

zx

z

xx

y

zzx yz

xy

z

T

T

T

T

z Tx T

T

T

y

T

=

T



z

y

x

( , , )yx

yy

zxx

zy

x

xy

yzxz zz

x y z

σσσ

=

σ σ

σσ

σσ

σ

yxσ

yxτ

yzσ

yyσ

zzσ

zyσzxσ

yzτ

zzσ

zyτzxτ

P(x,y,z)

P(x,y,z)

Otras notacionesEl tensor de tensiones

xxσ

xzσ

xyσ

xxσ

xzτ

xyτ( , , )

yx

yy

zxx

zy

x

xy

yzxz zz

x y z

σττ

=

τ τ

σσ

ττ

σ

yyσ



xyτ

El tensor de tensiones Caras ocultas

P(x,y,z)

z

y

x

yxτ

zzσ

zyτ

zxτ

xxσ

xzτ

xyτ

yzτ

yyσ



yxτ

yzτyyσ

zzσ

zyτzxτ

En las caras ocultas están,OBVIAMENTE,

las mismas componentesdel tensor de tensiones

El tensor de tensiones Caras ocultas

P(x,y,z)

z

y

x

xxσ

xzτ

xyτ



El vector tensión: componentes intrínsecas

π

TTTT

TTTT

π

σσσσ

ττττ

σσσσ

ττττ

ηηηη

S P

ηηηη

2 2 2= σ + τT



P(x,y,z)

xyτ

xzτ


yxτ

yzτσ

σ

zyτzxτ τ

σ

ττ

2 2 2= σ + τT

π

TTTT

TTTT

π

σσσσ

ττττ

σσσσ

ττττ

ηηηη

S P

ηηηη




P(x,y,z)

π

ηηηη

−−−−ηηηη

Conocidas las c.i.no podemos determinar

ni la dirección ni el sentidodel vector tensión

π

TTTT

TTTT

π

σσσσ

ττττ

σσσσ

ττττ

ηηηη

S P

ηηηη



Equilibrio interno Tomamos un elemento de volumen diferencial

dxdy

dz

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

z

y

x



Equilibrio interno

dxdy

dz

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

z

y

x

P(x,y,z)

Tomamos un elemento de volumen diferencial



Q(x+dx,y+dy,z+dz)

( )yy Qσ

( )yx Qτ( )yz Qτ

( )zz Qσ( )zx Qτ

( )zy Qτ

Equilibrio interno

( )xx Qσ

( )xy Qτ

( )xz Qτz

y

x

Tensiones en las caras vistas

dx

dy

dz



( )zz Pσ

( )zx Pτ( )zy Pτ

( )xx Pσ( )xy Pτ

( )xz Pτ

( )yy Pσ ( )yx Pτ

( )yz Pτ

z

y

x

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

Equilibrio interno Tensiones en las caras ocultas

dx

dy

dz

P(x,y,z)



P(x,y,z)

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

Equilibrio interno

z

y

x

Fuerzas de volumen

cdg



P(x,y,z)

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

Equilibrio interno

z

y

x

Fuerzas de volumen

cdg

Fv



P(x,y,z)

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

Equilibrio interno

z

y

x

Fuerzas de volumen

Z

YX

cdg

Fv



0yxxx zx Xx y z

∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂

0xy yy zy Yx y z

∂τ ∂σ ∂τ+ + + =

∂ ∂ ∂

0yzxz zz Zx y z

∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂

Equilibrio interno Imponiendo equilibrio elásticode fuerzas

Ecuaciones deequilibrio interno

0xF =∑

0yF =∑

0zF =∑

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

xx yx zx

xx yx zx

Q Q Q

P P P

dydz dxdz dxdy

dydz dxdz dxdy X dxdydz

σ + τ + τ −

− σ + τ + τ + =



( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

xx yx zx

xx yx zx

Q Q Q

P P P

dydz dxdz dxdy


σ + τ + τ −

− σ + τ + τ + =

z

y

x



0yxxx zx Xx y z

∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂

0xy yy zy Yx y z

∂τ ∂σ ∂τ+ + + =

∂ ∂ ∂

0yzxz zz Zx y z

∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂

Equilibrio interno Imponiendo equilibrio elásticode fuerzas

0xF =∑

0yF =∑

0zF =∑

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

xx yx zx

xx yx zx

Q Q Q

P P P

dydz dxdz dxdy


σ + τ + τ −

− σ + τ + τ + =

Ecuaciones deequilibrio interno



El problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elástico

F(x,y,z) u(x,y,z)

