Ejercicios resueltos IO UAP

8/16/2019 Ejercicios resueltos IO UAP

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Ejercicios resueltos1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y

ACPM para las cuales a establecido un precio deventa de !""", !#"" y !1"" por gal$nrespectiva%ente. Para la producci$n de estosco%bustibles, la co%pa&ía cuenta con una



disponibilidad de #""" galones de petr$leo crudo y'""" galones de petr$leo refinado. Ade%(s se aestablecido )ue el costo de gal$n de petr$leo crudo es

*""" y el refinado a *#"". Por re)ueri%ientos decalidad, se sabe )ue la gasolina corriente debecontener !"+ de petr$leo crudo y "+ de petr$leorefinado- la gasolina extra debe contener *"+ depetr$leo crudo y '"+ de petr$leo refinado- %ientras)ue el ACPM debe contener #"+ de a%bos petr$leos.Plantee el %odelo de progra%aci$n lineal con el fin deobtener el beneficio de la e%presa.

P.C/U0

P./E234 A0

P/EC356 A74

C//3E48E

!"+ "+ !"""

E98/A *"+ '"+ !#"" ACPM #"+ #"+ !1""03:P43;3

730A0#"""galones

'"""galone

sP/EC356

A74*""

"*#""

<7o pri%ero )ue =ace%os es definir las variables ausar en el %odelo de progra%aci$n lineal>



91? 6al$n de gasolina corriente- 9@? 6al$n de gasolinaextra- 9*? 6al$n de ACPM- 9!? 6al$n de petr$leocrudo- 9#? 6al$n de petr$leo refinado.

<A=ora defini%os nuestra funci$n objetivo, )ue es>%ax? !"""91B!#""9@B!1""9**"""9!B*#""9#D

< las restricciones a las )ue esta so%etido nuestroproble%a son>

/E:8/3CC34 0E P/CE48AFE 0E P. C/U0>/1? ".!91B".*9@B".#9* G #"""

/E:8/3CC34 0E P/CE48AFE 0E P. /E234A0>

/@? ".91B".'9@B".#9* G '"""

/E:8/3CC34E: 0E P:383H30A0>

91,9@,9*,9!,9# G "

@. Una co%pa&ía de petr$leo produce tres tipos degasolina :Iper, 4or%al y Euro. :e obtienen por la%eJcla de tres calidades de crudo )ue contienen tres

co%ponentes A, ; y C. 7a participaci$n de esosco%ponentes en la fabricaci$n de cada crudoes>/estricciones>

C/U0 1 @ *



A K"+ 1"+ #+; !#+ *"+ @"+C *"+ !"+ @#+

7as especificaciones de los tres tipos de gasolina son>

83P 0E6A:734A

A ; C

:UPE/ L"+ G@#+ L1"+4/MA7 L#"+ G*"+ G1#+

EU/ G!"+ L*#+ L@"+

7os costos por barril de crudo A, ; y C es de #",#"" y !#" respectiva%ente. El presupuesto diario deco%pras es de #" %illones- la disponibilidad diaria decrudo ; y C se li%ita respectiva%ente a *""" y '"""barriles. Ciertos acuerdos obligan co%prar al %enos@#"" barriles de A por día. 7as de%andas de lasgasolinas :Iper y 4or%al son de @""" y @#"" barrilesdiarios respectiva%ente, )ue deben satisfacerse. 7aco%pa&ía desea %axi%iJar la producci$n de gasolinaEuro.

0E2343M: 7A: HA/3A;7E:>

9ij?< i? 8ipo de crudo? A, ;, CN- j?8ipo de gasolina?:, 4, EN- en unidades de barriles. co%o ayudatene%os de variable C, con respecto a cadaco%ponente de los crudos.



<4uestra funci$n objetivo es, teniendo en cuenta )uela e%presa desea %axi%iJar la producci$n de gasolinaEuro>

%ax? 9AEB9;EB9CE

</estricciones de cantidades>

".KC1B ".1C@B "."#C*L ". 9 A:B9;:B9C:D

".!#C1B ".*C@B ".@C*G ".@# 9 A:B9;:B9C:D

".*C1B ".!C@B ".@#C*L ".1 9 A:B9;:B9C:D

".KC1B ".1C@B "."#C*L ".# 9 A4B9;4B9C4D

".!#C1B ".*C@B ".@C*G ".* 9 A4B9;4B9C4D

".*C1B ".!C@B ".@#C*G ".1# 9 A4B9;4B9C4D

".KC1B ".1C@B "."#C*G ".! 9 AEB9;EB9CED

".!#C1B ".*C@B ".@C*L ".*# 9 AEB9;EB9CED".*C1B ".!C@B ".@#C*L ".@ 9 AEB9;EB9CED

</estricci$n de costos diarios> #" 9 A:B9 A4B9 AEDB#"" 9;:B9;4B9;EDB!#" 9C:B9C4B9CEDG #" %illones

</estricci$n de disponibilidad diaria de los crudos ;y C>

9;:B9;4B9;E G *""" barriles.

9C:B9C4B9CE G '""" barriles.



</estricci$n de de%andas de gasolina :Iper y4or%al>

9 A:B9;:B9C:D L @""" barriles9 A4B9;4B9C4D L @#"" barriles

</estricci$n de %íni%o de co%pras de crudo A>

9 A:B9 A4B9 AED L @#"" barriles.

</estricci$n de positividad>

9ijL" O i? 8ipo de crudo? A, ;, CN- j?8ipo degasolina? :, 4, EN.

