Ejercicios resueltos-ecuaciones-diferenciales

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  • Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

    Hugo Lombardo Flores

    13 Abril 2011

    1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

    1.1 Ecuaciones lineales y reducibles a estas.

    1.

    dy

    dx+ 2y = 0

    Definimos el factor integrante.

    p(x) = 2factor integrante: e

    2dx= e2x

    multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.

    e2x dydx + 2e2x = 0

    el lado izquierdo de la ecuacion se reduce a:ddx [e

    2xy] = 0separamos variables e integramos.

    ddx [e

    2xy] = 0dx+ c

    e2xy = c

    y = ce2x

    2.dy

    dx= 3y

    forma lineal.

    dydx 3y = 0

    p(x) = 3

    Factor integrante: e3dx=e3x

    multiplicamos por factor integrante.

    1

  • e3x dydx 3e3xy = 0

    dydx [e

    3xy = 0dx+ c

    e3xy = c

    y = ce3x

    3.

    3dy

    dx+ 12y = 4

    pasamos la ecuacion a la forma lineal.

    dydx + 4y =

    43

    p(x) = 4

    Factor integrante: e4dx=e4x

    e4x dydx + 4e4xy = 43e

    4x

    ddx [e

    4xy] =e4xdx+ c

    e4xy = 14e4x + c

    y = 14 + ce4x

    4.y = 2y + x2 + 5

    forma lineal

    y 2y = x2 + 5

    Factor integrante: e2dx = e2x

    e2xy 2e2xy = e2xx2 + 5e2x

    ddx [e

    2xy] =e2xx2 + 5

    e2x + c

    e2xy = 52e2x 14e

    2x(2x2 + 2x+ 1) + C

    y = x2

    2 x2

    14 +

    52 + ce

    2x

    5.ydx 4(x+ y6)dy = 0

    ydx = 4(x+ y6)dy

    dxdy =

    4(x+y6)y ;

    dxdy =

    4xy +

    4y6

    y

    2

  • denimos la forma lineal.

    dxdy

    4xy = 4y

    5

    Factor integrante: e4

    1y dy; e4 log(y); elog(y)

    4; y4 = 1y4

    1y4

    dxdy

    1y4

    4xy =

    1y4 4y

    5

    ddy [

    1y4x] = 4y

    ddy [

    1y4x] = 4

    ydy

    1y4x = 2y

    2 + C

    x = 2y6 + cy4

    6.xy+ y = ex

    y+ 1xy =ex

    x

    Factor integrante:

    e

    1xdx = elog x = x

    xy+ xxy =xex

    x

    ddx [xy] = e

    x

    Integramos:

    ddx [xy] =

    exdx+ c

    xy = ex + c

    y = exx1 + cx1

    7.

    xdy

    dx+ y =

    2

    y2

    dydx +

    yx =

    2xy2 ...(1)

    hacemos la sustitucion: u = y1ndonde n = 2

    u = y1(2) = y3;u1/3 = y

    Derivamos esta ultima.

    13u2/3 du

    dx =dydx

    3

  • Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.

    13u2/3 du

    dx +u1/3

    x =2(u1/3)2

    x

    Acomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por 13u2/3.

    dudx + 3

    ux =

    6x

    Esta es una ecuacion lineal. Denimos el factor integrante.

    e3

    1xdx = e3 log x = elog x

    3

    = x3

    Multiplicamos por factor integrante.

    x3 dudx + 3x3 ux = x

    3 6x

    ddx [x

    3u] = 6x2

    integramos.

    ddx [x

    3u] = 6x2 + c

    x3u = 2x3 + c

    u = 2 + cx3

    Sustituimos u = y3

    y3 = 2 + cx3

    8. y1/2 dydx + y3/2 = 1; condicion y(0) = 4

    dydx +

    y3/2

    y1/2= 1

    y1/2 dydx + y = y

    1/2

    u = y1n; n = 1/2; u = y1(1/2) = y3/2

    u2/3 = y

    23u1/3 du

    dx =dydx

    Sustituimos.

    23u1/3 du

    dx + u2/3 = (u2/3)1/2

    Multiplicamos la ecuacion por 23u1/3

    dudx +

    32u =

    32

    La ecuacion se redujo a una lineal.Factor integrante: e

    32

    dx = e

    32x

    4

  • e32x du

    dx + e32x 3

    2u = e32x 3

    2

    ddx [e

    32xu] = 32e

    32x

    ddx [e

    32xu] =

    32e

    32xdx+ c

    e32xu = e

    32x + c

    u = 1 + ce32x

    Sustituimos u = y3/2

    y3/2 = 1 + ce32x Solucion general.

    Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y(0) = 4

    43/2 = 1 + ce32 0

    8 1 = cc = 7Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.

    y3/2 = 1 + 7e32x Solucion particular.

    9.

    y+ 2xy = 2xy2

    u = y1n; donde n = 2entonces:u = y12; u = y1; u1 = y

    u2 dudx =dydx

    sustituimos en la ecuacion.

    u2 dudx +2xu1 = 2x(u1)2

    multiplicamos por u2

    dudx

    2xu = 2x

    esta es una ecuacion lineal con p(x) = 2xobtenemos el factor integrante.

    e2

    1xdx = elog x

    2= x2

    x2 dudx x2 2

    xu = x22x

    ddx [x

    2u] = 2x1

    integramos.

    5

  • ddx [x

    2u] =2x1dx+ c

    x2u = 2 log x+ c

    u = 2x2 log x+ cx2

    sustituimos u = y1

    y la solucin es entonces:

    y = 12x2 log x+cx2

    10,y+ xy = xy1/2

    sea. n = 1/2

    u = y1n; u = y1(1/2); u = y3/2; y = u2/3

    dydx =

    23u1/3

    sustituimos en la ecuacion.

    23u1/3 + xu2/3 = x(u2/3)1/2

    multiplicamos por 23u1/3

    dudx +

    32xu =

    32x que es una ecuacion lineal con p(x) =

    32x

    Factor integrante:

    e32

    xdx = e

    34x

    2

    e34x

    2 dudx + e

    34x

    2 32xu = e

    34x

    2 32x

    ddxe

    34x

    2

    u = 32xe34x

    2

    dx+ c

    ddxe

    34x

    2

    u = 32xe

    34x

    2

    dx+ c

    e34x

    2

    u = e34x

    2

    + c

    u = 1 + ce34x

    2

    sustituimos u = y3/2

    y3/2 = 1 + ce34x

    2

    6

  • 1.2 Ecuaciones exactas y reducibles a exactas.

    1.(2x 1)dx+ (3y + 1)dy = 0

    M(x, y) = 2x 1;N(x, y) = 3y + 1Comprobamos que la ecuacion sea exacta, esto es si secumple la condicion

    My =

    Nx

    My = 0 ;

    Nx = 0

    son iguales, por lo tanto la ecuacion es exacta.Ahora tomamos una funcion fx(x, y) =M(x, y)

    fx(x, y) = 2x 1

    integramos respecto a x, y la constante de integracion sera una funcion g(y)

    Mx = 2

    xdx

    dx+ g(y)

    f(x, y) = x2 x+ g(y)... (1)

    Esta funcion la derivamos con respecto de y.

    fy = g

    (y)

    igualamos con N(x,y)

    g(y) = 3y + 1

    integramos respecto a y

    g(y) = 3

    ydy +

    dy + c

    g(y) = 32y2 + y + c

    sustituimos la funcion en (1).

    x2 x+ 32y2 + y = c

    esta es una solucion en forma implicita de la ecuacion.2.

    (seny ysenx)dx+ (cosx+ xcosy y)dy = 0

    M(x, y) = seny ysenx; N(x, y) = cosx+ xcosy y

    My = cosy senx

    Nx = senx+ cosy

    7

  • My =

    Nx por lo tanto es una ecuacion exacta.

    tomamos fx(x, y) = seny ysenxintegramos con respecto a x

    fx(x, y)dx =

    (seny ysenx)dx

    f(x, y) = xseny y(cosx) + g(y)...(1)

    derivamos esta ecuacion respecto a y, e igualamos con N(x,y)

    fy(x, y) = cosx+ xcosy + g(y) = cosx+ xcosy y

    g(y) = y

    integramos respecto de y

    g(y) =

    ydy + c

    g(y) = 12y2 + c

    sustituimos en (1)

    f(x, y) = xseny + ycosx 12y2

    nos queda la solucion implicita.

    xseny + ycosx 12y2 = c

    3.(3x2y + ey)dx = (x3 + xey 2y)dy

    M(x, y) = 3x2y + ey; N(x, y) = x3 + xey 2y

    My(x, y) = 3x2 + ey

    Nx(x, y) = 3x2 + ey

    My(x, y) = Nx(x, y) entonces es una ecuacion diferencial exacta.Integramos fx(x, y) con respecto de x, y obtenemos una funcion g(y) de

    constante de integracion.

    f(x, y) =(3x2y + ey)dx

    f(x, y) = x3y + xey + g(y)... (1)

    Derivamos con respecto de y (1) e igualamos con N(x,y)

    fy(x, y) = x3 + xey + g(y) = x3 + xey 2y

    g(y) = 2y

    8

  • Integramos respecto de y

    g(y) = 2ydy + c

    g(y) = y2 + c

    sustituimos en (1)

    x3y + xey y2 = c... solucion implicita.

