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Departamento de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial

Alumno:

Grupo teoría: ( de a )

DNI:

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Ejercicios de Temas 1, 2 y 3. Matemáticas II, 2014/15

Instrucciones generales:

Todos los ejercicios deben estar bien explicados y realizados a mano. Entregar todas las hojas firmadas y con DNI.

Se deben de entregar el día 31 de Marzo.

Nota

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Total

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1. Calcula el volumen más pequeño de un cono circular recto que pueden ser circunscrito

una esfera de radio 4 pulgadas de radio.

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4

2. ¿Qué ángulo entre dos bordes de longitud 3 dará lugar a un triángulo isósceles con el

área más grande?

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3. Encontrar (utilizando integrales) el volumen de una pirámide cuadrada de 20 metros

de altura y 20 metros de lado de la base.

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4. La aceleración de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada por la

ecuación 𝑎(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑡 Encontrar la posición del objeto en cualquier momento si

la velocidad de la partícula en t=1 es de 2 m/s y la partícula está localizada en s=2

para t=2s.

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5. Un jugador de baloncesto se encuentra a d pies de la canasta. Sea h y α ser como

en la figura. Usando física, se puede demostrar que si el jugador lanza la pelota con

un ángulo θ, entonces la velocidad inicial que se requiere para que la pelota entre

a la cesta es:

𝑣2 =16𝑑

(cos 𝜃)2 (tan 𝜃 − tan 𝛼)

a) Explique por qué esta fórmula sólo es significativo para α < θ < π/2. ¿Por

qué v se acerca al infinito en los extremos de este intervalo?

b) Tomar α= π/6 y dibujar v2 en función de θ para π/6 < θ < π/2. Verificar que

el mínimo ocurre en θ = π/3.

c) Sea 𝐹(𝜃) = (cos 𝜃)2 (tan 𝜃 − tan 𝛼). Explica porque v se minimiza para un

θ tal que F(θ) se maximiza.

d) Verifica que 𝐹′(𝜃) = cos(𝛼 − 2𝜃) sec 𝛼 y demuestra que el máximo

valor de 𝐹(𝜃) en [𝛼,𝜋

2] ocurre en 𝜃0 =

𝛼

2+

𝜋

4.

e) Para un α dado, el ángulo óptimo para acertar la canasta es θ0 porque

minimiza v2 y por lo tanto minimiza la energía necesaria para hacer el

disparo (la energía es proporcional a v2). Demostrar que la velocidad a la

Vopt para el ángulo óptimo θ0 satisface:

𝑣𝑜𝑝𝑡2 =

32𝑑 cos 𝛼

1 − sin 𝛼=

32𝑑2

−ℎ + √𝑑2 + ℎ2

f) Mostrar con un gráfico que para d fijo (por ejemplo, d=15, la distancia de

un tiro libre), v2opt es una función creciente de h. Use esto para explicar por

qué los jugadores más altos tienen ventaja.

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6. El cálculo un valor aproximado 𝑥 se resuelve mediante la ecuación de segundo

grado:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0

cuyos coeficientes se han determinado con una precisión de una décima:

𝐴 = 1 ± 0,1𝐵 = −7 ± 0,1𝐶 = 12 ± 0,1

Calcula las posibles soluciones para ese valor aproximado 𝑥 indicando sus

correspondientes cotas de error absoluto en cada caso.

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