*. Una co%pa&ía produce bibliotecas y escritorios paralos cuales a establecido un precio de venta por unidadde """ y 1"""" respectiva%ente. Para la

producci$n de dic=os artículos, la co%pa&ía cuentacon una disponibilidad %ensual de '"" %etros de%adera, K"" %etros de tubo y "" pliegos de papel delija. QRuS cantidad de bibliotecas y escritorios sedeben fabricar %ensual%ente, si se sabe )ue unabiblioteca consu%e ' %etros de %adera, 1" %etros detubo y pliegos de papel de lija- %ientras )ue el

escritorio consu%e 1" %etros de %adera, K %etros detubo y 1# pliegos de papel de lijaT

0eter%ina%os pri%ero )ue todo, nuestras variables)ue son>



91? 4I%ero de bibliotecas- 9@? 4I%ero de escritorios.

A=ora, la funci$n objetivo es>Zmax=9000X1+10000X2

/estricciones>

/estricci$n de cantidad de %adera a e%plear> '91B1"9@ G '"" %

/estricci$n de cantidad de tubo a e%plear> 1"91BK9@ G K"" %

/estricci$n de cantidad de papel de lija a e%plear> 91B1#9@ G "" pliegos

/estricci$n de positividad> 91, 9@ L "

!. Una co%pa&ía de petr$leo produce tres tipos degasolina :Iper, 4or%al y Euro. :e obtienen por la%eJcla de tres calidades de crudo )ue contienen tresco%ponentes A, ; y C. 7a participaci$n de esosco%ponentes en la fabricaci$n de cada crudo es>

C/U0 1 @ *

A K"+ 1"+ #+; !#+ *"+ @"+C *"+ !"+ @#+

7as especificaciones de los tres tipos de gasolina son>



",K"9A:B",!#9;:B",*"9C: L ","9A:B9;:B9C:D",1"9A: B",*"9;:B",!"9C: G ",@#9A:B9;:B9C:D","#9A:B",@"9;:B",@#9C: L ",1" 9A:B9;:B9C:D

",K"9A4B",!#9;4B",*"9C4 L ",#"9A4B9;4B9C4D",1"9A4 B",*"9;4B",!"9C4 G ",*"9A4B9;4B9C4D","#9A4B",@"9;4B",@#9C4 G ",1#9A4B9;4B9C4D",K"9AEB",!#9;EB",*"9CE G ",!"9AEB9;EB9CED",1"9AE B",*"9;EB",!"9CE L ",*#9AEB9;EB9CED","#9AEB",@"9;EB",@#9CE L ",@"9AEB9;EB9CED

</estricci$n de costos diarios>

#" 9 A:B9 A4B9 AEDB#"" 9;:B9;4B9;EDB!#" 9C:B9C4B9CEDG #" %illones

</estricci$n de disponibilidad diaria de los crudos ;

y C>9;:B9;4B9;E G *""" barriles.

9C:B9C4B9CE G '""" barriles.

</estricci$n de de%andas de gasolina :Iper y

4or%al> 9 A:B9;:B9C:D L @""" barriles

9 A4B9;4B9C4D L @#"" barriles



</estricci$n de %íni%o de co%pras de crudo A>

9 A:B9 A4B9 AED L @#"" barriles.

</estricci$n de positividad>

9ijL" O i? 8ipo de crudo? A, ;, CN- j?8ipo degasolina? :, 4, EN.

#. P/8/AC, produce dos líneas de %a)uinaria pesada.Una de sus líneas de productos, lla%ada e)uipa deexcavaci$n, se utiliJa de %anera pri%ordial enaplicaciones de construcci$n. 7a otra línea,deno%inada e)uipo para la silvicultura, esta destinad ala industria %aderera. 8anto la %a)uina %as grane dela línea de e)uipo de excavaci$n ED, co%o la %ayor

de toda la línea de silvicultura 2D son fabricadas enlos %is%os departa%ento y con el %is%o e)uipo.E%pleando las proyecciones econ$%icascorrespondientes al siguiente %es, el gerente de%ercadotecnia de P/8/AC =a considerado )uedurante ese periodo ser( posible vender todas las E y2 )ue la co%pa&ía sea capaJ de producir. 7a

gerencia tiene )ue reco%endar a=ora una %eta deproducci$n pare le %es pr$xi%o. Es decir, QCu(ntasE y 2 deber(n fabricar si la direcci$n deP/8/AC desea %axi%iJar la contribuci$n del %esentrante a las gananciasT



:e to%a en cuenta los siguientes factores i%portantes>

• El %argen de contribuci$n unitaria de P/8/ACes de #""" pro cada E vendida y de !""" por cada 2.

• Cada producto pasa por las operaciones de%a)uinado, tanto en el departa%ento A co%o el ;.

• Para la producci$n correspondiente al %es

pr$xi%o, estos dos departa%entos tienen tie%posdisponibles de 1#" y 1" =oras, respectiva%ente. 7afabricaci$n de cada E re)uiere 1" =oras de%a)uinado en el departa%ento A y @" =oras en eldeparta%ento ;, %ientras )ue la de cada 2 re)uiere1# =oras en el departa%ento A y 1" en el ;.

• Para )ue la ad%inistraci$n cu%pla un acuerdo

concertado con el sindicato, las =oras totales detrabajo invertidas en la prueba de productoster%inados del siguiente %es no deben ser %as all( de1"+ inferior a una %eta convenida de 1#" =oras.Estas pruebas es llevan a cavo en un tercer departa%ento y no tiene nada )ue ver con lasactividades de los departa%entos A y ;. Cada E esso%etida a pruebas durante *" =oras y cada 2durante 1". 0ado )ue el 1"+ de 1#" es 1#, las =orasdestinas a las pruebas no pueden ser %enores )ue1*#.

