el5002_pres08

Analisis de Senales y Sistemas: Transformada Z

MSc. Renan Rojas G.

2015-1

Renan Rojas G. EL5002: Transformada Z 2015-1 1 / 18

Motivacion

Rol para transformadas discretas similar al rol de la transformada de Laplace parasistemas continuos.

Analisis de senales y sistemas mas simple: convolucion en t equivale a producto en Z.

Caracterizacion de sistemas LTI a partir de polos y ceros.


Transformada Z

La transformada Z proporciona una representacion alternativa compacta de la senal vistaen t basada en una combinacion lineal.

Transformada directa:

X(z) ,

n=x[n]zn; z C;

X(z) = Z{x[n]

}; x[n]

z X(z).Dado que es una serie infinita de potencias, existe solo para valores z para los que la serieX(z) converge.

|X(z)|

Transformada Z

Es posible expresar z = r ej; r = |z|; = ^z

X(z)z=rej

=

n=

x[n]rn ejn

Entonces, la condicion para la ROC se expresa:

|X(z)|

Transformada Z

La desigualdad es facilmente expresable como:

|X(z)| n=1

|x[n]rn|+n=0

x[n]rn,

Si |X(z)| converge en alguna region del plano complejo, ambas sumatorias son finitas endicha region.

Entonces, para que se converga es necesario lo siguiente:

i. Existe r1 lo suficientemente pequeno para que

n=1 |x[n]rn| sea absolutamente sumable.ii. Existe r2 lo suficientemente grande para que

n=1 |x[n]rn | sea absolutamente sumable.

iii. r1 > r2, de tal manera que exista una region en comun (region anular r2 < r < r1).


Region de convergencia

(a) Region de convergencia para lacomponente anticausal.

(b) Region de convergencia para lacomponente causal.

(c) Interseccion de regiones deconvergencia.

Figure : Region de convergencia para X(z) y su componente causal y anticausal.


Transformada Z

Para que una secuencia x[n] sea completamente descrita (libre de ambiguedades) en elplano z, es necesario conocer tanto X(z) como su ROC.

Ej 1:

x[n] = nu[n]z X(z) = 1

1 z1 ; ROC: |z| > ||;

x[n] = nu[n 1] z X(z) = 11 z1 ; ROC: |z| < ||;

Dado que la transformada Z de ambas es la misma, la ambiguedad solo es resuelta si seespecifica la ROC de cada una.

Finalmente, la senal causal nu[n] tiene una ROC correspondiente al interior del crculode determinado radio r2, mientras que la senal anticausal nu[n 1] tiene una ROCcorrespondiente al interior de un crculo de determinado radio r1.


Transformada Z

Ej 2:

x[n] = anu[n] + bnu[n 1] z X(z) = 11 az1

1

1 bz1 ; ROC: |a| < |z| < |b|;

x[n] = anu[n]z X(z) = 1

1 az1 ;

i. anu[n]z 11az1 ; ROC: |z| > |a|;

ii. bnu[n 1] z 11bz1 ; ROC: |z| < |b|;iii. ROC: |a| < |z| < |b|

La senal bilateral de duracion infinita tiene una transformada Z con ROC correspondientea una region anular en el plano imaginario.

Finalmente, la ROC depende tanto de su duracion (finita o infinita) as como si es causal,anticausal, bilateral, etc.


Transformada Z

Figure : Familias de senales caractersticas y sus correspondientes ROC.


Transformada Z inversa

Hallar x[n] a partir de X(z)CX(z)zn1dz =

C

k=

x[k]zn1kdz.

Dado que es una serie convergente y aplicando el teorema de la integral de Cauchy:

Z1{X(z)} , x[n] = 12pij

X(z)zn1dz.

Para X(z) descrito como fracciones racionales, existen metodos mas sencillos para hallarx[n]. Es en dichos metodos alternativos que se enfoca este captulo.


Propiedades de la transformada Z

1. La combinacion de varias transformadas Z da un ROC resultante de, al menos, lainterseccion de los ROC individuales.

2. Linealidad:

x1[n]z X1(z);

x2[n]z X2(z);

a1x1[n] + a2x2[n] z a1X1(z) + a2X2(z).3. Desplazamiento temporal:

x[n]z X(z);

x[n k] z zkX(z).La ROC de zkX(z) es la misma que la de X(z) excepto para z = 0 si k > 0 y z = sik < 0.



4. Cambio de escala en el dominio Z:

Six[n]

z X(z); ROC: r1 < |z| < r2;Entonces

anx[n]z X(a1z); ROC: |a|r1 < |z| < |a|r2.

Para a real o compleja.

5. Inversion temporal:

Six[n]

z X(z); ROC: r1 < |z| < r2;Entonces

x[n] z X(z1); ROC: 1r2< |z| < 1

r1;



6. Diferenciacion en el dominio

Six[n]

z X(z);Entonces

nx[n]z z dX(z)

dz; (Mismo ROC).

7. Convolucion de dos secuencias:

Six1[n]

z X1(z);x2[n]

z X2(z);Entonces

x[n] = x1[n] x2[n] z X(z) = X1(z) X2(z).La ROC resultante es al menos la interseccion de las ROC de X1(z), X2(z).



La propiedad de convolucion de dos secuencias nos permite hallar la respuesta delsistema a entradas arbitrarias en tres pasos:

i. Dadas x[n], h[n], hallar X(z), H(z)ii. Multiplicar las dos transformadas Z: Y (z) = X(z) H(z)iii. Hallar la transformada inversa y[n] = Z1{Y (z)}

8. Correlacion de dos secuencias:

Dado que x[n] x2[n] z X(z) H(z) y rx1x2 [l] = x1[n] x2[l],

rx1x2 [l]z Rx1x2(z) = X1(z) X2(z1)

La ROC de Rx1x2(z) es al menos la interseccion de las regiones de convergencia de X1(z),X2(z

1).



9. Teorema del valor inicial:

Si x[n] es causal, entonces:

x[0] = limzX(z).



Figure : Propiedades de la transformada Z.Renan Rojas G. EL5002: Transformada Z 2015-1 16 / 18


Figure : Pares comunes de transformada Z.


Referencias

(1) Proakis, J. G. & Manolakis, D. K. (2006), Digital Signal Processing (4th Edition),Prentice Hall.


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