Ekarpen orekatuak, grafo probabilistikoak eta kooperazio ...€¦ · Azkenik, EHUri, lan honek UPV...

Ekarpen orekatuak, grafo probabilistikoak eta kooperazio hierarkiak utilitate transferigarriko jokoetan

Jakintza-arloa: Matematika

Egilea: XABIER LASAGA TXOPERENA

Urtea: 1997

Zuzendaria: EMILIO CALVO RAMON

Unibertsitatea: UPV-EHU

ISBN: 978-84-8438-373-4

Hitzaurrea

Joko-teoriak, Euskal Herriarekin lotu daitezkeen hainbat kontzeptu jorratu arren (gatazka, enkanteak, apustuak,…), doktorego-tesia egiten ari nintzen garaian (90. hamarkadan) berari buruzko euskarazko lanik ez nuen aurkitu. Ni ere, ohikoa zen bezala, testua gazteleraz eta ingelesez lantzen ari nintzen; gazteleraz, tesia defendatzeko, eta ingelesez, hortik sortu zitezkeen artikuluak argitaratzeko asmoarekin. Ikusitako hutsunea bete nahian, tesia euskaraz ere idazteko erronka hartu nuen, epeak zirela medio, dena egiteko oso egun gutxi eduki arren. Irakurtzerakoan, presa horiek berehala nabarituko dituzue. Gainera, arlo honi lotutako hainbat kontzeptu euskaraz idatzi gabeak zirenez, arazo terminologikoak ere topatu nituen. Hori guztia ahalbideratzeko, Txus Ortells lankidearen aldetik laguntza handia jaso nuen.

Bestalde, badakit doktorego-tesi batek hizkuntza batua eskatzen duela. Hala ere, joko-teoriako euskarazko lehena zela medio, apaltasun osoz, nire euskalkiaren ukitua eman nahi izan nion.

Bukatzeko, lan honetan oinarritutako hiru artikulu argitaratu zirela esan beharra dago: “Values of games with probabilistic graphs” artikulua, Mathematical Social Sciences aldizkarian (E. Calvo eta A. van den Nouweland-ekin batera); “The principle of balanced contributions and hierarchies” artikulua, Mathematical Social Sciences aldizkarian (E. Calvo eta E. Winter-ekin batera) eta “Probabilistic graphs and power indexes: An application to the Spanish parliament” artikulua Journal of Theoretical Politics aldizkarian (E. Calvo-rekin batera).

Hutsuneak hutsune, norbaitentzat baliagarria izatea nahiko nuke. Horrela izan dadila.

Xabier Lasaga2011

EKARPEN OREKATUAK, GRAFO

PROBABILISTIKOAK ETA KOOPERAZIO

HIERARKIAK UTILITATE

TRANSFERIGARRIKO JOKOETAN

Doktorego Tesia

Xabier Lasaga Txoperenak

Zuzendaria: Emilio Calvo Ramón

Ekonomi eta Enpresa Zientzien Fakultatea

Euskal Herriko Unibertsitatea

Bilbao 1997

Mila esker

Emilio Calvori, tesiaren zuzendaria, emandako denboragatik eta eskainitako ideiengatik,

oinarrizkoak izan baitira lan honetarako.

Anne van den Nouweland, Belén Castro eta Eyal Winterri, lan honetako garai desberdinetan

egin dituzten ekarpenengatik.

Bere denbora eskaini didaten Sarrikoko lankidei, eta bereziki Txus Ortellsi, euskarazko

bertsioan egin ditudan akatsa guztiak egonarritsu konpontzen ibiltzeagatik.

Nere guraso eta bertze senitartekoi, bere baldintzarik gabeko laguntzagatik.

Cristina eta Matxaleni, lan honetan zehar eskainitako adore eta pazientziagatik.

Juani, bere marrazki bikainengatik eta nekerik gabe laguntzeagatik behar izan dudan aldiro.

Garaziri, Oierri eta nere adiskide guztiei, jasotako laguntzagatik.

Lucky Strikeri, beti bere tokian egoteagatik.

Azkenik, EHUri, lan honek UPV 036.321-HA127/93 eta UPV 036.321-HA012/94

proiektuetatik finantziazio partziala jaso baitu.

Jouer c’est rechercher dans l’incertitude

RAYMOND QUENEAU

Aurkibidea

Sarrera .............................................................................................................................. 1

1. kapitulua: Ekarpen orekatuen hastapena eta kooperazio hierarkiak .................. 4

1 Sarrera ....................................................................................................................... 5

2 Notazioak eta definizioak ......................................................................................... 7

2.1 Shapleyen balioa ............................................................................................... 7

2.2 Egitura koalizionalak ........................................................................................ 9

2.3 Maila egiturak ................................................................................................. 13

3 Funtzio potentziala ................................................................................................. 17

4 Ekarpen orekatuak .................................................................................................. 21

2. kapitulua: Grafo probabilistikoak joko kooperatiboetan .................................... 28

1 Sarrera ..................................................................................................................... 29

2 Komunikazio grafoak ............................................................................................. 31

3 Grafo probabilistikoak ............................................................................................ 35

4 Ekarpen orekatuak eta justizia: balioaren bi axiomatizazio ................................... 42

5 Grafo probabilistikoak eta egitura koalizionalak ................................................... 49

3. kapitulua: Egonkortasuna bozketa jokoetan: Espainiako Parlamenturako

aplikazioa ................................................................................................ 58

1 Sarrera ..................................................................................................................... 59

2 Botere indizeak bozketa egoeretan ......................................................................... 61

3 Espainiako Parlamentua ......................................................................................... 65

4 Egonkortasun analisia ............................................................................................. 71

5 Egonkortasuna Espainiako Parlamentuan .............................................................. 74

6 Azken oharrak ........................................................................................................ 81

Laburbilduma ................................................................................................................ 85

Erreferentzi bibliografikoak ........................................................................................ 87

SARRERA

1

Sarrera

Joko teoria testu anitzetan deskribatu ohi da erabaki n-pertsonalaren teoria edo gatazken

analisia bezala. Maiz agertzen dira mehatxu, kooperazio, pizgarriak, zigorrak eta bertze

antzeko hitzak, berehala eramangarriak direnak eguneroko egoeratara, giza harremanetako

edozein esparruetan.

Hasiera batean ekonomia arlora bideratu bazen ere, eta eremu horren barruan industri

antolakuntzara, ikusi da bere egitasmoak baliogarriak direla interes kontrajarri eta aldi berean

elkarmenpekoko pertsona edo talde desberdinek parte hartzen duten egoerak aztertzeko.

Horrela, aspaldion bere aplikagarritasuna arlo desberdinetara hedatu da: politika zientziara,

psikologiara, biologia ebolutibora, etab.

Joko batean, elementu nagusia jokalaria da. Hau anitzetan pertsona bat izan arren, pertsona

taldea, alderdi politikoa, enpresa edo asmo eta nahi berarekin aritzen den bertze edozein talde

izan daiteke.

Azaletik, jokoak bi zatitan bana daitezke, jokalariak beraien artean akordioetara iristeko

gauza diren edo ez direnaren arabera. Ez badira gauza, bakoitzak estrategia bat hautatu

beharko du aukera posible batzuen artean. Bakoitzak bere hautaketa egin ondoren, jokoaren

emaitza bat zehaztua gelditzen da, eta beraz jokalariek lortzen duten utilitatea. Horrela,

jokoaren muina jokalarien hautaketa egokian datza, hau da, beraien onurak hoberenatzen

dituen estrategia ezartzean. Mota honetako jokoak ez kooperatiboak deitzen dira. Joko

kooperatiboek, ordea, jokalarien artean komunikazioa dagoen kasuak aztertzen dituzte, eta

zehatzago, parte-hartzaileen arteko edozein akordio betetzeko prest daudenen kasuak.

SARRERA

2

Helburua arau bat aurkitzea izanen da, non egoera bakoitzari aplikatua, emaitza automatikoki

adierazten duen. Arau hauek jokoaren soluzioak deitzen dira.

Lan honetan gehien bat joko kooperatiboen mota berezi bat erabiliko dugu, utilitatea

jokalarien artean erabat transferigarria izan daitekeen jokoena hain zuzen ere. Joko hauek

utilitate transferigarriko joko kooperatiboak deitu ohi dira.

Aurretik arlo honi buruzko ideia batzuk ukitzen zituzten testuak egon arren, joko teoriaren

sorrera 1944 urtean John von Neumann matematikari hungariarrak eta Oskar Morgenstern

ekonomilari austriarrak idatzi zuten "Game Theory and Economic Behavior" liburuan dagoela

erran daiteke. Liburu honetan joko mota anitzen erreferentziak agertzen dira, eta horrez gain

egileek joko hauen hainbat aplikazio posible ere ematen dituzte.

Bertze garai interesgarria 50 hamarkada izan zen, hor lortutako emaitza batzuk joko teoriaren

garapenari bultzada handia eragin baitzioten, bai eremu kooperatiboan baita eremu ez

kooperatiboan ere. 1950 eta 1951 urteetan John Nashek, adibidez, joko ez kooperatiboen

orekari buruzko hainbat kontzeptu orokortzen ditu n pertsonen jokoetara. Joko kooperatiboen

arloan, berriz, 1953 urtean bi kontzeptu berri garatzen dira: Donald Gilliesek huna definitzen

du, eta Lloyd S. Shapleyek, balioa. Azken honekin, eredu kooperatibo n-pertsonalen garapena

mugatzen zuten bi arazo nagusi konpondu zituen: existentzia eta bakartasuna. Ordurarte

gehien erabilitako soluzio kontzeptua 1944 urtean John von Neumann eta Oskar

Morgensternek definitutako "multzo egonkorra" zen, baina beraiek frogatua zeukaten bere

bakartasuneza, eta gainera bere existentzia n jokalariko joko kooperatibo guztietarako ez zen

ezagutzen (1969 eta 1972 urteetan Willian F. Lucasek soluzio hau ez zuten jokoen

kontradibideak aurkitu zituen).

Lloyd S. Shapleyek axioma sorta bat proposatu ondoren, utilitate transferigarriko joko

kooperatibo guztietarako baieztatzen zituen funtzio (balioa) bakarra ezarri zuen. Lan hau 1950

urtean Harold Kuhn eta Albert Tucker matematikariek hasitako "Contributions to the Theory

of Games" izenburuko bildumaren bigarren bolumenean argitaratu zen. Shapleyen balioa

erabat onartua eta erabilia izan da hainbat arlo desberdinetan, adibidez kostu banaketari

buruzko problemetan, eta alderdi politikoen boterearen analisia egiteko bozketa jokoetan;

SARRERA

3

lehen kapituluko hasieran zehatzago definituko dugu, balio hau izanen baita lana honetan

ikusten diren egoerak aztertzeko erabiliko dugun soluzio kontzeptua.

Hemen aurkezten den memoria hiru kapitulutan banatuta dago, eta bere oinarrizko

edukiera izenburuan agertzen da. Utilitate transferigarriko joko kooperatiboek adieraziko dute

denbora gehienean mugituko garen eremua, eta ekarpen orekatuen hastapena, berriz,

proposatzen ditugun bi ezaugarriztapen garrantzitsuenen ardatz nagusia izanen da. Roger

Myersonek 1980 urtean definitu zuen propietate honek, bi jokalari hartuz, baten jokotik

ateratzeak bertzearengan suposatzen duen eraginarekiko bi jokalarien oreka planteatzen du.

Bertze bi kontzeptuek, bi lehen kapituluetan garatzen diren jokoen murrizketak definitzen

dituzte. Maila egiturak, jokalarien arteko aldez aurreko kooperazioak adierazten ditu. Jokalari

batzuek elkartzea erabaki dezakete, beraien arteko ordainketak hobetzeko asmoarekin; eta

horrela eratutako blokeek aldi berean gauza bera egiteko asmoa izan dezakete, aurreko

blokeen bilduraz osatutako superblokeak eraikiz. Honek, jokalarien arteko bigarren

kooperazio maila adieraziko luke. Prozedura hau errepika daiteke elkartzeko asmoa daukaten

blokerik dagoen bitartean. Eyal Winterek 1989an mota honetako jokoak ezaugarriztatu zituen,

1977 urtean Guillermo Owenek maila bateko kasurako egindakoa hedatuz (balio

koalizionala). Guk proposatzen dugun ezaugarriztapen berria hagitz sinplea da (bi axioma

eskatzen dira soilik, efizientzia eta ekarpen orekatuak), eta horrez gain badu bertze abantaila

interesgarri bat: batukortasuna erabiltzen ez denez, baliogarria izanen da aurreko

ezaugarriztapena baino azpieremu anitz gehiagotan.

Bigarren kapituluan planteatutako murrizketa jokalarien arteko komunikazio mailarekin

erlazionatua dago. Egoera erreal anitzetan, jokalari batzuen eta bertzeen arteko lotura graduak

berdinak ez diren kasuak agertzen dira. Adibidez, politikan hau nabarmena da, eta alderdi

batzuek zailtasun handirik gabe akordioetara iristen diren bitartean, bertze batzuen artean hori

bera lortzea ezinezkoa dirudi. Hori konpontzeko era bat, komunikatzeko gai diren jokalari

bikoteak eta konponezinak direnak desberdintzea izan daiteke. Honek emanen digu Roger

Myersonek 1977 urtean definitu zuen eredua, non jokalari bikoteen arteko komunikazioa edo

inkomunikazioa grafo baten bitartez adierazten zen. Hala ere, nabaria da grafo horren

diseinuaren zailtasuna, batez ere arku bat jartzea edo kentzearen arabera azken ordainketa

SARRERA

4

erabat aldatzen bada. Guk proposatzen dugun ereduan, jokalari bikote bakoitzak 0 eta 1-en

arteko komunikatzeko probabilitatea duela suposatuko dugu. Honek, grafo probabilistikoa

deituko dugun aldebiko komunikazio laukia emanen digu, zeinek hasierako funtzio

karakteristikoa aldatuko duen. Funtzio berri honi Shapleyen balioa aplikatuz lortutako

balioak, jokalari batek bertzeekin daukan komunikazio graduaren arabera, lortzea itxaroten

duena adieraziko du.

Hirugarren kapituluak bi lehenengoetan garatutako ideiak biltzen ditu, bozketa joko

politikoetara aplikatuak. Alderdiek aldez aurretik aliantzaren bat ezar dezakete (maila

bakarreko kasua soilik hartuko dugu kontutan), eta gainera elkar komunikatuak daude grafo

probabilistiko baten arabera. Baldintza hauekin joko ez-kooperatibo bat definituko dugu.

Horrela, oreka sendoa kontzeptuaren bitartez, aliantza irabazle egonkorrik dagoen ala ez

ezarriko dugu. Ondoren, lortutako emaitzak Espainiako Parlamentura aplikatuko dira, bai

1993-1996 legealdira, baita orain betetzen ari denara ere.

4

1. kapitulua

Ekarpen orekatuen hastapena eta kooperazio hierarkiak

EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK

5

1 Sarrera

Soluzio kooperatibo gehienek jokalarien arteko elkarrekikotasun propietateren bat daukate.

Hau gertatzen da, bertzeak bertze, kernel (Davis eta Maschler, 1965), bargaining set (Aumann

eta Maschler, 1964), erdiegonkorren bektore multzoa (Albers, 1979; Selten, 1981 eta Bennett,

1983) eta Shapleyen balioaren (Shapley, 1953) kasuetan.

Batzuetan, elkarrekikotasun propietate honek simetri axioma bat adierazten du soilik;

bertzetan, bargaining set eta kernelen kasuetan adibidez, jokalari multzoarekiko erlazio bitar

simetriko zailagoa dakarkigu. Propietate hauen azpitik, arrazoizko soluzio kontzeptu bat

orekatua izan behar duelakoaren ideia dago: bi jokalari hartuz, haietako baten jokotik

ateratzeak bertzearen ordainketan suposatzen duen eragina bientzat neurri berdina izan behar

duela.

Shapleyen balioari buruzko literaturan honelako hastapen bat planteatu zuen Myersonek

(1980). Edozein bi jokalari hartuz, bakoitzak irabazten edo galtzen duena bertzea jokutik

ateratzeagatik kantitate bera izan behar duela dio Myersonen ekarpen orekatuen hastapenak.

Myersonek hastapen hau erabili zuen Shapleyen balioa konferentzia egiturarekiko jokoetara

hedatzeko, baina bere emaitzen kasu berezi batek Shapleyen axiomatizazio bat ematen digu.

Gure helburua, Shapleyen balioa kooperazio hierarkiekiko jokoetara hedatzea da. Balio hau,

maila egiturarekiko balioa deitu ohi da, eta lehenik Owen (1977) eta Winterrek (1989)

definitu zuten. Maila egitura batek, jokalarien arteko kooperazio hierarkia bat deskribatzen

du. Hierarkia hau jokalari multzoko partiketa desberdinen segidez adierazita egonen da, non

bakoitza hurrengoa baino finagoa den. Hasiera batean, jokalariak bloke disjuntuetan biltzen

dira, egitura koalizioal bat eratuz. Ondoren, hauetako bloke batzuek beraien artean

superblokeetan biltzeko nahia izan dezakete, bigarren kooperazio maila eratuz. Prozedura hau

bukatuko da maila batean dauden blokeek beraien artean biltzeko asmorik ez tutenean. Egoera

1. KAPITULUA

6

honen adibide nabaria da Europako Parlamentuko kasua. Lehen mailan hor dauden alderdiak

oro herrialde desberdinetako alderdiz osatutako 8 talde parlamentarioetan banatzen dira. Hau

finkatua dagoelarik, hauetako talde batzuk beraien artean bil daitezke, aurrekoa baino

partiketa zabalagoa den bigarren kooperazio maila eratuz. Honen ordez bertze maila egitura

egiteko aukera ere badago. Adibidez, eztabaidatzen ari diren aztergaiak herrialde

desberdinekiko eragina dutenean, herrialde bakoitzeko alderdiak bildu ohi dira, eta bigarren

maila batean, antzeko interesak dituzten herrialdeak elkar daitezke beraien helburuak

hobekiago defendatzeko.

Geroxeago definituko dugun maila egiturarekiko jokoen balioak, kooperazio hierarkia hau

kontutan hartuko du azken ordainketen banaketa ezartzeko orduan. Balio hau Winterek (1989)

axiomatizatu zuen, eta bere kasu berezi bat Owenen (1977) eta Hart eta Kurzen (1983, 1984)

balio koalizionala da. Kapitulu honetan, balio honen bertze ezaugarriztapen bat proposatzen

da, non aurrekoan ez bezala axioma bakar batean oinarritua dagoen (efizientziarekin batera),

ekarpen orekatuen hastapena deitu ohi dena. Honek, maila egiturarekiko balioen, Shapleyen

balioen eta Myersonen balioen arteko erlazio sakonagoa ezartzen du. Gainera, batukortasun

axioma erabiltzen ez denez gero, ezaugarriztapen hau aplikagarria izanen da hainbat

azpieremu garrantzitsuetara bakartasuna galdu gabe. Zehazki, gure ezaugarriztapena, bertzeak

bertze, azpieremu hauetara ere aplikagarria izanen da: joko sinpleetara, merkatu jokoetara

(joko erabat orekatuak), joko ganbiletara eta joko gainbatugarrietara. Hau ez da gertatzen,

ordea, Winteren axiomatizazioarekin, azpieremu anitzetan bakartasuna galtzen baita. Honen

arrazoia, batura mantentzen ez duten azpieremuen existentzian datza (adibidez, bi joko

sinpleen baturak ez du zertan joko sinplea izan beharrik). Puntu hau aurrerago berriro ukituko

dugu.

Gure ezaugarriztapena lortzeko bertze kontzeptu garrantzitsu bat ere erabili dugu, Hart eta

Mas-Colellek (1989) definitutako funtzio potentziala hain zuzen ere. Alde batetik, funtzio

honek berak emanen digu maila egiturarekiko balioaren ezaugarriztapen bat, eta bertzalde,

funtzio honetaz baliatuz, kapituluko emaitza garrantzitsuena frogatuko dugu.

Hasiko gara 2. Atalean, notazio eta oinarrizko definizio sorta batzuekin, eta maila

egiturarekiko bi adierazpen esplizitu ematen. 3. Atalean, funtzio potentziala erabiltzen da


7

balioa ezaugarriztatzeko. 4. atalean, azkenik, maila egiturarekiko jokoetarako ekarpen

orekatuen axioma definitzen da, eta ondoren, efizientzia baldintza eta axioma honen bitartez

(eta 3. atalean lortutako emaitzen laguntzarekin) balioaren ezaugarriztapen axiomatiko

nagusia lortuko da.

2 Notazioak eta definizioak

2.1 Shapleyen balioa

Biz , zenbaki arrunten multzoa. Multzo honek jokalarien unibertsoa adieraziko du. v jokoa

(aldeko ordainketekin), -ren azpimultzo bakoitzari zenbaki erreal bat ematen dion funtzioa

da, v()=0 izanik. S-ren osagarrian dauden jokalariak kontutan hartu gabe, S koalizioak ziurta

dezakeen ordainketa bezala interpreta daiteke v(S). S bakoitzeko v(SN)=v(S) betetzen bada,

N azpimultzoa v-ren euskarria dela erranen dugu. v euskarriaren edozein supermultzo ere

v-ren euskarria izanen da. Euskarrian ez dauden jokalariek ez dute eragin zuzenik jokoan, ez

baitute inolako ekarpenik ezein koalizioan. Gu euskarri finituak dituzten jokoetara murriztuko

gara. N idatziko dugu (N,v) bikote guztien multzoa adierazteko, v-k N euskarri finitua

daukalarik.