• Con el fin de %antener su posici$n actual en el%ercado, la lata gerencia =a decretado co%o política



operativa )ue .deber( construirse cuando %enos una2 por cada tres E )ue sean fabricadas.

• Uno de los principales distribuidores =a ordenado

un total de cuando %enos cinco E y 2 para elpr$xi%o %es, por lo cual tendr( )ue producirse por lo%enos esa cantidad.Entonces to%a%os co%o nuestras variables>

9? V %()uinas E? V %()uinas 2.

4uestra funci$n objetivo ser(>Zmax= 5000X + 4000Y.

/estricciones>

1"9 B 1# G 1#". @"9 B 1" G 1". *"9 B 1" L 1*#.

95 G *. 9 B L #. 9, L ".

6. Problema de DietaEl proble%a de la dieta fue uno de los pri%eros sobre opti%iJaci$n. :e trataba=allar la %anera %(s econ$%ica de ali%entar al ejercito pero asegurando al%is%o tie%po unos deter%inados niveles nutricionales.

Este tipo de proble%a se puede plantear en distintas for%as tales co%o %ini%iJar

los gastos de la co%pra, dieta para el ganado, una dieta adelgaJante )ue cu%plaunos deter%inados niveles de calorías, proteínas, =idratos de carbono, etc.

Eem!lo

Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la máseconómica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes quellamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos



y N. !a cantidad, en gramos, de cada componente por "ilo de estos piensos#iene dada en la tabla siguiente$

A B C D

" 1"" # 1"" @""$ # 1"" @"" 1""

!a dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos %.&'g delcomponente A, %.('g del componente B, )'g del componente C, y *.+'g delcomponente D. El compuesto cuesta %.)-'g y el compuesto N %.%-'g. /0u1cantidades de piensos y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea elmenor posible2

%ol&'i()

:e deter%inan las variables de decisi$n y se representan algebraica%ente. En

este caso>

• 91> cantidad de pienso M en Wg

• 9@> cantidad de pienso 4 en Wg

:e deter%ina la funci$n objetivo>

•Mini%iJar ? ".@91 B "."K9@

:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de la co%posici$nre)uerida para la dieta diaria en WgD>

• En el co%ponente A> ".191 B "9@ L ".!

• En el co%ponente ;> "91 B ".19@ L ".

• En el co%ponente C> ".191 B ".@9@ L @



• En el co%ponente 0> ".@91 B ".19@ L 1.'

:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por lanaturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue

solo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso, la Inica restricci$n es)ue las cantidades de pienso )ue for%an la dieta no pueden ser negativas>

• 91 L "

• 9@ L "

*. ra),!orte de tro!a,3n destacamento militar 4ormado por 5% soldados ingenieros, 6( 7apadores, )) delas 4uer7as especiales, y *)% soldados de in4anter8a como tropa de apoyo, ha detransportarse hasta una posición estrat1gica importante. En el parque de la basese dispone de & tipos de #eh8culos A, B, C, y D, acondicionados para transportede tropas. El n9mero de personas que cada #eh8culo puede transportar es *%, +,(, y :, de la 4orma en que se detalla en la siguiente tabla$

-)e)iero, Za!atero, /&era,e,!e'iale,

-)a)tera

A * @ 1 !B 1 1 @ *C @ 1 @ 1

D * @ * 1El combustible necesario para que cada #eh8culo llegue hasta el punto de destinose estima en *(%, %, &%, y *)% litros respecti#amente. ;i queremos ahorrarcombustible, /cuántos #eh8culos de cada tipo habrá que utili7ar para que elconsumo sea el m8nimo posible2

:e deter%inan las variables de decisi$n y se representan algebraica%ente. Eneste caso>

• 9i> nI%ero de ve=ículos de cada tipo )ue se usen

• 91> nI%ero de ve=ículos de tipo A

• 9@> nI%ero de ve=ículos de tipo ;• 9*> nI%ero de ve=ículos de tipo C

• 9!> nI%ero de ve=ículos de tipo 0

:e deter%ina la funci$n objetivo>• Mini%iJar ? 1"91 B K"9@ B !"9* B 1@"9!



:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de los soldados )uedeben ser transportados>

• 3ngenieros> *91 B 9@ B @9* B *9! L #"

• apadores> @91 B 9@ B 9* B @9! L *

• 2uerJas especiales> 91 B @9@ B @9* B *9! L @@• 3nfantería> !91 B *9@ B 9* B 9! L 1@"

:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJade las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedanto%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son )ue la cantidadde ve=ículos no puede ser negativa y debe ser ade%(s un nI%ero entero>

• 9i L "

• 9i son enteros

3. ra),!orte de mer'a)'a,Para este tipo de proble%as, aun)ue pueden ser resueltos por el %Stodo del:i%plex, existe un %Stodo específico de %(s f(cil resoluci$n> el %Stodo deltransporte o %Stodo si%plificado del :i%plex para proble%as de transporte. Este%Stodo a=orra bastante tie%po y c(lculos frente al %Stodo del :i%plex tradicional.:in e%bargo el proble%a se %odela de la %is%a for%a.Eem!lo3n 4abricante desea despachar #arias unidades de un art8culo a tres tiendas <*,<), y <6. Dispone de dos almacenes desde donde reali7ar el en#8o, A y B. En el

primero dispone de 5 unidades de este art8culo y en el segundo *%. !a demandade cada tienda es de , 5, y ) unidades respecti#amente. !os gastos de transportede un art8culo desde cada almac1n a cada tienda están e=presados en la tabla$