    4.(6xy 2y2)dx+ (3x2 4xy)dy = 0

    My(x, y) = 6x 4y, Nx(x, y) = 6x 4y

    la ecuacion es exacta.integramos fx(x, y) respecto a x.

    f(x, y) =(6xy 2y2)dx

    f(x, y) = 3x2y 2xy2 + g(y)...(1)

    derivamos respcto de y

    fy(x, y) = 3x2 4xy + g(y)

    igualamos con N(x,y)

    3x2 4xy + g(y) = 3x2 4xy g(y) = 0

    integramos respecto de y

    g(y) = c

    sutituimos en la ecuacion (1)

    3x2y 2xy2 = c

    5.(2y 2xy3 + 4x+ 6)dx+ (2x 3x2y2 1)dy = 0

    con la condicion y(1) = 0

    My = 2 6xy2 = NX

    Una vez comprobada que sea exacta.integramos fx(x, y) respecto a x

    f(x, y) =(2y 2xy3 + 4x+ 6)dx

    f(x, y) = 2xy 3x2y3 + 2x2 + 6x+ g(y)...(1)

    9

  • derivamos respecto a y:

    fx(x, y) = 2x 3x2y2 + g(y)

    igualamo con N(x, y)

    2x 3x2y2 + g(y) = 2x 3x2y2 1g(y) = 1

    integramos:

    g(y) = y + c

    sustituimos en (1)

    2xy x2y3 + 2x2 + 6x y = c... solucion implicita.

    para y(1) = 0

    2(1)2 + 6(1) = c

    c = 4

    entonces la solucion particular al caso y(-1)=0 es:

    2xy x2y3 + 2x2 + 6x y = 4

    6.(xy sinx+ 2y cosx)dx+ 2x cosxdy = 0;

    Use el factor integrante (x, y) = xy

    My(x, y) = x sinx+ 2 cosx

    Nx(x, y) = 2x sinx+ 2 cosx

    NX 6=My

    la ecuacion es no exacta, en este ejemplo se nos dio el factor integrante, porlo tanto procedemos a multiplicar toda la ecuacion por el factor integrante.

    xy(xy sinx+ 2y cosx)dx+ xy(2x cosx)dy = 0

    (x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx+ (2x2y cosx)dy = 0

    comprobamos que esta ecuacion sea exacta.

    My(x, y) = 2yx2 sinx+ 4xy cosx

    NX(x, y) = 4xy cosx 2x2y sinx

    MY = NX por lo tanto esta ecuacion es exacta y la resolvemos como tal.

    10

  • fx(x, y) = x2y2 sinx+ 2xy2 cosx

    integramos respecto a x:

    f(x, y) =(x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx

    f(x, y) = x2y2 cosx+ g(y)...(1)

    derivamos respecto a y:

    fy(x, y) = 2x2y cosx+ g(y)

    igualamos con Nx

    2x2y cosx+ g(y) = 2x2y cosx

    g(y) = 0

    integramos respecto a y:

    g(y) = c

    sustituimos en (1)

    f(x, y) = x2y2 cosx+ c

    2 Ecuaciones de orden superior

    2.1 Ecuaciones diferenciales de orden superior reducibles

    a primer orden.

    1. y = 2x2

    Integramos ambos lados de la ecuacion:y = 2

    x2dx+ c

    y = 23x3 + c1

    Volvemos a integrar:y = 23

    (x3 + c1)dx+ c2

    y = ( 23 )(14 )x

    4 + xc1 + c2

    Solucion:

    y = 16x4 + c1x+ c2

    11

  • 2. y = sen(kx)Integramos ambos lados de la ecuacion:y =

    sen(kx)dx+ c1

    y = kcos(kx) + c1y = k

    cos(kx)dx+ c1

    dx+ c2

    y = k2sen(kx) + xc1 + c2y = k2

    sen(kx)dx+ c1

    xdx+ c2

    dx+ c3

    y = k3cos(kx) + 12c1x2 + c2x+ c3

    3. y = 1xIntegrando:y =

    1xdx+ c1

    y = log x+ c1y =

    log xdx+ c1

    dx+ c2

    y = x log x x+ c1x+ c2y =

    x log xdx

    xdx+ c1

    xdx+ c2

    dx+ c3

    y = x2

    2 (log x12 )