N-ren jokoen soluzioa edo balioa, N-tik n-rako edozein aplikaziori deituko diogu. Gu

Shapleyen balioan zentratuko gara, hau baita kapitulu honetan barna oinarri gisa hartuko

dugun soluzio kontzeptua.

Ikus dezagun edozein (N,v) jokotarako ordenen bitartezko interpretazioan oinarritutako

balio honen adierazpen esplizitu bat. N jokalariko multzoaren gaineko orden bat, :NN

permutazioaren bitartez definituta dago, ordenean (i) izanik i jokalariaren lekua. N-n

definitutako ordena guztien multzoa adierazteko P(N) idatziko dugu. P(,i), n ordenean i-ren

aurretik dauden jokalarien multzoa izanen da, hots, P(,i) = {jN : (j) < (i)}. Shapleyen

balioak, i jokalari bakoitzari ordena batekiko ekarpen marjinalaren itxarotako ordainketa

esleitzen dio, ordena guztiak probabilitate bera dutelarik:

1. KAPITULUA

8

SHi(v) =

)N(P

i,Pvii,PvNP

1 .

1953 urtean, Shapleyek axioma sorta bat proposatu zuen; soluzio batek axioma hauek

betetzea desiragarria izan zitekeen, eta gainera, denak batera eskatuz balio bat unibokoki

ezaugarriztatzen zuten. Formalki, (N,v) joko baten Shapleyen balioa, i jokalari bakoitzari

SHi(N,v) zenbaki erreala ematen dion eta ondoko axiomak betetzen dituen funtzioa da:

SH1 v jokoaren N euskarri bakoitzeko, NvvSHNi

)(i .

Hau da, N euskarriko jokalariek v(N) ordainketa osoa banatzen dute beraien artean.

SH2 Edozein permutazio eta i jokalari hartuz:

SHi(v)=SHi(v)

betetzen da, v jokoa honako era honetan definituta dagoelarik: (v)(S)=v(S) S

koalizio bakoitzeko.

v jokoa hartuz, v jokoen klaseak v dagokion "joko abstraktoa" adierazten du. Orduan,

simetri axioma honek, jokoaren balioa jokoaren propietate abstraktuen menpe soilik

dagoela erran nahi du.

SH3 Edozein v eta w jokotarako, SH(v+w)=SH(v)+SH(w).

Hau da, bi joko independente konbinatzen direnean, beraien balioak jokalariz jokalari batu

daitezke.

Balio honen bertze adierazpen esplizitu bat badago, Harsanyiren (1963) dibidenduetan

oinarritakoa. Har dezagun T euskarriko UT unanimitate jokoa, hots, UT(R)=1 RT bada eta


9

UT(R)=0 bertzela. Joko honetan, ordainketa T-ren jokalarien artean eta zati berdinetan

banatuko da, bertze jokalariek deus lortzen ez dutelarik, hots,

SHi(UT) =

bertzela

TiT0

1

Balioa v jokora hedatzeko, gogoratu v unanimitate jokoen konbinazio lineala dela,

v= NT

TTUa , Ta =

TS

ST )S(v)( 1 izanik.

Horrela, jokoaren batukortasun baldintza erabiliz:

SVi(v)=

Ti

NT

T

T

a.

dT=T

aT kantitatea, T-ren jokalarien Harsanyiren dibidendua deitzen da.

2.2 Egitura koalizionalak

Von Neumann-Morgensternen (1944) soluzioetan egitura koalizionalen azterketa inplizituki

agertu arren, non soluzioen barne eta kanpo egonkortasunaren arabera azken ordainketa

emanen zuen egitura koalizional egonkorra aukeratzen zen, egitura koalizional baten definizio

esplizitu bat ez da agertuko bi hamarkada geroago arte, bargaining setari buruzko literaturan

hain zuzen ere (adibidez, Aumann eta Maschleren, 1964). Aurrerago, Aumann eta Drezek

(1974) eta Owenek (1977), Shapleyen balioan oinarrituta, egitura koalizionalekiko jokoen bi

soluzio kontzeptu aurkeztuko dituzte.

1. KAPITULUA

10

Formalki, egitura koalizionala, jokalari multzoko mS,...,S,SB 21 partiketa finitua da.

Partiketa honek, jokalarien arteko aldez aurreko kooperazio egitura deskribatuko du. Aumann

eta Drezen (1974), Shapleyen (1953) baliorako aldaketa bat proposatzen da TU jokoetarako,

partiketak jokoan "zisku itxiak" sortzen dituela suposatuz; ondorioz, koalizio bateko

jokalariek azpijokoan lortutako balioa banatuko dute beraien artean. Owenen (1977),

partiketen koalizioen arteko superjokoa definitzen dela suposatzen da, eta Shapleyen balioak

koalizio bakoitzari ematen diona bere partaideen artean banatuko da, bakoitzak bertze

koalizioetan sartzeko dituen probabilitateen arabera. Ondoren, Owenen balioa zehatzago

azalduko dugu, gure lana ikuspegi honekin erlazionatuagoa baitago.

Demagun N euskarri finitoa duen v jokoa, eta N-ren mS,...,S,SB 21 egitura

koalizionala. B-k P(N) ordena posible guztiengan P(B) murrizketa eragiten du, SB bildura

bakoitzeko jokalari guztiak batera doazen ordenak soilik kontutan hartzen dituena:

Sorduan bada, ljli:NP:BP .

(N,v) jokoa eta B egitura koalizionala hartuz, balio koalizionala edo Owenen balioa,

honako era honetan definitzen da

OVi(N,B,v):=

)B(P

i,Pvii,PvBP

1. (iN).

Beraz, OVi(N,B,v), i jokalariaren ordena batekiko ekarpen marjinalaren itxarotako balioa

izanen da, SB bildura bakoitzeko jokalari guztiak batera agertzen diren ordenak soilik

kontutan hartzen direnean (eta probabilitate berarekin).

Ikus dezagun definizio honi buruzko adibide bat. Biz 6 jokalariko jokoa, bere funtzio

karakteristikoa honakoa izanik:


11

.bertzela

NS

S

,,,,,,,S

S

)S(v

2

12

510

6543432110

10

Shapleyek joko honetarako proposatzen duen banaketa honako hau da:

SH(N,v) = (1.867, 1.867, 2.267, 2.267, 1.867, 1.867).

Suposa zitekeen bezala, 3 eta 4 jokalariek ordainketa bera lortzen dute, simetrikoak

direlako, eta bertzeek baino handiagoa. Hala ere, ordainketa hau alda daiteke jokalariek

egitura koalizional batean biltzea erabakitzen badute, orduan ordena guztien probabilitateak

ez baitira berdinak izanen. Adibidez, B=({1,2},{3,4},{5,6}) hartzen badugu, (3,4,2,1,6,5)

ordena bateragarria da egitura honekin, (3,2,4,1,6,5) ordea, ez. Hau dena kontutan hartuta,

Owenen balioa honakoa izanen da:

OV(N,B,v)=(1.33, 1.33, 3.33, 3.33, 1.33, 1.33)

1975 urtean Owenek, Shapleyek proposatutako axiomak egoera berri honetara egokituz,

balio hau 5 axiomen bitartez ezaugarriztatu zuen. Horrela, efizientzia eta batukortasunarekin

batera,

OV1 v jokoaren N euskarri bakoitzeko, .NvN,B,vOVNi

)()(i

OV2 Edozein v eta w jokotarako, OV(v+w)=OV (v)+ OV (w).

Owenek simetria bikoitza eskatzen du:

OV3 M={1,2,...,M} multzoan definitutako permutazio bakoitzeko,

1. KAPITULUA

12

OV(N,B,v)=OV(N,B,v) da, B= mS,...,S,S 21 izanik;

OV4 N multzoko permutazio bakoitzeko,

v,S,...,S,S,NOVv,S,...,S,S,NOV mimi 2121 .

Eta azkenik, bere oinarrizko planteamenduari buruzko eskakizun bat: bi joko daude,

hasierako v eta blokeen arteko v/B zatidura jokoa, eta bloke bakoitzak bigarren joko honetan

jasotzen duen ordainketa zatidura jokoaren menpe dago soilik. Ondoren, bloke bakoitzeko

jokalariek kantitate hau beraien artean banatuko dute, bakoitzak bertze blokeetan sartzeko

dituen probabilitateen arabera:

OV5 j{1,2,...,m} bakoitzeko, Ni

i v)B,(N,OV kantitatea (M,v/B) zatidura jokoaren menpe

dago soilik, v/B(T)=

TjjSv izanik.

Shapleyen balioak bezala, balio honek ere Harsanyiren dibidenduetan oinarritutako

definizio alternatiboa onartzen du. Hau hurrengo kapituluan zehatzago ikusiko dugu, maila

egiturarekiko jokoen balioa aztertzerakoan.


13

2.3 Maila egiturak

Maila egiturak, koalizio egituraren ideia hedatzen du. Jokalari multzoko partiketa egin

ondoren, sortutako blokeek beraien artean biltzeko asmoa izan dezakete, negoziazio indarra

hobetu nahian. Horrela, blokeen bilduraz osatutako bigarren egitura dugu, edo bertze era

batean, bigarren kooperazio maila. Prozesu hau errepika daiteke, aldiro aurreko mailako

partiketak baino finagoak lortuz.

Formalki, N bada jokalarien multzoa, B maila egitura B=(B0,B1,...,Bk) egitura koalizionalez

osatutako segida da, non Bi+1 bakoitza Bi-ren blokeen bilduraz osatua dagoen. Zehazki, i>1

bakoitzeko, S Bi bada, orduan S= *iBT

T1

da, 11 i*i BB izanik.

Bi egitura koalizionala B-ren i-garren maila deituko dugu. B0 bakarkako blokez osatuta

dagoen egitura koalizionala dela suposatuko dugu, B0= {{i}: iN} , eta Bk= {N} dela, hau da,

koalizio osoa den bloke bakar batez osatua dagoela. N multzoaren gaineko B egitura posible

guztien multzoa LN izendatuko dugu.

Demagun (N,B,v) hirukote guztien GN multzoa dugula, v funtzioa, N multzoaren gaineko

jokoa eta BLN, maila egitura direlarik. (N,B,v) hirukotea hartuz, SN koaliziorako demagun

vS funtzioa S-ra murriztutako jokoa dela, T bakoitzeko vS(T)=v(TS) izanik. Kontutan

hartu vS ere GN -ko elementua dela. Hau horrela da, NS bakoitzeko N multzoa vS joko

murriztuaren euskarria ere delako. Hemendik aintzinera hau maiz erabiliko dugu. Notazioa

sinplifikatzeko, N erabiliko dugu (N,B,v) hirukotea izendatzeko, eta (N,B,vS)-ren ordez S

idatziko dugu.

Maila egitura duen joko baterako soluzio kontzeptua, GN -tik n funtzioa da, non joko

bakoitzari n-ko bektore bat dagokion. Guk aztertuko dugun soluzio kontzeptua, maila

egiturekiko balioa da (Winter, 1989). Gaingiroki, balio honek jokalari bakoitzari bere

itxarotako ekarpen marjinala emanen dio, maila egiturarekin bateragarriak diren ordena

guztiekiko.

1. KAPITULUA

14

Ondoren, balio honen adierazpen esplizitua emanen dugu. B maila egitura bakoitzeko

k

jjBPBP

1

)()(

defini dezagun; P(B) B maila egiturarekin bateragarriak diren ordena

guztien multzoa izanen da. Orduan, balioak maila egiturarekin h jokalari bakoitzari honako

hau emanen dio:

h(N,B,v) = .h,Pvhh,PvBP )B(P

1

non P(,h)= hj:Njh,P :)( delarik.

Aurreko apartatuko adibidera berriro itzuliz, {3,4} eta {5,6} blokeek batera jokatzen duten

egoera suposa dezakegu. Orain, bigarren kooperazio maila dagoela suposatuko da, lehen

mailako bi blokeek bateratzeko erabakiz lortua. Taula honetan, B=(B0, B1, B2) maila egitura

zehatzago ikus daiteke:

B2 {1,2} {{3,4},{5,6}}

B1 {1,2} {3,4} {5,6}

B0 1 2 3 4 5 6

2.1 taula

Orain, egitura honekin bateragarriak diren ordenen kopurua, B egitura koalizionalarekin

bateragarriak direnen kopurua baino txikiagoa izanen da, {3,4} eta {5,6} blokeek batera joan

behar baitute. Adibidez, (3,4,2,1,6,5) ordena, baliagarria da B={{1,2},{3,4},{5,6}} egiturak

inposatzen zituen baldintzetarako, ez baina ez ordea maila egitura honetarako.

Egitura honekin, jokoaren balioa maila honako hau izanen da:

(N,v,B)=(1, 1, 3.5, 3.5, 1.5, 1.5).


15

Ikus daitekeenez, {1,2}-ren isolamenduak, bigarren mailan 1 eta 2 jokalarien galera sortzen

du, bertze jokalarien onerako.

Badago balio honen adierazpen esplizitu desberdin bat, Harsanyiren (1963) dibidenduetan

oinarritakoa. Har dezagun T euskarria duen UT unanimitate jokoa, UT (R)=1, RT bada eta

UT(R)=0 bertzela. H-ri UT jokoan dagokion ordainketa honela lortuko da: k-1 mailan, T-n

ordezkariak dituen bloke bakoitzak unitate ordainketaren zati bera lortzen du. k-2 mailan, T-n

ordezkariak dituen bloke bakoitzak k-1-eko bere superblokearen azken ordainketaren zati bera

jasotzen du. Prozedura honek horrela jarraituko du maila baxuenera (zero mailara) iritsi arte.

Zehatzago:

hN bakoitzeko, biz Si(h) h jokalaria dagoen i. mailako koalizioa, eta defini dezagun:

1( ) ( ) eta S T , i 0,1,...,k-1 direnean,i iTK h S S h eta

1

0

k

i

iTT ).h(K)h(K

TN koalizio eta hN jokalari bakoitzeko, (i+1). mailan h dagoen bloke berean dauden i.

mailako blokeen artean, T-rekiko elementu amankomunean dituen bloke kopurua adierazten

du )h(K iT zenbakiak. Lehengo adibidean, h=3 eta T={2,3,4,5} badira, )3(0

TK = )3(1TK =2

izanen dira.

Orduan, h jokalariaren ordainketa honakoa da:

h(N,B,UT)=

.bertzela

ThhKT

0)(

1

Balioa v jokora hedatzeko, gogoratu v unanimitate jokoen konbinazio lineal gisa adieraz

daitekeela, v= NT

TTUa . Horrela, jokoaren batukortasun propietatea erabiliz:

1. KAPITULUA

16

h(N,B,v)=

Th

NT T

T

hK

a

)(. (2.1)

Adierazpen honen froga formala Teorema 1-eko frogaren bigarren zatian aurki daiteke,

Winterren (1989).

Orain, balio honen bertze propietate interesgarri bat ikusiko dugu. Propietate honek, maila

bateko bloke baten ordainketa ezarriko du, bloke hau jokalari gisa hartuz.

Biz B=(B1,B2,...,Bk)LN. 1 i k bakoitzeko, Bi-ko koalizioak jokalari moduan hartzen

ditugunean, (N,v)-tik eratortzen den jokoa ii v,B idatziko dugu. SBi jokalari bezala

hartzen denean, [S] idatziko dugu, eta [Bi] jokalari hauen multzoari, :i iB S S B .

Adibidez, S,TBi badira, orduan, TSvT,Svi da.

[Bi] jokalarien multzoarengan definitutako maila egitura Bi=(Bi, Bi+1,...,Bk) idatziko dugu.

Bi-ko blokeak jokalaritzat hartzen ditugunean, maila egitura Bi izanen da. Aurreko

adibidearekin jarraituz, B1 egiturak, maila bakar bat izanen du (hasierakoarekin batera),

[{1,2}] eta {[{3,4}] [{5,6}]} blokeez osaturikoa.

B2 [{1,2}] {[{3,4}],[{5,6}]}

B1 [{1,2}] [{3,4}] [{5,6}]

2.2 taula

i. mailako blokearen azken ordainketa eta bloke horrek [Bi] jokoan jokalari bezala

lortutakoa berdinak direla frogatzen da Winterren (1989). Formalki,

k0,1,...,i BS i ,v,B,Nv,B,B hiii

S . (2.2)


17

3 Funtzio potentziala

Lehenik, funtzio potentziala erabiliz maila egiturarekiko balioa ezaugarriztatuko dugu eta

ondoren, kontzeptu honen bitartez balioaren gure ezaugarriztapen nagusia ezarriko dugu.

Kontzeptu honen azpian ekonomia arloan tradizio handia duen ideia dago, jokalari

bakoitzari koalizio osoarekiko bere ekarpen marjinala ematea. Bistakoa denez, orokorki hau

ez da posible, horrela eginez banaketaren efizientzia galduko baikenuke. Honetan oinarrituta,

Hart eta Mas-Colellek (1989) aplikazio bat definitu zuten, funtzio potentziala deitu ohi dena.

Aplikazio honek (N,v) joko bakoitzari P(N,v) zenbaki erreal bat ematen dio, non

potentzialarekiko jokalarien ekarpen marjinalen batura koalizio osoaren balioa den, hots,

Nh

hN Nvv,NPv,NP )()()( ), 0)( v,P

hasierako baldintzarekin batera. Gainera, honela definitutako funtzio potentziala bakarra dela

frogatu zuten, eta jokalari bakoitzaren ekarpen marjinala multzo osoari, jokoaren Shapleyren

balioa dela, hots, hNh v,NPv,NPv,NSH .

Funtzio honen adierazpen esplizitua, lehen definitutako Harsanyiren dibidendoen bitartez

lor daiteke:

NT

Tdv,NP .

Winterren (1992), potentziala egitura koalizionalekiko jokoetara hedatzen da, eta gainera

Owenen balioa potentziala erabiliz ezaugarrizta daitekeela frogatzen da. Guk maila

egiturarekiko jokoen baliotarako antzeko ezaugarriztapena ezarriko dugu.

Demagun (N,B,v) hirukote guztien NN

NG

G multzoa, eta multzo honetan (N,B,v)

hirukote bakoitzari 1)( BRv,B,N bektorea esleitzen dion P funtzioa. SB1 bada, S-ri

elkartutako P-ren osagaiari )( v,B,NP S deituko diogu. Adierazpen luzeegiak laburtzeko,

1. KAPITULUA

18

iii v,B,B jokoa izendatzeko iB erabiliko dugu. Eta iBS bakoitzeko,

SBi

ii iv,B,B jokua SBi idatziko dugu.

(N,B,v) hirukotea eta hSB1 hartuz, h-ren potentzialarekiko ekarpen marginala koalizio

osoari honako hau izanen da:

hNPNPNPD SSh .

Era berean, SB1, hartuz, i<k eta STB1 izanik, iB jokorako S jokalariaren

potentzialarekiko ekarpen marjinala

SBPBPBPD iT

iT

iS

izanen da.

Orain, funtzio potentziala definitzeko baldintzak ezarriko ditugu. Baldintza hauek Hart eta

Mas-Colellek Shapleyen baliorako eta Winterek Owenen baliorako ezarritakoak hedatuko

dituzte.

P maila egiturarekiko jokoen funtzio potentziala dela erraten da honako hiru baldintza

hauek betetzen baditu:

Sh

iSh BSBPDNPD 1 (3.1)

Lehen mailako blokeren baten jokalarien ekarpen marginalen batura, eta blokeen arteko

jokoan bloke horrek jokalari bezala daukan ekarpen marjinala berdinak izatea eskatzen du

(3.1) baldintzak.

Bigarren baldintzak, jokalarien potentzialekiko ekarpen marjinalen batura v(N) izatea

eskatzen du:


19

Nh

h NvNPD . (3.2)

Azkenik,

SB1, 0TPS da TS= betetzen duen TN bakoitzeko. (3.3)

Hau normalizazio baldintza da, Hart eta Mas-Colellek multzo hutsaren gaineko joko baten

potentziala zero izatearen eskakizunaren antzekoa.

Prest gaude jadanik funtzio potentzialaren bitartez maila egiturarekiko jokoen balioa

ezaugarriztatzeko.

Teorema 1 Maila egiturarekiko jokoetarako funtzio potentzial bakar bat existituko da.

Gainera, jokalari bakoitzaren funtzio potentzialarekiko ekarpen marjinala, maila

egiturarekiko balioa da, hots, )( Nhv,B,Nv,B,NPD hh .

Frogapena: (N,B,v)GN joko bakoitzeko, SB1 koalizio bakoitzeko eta TS betetzen

duen edozein TN azpimultzotarako, defini dezagun KT(S)=KT(h), hTS eta KT(h)-ak

bigarren atalean definitutako koefizienteak direlarik (ohartu KT(S) ongi definituta dagoela,

h,lTS bakoitzetarako KT(h)=KT(l) baita). Bira

TR

rtT Rva 1 unanimitate jokoetan

deskonposatutako v-ren koefiziente bakarrak.