εεεε(x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamiento

Equilibrio

σσσσ(x,y,z)

0yxxx zx Xx y z

∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂

0xy yy zy Yx y z

∂τ ∂σ ∂τ+ + + =

∂ ∂ ∂

0yzxz zz Zx y z

∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂



yz zyτ = τ

Equilibrio interno Imponiendo equilibrio elásticode momentos

Reciprocidadtensiones

tangenciales

xz zxτ = τ

xy yxτ = τ

El tensor de tensiones esSIMÉTRICO

0xM =∑

0yM =∑

0zM =∑

( , , )xx xy xz

yy yz

zz

x y z

sim

σ τ τ = σ τ σ

σ



P(x,y,z)

z

yx

Lema de Cauchy

z

y

x



z

yx

ηηηηP(x,y,z)

Lema de Cauchy

z

y

x

ηηηηcos

cos

cos

l

m

n

α = = β γ

η

γ

βα



Lema de Cauchy

z

y

x

ηηηηcos

cos

cos

l

m

n

α = = β γ

η

γ

βα

z

yx

T ηηηη



T

Lema de Cauchy

z

y

x

ηηηηcos

cos

cos

l

m

n

α = = β γ

η

γ

βα

z

yx

ηηηη

xx xy xz

yy yz

zz

l

m

sim n

σ τ τ = = σ τ σ

T σ η

Lema deCauchy

Equilibrioen el contorno

2 2 2 1l m n+ + =



El problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elástico

F(x,y,z) u(x,y,z)

εεεε(x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamiento

Equilibrio

σσσσ(x,y,z)

Equilibrio en el contornoEquilibrio interno

0yxxx zx Xx y z

∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂

0xy yy zy Yx y z

∂τ ∂σ ∂τ+ + + =

∂ ∂ ∂

0yzxz zz Zx y z

∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂

xx xy xz

yy yz

zz

l

m

sim n

σ τ τ = = σ τ σ

T σ η



z

yx

xx xy xz

yy yz

zzsim

σ τ τ = σ τ σ

σ

xxσxyτ

yyσ

zzσ

xzτyzτ

Cambio de sistema de referencia



2

3

1

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ = σ τ σ

σ

22σ

11σ12τ

33σ

23τ13τ

2

3

1

13τ




z

yx

xx xy xz

yy yz

zzsim

σ τ τ = σ τ σ

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ = σ τ σ

σxxσxyτ

yyσ

zzσ

xzτyzτ

2

3

1

22σ

11σ 12τ

33σ

23τ13τ

13τ




z

yx

xx xy xz

yy yz

zzsim

σ τ τ = σ τ σ

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ = σ τ σ

σ

2

3

1


¿f , ′ 0?

′ ′′

′

′

Sea una matrizP tal que



z

yx

xx xy xz

yy yz

zzsim

σ τ τ = σ τ σ

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ = σ τ σ

σ

2

3

1


′ ′′

′ Si P es una matriztal que

′

′′

Si P es una matriztal que



z

yx

xx xy xz

yy yz

zzsim

σ τ τ = σ τ σ

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ = σ τ σ

σ

2

3

1


¿f , ′ 0?

′ ′′

′

Sea una matrizP tal que



Tensiones y direcciones principales




¿Es posible encontrarun plano como este?

π P(x,y,z)

Tl

m

n

=

η

−η

l

m

n

= =

T T η T



π P(x,y,z)

−η


Lema de Cauchy


l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η

:= λT

=T σ η



π P(x,y,z)

−η

= = λT σ η η 0− λ =σ η η ( ) 0− λ =σ I η⇒ ⇒


Lema de Cauchy


l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η

=T σ η



π P(x,y,z)

−η

= = λT σ η η 0− λ =σ η η⇒ ⇒


Lema de Cauchy


l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η

=T σ η

2 2 2 1l m n+ + =

0xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

l

m

n

σ − λ τ τ τ σ − λ τ =

τ τ σ − λ

( ) 0− λ =σ I η



π P(x,y,z)

⇔∃ solución



l

m

n

=

η

−η

l

m

n

= = λ

T T η

0xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

l

m

n

σ − λ τ τ τ σ − λ τ =

τ τ σ − λ

det 0xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

σ − λ τ τ τ σ − λ τ = τ τ σ − λ 2 2 2 1l m n+ + =



π P(x,y,z)

