TEOR˝A DEL CAOS Y COMPORTAMIENTO FRACTAL · 2006. 1. 30. · La teoría del caos estudia...

TEORTEORÍÍA DEL CAOS Y A DEL CAOS Y COMPORTAMIENTO COMPORTAMIENTO

FRACTALFRACTAL

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2004

DETERMINISMODETERMINISMO

El determinismo sustenta que el universo es completamente racional debido a que si tenemos el conocimiento completo de una situación, nos garantiza que es posible también conocer certeramente su futuro.

Pierre-Simon, Marquis de Laplace sustentó que si una mente pudiera, en un momento dado, conocer todas las fuerzas operando en la naturaleza, y las posiciones de cada uno de sus componentes, podría entonces conocer con certeza el futuro y el pasado de cada entidad, grande o pequeña.Enciclopaedia Británica, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2004


Catch 22!Se representan a los sistemas con ecuacionesdiferenciales!Algunas de éstas pueden representarse como fórmulas!Las fórmulas predicen comportamiento regular!Algunos sistemas no pueden resolverse con fórmulas!Entonces, sólo los sistemas que se resuelven con fórmulas se comportan regularmente!Por lo tanto el mundo es regular.



Como no es posible considerar todas las variables que intervienen en un sistema, entonces se recurre a la teoría de la probabilidad.

El mundo es impredecible porque es complejo

Enciclopaedia Británica, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2004


Pero la teoría de la probabilidad no se ha enfocado a estudiar los sistemas caóticos.


¿QUÉ ES CAOS?¿QUÉ ES CAOS?

DICCIONARIO: Estado de confusión y desorden

La teoría del caos estudia cualitativamente el comportamiento aperiódico e inestable de lossistemas determinísticos, dinámicos y no-lineales que son sensibles a las condiciones iniciales (Donahue, 1997)


ORIGEN DE LA TEORÍA DEL CAOSORIGEN DE LA TEORÍA DEL CAOS

�Por necesitar un clavo, se perdió una herradura;por necesitar una herradura, se perdió un caballo;

por necesitar un caballo, se perdió un jinete;por necesitar un jinete, se perdió una batalla;

por necesitar ganar una batalla, ¡se perdió un reino!"



Con los avances en el proceso de datos y velocidad de los ordenadores, es posible ahora detectar el comportamiento

caótico.



Edward LorenzConvección de un gas

dx/dt=delta*(y-x)dy/dt=r*x-y-x*zdz/dt=x*y-b*z

Donde:Delta=10r= diferencia de la temperatura entre la parte superior e inferior del sistema gaseosob= es la relación entre el ancho y alto del contendor del gas (8/3)x= tasa de rotación del cilindroy= diferencia de la temperatura a los lados del cilindroz= representa la desviación de la temperatura con resecto a una línea vertical


APLICACIONES DE LA TEORÍA DEL CAOSAPLICACIONES DE LA TEORÍA DEL CAOS

� Ramificaciones: pulmonares, vasculares, vegetales

�Accidentes, terremotos, economía

�Enzimas cerebrales, latidos del corazón


EJEMPLO DE MODELO CAÓTICOEJEMPLO DE MODELO CAÓTICO

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0 5 10 15 20 25 30 35

Tiempo

X

k=2.4

( )ttt xkxx −=+ 11

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 5 10 15 20 25 30 35

Tiempo

X

k=0.95



0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 5 10 15 20 25 30 35

Tiempo

X

k=1.4

( )ttt xkxx −=+ 11



( )ttt xkxx −=+ 11

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 5 10 15 20 25 30 35

Tiempo

X

k=2.8



( )ttt xkxx −=+ 11

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0 5 10 15 20 25 30 35

Tiempo

X

k=2.4



0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 5 10 15 20 25 30 35

Tiempo

X

k=2.75

( )ttt xkxx −=+ 11


ANANÁÁLISIS DE SENSIBILIDADLISIS DE SENSIBILIDADEjemplo Ejemplo a 5.5 a 5.5 plantas plantas mm--22

6000

6500

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

-30 -20 -10 0 10 20 30

P ER C EN TA GE OF C HA N GE

P OTATOS MODEL

SIMP OTATO MODEL


ANANÁÁLISIS DE SENSIBILIDADLISIS DE SENSIBILIDAD

POTATOS SIMPOTATO

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 6 12 18 24 30 36

Plants m-2

kg h

a-1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 6 12 18 24 30 36

Plants m-2

kg h

a-1

Efecto de la densidad en el rendimientofresco de tubérculos de papa


ANANÁÁLISIS DE SENSIBILIDADLISIS DE SENSIBILIDAD

Area foliar por planta

02000400060008000

1000012000140001600018000

0 20 40 60 80 100 120

day after planting

cm2

5.5 pla nts m-212 plants m-214 plants m-218 plants m-2

20 plants m-222 plants m-2


¿¿Una funciUna funcióón n suave?suave?