Orain potentziala esplizituki definituko dugu. Har dezagun 1BNP funtzioa,

ST

NT T

TS

SK

aNP:BS 1

izanik.

1. KAPITULUA

20

Lehenik, h jokalari baten funtzio honekiko ekarpen marjinala h N balioa dela

frogatuko dugu. hSB1 bada, orduan:

\h S SD P N P N P N h NSK

a

SK

a

SK

a h

Th

NT T

T

ST

hNT T

T

ST

NT T

T

(3.4)

non azken berdintza (2.1) adierazpenetik lortzen den.

Ikus dezagun orain horrela definitutako P funtzioak potentzialaren baldintzak betetzen

dituela.

(3.3) baldintza PS(T)-ren definizioaren ondorio zuzena da. (3.2) ere betetzen da maila

egiturarekiko balioaren efizientziagatik, (3.4) erabiliz. (3.1) egiaztatzeko N eta 1B -eri

funtzio potentziala aplikatuko diegu, 0 mailarako (2.2) baldintzarekin batera. Ondorioz,

Sh

h

Sh

hSS NPDNBBPD 11 .

Frogapena bakartasuna ikusiz bukatuko dugu.

Ohartu (3.1) bertze era batean idatz daitekeela:

11

\SS S

h S

P N D P B P N hS

. (3.5)

Bakartasuna frogatzeko indukzio metodoa erabiliko dugu maila kopuruekiko. k= 1 denean,

P(N) bakarra dela dakigu Hart eta Mas-Colellen potentziala baita. Beraz, 1kBP unibokoki

determinatua dago. Suposa dezagun k-1 mailarako bakartasuna betetzen dela.

Indukzio hipotesiagatik 1BP unibokoki determinatua dago. Orain SB1 bakoitzeko

PS(N) ere bakarra dela frogatu beharko dugu. Horretarako, jokoaren euskarrian dauden S-ren


21

jokalari kopuruekiko indukzioa erabiliko dugu. Biz T multzoa v-ren euskarri finito bat.

ST=1 bada, orduan, S={h}, eta ondorioz, (3.3)-gatik, PS(N\h)=0 izanen da. (3.5) erabiliz,

PS(N) unibokoki determinatua egonen da.

Suposa dezagun ST=m-1-erako PS(N)-ren bakartasuna frogatua dagoela. Indukzio

hipotesi honen ondorioz, hS bakoitzeko, PS(N\h) unibokoki determinatua egonen da.

Gainera, hasierako indukzio hipotesia erabiliz (mailekiko), 1BPD S ere unibokoki

determinatua dago. Honek, (3.5) baldintzagatik, ST= m-rako PS(N) bakarra dela erran

nahi du. Beraz, N euskarri finituko joko guztietarako potentzialaren bakartasuna frogatuta

dago.

4 Ekarpen orekatuak

Atal honetan, maila egiturarekiko balioaren gure axiomatizazio nagusia ematen da, ekarpen

orekatuen hastapenean oinarrituta dagoena. Shapleyen balioari buruzko literaturan, maiz

agertu den hastapen hau, soluzio kontzeptu kooperatibo gehienetan agertzen diren

elkarkidetasun propietateekin erlazionatua baitago. Propietate hauen azpitik dagoen ideia zera

da: bidezkoa den soluzio batean, i jokalari baten eragina j jokalariaren ordainketarekiko, i-ren

ordainketarekiko j-ren eragina bera izan behar duela. Guk, maila egiturarekiko balioaren

(Owen, 1977 eta Winter, 1989) axiomatizazio berri bat ematen dugu. Baina gainera, sarreran

erraten den bezala, TU jokoen azpieremu interesgarri anitzetan aplika daitekeen abantaila

dauka. Hart eta Mas-Colellen potentziala erabiliko dugu gure emaitza nagusia frogatzeko, eta

balioaren bertze ezaugarriztapen bat ere ezarriko dugu.

Shapleyi buruzko literaturan Myersonek (1980) sartu zuen honelako hastapen bat.

Myersonen ekarpen orekatuen propietateak dio; bi jokalari hartuz, bakoitzak bertzea jokutik

ateratzeagatik irabazten edo galtzen duena, bi kasuetan kantitate bera izan behar duela.

Myersonek Shapleyen balioa konferentzi egiturareriko baliora hedatzeko erabili zuen

propietate hau, baina bere emaitzen kasu berezi batek Shapleyen balioaren axiomatizazioa

ezartzen du.

1. KAPITULUA

22

Formalki, NN: soluzio batek ekarpen orekatuen hastapena egiaztatzen du, i,jN

jokalarietarako

, \ , , \ ,i i j jN v N j v N v N i v .

betetzen bada.

Propietate honekin, efizientzia axiomarekin batera, Shapleyen balioaren ezaugarriztapen

berri bat lortzen da (Myerson, 1980).

Hasteko, ekarpen orekatuen hastapena, maila egiturarekiko joko batera hedatuko dugu.

Definzioa Demagun N euskarriko v jokoa eta B maila egitura. NNG: soluzio batek

ekarpen orekatuen hastapena egiaztatzen duela erraten da, S,TRBi+1 betetzen duten

edozein S,TBi koaliziotarako (i=0,1,...,k-1)

)SN()N()TN()N( TTSS

betetzen bada,

Si

iS NN izanik.

Ekarpen orekatuen baldintza hau, hurrengo mailan bloke beran dauden edozein S eta T

blokeri aplikatuko zaie, eta bloke hauetarako, T-ren ekarpena S-ren elementuen ordainketa

osoari, T-ren elementuen ordainketa osoarekiko S-ren ekarpen bera eskatzen da.

Ikus dezagun, maila egiturako adibide gisa, Europako Parlamentuko kasua. Hor sortzen

den jokoa bozketa jokoa da, eta maila egiturarekiko balioa, kooperazio maila desberdinak

kontutan hartzen dituen botere indizea izanen da. Kasu honetan, gure ekarpen orekatuen

axiomaren esanahia honakoa da: har ditzagun Europako Parlamentuan ordezkariak dituzten

lurralde berako bi alderdi (adibidez, Alemaniako Alderdi Sozialdemokrata (SPD) eta


23

Alemaniako Alderdi Kristau Demokrata (CDU)). 1 Bi alderdi hauek hurrengo mailako bloke

beran daudenez (lurralde berakoak izateagatik), CDU Parlamentuan egotearen eragina SPD-

ren ordainketan, hau egoteak CDU-ren ordainketan suposatzen duen eragina bera izan behar

dela inposatzen du gure ekarpen orekatuen axiomak. Eskakizun honen zentzua izanen du

batez ere bi alderdi hauek Europako Batasuneko bertze alderdi sozialdemokrata edo kristau

demokratatik baino hurbilago dauden kasuan, adibidez, Europako instituzioko ordezkaritzari

buruzko gaietan, edo nazioen artean eragin desberdinak dituzten erabaki ekonomikoak hartu

behar direnean. Inmigrazio politikako edo ingurugiroko gaietan, ordea, alderdi bakoitzeko

ideologiak indar handiagoa izan dezake, eta kasu hauetan bertze maila egitura sortuko

litzateke.

Teorema 2-k, ekarpen orekatuaren hastapena eta efizientziaren bitartezko maila

egiturarekiko balioaren axiomatizazioa ematen du (bigarren axioma hau lehen atalean

emandako SH1 efizientzia axioma da, maila egiturarekiko joko batera egokitua).

Teorema 2 Ekarpen orekatuak eta efizientzia betetzen dituen soluzio bakarra dago maila

egiturarekiko jokoetan. Soluzio hau, maila egiturarekiko balioa da.

Frogapena: Idatz dezagun maila egiturarekiko balioa. Existentzia frogatzen hasiko gara.

Horrela, -k efizientzia betetzen duela dakigunez, ekarpen orekatuen baldintza ere baieztatzen

duela frogatzea nahikoa izanen da.

Bira (N,B,v)GN hirukotea, i < k maila, eta S,TRBi+1 betetzen duten S,TBi koalizioak.

Gogoratu, (2.2) ekuazioagatik SBi bakoitzeko iSS BN eta teorema 1-engatik

iS

iS BBPD berdintzak betetzen direla. Hortaz:

( ) ( \ ) \S SS Si iN N T B B T = \S S

i iD P B D P B T =

= \ \ \ ,R R R Ri i i iP B P B S P B T P B S T =

1 SPD eta CDU Sozialistische Partei Deutschland eta Christliche Demokratische Unionen siglak dira,

1. KAPITULUA

24

= \T Ti iD P B D P B S = \ ( ) ( \ )T T T T

i iB B S N N S .

Hau da, -k ekarpen orekatuen baldintza egiaztatzen du.

Bakartasuna frogatzeko, suposa dezagun axiomak betetzen dituzten bi soluzio eta

badaudela. SBi bloke bakoitzeko eta 0ik maila bakoitzeko, S(N)=S(N) dela frogatuko

dugu.

Ohartu lehenik

iBS

Sh

h

iBS

S NvNN

dela. Gainera, v-k RN euskarri finitoa dauka eta RS= da SBi-rako, beraz,

efizientziagatik, S(N)=0 izanen da.

Orain, mailekiko indukzioa erabiliko dugu k mailatik hasita. Bk={N} denez,

efizientziagatik, N(N)=N(N) da.

Suposa dezagun bakartasuna t mailetan betetzen dela, ti, hots, R(N)=R(N) dela RBt

bakoitzeko, kti izanik.

Bira Bi-ren R bloke bat, v-ren KN euskarri finitoa eta izenda ditzagun

RS:BSR ii 11 eta KS:RSKR ii 11 .

11 KRi bada, efizientziagatik, T(N)=T(N) = 0 izanen da TK= betetzen duen

TRi-1 bakoitzeko. Horrela, S(N)=S(N) da, KRS i 1 izanik. Hau zuzena da indukzio

hipotesiagatik, RBi bakoitzeko

hurrenez hurren.


25

1 1iRS iRS

SS NN

baita.

Orain, jokoaren euskarriarekin ebakidura ez hutsa duten bloke kopuruarekiko indukzioa

erabiliko dugu. Suposa dezagun 11 mKRi den kasurako bakartasuna betetzen dela eta

har dezagun mKRi 1 betetzen duen joko bat. Berriro ere, efizientziagatik, TK=

betetzen duen TRi-1 bakoitzeko, T(N)=T(N)=0 da.

Har ditzagun KRT,S i 1 . Indukzio hipotesiagatik, S(N-T)=S(N-T) eta T(N-S)=

T(N-S) beteko dira. Hau horrela da TNv eta SNv jokoek K-T eta K-S euskarri finitoak,

hurrenez hurren, dituztelako, eta ondorioz 111 mSKRTKR ii beteko da.

Hau erabiliz, ekarpen orekatuen propietatearekin batera, S(N)-S(N)=T(N)=T(N)

ondoriozta dezakegu. Desberdintza hauek R-ren menpe daudenez soilik, d(R) = S(N)-S(N)

idatziko dugu KRS i 1 -rako.

Mailekiko lehendabiziko hipotesia erabiliz, R(N)-R(N) da, eta ondorioz

).R(dKRNN iKiRS

S

)K(iRS

S 1

11

0

Horrela, d(R)=0 da, eta, beraz, S(N)=S(N) da KRS i 1 bakoitzeko. Honek, (k-1)

mailako blokeetarako bakartasuna frogatzen du.

Indukzio hipotesiarekin jarraituz 0 mailaraino = dela ondorioztatzen da.

1. KAPITULUA

26

Ekarpen orekatuen propietatea elkarren segidan maila guztiei aplikatuz, maila

egiturarekiko balioa lor daitekeela frogatu dugu. Axiomatizazio honetarako TU joko guztien

eremua erabiltzen ari gara, baina jokoa murriztean mantentzen diren bertze azpieremuak har

zitezkeen, hots, v eremuan badago, S koalizio bakoitzeko Sv ere eremuan egotea betetzen

dutenak. Sarreran aipatzen genituen eremuek, joko sinpleak, joko erabat orekatuak, joko

ganbilak, etab., baldintza hau betetzen dute, eta guztietan aplikagarria da gure axiomatizazioa,

Teorema 2-ren antzeko froga erabiliz.

Potentzialen bitartez emandako gure bertze axiomatizazioak ere propietate bera betetzen

du. Hart eta Kurzek (1983) eta Winterek (1989) emandako axiomatizazioek, ordea, ez dute

egiaztatzen propietate hau, batukortasun axioma erabiltzen baitute.

28

2. kapitulua

Grafo probabilistikoak joko kooperatiboetan

GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN

29

1 Sarrera

Bigarren kapitulu honetan, jokalarien komunikazioa murriztua dagoen joko kooperetiboen

bertze eredu bat aurkezten da. Aurreko kapituluan, murrizketa hau jokalarien arteko bilduma

desberdinen bitartezko kooperazio hierarkietan oinarrituta bazegoen, bigarren ikuspegi honek,

berriz, jokalarien arteko komunikazio graduak desberdinduko ditu. Grafo ez-norabideratu

batek emanen digu komunikazioa, jokalariak nodoak direlarik, eta arkuek, bikote bakoitzaren

arteko komunikazio probabilitateak adierazten dituztelarik. Myerson (1977) izan zen ikuspegi

hau erabili zuen lehena, balioa bat efizientzia eta ekitatearen bitartez ezaugarriztatuz. Eredu

honetan, jokalari guztiek ez dute zertan komunikatuak egon beharrik, eta batzuen arteko

komunikazioa murriztua dago. Demagun, adibidez, 3 jokalarien arteko jokoa dugula, eta

hoietako bi beraien artean komunikatu gabe daudela. Egoera hau, honako L komunikazio

grafoaren bitartez adierazia egonen litzateke:

1 2

3

Myersonek, grafo bakoitzaren arabera funtzio karakteristikoa aldatzea proposatu zuen.

Horrela, 2 eta 3 jokalariak ez daude zuzenean komunikatuak, eta ondorioz, v(2,3)

ordainketaren ordez bakoitzak bere aldetik lor zezakeen vL (2,3)=v(2)+v(3) ziurta dezakete.

Kasu honetan ordainketa hau soilik aldatuko da, bertze koalizioetako jokalariak beraien artean

komunikatuak baitaude. Myersonek, horrela aldatzen den jokoari, Shapleyen balioa

aplikatzen dio.

Grafoen arteko hurbilketak planteatzen duen arazo bat, komunikatzeko aukera gehiago edo

gutxiago dutenen kasuak ez desberdintzea da. Ikus dezagun ideia hau adierazten duen honako

adibidea:

2. KAPITULUA

30

Suposa dezagun pertsona bat bere etxea saltzear dagoela eta bertze batek etxe bat erosi

nahi duela. Ohikoa denez, bai erosleak baita saltzaileak ere higiezin agente batengana joko

du, berak baitauka erosle eta saltzaile posibleri buruzko informazioa. Agente hau, erosle eta

saltzaileren arteko bitartekaria izan daiteke, eta salmenta burutzen bada, ordainketa bat jasoko

du bere bitartekaritzagatik. Bertzalde, eroslea eta saltzailea, bitartekari baten laguntzarik gabe,

elkar aurkitzeko aukera txiki bat ere badago. Suposa dezagun etxea saltzen bada ordainketa

unitate batekoa dela. Erosleak eta saltzaileak bitartekaria ezagutzen dute, beraz, bakoitzaren

komunikazio probabilitatea bitartearekin 1 izanen da. Gainera, beraiek elkar ezagutzeko

probabilitatea hagitz txikia da. Egoera hau lehenengo L komunikazio grafoaren bitartez

adieraz daiteke, 1 higiezin agentea, 2 saltzailea eta 3 eroslea direlarik. Beraz, honako vL

funtzio karakteristiko aldatua daukagu: vL(1,2,3)=1 eta vL(S)=0 bertze kasuetan, eta ondorioz,

Myersonen balioak 3

1 emanen dio jokalari bakoitzari.

Eredu honetan, saltzailea eta eroslea ezagutzen ez direla suposatu dugu, kontutan hartu

gabe elkar ezagutzeko probabilitate txikiren bat izan dezaketela. Demagun probabilitate hori

p[0,1] zenbakia dela. Kasu honetan, funtzio karakteristiko berri bat izanen dugu, non orain

{2,3} koalizioaren itxarotako ordainketa p izanik, bertze koalizioen ordainketak aldatzen ez

direlarik (1 balioa koalizio osorako, etxea saltzen baita, eta 0 bertze guztietarako, etxea ezin

baita saldu). Joko hau ebatziz, higiezin agenteak 3

1 p jasoko du, saltzaileak eta erosleak

6

2 p lortzen duten bitartean. Egoera berri honetan, higiezin agentearen ordainketa, saltzaile

eta eroslearen arteko komunikazio zuzenaren menpe dagoela ondoriozta daiteke.

Jokalarien arteko komunikazio probabilitateak erabiltzea egokia izan daitekeen bertze

adibide bat, alderdi politikoek Parlamentuetan sortzen duten bozketa jokoa izan daiteke,

ideologikoki hurbil dauden alderdien arteko komunikazioa eta bi aldeko muturretan kokatuta

daudenen artekoa desberdina izanen baita. Bakoitzaren helburu soziologiko, politiko edo

ideologikoen arabera, alderdi guztien arteko harreman graduak ez dira berdinak izanen, eta

horrek, jokalari bakoitzak koalizio irabazleetan duen eragina ezarriko du. Horrela, mutur


31

kasuetan edo erabateko komunikazioa edo inkomunikazioa egon arren, orokorki alderdien

arteko probabilitate gradu desberdinak daudela suposatzea zentzudunagoa dirudi.

Kapitulu honetan, jokalarien arteko komunikazio probabilitateak kontutan hartzen diren

egoerak aztertzen duen eredu teorikoa ikusiko dugu. Prozedura honek Myersonen (1977)

eredua hedatzen du, eta biak berdinak dira komunikazio probabilitateak 0 edo 1 direnean.

Kapituluaren azken atalean, orain arte ikusitako bi murrizketak batera hartuko ditugu, hots,

jokalarien arteko komunikazio probabilitate desberdinak, eta jokalari multzoaren zatiketa

egitura koalizional batean. Eredu honek, Carreras, García-Jurado eta Vázquez-Bragek (1996)

proposatutakoa hedatzen du, haiek ezaugarriztatutako jokoetan egitura koalizionalak eta

komunikazio grafo deterministikoak kontutan hartzen baitzituzten.

Komunikazio grafoa eta Myersonek proposatutako soluzioa aurkezten hasiko gara, gero, 3.

atalean, gure eredu probabilistikoa aurkezten dugularik. 4. atalean grafo probabilistikoekiko

balioaren bi ezaugarriztapen ematen dira, eta azkenik, 5. atalean, egitura koalizionalak

kontutan hartzen diren kasuetara hedatzen da balioa.

2 Komunikazio grafoak

Bira N={1,2,...,n} jokalari multzoa eta L(N)={{i,j} | i,jN, ij}, N-ren elementu desberdinez

osaturiko bikote ez-ordenatuen multzoa. Bikote hauek, komunikazio loturak deituko ditugu,

eta N-ren gaineko komunikazio grafoa L(N)-ren L azpimultzo bakoitzari. Biz L(N), N-n

definitutako komunikazio grafo guztien multzoa. Orduan, L grafoa, SN koalizioa eta S-ren

edozein bi jokalari hartuz, i eta j jokalariak S-n L-ren bitartez lotuak daudela erranen dugu,

baldin, eta soilik baldin, biak lotzen dituen kate bat existitzen bada, hots, i=j bada edo

{h1,h2,...,hk}N existitzen badira non h1=i, hk=j eta {ht,ht+1}L betetzen den edozein

t{1,2,...,k-1} zenbakitarako. Horrela, L grafoak, S koalizio bakoitzerako, honen partiketa

osakide konektatuetan zehazten du, bere elementuak, grafoaren bitartez lotuak dauden

2. KAPITULUA

32

bikoteak direlarik. L-k sortutako S-ren partiketa osakide konektatuetan S/L idatziko dugu,

hots,

S/L:={{i | i eta j L-ren bitartez S-n lotuak} | jS}.

Jokalariak L-ren bitartez soilik koordina badaitezke, S zatituko zen azpikoalizio guztien

multzoa bezala interpreta daiteke S/L. S, L-ren bitartez barrutik konektatua dagoela erranen

dugu, baldin, eta soilik baldin, S/L ={S} bada. Horrela, jokoan negozia dezaketen koalizioak,

barrutik konektatuak daudenak soilik direla erran daiteke.

Bistakoa denez, (N,v) jokoan honelako komunikazio murrizketak sartuz, N-ren koalizioei v

funtzio karakteristikoak ematen dizkieten ordainketak aldatuko dira. Horrela, (N,v) joko eta L

grafo bakoitzetarako, jokalarien komunikazio murrizketen ondorioz sortzen den vL funtzio

karakteristiko aldatua, honako eran definituko dugu:

vL (S):= L/SC

Cv )( (SN).

Kasu honetan, S koalizioak ez du lortuko hasierako funtzio karakteristikoak ematen ziona.

