El Caos y La Complejidad La Naturaleza Es Bella Caotica y Fractal Vol II

8/13/2019 El Caos y La Complejidad La Naturaleza Es Bella Caotica y Fractal Vol II

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La Naturaleza es bella,

caticay fractal

VOLUMEN II: El Caos y la complejidad

Dino Otero 2010, [email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]


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INDICE

INTRODUCCIN 6TRAYECTORIAS EN EL ESPACIO DE FASES 8

CAOS EN SISTEMAS SIMPLES 11LORENZ Y LA PREDICCIN DEL TIEMPO METEOROLGICO 19SISTEMA HAMILTONIANO NO LINEAL 24EL ROTADOR PATEADO 32ECUACION LOGSTICA 36EXPONENTE DE LYAPUNOV, DILOGISTICA 41BILLARES 48ALGUNOS CONCEPTOS RELACIONADOS CON LA ENTROPA 50CLASIFICACIN DE LAS EVOLUCIONES DINMICAS 52ENTROPA DE KOLMOGOROV 56SISTEMAS COMPLEJOS 58


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INTRODUCCIN

Este texto est principalmente dirigido a profesores universitarios, estudiantes yprofesionales que necesiten una introduccin a los temas de caos y fractales. En amboscasos no existe hasta el presente asignaturas que traten explcitamente estos temas. No estnmuy claras las razones por la cuales se da esta omisin. Me permitir exponer algunashiptesis. Las races del caos se remontan a fines del siglo XIX con los trabajos de HenryPoincar, mientras que el concepto de dimensin no entera fue introducido por elmatemtico Flix Hausdorff a principios del siglo XX. Sin embargo esos estudiosquedaran prcticamente ignorados hasta fines del siglo XX por diversas razones. Las dosprincipales causas han sido, por un lado los espectaculares desarrollos de las teorascuntica y relativista, particularmente aplicadas con gran xito en las reas de fsicaatmica, molecular, nuclear y astrofsica y por el otro la necesidad de tener los poderososequipos de clculo y graficacin que son las computadoras. Hacia 1960 se realiz un

importante desarrollo con la demostracin del teorema KAM (Kolmogorov, Arnold, Morse)pero el apogeo de la fsica lineal era an muy fuerte y el tema qued relegado a losespecialistas. Ms fortuna tuvo Benoit Mandelbrot cuando en 1967 comenz sus trabajossobre la fractalidad publicando el artculo Cunto mide la costa de Gran Bretaa?1,aunque el trmino lo acu mucho ms tarde alrededor de 1975. Ya para entonces eraposible volcar en un grfico de aceptable presentacin los elaborados dibujos que segeneran mediante algoritmos relacionados con caos o fractales. Creo que el desarrollogrfico de la computacin contribuy en gran medida a la popularizacin de estosconceptos y, por que no, al entendimiento y profundizacin de los mismos. La colaboracinentre el ojo analgico del cientfico y el poder de clculo digital de las computadoras hanpermitido avanzar rpidamente en el estudio de estos temas. Sin embargo todo esto noaclara porque el retraso en incluirlos en las asignaturas de grado. En los trabajos dedivulgacin se afirma una y otra vez que los ejemplos de dinmica de los cursos de gradoson un conjunto muy pequeo respecto de los problemas reales que se plantean en lasciencias exactas. Espero que este trabajo sea un grano de arena que colabore enincorporarlos. Vaya el ejemplo de un pndulo real, que con una gran riqueza en sudinmica, puede ser fcilmente comprendido y resuelto por alumnos de los primeros aosde la universidad, con la ayuda de la computacin. Otro ejemplo simple lo constituye lasimple ecuacin logstica a diferencias finitas, para la cual ni siquiera es necesaria ningunaherramienta sofisticada de clculo. Respecto de la fractalidad podramos afirmar que lanaturaleza es bella porque es fractal. Efectivamente, si bien los estudiantes conocen (o al

menos es de esperar que conozcan) muy bien los teoremas eucldeos y reconocen lasdiferencias entre tringulos, elipses, cubos, esferas, poliedros y cudricas, ni bien seasoman al mundo real y observan un rbol, las nubes, la mezcla de dos pinturas, losremolinos en el agua, la descarga de un rayo, descubren que lejos estn esos objetos yfenmenos de un tringulo, una esfera o un poliedro. En 1900 surge en la pintura, de lamano de Pablo Ruiz Picaso, el movimiento artstico denominado cubismo. Se rompaentonces con toda una tradicin pictrica que representaba a la naturaleza tal como era,eventualmente impregnada del espritu con el cual la contemplaba el pintor. En el afn de

1Science, New Series, Vol 156, Nro 3775 (May 5, 1967), p 636-638.


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combinar tiempo y espacio sobre una tela plana se perda, con el cubismo, una de lascaractersticas, a mi juicio, ms bellas de la naturaleza: la geometra fractal. Como diceBenoit Manderlbrot en su libro: Las nubes no son esferas, las montaas no son conos, loslitorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relmpagos noviajan en lnea recta. Pero la estructura fractal que suele presentar la naturaleza tiene su

origen en procesos dinmicos a los cuales las ciencias fsicas slo recientemente handedicado un profundo inters: la teora del caos. La base de la teora del caos es la fsica nolineal. Slo los relojes asociados a los rutinarios ciclos temporales estn realmente fuera dela fsica no lineal. Con ciclos ms largos o ms imbricados todos los problemas que puederesolver la fsica lineal se reduce a seguir esos ciclos.

En un primer volumen2 hemos presentamos conceptos elementales y todo el tema defractales. Este segundo volumen est dedicado al caos y la relacin de ambos conceptos conel tema de sistemas complejos. El lector que domine los conceptos elementales de ambosformalismos puede sumergirse en el segundo volumen directamente.

El autor ha publicado en teora del caos, fractales, fsica nuclear y teora de la

informacin. Fue profesor de fsica y matemticas en las universidades de Lujn, Centro dela Provincia de Buenos Aires, UBA, UTN y Favaloro. Fue asesor cientfico en la Comisinde Investigaciones Cientfica de la Pcia de Bs. As y desarroll tareas de investigacin ygerenciamiento en la Comisin Nacional de Energa Atmica. Parte de este material sedict en la carrera de doctorado de la Facultad Regional de Buenos Aires, UniversidadTecnolgica Nacional.

2Otero, D. La Naturaleza es bella, catica y fractal: Los fractales, irreversibilidad, azar y determinismo


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TRAYECTORIAS EN EL ESPACIO DE FASES

Un sistema de representacin especialmente til para investigar las trayectorias delas partculas es el denominado espacio de fases. En el espacio de configuracin (x,y,z)falta la informacin de la velocidad, al incorporarla el nmero de variables se duplica. Aspor ejemplo la trayectoria de un tren que va en lnea recta y a velocidad constante, en elespacio de fases sera de forma:

En el espacio de fases se prefiere utilizar el momento vmp= , en lugar de lavelocidad pues clsicamente se agrega la masa a la informacin y cunticamente es el modonatural de trabajar.

Volvamos ahora a las trayectorias que puede describir un sistema en el espacio defases. Si la trayectoria en un espacio de 6n dimensiones es una lnea, por complicada quesea, tendr una dimensin igual a uno. Sin embargo si la trayectoria se enrosca lo suficientecomo por ejemplo la figura que tiende al perfil de un cristal de nieve donde cada punta de laestrella original se desdobla como indica la parte superior de la figura

La dimensin DH ser mayor que 1 aunque menor que 2. Cuando ms se enrosquems se acercar a cubrir realmente la superficie. Para que todos los puntos del espacio de

fases tengan igual probabilidad de ser visitados, DH tiene que alcanzar la dimensin dedicho espacio. Por ejemplo para ecuaciones en una dimensin,

F(x,t) = mx

el espacio de fases tiene dos dimensiones dadas por las variables p y q. Un osciladorlineal describe una elipse y por lo tanto tiene dimensin uno, en tanto que la interseccincon el plano de Poincar dar un punto y por lo tanto tendr dimensin cero. Un conjunto


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grande pero finito de osciladores dar un conjunto de puntos tambin con dimensin totalcero.

La trayectoria de una partcula de gas tiene que tener una dimensin igual a 6(x,y,z,px,pypz) para que se pueda suponer que todas las regiones del espacio de fasestengan igual chance de ser visitadas.

Obviamente no es suficiente que DHcoincida con la dimensin del espacio de fasespues existen trayectorias que ordenadamente pueden, en el lmite cubrirlo como se muestraen la primera caja de la figura 4. En la segunda caja se representa esquemticamente el

comportamiento de las partculas de gas chocando contra las paredes y entre ellas.Si un sistema tiene los exponentes de Lyapunov positivos y DH igual a la dimensin

del espacio de fases entonces el sistema mostrar un comportamiento catico y se podrnrealizar hiptesis estadsticas. La conclusin es que aunque la dinmica clsica seadeterminstica la evolucin futura del sistema puede caer en una regin muy grande delespacio de fases y el lugar donde pueden caer es muy sensible a las condiciones iniciales.

Esta conclusin refuerza el concepto que la probabilidad no es unapropiedad de los sistemas, sino ms bien una estimacin numrica de los valores quepueden tomar las propiedades de los sistemas. Se restituye as la formulacin objetivade la ciencia.

Sin embargo debe tenerse presente que la no linealidad es una condicinnecesaria pero no es suficiente para que se genere el caos.


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Los sistemas disipativos, es decir aquellos para los cuales no se puede escribir unHamiltoniano para expresar la energa interna, son los que ms claramente presentanfenmenos caticos. Estos sistemas pueden tener un comportamiento similar a un sistemalineal y un comportamiento totalmente catico. La transicin desde el estado no catico al

catico se denomina ruta al caos.La ltima ruta ha sido tambin denominada turbulenta aunque no debeconfundirse con la turbulencia espacial y temporal que se da en los fluidos. An no se hanpodido reproducir ese tipo de turbulencias aunque se ha dedicado mucho esfuerzo a esetema. Aunque muchos libros de textos desarrollan un detallado tratamiento de la dinmicaclsica, en general dejan la impresin que la mayora de los sistemas clsicos sonintegrables cuando en realidad es todo lo contrario.

