El principio del palomar Un método de gran utilidad.

El principio del palomar

Un método de gran utilidad


Si en un palo-mar hay n ni-dos y m palo-mas, y n<m, entonces al me-nos uno de los nidos contiene más de una paloma.


Este principio fue enunciado de manera formal por Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).Todos lo hemos usado alguna vez, quizás sin ser conscientes, en los casos más simples; por ejemplo, si estamos reunidos 8 amigos convendremos en que por lo menos dos de los presentes celebrarán su cumpleaños en el mismo día de la semana.


Otras veces no es tan obvio que se pueda aplicar el principio del palomar para mane-jar una situación. He aquí dos ejemplos: 1.- Tenemos las siguientes 10 fichas

Si elegimos seis de ellas, seguro que hay dos entre las elegidas que suman 11.


2.- Si se marcan en el plano cinco puntos de coordenadas enteras, al menos uno de los segmentos rectilíneos que unen cada dos de los puntos pasará por un punto de coordenadas enteras.En la siguiente diapositiva se ilustra lo anterior


¿Se pueden colocar en un triángulo equilátero de 2 centímetros de lado 5 puntos de forma que no haya 2 a distancia menor o igual que 1?

¿Habrá 2 personas en Valladolid que tengan exactamente el mismo número de pelos en la cabeza?


Análisis de cada problema para ver como se aplica el principio del palomar.

¿Cuántos pares de números elegidos entre los anteriores suman 11? Son estos:(1,10), (2,9), (3,8), (4,7) y (5,6). Ahora elegimos seis números entre 1 y 10.


Como son seis números y solo cinco pares, habrá al menos dos números que pertenezcan al mismo par, es decir, que sumen 11.Aquí los nidos del palomar son los cinco pares de números, y las palomas son los seis números elegidos arbitrariamente.


El triángulo equilátero y los 4 palomares


Al dividir el triángulo en cuatro triángulos equiláteros iguales, cada uno tendrá 1 cm de lado. Podemos colocar cuatro puntos, uno en cada triángulo, de forma que estén a una dis-tancia mayor que un centímetro, pero el quin-to punto tendrá que estar en uno de los cua-tro triángulos, y estará a distancia menor o igual que 1 cm del que ya ocupaba tal trián-gulo. Luego es imposible colocar los cinco separados por más de 1 cm.


Este es uno de mis favoritos:En un poliedro cualquiera, siempre existen dos caras poligonales con el mismo número de lados.Una buena manera de visualizarlo es coger una patata y cortar con un cuchillo para convertirla en un poliedro (todas las caras planas). Se corte como se corte, siempre existirán dos caras con el mismo número de lados.


La patata cortada

Como se ve, consideraciones simples como la que se da en el principio del palomar o la distinción par-impar que nos sirvió para resolver el problema de los puentes de Konigsberg, tienen una importancia que nos permite ver aspectos del hacer en matemá-ticas. Muchos juegos tienen un trasfondo matemá-tico que enlaza campos muy distintos.

El nim de Wythoff

He aquí un juego que nos dará una relación sorprendente con un tema que hemos trata-do antes.

Se disponen dos montones de fichas, y dos jugadores van jugando por turnos de la siguiente manera: toman fichas de uno u otro montón – el número que quieran – o de los dos montones, pero en este caso el mismo número de ellas de cada uno. Gana el que retire la última ficha.

El nim de Wythoff

El juego anterior se rela-ciona con el de “arrinco-nar la reina”en un table-ro de ajedrez. Solo se puede mover la reina en horizontal, vertical o dia-gonal pero siempre hacia abajo o hacia la izquier-da. Gana el primero en llegar al cuadrado rojo.

El nim de Wythoff

¿Cuál es la relación entre ambos juegos?Suponiendo el tablero de ajedrez ilimitado hacia arriba y hacia la derecha, y teniendo por ejemplo dos montones de fichas, uno con 28 y otro con 19, coloquemos a la reina en la casilla (18,27). Cada vez que la movemos tres lugares a la izquierda en horizontal es como si tomáramos 3 fichas del montón de 18.

El nim de Wythoff

De igual forma, moverla cinco lugares hacia abajo es quitar 5 fichas del montón de 29. Cuando se mueve la reina en diagonal, se quita el mismo número de fichas de cada uno de los montones. El primero que llega a la casilla del rincón es el que ha cogido la última ficha. Así que los dos juegos son el mismo.

El nim de Wythoff

Si la reina está en alguna de las casillas cruzadas por una línea azul, el jugador al que le toca jugar gana.Si, en cambio, está en una de las dos casillas marcadas con la letra G, gana el 2º en jugar

El nim de Wythoff

¿Por qué? Pues porque el que está jugando sólo se puede mover a una de las casillas que dan ganador al oponente.

El nim de Wythoff

Si el que tiene la mano está en alguna de las casillas cruza-das por una línea amarilla, puede ju-gar para llegar a una de las marcadas con la letra G, lo que le hará ganar cuando sea su turno.

El nim de Wythoff

Se puede continuar el análisis de la misma forma y en-contrar las casillas que hay que ocupar para finalmente ser ganador. Las coorde-nadas son las que figuran en el dibujo.

El nim de WythoffPosición

(n)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16 17 19 21 22 24

B 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26 28 31 34 36 39

Nótese que los valores de la tabla B, que son las ordenadas, son la suma de la posi-ción y del correspondiente en A. ¡Si se pu-dieran calcular fácilmente los valores en A! Y aquí viene la sorpresa: los valores en A son la parte entera del número que resulta de multiplicar la posición por el número de oro.

El nim de Wytoff

El número en la tabla A que corresponde a la posición 7 se obtendría asi:

7 x x 1,618…. = 11,326…. La parte entera es 11, luego este es el valor de A. Y el de B sería 11+7=18

El nim de Wytoff

Por supuesto si tenemos una posición como la (11,18) que es de las que permi-ten, una vez que el oponente juegue, o ga-nar directamente o pasar a otra “segura”, también (18,11) tiene el mismo carácter.

El nim de Wytoff

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