EJERCICIOS RESUELTOS1
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Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C. MAT102-ICUATF.blogspot.com EJERCICIOS RESUELTOS FUNCIONES VECTORIALES Y DE VARIAS VARIABLES. Fuente: Problemas propuestos de la Práctica Curso de Verano 3/2012 3.1 Graficar y encontrar una ecuación vectorial de las siguientes curvas: 3.1.1 { Solución: Eligiendo el parámetro t como , entonces: √ √ Tomando el valor positivo, se tiene: √ La función vectorial resultante es: () ( √ ) √ √ 3.1.2 { Solución: Z X Y
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EJERCICIOS RESUELTOS
FUNCIONES VECTORIALES Y DE VARIAS VARIABLES.
Fuente: Problemas propuestos de la Prctica Curso de Verano 3/2012
3.1 Graficar y encontrar una ecuacin vectorial de las siguientes curvas:
3.1.1 {
Solucin:
Eligiendo el parmetro t como , entonces:
Tomando el valor positivo, se tiene:
La funcin vectorial resultante es:
( ) ( )
3.1.2 {
Solucin:
Z
X
Y
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Eligiendo el parmetro t como , entonces:
La funcin vectorial resultante es:
( ) ( )
3.2 Empezando en , una abeja vuela de tal manera que su vector posicin era
( ) ( ) hasta , en ese momento continuo su vuelo en la direccin
tangente a la rapidez que llevara. En qu lugar chocara la abeja con el plano ?
Solucin:
Sea el vector velocidad:
( ) ( ) ( )
El vector unitario tangente a la velocidad ser:
( ) ( )
| ( )|
( )
( ) ( )
X
Y
Z
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El punto en el que la abeja cambia la direccin de su vuelo est dado por:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
La recta por la que sigue su trayectoria la abeja ser:
Finalmente, el punto donde choca la abeja con el plano es:
{
{
( )
3.3 Una mosca camina a lo largo de un alambre de forma de hlice, de tal manera que su vector
posicin e ( ) s En qu punto chocar la mosca con la esfera
y que tan lejos viajo para llegar ah (supngase que empez cuando t=0)?
Solucin:
Del vector posicin de la mosca:
( )
Reemplazando en la ecuacin de la esfera:
( ) ( ) ( )
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Tomando el valor positivo, el punto donde choca la mosca con la esfera es:
( )
( )
Para hallar la distancia recorrida por la mosca hasta chocar con la efera encontraremos la
longitud de arco descrito por su movimiento desde a :
| ( )|
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4.2 Un depsito tiene la forma de un cilindro circular recto con radio unidades y altura ,
terminado en cada uno de sus extremos por una tapa cnica. Si la altura de la tapa es tres
cuartos de la altura del cilindro, exprese la superficie del depsito como una funcin de las
variables indicadas.
Solucin:
( )
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4.3 Una lata para refresco se construye con una envolvente lateral de hojalata, y con tapa y base de
aluminio. Dado que el costo de la tapa es de Bs. 20 por unidad cuadrada, de Bs. 10 por unidad
cuadrada para la base, y de Bs. 30 por unidad cuadrada para la envolvente. Determinar la
funcin de costo c(r,h) en donde r es el radio de la lata, y h su altura.
Solucin:
La funcin de costo de la lata ser:
( )
( ) ( )
5.1 Hallar
si:
5.1.1 ( ) ( ( )) ( )
Solucin:
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( )
( ( )) ( (
))
( ( )) ( (
))
( ( ) (
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( )
( ( )) ( (
))
( ( ))
( ( ) (
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( )
,* ( ( )) ( (
))
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( ( ) (
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)) +
( ( )) ( (
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( ( )) ( (
))
( ( ) (
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))-
. ( ( )) ( (
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( ( ) (
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( ( ))
( ( ) (
) ( ) (
))/
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5.4 Al poner un tringulo issceles sobre un rectangulo se forma un pentgono, como se muestra en
la figura siguiente. Si el pentgono tiene permetro P fijo, encuentre las longitudes de los lados
del pentgono que hacen mxima el rea del pentgono.
Solucin:
( )
( )
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Ejercicio Adicional:
1. Encontrar la longitud de la curva definida por ( ) (
) entre
.
Solucin:
( ) (
)
( )
( )
( )
[( )( )]
( )
( )
( )
( )
[
( )
( )
( )
( )] |
[
(
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. /
(
)
. /]
|
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