Con la prueba del teorema KAM, Kolmogorov, Arnold y Morse qued establecidoque el movimiento de un sistema integrable en el espacio de fases no es ni completamenteregular ni completamente irregular pues el tipo de trayectoria depende sensiblemente decules sean las condiciones iniciales.

Aunque este teorema y sus conclusiones son cruciales para entender la dinmicaceleste, su importancia se extiende a la fundamentacin de los denominados sistemasergdicos y por lo tanto podran contribuir a entender el comportamiento de plasmas aaltas temperaturas, requisito indispensable en los reactores de fusin nuclear.


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CAOS EN SISTEMAS SIMPLES

Pndulo amortiguado y forzadoSea un pndulo como el que indica la figura:

donde el ngulo T sigue la ecuacin de movimiento:

que mediante un cambio de variables puede ser escrita como un sistema de dosecuaciones diferenciales:

x = T , y = dT/dt ,

Este sistema dinmico es muy rico en soluciones, aunque termina con unafrecuencia dominada por ? . La solucin de un sistema como (1) viene dada por la solucin

de la ecuacin homognea ms una solucin particular de la ecuacin inhomognea. Lasolucin homognea slo domina en el perodo transitorio y finalmente se impone lasolucin inhomognea gobernada por ? . Un caso interesante resulta cuando la frecuenciade oscilacin de la homognea se acerca a la frecuencia de la inhomogeneidad. Se tieneentonces resonancia y conviene analizar el transitorio utilizando un cdigo que resuelve la

tFgsendt

d

dt

d cos

2

2

=+

+

ydt

dx=

tFgsenxydt

dy cos+=


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ecuacin por algn mtodo de diferencias finitas. Usaremos aqu el cdigo para evaluar lassoluciones de las ecuaciones lineales y no linealesPHASER3.

PNDULO LINEAL

Consideremos primero un simple pndulo lineal. El pndulo es el ejemplo desistema armnico. Incluso un pndulo amortiguado puede ser descrito muy adecuadamentepor una simple ecuacin lineal. Resulta ms interesante si el pndulo est forzado por unafuerza peridica. En ese caso adems de la resonancia se pueden presentar largostransitorios con frecuencias superpuestas. Las ecuaciones a utilizar son:

122

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)cos( xm

kx

m

catf

dt

dx

xdt

dx

=

=

donde se ha aproximado la funcin senx por la expansin a primer orden, x.Como sabemos un sistema de orden n puede ser reducido a n sistemas primer orden.

La trayectoria se da en un espacio de configuracin unidimensional caracterizado por lavariable x1y en un espacio de fases bidimensional caracterizado por las variables (x 1,x2).Veamos primero un caso no resonante

La relacin entre la frecuencia natural y la de la alimentacin tienen una relacindos. En la figura se ve que el trmino de amortiguacin va eliminando la frecuencia naturaly finalmente queda una frecuencia el doble de la original.

Las condiciones iniciales van amortiguando en la medida que converge a un ciclolmite en el rgimen estacionario.

.

3Hseyin Kocak, Differential and Difference Equations through Computer Experiments, Springer-Verlag,Berln, 1986.


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Para el caso resonante tenemos,

Sin embargo fuera de la frecuencia resonante se obtienen evoluciones peculiares. Seobserva una pelea entre la frecuencia natural y la forzada, dando lugar a un batido

transitorio:


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Si la disipacin se anula la competencia continua indefinidamente dando lugar a unbatido continuo (c=0), con figuras muy simple para relaciones de frecuencias enteras(para lo cual conviene que k sea un cuadrado perfecto de un nmero natural):

De todas formas el sistema siempre converge a un ciclo lmite ms o menoscomplejo. La complejidad de este ltimo ciclo lmite tiene un cierto parecido con lo queveremos ms adelante denominados atractores extraos:

Para k = n2 y a=n se tiene resonancia. Por ejemplo k=4, a=2

PNDULO RGIDO REAL

Veamos ahora el caso real que no lineal (recordemos que el caso lineal apareceaproximando sen(x1) ~ x1). La condicin de rgido permite que el brazo gire alrededor delpunto de sustentacin

2

1 xdt

dx=

)(..)(. 122 xsenaxctsenf

dt

dx=

El tema no ya tan simple de analizar. Para algunos valores de los parmetros laevolucin tiende a un ciclo lmite dominado por la fuerza externa. La extrema sensibilidada las condiciones iniciales se pone de manifiesto en estas soluciones no caticas en laevolucin de los transitorios que pueden seguir trayectorias muy distintas y durar tiempos


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muy distintos para condiciones iniciales tan cercanas como se quiera. Este fenmeno sedenomina fractal basin boundaries y fue analizado por Celso Greboggi4. Un buenejemplo lo constituyen las siguientes condiciones:

Parmetros: f = 1, c= 0.01, 1= , a = 1; condiciones iniciales: x11= 0.1, x 21= 0.1, x12=.100001, x 22= 0.1

En 300 segundos las soluciones se ven de esta forma (condicin inicial 1en negro y condicin inicial 2 en rojo) y uno estara tentado a suponer que est frente a unsistema catico:

Para asegurarse que no estamos viendo el transitorio se puede ir ms lejos, porejemplo entre 1000 y 1500 segundos:

Ahora tenemos la sorpresa que la condicin inicial (1) muestra una evolucin

aparentemente catica y la solucin (2) ha cado en un ciclo lmite. Para estar seguros quela solucin (1) no se encuentra an en el transitorio podemos avanzar ms en el tiempo, porejemplo entre 2000 y 3000 segundos:

4Greboggi, C., Ott, E., Yorke, J.A., Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in NonlinearDynamics, Science 238, 1987, p 632-638.


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Recin entre 3200 y 3600 segundos observamos que la solucin (1) cae tambin enun ciclo lmite:

Si observamos con cuidado ambos ciclos lmites veremos que tienen un anchosimilar aunque la estructura no parece idntica. Habr alguna diferencia entre ambos? Pararesolver este problema conviene observar los datos finales, es decir al tiempo t = 7000 seg:

x11 = - 38.365879496070555 x21 = - 2.1047033897554400 x21 = 106.14738256905945 x22 = - 2.1047033897557066

Se observa que la velocidad difiere tan slo en 2.666*10-13, en tanto que sisumamos,

x11 + x21 = 144.513262065130005y dividimos por p obtenemos el valor 45.9999999999998459 que difiere de 46 en tan slo1.541*10-13.

Es decir la posicin a un dado tiempo difiere dentro de esta precisin en un nmeropar de veces . Se puede afirmar que dentro de esta precisin (del orden del mtodoempleado para resolver el problema) ambos ciclos lmites son idnticos! Las solucionesslo difieren en el transitorio y en el tiempo que tardan en alcanzar el rgimen estacionario.


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Por supuesto que en casos concretos esta diferencia puede ser fundamental para laestabilidad y reproducibilidad de un sistema real!

Veamos ahora condiciones esencialmente caticas: Parmetros: f = 2.7, c= 0.22, w = 1, a = 1; condiciones iniciales: x11= 1, x21

= 0, x12=1.000000001, x 22 = 0

El resultado entre 6000 y 7000 segundos puede observarse en la figurasiguiente:

Ahora ambas trayectorias continan siendo caticas y los valores de las variables enel segundo 7000 no tienen nada que ver entre s:

x11 = - 254.32511306852183 x21 = - 0.42481180247127415 x21 = 317.929445782182869 x22 = - 0.39827541185651233Cuando los parmetros corresponden a una condicin catica cualquier condicin

inicial da una trayectoria catica y en consecuencia impredecible. En cambio paracondiciones estables es decir de un solo ciclo lmite tenemos diferentes formas de arribar.

Asignando un color diferente a cada condicin inicial de acuerdo a los ciclos lmitesque arriben (que difieren en 2np), por ejemplo rojo y azul; y variando la intensidad de loscolores de acuerdo al tiempo que tardan en arribar: ms intenso si llegan rpidamente y msclaro si tardan ms, se obtiene este mapa de condiciones iniciales (se restringi a un par deciclos lmites aunque puede presentarse segn sean los valores de los parmetros y lascondiciones iniciales, muchos ms):


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Otro sistema simple e importante que presenta caos es el experimento de lainestabilidad de Bnard. Se trata de un fluido con un coeficiente de expansin positivo quees calentado desde abajo y acta el campo gravitacional:

El fluido fro tiende a caer y el caliente tiende a subir por diferente densidad. Laviscosidad se opone a este movimiento y para T pequeos el transporte de calor se realizapor conduccin y el lquido permanece en reposo (figura izquierda). El sistema se vuelveinestable por arriba de un cierto valor crtico del nmero de Rayleigh, Rc1, y comienza unmovimiento de rotacin que genera cilindros convectivos en el recipiente.

Si ? T aumenta ms an, al alcanzar un segundo Rc2 el movimiento del fluido sevuelve turbulento (catico). Las ecuaciones que describen el fenmeno son:

a) Las ecuaciones de Navier Stokes,

La ecuacin de conduccin del calor,

La ecuacin de continuidad,

Donde es la densidad del fluido, es la viscosidad, p es la presin, K es la

vpFdt

vd rrr 2+=

Tdt

dT 2=

0).( =+

vt

rr

kgF =


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conductividad trmica y F es la fuerza externa en la direccin de z, debida a la gravedad.El trmino fundamental de nolinealidad proviene de la derivada total de v:

Este problema se aplica tanto a una pava sobre el fuego como al comportamiento dela atmsfera (donde la tierra est caliente y la estratosfera est fra). Lorenz, estudiando elcomportamiento del tiempo meteorolgico redujo, haciendo varias simplificaciones peromanteniendo la alinealidad, este complejo sistema de ecuaciones a slo 3:

dondeK

= es el nmero de Prandtl, b est asociado a la frecuencia ms baja de

un desarrollo Fourier de las soluciones y r = R/RC ~ T es el parmetro de controlexterno.

Un dispositivo mecnico muy simple ideado tambin por Lorenz representa algunasde las propiedades de este sistema:

Conocido como Lorenzian waterwheel. As como el aire en la atmsfera disipacalor los baldecitos pierden agua, la cual es alimentada estacionariamente por un flujodesde arriba. Si la alimentacin es muy pequea la perdida elimina el agua del balde y elsistema transfiere agua de arriba hacia abajo sin moverse. Cuando el caudal aumenta, el

t

vvv

dt

vd

+= rrr

).(

bzxydt

dzyxzxrdt

dy

xydt

dx

=

=

=

.