1 2 A 1 @ !B * @ 1

/Cómo ha de reali7ar el transporte para que sea lo más económico posible2%ol&'i():e deter%inan las variables de decisi$n, en este caso>

• 9i> nI%ero de unidades transportadas desde cada al%acSn a cada tienda

• 91> nI%ero de unidades transportadas desde el al%acSn A =asta la tienda81

• 9@> nI%ero de unidades transportadas desde el al%acSn A =asta la tienda

8@• 9*> nI%ero de unidades transportadas desde el al%acSn A =asta la tienda

8*

• 9!> nI%ero de unidades transportadas desde el al%acSn ; =asta la tienda81

• 9#> nI%ero de unidades transportadas desde el al%acSn ; =asta la tienda8@



• 9> nI%ero de unidades transportadas desde el al%acSn ; =asta la tienda8*

:e deter%ina la funci$n objetivo>• Mini%iJar ? 91 B @9@ B !9* B *9! B @9# B 9

:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de la disponibilidadde unidades )ue =ay en cada al%acSn así co%o de la de%anda de cada tienda>

• 0isponibilidad en el al%acSn A> 91 B 9@ B 9* ? #

• 0isponibilidad en el al%acSn ;> 9! B 9# B 9 ? 1"

• 0e%anda de la tienda 81> 91 B 9! ? K

• 0e%anda de la tienda 8@> 9@ B 9# ? #

• 0e%anda de la tienda 8*> 9* B 9 ? @

:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por lanaturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue

solo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son)ue la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser ade%(s un nI%eroentero>

• 9i L "

• 9i son enteros

9. rbole, r&tale,3n agricultor tiene una parcela de (&%m> para dedicarla al culti#o de árboles4rutales$ naranjos, perales, man7anos y limoneros. ;e pregunta de qu1 4ormadeber8a repartir la super4icie de la parcela entre las #ariedades para conseguir elmá=imo bene4icio sabiendo que$

• cada naranjo necesita un m8nimo de *(m>, cada peral &m>, cada man7anom> y cada limonero *)m>.

• dispone de :%% horas de trabajo al a?o, necesitando cada naranjo 6% horas

al a?o, cada peral 5 horas, cada man7ano *% horas, y cada limonero )% horas.

• a causa de la sequ8a, el agricultor tiene restricciones para el riego$ le han

asignado )%%m@ de agua anuales. !as necesidades anuales son de )m@ por cadanaranjo, *m@ por cada peral, *m@ por cada man7ano, y )m@ por cada limonero.

• los bene4icios unitarios son de 5%, )5, )%, y 6% por cada naranjo, peral,

man7ano y limonero respecti#amente.

:e deter%inan las variables de decisi$n y se representan algebraica%ente. Eneste caso>

• 91> nI%ero de naranjos

• 9@> nI%ero de perales

• 9*> nI%ero de %anJanos

• 9!> nI%ero de li%oneros

:e deter%ina la funci$n objetivo>



• Maxi%iJar ? #"91 B @#9@ B @"9* B *"9!

:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de las necesidadesde cada (rbol de terreno, =oras de trabajo anuales, y necesidades de riego>

• 4ecesidades de terreno> 191 B !9@ B K9* B 1@9! G !"

• 4ecesidades de =oras anuales> *"91 B #9@ B 1"9* B @"9! G ""• 4ecesidades de riego> @91 B 9@ B 9* B @9! G @""

:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por lanaturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )uesolo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son)ue el nI%ero de (rboles no puede ser negativo y ade%(s debe ser un nI%eroentero>

• 9i L "

• 9i son enteros

10. A,i)a'i() de !er,o)al3na empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar & puestos de trabajoen dicha empresa. !os puestos de trabajo consisten en manejar & máquinasdi4erentes un trabajador para cada máquina. !a empresa puso a prueba a los 5trabajadores en las & máquinas, reali7ando el mismo trabajo todos ellos en cadauna de las máquinas, obteniendo los siguientes tiempos$

Ma)uina 1 Ma)uina @ Ma)uina * Ma)uina !Candidato 1 1" #Candidato @ K ' Candidato * K # Candidato ! ' '

Candidato # K ' #Determinar qu1 candidatos debe seleccionar la empresa y a qu1 máquinas debeasignarlos.:e deter%inan las variables de decisi$n, en este caso>

• 9ij> acci$n de )ue el trabajador i es asignado a la %()uina j " indica )ue eltrabajador no =a sido asignado y 1 )ue sí =a sido asignadoD

:e deter%ina la funci$n objetivo>• Mini%iJar ? 1"911 B K9@1 B K9*1 B 9!1 B K9#1 B 91@ B '9@@ B

9*@ B '9!@ B '9#@ B 91* B 9@* B #9** B '9!* B 9#* B #91! B9@! B 9*! B 9!! B #9#!

:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones son )ue cada trabajador debeser asignado a una sola %()uina y no debe )uedar ninguna %()uina sin untrabajador asignado a ella>

• Cada trabajador debe estar asignado a una sola %()uina o a ninguna si nose selecciona>

XYZif Ysupport7ists[<• XYZendif[<911 B 91@ B 91* B 91! G 1XYZif Ysupport7ists[<• XYZendif[<9@1 B 9@@ B 9@* B 9@! G 1



XYZif Ysupport7ists[<•

XYZendif[<9*1 B 9*@ B 9** B 9*! G 1XYZif Ysupport7ists[<•

XYZendif[<9!1 B 9!@ B 9!* B 9!! G 1XYZif Ysupport7ists[<• XYZendif[<9#1 B 9#@ B 9#* B 9#! G 1• En cada %()uina debe =aber un trabajador>