    12x

    2 + c112x

    2 + c2x+ c3

    4. y = x+ sinxIntegrando:y =

    xdx+

    sinxdx+ c1

    y = 12x2 cosx+ c1

    y = 12x2dx

    cosxdx+ c1

    dx+ c2

    y = 16x3 sinx+ c1x+ c2

    5. y = x sinx, y(0) = 0 y(0) = 0 y(0) = 2Resolvemos la ecuacion diferencial integrando tres veces:y =

    x sinxdx+ c!

    y = sinx x cosx+ c1y =

    sinxdx

    x cosxdx+ c1

    dx+ c2

    y = cosx (cosx+ x sinx) + c1x+ c2y =

    cosxdx

    cosxdx

    x sinxdx+ c1

    xdx+ c2

    dx+ c3

    y = sinx sinx (x cosx+ sinx) + 12c1x2 + c2x+ c3

    y = 3 sinx+ x cosx+ 12c1x2 + c2x+ c3

    12

  • 2.2 Reducibles a primer orden

    1. xy+ y = 0Deniendo:

    p(x) = dydxdpdx =

    d2ydx2

    xp+ p = 0nos queda una ecuacion lineal homogenea de orden 1 de variables

    separables.1xdx =

    1pdp

    1xdx =

    1pdp+ c1

    log x = log p+ log c1log x = log( c1p )

    Aplicando exponencial a ambos lados de la ecuacion.

    x = c1p

    hacemos p(x) = dydx

    x = c!dy/dx

    x = c1dxdy

    integrando:1xdx =

    1c1

    dy + c2

    log x = 1c1 y + c2

    y = c1 log x + c2. La constante de integracion conviene que tomevalor positivo.

    2.(x 1)y y=0Denimos:

    p(x) = dydxdpdx =

    d2ydx2

    (x 1)p p = 0Dividimos entre (x 1)x1x1p

    1x1p = 0

    p 1x1p = 0nos queda una ecuacion lineal homogenea.dpdx

    1x1p = 0

    dpdx =

    1x1p

    1pdp =

    1x1dx

    integrando:1pdp =

    1

    x1dx+ c1

    13

  • log(p) = log(x 1) + log(c1)log(p) = log[c1(x 1)]p = c1(x 1)haciendo p = dydxdydx = c1(x 1)dy = c1(x 1)dxintegrando:dy = c1

    (x 1)dx+ c2

    y = c112x

    2 x+ c23.

    2.3 Ecuaciones lineales homogeneas.

    1.y+ y 2y = 0Resolvemos la ecuacion caracteristica asociada.

    m2 +m 2 = 0(m+ 2)(m 1) = 0m1 = 2 m2 = 1Suponemos una solucion y = emx

    y1 = e2x

    y2 = ex

    y(x) = c1e2x + c2e

    x

    2.y 2y+ y = 0

    Ecuacion caracteristica asoiada m2 2m+ 1 = 0(m 1)2 = 0m1,2 = 1

    solucion y = emx

    y1 = ex

    y2 = y1ep(y)dy

    y21dx

    y2 = exe2x

    e2x dx

    y2 = exx

    solucion.

    y(x) = c1ex + c2xe

    x

    3. 4y 8y+ 5y = 0

    14

  • Ecuacion caracteristica.

    4m2 8m+ 5 = 0m1,2 =

    864808

    m1,2 = 1 12 isolucion.

    y = c1exei

    12x + c2e

    xei12x

    y = ex(c1ei 12x + c2e

    i 12x)

    y = ex(c1cos12x+ c2sen

    12x)

    4.3y 2y 8y = 0Ecuacion caracteristica:

    3m2 2y 8 = 0(3m+ 4)(m 2)m1 = 2

    m2 = 43Solucion propuesta de la forma, y = emx

    y1 = e2x

    y2 = e43x

    Solucion:

    y(x) = c1e2x + c2e

    43x

    5.yv 10y+ 9y = 0Ecuacion caracteristica.