)(


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peso del balde y la ms mnima imperfeccin hacen que comience girar la rueda. Alaumentar ms an el caudal el sistema se vuelve catico: el llenado de los baldes dependedel tiempo que pasan debajo del chorro de agua. Al aumentar la velocidad se llenan poco yla rueda puede invertir su giro, etc. Efectivamente Lorenz descubri que el giro puederevertirse muchas veces no alcanzando un estado estacionario ni repitindose de manera

predecible. Resulta interesante que existe analoga con el funcionamiento de los antiguosdnamos donde fluye corriente en un disco que gira pasando por un campo magntico. Bajociertas condiciones la dnamo puede invertir su giro. Algunos cientficos han sugerido queesto podra explicar la reversin del campo magntico terrestre generado segn unahiptesis bastante aceptada por el efecto dnamo del magma girando a diferente velocidadque la corteza terrestre. Veamos ahora el famoso resultado de la evolucin de las variables(x,y,z) de las ecuaciones de Lorenz. Las condiciones iniciales y los parmetros son:

= 10, r = 28, b = 8/3 CI: x = .1; .1000000000001, .0999999999999, y = 5, z = 5 tiempo: 2000

Estas trayectorias se dan en realidad sobre una curva alabeada. Para tener una ideamejor conviene usar el mapa de Poincar que, justamente lo propuso para poder entender elcomportamiento espacial de soluciones complejas de ecuaciones no lineales.

Una forma interesante de visualizar el mapa de Poincar es mediante el vuelo

imaginario de una mosca:


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Un vuelo en crculos deja slo dos puntos sobre el plano y un vuelo errtico ircubriendo todo el plano o si la mosca tiene cierta predileccin en volar en determinadasreas, aparecer un conjunto extrao de puntos, que no cubre homogneamente el plano.Aunque parte de la informacin de la trayectoria se ha perdido se obtiene una detalladadescripcin de cuan regular es el movimiento. En el caso del atractor extrao de Lorenz elmapa revela que las trayectorias se dan sobre una superficie:

Plano de Poincar: 0x + 0y + 1z +(-40) = = 0 (z = 40)

El plano es paralelo a (x,y) y corta la trayectoria a los valores de z indicados.

Las trayectorias comienzan muy suavemente entre z = 5 y z = 20 y se elevan msrpidamente entre z =30 y z = 45. En z = 20 y z = 30 se observa adems que la interseccinsobre el plano no es una recta aunque s una lnea.

Con estas ecuaciones Lorenz demostr que la prediccin del tiempo meteorolgicoes, en ciertas condiciones iniciales y con determinados parmetros, totalmente imposible.

Las figuras que se obtienen dieron origen al denominado efecto mariposa,ironizando que el batir de alas de una mariposa en el Amazonas podra causar un tornado en


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el Japn. El problema no es tan simple pues existen muchsimas mariposas y un montn deotras causas que pueden compensarse unas a otras por lo que muy seguramente, aunque laperturbacin inicial no necesita ser demasiado importante, se requiera algo ms que elsimple batir de alas de una mariposa para que las condiciones meteorolgicas tomen otrorumbo.


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SISTEMA HAMILTONIANO NO LINEAL

Los ejemplos que vimos hasta ahora tienen como ingrediente la disipacin. Engeneral este factor ayuda a visualizar situaciones caticas. Sin embargo las leyes fsicastienen la disipacin como una aproximacin y no como una propiedad fundamental.Resulta interesante entonces verificar que tambin un sistema no disipativo puede presentarsoluciones caticas.

Presentaremos entonces un ejemplo de un sistema totalmente conservativo yhamiltoniano, el potencial de Hnon-Heilles5:

Como siempre pi son los momentos lineales conjugados de las coordenadas q i y

donde las ecuaciones de movimiento vienen dadas por,

Este hamiltoniano fue usado por Henon y Heiles en un trabajo sobre el movimientode estrellas dentro de una galaxia.

La observacin del caos en estas ecuaciones es menos obvia que en los otros casos.De hecho tiene condiciones totalmente integrables y por lo tanto regulares. Por ejemplo,

a = 1, b = 16, c = 16

CI: q11= .2, q 21= .1, p 11= .1, p 21 = .1

q12 = .201, q 22 = .1, p 12 = .1, p 22 = .1

luego de 5000 segundos las trayectorias se mantienen casi superpuestas:

En cambio para otros valores de los parmetros, a = 0.7, b = 1.3, c = -0.3Se obtiene una rpida separacin de las trayectorias:

5Henon, M y Heiles, C. The applicability of the third integral of motion : some numerical experiments,The Astronomical Journal, 69 (1), 1964 p 73-99.

32

32

221

22

21

22

21 cqqq

qqbpapH +

+++=

11 pt

q=

22 pt

q=

2111 2 qqaqt

p=

3

2122 cqqbqt

p=


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Ms interesante resultan las siguientes condiciones: a = 0.99652249, b = 1, c = -1 CI: q11= .199, q 21= .1, p 11= .1, p 21 = .1 q12 = .201, q 22 = .1, p 12 = .1, p 22 = .1

Aqu las rbitas coinciden durante 300 segundos hasta alcanzar la frontera superiorderecha.

Luego la rbita roja avanza en el tringulo superior e inferior mientras la azulretrocede sobre sus pasos. Vuelven a juntarse a los 750 segundos en la frontera superiorizquierda. En cada frontera las trayectorias se estacionan unos segundos. Vuelven asepararse y se juntan nuevamente en la frontera superior derecha a los 1300 segundosaproximadamente. Continan as indefinidamente.

Cada condicin inicial puede ser una sorpresa en cul de las dos trayectorias

terminar. Por ejemplo para las siguientes condiciones iniciales:

q11 = .199, q 21 = .1, p 11= .1, p 21= .1 q12 = .201, q 22 = .1, p 12= .1, p 22= .1 q13 = .05, q 23 = .1, p 13= .1, p 23= .1 q14 = .18, q 24 = .1, p 14= .1, p 24 = .1 q15 = .16, q 25 = .1, p 15= .1, p 25= .1 q16 = .22, q 26 = .1, p 16= .1, p 26= .1Se obtiene la siguiente figura:


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Qu podra utilizarse como distintivo terrcola en la guerra de las galaxias!Las inestabilidades de estos sistemas hamiltonianos fueron bien estudiadas por

Kolmogorov (1954) Arnold (1963) y Moser (1967): teorema KAM. Si un hamitonianoes no lineal muy seguramente puede ser catico. El teorema trata de hamiltonianosintegrables con una pequea perturbacin no integrable. Para ser integrable el hamiltonianodebe poseer tantas constantes de movimiento como dimensiones. Por ejemplo el sistemaSol-Planeta (sin considerar otros planetas y/o satlites), desarrolla su movimiento en unplano (dos dimensiones) y tiene dos constantes de movimiento, la energa y el momentoangular.

Los hamiltonianos integrables pueden ser descriptos en variables angularesmediante una transformacin cannica y las trayectorias se desarrollan sobre un hipertoro,bobinndolo de acuerdo con las frecuencias asociadas a las variables angulares.

TORO KAMEl caso ms simple corresponde a un oscilador armnico. La energa de un oscilador

armnico con slo un grado de libertad (unidimensional) puede ponerse como,

2

2

2

2

b

q

a

pE +=

donde p es el impulso y q la posicin


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Cuando se tienen ms grados de libertad (ms dimensiones) las trayectorias serealizan sobre superficies de energa constante.

Sistema integrable

Un corte del toro integrable nos dar un conjunto de crculos concntricos:

En cambio en el caso en un sistema inicialmente integrable al cual se le agrega una pequeaperturbacin no integrable se obtiene el siguiente corte:

Los toros se rompen en subtoros que rotan helicoidalmente dentro de los torosprincipales. Ahora las trayectorias son caticas dentro de esos subforos. En realidad los quesucede con el toro integrable depende drsticamente de las frecuencias de giro alrededor deltoro. Se tiene una rotacin alrededor del toro, 1 , y otra rotacin alrededor de la seccin deltoro, 2 :


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Resulta crucial para la estabilidad la relacin entre las dos frecuencias de giro sobreel toro:

relacin racional relacin irracional

Resonancia no resonante

En general la relacin racional es inestable y desemboca en las zonas caticas en tanto quela relacin irracional slo aparece como una perturbacin de la rbita establecida sobre eltoro integrable. En realidad el problema es muy complejo porque cada grado de libertadtiene asociada una frecuencia angular

Supongamos que las rbitas se desarrollan sobre un toro con las frecuencias 1 y

2 , el teorema dice que si la relacin entre las frecuencias es suficientemente irracionalel toro se deforma levemente y las trayectorias siguen estando sobre su superficie. Encambio si la relacin es cercanamente racional las trayectorias aparecen en mltiples toros

internos de diferentes secciones. El sistema se vuelve catico en las zonas cercanas a lasrelaciones racionales que se muestran en la siguiente figura:

Por supuesto que alrededor de cada uno de estas relaciones existen infinitasrelaciones. Por ejemplo alrededor de 2/5 tendremos 21/51, 201/501, 2001/5001, tambintendremos relaciones como (1/5 + )/2 = 9/40 que agregara otro intervalo de prohibicinpero del orden de 10 veces menor.

En particular la relacin de oro:

que cumplea

b

ba

a=

+. Resolviendo la ecuacin cuadrtica: 022 =+ aabb


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30

Esta descripcin fue propuesta por el fsico Michael Berry7 y se asocia a las capasde plstico con las zonas de movimiento ordenado cuasiperidico, los bobinadosadicionales de alambre con rbitas resonantes y los manojos enredados con las zonascaticas. Obsrvese que los finos alambres de las resonancias quedaron rodeados de losmanojos enredados que representan el caos. Este difcil teorema fue intuido porKolmogorov y propuso un plan para demostrarlo, Arnold un discpulo que se convertira enun famoso matemtico de la dinmica realiz una prueba rigurosa. Finalmente losresultados fueron extendidos por Moser y esta es la razn del nombre con que se lo conoce

hoy en da.Ahora que hemos analizado un poco ms en detalle el teorema KAM observamos

que no necesariamente es tan simple la conclusin. La relacin de nmeros primos podrser catica en aquellos casos que el alambre que la representa es extremadamentedelgado y fuertemente rodeado de las madejas enredadas. En cambio si el alambre querepresenta la resonancia es grueso y tiene poco alambre enredado cerca, lacorrespondiente rbita podr ser completamente estable.