Orain, CS/L bloke komunikatuak eratzen dira, eta S-k lor dezakeena bloke bakoitzak lortzen

duen batura izanen da.

(N,v) joko guztien multzoa N idazten badugu, komunikazio grafoekiko jokoa

(N,v,L)NLN hirukotea izanen da, eta komunikazio grafoekiko jokorako esleipen erregela,

:NLN N funtzioa. L grafoak adierazitako jokalarien arteko komunikazio murrizketen

arabera i jokalariak (N,v) jokoan lortzea itxaroten duen ordainketa bezala interpreta daiteke

i(N,v,L).

Esleipen erregela hau, (N,v,L) jokoari soluzio kontzepturen bat aplikatuz lor daiteke,

adibidez, Shapleyen balioa (1953), Banzhafena (1965), nucleolusa (Schmeidler, 1969), etab.

Guk Shapleyen balioa (SH) erabiliko dugu, eta Aumann eta Myersonen (1988) terminologia

bera erabiliz, lortutako esleipen erregelari Myersonen balioa deituko diogu.


33

Definizioa Biz komunikazio grafoekiko (N,v,L) jokoa. (N,v,L)-ren Myersonen balioa,

M(N,v,L)N , M(N,v,L):=SH(N,vL) bezala definitzen da.

Myersonek (1977) balio honen axiomatizazio bat proposatzen du ondoko bi axiomen

bitartez:

Efizienzia: L grafo eta CN/L osakide konektatu bakoitzetarako,

Ci

)()( CvL,v,Ni

betetzen da.

Justizia: L grafo eta {i,j}L arku bakoitzetarako,

i(N,v,L) - i(N,v,L\{i,j})= j(N,v,L)- j(N,v, L\{i,j})

betetzen da.

Edozein bi jokalarien arteko komunikazioak biei mesede (edo kalte) bera eginen diola

adierazten du bigarren axioma honek.

Sarreran erraten zen bezala, eredu honen arazoa jokalarien arteko komunikazio gradu

desberdinak ez bereiztea da, errealitateak hori kontutan hartu beharrekoa dela erraten digun

bitartean. Suposa dezagun A, B eta C hiru alderdiz osatutako Parlamentua, non bi alderdi

dituen edozein koalizioa irabazle minimala den. Beraien arteko komunikazioa osoa bada, hiru

alderdiak simetrikoak izanen dira, eta ondorioz, ordainketa bera jasoko dute. Komunikazio

loturaren baten apurketak, ordea, ordainketen banaketa erabat aldatuko du, lotura hautsi duten

alderdiek beraien hasierako ordainketen erdia galduz. Zehazki, bi egoera hauek L1 eta L2

grafoen bitartez, hurrenez hurren, adierazita badaude,

2. KAPITULUA

34

A A

B C B C

L1 L2

joko bakoitzari dagokion Myersonen balioa honako hau izanen da:

M(N,v, L1)=

3

1

3

1

3

1,, eta M(N,v, L2)=

6

1

6

1

3

2,, .

Bi grafoen artean baten hautaketa erraza bada, ez dago arazorik. Baina B eta C-ren erlazio

mailari buruzko zalantzak badaude, ordea, erabakia garrantzitsua da, bi grafoen bitartez

lortzen diren ordainketak hagitz desberdinak baitira. Arazo hau konpontzeko modu bat, bi

alderdi hauen arteko komunikazio probabilitatea p[0,1] dela suposatzea da, hau da, L1

grafoaren probabilitatea p, eta L2-rena (1-p) direla suposatzea. vp=pvL1 +(1-p)vL2 funtzio

karakteristikoa definituz gero, (N,vp) joko berriari Shapleyen balioa aplikatuz gero, honako

botere indize hauek lortuko ditugu:

SH(N, vp)=

6

1

6

1

3

2 p,

p,

p

Banaketa honek B eta C-ren arteko komunikazio graduak kontutan hartzen ditu, eta

M(N,v,L1) edo M(N,v,L2) izanen da p-k 1 edo 0 balioak hartzen dituenean.

Lan honetan Myersonen ereduaren bertsio orokortu bat erabiltzen dugu, anitzetan ez baita

zuzena jokalari bikote bateragarri eta erabat bateraezinen arteko banaketa. Hortaz, arruntagoa

izanen da i eta j jokalari bikote bakoitzari beraien arteko bateragarritasun gradua adieraziko


35

duen zero eta baten arteko pij zenbakia elkartzea, 0 (bateraezinak) edo 1 (bateragarriak) mutur

balioak hartu beharrean.

3 Grafo probabilistikoak

Atal honetan Myersonen (1977) eredua hedatuko dugu, jokalarien arteko

bateragarritasuna(eza) kontutan hartzen den kasuen egoerak deskribatzeko. Myersonen (1977)

terminologia hartuz, komunikazio murrizketa" esamoldea erabiliko dugu

bateragarritasun(eza) hauek adierazteko.

Grafo probabilistikoekiko jokoa, (N,v,p) hirukotea da, (N,v) jokalari multzoan definitutako

koalizio jokoa, eta

p:{{i,j} | {i,j}N, ij} [0,1]

bi jokalarien arteko komunikazio zuzenaren probabilitatea direlarik. Probabilitate hauek

beraien artean independenteak direla suposatuko dugu. Batzutan, p funtzio honi probabilitate

sistema deituko diogu. Gainera, p({i,j})-ren ordez pij idatziko dugu.

Grafo probabilistikoak erabiltzen dituen (N,v,p) joko bakoitzari, komunikazio jokoa

deituko dugun (N,vp) joko koalizionala elkartuko diogu. Joko honek, (N,v) jokoak

deskribatzen dituen jokalarien arteko posibilitate ekonomikoak, eta p probabilitate sistemak

deskribatutako komunikazio murrizketak biltzen ditu. Probabilitateekin ari garenez,

itxarotako ordainketak kontsideratuko ditugu vp joko berri honetan.

Bira i,jN, ij. Bi jokalariak beraien artean pij probabilitatearekin komunika daitezke; kasu

honetan koopera dezakete, v({i,j}) lortuz. Bestalde, ez komunikatzeko probabilitatea (1-pij),

eta kasu horretan v({i})+v({j}) soilik lor dezakete. Ondorioz, i eta j jokalarien itxarotako

ordainketa

vp ({i,j}) := pij v({i,j}) +(1-pij)( v({i})+v({j}))

2. KAPITULUA

36

izanen da.

Era berean defini daiteke vp hiru jokalariko S={i,j,k} koaliziorako; balioak lortzeko,

komunikazio probabilitate guztiak kontutan hartu beharko dira, bakoitza dagokion

komunikazio grafoaren bitartez definituta dagoelarik. Ikus dezagun prozedura hau honako

eskemaren bitartez:

Grafo guztien artean har ditzagun bi, L1={(i,j)} eta L2={(i,j),(j,k)}. L1-ean i eta j

komunikatuak daude, baina horietako ezein ez dago k-rekin komunikatua. Egoera hau

suertatzeko probabilitatea pij(1-pik)(1-pjk)=pS(L1) da, eta jokalariek lor dezaketena,

vL1(S)=v({i,j})+v({k}). Bigarren kasuan, i jokalaria j-rekin komunikatua dago, eta hau k-rekin.

Beraz, hirurak beraien artean komunika daitezke (i ezin da k-rekin zuzenean komunikatu,

baina bai ordea j-ren bitartez). Egoera honen probabilitatea pS(L1)= pijpjk(1-pik) izanen da, eta

vL2(S)=v(S). L(S) idazten badugu S-ren jokalarien arteko komunikazio lotura posible guztien

multzoa, LL(S) grafo bakoitzerako pS(L) probabilitatea eta vL(S) ordainketa definituta

ditugu. Orduan, vp(S) itxarotako ordainketa

vp(S)= )(

)()(SLL

LS SvLp

izanen da.

Definizio honen azpian dagoen ideia orokortuz, edozein koalizioaren itxarotako ordainketa

defini daiteke. Biz SN koalizioa eta defini dezagun S-ren jokalarien artean egin daitezkeen

komunikazio lotura guztien multzoa, L(S):={{i,j} {i,j}S, ij}. Adierazpenak laburtzeko,

L(S)-ren elementuak l idatziko ditugu. L lotura multzo bakoitzerako, S-ren jokalarien artean

sortutako komunikazio grafoa L izatearen probabilitatea

pS(L)=

L)S(Ll

lLl

l pp )1(

izanen da.


37

Suposa dezagun orain LL(S) dela S-n egiten den grafoa. Ohartu L grafoak S-ren S/L

partiketa (osakide konektatuetan) eragiten duela. Ondorioz, L graforako S-k lortzen duen

ordainketa

vL(S)= L/SC

Cv .

izanen da, eta S-ren itxarotako ordainketa, berriz,

vp(S)= )S(LL

LS SvLp .

Prozedura hau, Myersonek (1977) egindakoaren orokorpen bat da. Horrela dela ikusteko,

ohartu L komunikazio grafo deterministikoa

p:{{i,j} | {i,j}N, ij} [0,1]

funtzioa dela, p({i,j})=1 izanik {i,j}L bada, eta p({i,j})=0 ordea {i,j}L denean. p

honetarako vp=vL betetzen dela frogatzea erraza da.

Era honetan definitutako grafo probabilistikoa, S-n egin daitezkeen komunikazio egitura

guztien gaineko loteria izanen da, honako proposizio honetan ikus daitekeen bezala:

Proposizio 1 SN bada,

)S(LL

S Lp 1 dugu, non pS(L)[0,1] den LL(S) bakoitzerako.

Frogapena Frogatzeko, S-ren kardinalarekiko indukzio metodoa erabiliko dugu.

S=2 S={i,j} 11 )S(LL

ijijS ppLp .

Suposa dezagun S=k-1 arte egiaztatzen dela, eta bira Sk, k kardinaleko N-ren azpimultzoa

eta ikSk. Sk-ren elementuen artean egin daitezkeen loturak bi multzoetan bereiziko ditugu.

2. KAPITULUA

38

Alde batetik, Sk\{ik}-ren elementuak parte hartzen duten loturak ki

L multzoan bilduko

ditugu, eta bertzalde, ik jokalariak parte hartzen duen loturaz osatutako ki

L multzoa. Orduan,

honakoa dugu:

kiLL LkiLll

Lll

)kS(LL kiLL LkiLll

Lll

kS ppppLp 11 .

Indukzio hipotesiagatik, lehen biderkagaia 1 da, k-1 ekementuko multzoen gaineko

probabilitateen batura baita. Eta bigarrenak ere 1 balio du, Sk-ren gaineko indukzio berri baten

bitartez ikus daitekeen bezala. k=2 bada, ik jokalariaz gain bertze jokalari bakar bat daukagu,

eta ondorioz I arku posible bakar bat dago. Beraz, biderkagai hau pl+(1-pl)=1 izanen da. k arte

betetzen dela suposatuz, har dezagun Sk+1\{ik} multzoko jk jokalaria. Orduan, bigarren

biderkagaia

111

j

kiLL Lj

kiLl

lLl

lkikjkikjpppp

izanen da, ik eta Sk+1\{jk}-ren elementuen bitartez egin daitezkeen lotura guztiak j

kiL multzoan

baitaude, eta indukzio hipotesiak erraten digu batura 1 izanen dela.

Komunikazio probabilistiko egoeretarako esleipen erregela bat definitu nahi dugu, hau da,

(N,v,p) hirukote bakoitzari N-ko ordainketa bektore bat ematen dion erregela mota.

Formalki, N-n definitutako joko koalizionalen espazioa N bada, eta PN, N-n definitutako

probabilitate sistema guztien multzoa, esleipen erregela, :NPN N erako funtzioa da.

Gure helburua, grafo probabilistikoekiko jokoetara hedatzea izanen da, eta horrela lortutako

esleipen erregela Myersonen balioa deituko dugu.


39

Definizioa Biz (N,v,p) komunikazio probabilistiko egoera. (N,v,p)-ren Myersonen balioa,

M(N,v,p)N, M(N,v,p):=SH(N,vp) bezala definitzen da.

Aurreko ataleko adibidea hartuz, non B eta C-ren arteko loturak edo loturaezak azken

ordainketa erabat aldatzen zuen, suposa dezagun hiru alderdien arteko komunikazio

probabilitatea ondoko grafo probabilistiko honen bitartez adierazita dagoela:

A

0.9 0.7

B 0.5 C

Egoera honek A-k B eta C alderdiekin daukan komunikazio ona adierazten du, baina

zalantzan uzten du azken bi hauen arteko harremana. Taula honetan hiru banaketa

desberdinak agertzen dira, B eta C-ren arteko lotura dagonean, ez dagonean, eta grafo

probabilistikoak erabiliz lortutakoak:

A B C

M(N,v,L1) 0.3333 0.3333 0.3333

M(N,v,L2) 0.6667 0.1667 0.1667

M(N,v,p) 0.4283 0.3283 0.2283

3.1 taula

Grafo probabilistikoen bitartez lortutako Myersonen balioak jokalarien arteko erlazioen

araberako neurri egokiagoa ematen digula Erran daiteke. Hiru alderdien simetri fiktizioa

hausten du, aldi berean A-ren egoera estrategikoaren abantaila goraipatuz.

2. KAPITULUA

40

Aldeak oraindik nabarmenagoak izanen dira haietako bat jokalari nulua bada. Suposa

dezagun aurreko adibidean eskatzen den gehiengo kualifikatuak A alderdia nulua egiten duela

(adibidez, A-k 2 boto ditu, B-k 10 eta C-k 9, eta 14 boto eskatzen dira bozketa bat irabazteko).

Orduan, {B,C} izanen da jokoaren koalizio irabazle minimal bakarra, eta bi alderdi hauek

banatuko dute beraien artean ordainketa osoa. Alderdi hauen arteko lotura hausten badugu,

ordea, egoera erabat aldatuko da, kasu honetan, gehiengoa lortzeko, A oinarrizkoa bihurtzen

baita. Orain, koalizio irabazle bakarra {A,B,C} da, eta hiru alderdiek botere bera daukate, ez

dena hagitz zentzuduna, A hasieran jokalari nulua zela kontutan izanik. Taula honetan,

emaitza hauek guztiak ikus daitezke:

A B C

M(N,v’,L1) 0 0.5000 0.5000

M(N,v’,L2) 0.3333 0.3333 0.3333

M(N,v’,p) 0.1050 0.3550 0.3550

3.2 taula

Grafo deterministek alderdien botereen mapa distortsionatua irudikatzen dute, botere hori

handietsiz edo gutxietsiz, hautatutako grafo deterministaren arabera. A nulua izan arren,

bertzeekiko duen posizio egokia aprobetxa dezake, baina horrek ez du erran nahi bertzeen

botere adina daukanik, (N,v’,L2) jokoak ezartzen duen bezala. Bertzalde, aipagarria da kasu

honetan ez dela desberdintzen B eta C-ren botereen artean. Hau horrela da bi alderdi hauek

koalizio irabazle guztietan daudelako. Hirugarren kapituluan, Espainiako Parlamenturako

egiten den analisian, grafo probabilistikoek sortzen dituzten aldaketa guztiak hobekiago

bereizten dira.

Bertzalde, grafo probabilistikoekin ari garenean, Myersonen balioa jarraia denez, honek

erran nahi du p-ren aldaketa txikiek M(N,v,p) balioan aldaketa txikiak sortzen dituztela.


41

Hortaz, probabilitateak ezartzerakoan sortzen diren akats txikiek ez dute eragin larririk

sortuko egindako botere neurketetan.

Gainera, hurrengo proposizioan frogatzen den bezala, grafo probabilistikoekiko jokoen

balioa egonkorra izanen da Myersonen (1977) eran. Joko gainbatukorretan, balio bat

egonkorra da Myersonen zentzuan, kooperatzea erabakitzen duten edozein bi jokalariek

beraien ordainketak hobetzen badituzte. Grafo probabilistikoen testuinguruan, joko

gainbatukorretan bi jokalarien arteko kooperazio probabilitatea handitzen bada, beraien

ordainketak hobetzen direla adierazten du egonkortasunak.

Definizioa Demagun (N,v) joko gainbatukorra. :NPN N esleipen erregela bat

egonkorra dela erraten da, grafo probabilistikoak erabiltzen dituen edozein (N,v,p) jokorako

eta edozein i,jN jokalarietarako:

Ri (N,v,p) Ri (N,v,q) eta Rj (N,v,p) Rj (N,v,q)

betetzen bada, funtzioa pkl = qkl izanik {k,l}{i,j} bada, eta pijqij (qPN ).

Proposizioa 2 M(N,v,p) Myersonen balioa egonkorra da.

Frogapena: Biz grafo probabilistikoak erabiltzen dituen (N,v,p) jokoa, (N,v) gainbatukorra

izanik. i,jN bi jokalari hartuz, Mi(N,v,p) funtzioa pij probabilitatearekiko gorakorra dela

frogatuko dugu. Shapleyen (1953) balioaren definizio bat erabiliz,

! 1 !, ,

!i p pS N i

S N SM N v p v S i v S

N

da,

SvLpSvSLL

Lp

izanik. ji bada, orduan SN\{i} koalizioetarako {i,j}L(S) dugu

eta ondorioz vp(S) ez dago {i,j}-ren menpe. Orduan, M(N,v,p) funtzioa pij-rekiko monotonoa

izateko vp(S{i}) monotonoa izatea beharrezkoa eta nahikoa da.

2. KAPITULUA

42

Baina

SvppSv LSLL LSLL

p 1

denez, vp(S) funtzioa pij-rekiko deribatuz,

SvSvppp

iSvLj,iL

iS'LL LiS'LLij

p

1

da, L'(S{i})=L(S{i})\{i,j} izanik. Eta v gainbatukorra denez,

0

ij

p

p

iSv da, eta

ondorioz egonkortasuna frogatuta dago.

4 Ekarpen orekatuak eta justizia. Balioaren bi axiomatizazio

Aurreko kapituluan, maila egiturarekiko jokoen balioak ezaugarriztatu dira ekarpen orekatuen

eta efizientziaren bitartez. Ondoren, grafo probabilistikoekiko jokoen balioa, ideia berberak

dituzten bi axiomen bitartez ezaugarriztatuko dugu.

Lehenik, efizientzia osakideetan axioma definituko dugu. Axioma honek dio, koalizio

bateko jokalarien komunikazio probabilitatea kanpoko jokalari guztiekin zero bada, eta

minimala bada propietate honekiko, bere azken ordainketa, koalizio honen itxarotako

ordainketa izan behar dela. Kontzeptu hau formalizatu aurretik notazio batzuk emanen ditugu.

Biz grafo probabilistikoekiko (N,v,p) jokoa. Joko hau era honetan definitutako (N,Lp) grafo

deterministikoarekin elkartuko dugu: {i,j}Lp da, baldin, eta soilik baldin, pij>0 bada. (N,Lp)

grafoak N/p idatziko dugun N-ren partiketa osakide konektatuetan eragiten du. Proposatzen


43

dugun balioari eskatuko diogun lehen baldintza, osakide bakoitzerako banaketa efizientea

izatea izanen da.

Definizioa Grafo probabilistikoekiko (N,v,p) joko bakoitzerako eta CN/p osakide konektatu

bakoitzerako, :NPNN esleipen erregela bat efizientea osakideetan dela erranen dugu,

ondoko baldintza hau betetzen bada:

Ci

pi Cvp,v,N .

Bozketa jokoen testuinguruan, non irabazleak diren bi osakide disjuntu ezin direnez egon,

efizientzia osakideetan axiomak, botere osoa koalizio irabazlea den osakide baten alderdien

artean banatzen dela adierazten du.

Ekarpen orekatuen axiomak, j jokalariari i jokalariaren isolamenduak eragiten dion galera

(edo onura), j-ren isolamenduak i jokalarian eragiten duen galera (onura) bera dela adierazten

du.

Definizioa :NPNN esleipen erregelak ekarpen orekatuak axioma betetzen duela

erranen dugu, grafo probabilistikoekiko edozein (N,v,p) jokorako eta i,jN edozein bi

jokalaritarako, ondoko baldintza hau betetzen bada:

i(N,v,p)-i(N,v,p-j)=j(N,v,p) ji(N,v,p-i)

p-i({k,l})= p({k,l}) izanik i{k,l} bada eta p-i({k,l})=0, k=i edo l=i kasuetan.

Teorema 1 Myersonen balioa da efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuak betetzen

dituen :NPNN esleipen erregela bakarra.

Frogapena: Myersonen balioak efizientzia osakideetan betetzen duela frogatzeko, demagun

komunikazio probabilistikoko (N,v,p) egoera eta CN/p osakidea ditugula. (N,vp) bi jokoetan

2. KAPITULUA

44

banatuko dugu, (N,vC) eta (N,vN\C) jokoetan hain zuzen ere, SN bakoitzerako,

vC(S):=vp(SC) eta vN\C(S):=vp(S\C) direlarik.

C, (N,Lp)-ren osakidea denez, vp=vC+vN\C dela dakigu eta Shapleyen dummy2

propietateagatik, iC osakide bakoitzerako, SHi(N,vN\C)=0 dela. Beraz,

Ci

pCC

iCi

CNi

Ci

Ci

Cii CvNvv,NSHv,NSHv,NSHp,v,NM

non lehen eta hirugarren berdintzak Shapleyen balioaren definiziotik ondorioztatzen diren.