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

3.238795 3.238797 3.238799 3.238801 3.238803 3.238805Maximum potential tuber growth

(g dry weight/cm2 of leaf)

Leaf

are

a in

dex


¿¿Una funciUna funcióón n suave?suave?

3.412498

3.412500

3.4125023.412504

3.4125063.412508

1.699994

1.6999961.699998

1.7000001.700002

1.700004

125130135140145150155

125130135140145

150

155

Maxim

um potentia

l tuber

growth (g

plant-1

day-1 )Daily mean temperature effect

on tuber initiation

tube

r dry

wei

ght

(g p

lant

-1)


DIMENSIDIMENSIÓÓN FRACTALN FRACTAL

El término fractal caracteriza a aquellos fenómenos que cambian en tiempo o espacio; son continuos pero no diferenciables.

Cada intento de dividir un segmento del fractal en segmentos más pequeños aumenta la resolución de estructuras más detalladas.


DIMENSIDIMENSIÓÓN FRACTALN FRACTAL

Propiedades de los fractales:

� Independencia de escala� Autosimilitud�Complejidad�Logitud de detalle infinito

Montecillo, México. Verano 2004José Alfredo Carrillo Salazar

302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7



CURVE FUNCTION302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3

( )∑= −

+−=n

i iixffl

1

22

1δ

)*1)-(if(afi

xδ+=

δx=(b-a)/s

I=Longitud de línean=Número de puntosa=punto inicial del intervalob=punto final del intervalo


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3

DIVISION = 1 STEP LENGTH = 0.1NINTERVALS = 10Log STEP LENGTH = -2.3CURVE LENGTH = 26.9Log CURVE LENGTH = Log(26.9 *NINTERVALS^(DIVISION-1))= 3.2


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


304.6

298.9

301.1

500.70 500.72 500.74 500.76 500.78 500.80500.75


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


304.6

298.9

301.1

500.70 500.72 500.74 500.76 500.78 500.80500.75

5.1

2.2


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


304.6

298.9

301.1

500.70 500.72 500.74 500.76 500.78 500.80500.75

5.1

2.2

DIVISION = 2STEP LENGTH = 0.01NINTERVALS = 10Log STEP LENGTH = -4.6CURVE LENGTH = 20.8Log CURVE LENGTH = Log(20.8*NINTERVALS^(DIVISION-1))=5.3


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


304.6

298.9

301.1

500.70 500.72 500.74 500.76 500.78 500.80500.75

5.1

2.2


DIVISION = 3STEP LENGTH = 0.001NINTERVALS = 10Log STEP LENGTH = -6.9CURVE LENGTH = 20.3Log CURVE LENGTH = Log(20.3*NINTERVALS^(DIVISION-1))= 7.6


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


304.6

298.9

301.1

500.70 500.72 500.74 500.76 500.78 500.80500.75

5.1

2.2





302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


304.6

298.9

301.1

500.70 500.72 500.74 500.76 500.78 500.80500.75

5.1

2.2




FD=1+|-slope|


302.8

303.1

298.8

500.0 500.2 500.4 500.6 500.8 501.0500.7

CURVE FUNCTION

0.34.3


304.6

298.9

301.1

500.70 500.72 500.74 500.76 500.78 500.80500.75

5.1

2.2




FD=1+|-slope|

0

2

4

6

8

10

12

14

-15 -10 -5 0

Ln OF STEP LENGTH

Ln O

F C

UR

VE L

ENG

T

SLOPE= -0.81

FD = 1.81

Log of step length

Log

of c

urve

leng

th

DIMENSIDIMENSIÓÓN FRACTALN FRACTALModelo Modelo SIMPOTATOSIMPOTATO

Parameter InitialValue

Range NFD FD r2

G2 300.0 300-301 6 1.8 -0.99G2 300.0 320-321 6 1.7 -0.97G2 300.0 202-203 6 1.0 0.00G3 3.4 3-4 6 1.9 -0.99G4 0.005 0.004-0.005 3 1.9 -0.99G1 1.0 0-1 6 1.7 -0.96