    m5 10m3 + 9m = 0m(m4 10m2 + 9) = 0m1 = 0 (m

    2 9)(m2 1) m2,3 = 3 m4,5 = 1Entonces tenemos las soluciones:

    y1 = e0 = 1

    y2 = e3x

    y3 = e3x

    y4 = ex

    y5 = ex

    Solucion:

    y(x) = c1 + c2e3x + c3e

    3x + c4ex + c5e

    x

    6. y+ 4y+ 3y = 0 y(0) = 2 y(0) = 3Ecuacion caracteristica.

    m2 + 4m+ 3 = 0

    15

  • m1,2 =4

    36

    2

    m1,2 = 2 3iSolucion:

    y(x) = e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)

    y(x) = e2x(3c1 sin 3x+ 3c2 cos 3x) 2e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)Resolveremos para los casos y(0) = 2 y y(0) = 3 particularmente.Para y(0) = 2

    2 = e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)

    2 = c1

    Para y(0) = 33 = e0(3c1 sin 0 + 3c2 cos 0) 2e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)3 = 3c2 2c13 = 3c2 2(2)3 + 4 = 3c2c2 =

    13

    Por lo tanto la solucion para el caso en general es:

    y(x) = e2x(2 cos 3x+ 13 sin 3x)

    7. d4ydx4 7

    d4ydx2 18y = 0

    Ecuacion caracteristica:

    m4 7m2 18 = 0

    2.4 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden

    2.4.1 Coecientes indeterminados.

    1.y+ 3y+ 2y = 6

    Resolvemos la ecuacion homogenea asociada

    yh = y+ 3y+ 2y = 0Ecuacion caracteristica:

    m2 + 3m+ 2 = 0

    (m 1)(m 2)m1 = 1 m2 = 2

    yh = c1ex + c2e

    2x

    Ahora resolvemos la parte no homogena suponiendo una solucionparticular.

    16

  • en este caso la parte no homogenea es 6, lo que nos sugiere usemosuna solucion de la forma A

    yp = A

    yp = 0yp = 0Sustituimos en la ecuacion original.

    0 + 3(0) + 2A = 6

    A = 3

    Entonces la solucion es y(x) = yh + yp

    y(x) = c1ex + c2e

    2x + 3

    2. y+ y = sinxResolvemos primer la ecuacion homogenea asociada.

    y+ y = 0La ecuacion caracteristica de esta ecuacion es.

    m2 + 1 = 0

    m2 = 1 m1,2 = 1 m1,2 = i donde = 0 y = 1

    m1,2 = iyh = c1e

    x cosx+ c2ex sinx

    yh = c1 cosx+ c2 sinx

    Ahora buscamos una solucion particular, para sinx nos proponenuna solucion de la forma A sinx+B cosx, sin embargo podemosobservar que esta ya es una solucion de la ecuacion homogeneaasociada y + y = 0, entonces segun la regla de multiplicacionpara este caso, debemos multiplicar por xndonde n es el numerode enteros positivos que elimina la duplicacion.

    yp = Ax sinx+Bx cosx

    yp = A sinx+Ax cosx+B cosxBx sinxyp = A cosx + A cosx Ax sinx B sinx Bx cosx B sinx =

    2A cosx 2B sinxAx sinxBx cosxSustituimos en la ecuacion original

    2A cosx2B sinxAx sinxBx cosx+Ax sinx+Bx cosx = sinx2A cosx 2B sinx = sinx2A = 0 entonces A = 0

    2B = 1 entonces B = 12Sustituyendo

    yp = 12x cosx

    17

  • y(x) = yh + yp

    y(x) = c1 cosx+ c2 sinx 12x cosx3. y 10y+ 25y = 30x+ 3

    Resolvemos la ecuacuion homogenea asociada.

    m2 10m+ 25 = 0m1,2 = 5

    yh = c1e5x + c2xe

    5x

    La solucion particular propuesta para 30x+ 3 es Ax+B

    yp = Ax+B

    yp = Ayp = 0sustituimos en la ecuacion

    10(A) + 25(Ax+B) = 30x+ 325A = 30...(1) entonces A = 65

    25B 10A = 3...(2)25B 10( 65 ) = 325B = 3 + 12

    B = 35

    yp =65x+

    35

    y(x) = yh + yp

    y(x) = c1e5x + c2xe

    5x + 65x+35

    4. 14y+ y+ y = x2 2x

    Resolvemos la ecuacion homogenea asociada.14y+ y+ y = 014m

    2 +m+ 1 = 0

    m1,2 = 2yh = c1e

    2x + c2xe2x

    Ahora suponemos una solucion particular para el caso de f(x) =x2 2x

    yp = Ax2 +Bx+ C

    yp = 2Ax+B

    yp = 2A

    Sustituimos en la ecuacion original.14 (2A) + 2Ax+B +Ax

    2 +Bx+ C = x2 2x12A+B +Ax

    2 + 2Ax+Bx+ C = x2 2x

    18

  • A = 1

    2A+B = 2

    B = 2 2 = 012A+B + C = 012A+ C = 0

    C = 12A = 12

    yp = x2 12

    y(x) = yh + yp

    y(x) = c1e2x + c2xe

    2x + x2 125. y+ 3y = 48x2e3x

    Se resuelve la parte homogenea.