• 911 B 9@1 B 9*1 B 9!1 B 9#1 ? 1

• 91@ B 9@@ B 9*@ B 9!@ B 9#@ ? 1• 91* B 9@* B 9** B 9!* B 9#* ? 1

XYZif Ysupport7ists[<•

XYZendif[<91! B 9@! B 9*! B 9!! B 9#! ? 1:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJade las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedanto%ar deter%inados valores. En este caso las restricciones son )ue lasasignaciones de trabajadores a %()uinas no puede ser negativa y debe serade%(s una variable booleana " no se asigna, 1 se asignaD>

• 9ij L "

• 9ij es booleano

11. Cami)o m)imo7os proble%as conocidos co%o proble%as del ca%ino %íni%o o ca%ino %(scorto, tratan co%o su no%bre indica de =allar la ruta %íni%a o %(s corta entre dospuntos. Este %íni%o puede ser la distancia entre los puntos origen y destino obien el tie%po transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. :e aplica%uc=o para proble%as de redes de co%unicaciones.Este tipo de proble%as pueden ser resueltos por el %Stodo del :i%plex, sine%bargo existen otros %Stodos %(s eficientes co%o por eje%plo el algorit%o de0ij\stra o el de ;ell%an2ord.Eem!lo

3na persona tiene que despla7arse a diario de un pueblo * a otro +. Estáestudiando cual es el trayecto más corto usando un mapa de carreteras. !ascarreteras y sus distancias están representadas en la 4igura siguiente$

%ol&'i():e deter%inan las variables de decisi$n, en este caso>



• 9ij> acci$n de desplaJarse del pueblo i al j " indica )ue no =aydesplaJa%iento y 1 )ue sí =ay desplaJa%ientoD

:e deter%ina la funci$n objetivo>• Mini%iJar ? 1@91@ B !91* B #9@! B *9@# B @9*! B 1"9* B #9!@ B

@9!* B 1"9!# B *9#@ B 1"9#! B @9#'B 1"9* B !9'

:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen del balance entre losposibles ca%inos )ue parten desde cada pueblo y los )ue llegan =asta Slobviando los ca%inos )ue nos devuelvan al punto de partida y los )ue provengandel punto de destinoD>

• ;alance de ca%inos del pueblo 1> 91@ B 91* ? 1

• ;alance de ca%inos del pueblo @> 9@! B 9@# 91@ 9!@ 9#@ ? "

• ;alance de ca%inos del pueblo *> 9*! B 9* 91* 9!* 9* ? "

• ;alance de ca%inos del pueblo !> 9!@ B 9!* B 9!# 9@! 9*! 9#! ? "

• ;alance de ca%inos del pueblo #> 9#@ B 9#! B 9#' 9@# 9!# ? "

• ;alance de ca%inos del pueblo > 9* B 9' 9* ? "• ;alance de ca%inos del pueblo '> 9#' 9' ? 1

:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJade las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedanto%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son )ue lasvariables deben ser booleanas " no se to%a el ca%ino, 1 se to%aD, y por lo tantono pueden ser negativas>

• 9ij L "

• 9ij es booleano

12. o'alia'i()3na empresa tiene la e=clusi#a para la distribución de un producto en & poblaciones. En un estudio de mercado se ha determinado la demanda potencial,seg9n se muestra en la siguiente tabla$

Pobla'i() 1 Pobla'i() 2 Pobla'i() Pobla'i() 4*""" Unidades @""" unidades @#"" unidades @'"" unidades

;e sabe que los costes de transporte son de %.%) por 'm y unidad transportada.!a distancia en 'm e=istente entre los pueblos es la que 4igura en la tablasiguiente$

Pobla'i() 1 Pobla'i() 2 Pobla'i() Pobla'i() 4Pobla'i() 1 @# *# !"

Pobla'i() 2 @# @" !"Pobla'i() *# @" *"Pobla'i() 4 !" !" *"

ara abaratar los costes de transporte se decide instalar un almac1n concapacidad para (%%% unidades en dos de estas cuatro poblaciones. Determinar enqu1 poblaciones se deben instalar los almacenes.%ol&'i()

:e deter%inan las variables de decisi$n, en este caso>



• 9ij> cantidad enviada del al%acSn i a la poblaci$n j

• i> al%acSn situado en la poblaci$n i " indica )ue no =ay ningIn al%acSn y1 )ue sí lo =ayD

:e deter%ina la funci$n objetivo>• Mini%iJar ? ".#91@ B ".'91* B ".K91! B ".#9@1 B ".!9@* B ".K9@! B

".'9*1 B ".!9*@ B ".9*! B ".K9!1 B ".K9!@ B ".9!*:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de la siguiente%anera>

• 7as unidades )ue se envían a cada poblaci$n desde los al%acenes debencu%plir con la de%anda de dic=a poblaci$n>

• 911 B 9@1 B 9*1 B 9!1 L *"""

• 91@ B 9@@ B 9*@ B 9!@ L @"""

• 91* B 9@* B 9** B 9!* L @#""

• 91! B 9@! B 9*! B 9!! L @'""

• :olo se crear(n dos al%acenes>

XYZif Ysupport7ists[<o

XYZendif[<1 B @ B * B ! ? @• 7a cantidad de unidades )ue puede enviar cada al%acSn debe ser %enor o

igual )ue la capacidad de Sste>

• 911 B 91@ B 91* B 91! G """1

• 9@1 B 9@@ B 9@* B 9@! G """@

• 9*1 B 9*@ B 9** B 9*! G """*

• 9!1 B 9!@ B 9!* B 9!! G """!

:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJa

de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedanto%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son )ue lasunidades enviadas desde cada al%acSn no pueden ser negativas y ade%(s lavariable )ue deter%ina si se crear( o no un al%acSn debe ser booleana " no secrea, 1 se creaD>

• 9ij L "

• i es booleano

1. -)7er,i() e) bol,a3na in#ersora dispone de 5%.%%% para in#ertir entre las cuatro siguientes

posibilidades$ bolsa , bolsa , bonos , y bonos , por el periodo de un a?o. 3n

má=imo de *%.5%% puede ser in#ertido en bonos , y un má=imo de *%.%%% enbonos . !a in#ersión en la bolsa conlle#a un riesgo considerable por lo que sedetermina no in#ertir más de un cuarto de la in#ersión total. !a cantidad in#ertidaen la bolsa debe ser al menos tres #eces la cantidad in#ertida en la bolsa .

Además, la in#ersora requiere que la in#ersión en bonos sea al menos tan grandecomo la mitad de la in#ersión en las bolsas. !os retornos netos anuales seestiman seg9n se muestra en la siguiente tabla$

Bol,a X Bol,a Y Bol,a X Bol,a Y



@" + 1" + + 11 +

/Cuál es la 4orma óptima de reali7ar la in#ersión para conseguir las má=imasganancias2%ol&'i()

:e deter%inan las variables de decisi$n, en este caso>• 91> inversi$n en bolsa 9

• 9@> inversi$n en bolsa

• 9*> inversi$n en bonos 9

• 9!> inversi$n en bonos

:e deter%ina la funci$n objetivo>• Maxi%iJar ? ".@91 B ".19@ B "."9* B ".119!

:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuacionesde las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de las decisionesto%adas por la inversora sobre la for%a de invertir y de la inversi$n %(xi%a )ue

se puede realiJar>• 91 B 9@ B 9* B 9! G #""""

• 91 G 1@#""

• 9* G 1"#""

• 9! G 1""""

• *91 9@ G "

• ".#91 B ".#9@ 9* 9! G "

:e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJade las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedanto%ar deter%inados valores, ... En este caso la Inica restricci$n es )ue lasinversiones no pueden ser negativas>

• 9i L "

14. Elabora'i() de &mo,Una e%presa de ali%entaci$n produce Ju%os de pera, naranja, li%$n,to%ate, %anJana, ade%(s de otros dos tipos deno%inados ] y 6 )ueson co%binados de alguno de los anteriores. 7a disponibilidad de frutapara el periodo pr$xi%o, así co%o los costes de producci$n y losprecios de venta para los Ju%os, vienen dados en la tabla>

2/U8A 03:P43;3730A0 M^93MA W6D C:8EP8A:5W6D P/EC3HE48AP8A:57D

4A/A4FA 4D *@""" ! 1@PE/A PD @#""" K' 1@#73M_4 7D @1""" '* 11"



8MA8E 8D 1K""" !' KKMA4A4A MD @'""" K '

7as especificaciones y precios de venta de los co%binados vienendados en la tabla>

CM;34A0

E:PEC323CAC3_4 P/EC3HE48AP8A:57D

] 4o %(s del #" + de M 14o %(s del @" + de P4o %enos del 1" + de 7

6 !" + de 4 1@"*# + de 7@# + de P

7a de%anda de los distintos Ju%os es grande, por lo )ue se esperavender toda la producci$n. Por cada \g de fruta, se produce un litro delcorrespondiente Ju%o. 0eter%inar los niveles de producci$n de lossiete Ju%os, de %anera )ue se tengan beneficio %(xi%o en el periodoentrante.

:7UC34>

• HA/3A;7E:

9ij donde 9> cantidad de litros

3> ]?1, 6?@D

F> naranja? 1, pera? @, li%$n?*, to%ate?!, %anJana ? #D

• 2U4C34 ;FE83H

%axD? 1""91 B 1@"9@ B 1@911B9@1D B 1@#91@B9@@D B11"91*B9@*D B KK91!B9@!D B '91#B9@#D ` !911B9@1D `K'91@B9@@D ` '*91*B9@*D ` !'91!B9@!D ` K91#B9@#D



%axD? 1""91 B 1@"9@ B *#911B9@1D B *K91@B9@@D B*'91*B9@*D B !191!B9@!D B @91#B9@#D

• /E:8/3CC34E:

Concentraci$n91# G ",#" 91

91@ G ",@" 91

91* L ",1" 91

91@ B 91* B 91# B 911 B 91! ? 91

9@1 ? ",!" 9@

9@* ? ",*# 9@9@@ ?",@# 9@

9@1 B 9@* B 9@@ B 9@! B 9@# ? 9@

0isponibilidad

911 B 9@1 G *@"""

91@ B 9@@ G @#"""

91* B 9@* G @1"""

91! B 9@! G 1K"""

91# B 9@# G @'"""

Positividad

9ij L " para todo i? 1,@ y j? 1,@,*,!,#

Ejercicios propuestos

/orm&lar 8 'o),tr&ir lo, modelo, de lo, ,i&ie)te,!roblema, de !rorama'i() li)eal



1:.# Un agente esta arreglando un viaje en es)uís,puede llevar un %(xi%o de 1" personas y =a decidido)ue deber(n ir por lo %enos ! =o%bres y * %ujeres.

:u ganancia ser( de 1" pesos por cada %ujer y 1#pesos por cada =o%bre. Q Cuantos =o%bres y cuantas%ujeres le producen la ma8or a)a)'iaT

2:.# Un sastre tiene las siguientes %aterias pri%as a sudisposici$n> 1 %@ de algod$n, 11 %@ de seda y 1#%@de lana. Un traje re)uiere> @ %@ de algod$n, 1%@ deseda y 1 %@ de lana. Una tInica re)uiere> 1%@ dealgod$n, @%@ de seda y *%@ de lana. :i el traje sevende en *"" y una tInica en #"". QCu(ntas pieJasde cada confecci$n debe =acer el sastre para obtenerla m;xima 'a)tidad de di)eroT.