−η

ECUACIÓNCARACTERÍSTICA



l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η

det 0xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

σ − λ τ τ τ σ − λ τ = τ τ σ − λ 3 2

2 31 0II Iλ − λ + λ − =

( ) xx yy zztr = σ + σ + σσ

[ ]det σ2 2 2( ) ( ) ( )xx yy xy xx zz xz yy zz yzσ σ − τ + σ σ − τ + σ σ − τ

2 2 2 1l m n+ + =



π P(x,y,z)

−η

⇒ 1 2 3, ,η η η

⇒∃ ( ) 0i i− λ =σ I η1 2 3, ,λ λ λ

ECUACIÓNCARACTERÍSTICA

Tres raíces reales



l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η

3 22 31 0II Iλ − λ + λ − =

1 0 0

0 1 0 0

0 0 1

xx xy xz i

xy yy yz i i

xz yz zz i

l

m

n

σ τ τ τ σ τ − λ =

τ τ σ

2 2 2 1l m n+ + =



π P(x,y,z)

−η

SÍ

Tres planos


l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η


, ,I II IIIη η η



π P(x,y,z)

−η

SÍ

Tres planos


l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η


, ,I II IIIη η η

Además las direcciones forman una base

0i j⋅ =η η



π P(x,y,z)

−η

SÍ

Tres planos


l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η


, ,I II IIIη η η


Iσ

IIσ

IIIσ0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ σ σ

0i j⋅ =η η



π P(x,y,z)

−η

SÍ

Tres planos


l

m

n

=

η

l

m

n

= = λ

T T η


, ,I II IIIη η η


III

III Iσ

IIσ

IIIσ

Iη

IIIη

IIη

0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ σ σ

0i j⋅ =η η



Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr

P(x,y,z)

π

ηηηη

2 2 2= σ + τTz

y

x

ηηηη

γ

βα

T στ



P(x,y,z)

π

ηηηη

2 2 2= σ + τT

T στ


( )T η

σ

τ

z

y

x

ηηηη

γ

βα




¿Estos puntos describen algúnlugar geométrico variando la normal?

P(x,y,z)

π

ηηηη

2 2 2= σ + τT

T στ

1( )T η

6( )T η5( )T η

4( )T η

3( )T η

2( )T η

( )nT η

σ

τ




SÍ


P(x,y,z)

π

ηηηη

2 2 2= σ + τT

T στ

σ

τ




SÍ


P(x,y,z)

π

ηηηη

2 2 2= σ + τT

T στ

IσIIσIIIσ σ

τ




0 0 0( , , )xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z

σ τ τ = τ σ τ τ τ σ

σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ = σ σ

σ




¿Máxima?tensión normal

¿Mínima?tensión normal

σ

τ

IIIσ IIσ Iσ

0 0 0( , , )xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z


σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ = σ σ

σ




¿Máxima?tensión normal

¿Mínima?tensión normal

Cuidadocon el signo

σIIIσ IIσ Iσ

0 0 0( , , )xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z


σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ = σ σ

σ

!!!




Máximatensión

tangencial

0 0 0( , , )xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z


σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ = σ σ

σ

IIIσ IIσ Iσσ

τ

maxτmax 2

I IIIσ − στ =




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η

Sea una normalcontenida

en un plano principal

sen

0

cos

α = − α

t

0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

α




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η



sen

0

cos

α = − α

t

0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

cos

0

sen

I

III

σ α = = σ α

T σ ηα




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η



sen

0

cos

α = − α

t

Componentesintrínsecas

0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

cos

0

sen

I

III

σ α = = σ α

T σ η

2 2( ) cos sentI IIIσ = = σ α + σ α =σ η η

2 1 cos2cos

2

+ αα =

2 1 cos2sen

2

− αα =

sen 2sen cos

2

αα α =

α




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η



sen

0

cos

α = − α

t


0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

cos

0

sen

I

III

σ α = = σ α

T σ ηα

cos22 2

I III I IIIσ + σ σ − σ= + α


2 1 cos2cos

2

+ αα =

2 1 cos2sen

2

− αα =

sen 2sen cos

2

αα α =




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η



sen

0

cos

α = − α

t


0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

cos

0

sen

I

III

σ α = = σ α

T σ η

( ) ( )sen costI IIIτ = = σ − σ α α =σ η t

α

cos22 2



2 1 cos2cos

2

+ αα =

2 1 cos2sen

2

− αα =

sen 2sen cos

2

αα α =




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η



sen

0

cos

α = − α

t


0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

cos

0

sen

I

III

σ α = = σ α

T σ η

sen 22

I IIIσ − σ= α

cos22 2


α


( ) ( )sen costI IIIτ = = σ − σ α α =σ η t

2 1 cos2cos

2

+ αα =

2 1 cos2sen

2

− αα =

sen 2sen cos

2

αα α =




sen 22

I IIIσ − στ = α

cos22 2

I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α




sen 22


cos22 2


0xx

y

0yR

2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =



2 22 2 2(cos 2 sen 2 )