Hemen batugarritasuna erabili dugu, eta honek ez du zentzurik, adibidez, bozketa jokoetan.

Hala ere, ez digu inolako eraginik agiten, vp-ren deskonposaketa egin den modugatik, vC edo

vN\C joko nulua izanen baita, eta ondorioz bi jokoen batura, bozketa joko ongi definitua da.

Ekarpen orekatuen propietatea ere betetzen duela frogatzeko, funtzio potentziala erabiliko

dugu (N, vp) jokoan. Horrela, badakigu edozein pPN grafo probabilistiko eta edozein i,jN

bi jokalaritarako,

SHi(N,vp)=P(N,vp)-P(N\{i},vp) eta SHj(N,vp)=P(N,vp)-P(N\{j},vp)

berdintzak betetzen direla, beraz,

SHi(N,vp)- SHj(N,vp)=SHi(N\{j},vp)-SHj(N\{i},vp). (4.1)

Bertzalde,

jiv,NSHv,jNSHjpipi

(4.2)

2 asignazio erregela batek dummy axioma baieztatzen du ondokoa betetzen duenean: v(S{i})=v(S)+v(i) SN\{i} guztietarako (i)= v(i).


45

zeren jpv,N

jokoan j jokalaria dummy denez, efizientzia axioma aplikatuz,

pijpijpi v,jNSHv,jNSHv,NSH

betetzen baita.

Era berean froga daiteke

\ , , ij p j pSH N i v SH N v i j

(4.3)

betetzen dela.

(4.2) eta (4.3) berdintzak (4.1)-en ordezkatuz, M-k ekarpen orekatuen axioma betetzen

duela frogatzen da.

Bakarra dela frogatzeko, har ditzagun efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuak

betetzen dituzten bi esleipen erregela, 1 eta 2, eta ikus dezagun berdinak izan behar dutela.

Ohartu, lehenik, 1 eta 2-ren efizientzia osakideetan baldintzaren ondorioz, jokalari

bikote guztien komunikazio probabilitateak zero diren grafo probabilistikoekiko jokoetan, bi

erregela hauek berdinak dira. Suposa dezagun orain 1 eta 2 ez direla berdinak. Biz

1(N,v,p)2(N,v,p) betetzen duen probabilitate ez nuluak dituzten lotura kopuru minimoko

(N,v,p) komunikazio probabilistikoekiko jokoa.

Badakigu p sistemak N/p zatidura multzoa eragiten duela. Efizientzia osakideetan

propietateagatik, CN/p osakide konektatu bakoitzerako,

021 p,v,Np,v,N CC (4.4)

beteko da, eta ekarpen orekatuen axiomagatik, edozein i,jC bi jokalaritarako,

,p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N ijjiji 1111

2. KAPITULUA

46

.p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N ijjiji 2222

Baina p minimoa denez, bi berdintza hauen eskuin aldeak berdinak dira, eta ondorioz,

Cj,iCdp,v,Np,v,Np,v,Np,v,N jjii 2121

d(C) balioa C-ren menpe soilik dagoelarik.

Orduan, (4.4) baldintzagatik, CdCp,v,Np,v,N CC 210 da, hots, d(C)=0.

Beraz, jokalari guztietarako, p,v,Np,v,N CC21 betetzen dela ondoriozta daiteke.

Ekarpen orekatuen baldintza justizia axioma batekin ordezkatuz, balio honen bertze

ezaugarriztapen bat lor daiteke.

Bi jokalarien komunikazio zuzeneko aukerak hausten direnean, bertze guztienak aldatu

gabe,bi jokalari hauen ordainketak kantitate berean aldatzen direla erraten du justizia axioma

honek:

Definizioa :NPNN esleipen erregelak justizia betetzen duela erraten da, grafo

probabilistikoekiko edozein (N,v,p) jokotarako, eta edozein i,j bi jokalaritarako,

,p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N ijjjijii

betetzen bada, p-ij({k,l})=p({k,l}) izanik {k,l}{i,j} bada, eta p-ij({i,j})=0.

Justiziaren definizio baliokidea lortzen da, p-ij({i,j})=0 baldintza p-ij({i,j})[0,1]-rekin

ordezkatuz. Axioma honen esanahia ondokoa izanen zen: bi jokalarien arteko komunikazio

probabilitatea aldatzen bada, beraien ordainketak kantitate berean aldatuko dira.


47

Bozketa jokoen testuinguruan, alderdi batek bertze baten kontra jotzen badu horren boterea

jaitsi nahian, biek botere galera bera jasotzen dutela erran nahi du justizi axioma honek.

Teorema 2 Myersonen balioa da efizientzia osakideetan eta justizia axiomak betetzen dituen

:NPNN esleipen erregela bakarra.

Frogapena: Teorema 1-ean Myersonen balioak efizientzia osakideetan betetzen duela

frogatu dugunez gero, justizia ere betetzen duela frogatzea soilik geratzen zaigu. Biz grafo

probabilistikoekiko (N,v,p) jokoa, eta har ditzagun bi jokalari i,jN, ij, pij>0 delarik. Biz

ijpp vv:w

jokoa, p-ij eta p berdinak {i,j} bikotetarako izan ezik, eta p-ij({i,j})=0. Ohartu

SvSvijpp

dela {i,j} bikotea edukitzen ez duten SN koalizioetarako. Orduan, SN

koalizioa hartuz non iS edo jS diren, w(S)=0 beteko da. Beraz, bi jokalari hauek dituzten

koalizioak izanen dira (N,w) jokoan ordainketa ez nulua daukaten koalizio bakarrak. Horrela,

Shapleyen balioaren simetriagatik, SHi(N,w)=SHj(N,w), eta linealtasuna aplikatuz, SH-k

justizia betetzen duela ondoriozta daiteke:

.p,v,NSHp,v,NSHp,v,NSHp,v,NSH ijjjijii

Bakarra dela frogatzeko, har ditzagun efizientzia osakideetan eta justizia betetzen dituzten

1 eta 2 bi esleipen erregela, eta ikus dezagun berdinak izan behar direla.

1 eta 2-ren efizientzia osakideetan baldintzaren ondorioz, bi erregela hauek berdinak

izanen dira jokalari bikote guztien komunikazio probabilitateak zero diren grafo

probabilistikoekiko jokoetan. Suposa dezagun orain 1 eta 2 ez direla berdinak. Biz

1(N,v,p)2(N,v,p) betetzen duen probabilitate ez nuluak dituzten lotura kopuru minimoko

(N,v,p) komunikazio probabilistikoekiko jokoa. (N,v,p)-ren minimotasunagatik, pij>0 betetzen

duen {i,j} bikotearentzat 1(N,v,p-ij)2(N,v, p-ij) dela badakigu. Eta 1 eta 2 funtzioei

justizia axioma aplikatuz:

ijjijiji p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N 1111

2. KAPITULUA

48

p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N jiijjiji2222

dugu, hau da,

p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N jjii2121

berdintza dugu i eta j jokalariak CN/p osakide konektatu beran dauden aldiro. Beraz,

kendura hori C-ren menpe dago soilik, eta ondorioz d(C) zenbakia har dezakegu non

)C(dp,v,Np,v,N ii 21 den, iC jokalari eta CN/p osakide konektatu

bakoitzetarako. 1 eta 2-ri efizientzia osakideetan aplikatuz,

Cvp,v,Np,v,N pCi

iCi

i

21

beteko da CN/p osakide konektatu bakoitzerako. Ondorioz,

CdCp,v,Np,v,NCi

iCi

i

210

dugu, hots, d(C)=0. Horrela, 1(N,v,p)=2(N,v,p) dela erran daiteke.

Jokalari bikote guztien komunikazio probabilitateak independenteak direla suposatu dugu,

eta hau batzuentzat eztabaidagarria izan daiteke. Guretzat zentzuduna izateaz gain, baldintza

honen erabilerak erabiliz kalkuluen kopuruaren aurrezpen nabarmena suposatzen du, LL(S)

komunikazio grafo bakoitzaren probabilitatea kalkulatzeko aldebiko pij probabilitateak soilik

kalkulatu behar baitira. Independentzia hau ez badugu kontutan hartzen, ordea, komunikazio

grafo posible guztien multzoen gain definitutako (pS)SN probabilitateen funtzioa erabili

beharko dugu, hau da, SN koalizio bakoitzerako pS:L(S)[0,1] funtzioa, hots, S-n egin

daitezkeen komunikazio egitura posible guztiekiko loteria. Orduan, (pS)SN hartuz, itxarotako

funtzio karakteristikoa vp-ren formula aplikatuz lortzen da. Ondorioz, n jokalariko joko


49

batean, probabilitateen independentzia kontutan hartzen badugu,

2

nNL datu ezagutu

behar ditugu, eta bertzela, ordea,

NS NS

SLSLL:L 2 datu ezagutu beharko

genituen.

Hemen aurkeztutako eredua orokortzeko era bat, jokalarien arteko aldez aurreko bildurak

kontsideratzea da. Testuinguru politikoan, bozketa egoeraren deskribapenaren zati bat bezala,

Gobernu koalizioen kasuak aztertzea suposatzen du. Gehiengo osoa lortzen ez den bitartean,

koalizio batek gobernatu beharko du, edo alderdi batek bertze batzuen babes

parlamentarioarekin. Orduan, aldez aurreko bildurak erabiliz, egoera errealetik hurbilago

dauden botere indizeak lor daitezkeela pentsa daiteke. Eredua era honetan orokortzea, aldez

aurreko bildurazko jokoak (Owen, 1977; Carreras eta Owen, 1988), eta Carreras,

García-Jurado eta Vázquez-Bragek (1996) aztertutako grafo deterministikoak eta aldez

aurreko bildurak erabiltzen dituzten jokoak hedatzea suposatzen du. Hurrengo atalean, grafo

probabilistiko eta egitura koalizionalekiko jokoen bi axiomatizazio ematen dira, eta

hirugarren kapituluan emaitza hauek, bozketa egoeretan, koalizioen egonkortasuna aztertzeko

erabiliko dira.

5 Grafo probabilistikoak eta egitura koalizionalak

Ordainketak handitu nahian, jokalariak beraien artean biltzeko joera maiz agertzen da alderdi

anitzeko prozesuetan. Owenek (1977) hau kontutan hartu zuen, Shapleyen balioa aldez

aurretiko bildurak dauden jokoetara hedatzeko. Hedapen hau balio koalizionala edo Owenen

balioa deitu ohi da, eta bere definizoa eta axiomatizazioa ikusi ditugu lehen kapituluan.

Carreras, García-Jurado eta Vázquez-Bragek (1996) komunikazio grafoak eta egitura

koalizionalak zituzten jokoak ezaugarriztatu zituzten, eta guk, atal honetan, hau dena grafo

probabilistikoekiko jokoetara hedatuko dugu.

2. KAPITULUA

50

Definizioa Demagun (N,v) joko koalizionala, p probabilitateen sistema eta B egitura

koalizionala. CM(N,B,v,p) balio koalizionala, CM(N,B,v,p):=OV(N,B,vp) betetzen duena

dela erranen dugu.

Grafo probabilistikoekiko Myersonen baliorako frogatu zen bezala, kasu honetan

definitutako balioa ere efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuen axiomen bitartez

ezaugarrizta daiteke, oraingo honetan bigarren baldintza hau bikoitza delarik, egiturako

blokeekiko eta bloke bakoitzeko jokalariekiko.

Definizioa :NPNBN N esleipen erregela efizientea osakideetan dela erranen dugu,

grafo probabilistiko eta egitura koalizionalekiko (N,B,v,p) joko bakoitzerako eta CNIp

osakide konektatu bakoitzerako,

Ci

pi Cvp,v,B,N egiaztatzen bada.

Eskatuko dugun bigarren axioma ekarpen orekatuen hastapena da, eta bi mailatan

aplikatuko dugu: egitura koalizionala osatzen duten blokeen artean, eta bloke bakoitzeko

jokalarien artean: edozein Bi eta Bj bi bloke hartuz, Bj blokeari Bi blokeko jokalariaren

isolamenduak eragiten dion galera (edo onura), Bj-ko jokalarien isolamenduak Bi blokean

eragiten duen galera (onura) bera dela, eta bloke bakoitzean, bi jokalari i eta j hartuz, j

jokalariari i jokalariaren isolamenduak eragiten dion galera (edo onura), j-ren isolameduak i

jokalarian eragiten duen galera (onura) bera dela.

Definizioa :NPNBN N esleipen erregelak ekarpen orekatuen baldintza betetzen duela

erranen dugu, ondoko bi baldintza hauek betetzen baditu:

(i) Grafo probabilistikoekiko edozein (N,B,v,p) jokotarako eta edozein Bi,BjB bi bloketarako:

,p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,NiBjBjBjBiBiB

l,kpl,kpiB izanik ii BlBk eta direnean, eta 0 l,kp

iB izanik

ii BlBk edo kasuetan.


51

(ii) Edozein i,jBk jokalaritarako:

,p,v,Np,v,Np,v,Np,v,,B,N ijjjii

non p-i({k,l})= p({k,l}) den i{k,l} bada eta p-i({k,l})=0 k=i edo l=i kasuetan.

Teorema 3 Balio koalizionala da efizientzia oskideetan eta ekarpen orekatuak betetzen

dituen :NPNBN N esleipen erregela bakarra.

Frogapena: Balio koalizionalak efizientzia osakideetan betetzen duela frogatzeko, demagun

komunikazio probabilistikoekiko (N,B,v,p) egoera eta CN/p osakidea. (N,B,vp) bi jokoetan

banatuko dugu, (N,B,vC) eta (N,B,vN\C), SN bakoitzerako, vC(S):=vp(SC) eta

vN\C(S):=vp(S\C) direlarik.

C multzoa (N,B,Lp)-ren osakidea denez, vp=vC+vN\C dela dakigu eta balio koalizionalaren

dummy propietateagatik, iC osakide bakoitzerako OVi(N,B,vN\C)=0 dela. Beraz,

Ci

CNi

Ci

Ci

Cii v,B,NOVv,B,NOVp,v,B,NCM

,CvNvv,B,NOVCi

pCC

i

non lehen eta hirugarren berdintzak balio koalizionalaren definiziotik ondorioztatzen diren.

Bloke bakoitzeko elementuetarako ekarpen orekatuen propietatea betetzen dela frogatzeko,

funtzio potentziala erabiliko dugu (N,B,vp) jokoan. Horrela, badakigu edozein pPN grafo

probabilistiko, BkB bloke eta i,jBk bi jokalaritarako,

piNk

pk

pi v,B,iNPv,B,NPv,B,NOV

2. KAPITULUA

52

pjNk

pk

pj v,B,jNPv,B,NPv,B,NOV

betetzen direla, baina

pj,iNk

pjNk

pjNi v,B,j,iNPv,B,jNPv,B,jNOV

pj,iNk

piNk

piNj v,B,j,iNPv,B,iNPv,B,iNOV

direnez,

piNjpjNipjpi v,B,iNOVv,B,jNOVv,B,NOVv,B,NOV (5.1)

beteko da. Bertzalde,

, , , , ji p i pN jOV N j B v OV N B v i j

(5.2)

da, jpv,B,N

jokoan j jokalaria dummy denez, efizientzia axioma aplikatuz,

pjNijpjNijpi v,B,jNOVv,B,jNOVv,B,NOV

betetzen baita. Era berean

, jiv,B,NOVv,B,iNOVipjpiNj

(5.3)

ere betetzen dela froga daiteke.


53

(5.2) eta (5.3) berdintzak (5.1)-en ordezkatuz, CM-k bloke bakoitzeko jokalarietarako

ekarpen orekatuen axioma betetzen duela frogatzen da.

Blokeetarako ere betetzen duela zuzena da, Mkv,MSHv,B,NOV BpkpkB

betetzen baita, eta lehen ikusi dugu SH balioak ekarpen orekatuen baldintza betetzen duela.

Bakarra dela frogatzeko, har ditzagun efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuak

betetzen dituzten 1 eta 2 bi esleipen erregela, eta ikus dezagun berdinak izan behar dutela.

Ohartu, lehenik, 1 eta 2-ren efizientzia osakideetan baldintzaren ondorioz bi erregela

hauek berdinak izanen direla grafo probabilistikoak erabiltzen dituzten jokoetan non jokalari

bikote guztien komunikazio probabilitateak zero diren. Suposa dezagun orain 1 eta 2 ez

direla berdinak. Biz orain 1(N,B,v,p)2(N,B,v,p) betetzen duen probabilitate ez nuluak

dituzten lotura kopuru minimoko (N,B,v,p) komunikazio probabilistikoarekiko jokoa.

Badakigu p sistemak N eta M multzoengan N/p eta M/p zatidura multzoak, hurrenez

hurren, eragiten dituela. Har dezagun orain RM/p. R=1 bada, orduan BR={Br} bloke

isolatua da, eta efizientzia osakideetan propietateagatik, 21RBRB da. |R|>1 bada,

Rr

rR BB

izanen da, non hau N/p-ren elementuen bildura gisa jar daitekeen,

p/NHSRr

rR SBB

. Eta efizientzia osakideetan baldintzagatik,

p/NHS

pRBRB Svp,v,B,Np,v,B,N

21 . (5.4)

Har ditzagun orain r,sR, Br eta Bs konektatuak daudelarik. Orduan, blokeen arteko

ekarpen orekatuagatik,

1,2.i rBi

sBsBi

rBi

sBi

rB p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N

2. KAPITULUA

54

Baina p minimoa denez, bi berdintzen bigarren aldea berdina da. Beraz,

d(R)2121 p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,NsBsBrBrB

Da, d(R) balioa R-ren menpe soilik dagoelarik.

Orduan, (5.4)-gatik, d(R)0 21 Rp,v,B,Np,v,B,NrBrB , hots, d(R)=0.

Horrela,

Rr;p/MRp,v,B,Np,v,B,NrBrB 21 ,

eta ondorioz,

Mkp,v,B,Np,v,B,NkBkB 21 . (5.5)

Bira orain BkB blokea eta p-ren bitartez isolatuak ez dauden i,jBk. Bloke honen

jokalarien arteko ekarpen orekatuagatik,

1,2.t ,p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N itj

tjj

ti

ti

Baina p minimoa denez, bi berdintza hauen eskuin aldea berdina da. Beraz,

d(k),2121 p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N jjii (5.6)

d(k) zenbakia Bk-ren menpe soilik dagoelarik.

Bk jokalari isolatuen multzoari Bk(A) deituz, Bk(NA) isolatuak ez daudenari, eta (5.5)

berdintza aplikatuz,


55

NAkBi

iikBkB p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N 21210

NAkdhp,v,B,Np,v,B,NAkBj

jj k21 Bh ,0

dugu. Ondorioz, d(k)=0 da eta (5.6)-gatik, bloke bakoitzeko elementuetarako ere 1 eta 2

berdinak izanen dira. Hortaz, CM bakarra dela frogatua gelditzen da.

Badago ezaugarriztapen alternatibo bat, blokeen arteko ekarpen orekatuen baldintza

justizia axioma batekin ordezkatuz lortzen dena. Bi blokeko jokalarien arteko komunikazio

zuzeneko aukerak hausten direnean, bertzeenak aldatu gabe, bi bloke horien ordainketak

kantitate berean aldatzen direla erraten du justizia axioma honek:

Definizioa :NPNBN N esleipen erregelak blokeen arteko justizia betetzen duela

erranen dugu, grafo probabilistiko eta egitura koalizionalekiko edozein (N,B,v,p) jokotarako

eta edozein Bi, BjB bi bloketarako honako hau betetzen bada:

,p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,NjBiBjBjBjBiBiBiB

non l,kpl,kpjBiB den jiBl,k B kasuan, eta 0 l,kp

jBiB bertzela.

Blokeen arteko justiziaren definizio baliokidea lortzen da, jiBl,k B bikoteetarako

l,kpl,kpjBiB soilik eskatuz. Axioma honen esanahia ondokoa izanen da: bi

blokeen arteko komunikazio probabilitatea aldatzen bada, beraien ordainketak kantitate

berean aldatuko dira.

Teorema 4 Balio koalizionala da efizientzia osakideetan, bloke bakoitzeko jokalarien arteko

ekarpen orekatuak eta blokeen arteko justizia betetzen dituen :NPNBN N esleipen

erregela bakarra.

2. KAPITULUA

56

Frogapena: Balio koalizionalaren definizioagatik, Bi bloke bakoitzari p,v,M B zatidura

jokoaren Myersonen balioa dagokio, hots, p,v,MMp,v,B,NCM BiiB . Eta Myersonen

balioak justizia betetzen duenez,

ijB

jB

jijB

iB

i p,v,MMp,v,MMp,v,MMp,v,MM

beteko da. Beraz, grafo probabilistikorekiko balio koalizionalak blokeen arteko iustizia

betetzen du.

Bakarra dela frogatzeko, aurreko teoreman egindakoaren antzekoa da eginen da. Blokeen

arteko ekarpen orekatuen baldintza pausu bakar batean erabiltzen da, eta pauso hori ere

beteko da blokeen arteko justizia baldintzarekin.