As puede entenderse algo ms los complicados resultados experimentales, enparticular el comportamiento del nmero de asteroides en funcin de la relacin de surbita y la correspondiente rbita de Jpiter alrededor del Sol. Debido a su masa puede

considerarse que Jpiter es el planeta que ms influye sobre los asteroides. Para ciertasrelaciones enteras como 4, 7/2, 3, 5/2, 2 se tiene una relativa ausencia de asteroides lo cualindicara que dichas rbitas son poco estables. Sin embargo para 1 la concentracin esgrande.

7Berry, M V, Regular and Irregular Motion in Topic in Nolinear Mechanics, ed. S Journal, Am.Inst. Ph.Conf. Proc. Nro 46, p 16-20.


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En el valor 1, los asteroides son directamente arrastrados por Jpiter, sera uncable grueso de gran estabilidad (aunque el nmero no es elevado pues cualquierperturbacin introducira a los asteroides en zonas caticas). Es posible encontrar otroscasos en el sistema solar de resonancias estables e inestables.

Por ejemplo la Luna siempre muestra la misma cara a la Tierra en una resonancia1:1 entre su rotacin y el perodo orbital. Mercurio rota alrededor del Sol en 88 das y rotasobre su eje en 59 das en una relacin cercana a los 2/3 que, se comportara comoresonancia estable.

Tambin en los anillos de Saturno y de Urano se observan aros vacos queindicaran zonas de inestabilidad.

Aqu, en los anillos de Urano se pueden observa las zonas vacas y adems que laestructura presenta un comportamiento fractal. En general la dinmica no lineal presentafrecuentemente estructuras fractales. Ya vimos en el caso del pndulo no lineal la base decondiciones iniciales fractales, los atractores extraos de Lorenz y ahora las rbitaspermitidas de sistemas hamiltonianos.


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EL ROTADOR PATEADO

Un importante ejemplo es el de un rotador peridicamente pateado, es decir recibeperidicamente un impulso,

La ecuacin de movimiento es:

donde ? es la constante de amortiguamiento, t el perodo entre dos patadas, el momentode inercia est normalizado a uno. K es una constante que controla el valor de la patada yf(f ) modula la patada de acuerdo al ngulo. La ecuacin (1) puede escribirse como:

Estas ecuaciones diferenciales pueden convertirse en un par de ecuaciones a diferenciasfinitas (difference equation):

Estas ecuaciones dan una visin estroboscpica de las variables (x,y). Veamosalgunos importantes lmites de estas ecuaciones.

=

==+0

2

2

)()(n

nTtKfFdt

d

dt

d

=

+=

=

0

)()(n

nTtxKfydt

dy

ydt

dx

[ ]

[ ]

++=

=

+

+

)()1(

)(

1

1

nnT

nn

n

T

n

xKfyexx

xKfey


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MAPA LOGSTICO

Para K, ? ? 8 tal que K/? ? 1 y f(xn) = (r 1)xn r.x n se obtiene el mapeo cuadrtico unidimensional,

xn+1 = r.xn(1 xn)dejaremos para ms adelante el estudio detallado de esta importante ecuacin a diferenciasfinitas.

MAPEO DE HNON

A los cinco aos de la publicacin del trabajo de Lorenz, Michel Hnon 8 descubraen el Instituto de Astrofsica de Paris un sistema dinmico de gran sencillez mediante elcual se podan explicar las pequeas oscilaciones que hacen que ciertos cuerpos celestes sedesven levemente de su rbita elptica. Es un buen ejemplo de dinmica complicada que hasido muy estudiado por fsicos y matemticos.

Con un poco de manipuleo matemtico se pueden obtener, a partir del rotadorpateado las ecuaciones propuestas por Hnon:

definidas para -1 = b = 1. Veamos ahora la convergencia al atractor extrao, que, enrealidad no se ha podido demostrar matemticamente que realmente se trate de un atractor

extrao:

Si visemos como se va generando la grfica punto a punto, al principio nodistinguiramos ms que una nube catica de puntos en apariencia inconexos quecomienzan a instalarse errticamente sobre las curvas con forma de herraduras, sin

8Henon, M., A two dimensional mapping with a strange attractor, Comm. Math. Phis, 50, p 69-77.

nnn yaxx +=+2

1 1

nn bxy =+1


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embargo, a medida que el nmero de iteraciones aumenta, la curva comienza a compactarsepara configurar el atractor, del cual es imposible saber si dos puntos consecutivos estarncerca o lejos.

Para ver este efecto conviene por ejemplo que analizar las iteraciones por ejemploentre 20000 y 20008, conectando los puntos (en azul donde se generar el atractor extrao):

En cambio para ver el atractor extrao conviene que los puntos no se conectenpues toda la imagen se llena de rayas espreas. Al igual que el atractor de Lorenz, losvalores numricos obtenidos dependen de las condiciones iniciales, no as la curva final, lacual adquiere siempre el mismo aspecto despus de las suficientes iteraciones.

Una propiedad particular del atractor de Hnon es que al acercarnos a cualquier parte dela grfica, lo que en principio parecan lneas individuales, se subdividen en pares de lneas,y as sucesivamente.

Esta imagen fue obtenida luego de 20000 iteraciones y las condiciones iniciales: (x,y) =(0.1,0.1), (0.100001, 0.1), (0.099999, 0.1), (.15, 0.1). Resulta muy interesante ir ampliandoalguna zona.

Para poder observar el resultado en la zona ampliada se deben aumentar el nmero de

iteraciones. Primero aumentaremos el rectngulo azul:

Y finalmente aumentaremos el rectngulo rojo:


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En esta ltima ampliacin se debieron 1.710.000 iteraciones. Es decir el nmero deiteraciones se aument por un factor 86 y la ventana se aument por un factor 6x106,mantenindose la autosimilaridad.


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ECUACIN LOGSTICA

Volvemos ahora a la ecuacin logstica. Esta ecuacin en su expresin diferencialtiene una gran aplicacin en ecologa, en particular el estudio de poblaciones, y fuepropuesta por P.F Verhulst9 aplicndola en particular para la poblacin de Blgica. En esecaso adopta la forma:

donde P mide la poblacin normalizada entre 0 y 1, a>0 es el parmetro de crecimiento yb>0 es el parmetro de inhibicin regulado por el medio en el que desarrolla la poblacin,en general a >> b. Se ha comprobado que la solucin de esta ecuacin predice con bastanteexactitud las pautas de crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas deagua (Daphnia) y moscas de la fruta (Drosophila) en un espacio limitado. La solucin de

(6) puede encontrarse por separacin de variables.Al descomponer el lado izquierdo en fracciones parciales e integrar, se obtiene,

entonces

Si la condicin inicial es P0, entonces,

y la solucin tiene la expresin:

9Verhulst, P.F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement, Correspondancemathmatique et physique 10, 1838, p113-121

2bPaPdt

dP=

dtdPbPaa

b

aP=

+)(

1

cta

bPa

a

P=

lnln

acatbPa

P+=

ln

atebPaP )( =

atebc

actP +

=)(

0

0

bPa

Pc =

[ ]atebPabPtaP

tP +=

)(

)()(

00


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Una solucin tpica es la siguiente:

Simplemente a partir de un valor inicial la poblacin se estabiliza en un valor final.Veamos ahora como se obtiene la ecuacin a diferencias finitas popularizada por May10.

Para ello conviene hacer un cambio de variables:b

xaP

)1( += . Entonces la ecuacin

diferencial queda,

y escribindola en forma incremental, es decir tal que dt t ,

poniendo ? t con un valor finito por ejemplo un ao, un mes, un da: ? t, y x(t+1)= xn+1yx(t) = xn, nos queda,

xn+1 = xn + xn[a (a+1)xn], xn+1 = xn + x na - xnxn (a+1) = xn(a+1)(1 - x) y poniendo r = a + 1,

xn+1 = r.xn(1 xn)

que es la tpica expresin de la ecuacin logstica a diferencias finitas. Para valores bajos der (< 2.9) el comportamiento es similar a (255), es decir converge a un punto fijo. Entre 2.9y 3.0, la solucin presenta oscilaciones pero igualmente converge a un punto fijo. A partirde all comienzan las bifurcaciones:

10May, R.M., Simple Mathematical Models with very Complicated Dynamics, Nature 261, p 459.

[ ]xaaxdt

dx)1( +=

[ ])()1()()()(

txaatxt

txttx+=

+


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Hasta que para r ~ 3.58 comienza una evolucin catica de las soluciones, elsiguiente corresponde a r =3.9 y CI, x0= 0.1 y x 0 = 0.10000001:

Llamando x al valor de x n luego de muchas iteraciones (10000!), y variando r, se obtiene


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Por debajo de 3 se ve un leve incremento del punto fijo y luego aparece unabifurcacin. El valor de xn oscila asintticamente entre dos valores. Luego aparecen 4valores de oscilacin, 8, 16, 32, hasta que por arriba de 3.59 el comportamiento de xn estotalmente catico. Variaciones tan pequeas como se quiera en el valor inicial de xproducen variaciones arbitrarias en x . Antes de este comportamiento, para cualquier valor

inicial el valor de x resulta invariante ya sea el punto fijo o las bifurcaciones.

Las zonas claras que se observan en la regin del caos consisten en rplicas delmodelo, es decir contiene una porcin de punto fijo, bifurcaciones y finalmente retorna alcaos. Por arriba de r = 4 la solucin no est definida.

Aunque en la zona catica no es posible predecir la evolucin de la solucin,tampoco es posible utilizar esta simple ecuacin para generar nmeros al azar puesobservando con detenimiento se ve que para cualquier valor de r > 3.5699456 ladistribucin de valores no es uniforme lo cual sera una primera condicin (no la nica)para que los nmeros generados fueran estrictamente aleatorios.