2 2I III I IIIσ + σ σ − σ σ − + τ = α + α


1

sen 22


cos22 2


0xx

y

0yR

2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =




2 22

2 2I III I IIIσ + σ σ − σ σ − + τ =

sen 22


cos22 2


0xx

y

0yR

2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =




2 22

2 2I III I IIIσ + σ σ − σ σ − + τ =

sen 22


cos22 2

I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α2

I IIIRσ − σ=

2I IIIσ + σ

0xx

y

0yR

IσIIIσ0 0τ =

τ

σ

2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η

α0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

σ

τ

IσIIIσ2

I IIIσ − σ

2I IIIσ + σ




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η

α0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

sen22


cos22 2


σ

τ

IσIIIσ2

I IIIσ − σ

2I IIIσ + σ




I

II

III

cos

0

sen

α = α

η

α0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ = σ σ

σ

sen22


cos22 2


2α

σ

τ

IσIIIσ2

I IIIσ − σ

2I IIIσ + σ



1

1

1

3

3

3

xx xy xz

Dxy yy yz

xz yz zz

I

I

I

σ − τ τ = τ σ − τ τ τ σ −

σ

1

1 0 0

0 1 03

0 0 1

O I =

σ

Tensores esférico y desviador de tensión

Tensor esféricode tensión

1 1

3 3

I I = + −

σ I σ I

Tensor desviadorde tensión

1 / 3I

1 / 3I1 / 3I

1

3O Iσ = 0Oτ =

21 2

2 2

9 3O I Iτ = −

0Oσ =



P

I

II

III

2 2 21 2

2 2

9 3O O O I Iτ = − σ = −T

1·3 3

( )O O t O I II III Iσ + σ + σσ = = =T η

0 0 11 1

0 0 13 3

0 0 1

I I

OII II

III III

σ σ ± ± = σ = σ

σ σ

T

11

13

1

O

± =

η

INVARIANTES!!!

Planos octaédricos



Tensión plana0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ

yyσxyτxxσ

z

x y



Tensión plana

Lajas

0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ

yyσxyτxxσ

z

x y

x

y



0 0

0 0

0 0 0

I

II

σ = σ

σ

Tensión plana

AnalíticamenteAutovalores

Autovectores

0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ

yyσxyτxxσ

z

x y

yyσ

xyτ

xxσ

x

y

x

yIσ

IIσ

φ



0 0

0 0

0 0 0

I

II

σ = σ

σ

Tensión plana

¿Gráficamente?

0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ

yyσxyτxxσ

z

x y

yyσ

xyτ

xxσ

x

y

x

yIσ

IIσ

φ



Tensión plana

xσyσ

xyτ

xyτ

yyσ

xyτ

xxσ

x

y

2I IIσ + σ

2I IIσ − σ

τ

σ

0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ



x

y

Tensión plana

IIσIσ

¿ ?φ

IσIIσ xσyσ

xyτ

xyτ

yyσ

xyτ

xxσ

x

y

2I IIσ + σ

2I IIσ − σ

τ

σ

0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ

0 0

0 0

0 0 0

I

II

σ = σ

σ



Tensión plana

IσIIσ

2φ

xσyσ

xyτ

xyτ

yyσ

xyτ

xxσ

x

y

2I IIσ + σ

2I IIσ − σ

τ

σ

0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ

x

y

IIσIσ

¿ ?φ0 0

0 0

0 0 0

I

II

σ = σ

σ



Tensión plana

IσIIσ

2φ

xσyσ

xyτ

xyτ 2φ

yyσ

xyτ

xxσ

x

y

2I IIσ + σ

2I IIσ − σ

τ

σ

0

0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ τ = τ σ

σ

x

y

IIσIσ

¿ ?φ0 0

0 0

0 0 0

I

II

σ = σ

σ

Resistencia de Materiales EL SÓLIDO ELÁSTICO (El · PDF fileEl Tensor de...

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