Carreras, García-Jurado eta Vázquez-Bragen (1996) gertatzen zen bezala, testuinguru

honetan ere balio koalizionala ezin izan dugu ezaugarriztatu blokeen arteko justizia eta bloke

bakoitzeko jokalarien arteko justizia erabiliz.

Lehen kapituluan erran den bezala, Winterrek (1992) balio koalizionalak P funtzio

potentziala onartzen duela frogatzen du. Era berean, grafo probabilistiko eta egitura

koalizionalekiko jokoek ere funtzio potentzial bakarra izanen dute. Funtzio hau (N,B,vL)

jokoen konbinazio lineal gisa era honetan adieraz daiteke:

.p,v,B,NPLpv,B,NPLpv,B,NPp,v,B,NPNLL

NL

NLL

Np

58

3. kapitulua

Egonkortasuna bozketa jokoetan: Espainiako Parlamenturako aplikazioa

EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA

59

1 Sarrera

Politika zientzi arloari begira, joko teoriaren aplikazio bat bozketa egoera politikoetan parte

hartzen duten alderdien boterea neurtzea da. Neurri hori lortzeko, bozketa jokoak joko

kooperatibo gisa jartzen dira, eta ondoren alderdi bakoitzaren boterea emanen duen soluzio

kontzeptu bat aplikatzen zaio. Joko teoriaren barne botere indize ezagunenak Shapley-

Shubiken (1954) eta Banzhafen (1965) indizeak dira. Bi kontzeptu hauek adierazten dutenen

arabera, orokorki alderdien boto kopuruak soilik ez du erakusten bakoitzaren boterea.

Adibidez, A, B eta C alderdiak hartuz, 16, 14 eta 4 ordezkariekin, hurrenez hurren, C-k boto

gutxiago izan arren ezin dugu erran bertzeek baino anitzez botere txikiagoa izanen duenik;

gehiengoa lortzeko 18 boto behar direnez, C-ren erabakiak bertzeenak bezain garrantzitsuak

baitira.

Alderdi bakoitzaren boterearen erreferentzi hobea lortzeko, alderdi bat zenbat koalizioetan

den beharrezkoa koalizio hori irabazlea izateko aztertzea interesgarria dirudi, hau da,

irabazleak diren zenbat koalizio bihurtzen diren galtzaile, alderdia koalizio horretatik

ateratzerakoan.

Hala ere, prozedura honek ez digu ematen beti alderdi bakoitzaren benetako botere neurria,

alderdien arteko kooperazioan eragina izan dezaketen alde soziologikoak, politikoak edo

ideologikoak ez baituzte kontutan hartzen.

Politika zientziara aplikatu diren joko kooperatiboei buruzko literaturan, egoera hauei

aurre egiteko saiakera desberdinak egin dira, hasierako jokoari murrizketak inposatuz.

Owenek (1971), adibidez, jokalari bakoitza espazioko puntu batean kokatu ondoren, puntuen

arteko distantzia euklidearra kalkulatzen du. Hasierako funtzio karakteristikoa aldatzen du

lortutakoaren arabera, eta honi aplikatzen dio Shapleyen balioa. Carrerasek (1991), jokoa

murrizteko hiru metodo desberdin proposatzen ditu, beti ere joko sinpleen eremuan, eta

bakoitzari dagokion balioa. Lehena hurbiltasunen grafoari dagokio eta, joko gainbatukorretan

bederen, joko sinpleetara murriztutako Myersonen balio bera da. Bigarrena, bateraezintasun

3. KAPITULUA

60

grafo bati buruzkoa da eta hirugarrenean, aldi berean bateraezintasunak eta hurbiltasunak

erabiltzen ditu. Kasu bakoitzerako, joko murriztuaren Shapleyen balioa aztertzen du.

Bertzalde, Amer eta Carrerasek (1995) funtzio karakteristikoa aldatzen dute kooparazio

indizeen bitartez, hau da, jokoan parte hartzen duen koalizio bakoitzaren kooperazio graduak

kontutan hartuta.

Guk, aurreko kapituluan definitutako botere indizea erabiliko dugu, hots, grafo

probabilistikoak aldatutako funtzio karakteristikotik lortzen dena, eta horren bitartez

kalkulatuko dugu 1993ko ekainean sortutako Espainiako Parlamentuan dauden alderdien

boterea.

Kapitulu honen bigarren helburua, Gobernu koalizio eraketen azterketa egitea izanen da.

Horretarako, joko teorian maiz agertzen diren bi kontzeptu erabiliko ditugu: balioa eta

egonkortasuna. Lehenik, jokalari bakoitzaren boterea aztertzen da grafo probabilistikoak

aldatutako funtzio karakteristikoari balio koalizionala aplikatuz. Koalizio gehiengodunetan

parte hartzen duten alderdien boterea neurtu ondoren, horietako koalizioren bat egonkorra den

ikusiko dugu. Hau aztertzeko, joko ez-kooperatibo bat definituko da, non alderdi bakoitzaren

estrategiak bakarrik egotea edo koalizio gehiengodunen batean parte hartzea diren.

Ordainketen funtzioa honelaxe zehaztuko da: estrategien bektore bat hartuz, koalizio irabazle

bateko alderdi guztiak bat badatoz, estrategia horri ordainketen funtzioak koalizio horrek

definitutako egiturako balio koalizionala grafo probabilistikoekin emanen dio, eta bertzela,

hots, jokalarien estrategiek ez badute bat egiten koalizio irabazle batean, Myersonen balioa

grafo probabilistikoekin banatuko dute. Egonkortasunaren existentzia aztertzeko, oreka

sendoaren kontzeptua erabiliko da, eta aliantza bat egonkorra dela erranen dugu, parte hartzen

duten ezein alderdik ez badu aliantza hori apurtzen bertze koalizio irabazle batean parte

hartzeko, kide berri haiek guztiek beraien balioak hobetzen dituztelarik.

Hirugarren kapitulu honen egitura ondokoa da: 2. atalean bozketa egoera eta Shapley-

Shubiken (1954) indizea deskribatu egiten dira; gainera, grafo probabilistikoen bitartez

kooperazioaren ziurgabetasuna nola sartzen den erakusten da, ondoren botere indize berria

definituz. 3. atalean, 1993an sortutako Espainiako Parlamentura aplikatzen da teoria hau, eta

ondoren alderdien arteko komunikazio probabilitateen aldaketek botere indize hauetan


61

daukaten eragina aztertuko dugu. Gobernu aliantzen egonkortasuna aztertzea da 4. ataleko

helburua. Owenen (1977) balioaren bitartez, alderdien boterearekiko aldaketak aztertzen dira

hauetako batzuk beraien artean biltzea erabakitzen dutenean, eta Hart eta Kurzek (1983 eta

1984) erabili zituzten jokoek erakarritako aliantza eraketen jokoa eskaintzen da. 5. atalean

prozedura hau Espainiako Parlamentuko azken bi legegintzaldietara aplikatzen da, eta

azkenik, 6. atalean zenbait ohar ematen dira.

2 Botere indizeak bozketa egoeretan

Parlamentu batean sortzen diren bozketa egoerak gehiengo neurtuko joko gisa jar daitezke. n

alderdi ditugu, i alderdi bakoitzak wi eserleku ditu, eta koalizio bakoitzak boto guztien erdia

baino gehiago behar du erabaki bat aurrera ateratzeko. Beraz, (N,w) joko kooperatiboa dugu,

jokalari multzoa N={1,2,... ,n} izanik, eta SN bakoitzerako, w funtzio karakteristikoa

honako eran definituta dagoelarik:

bertzela0

bada 2

11

Si Niii ww

:Sw

S koalizioa irabazlea da w(S)=1 betetzen badu, eta irabazle minimala, w(S)=1 izateaz gain

w(T)=0 bada S-ren T azpikoalizio hertsi guztietarako.

Alderdi bakoitzak (N,w) bozketa jokoan duen boterea neurtzeko, joko kooperatiboetan

erabiltzen den soluzio kontzepturen bat aplikatzea bertzerik ez zaigu falta. Gure kasuan,

testuinguru honetan gehien erabiltzen dena hartuko dugu, Shapley-Shubiken (1954) indizea

hain zuzen ere.

Indize hau, bozkatzaile pibotearen ideian oinarrituta dago. Suposa dezagun alderdiak

erabaki baten alde egiteko asmoaren arabera ordenatzen ditugula (handiagotik gutxiagora).

3. KAPITULUA

62

Ordenaketa bakoitzean, pibote alderdi bat egonen da. Pibotea honen ezaugarria hau da:

aurrekoekin batera alde bozkatzen badu, erabakia aurrera ateratzen da, eta hurrengoekin

batera aurka bozkatzerakoan, ordea, erabakia deuseztatzen da. Indizea kalkulatzeko, ordena

guztiek probabilitate bera daukatela suposatuko da, eta indizeak, alderdi bakoitzak pibotea

izateko probabilitatea neurtuko du. Probabilitate hau, eserleku kopuruekin erlazionatua egon

arren, bien neurketek ez dute zertan berdinak izan behar. Alderdi bakoitzaren boterea

neurtzeko era alternatibo bat badago: bakoitza pibotea den ordena kopurua zenbatzea, hots,

bere parte-hartzearekin soilik irabazleak diren koalizio kopurua. Era honetan lortutakoa,

Banzhaf-Colemanen (Banzhaf, 1965) indizea deitu ohi da.

Formalki, N jokalari multzoa hartuz, ordena bat :NN bijekzioren bitartez definituko da,

(i) delarik i-ren kokapena ordenean. N-n definitutako ordena guztien multzoa P(N)

idatziko dugu. P(,i) da ordenean i-ren aurrean dauden jokalarien multzoa, hots,

P(,i):={jN : (j) < (i)}. (N,w) gehiengo neurtuko jokoa hartuz, (N,w) idatziko dugu i

jokalaria pibotea den ordena guztien multzoa,

1 i,Pwii,Pw:NPw,NPi .

Orduan, (N,w) gehiengozko jokoaren Shapley-Shubiken indizea honako eran honetan

definituta dago:

,NP

w,NP:w,N i

i iN jokalari bakoitzerako.

Indize hau komunikazio probabilistiko egoeretara heda daiteke, aurreko kapituluan egin

dugun era berean, Shapley-Shubiken indizea (N,w) gehiengo neurtuko jokoaren Shapleyen

indizea baita. Ondoren, aurreko kapituluan lortutako emaitzen laburbilduma txiki bat emanen

dugu, bozketa jokoetara egokitua:

(N,w) gehiengo neurtuko jokoa eta N-n definitutako L komunikazio grafoa hartuz, S

koalizioa irabazlea izanen da testuinguru honetan, irabazlea izateaz gain barrutik konektatua

badago, hots, w(S)=1 eta S/L={S} betetzen badira, edo bertze era batean, wL(S)=1 bada.


63

Pi(N,w,L) idatziko dugu i jokalaria pibotea den ordena guztien multzoa adierazteko, hau

da,

1 i,Pwii,Pw:NPL,w,NP LLi .

Orduan, (N,w,L) komunikazio jokoari dagokion indizea honakoa izanen da:

,NP

L,w,NP:L,w,N i

i iN bakoitzerako.

Eta N-n definitutako p probabilitateen sistema hartuz, grafo probabilistikoak erabiltzen

dituen (N,w,p) gehiengozko jokoaren botere indizea honakoa izanen da:

,L,w,NLp:p,w,N iNLL

i

iN jokalari bakoitzerako.

Grafo probabilistikoaz gain egitura koalizional bat badagoela suposatuz gero, kasu honetan

i jokalaria pibotea den ordena guztien multzoa

1 i,Pwii,Pw:B,NPL,w,B,NP LLi

izanen da, eta L grafo bakoitzerako botere indize koalizionala:

,NP

L,w,B,NP:L,w,B,N i

i iN bakoitzerako.

Testuinguru probabilistikora jotzen badugu orain, (N,w) gehiengo neurtuko jokoa, B

egitura koalizionala eta p probabilitateen sistema hartuz, itxarotako botere indize koalizionala

honako eran defini daiteke:

3. KAPITULUA

64

,L,w,B,NLp:p,w,B,N iNLL

i

iN jokalari bakoitzerako.

Horrela, i, i jokalariaren botere indize koalizionalaren itxaropen matematikoa izanen da,

komunikazio grafo posibleen multzoekiko probabilitate banaketaren arabera. 4. Atalean, balio

hau erabiliko dugu Gobernu eraketen azterketa egiteko.

Komunikazio probabilistiko egoeren azterketak bistako arazo bat dakar: hainbat faktorek

baldintzatzen duten jokalarien arteko komunikazio probabilitateen kalkulu egokia nola lortu.

Nagusienetariko bat, alderdien kokapena da, dimentsio anitz dituen espazio politikoan:

dimentsio sozioekonomikoa (ezker-eskuin dimentsioa), erlijio dimentsioa, nazionalismo edo

zentralismo graduak neurtzen dituena, etab. Behin alderdiak espazio horretan kokatuak egon,

probabilitate sistema bat lor daiteke, adibidez, beraien arteko distantzia neurtuz. Alderdi

politikoen kokapenak neurtzeko saiakera ugari egon da, eta horietako erreferentzi anitz aurki

daiteke Laver eta Schofielden (1990). Eredu espazial hauei soluzio kontzeptu desberdinen

aplikazioetaz baliatuz, Parlamentuko azterketa koalizionalak egin dira (ikusi, adibidez,

Schofielden (1995) eta Seneden (1995) lanak).

Hala ere, distantzia hauek ez digute ematen beti alderdien arteko benetako komunikazio

probabilitatea. Adibidez, ideia berdintsuak dituzten bi alderdi hurbil egonen dira espazio

politikoan, baina antzeko hautesleen botoak jasotzeko borrokak zaildu dezake beraien arteko

komunikazioa. Batzutan, teorikoki urruti dauden alderdien arteko hurbilketak gertatzen dira,

biekin borrokatzen duen hirugarren alderdi baten aurka (nire etsaiaren etsaia nire laguna da).

Hurbilketa ideologikoa eta benetako komunikazioaren arteko desberdintza aipagarriena

alderdi bat zatitzen denean ikusten da. Sortzen diren alderdiek hasiera batean antzeko

ideologia izan arren, espazio politikoaren bilakaerak eta zatiketaren ondorio pertsonalek

baldintzatuko dute erabat beraien arteko komunikazioa. Beraien arteko aliantza ia ezinezkoa

izanen da, gutxienez bakoitzak bere espazio politikoa lortu arte.


65

Banaketa kasuetara murriztu gabe, anitzetan kontu pertsonalek baldintza dezakete

negoziazio prozesua. Buruzagien tankerak, edo beraien arteko harreman mota desberdinak

bertze alderdikoekin erabakigarriak izan daitezke aliantza bat lortu edo deuseztatzeko orduan.

Ahaztu behar ez diren bertze kontuak ere badaude. Parlamentu bat baino gehiago dauden

lekuetan, adibidez, alderdi baten Parlamentu konkretu bateko estrategiak, bertze instituziotan

hartzen duen jarrera baldintza dezake. Colomer eta Martinezen (1995) ikus daiteke kontu

hauen garrantzia alderdien arteko negoziazio prozesuetan.

Azkenik, gogoratu behar da pij probabilitateek ere parte hartzen dutela jokalarien elkar-

eragite estrategietan. Hemen aurkeztutako ereduan, komunikazio batzuen aldaketen

boterearekiko eraginak ere aztertzen dira.

Aipatutako hau guztia kontutan hartuta pij probabilitateak endogenoki kalkulatuko

lituzketen ereduak garatzea interesgarria izanen litzateke. Batere erreza ez den lan hau

etorkizunerako uzten dugu. Oraingoz, botere indizeak grafo probabilistikoak ematen dizkigun

datuen arabera kalkulatuko ditugu. Probabilitate hauek alda daitezkeenez legealdian zehar,

lortutako botere neurriak une konkretu batean ateratako irudi finkoak direla erran daiteke,

prozesu politiko dinamiko baten barnean.

3 Espainiako Parlamentua

1993ko ekainean egindako hauteskundeen ondorioz, Kongresuko 350 eserlekuak 11 alderdien

artean modu honetan banatu ziren:

Alderdia

Eserlekuak

PSOE (Partido Socialista Obrero Español)

PP (Partido Popular)

IU (Izquierda Unida)

159

141

18

3. KAPITULUA

66

CIU (Convergencia i Unió)

PNV (Partido Nacionalista Vasco)

CC (Coalición Canaria)

HB (Herri Batasuna)

EA (Eusko Alkartasuna)

ERC (Esquerra Republicana de Catalunya)

PAR (Partido Aragonés Regionalista)

UV (Unión Valenciana)

17

5

4

2

1

1

1

1

3.1 taula

Bi alderdi handi daude, PSOE eta PP, bi tarteko neurrikoak, IU eta CIU, eta bertze guztiak

nahiko txikiak dira. Bozketa bat irabazteko, aldeko 176 boto behar dira. Gainera, lau puntu

hauek kontutan hartuko dira: (1) erabateko boto disziplina alderdi bakoitzean, (2) bozkatzaile

guztiak bertan daude, (3) bi alternatiben arteko erabakiak hartzen dira, proposamen

bakoitzaren aldekoa edo aurkakoa, eta (4) zerbait onartzeko gehiengo osoa eskatzen da.

Bakoitzaren boto kopurua soilik kontutan hartzen bada, PNVk eta bera baino txikiagoak

diren alderdi guztiek ez dute inolako botererik, ez baitute inolako eraginik bozketa bat

irabazteko. Alderdi hauek ez dauden koalizio batek ez badu gehiengoa lortzen, berdin

jarraituko du horietako batzuk koalizio horretan sartzen badira. Jokoaren koalizio irabazle

minimalen multzoa honako hauxe da:

{{PSOE,PP}, {PSOE,IU}, {PSOE,CIU}, {PP,IU,CIU}}.

Beraz, alderdi bat nagusitzen da, PSOE, eta bertze hirurak, PP, IU eta CIU simetrikoak

dira. Bertze guztiek indar nulua daukate. Alderdien Shapley-Shubiken botere indizeak 3.2

taulan eskeintzen dira:

Alderdiak PSOE PP IU CIU PNV CC HB EA ERC PAR UV

(N,w) 0.5 0.1667 0.1667 0.1667 0 0 0 0 0 0 0


67

3.2 taula

Ondoren, probabilitate sistemak erabiltzeak indize hauetan eragiten dituzten aldaketak

ikusiko ditugu.

Probabilitateak lortzeko, komunikabide desberdineko (prentsa, irratia eta telebista) analista

politikoen artean inkesta bat egin zen hauteskundeen aurretik. Inkesta honetarako 3.3 taulan

agertzen den antzekoa bete behar zen, 0 eta 100en arteko zenbakiak jarriz alderdi bikote

bakoitzak akordioetara iristeko daukan probabilitatea adierazteko. 9 erantzun jaso genituen,

eta probabilitateen sistema beraien batezbestekoa eginez kalkulatu zen.

PSOE PP IU CIU PNV CC HB EA ERC PAR

PP 0.2289

IU 0.4500 0.1375

CIU 0.6361 0.5712 0.2094

PNV 0.7028 0.4062 0.2469 0.8062

CC 0.4429 0.6571 0.3292 0.5917 0.4071

HB 0.0500 0.0156 0.1781 0.0537 0.1969 0.0514

EA 0.1611 0.1000 0.3156 0.2964 0.4281 0.3167 0.4406

ERC 0.1686 0.0621 0.3786 0.3571 0.3500 0.2150 0.4357 0.7214

PAR 0.1900 0.7536 0.1286 0.4214 0.3250 0.5786 0.0250 0.1979 0.0829

UV 0.1305 0.7464 0.1257 0.3543 0.3214 0.6571 0.0250 0.1764 0.1179 0.7321

3.3 taula

Azkenean, jokoa laburtu dugula erran beharra dago, praktikan vp kalkulaezina baita 8

jokalari baino gehiagoko jokoetan (adibidez, 66 MHz abiadurako PC-486 batek 8 jokalariko

3. KAPITULUA

68

joko batean vp kalkulatzeko 69 ordu behar dira, bainan gutxi gora behera 2 urtetan

kalkulatuko luke 9 jokalariko joko baterako).

Horrela, EA alderdia ERC-kin eta PAR alderdia UV-kin elkartu ditugu, 2 eserlekuko bi

alderdi berri sortuz. Elkarketa egokienak iruditu zaizkigu, bi kasuetako alderdiek antzeko

komunikazio probabilitateak izateaz gain, harreman estuak baitituzte. Adibide gisa, Europako

Parlamentuko azkeneko bi hauteskundeetan hautagai-zerrenda beran parte hartu dute.