:.# Mueblería MA/ elabora dos productos, %esas ysillas )ue se deben procesar a travSs de losdeparta%entos de ensa%ble y acabado. Ensa%bletiene " =rs. disponibles, acabado puede %anejar=asta !" =rs. de trabajo. 7a fabricaci$n de una %esare)uiere de ! =rs. de ensa%ble y @ =rs. de acabado,%ientras )ue una silla re)uiere de @ =rs. de ensa%bley @ =rs. de acabado. :i la utilidad es de K" por %esay " por silla. QCu(l es la %ejor co%binaci$n posiblede %esas y sillas a producir y vender para obtenerla m;xima a)a)'iaT

4:.# Una fir%a corredora de bolsa ofrece dos tipos deinversiones )ue producen ingresos a raJ$n de !+ y#+ respectiva%ente. Un cliente desea invertir un%(xi%o de 1"""" y )ue su ingreso anual sea por lo%enos de !#"". insiste en )ue por lo %enos del



total debe ser invertido al #+. El corredor recibe el 1+de los ingresos de la inversi$n al #+ y @+ de lainversi$n del !+. QCu(nto invertir( el corredor a cada

tasa para )ue sus <o)orario, ,ea) m;ximo,T.5:.# Una co%pa&ía de carga aSrea desea maximiarlo, i)re,o, )ue obtiene por la carga )ue transportala co%pa&ía tiene un solo avi$n dise&ado paratransportar dos clases de carga. Carga nor%al y cargafr(gil. 7a co%pa&ía no recibe pago extra portransportar carga fr(gil- sin e%bargo para asegurarciertos contratos de negocios, la co%pa&ía =aacordado transportar cuando %enos # toneladas decarga fr(gil. Este tipo de carga debe llevarse en unacabina presuriJada. 7a capacidad de la cabinaprincipal es de @" toneladas de carga. 7a cabinapresuriJada no puede llevar %as de 1" toneladas decarga. El avi$n tiene restricci$n de peso )ue le i%pidellevar %as de @" toneladas de carga, para %antener

en e)uilibrio el peso, la carga de la cabina presuriJadadebe ser %enor o igual )ue dos tercios del peso de lacabina principal, %as una tonelada, la co%pa&ía recibe1""" por tonelada de los dos tipos de carga )uetransporta.

6:.# Un inversionista tiene 1"""" )ue )uisieraprodujeran ta)to di)ero 'omo ,ea !o,ible- )uiere

invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar elresto en una cuenta de a=orro. El inversionista creepoder a)ar K+ con el dinero )ue invierta en accionesy el '+ )ue invierte en bonos. El banco paga el #+ deinterSs sobre las cuentas de a=orros. Co%o las



acciones son una inversi$n con cierto riesgo, decideno invertir en acciones %as de lo )ue ponga en lacuenta de a=orro. El inversionista se )uedara con al

%enos @""" en la cuenta de a=orros por si necesitadinero en efectivo de in%ediato.QCu(nto dinero deber(invertir en cada tipoT

*:.# Una %ujer )uiere dise&ar un progra%a deejercicios se%anales, incluyendo ca%inata, bicicleta ynataci$n. Para variar los ejercicios planea invertir al%enos tanto tie%po en bicicleta co%o la co%binaci$nde ca%inata y nataci$n. Ade%(s, )uiere nadar al%enos dos =rs a la se%ana, por )ue le gusta %asnadar )ue los otros ejercicios. 7a ca%inata consu%e"" calorías por =ora, en la bicicleta usa *"" caloríaspor =ora nadando gasta *"" calorías por =ora. Ruiere)ue%ar al %enos *""" calorías a la se%ana por %ediode los ejercicios. QCu(ntas =oras debe dedicar a cadatipo de ejercicio si )uiere mi)imiar el )&mero de

<ora, i)7ertida,.T3:.# Cierta co%pa&ía tiene una filial )ue le provee delas latas )ue necesita para co%ercialiJar su producto,en dic=a filial )ue produce latas de alu%inio contienelas tapaderas a partir de =ojas %et(licasrectangulares. 7as di%ensiones de estas =ojas son dec%s x 1#c%s :e re)uieren dos ta%a&os diferentes de

tapas, el di(%etro de las pe)ue&as es de *c%s y el delas grandes de c%s. El progra%a de producci$n enun día deter%inado es de @"""" tapas c=icas y #"""tapas grandes. QCu(l es el progra%a )ue mi)imi'e elnu%ero total de =ojas %et(licas usadas de tal %anera



de obtener la %ejor co%binaci$n de tapas de losdiferente ta%a&os )ue pueden ser cortadasT

9:.# 6eneral Motors )ue vende el carro %as co%pacto

desea =acer publicidad para este %odelo a travSs decanal 1* de televisi$n, la publicidad consistir( enpe)ue&os co%erciales de duraci$n variable )ue seintercalaran en un progra%a se%anal de " %in. En elcual se presentaran los %ejores cantantes delcontinente y un c$%ico de la localidad. 6eneral Motorsinsiste en tener al %enos # %in. 0e co%erciales y elregla%ento de la televisora re)uiere cuando %uc=o losco%erciales consu%an 1K %in en progra%as de "%in., y )ue nunca sea %ayor el tie%po de losco%erciales de actuaci$n de los cantantes, loscantantes no )uieren trabajar %as de *" %in. 0e los" )ue dura el progra%a, de %anera )ue el c$%ico seutiliJa para cual)uier lapso de tie%po en el cual no=abr( co%erciales o cuando no estSn trabajando los

cantantes. Por experiencia de la e%presa televisora,se sabe )ue por cada %in. Rue los cantantes estSn enel aire """ televidentes %as estar(n viendo elprogra%a, por cada %inuto )ue el co%ico estetrabajando *""" televidentes estar(n viendo elprogra%a, en ca%bio por cada %in de co%erciales sepierden #"" televidentes.