Un anlisis frecuente en la evolucin de esta iteracin se realiza visualizando comola solucin va saltando en cada caso entre n [parbola: y = r.xn(1 xn)] [recta 45, y = xn+1]:


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Con r = 2.0 se observa la convergencia a un punto fijo.

Con r = 3.4 se observa la convergencia a un bifurcacin mltiple. Finalmente para r= 3.9 seobserva la iteracin catica:


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EXPONENTE DE LYAPUNOV

Conviene ahora introducir ms formalmente el exponente de Lyapunov. Hemos vistocomo dos puntos muy cercanos (0.1 y 0.10000001) la soluciones comienzan a separarse porla accin del mapeo. Para un mapeo en general tenemos,

xn+1 = f(xn) = f(N)(xo), y en particular x1 = f(x 0),

El exponente de Lyapunov mide esa separacin :

A partir de este esquema podemos escribir:

Donde el suprandice N indica las N interacciones, tomando el lmite para e ? 0 y N ? 8 ,se tiene,

Para poder evaluar esta ltima expresin, veamos que, derivando funcin de funcin,

[ ] )()(. 0)(

0)()0( xfxfe NNxN +=

=

+

= N

xfxf

lmlmx

NN

N

)()(ln

)(

0)(

0)(

00N

dx

xdf

lm

N

N

0

0)( )(

ln


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usando que x1= f(x o) (vlido para las ecuaciones iterativas), entonces

con lo cual se tiene

entonces la expresin de ?(xo) se convierte en el producto de N derivadas ,

Entonces el exponente queda,

Esta expresin puede ser usada para calcular )( 0x usando un N suficientementegrande. Ahora podemos volver a analizar la ecuacin logstica. Aplicando la expresinde )( 0x y haciendo los correspondientes clculos para un N suficientemente grande yvariando el parmetro r, se obtiene:

[ ]{ } [ ]000

)()()( 00)2(

xxx

xfdx

dxff

df

dxff

dx

d

dx

df

==

[ ] [ ]1

10 )()(x

xfdx

dxf

df

dxff

df

d==

[ ]0

01

00

)2(

)()()()(00

xxxx

xfdx

dxfdx

dxfdx

dxffdf

d

dx

df

=

=

N

xfdx

d

lmN

dx

xdf

lm

N

i xi

N

N

N

= ==

1

00

0)(

)(ln)(

ln

==

=

N

xfdx

d

lmx

N

i xi

N

1

00

)(ln

)(

xfdx

d

lm

N

i xi

N

=

1

0

)(ln


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Los valores positivos corresponden a la zona catica, los negativos a los puntos fijosy los nulos a los puntos de bifurcacin. El anlisis numrico de esta ecuacin puederesumirse en, 1) Rgimen peridico ( < rr ). a) El nmero de puntos fijos cambia de 2m-1 a 2m y cada bifurcacin est a una distancia dada por para n >> 1.n

m constrr

= .


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b) El cociente de las distancias dn tomadas entre las bifurcaciones en el punto medio comose indica en la figura se mantiene constante:

=+1n

n

d

d

c) Las constantes, denominadas de Feingenbaum por haberlas encontrado con un simplecalculador de bolsillo (segn sus propias palabras debido a que deba anotar el nmero paraseguir calculando) son:

= 4.6692016091 = 2.5029078750

y adems,donde Rnes un valor intemedio entre las bifurcaciones, r n son los valores correspondientesa las bifurcaciones y R es el valor crtico para el cual el comportamiento se torna catico.

......5699456,3== rR

Esta es una de las tres ms importantes rutas al caos: La ruta de las bifurcaciones.La ecuacin logstica a diferencias finitas se origin en la simulacin de evolucin deespecies animales que presentan un claro ciclo vital, generalmente anual. As los resultadosde May se aplicaban muy bien a ciertas especies de alces, peces e insectos. No seobservaron ciclos evolutivos con ms que una o dos bifurcaciones y en ningn casoevoluciones caticas.

Sin embargo la realidad no es exactamente como la trata de describir la ecuacinlogstica a diferencias finitas. Generalmente las especies estn aparendose y luchando porla vida durante la primavera/verano y relativamente aletargadas en el invierno/otoo. Es ascomo surgi la idea de combinar una evolucin discreta durante un cierto perodo 1t ycontinua en 2t

11. En realidad esta propuesta tiene ms aplicaciones que las que a primeravista se podra suponer.

Por ejemplo el ciclo circadiano de la actividad del ser humano posee un saltodiscreto durante el perodo de sueo ( 1t = 8hs [33%]) y continuo el resto del da( hst 162= [66%]). Los mercados burstiles estn cerrados 18 hs (salto discreto de 75%) yabiertos 6 hs (evolucin continua de 25%). Tambin se puede extender el concepto deecuaciones de evolucin hbridas a otros tipos de procesos.

Por ejemplo la difusin de un lquido o un gas en una substancia inhomognea (granosde diferente material sumergidos en un slido o un lquido a travs del cual se difunde elfluido).

Cuando se construyen numricamente estas ecuaciones hbridas se obtienen resultadossorprendentes:

11 D. Otero, D. Giuliani, M. Sassano, Temporal Dimension and Transition out of Chaos, PhysicaA178(1991) 280.

n

n constRR

= 2


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Aqu la evolucin tiene una componente del 21.5 % de tiempo continuo (equivaleaproximadamente a 5hs en el da y a unos dos meses y medio en el ao). Veamos este otrocaso:


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Ahora el porcentaje de tiempo continuo aument al 22.7 % (unas 5 hs y media en elda y casi tres meses en el ao). Finalmente para un porcentaje del 25% (6 hs en el da y 4meses en el ao) desaparecen incluso las bifurcaciones. Esta podra ser una explicacin deporque no se observa caos en las especies biolgicas. Quedara para analizar temas como el

burstil donde tambin el perodo activo diario se restringe a unas pocas horas con un saltodiscontinuo hasta el da siguiente, agravado por los fines de semana y los feriados.

Otro ejemplo para esta ecuacin consiste en generalizarla bidimensionalmente.Observando que la variable est acotada entre 0 y 1 se la puede interpretar como unaprobabilidad y definir la complementaria:

1=+ tt qp Obtenindose el par desacoplado

)1(.1

=+ ttt

ppap

)1(11 ttt qaqq =+

sumando se tiene: 111 =+ ++ tt qp . El comportamiento es muy distinto si estn desacopladascomo se muestra en (268) o si estn acopladas:

ttt qapp =+1

ttt papq =+ 11 En este ltimo caso la evolucin catica se realiza sobre una recta como muestra la figura:

En cambio si se utilizan las ecuaciones desacopladas:


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Este resultado depende de la precisin con que se trabaje. Sin embargo paracualquier precisin llega un momento que los puntos se apartan de la recta y generan estaestructura. Cada color indica diferentes valores del parmetro a. Este resultado implica lanoconservacin de la probabilidad para un proceso no lineal.

El programa creado para representar estas ecuaciones se denominadilogistic.

Presenta un comportamiento muy particular para el parmetro a=3.8375. enun entorno reducido se tiene una isla de estabilidad.

Particularmente para a=3,837500000000001

Prcticamente se conserva nuevamente la normalizacin, pero para a=3,83750000000000102 ,

si bien la solucin es estable, la normalizacin est rota.


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BILLARES

Otro interesante caso de caos se da con el billar. Afortunadamente para mesasrectangulares el juego es no catico para una bola, aunque no es tan determinista para elcaso de tres bolas. Vamos a restringirnos a slo una bola. Si consideramos una mesa conforma de limn se obtienen soluciones caticas o casi caticas. Los mismo pasa con unamesa con forma de estadio.

En ambos casos es posible encontrar un conjunto de condiciones iniciales que esabsolutamente regular. Las soluciones regulares se mezclan en una experiencia real.

Un billar circular tiene todas las trayectorias perfectamente regulares. Sin embargo unapequea porcin plana que se agregue, genera trayectorias caticas.

Resulta interesante que el problema admite soluciones exactas pero las solucionesexactas slo reproducen las trayectorias regulares.

Un problema similar pero mucho ms importante desde el punto de vista terico es elde un gas en un cubo. Las trayectorias en un cubo son, idealmente perfectamente regulares.La ocasional colisin entre partculas genera el, tempranamente, llamado caos molecular.Es posible deducir la ecuacin de estado de gases ideales sin considerar colisiones entrepartculas.


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Slo para obtener la ecuacin de Van der Waals se requiere considerar al menos unacolisin por vez (ni siquiera es necesario considerar la posibilidad que dos colisionessimultneas). Asumiendo (sin que exista una demostracin formal) que el gas tiene uncomportamiento totalmente aleatorio en las velocidades y en las posiciones de las partculases posible deducir, como dijimos antes la ecuacin de estado de los gases ideales.

Pero nuevamente, como el recipiente tiene forma cuadrada resulta muy simplepoblarlo de trayectorias regulares. La posicin y velocidad de cada partcula estperfectamente determinada todo el tiempo, los movimientos no son caticos pero,asumiendo que la distribucin de energas de las partculas es al azar, con slo el vnculo deun valor promedio de la energa cintica (dado por la temperatura del gas) tambin se puedededucir la ecuacin de estado de un gas ideal.

La razn que se pueda evaluar la misma ecuacin de estado por dos caminosaparentemente incongruentes es la siguiente: Las rbitas ordenadas son un conjunto dedimensin cero frente al conjunto de rbitas desordenadas. Ms an, mediante un desarrolloFourier es posible en principio desarrollar la expresin de las rbitas desordenadas comosuperposicin de las ordenadas.


