Programación LinealCálculo Diferencial

Tabla de contenidoEl problema de la programación lineal...............................................................................................3

Solución a problemas de programación lineal por método gráfico....................................................3

Procedimientos para resolver por método gráfico.........................................................................3

Programación lineal con solución única (máximización)............................................................5

Programación lineal con solución única (minimización).............................................................7

Programación lineal sin solución (no acotado)...........................................................................9

Bibliografía.......................................................................................................................................10

El problema de la programación lineal.La programación lineal es una de las principales ramas de la Investigación de operaciones. Se utiliza para realizar la optimización (encontrar la mejor solución) a los problemas que modelan una situación problemática.

Los problemas de programación lineal contienen las siguientes ecuaciones: objetivo de lo que se está estudiando y las restricciones del mismo.

Es importante notar que como su nombre lo dice son modelos con objetivos y restricciones lineales, pero que puede tener tantas variables como las que se desean analizar, es decir, no estamos limitados a trabajar con solo dos variables (como normalmente conocemos las ecuaciones lineales)

La programación lineal es grandemente utilizada debido a que resuelve problemas reales de las empresas e industrias de manera óptima, lo cual sabemos que impacta directamente sobre el beneficio económico de las mismas.

Existen diferentes métodos para resolver problemas de programación lineal entre ellos se encuentran: método gráfico, simplex y simplex dual (o de dos fases).

Solución a problemas de programación lineal por método gráfico.Debido a que los problemas de programación lineal se pueden volver tan complicados como el número de variables y restricciones que se tengan, es necesario conocer los beneficios y limitaciones de cada uno de los métodos de solución.

En este caso, debido a los conocimientos propios y antecedentes de la materia: Cálculo Diferencial, se trabajará específicamente con el método gráfico, debido a su simplicidad y rapidez para resolver problemas de este tipo.

Procedimientos para resolver por método gráfico.Para la solución es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Leer el problema planteado.2. Identificar las variables presentadas.3. Establecer las funciones objetivo y las restricciones.4. Graficar en un mismo plano todas las restricciones.5. Encontrar los puntos “solución” en el polígono de soluciones (aquel que incluye a todas las

restricciones)6. Evaluar los puntos en la función objetivo.7. Seleccionar la solución “óptima” dependiendo de si es máximo o mínimo.

Ejemplo: Resolver mediante el método gráfico el siguiente problema:

Maximizar: Z=f ( x , y )=3 x+2 y

Sujeto a: 2 x+ y ≤18

2 x+3 y ≤42

3 x+ y≤24

x≥0 , y ≥0

Gráfica de Restricciones

Puntos de solución:

(0,14), (3,12), (6,6), (8,0), (0,0)

Evaluación de puntos en función objetivo (maximizar):

Punto Evaluación f= 3x+2y(0,14) f=3(0)+2(14)=28(3,12) f=3(3)+2(12)=33(6,6) f=3(6)+2(6)=30(8,0) f=3(8)+2(0)=24(0,0) f=3(0)+2(0)=0

Programación lineal con solución única (máximización)Ejemplo #1 (Del libro de Tan, S.T. (2002) pág. 338)

La compañía de novedades Ace quiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo A y del tipo B. Cada unidad de tipo A producirá una ganancia de $1, mientras una tipo B generará ganancia de $1.20. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan 2 minutos de la máquina I y 1 minuto de la máquina II. Un recuerdo tipo B requiere de 1 minuto de la máquina I y 3 minutos de la máquina II. Hay 3 horas disponibles en la máquina I y 5 horas disponibles en la máquina II para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe producir Ace para maximizar la ganancia?

Tipo A Tipo B Tiempo DisponibleMáquina I 2 min 1 min 180 minMáquina II 1 min 3 min 300 minGanancia por unidad $1.00 $1.20

Identificar las variables

Sea X el número de piezas tipo A y Y el número de piezas tipo B.

Formular las ecuaciones

La ganancia total P (en dólares) está dada por:

P=x+1 .2 y Función objetivo

Nuestras restricciones, la disponibilidad de las máquinas I y II.

La cantidad de tiempo uso en la máquina I

2 x+ y≤180

La cantidad de tiempo de uso en la máquina II

x+3 y≤300

Y como restricciones básicas x, y no pueden tomar valores negativos (ya que no puedo “desproducir” piezas)

x≥0 , y≥0

Graficar

Posibles puntos solución y evaluación

Punto Evaluación en P=x+1.2y(0,0) P=0+1.2(0)=0(0,100) P=0+1.2(100)=120(48,84) P=48+1.2(84)=30+108=148.8(90,0) P=90+1.2(0)=90

Solución

La solución óptima, aquella que máximiza las ganacias es producir entonces 48 unidades del Tipo A y 84 unidades del tipo B, dando una ganancia total de $148.8 dólares.

Programación lineal con solución única (minimización)Ejemplo #2 (Stan,S.T. (2002) pág. 339)

Un nutriólogo asesora a un individuo que sufre de una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100 mg de vitamina B 1 y 1500 mg de vitamina B2 durante cierto periodo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B 1, 5 mg de vitamina B2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B1 y vitamina B2, y cuesta 8 centavos. ¿Cuáles son las combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Marca A Marca B Requerimentos Mínimo

Hierro 40 mg 10 mg 2400 mgVitamina B1 10 mg 15 mg 2100 mgVitamina B2 5 mg 15 mg 1500 mgCosto por píldora 6 c 8 c

Identificar Variables

Sea X el número de píldoras de la marca A y Y el número de píldoras de la marca B

Definir ecuaciones

Función objetivo, mínimizar el costo C dado por:

C=6 x+8 y

Restricciones de cantidad de vitaminas:

Hierro 40 x+10 y≥2400

Vitamina B110 x+15 y≥2100

Vitamina B25 x+15 y≥1500

Restricciones básicas, puesto que no puede “destomar” vitaminas entonces:

x≥0 , y≥0

Gráfica

Puntos solución y evaluación

Punto Evaluación en C=6x+8y(0,240) C=6(0)+8(240)=1920(30,120) C=6(30)+8(120)=1140(120,60) C=6(120)+8(60)=1200(300,0) C=6(300)+8(0)=1800

Solución

La solución óptima que minimiza el gasto del paciente es comprar 30 pastillas de la marca A y 120 pastillas de la marca B, con un costo de 1,140 centavos, es decir, $11.40 dólares.

Programación lineal sin solución (no acotado)Existen problemas de programación lineal, cuyas restricciones no funcionan como tal, dejando al problema abierto a que se haga tanto como sea posible. En este caso se puede decir que no existe un solución óptima, puesto que en realidad no existe un problema. En este caso las solución a un problema aplicado o de la vida real deberá darse de acuerdo a las condiciones o disposición del dueño de la situación.

En ocasiones esto puede deberse a que no se consideran las cuestiones más obvias como cuanto estoy dispuesto a invertir, o cual es la capacidad de producción real, por mencionar algunos ejemplos.

A continuación el ejemplo #3 (Stan, S.T. (2002) pág. 354) denota un problema donde no existe solución acotada.

Maximizar P=x+2 y

Restricciones:

−2 x+ y≤4x−3 y≤3x≥0 , y≥0

Se puede notar que la solución no está acotada, por lo tanto P se puede hacer tan grande como se desee, considerando los valores de “x” y de “y” más grandes. En este caso se dice que el problema no tiene solución óptima, puesto que no existe restricción que limite realmente el mismo. Es decir, en realidad no existe un problema a optimizar.

BibliografíaTan, S.T. (2002) Matemáticas para Administración y Economía. (2da. Edición) México: Thomson Learning