El c$%ico cobra @"" por %inuto, los cantantes cobran1""" por %in y los co%erciales #" por %in. :i en6eneral Motors desea>

1D. "aximiar el nu%ero de televidentes al finaliJar elprogra%a de " %in.



@D. producir el progra%a un m)imo 'o,to. QCu(l esel %edelo a utiliJar para cada situaci$nT

10:.# 7a co%pa&ía ]7:A de MSxico

)uiere mi)imiar los desperdicios de la%ina, para locual encarga a su departa%ento de producci$n )ueopti%ice el costo de las la%inas de acuerdo a losre)uisitos de los consu%idores. En particular se =ar(con el consu%idor %as i%portante al cual se le surtentres ta%a&os de la%inas a saber> tipo 1>*" c%s x "c%s y espesor de K %%- tipo @>*"c%sx '" c%s yespesor de K %% tipo *>*"c%s x #" c%s y espesor deK %%. 7as cantidades necesarias son 1"""", 1#""" y#""" por %es respectiva%ente. :i las la%inas )ueproduce la co%pa&ía son de di%ensiones de *" c%s x1K" c%s con espesor de K %%. QCu(l es el %odelopara opti%iJar los desperdiciosT.

11:.# Una co%pa&ía de Japatos puede producir trestipos de Japatos a su %(xi%a capacidad> Japatos devestir, de trabajo y de deporte, la utilidad neta es de1""". K"" y !"" respectiva%ente. El %ercado deJapatos =a bajado co%o consecuencia de lasdificultades econ$%icas existentes en el pais de tal%anera )ue =ay una capacidad excesiva de ##",#" y*"" unidades por dia.

En las plantas existen dificultades de al%acena%ientocausado por el decre%ento de las ventas. 7as tresplantas tienen> 1"""", K#"" y !""" %etros cuadradosde espacio disponibles respectiva%ente. 7os Japatosde vestir re)uieren de .#" %etros cuadrados paraal%acSn , de .'# %etros cuadrados para los de trabajo



y .!" %etros cuadrados para los de deporte. 7aco%pa&ía =a pronosticado )ue las ventas ser(n de'"", K#" y '#" unidades respectiva%ente para los

Japatos de vestir, trabajo y deporte. Qcu(l es el %odelo)ue maximia la utilidad netaT.

12:.# E n un sal$n de ;an)uetes se tienenprogra%ados ban)uetes durante los siguientes

cinco días, los re)uisitos de %anteles por ban)ueteson >

;an)uete > 1 @ * ! #

4u%ero de %anteles > K" " 1"" 1*" @""El proble%a del ad%inistrador es )ue se re)uieren%anteles diferentes a los )ue el usa, por lo )ue tendr()ue co%prar ese tipo de %anteles- el costo de cada%antel es de !" y el costo de %andarlo a lalavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a losdos días es de 1" por %antel.

Qcu(l es el %odelo )ue le per%itir( al ad%inistradorcu%plir con sus re)uisitos y ade%(s mi)imiar elcosto totalT

1:.#Un inversionista dispone de #""" los cualesdesea invertir, se le presentan dos opciones- A y B. Elplan A le garantiJa )ue cada peso invertido producir( ".#" en un a&o, %ientras )ue el plan B le garantiJa)ue cada peso invertido le producir( 1.#" en dosa&os. Qc$%o debe invertir dic=a persona con el finde maximiar sus ganancias al final de tres a&osT

14:.# Una co%pa&ía fabrica tres productos> volantes, juntas y ejes, el gerente enfrenta el proble%a de



decidir cual debe ser el %ejor progra%a de producci$npara el siguiente %es. :e =a deter%inado )ue =aydisponibles cuando %as 1@" =oras de tie%po de

producci$n para el %es siguiente . no =ay li%ite para elabasteci%iento de %etal para estos tres productos,cada =ora de tie%po de producci$n cuesta '."" ycada unidad de %etal cuesta @.@". todas las ventasson efectivo y todos los costos deben pagarse enefectivo durante el siguiente %es los costos fijos parael siguiente %es son de @,@"" y se re)uiere un flujode efectivo de K"" debido a co%pro%isos previos. El

saldo de efectivo a principios de %es es de @K,!@#.ABA DE DA% >C$-C%.

P/0UC8

]/A: 0E83EMP 0EP/0UCC3_4P/ U430A02A;/3CA0A

U430A0E: 0EME8A74ECE:A/3A:P/ U430A02A;/3CA0A

P/EC3U438A/3 A7C73E48E E4 D

0EMA40AP/4:83CA07: C73E48E:U430A0E:D.

?A$E% 4.5 .25 @50.65 00

$A% 1.3 4.*0 @3.94 550EE% .6 5.00 @50.20 20

7a producci$n puede realiJarse con velocidadsuficiente para per%itir su distribuci$n dentro del%is%o %es. Q cu(l debe ser el progra%a deproducci$n para el pr$xi%o %es, a fin de %axi%iJar lasutilidadesT.

Ejercicios resueltos IO UAP

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