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ALGUNOS CONCEPTOS RELACIONADOSCON LA ENTROPA

Resulta insoslayable no relacionar la moderna teora del Caos con el concepto de la

entropa. En cualquiera de sus formulaciones la entropa tiene una fuerte relacin con lainformacin que puede brindar el sistema. La teora del Caos se basa justamente en lainformacin relacionada con las condiciones iniciales en primer lugar y con la trayectoriaposteriormente. En los ltimos tiempos se han propuesto muchos tipos de entropa. Sinembargo prefiero por ahora restringirme a la definicin de las entropas clsicas:

El concepto de entropa comenz en 1865 de la mano de Clausius que le asign unaversin matemtica relacionada directamente con el calor termodinmico. Desde el puntode vista matemtico dividir la diferencial inexacta dQ por la temperatura tiene una enorme

importancia. La variable T actua como factor integrante y permite que dS sea un variable deestado termodinmica cuando dQ no lo es por separado. Pero fue Boltzmann quienrelacion el concepto de calor con el movimiento desordando de las molculas,proponiendo la idea de caos molecular en el equilibrio termodinmico. Propuso entoncesuna expresin matemtica para la entropa, conocida hoy como ensamble microcannico,que se basaba en asignar probabilidades a las diferentes configuraciones de velocidad yposicin que podan adoptar las molculas dentro del caos. Luego Shanon propuso unaexpresin para la falta de informacin que era fcilmente relacionable con la expresin deentropa termodinmica, lo cual fue completado por Jaynes12. En 1957 demuestra que sepuede desarrollar toda la mecnica estadstica del equilibrio sobre las bases de la teora dela informacin y la espresin informacional de Shanon de la entropa. Von Neumann13

extendi el concepto informacional a la mecnica cuntica y sobre esa base es que Jaynesrealiza sus desarrollos termodinmicos. Los estados de energa en mecnica cuntica en unsistema confinado son estados discretos. Es posible entonces calcular explcitamente laentropa14. En particular para un estado cuntico puro la entropa informacional toma el

12E. T. Jaynes, Phys. Rev. 106, 620 (1957), Phys. Rev. 108, 171 (1957).13Von Neumann, J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Math. Foundations of QuantumMechanics, Springer, 1955, Berlin.14En realidad para un sistema clsico, con un continuo de estados de energa la entropa diverge si se pretendecalcularla mediante la expresin informacional. Este problema puede soslayarse de dos maneras: usando slo


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valor nulo. Nuevamente nos encontramos con la paradoja que estados ordenados comoson los que sugen de la cuantificacin de una caja, permiten desarrollar las frmulatermodinmicas basadas en la hiptesis del caos molecular. Para un sistema donde elnmero de posibilidades es discreto y est acotado a slo N posibilidades se puededemostrar que el valor mximo que puede tomar la entropa es S = ln N, correspondiente a

una distribucin de probabilidades donde todas la pison iguales a 1/N.y definiendo,

diferencias de entropa con lo cual las divergencias se cancelan o realizando un particin gruesa del espaciode fases y asignado probabilidades a dicha particin.


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En la figura de abajo se muestra el caso de la intermitencia de las seales.

Finalmente, si bien presentamos atractores extraos para el toro KAM resultainteresante investigar el caso de ecuaciones disipativas que muestran un muy buen ejemplode los atractores extraos. Veamos el caso de la ecuacin depredador predador:

con los parmetros a = 3.6545 b = 0.31 y las condiciones iniciales xo,1 = (0.1, 0.1000001,0.1000002, 0.1000003, 0.09999999) xo,2 = 0.1, nos da el siguiente atractor extrao:

2,1,1,1,1,1 )1( nnnnn xxxaxx =+

b

xxx nnn

2,1,2,1

.=+


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Disminuyendo el parmetro a se va convergiendo a un ciclo lmite, para a=3,5tenemos:

Y para a=2.9:

Es interesante como pasa por puntos fijos y ciclos lmites entre 3,5 y 2,9. En a =3.492799007 se pasa de un comportamiento catico a uno ordenado y comienzan aalternarse los ciclos lmites y los puntos fijos hasta terminar en un punto fijo:

3.478: puntos fijos, 3.477355: transicin, 3.476 ciclo lmite. Luego contina, 3,45puntos fijos, 3,4 ciclos lmite, 3,0 ciclo lmite valo. En 2.625 converge a un punto.


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En cambio subiendo el parmetro a se pasa por bifurcaciones caticas:a = 3,8

Y cambiando adems el parmetro b se obtienen bifurcaciones con ciclos lmites: a =3,85 y b = 0,315. Vale la pena probar tambin con a = 3,9 y b =0,315!

La riqueza de esta sencilla ecuacin parece inacabable. Qu podremos esperar desituaciones complejas, donde las ecuaciones involucren operaciones mucho mscomplicadas? Contrariando un poco la reflexin de Einstein: Tal vez no sea tan cierto queel universo sea comprensible, o al menos totalmente comprensible!


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ENTROPA DE KOLMOGOROV

Hemos expuesto con cierto detalle el concepto de entropa informacional. En el anlisisde las trayectorias caticas se suele utilizar la entropa de Kolmogorov que mide lainformacin de cmo visita la trayectoria al espacio de fases. Volvamos entonces a ladefinicin de entropa informacional:

ii

i ppkS ln= Consideremos ahora una trayectoria definida por el radiovector r (t) = [x 1(t), x2(t), ,

xd(t)] de un sistema dinmico que su trayectoria ha convergido a un atractor extrao.Particionemos el espacio d-dimensional en cajas de tamao

Mediremos el estado del sistema a intervalos de tiempo t. Sea piopinla probabilidadconjunta que r(a t=0) est en la caja i o, y que r(a t = ) est en la caja i1, etc, y que r(at = n ) est en la caja in:

Las cajas quedan disjuntas por el carcter continuo de la trayectoria y laimposibilidad de acceder a ese continuo. Slo si se superponen se podrn considerar cajascontinuas. Si por ejemplo la caja io termina en x=2 y propongo que la caja i 1 comience enx=2, nunca podr asegurar que para la primer caja x=2,00000.0001000 y que para lasegunda x=1,999 o viceversa. La superposicin de las cajas invalida (clsicamente) ladefinicin simple de la entropa dada anteriormente.

De acuerdo a la definicin de Shannon, la cantidad:

( inini

in ppppK ...ln)...( 100= Es proporcional a la informacin requerida para localizar al sistema sobre una particulartrayectoria i*1, i*2, , i*n, con la precisin del lado de la caja (suponiendo que a priorislo se conocen las probabilidades pio, pin, de haber pasado por cada caja.

Por lo tanto la informacin adicional requerida para predecir en cul celda, i*n+1, estarsi sabemos que previamente estuvo en i*1, i*2, , i*n, estar determinada por,

Kn+1 - Kn

dl


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Es decir esta diferencia mide la prdida de informacin sobre el sistema al pasar del tiempon al tiempo (n+1) . La K-entropa se define como el siguiente promedio de prdida deinformacin:

El lmite cuando el lado de la caja l ? 0 debe tomarse luego que N , lo cual hace queK sea independiente de la particular particin

Para mapeos con tiempo discreto = 1, el lmite 0 , se omite. La expresin (4)

mide como se va perdiendo informacin a medida que se pasa de una celda a la otra.

=

=

= +

1

0 100

1 N

nnnNl KKNlmlmlmK

=

=

iNio

iniiniNl ppppN

lmlmlmK,...

...0000 ln...1


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SISTEMAS COMPLEJOS

El concepto de reduccionismo ha predominado en el desarrollo de las ciencias desdeel siglo XVII. Ren Descartes describa su mtodo cientfico se la siguiente manera:

Dividir todas dificultades en tantas partes como sea posible, y tantas como serequiera para resolver el problema de la mejor manera y conducir mispensamientos en un cierto orden, comenzando por lo ms simple y los objetos mssimples de entender y luego ir subiendo gradualmente , paso a paso, hasta llegar alconocimiento de lo ms complejo. El desarrollo de las nuevas mecnicas, la cuntica yla relativista, no fueron ajenas a ese planteo.

Por ejemplo:

Quarks y electrones nucleones + electrones tomos molculas qumica (no

se sabe como llegar a) biologa, geologa.

Se comenz postulando la existencia de tomos y electrones, inmediatamente sepas al concepto de molculas y de nucleones. Investigando los nucleones se lleg a laconclusin que estaban compuestos por quarks. En la otra direccin, con las molculas seexplicaron los enlaces y procesos qumicos pero de all a pasar satisfactoriamente a laestructura biolgica y los procesos vivos hay un salto que no se ha podido realizar sumandosimplemente molculas y tomos. La prediccin de los terremotos o la erupcin de unvolcn no est para nada controlada.

Clulas + genes rganos (no se sabe como llegar a) vida

En la biologa se sigui uncamino similar al de la fsica. Se estudiaron las clulas,los genes y los rganos pero an no est del todo claro como la suma de esas partes lleva amono o a un hormiguero.

Estrellas + planetas galaxias (no se sabe como llegar a) universo

En astronoma el problema est en paales: hay evidencias gravitatorias que indicanla existencia de al menos tres veces ms materia que la que se ve o se puede imaginar. Elcomportamiento dinmico induce a proponer la existencia de una energa rara an nodescubierta Habr que comenzar a pensar al universo como un todo para resolver estosproblemas?

Teora de gases termodinmica + teora de fluidos meteorologa

La prediccin de ciclones y el simple estado del tiempo para la prxima semana son unaincgnita. Algunos temas de fludos slo recientemente han podido resolverse.

Las disciplinas que las utilizaron continuaron por el mismo camino, como porejemplo la fsica nuclear. Como sealamos incluso la propia biologa descompuso a losseres vivientes en clulas y trat de volver a armarlos como un conjunto aglomerado de


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clulas. Aunque se obtuvieron xitos resonantes: reactores nucleares, bomba atmica, lser,genoma, etc algunos temas se han resistido a este tratamiento: el pronstico del clima, laadaptacin de los seres vivos, los comportamientos sociales, culturales, econmicos, etc.

El ms importante y ms paradigmtico de los sistemas complejos que se haresistido al reduccionismo es el cerebro humano. En 1984 un grupo interdisciplinario se

reunieron en Santa Fe, Nuevo Mxico, para discutir la sntesis emergente en la ciencia.As se cre en Santa Fe un instituto dedicado al estudio de los sistemas complejos. En 1993se organiz en Buenos Aires (G. Marshall, D. Otero) una conferencia sobre sistemascomplejos. Pero qu es la complejidad? No caben dudas a quienes estudian estosfenmenos que les conviene estar armados de conocimientos de caos y fractales.