Bertzalde, HB isolatu dugu, bere probabilitate guztiak zero eginez, bere komunikazio

probabilitate gehienak oso txikiak zirelako eta gainera bilkura parlamentariotan parte ez

hartzea erabaki zuelako. Horrela, jokalari nulua bihurtzen denez joko berrian, 8 jokalari soilik

gelditzen zaizkigu eta vp-ren kalkuluak egin daitezke.3

Jokoaren laburketak zerbait aldatzen du probabilitateen sistema, bi jokalari berriak,

EA+ERCk eta PAR+UVk parte hartzen baitute. Bi kasuetan bakoitzak bertzeekin zituen

probabilitateen batezbestekoak hartu dira. Hurrengo taulan aldaketa guztiak taula honetan

agertzen dira:

PSOE PP IU CIU PNV CC EA+ARC

EA+ERC 0.1648 0.0810 0.3471 0.3238 0.3890 0.2858

PAR+UV 0.1602 0.7500 0.1271 0.3878 0.3232 0.6178 0.1438

3.4 taula

Alderdien botere indize berria, probabilitateen sistema honen bitartez kalkulatu dugu:

3 (N,v) jokoan i jokalaria nulua bada, hots, v(S{i})=v(S) SN\{i}, ez du deus lortzen, SHi(N,v)=0, eta edozein jN\{i}, jokalarirako SHj(N,v)=SHj(N\{i},vN\{i}) betetzen da, non (N\{i},vN\{i}), (N\{i}-ren azpimultzoetan (hau da, 2N\{i} multzoan) v aplikatuz lortutako azpijokoa den.


69

Alderdiak PSOE PP IU CIU PNV CC EA+AERC PAR+UV HB

(N,v,p) 0.4523 0.1127 0.1283 0.1859 0.0502 0.0367 0.0103 0.0181 0

3.5 taula

3.5 taulan ikus daitekeen bezala, alderdien arteko bateragarritasun mailak erabat aldatzen

du bakoitzaren botere indizea. Adibidez, PNVk, hasierako jokoan jokalari nulua zenak, PPk

duenaren ia erdia lortzen du orain. Bertzalde, PP, IU eta CIU, hasieran simetrikoak, beraien

botere indize berrian eserleku kopuruarekiko alderanzko proportzioan daude.

PSOEk bakarrik osatu zuen Gobernua, beharrezko gehiengoa ez eduki arren. Hala ere,

gutxienez legealdiko bi lehenengo urteetan CIU eta PNVren laguntza jaso zuen. CIUrena

argiagoa izan arren (adibidez urteko aurrekontuak aurrera ateratzeko), PNVrena ere

nabarmena izan zen Kongresuko ikerketa komisio anitzetan. Gainera, beraien arteko

lankidetza aurretik zetorren, bi alderdi hauek Euskal Autonomi Erkidegoan koalizio

Gobernua osatzen baitzuten. 5. Atalean, koalizio egonkorren eraketari buruzko azterketa

zehatzagoa egiten da.

Alderdien arteko harreman prozesua dinamikoa denez, bien arteko komunikazio

probabilitate aldaketak bertze alderdien boterean nolako eragina izanen duen aldez aurretik

jakiteko gauza garen galde gaitezke. Orokorki, egoera berrirako kalkuluak egin gabe, eragina

ezin dela aldez aurretik jakin erran daiteke. Hau hobekiago ikusteko, legealdian barna PPk eta

IUk izan duten jarreraz baliatuko gara.

Testuinguru honetan, Gobernuaren aurkako PP eta IUren oposizio politikak bi alderdi

hauen estrategiak hurbildu zituen, eta ondorioz bi alderdi hauen lankidetza indartuz joan zen

(hasiera batean erabat kontrakoak zirenak dimentsio ideologikoan) arrazoi desberdinagatik:

PPk, hurrengo hauteskundeak irabazteko asmoarekin, eta IUk PSOErekin daukan antzeko

hautesleria bereganatzeko asmoarekin. Hala ere, bi alderdi hauen arteko kooperazioa

indartzeak, nolako eragina izanen du bertze alderdietan? 3.6 taulan alderdien boterea

adierazita dago p(PP,IU)-ren funtzio bat bezala, bertze probabilitate guztiak ukitu gabe,

azkeneko p* zutabean izan ezik, baina hau aurrerago azalduko dugu.

3. KAPITULUA

70

p(PP,IU) 0.1375 0.5 0.7 p*

PSOE

PP

IU

CIU

PNV

CC

EA+ERC

PAR+UV

0.4523

0.1127

0.1283

0.1859

0.0502

0.0367

0.0103

0.0181

0.4223

0.1265

0.1422

0.1998

0.0470

0.0333

0.0087

0.0168

0.4058

0.1341

0.1498

0.2074

0.0452

0.0315

0.0078

0.0161

0.3786

0.1323

0.1093

0.2371

0.0615

0.0429

0.0113

0.0212

3.6 taula

Hasierako p(PP,IU)=0.1375 probabilitateaz gain, 0.5 eta 0.7 balioak kontutan hartu dira,

joera bat ezartzeko asmoarekin. Ikus daitekeenez, PP eta IUren lankidetza indartu hala, PSOE

eta PNVren boterea jaisten da, bainan ez ordea Gobernu koalizioko bertze bazkidearena.

Horrela, PSOEren ahuldurak alderdiaren barruan tentsioa sor dezakeen bitartean, CIUn

aurkako eragina dauka, bertze bazkideekin negoziatzeko bere posizioa indartu baita, eta

ondorioz egoera ez aldatzeko bere interesa handiagotuko da.

p* zutabeko balioak kalkulatzeko komunikazio probabilitate gehiago aldatu ditugu,

zehazki, p(PP,IU)=0.5 eta p(PSOE,PP)=p(PSOE,IU)=0.15 diren kasurako kalkulatu ditugu

botere indizeak, hau da, PP eta IUren komunikazioa indartzeaz gain, beraiek PSOEkin

daukaten komunikazioa ahultzen den kasurako. Aldaketa hauen guztien ondorioz PSOEren

ahuldura areagotu egiten da, bere bi bazkideen boterea handitzen den bitartean. Hala ere,

nabarmenena, PP eta IUren botereekiko eragin desberdina da. PPrentzat mesedegarria den

bitartean, IUren posizioa erabat ahultzen da.


71

4 Egonkortasunaren analisia

Orain arte, grafo probabilistikoen bitartez aldatu dugun jokoak alderdi bakoitzari ematen dion

botere indizea kalkulatzen ibili gara. Dena den, alderdien helburua beraien boterea

hobereneratzea denez gero, baliteke hauek beraien artean gehiengoa daukaten koalizioetan

biltzeko saiakera egitea. Horrela, parte har dezaketen koalizio horiek guztiek kontutan hartuta,

alderdi bakoitzaren helburua, bere boterea hobereneratzen duen aliantza hautatzea izanen

litzateke. Egoera honen eredu bat egiteko, Gobernu aliantza eraketen joko ez kooperatibo bat

definituko dugu.

Erabiliko dugun aliantza kontzeptuak ez du erran nahi parte hartzaile guztiek Gobernuan

egon behar dutenik; beraz, kontutan hartuko ditugu gehiengoa daukaten aliantza guztiak,

batzuetan aliantza bateko alderdi bakar batek Gobernua eratzen badu ere. Honela, i alderdi

bakoitzaren estrategiak honako hauexek izanen dira: bakarrik egotea, {i}, edo gehiengoa

daukan SWi koalizio batean parte hartzea. Estrategia posible guztien multzoa Xi:=Wi{i}

idatziko dugu. Biz x=

Ni

in XXx,...,x,x 21 estrategia posibleen arteko konbinazio bat;

ondorioztatzen den B(x) egitura era honetan definituta dago:

B(x)=

bertzela.

koguztietara bada

Nii:NB

SiSxSiiS:SB

*

i

Beraz, S koalizio irabazleko jokalari guztiek batera joatea erabakitzen badute, dagokion

egituraren bloke nagusia S bera izanen da, bertze alderdi guztiak bloke independenteetan

mantentzen diren bitartean. Bertzela, ez da aliantzarik eratuko eta alderdiak oro bakarkako

bloke independenteetan mantenduko dira.

3. KAPITULUA

72

Jokoaren ordainketa funtzioa, ondorioztatzen den egitura koalizionalarekiko balioaren

bitartez kalkulatzen da, hots,

.p,v,xB,NCM:x 4

Alderdi bakoitzaren botere indizea handitu hala, legealdiaren barna bere huteskunde

egitaraua defendatzeko ahalmen handiagoa izanen duela suposatuko dugu. Orain, estrategi

moduan definitutako joko ez kooperatiboa daukagu, eta (X;) bikotearen bitartez adieraziko

dugu. Eredu honen bertsio orokorragoa Hart eta Kurzen (1983, 1984) eta Kurzen (1988) ikus

daiteke.

Erabiliko dugun egonkortasun kontzeptua jokoaren oreka sendoarekin erlazionatua dago.

Gainetik, aliantza bat egonkorra izanen da ez badago bertze bat non aliantza berri honen kide

guztiek ez duten beraien boterea hobetzen. Ondoren ideia hau formalki zehaztuko dugu.

Biz xX estrategia n-kotea, eta idatz dezagun SiiS xx SN koalizioaren

ordainketen bektorea adierazteko. x,yX bi estrategia hartuz, x-ek S-ren bitartez y

menperatzen duela erranen dugu, x >s y, yx SS bada, eta jS jokalariren baterako

yx jj bada. Hau da, S-ko ezein alderdi ez badago x-en y-n baino okerrago, eta

gutxienez horietako bat hertsiki hobekiago badago. Eta x-ek y menperatzen duela erranen

dugu, x > y, SN koalizioaren bat badago non x >s y den. Jokoaren oreka sendoen multzoa,

OS(X;), n-kote estrategia ez menperatuen multzoa gisa definitzen da,

OS(X;)={xX ez da yX existitzen non y > x den }.5

4 Ohartu, definizioagatik berdintza hauek ditugula:

p,v,NMp,v,NB,NCMp,v,B,NCM * .

5 Joko ez kooperatiboetarako definitutako kontzeptu hau literatura kooperatiboan agertzen den hunaren antzekoa da (Gillies, 1953 eta 1959).


73

Guk definitutako koalizio egonkorrak jokoaren oreka sendoarekin erlazionatuak egonen

dira. Ikus dezagun honi buruzko adibide bat:

Adibidea: Biz A, B, C eta D alderdiaz osatutako bozketa jokoa, ondoko sei koalizioak

irabazleak direlarik:

Kl = {(A,B),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),(A,B,C,D)}.

Hurrengo taulan, koalizio irabazle bakoitzari elkartutako egitura koalizionalarekiko

balioak agertzen dira:

AB ABC ABD ACD BCD ABCD

A 0.43 0.40 0.41 0.42 0.18 0.35

B 0.25 0.20 0.28 0.10 0.22 0.20

C 0.12 0.20 0.07 0.20 0.27 0.18

D 0.10 0.10 0.14 0.18 0.23 0.17

4.1 taula

Ikus daitekeenez, adibide honetan aliantza egonkor bat badago. Ez A-k ezta B-k ere ez

dute {A,B} aliantza hautsi nahi izanen, horrela eginez galtzen ateratzen baitira. B alderdiak

{A,B,D} koalizioan botere handiagoa lortu arren, aliantza hori eratzeko A-ren eta D-ren

laguntzaren premia dauka, eta A-k ez dio laguntza hori eskainiko, horrela galtzen ateratzen

baita. Ez dago bertze aliantza egonkorrik: {A,B,D} blokea A-k eta D-k hautsiko dute, biak

ere C-rekin batera hobekiago baitaude; eta bertze aliantza guztiak A-k eta B-k hautsiko

dituzte, biak {A,B} egituran elkartzeko.

Orokorki, ezin dugu ziurtatu oreka sendoaren existentziarik joko ez kooperatiboetan, eta

grafo probabilistikoak erabiltzen diren testuinguruan ere gauza bera erran daiteke, ezin baita

ziurtatu oreka sendoen ez existentzia ezta bakartasuna ere. Badago, bertzalde, maiz

3. KAPITULUA

74

errepikatzen den koalizio mota, optimala deituko duguna, non bere kide guztiek bertze

edozein koalizioetan baino balio hertsiki hobeagoak lortzen dituzten. (X;) jokoak gehienez

aliantza optimal bat daukala eta aliantza optimal bakoitza joko ez kooperatiboaren oreka

sendo batekin elkartua dagoela erraz froga daiteke, baina bi kontzeptuak ez dira baliokideak,

aurkako inplikazioa orokorki ez baita betetzen. Adibidez, A, B, C eta D-ren jokora jotzen

badugu, oreka sendo bat egon arren, ez dago aliantza optimalik.

Egoera politikoetan aztertu diren Gobernu koalizioen eraketarako teoria kooperatibo

guztietan existentziezaren arazo bera dago, Laver eta Schofielden (1990) ikus daitekeen

bezala. Interesgarria dirudi Nashen (1951) orekaren berfinketa bat aurkitzea, Aumannen

(1967) oreka sendoa baino ahulagoa, testuinguru politikora egokia dena eta bere existentzia

ziurtatua dagoelarik.

Ikus dezagun ondoren, atal honetan barna garatzen ibili garen prozeduraren aplikazio

praktiko bat.

5 Egonkortasuna Espainiako Parlamentuan

1993ko hauteskundeen ondoren sortu zen negoziaketa prozesuan batez ere PSOE, CIU, PNV

eta IU alderdiak (azken hau bertzeak baino gutxiago) parte hartu zuten. PP negoziaketatik at

gelditu zen.

5.1 taulan, hainbat aliantza estrategiei lotutako egitura koalizionaletarako ordainketak ikus

daitezke (3.5 taulako balioak kalkulatzeko erabili den grafo probabilistiko bera delarik).

B1=B*(N); eta B1=Bi(Si), non S2 = {PSOE,CIU}, S3 = {PSOE,CIU,PNV},

S4 = {PSOE,IU}, S5= {PSOE,IU,CIU} eta S6 = {PP,IU,CIU} diren,

B1 B2 B3 B4 B5 B6

PSOE 0.4523 0.5621 0.5666 0.5486 0.5670 0.2037


75

PP

IU

CIU

PNV

CC

EA+ERC

PAR+UV

0.1127

0.1283

0.1859

0.0502

0.0367

0.0103

0.0181

0.0244

0.0367

0.2958

0.0418

0.0211

0.0049

0.0076

0.0170

0.0233

0.2995

0.0650

0.0133

0.0036

0.0061

0.0439

0.2247

0.0943

0.0383

0.0260

0.0082

0.0105

0.0231

0.1394

0.2105

0.0284

0.0158

0.0044

0.0057

0.1954

0.2030

0.2744

0.0394

0.0414

0.0159

0.0213

5.1 taula

Taula honetan argi gelditzen den bezala, aliantza optimalak lortzeko ezin gara murriztu

koalizio irabazle minimaletara. Horretarako, B2 eta B3 zutabeetan agertzen diren ordainketak

ikustea nahikoa da: PSOE, CIU eta PNV alderdiek ordainketek B2-n lortutakoa B3-n hobetzen

dute, S3 koalizio irabazle minimala ez izan arren.

Gure kasuan, 5.1 taulako 8 alderdiak kontutan hartuta, 128 koalizio irabazle daude.

Guztiak aztertu ondoren (bere garapen aspergarria irakurleari aurreztuko diogu), aliantza

optimalen existentzieza ikus daiteke. PSOEk ordainketak hobereneratzen ditu B5 egituran,

baina S5-en dagoen CIUk ordainketa handiena B3-n lortzen du. Beraz, PSOE ez dagoen

koalizioen azterketa falta zaigu soilik. Baina koalizio hauetan guztietan parte hartu behar dute

PP, IU eta CIUk, eta azken honek bere balio hoberena B3-n lortzen duela ikusita dago.

Hala ere, jokoak badauka oreka sendo bat, PSOE, CIU eta PNV alderdien arteko S3

koalizioak lortzen duena. Koalizio hau izan zen gainera legealdiko lehen bi urteetan

Gobernuaren alde jokatu zuen bloke parlamentarioa. Dena den, honek ez du bertzerik erran

nahi, eta ereduaren baliogarritasuna denbora pasa hala soilik ikusiko da.

Itzul gaitezke orain 4. ataleko bukaeran prozesu politikoen izate dinamikoari buruzko

eztabaidara. Alderdien arteko harremanei eragiten dieten faktoreen multzoa konplexua eta

aldakorra da. Beraz, probabilitateen sistema aldatzen bada, jokoaren aliantzen egonkortasuna

ere alda daiteke, hala zirenak egonkortasuna galduz, edo alderantziz, talde egonkor berriak

sortuz.

3. KAPITULUA

76

PP eta IUren hurbiltze jarrera kontutan hartzen badugu, 3.6 taulan adierazten ziren antzeko

ondorioak ikusten dira balio koalizionalak erabiliz. 5.2(a) eta 5.2(b) tauletan, PSOE, CIU,

PNV, PP eta IUren hiru ordainketa konpara daitezke S2 eta S3 aliantzetarako, hasierako

egoerakoa, p(PP,IU)=0.5 denean lortutakoak eta gainera p(PSOE,PP)=p(PSOE,IU)=0.15

direnean (p* zutabea).

S2 = (PSOE, CIU)

p(PP,IU) 0.1375 0.5 p*

PSOE

CIU

PNV

PP

IU

0.5621

0.2958

0.0418

0.0224

0.0367

0.5414

0.3188

0.0394

0.0267

0.0390

0.4930

0.3515

0.0489

0.0323

0.0286

5.2 (a) taula

S3 = (PSOE, CIU, PNV)

p(PP,IU) 0.1375 0.5 p*

PSOE

CIU

PNV

PP

IU

0.5666

0.2995

0.0650

0.0170

0.0233

0.5453

0.3247

0.0622

0.0183

0.0246

0.4899

0.3585

0.0761

0.0229

0.0197

5.2 (b) taula

Ikus daitekeen bezala, 3.6 taulan ematen zen antzekoa gertatzen da hemen. p* baldintzetan

egonkortasuna galtzen da, kasu honetan, PNVrekin elkartzeak CIUri soilik egiten dio

mesedea, PSOEk S2 koalizioa nahiago duen bitartean.


77

Arrazoi desberdinengatik, legealdia 1996ko martxoan bukatu zen, urte bereko ekainean

hauteskunde berriak egin zirelarik. Ondoren, hauteskunde hauen ondorioz sortutako

Parlamentu berria aztertuko dugu.

350 eserlekuak berriro 11 alderdien artean banatu ziren, horietatik 10 aurreko

legealdikoak, eta bat berria, BNG (Bloque Nacionalista Galego), 2 eserlekurekin. PAR ordea,

desagertzen da Parlamentu berri honetatik. Dena den, HBk bere bi ordezkariak ez inskribatzea

erabaki zuenez gero, 348 parlamentariko Ganbara gelditzen zaigu. Beraz, 10 alderdiko

Parlamentua dugu, non gehiengoa lortzeko 175 boto behar diren.

Taulan honetan, eserlekuen banaketa osoa eta alderdi bakoitzaren Shapley-Shubik indizeak

ikus daitezke:

PP PSOE IU CIU PNV CC BNG EA ERC UV

Eserlekuak 156 141 21 16 5 4 2 1 1 1

(N,w) 0.4548 0.1829 0.1829 0.1214 0.0163 0.0163 0.0123 0.0044 0.0044 0.0044

5.3 taula

Eserlekuen banaketa, aurreko Parlamentuarenaren antzekoa da, PP eta PSOEren aldaketak

izan ezik, bainan kasu honetan ere ia bien arteko trukaketa dugu (PSOE 159tik 141ra pasatzen

da, eta PP 141tik 156ra). Aldaketak hagitz txikiak izan arren, ondorioak nabarmenak dira.

Lehen, 4 alderdi nagusietatik at bertze guztiak nuluak baziren, oraingo joko honetan alderdi

guztiak gutxienez koalizio irabazle minimal batean daude, eta ondorioz ez dago jokalari

nulurik.

Aurreko analisian bezala, alderdi kopuru handiegiak Parlamentu osorako kalkuluak

galarazten digu, eta berriro ere 8 alderdiko batera murriztera behartuak egon gura. Soluzio

egokiena BNG, EA eta ERC alderdiak bateratzea iruditu zaigunez, hori egin dugu. Hirurak

ideologia aldetik hurbil samar daude eta beraien arteko harremanak estuak dira, eta, adibidez,

hautagai zerrenda beran aurkeztu ziren Europako Parlamentuko azken hauteskundeetan.

3. KAPITULUA

78

B+E+E idatziko dugu lau eserleku dituen alderdi berri hau adierazteko. Eserleku banaketa

berrian botere indizeak zerbait aldatzen dira, eta adibidez UV oraingo honetan jokalari nulu

bihurtzen da. Joko berria (N,w') idatziko dugu, eta alderdi bakoitzaren botere indizea, ondoko

taulan agertzen dena izanen da:

PP PSOE IU CIU PNV CC B+E+E UV

Eserlekuak 156 141 21 16 5 4 4 1

(N,w’) 0.4524 0.1857 0.1857 0.1190 0.0190 0.0190 0.0190 0

5.4 taula

Grafo probabilistikoa, aurreko Parlamentuan erabilitako prozedura beraren bitartez lortu

dugu, hau da, komunikabide desberdineko analista politikoen erantzunak kontutan hartuta.

