EJES HUECOS DE PARED DELGADA

Considere un elemento cilíndrico hueco con sección no circular sujeto a una carga torsional. Se considera el espesor t es pequeño en comparación a las otras dimensiones.

Como la porción AB esta en equilibrio, la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella en la dirección longitudinal x debe ser 0.

ΣF x=0

FA−FB=0

Ahora se expresa FA como el producto de esfuerzo cortante longitudinal τ A sobre la cara

pequeña en A y del área t A Δx de dicha cara:

F A=τ A (t A Δx )

El esfuerzo cortante puede variar a través de la pared; por lo tanto τ A representa el valor promedio del esfuerzo calculado a través de la pared:

τ A ( tA Δx)=τ B ( tB Δx)

Ya que A y B se escogieron en forma arbitraria, se puede denotar el producto del esfuerzo τ por el espesor t como q:

q=τt=constante

Ahora se desprende un pequeño elemento de la porción AB de la pared, como las caras superior e inferior de este elemento son parte de la superficie libre del miembro hueco, por tanto los esfuerzos son igual a cero. Así, el esfuerzo cortante en cualquier punto de un corte transversal del miembro hueco es paralelo a la superficie de la pared.

El producto q=τt se conoce como el flujo de corte en la pared del eje hueco. El área del elemento es dA=t ds, y la magnitud de la fuerza cortante dF ejercida sobre el elemento es:

dF=τ dA=τ ( t ds )=τ ( t ds )=q ds

El momento dMo de esta fuerza alrededor de un punto arbitrario O dentro de la cavidad del miembro puede obtenerse al multiplicar dF por la distancia perpendicular P desde O hasta la línea de acción dF . Se tiene:

d M o=pdF=p (q ds)=q( pds )

Pero el producto pds es igual al doble del área d@ del triangulo sombreado. Se tiene que:

d M o=q (2d@)

T=∮dMo=∮q (2d@)

Como el flujo de corte q es una constante, se escribe:

T=2q@

Donde @ es el área bordeada por la línea central de la sección transversal de la pared.

El esfuerzo cortante τ en cualquier punto dado de la pared puede expresarse en términos del par T, se tiene:

τ= T2 t@

Para deformaciones elásticas la distribución de esfuerzo a través de la pared puede considerase uniforme. El ángulo de giro de un eje hueco de pared delgada se obtiene utilizando el método de energía. Suponiendo una deformación elástica puede mostrarse que el ángulo de giro de un eje de pared delgada de longitud L y modulo de rigidez G es:

ϕ= TL

4@2G∮ dst

Donde la integral se calcula a lo largo de la línea central de la sección de la pared.

BIBLIOGRAFÍA

Mecánica de Materiales, Beer Johnston Cuarta Edición. Resistencia de materiales, Singer Cuarta Edición.