Pero en realidad los propios investigadores de este tema no se ponen de acuerdo en ladefinicin. Les resulta fcil dar ejemplos: Colonias de insectos, el cerebro, el sistemainmunolgico, la economa, la WEB. Todos estos sistemas tienen algunas propiedades encomn:

Un comportamiento colectivo complejo Uso de informacin y seales internas y externas.

Adaptabilidad usando aprendizaje y procesos evolutivos.Melanie Mitchell15 propone sobre esta base la siguiente definicin:

Un sistema complejo es aqul en el cual una gran red de componentes sin uncontrol centralizado y mediante reglas simples alcanza un comportamiento

colectivo complejo, procesando informacin sofisticada y adaptndose va el

aprendizaje o la evolucin. Alternativamente nos propone: Es un sistema que exhibe comportamientos no

triviales emergente en auto-organizacin.Creo que convendra evitar la calificacin de complejo al comportamiento colectivo, no

se pierde nada y se evita una tautologa.Como ya dijimos a dinmica no lineal, caos y fractalesson componentes presentes

en los sistemas complejos. Debido al manejo de informacin y seales para trasmitirla, laentropatambin est presente en estos sistemas. No poda estar ajena a estos problemas lavieja paradoja de la irreversibilidad. En palabras de Tony Rothman16: Why the secondlaw should distinguish between past and future while all the other laws of nature do not

is perhaps the greatest mystery in physics.

La paradoja surge porque microscpicamente las leyes que gobiernan elmovimiento de las partculas son reversibles: nada indica la direccin en la cual transcurreel tiempo. En cambio macroscpicamente no cabe duda de la direccin de la flecha deltiempo.

En los sistemas complejos el concepto de irreversibilidad se vuelve poco claro. Por

ejemplo el viejo ejemplo propuesto por James Clerk Maxwell parece desestabilizar elconcepto de irreversibilidad: EL DEMONIO DE MAXELL. Este ejemplo consiste en unpequeo personaje que, parado frente a un agujero que conecta dos recipientes con gas a lamisma temperatura, maneja una puertita que puede obturar el agujero. Cuando se aproximauna molcula que viene con velocidad por encima de la velocidad media la deja pasar ycuando est por debajo cierra la puertita, para lo cual realiza un trabajo despreciable. Deesta forma logra obtener un recipiente ms caliente a partir del cual se podra obtener

15Melanie M. Complexity , a Guide Tour, 2009, Oxford Univ. Press16Rothman, T., The evolution of entropy, Science a la Mode, Princeton, Princeton Univ. Press, 1989.


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trabajo contradiciendo el segundo principio de la termodinmica. Leo Szilard propuso queal adquirir un bit de informacin se generaba una cantidad de entropa igual o superior a laque se disminua por separar las molculas calientes de las fras. Pero justamente lossistemas biolgicos aprovechan el impacto de las molculas que se mueven al azar por elefecto de la temperatura para activar el proceso de copiado del ADN, desafiando el segundo

principio.

CRISIS EN MATEMTICA

Pese a las revoluciones en la fsica de la mecnica cuntica y de la relatividad,pareca que el bastin de las matemticas permanecera inclume. Pero esas revoluciones serealizaban dentro del confortable marco de una lgica aparentemente indestructible. En esecontexto, en el Congreso Internacional de Matemticas de Pars del ao 1900, DavidHilbert postul los siguientes problemas a resolver:

Es la matemtica completa? Esto es cualquier enunciado matemtico puedeser probado o rechazado a partir de un nmero finito de axiomas? Es la matemtica consistente? De otra forma: La matemtica slo

demuestra enunciados verdaderos? Todo enunciado matemtico puede ser probado como verdadero o falso?

Hasta 1930 no pudo demostrarse la respuesta a estos cuestionamientos aunque,Hilbert dio por sentado, en la conferencia de matemtica de ese ao, que esa respuesta eraafirmativa. Pero Gdel, durante esa misma conferencia, demostr su teorema de laincompletitud. En dicho teorema se demuestra que si la aritmtica es consistenteentonces un enunciado verdadero no puede ser probado, es decir la aritmtica, una

parte de la matemtica, es incompleta.Aunque el teorema es muy complicado existen ejemplos triviales:

Este postulado no es demostrable

Supongamos que se pudiera probar el postulado, entonces es falsa la afirmacin, lo cual esun contrasentido. Supongamos ahora que demostrramos que es falso, entonces hemosdemostrado que es verdadero, lo cual tambin es un contrasentido.

Otro ejemplo simple: Tmese un papel, de un lado se escribe: Lo que dice estepapel del otro lado es verdad. Luego se lo da vuelta y se escribe:Lo que dice el papel delotro lado es falso.El conjunto de estas dos afirmaciones no tiene demostracin ni que seanfalsas ni que sean verdaderas. Si no se quiere meter la topologa entre estos dos postuladospuede cambiarse por:

a) El postulado b) es verdadero b) El postulado a) es falso

El teorema de Gdel dio por tierra con la esperanza de una respuesta positiva a laprimera y segunda pregunta de Hilbert. Fue Alan Turing quien derrumb la esperanza sobrela tercera cuestin. Turing demostr que no es posible una computadora que permita


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un conjunto de clulas (que pueden ser en principio cualquier cosa: hormigas, neuronas,agentes de bolsa, etc). Estas clulas tienen asignadas reglas en cada paso de la evolucindel sistema.

Esas reglas por lo general estn directamente relacionadas con el estado de lasclulas primeras vecinas y tambin generalmente afectan el estado de la propia clula.

En una grilla bidimensional se pueden designar 2252 reglas Von.-Neumann18

demostr que este tipo de clula autmata era equivalente a un mquina de computacinuniversal del tipo de las descriptas por Turing.

Uno de los clula autmata ms famosos es el juego de la vida que consiste en unared bidimensional en la cual mediante ciertas reglas las clulas nacen y mueren. Cadacondicin de poblacin inicial puede dar lugar a muy diferentes comportamientos finales:oscilaciones, fractales, extincin, sobrepoblacin, etc.

Las reglas del juego de la vida son,

Nacimiento: una clula muerta (vaca), si est rodeada por tres clulas vivas(ocupadas) nace (se ocupa) en el siguiente paso.

Sobrevivir: Una clula viva con dos o tres clulas vivas alrededor permaneceviva en el paso siguiente.

Aislamiento: Una clula viva con menos de dos clulas vivas alrededormuere (se vaca) en el siguiente paso. Una clula muerta (vaca) con menos detres clulas vivas alrededor permanece muerta en el paso siguiente.

Superpoblacin: Una clula viva o muerta con ms de tres clulas vivasalrededor, est muerta en el prximo paso.

EJEMPLO:

Esta tambin se puede demostrar que es una mquina universal de computacin. Porsupuesto que este tipo de mquinas son extremadamente lentas y complicadas paracualquier clculo que no sea elemental. Stephen Wolfram19 investig las posibilidades deuna red unidimensional:

18Von Neumann, J. Theory of Self-Reproducing Automata, (editado y completado por A.W Burks),Urbana, Univ. Of Illinois Press, 1966.19Wolfram, S. Universality and complexity in cellular automata, Physica Scripta, T9, 1985, p 170-183.


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El nmero de reglas posibles, asociadas al estado de los primeros vecinos es de 256.

Wolfram asign al estado ocupado el 1 y al estado vaco el 0. Por ejemplo una reglapuede ser:

que pasando de notacin binaria a decimal se obtiene:

esta sera la aplicacin en detalle de la regla 30 a partir de una semilla unitaria:

Veamos algunas reglas interesantes y los resultados obtenidos:

Obsrvese que las reglas 60, 90, y 126 generan un perfecto diagrama fractal llamadoSierpinski. Por supuesto el resultado depende de la condicin inicial. Por ejemplo para lasreglas 30 y 110 con semillas puestas al azar se obtiene:

REGLA 110:

210 0001111030 =


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Las 256 reglas Wolfram las clasific en

Caso 1:Casi cualquier configuracin inicial converge al mismo modelo final Caso 2:Casi todas las configuraciones iniciales terminan en repeticiones cclicas o

modelos uniformes. Caso 3: La mayora de las configuraciones iniciales generan tringulos u otras

figuras geomtricas. Caso 4: Las configuraciones finales son una mezcla de figuras ordenadas y

distribuciones al azar. Las figuras parecen interactuar unas con otras de formacomplicada.

Wolfram sospech que la clase 4 poda tambin comportarse como una computadora deTuring. Efectivamente un asistente suyo, Matthew Cook20 prob que la regla 110 secomporta como una computadora universal, aunque por supuesto que ms lenta an que eljuego de la vida. Finalmente en el libro que Wolfram publica en el 200221, asegura que launiversalidad de la regla 110 es una evidencia fuerte para una nueva ley de la naturaleza: ElPrincipio de Equivalencia Computacional. Este principio consistira de cuatro partes:

El camino adecuado para pensar en procesos naturales es la computacin. Como la regla 110 soporta la computacin universal, en la naturaleza es comn

que tambin se soporte computacin universal. La computacin universal es un lmite superior de la complejidad de clculo en

la naturaleza. Es decir no existen procesos naturales que no sean computables. La computacin dada por diferentes procesos en la naturaleza es casi siempre

equivalente en sofisticacin.

Por supuesto que este nuevo principio es motivo de debate y est muy lejos de tener unaaceptacin general. Por ejemplo se ha demostrado que si se pudiera construir unacomputadora que manejara nmero decimales con un nmero arbitrario de dgitos, sepodra resolver el problema del halting propuesto por Turing. El problema de haltingconsista en la imposibilidad de producir un programa que detuviera ante un problema sin

solucin.De acuerdo a la propuesta de Wolfram parece carecer de sentido preocuparse por losnmero irracionales (vedados absolutamente a la computadora digital). En particular elpostulado 4 parece bastante lejos de la realidad: el comportamiento de una ameba no puedeequipararse en sofisticacin con el de un ser humano. Como ya sealamos el teorema KAMdemuestra la importancia de los nmero irracionales y su posible existencia real. La

20Cook, M. Universality in elementary cellular automata, Complex Systems 15(1), 2004, p 1-40.21A New King of Science, Champaign, II, Wolfram Media, 2002.