Erran beharra dago, inkestak bidaltzeko orduan sortutako arazo batengatik prozedura atzeratu

zela, hauteskundeak egin aurretik 5 erantzun soilik jasoz (gogoratu grafo probabilistikoa

hauteskunde aurretik osatzeko eskaera, emaitzek ez dezaten erantzunak baldintzatu). Berriro

ere "alderdi berri" bat sortu dugu, eta B+E+Eren komunikazio probabilitateak, bakoitzak bere

aldetik zituztenen batezbestekoak izanen dira.

Matrize probabilistiko osoa honako taula honetan ikus daiteke:

PP PSOE IU CIU PNV CC B+E+E

PSOE 0.1900

IU 0.2750 0.3600

CIU 0.5450 0.7050 0.1900

PNV 0.4800 0.6600 0.3300 0.7700

CC 0.7500 0.5850 0.3100 0.5450 0.5600

B+E+E 0.1470 0.3580 0.5820 0.4650 0.4320 0.4200


79

UV 0.7750 0.2100 0.1950 0.2550 0.2900 0.5600 0.2920

5.5 taula

Probabilitate sistema honen bitartez, alderdi bakoitzaren (N,w',p) Myersonen balioa

kalkula daiteke:

PP PSOE IU CIU PNV CC B+E+E UV

(N,w’,p) 0.3628 0.1507 0.1412 0.1446 0.0616 0.0744 0.0359 0.0273

5.6 taula

Lehen bezalako egonkortasun analisia egin dugu, koalizio irabazle guztiek definitzen

dituzten balio koalizonal probabilistikoak kontutan harturik (berriro 128 koalizio irabazle

dago). 5.7 taulan, adibide gisa, 7 egituratako balio koalizionalak agertzen dira, Bk izanik Sk

koalizio irabazleak sorten duen egitura, k=1,...,7.

S1 = {PP,CIU,PNV}, S2 = {PSOE,IU,CIU}, S3 = {PP,CIU,PNV,CC},

S4 = {PSOE, IU,PNV,CC,B+E+E}, S5 = {PP,PSOE}, S6 = {PP,CIU,PNV,CC,UV}

eta S7 ={PSOE,IU,CIU,PNV,CC}.

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

PP

PSOE

IU

CIU

PNV

CC

B+E+E

0.4731

0.0299

0.0275

0.2502

0.1493

0.0380

0.0113

0.1160

0.2553

0.2374

0.2621

0.0415

0.0374

0.0352

0.4844

0.0188

0.0164

0.2686

0.0889

0.1031

0.0063

0.0885

0.2288

0.2084

0.0428

0.1497

0.1641

0.1036

0.4616

0.2495

0.0495

0.0752

0.0482

0.0677

0.0172

0.4742

0.0147

0.0126

0.2705

0.0870

0.1013

0.0052

0.0848

0.2421

0.2408

0.2339

0.0770

0.0857

0.0254

3. KAPITULUA

80

UV 0.0190 0.0135 0.0120 0.0123 0.0293 0.0329 0.0085

5.7 taula

Aurreko kasuan ez bezala, oraingo aliantzen arteko jokoan ez dago oreka sendorik. 128

koalizio irabazleak aztertu ondoren, bakoitzean badago hautsi nahi duen alderdiren bat, bertze

batzuekin batera horiei denei komeni zaien aliantza berria osatzeko. Ikus dezagun, adibide

gisa, 5.7 taulako aliantzetan gertatzen dena.

S1 aliantza ez da egonkorra, CIUk hautsiko baitu PSOE eta IUrekin elkartzeko S2-n, non

hiru alderdiek beraien boterea hobetzen duten. Hala ere, koalizio hau ez da egonkorra. Berriro

ere CIUk hautsiko luke S3-n sartzeko. Hau, S1 < S2 < S3-rekin adieraziko dugu. Prozedura

honekin jarraituz, 5 lehen aliantzak ez direla egonkorrak ikus daiteke, S1 < S2 < S3 < S4 < S5

< S1-era iritsiko gara. Eta gauza bera gertatzen da S6 eta S7-rekin, S4 eta S6 koalizioek

apurtzen dituztelako, hurrenez hurren.

Aurreko Parlamentuan aliantza egonkor bakarra lortzen zen, gainera bi lehenengo urteetan

gobernatzen ibili zena izanik. Oraingo honetan ez da gauza bera errepikatzen. Ez dugu

aliantza egonkorrik aurkitu, baina PPk, negoziaketa epealdi labur baten ondoren, Gobernua

osatu zuen CIU, PNV eta CCren babes parlamentarioarekin.

Dena den, badago aliantza hori interpretatzeko modu bat. Bi alderdi nagusitzen dira, PP eta

CIU, biak antzeko koalizioetan hobetzen dutelarik: PPren bloke onena S3 da eta bigarrena S6,

hau izanik CIUren aukera onena, eta bigarrena S3. Kontutan hartu behar da bi koalizio hauen

arteko desberdintza bakarra UV dela, eserleku bakarra daukan alderdia, bertze guztiak

gobernatzen ari den koalizioa osatzen duten alderdiak izanik. UV sartzea edo ez sartzearen

eztabaidatik kanpo, lortutako emaitzek adieraz dezakete orain gobernatzen ari den {PP, CIU}

koalizioaren aldeko jarrera.


81

6 Azken oharrak

1. Ereduan sartu dugun komunikazio probabilistikoak gehiengozko bozketa sistemetan

alderdiek daukaten botere erlatiboa aldatzen du. Ganbaran hartzen diren erabakiekiko

alderdien eragina ez da egonen orain beraien eserleku kopuruei soilik baldintzatua, eta

bakoitzak bertzeekin daukan bateragarritasun(eza) graduaren arabera, bertzeen botoa ere

baldintza dezake. Bi faktore hauek batera hartuz ezarriko dute alderdi bakoitzaren boterea.

Hortaz, indize honek bozketaren emaitzan eragiteko probabilitatea adieraziko du. Honen

ondorioz, orokorki alderdi guztiek bere botere zatia daukatela erran daiteke, parlamentari

kopurua kontutan hartuta soilik batzuk bozketa jokoan nuluak izan arren.

2. Bi alderdiren arteko komunikazioen aldaketak daukan "osotasunezko" eragina ere

aipagarria da. PP eta IUren arteko komunikazio aldaketak haien botereak aldatzeaz gain,

bertze alderdien botereak ere aldatuko ditu (3.6 eta 5.2 tauletan ikus daitekeen bezala).

3. pij probabilitateak ongi kalkulatzea ezinbestekoa da lortutako indizeak baliogarriak izan

daitezen. Hau ez da lan erraza, kontutan hartuta gainera probabilitate horiek alderdien arteko

harremanekiko estrategietan ere parte har dezaketela. Ereduak aldaketa horien eraginak

aztertzen laguntzen du, eta interesgarria izanen litzateke aldez aurretik pij probabilitateen

balioak kalkulatuko lituzketen ereduak garatzea.

4. Gobernu koalizio posibleen egonkortasuna aztertzeko prozesuan, alderdi bat bertze

batzuekin modu iraunkor batean koordinatzea erabakitzen duenean, bozketa baten emaitzan

duen eragina aldatuko dela kontutan hartu dugu. Gainera, erabakiak hartzeko orduan,

alderdiak razionalak direla suposatu dugu, hau da, beraien elkartze estrategietan botere

indizeak hobereneratzea dutela helburutzat. Bestalde, oposizioko alderdiek, bakoitzaren

identitatea eta desberdintasun ideologikoak mantendu nahian, beraien independentzia

mantendu eta oposizio aliantzak ez egitea nahiago dutela ere kontutan hartu dugu.

3. KAPITULUA

82

Gure elkartze jokoa ia sinpleena izan arren, batzuetan ezin da ziurtatu orekaren existentzia.

Adibidez, 1994ko urrian osatutako Euskal Autonomi Erkidegoko Legebiltzarrerako egindako

analisiaren emaitzan, aliantza egonkorrik ez zegoela ikusi genuen . Eta errealitatean Gobernu

hirukoitza nahiko egonkorra osatu zen (PNV, PSE-EE eta EArekin).

Testuinguru politikoetarako egokia den Nashen (1950) orekaren berfinketa bat lortzea

interesgarria izanen litzateke, oreka sendoa (Aumann, 1967) baino ahulagoa eta existentzia

ziurta zezakeena.

5. Gure ereduan koalizio irabazle ez minimalak egon daitezke. Aliantzen arteko kideek

beraien artean banatzen dutenez boterea, hasiera batean koalizio irabazle minimalak osatzea

egokiagoa izanen dela pentsa daiteke (hau, Rikeren (1962) "neurriaren hastapena" edo

"koalizio irabazle minimalen hastapena" bezala ezagutzen da). Horrelako zerbait gertatuko da

probabilitateen sistemarik ez dagoenean. Gogoratu w funtzio karakteristikoak 1 ematen diola

S koalizio irabazleari, eta balio koalizionalak unitate hau S-ren kideen artean banatuko du,

bertzei 0 emanez. Orduan, elkarte horretara bertze jokalari baten bat sartzen bada, alderdi

honek zerbait jasotzekotan hasierako kideei boterea murriztuz izanen da, eta beraz,

pentsatzekoa da hauek ez dutela bertze inor bereganatzeko gogo handirik izanen.

Probabilitate sistemak erabiltzen diren kasuetan, alderdi giltzarriaren papera nabarmentzen

da. Hurbil ez daudenen arteko koalizio irabazle minimala egonkorra izatea zaila izanen da,

baina beraiekin hagitz ongi komunikatua dagoen alderdi bat sartzeak aliantza berriari

trinkotasuna eman diezaioke (orain minimala ez izan arren). 5. Atalean, Espainiako

Parlamentua aztertzerakoan horrelako kasu bat ikusi dugu. PSOE, CIU eta PNVren arteko

koalizioa egonkorra dela lortu da, irabazle minimala ez izan arren. Hau izan daiteke Europako

Gobernu batzuk koalizio irabazle ez minimalaz osatuak egotearen arrazoi bat (gai honi

buruzko garapen sakona egiten da Schofielden, 1993).


83

Gehiengoa ez duten eta koalizio irabazleren babesik gabeko Gobernuak ere badaude (ikusi

adibide gisa, Strom, 1990). Hauek egoera ezegonkorrak adierazten dituzte, alderdien arteko

komunikazio graduak oso txikiekin, oreka sendoen multzoa hutsa delarik.

6. Erabili dugun moduan, aliantza kontzeptuak ez du halabeharrez inplikatzen Gobernu kidea

izatea. Horren ordez, aliantzan dauden alderdi batzuk bertze ordainketa mota desberdinak jaso

ditzakete. Horrela, gure helburua aliantzen egonkortasuna(eza) aztertzea izan da, eta ez

aliantza egonkor bat osatzen dutenen arteko ministro kargu banaketa ezartzea. Hala ere, gure

ustez, koalizio horretan daudenen arteko indar posizio desberdinak kontutan hartu beharko

lirateke banaketa hori negoziatzeko orduan. Ondoko adibidean, banaketa indize posible bat

ematen dugu, horretarako alderdi bakoitzak daukan eserleku kopurua eta grafo

probabilistikoekiko bere balio koalizionala kontutan hartu ditugularik.

Horrela, demagun vi dela S Gobernu koalizioko i alderdi bakoitzak daukan eserleku

kopurua eta p,v,SB,NCM: ii , egitura horretarako lortzen duen balio koalizionala.

Orduan, ministro kargu kopurua proportzio honetan egon zitekeen:

Si

i

i

Sii

ii v

vh

2

1.

85

Laburbilduma

Ondoren, memoria honetan lortutako emaitza garrantzitsuen laburpena ematen da.

1. KAPITULUA

Funtzio potentzial eta ekarpen orekatuen hastapenaren kontzeptuak maila egiturarekiko

jokoetara hedatzen dira, eta honetan oinarrituz, testuinguru horretarako balioaren bi

ezaugarriztapen axiomatiko berri ematen dira.

Teorema 1-ean, joko mota hauetan funtzio potentzia bakar baten existentzia frogatzen da,

eta jokalari baten potentzialarekiko ekarpen marjinala maila egiturarekiko jokoaren balio bera

dela. Emaitza hau teorema 2-n erabili da, kapitulu horretako emaitza garrantzitsuena

frogatzeko, hots, efizientzia eta ekarpen orekatuen axiomen bitartez egindako maila

egiturarekiko balioaren ezaugarriztapena.

2. KAPITULUA

Lehenik, jokalarien arteko komunikazio probabilitate desberdinetan oinarritutako

komunikazio probabilistikoekiko joko eredua aurkezten da. Ondoren, joko mota honetarako

balioa definitzen da, Myersonen balioa deituko duguna, bertzeak bertze joko

gainbatugarrietan egonkorra dela baieztatzen duena, hau da, bi jokalarien arteko

komunikazioa handitzerakoan (bertze jokalarienak finkoak mantenduz), bien ordainketak

indartzen direla. Efizientzia osakideetan, ekarpen orekatuak eta justizia axiomak testuinguru

honetarako definitu ondoren, grafo probabilistikoekiko balioaren bi ezaugarriztapen

proposatzen dira, hauetako bat bi lehenengo axiomen bitartezkoa, eta bertzea efizientzia

osakideetan eta justizia axiomen bitartez lortutakoa.

86

Azkenik, aldez aurretik emandako egitura koalizional bat kontutan hartzen duten jokoetara

hedatzen dira emaitza hauek guztiak, joko mota hauetarako bertze bi ezaugarriztapen

axiomatiko aurkeztuz.

3. KAPITULUA

Hirugarren kapituluan 1993ko hauteskundeetan sortutako Espainiako Parlamentua aztertzen

da eta horretarako ondoko bi ikuspuntu hauetan oinarritzen gara: alderdi bakoitzaren botere

indizean, eta Gobernu aliantza posibleen egonkortasunean. Alderdien boterea neurtzeko,

Parlamentuari dagokion bozketa jokoan aurreko kapituluan definitutako grafo

probabilistikoekiko balioa aplikatzen da. Egonkortasuna aztertzeko, berriz, joko ez

kooperatibo bat definitzen da, non alderdi bakoitzak dituen estrategiak bakarrik mantentzea

edo koalizio irabazle batean parte hartzea diren. Ordainketa funtzioa era honetan ezartzen da:

estrategien bektore bat hartuz, koalizio irabazle bateko jokalari guztiek hautaketa bera egiten

badute, estrategia honi ordainketa funtzioak koalizio horrekin elkartuta dagoen egiturarekiko

balio koalizionala emanen dio, eta bertzela, hau da, jokalarien estrategiak ez badute bat egiten

ezein koalizio irabazlean, grafo probabilistikoekiko jokoaren Myersonen balioa banatuko da

beraien artean. Egonkortasuna aztertzeko, oreka sendoa kontzeptua erabiltzen da, beraz,

aliantza bat eginkorra da ezein kidek ez badu koalizio hori hautsi nahi bertze jokalari

batzuekin aliantza irabazle desberdin batean elkartzeko.

Prozedura hau, emaitza desberdinak eskeintzen dituzten Espainiako azken bi

Parlamentuetara aplikatzen da; 1993koan aliantza egonkor bat zegoen, eta oraingo legealdian,

ordea, ez dagoen koalizio irabazle egonkorrik.

87

Erreferentzi bibliografikoak

Albers, W. (1979) Core- and kernel-variants basad on imputations and demand profiles,

Game Theory and Related Topics (O. Moeschin and D. Pallaschke, eds.). Amsterdam,

North-Holland.

Amer, R. eta Carreras, F. (1995) Games and cooperation indicas, International Journal of

Game Theory 24: 239-259.

Anmann, R. J. (1967) A Survey of cooperative games without side payments, Essays in

Mathemathical Economics, (M. Shubik ed.). Princeton: Princeton University Press, 327.

Aumann, R. J. eta Drèze, J. (1974) Cooperative games with coalition structures,

International Journal of Game Theory,3, 217-237.

Aumann R. J. eta Maschler, M. (1964) The barguining set for cooperative games, Advances

in Game theory (Dresher, M., Shapley L.S. and Tucker, A.W. eds.). Princeton University

Press, Princeton, 443-447.

Aumann, R. J. eta Myerson, R. (1988) Endogenous formation of links between players and

coalitions: an Application of the Shapley Value, Essays in Honor of Lloyd S. Shapley

(A.E. Roth ed.). Cambridge: Cambridge University Press, 155-173.

Bennett, E. (1983) The aspiration approach to predicting coalition formation and payoff

distribution in sidepayment games, International Journal of Game Theory 12, 1-18.

88

Banzhaf, J. (1965) Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis, Rutgers Law

Review 19, 317-343.

Carreras, F. (1991) Restriction of simple games, Mathematical Social Sciences 21, 245-260.

Carreras, F., García Jurado, I. eta Vázquez-Brage, M. (1996) The Owen value applied to

games with graph restricted communication, Games and Economics Behavior 12, 42-53.

Carreras, F. eta Owen, G. (1988) Evaluation of the Catalonian Parliament, 1980-1984,

Mathematical Social Sciences 15, 82-92.

Colomer, J. M. eta Martínez, F. (1995) The paradox of coalition trading, Journal of

Theoretical Politics 7, 41-63.

Davis, M. eta Maschler, M. (1965) The kernel of a cooperative game, Naval Research

Logistics Quarterly 12, 223-259.

Gillies, D. B. (1953) Some theorems on n-person games, PhD Dissertation, Department of

Mathematics. Princeton University Press, Princeton.

Gillies, D. B. (1959) Solutions to general non-zero-sum games, Contributions of the Theory

of Games, vol. IV (Annals of Mathematics Studies, 40) (A.W. Tucker and R.D. Luce,

eds.). Princeton: Princeton University Press, 47-85.

Harsanyi, J. C. (1963) A simplified bargaining model for n-person cooperative game,

International Economic Review 4, 194-220.

Hart, S., y Kurz, M. (1983) Endogenous formation of coalitions, Econometrica 51: 1047-

1064.

Hart, S., eta Kurz, M. (1984) Stable coalition structures, Coalitions and Collective Action

(M.J. Holler ed.), Würzburg: Physica-Verlag: 235-258.

89

Hart, S., eta Mas-Colell, A. (1989) Potential, value and consistency, Econometrica 3, 589-

614.

Kurz, M. (1988) Coalitional value, Essays in Honor of Lloyd S. Shapley (A.E. Roth ed.).

Cambridge: Cambridge University Press, 155-173.

Laver, M. J. eta Schofield, N. (1990) Multiparty Government: The Politics of Coalition in

Europe. Oxford: Oxford University Press, 131-143.

Lucas, W. F. (1969) The proof that a game may not have a solution, Trans. Amer. Math.

Soc.,136, 219-229.

Lucas, W. F. (1972) A Game with no solution, Bulletin American Math. Soc., 74, 237-239.

Myerson, R. B. (1977) Graphs and cooperation in games, Mathemathics of Operations

Research 2: 225-229.

Myerson, R. B. (1980) Conference structures and fair allocation rules, International Journal

of Game Theory 9, 169-182.

Nash, J. F. (1950) Equilibrium points in n-person games, Proc. of the National Academy of

Sciences, USA, 36, 1, 48-49.

Nash, J. F. (1951) Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54, 286-295.

Neumann, J. van eta Morgenstern, O. (1944) Theory of games and economic behavior,

Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

Owen, G. (1971) Political games, Naval Research Log Quarterly 18, 345-355.

90

Owen, G. (1977) Values of games with priori unions, Essays in Mathematical Economics and

Game Theory (R. Heim and O. Moeschlin, eds.), Springer-Verlag, New York.

Riker, W. (1962) The theory of political coalitions. New Haven, CT: Yale University Press.

Schofeld, N. (1993) Political competition in multiparty coalition Governments, European

Journal of Political Research 23: 1-33.

Schofield, N. (1995) Coalition politics: a formal model and empirical analysis, Journal of

Theoretical Politics 7(3): 245-281.

Selten, R. (1981) A non cooperative model of characteristic function bargaining, Essays in

Game Theory and Mathematical Economics in Honor of Oscar Morgenstern (V. Bohm and

H. Nachtbamp, eds), Bibliographisches Institut, Mannheim, 131-151.

Sened, I. (1995) Equilibria in weighted voting games in two-dimensional spaces, Journal of

Theoretical Politics 7(3): 283-300.

Shapley, L. S. (1953) A value for n-person games, Contributions to the Theory of Games II

(H.W. Kuhn and A.W. Tucker, eds.), Princeton: Princeton University Press, 307-317.

Shapley, L. S. eta Shubik, M. (1954) A method for evaluating the distribution of power in a

committee system, Ameritan Political Science Review 48: 787-792.

SchmeIdler, D. (1969) The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal on

Applied Mathematics 17, 1163-1170.

Strom, K. (1990) Minority Government and majority rule. Cambridge: Cambridge University

Press.

Winter, E. (1989) A value for cooperative games with level structure of cooperation,

International Journal of Game Theory 18, 227-240.

91

Winter, E. (1992) The consistency and potential for values of games with coalition

structures, Games and Economic Behavior 4, 132-144.

Ekarpen orekatuak, grafo probabilistikoak eta kooperazio ...€¦ · Azkenik, EHUri, lan honek UPV...

Documents

Transcript of Ekarpen orekatuak, grafo probabilistikoak eta kooperazio ...€¦ · Azkenik, EHUri, lan honek UPV...