A1,A2 1.7 1.7-1.8 5 2.0 -0.99A1,A2 1.7 0.5-0.6 5 1.0 0.00

A3 1.9 0.5-2.0 5 1.9 -0.99A4 1.9 0.5-2.5 5 1.9 -0.99

A5,A6 1.0 0.2-1.5 5 1.9 -0.99A7,A8 0.5 0.2-1.5 5 2.0 -0.99

A9 0.8 0.2-1.0 5 1.9 -0.99A10 1.2 0.8-2.0 5 1.9 -0.99


DIMENSIDIMENSIÓÓN FRACTALN FRACTALModelo Modelo POTATOSPOTATOS

Parameter InitialValue

Range NFD FD r2

TAGBI 60.0 60-61 6 1.0 0.00FINT0 0.0139 0.013-0.014 3 1.1 -0.72

R0 0.025 0.02-0.03 4 1.0 0.95DURE 325.0 325-326 6 1.0 0.00TS50 1257.0 1257-1258 6 1.1 0.33

STTUB 264.0 264-265 6 1.0 0.00TBASE 2.0 2-3 6 1.4 0.50TBASE 2.0 8-9 6 1.6 0.70

TSUMEM 112.0 112-113 6 1.7 0.50TSUMEM 112.0 111-112 6 1.0 0.00

CFET 1.15 1.1-1.2 5 1.5 0.45CFET 1.15 1-2 6 1.2 -0.70CFEV 2.0 2-3 6 1.5 0.59


CAUSAS DEL COMPORTAMIENTO CACAUSAS DEL COMPORTAMIENTO CAÓÓTICO TICO EN LOS MODELOSEN LOS MODELOS

! Sistemas no lineales! Circuitos de retroalimentación (en

tiempo y entre variables)! Discontinuidades



Guardian Unlimited | The Guardian | US court orders treatment to ensure killer is sane enough tobe executed

www.Guardian.co.uk

US court orders treatment to ensure killer is sane enough to be executed

Gary Younge in New YorkWednesday February 12, 2003The Guardian

A US court of appeal has ruled that a death row prisoner be forcibly treated for psychosis which would make him sane enough to be executed. A series of court rulings has presented convicted murderer Charles Singleton, his lawyers and prison doctors with an agonising choice. Should he take the medication voluntarily and be condemned to death or refuse them and be condemned to alife of psychosis? Under the US constitution it is illegal to execute an insane person. In an extraordinary and sharply divided judgment, the court of appeals in St. Louis has ruled that Singleton should be forced to take medication which will make him fit for execution.

Montecillo, México. Verano 2004José Alfredo Carrillo Salazar


In a strongly worded dissenting statement Judge Gerald Heaney countered: "Singleton is not cured; his insanity is merely muted, at times, by the powerful drugs he is forced to take. "This leaves those doctors who are treating psychotic, condemned

prisoners in an untenable position: treating the prisoner may provide short-term relief but ultimately result in his execution, whereas leaving him untreated will condemn him to a world such as Singleton's filled with disturbing delusions and hallucinations."Singleton was diagnosed as a paranoid schizophrenic in 1983 and has been on and off medication since then. In October 2001 the appeals court ruled that it was not sure he would understand his punishment even when he is on medication. A few months later Singleton wrote informing them that his victim, who identified him shortly before she died, was alive and "somewhere on earth waiting for

me - her groom."



En el modelo SIMPOTATO, el nivel de nitrógeno afectael crecimiento del área foliar. El área foliar y el nivel de nitrógeno afectan el nivel de inducción de la tuberización. El nivel de inducción de la tuberizaciónafecta el crecimiento de hojas y la concentración de nitrógeno. Aún si estos factores son lineales, la interacción entre ellos puede producir comportamientocaótico.



El flujo de agua en el suelo depende de relacionesentre la conductividad hidráulica, el contenidovolumétrico de humedad y el potencial hídrico, loscuales son interdependientes (Flühler, Durner and Flury, 1996).



Sistemas simples puden originar comportamientocomplejo, sistemas complejos pueden originarcomportamiento simple, y los sistemas no lineales son la regla más que la excepción.

May, 1976


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