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imposibilidad de construir una real circunferencia digitalmente tambin parece refutar estasideas de Wolfram22

LA INFORMACIN Y LOS SISTEMAS COMPLEJOS.

Todo parece indicar que para los sistemas vivos la clave es entender elfuncionamiento de redes que procesen informacin. No siempre, sin embargo, es simpleestablecer el significado de la informacin y cuando esa informacin es digerida einterpretada (concientizada?).En el procesamiento de la informacin se requiere responder a los siguientes tems:

Qu papel juega la informacin en el sistema en estudio? Cmo se comunica y se procesa la informacin? Cmo adquiere significado? Ante quin adquiere ese significado? Uno de los problemas ms oscuros es como los organismos vivos toman

conciencia de la informacin.

LAS ANALOGAS

Uno de los mtodo por el cual los seres vivos obtienen informacin es medianteanalogas. Establecer analogas es uno de los problemas menos resueltos en computacin.Considerasen los siguientes ejemplos:

Un chico reconoce un perro en la figura de un libro, una fotografa y en la vidareal.

Una persona puede reconocer la letra A en una enorme variedad de formas

Juan le dice a su amiga Alicia, Yo suelo llamar a mis padres una vez porsemana. Alicia contesta: Yo tambin. Juan entiende que se trata de lospadres de Alicia y no de sus propios padres.

Una Ana le dice a su amiga Tengo tanto trabajo ltimamente que le estoydedicando poco tiempo a mi familia. Y ella le contesta: Sabs que a mi mepasa lo mismo? Ambas sobreentienden que se refieren a las respectivasfamilias y no a la de Ana solamente.

Un chico reconoce fcilmente los personajes correspondientes a las caricaturasde Alfonsn, Menen y Kichner.

Todas estas son tareas muy difciles para una computadora

Douglas Hofstadter23 ha propuesto simplificar el tema de las analoga para encontrarrutas de solucin. Su ejemplo clsico consiste en proponer tres letras y tratar que la PCmodifique otras tres letras encontrando la mejor analoga. Ejemplo:

22Otero, D. La Naturaleza es bella, catica y fractal, Vol. 1, ed Bubok, ISBN: 978-987-05-8604-3, 2010.23Hofstadter, D. R. y Mitchell, M. The Copycat project: A model of mental fluidity and analogy-making.Adv. In Connectionist and neural Co9mputation Theory, Vol 2: analogical Connections, 1994, p 31-112.


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abc ? abd ijk ? ??

Existen varias posibilidades, unas mejores que otras, por ejemplo

ijl-ijd--ijx--etc

por supuesto que la primer opcin suele ser la preferida por un ser humano. Pero sin drselacomo receta puede una PC elegirla como la mejor? qu sentido tiene que elija esaposibilidad?

Mitchell y Hofstadter desarrollaron un programa adaptativo que comienza buscandosoluciones al azar aunque controlado por ciertas reglas.

MODELIZACIN POR COMPUTADORA

La tradicional divisin entre fsica terica y fsica experimental ha sidocomplementada por una categora adicional: modelizacin por computadora. Sin embargoel concepto de modelo es en realidad muy amplio. Por ejemplo F=ma es una modelizacinen frmula matemtica de un fenmeno natural fcil de verificar.

Aplicada a la ley de gravedad, la modelizacin de Newton fue atacada en su tiempoporque no explicaba como se ejerca fuerza a distancia. Einstein propuso un modelogeomtrico para explicar esa accin a distancia: el espacio se curva como una membranaelstica con los cuerpos celestes colocados sobre ella.

Los tipos de modelos son ahora ms diversos:

Demonio de Maxwell, modelo para explorar el concepto de entropa. Maquina de Turing, modelo para explorar el comportamiento del concepto de

computadora (realizado antes de su construccin) Ecuacin logstica diferencial y a diferencias finitas, modeliza la evolucin

poblacional. Autmatas celulares, modelos para explorar la autoreproduccin de un conjunto de

elementos bsicos. Algoritmos genticos, modela la posibilidad de que los cdigos de computadora

evolucionen en bsqueda de una solucin. Fractales, modelos de las estructuras geomtricas que aparecen en la naturaleza.

Un buen ejemplo de modelizacin matemtica en ciencias sociales es el Dilema delprisionero:

Bob y Alice han cometido un asesinato. Estn en celdas aisladas sin posibilidad decomunicarse. Las autoridades les proponen a ambos por igual las siguientesalternativas,

Si testifica slo uno en contra del otro, recibe la libertad el que testific y tienecrcel de por vida el que guard secreto.


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En lneas generales se comprob que predomina la cooperacin por lo cual algunosinvestigadores concluyeron que el territorio favorece la cooperacin.Tambin en los procesos de simulacin es beneficioso que ms de un investigador publiquesus resultados pues pueden aparecer fallas ya sea por programacin o por sutiles errores enlas reglas.

EL PENSAMIENTO EN RED

Es comn sorprenderse al encontrar un conocido o familiar en un lugar inesperado,Son estos encuentros ms frecuentes de lo esperado? Tienen alguna explicacin lgica?En 1950 el Psiclogo Stanley Milgram24 se puso a investigar cuantas uniones existan parallegar de una persona en los EEUU a otra persona en EEUU. Para eso hizo un experimentopor el cual una persona deba hacer llegar una carta a un desconocido pasndosela a susamistades y/o parientes. Cada paso se deba dejar constancia en la carta. El resultado fueque el valor promedio de pasos result fue tan slo seis. Este resultado se popularizestablecindose el convencimiento que en EEUU una persona se relacionaba con cualquierotra mediante tan slo seis enlaces.

Sin embargo otra psicloga, Judith Kleinfeld25 estableci que la interpretacin populardel trabajo de Milgram estaba sesgada pues la mayora de las cartas no haban llegado adestino. El tema quedo abierto a la investigacin.

Pero el tema de las conexiones entre nodos de una red tiene gran importancia, tantosocial como tecnolgica. Se aplica en el tema de rutas areas, conexiones de internet,conexiones cientficas, econmicas, biolgicas, etc. En estos problemas surgen muchasdudas:

Por qu y cmo un rumor, un chiste o una leyenda urbana se expanden tan

rpido? Por qu redes tan grandes y complejas como la elctrica y la WEB son tanrobustas en su operacin y repentinamente fallan a gran escala?

Son estables las sociedades humanas? Cules son las races profundas de los cuasi peridicos debacles econmicos.

El tema de redes se estudia en matemticas dentro de la teora de grafos. Sin embargolos estudios apuntan ms a problemas topolgicos que a resolver problemas del tipo a losplanteados arriba. Watts y Strogatz26 comenzaron a sistematizar el estudio de las redes de lasiguiente manera:

Comenzaron con una red muy simple de 60 nodos, donde cada uno de losnodos slo est unido con sus vecinos (caso A),

24Milgram, S., The Small world Problem, Psychology Today 1, 1967, p 25-44.25Kleinfeld, J. S., Could it be big World alter all? The six degrees of separation myth. Society, 39, 2002.26Watts, D.J., y Strogatz, S.H., Collective dynamics of small world networks, Nature, 303, 1998, p 440-442.


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El nmero promedio de nodos que deben recorrerse para llegar de un nodo acualquier otro, es igual a 15. En la figura se han reconectado, al azar, 3 nodos, lo cualrepresenta un 5% de la red. Aunque el nmero de enlaces es el mismo esta reconexin bajael nmero promedio de enlaces requeridos para llegar desde un nodo a cualquier otro, a 9.

Encontraron adems que para redes regulares cuyo nmero de nodos crece el efecto es anmayor. Por ejemplo para 1000 nodos un 5% de reconexin al azar reduce el caminopromedio entre nodos de 250 a 20. La conclusin es que una pequea reconexin al azarpuede generar grandes efectos.

Independientemente del tamao de la red (regular), las primeras cinco reconexionesal azar reducen el camino entre nodos en un 50%. Posteriormente se han encontradootras redes que achican el mundo de las conexiones.

Las redes suelen presentar leyes de escala contrariamente a lo que sucede con ladistribucin normal de errores, alturas de personas, longitud de tornillos, etc. Un ejemploemblemtico (y muy til para los buscadores) es la ley de escala de la WEB:

El nmero de pginas WEB con una conexin de entrada de grado k es proporcional

a k-2, demostrando un alto grado de autosimilaridad.esta propiedad hace que las redes que la tienen puedan continuar trabajando aunque sedestruyan (al azar) un cierto nmero de nodos.

Como ejemplos de redes tenemos el cerebro, la regulacin gentica, la regulacinmetablica, la epidemiologa, la ecologa e incluso el control de redes terroristas. Por otraparte la leyes de escalas estn fuertemente relacionadas con los fractales.

Las leyes de escalas aplicadas a sistemas biolgicos parecen indicar que por ejemplo lospulmones tienen una ramificacin que los coloca entre la dimensin 3 y la dimensin 4.Finalmente veamos el interesante caso de las redes booleanas al azar propuestas por StuartKauffman27:

27Kauffman, S.A., The origins of Order, New York, Oxford Univ. Press, 1993.


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Existe un cierto parecido con los celular autmata salvo que, la conexin puede ser al azarcon nodos lejanos y cada nodo tiene su propia regla.

El comportamiento final puede ser oscilante, puntos fijos o catico. En el

comportamiento oscilante el nmero de ciclos diferentes que aparecen para k = 2 (nmerode enlaces entre nodos) es la raiz cuadrada del nmero de nodos. Kauffman extrapol estosresultados al comportamiento de los genes razonando que el nmero de clulas diferentesque apareceran como atractores (ciclos diferentes) sera la raz del nmero de genes. Alterminar el proyecto EL GENOMA HUMANO, se determin que el nmero de genes es de25000 lo cual dara 158 clulas diferentes, en tanto que el nmero real de clulas diferentesse ha determinado en alrededor de 256. Quizs con una gran imaginacin Kauffman avanzms en su argumentacin especulando que con un gran nmero de nodos interactuandounos con otros, el orden aparece naturalmente.

A partir de estos razonamientos postul que, as como el incremento de la entropaes la segunda ley de la termodinmica, esta sera candidata a ser la cuar

El Caos y La Complejidad La Naturaleza Es Bella Caotica y Fractal Vol II

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