    y+3y=0m2 + 3 = 0

    m1,2 =3 m1,2 =

    3i

    yh = c1cos3x+ c2sen

    3x

    suponemos una solucion particular para 48x2e3x

    yp = e3x(Ax2 +Bx+ C)

    yp = 3e3x(Ax2 +Bx+ C) + e3x(2Ax+B)yp = 9e3x(Ax2 + Bx + C) + 3e3x(2Ax + B) + 3e3x(2Ax + B) +

    e3x(2A) = 9e3x(Ax2 +Bx+ C) + 3e3x(4Ax+ 2B) + e3x(2A)

    Susituimos en la ecuacion.

    9e3x(Ax2+Bx+C)+3e3x(4Ax+2B)+ e3x(2A)+9e3x(Ax2+Bx+C) + 3e3x(2Ax+B) = 48x2e3x

    9e3xAx2+9e3xBx+9e3xC+12e3xAx+6e3xB+2e3xA+9e3xAx2+9e3xBx+ 9e3xC + 6e3xAx+ 3e3xB = 48x2e3x

    9A+ 9A = 4818A = 48A = 83B = 0

    C = 0

    6.y y = 3y-y=0m2 m = 0m(m 1) = 0m1 = 0 m2 = 1

    19

  • yh = c1e0x + c2e

    x = c1 + c2ex

    En este caso podemos ver claramente que existe ya una solucion quees c1igual con 3

    entonces por la regla de multiplicidad. la solucion propuesta yp = Ax

    yp = Ax

    yp = Ayp = 0Sustituyendo en la ecuacion.

    0A = 3 entonces, A = 3yp = 3x

    y(x) = yh + yp

    y(x) = c1 + c2ex + 3x

    7. y 6y = 3 cosxEcuacion homogenea asociada yh = y 6y = 0m3 6m2 = 0m2(m 6) = 0m1,2 = 0 m3 = 6

    yh = c1 + c2x+ c3e6x

    La solucion particular propuesta para 3 cosx es yp1 = A yp2 =Bcosx + Csenxsin embargo en la solucion yp1 se repite la con-stante, entonces la multiplicamos por x de acuerdo a la ley demultiplicidad nos queda.yp1 = Ax

    2

    yp = Ax2 +Bcosx+ Csenx

    yp = 2AxBsenx+ Ccosxyp = 2ABcosx Csenxyp = Bsenx CcosxSusituyendo en la ecuacion original.

    Bsenx Ccosx 12A+ 6Bcosx+ 6Csenx = 3 Cosx12A = 3 ; A = 146B C = 1...(1)6C +B = 0...(2)

    Igualando 1 y 2

    B = 637C = 137yp =

    12x

    3 + 637cosx+137senx

    y(x) = c1 + c2x+ c3e6x 14x

    2 + 637cosx+137senx

    20

  • 9.y+ 2y+ y = senx+ 3cos2xyh = y+ 2y+ y = 0m2 + 2m+ 1 = 0

    (m+ 1)2 = 0

    m1,2 = 1yh = c1e

    x + c2xex

    Solucion particular

    yp = Acosx+Bsenx+ Ccos2x+Dsen2x

    yp = Asenx+Bcosx 2Csen2x+ 2Dcos2xyp = AcosxBsenx 4Ccos2x 4Dsen2xsustituyendo.

    AcosxBsenx4Ccos2x4Dsen2x2Asenx+2Bcosx4Csen2x+4Dcos2x+Acosx+Bsenx+Ccos2x+Dsen2x = senx+3cos2x

    3Ccos2x 3Dsen2x 2Asenx+2Bcosx 4Csen2x+4Dcos2x =senx+ 3Cos2x

    3C + 4D = 3...(1)3D 4C = 0...(2)C = 925

    D = 1225

    2A = 1 ; A = 122B = 0 ; B = 0

    y(x) = c1ex + c2xe

    x 12cosx+925cos2x+

    1225sen2x

    2.5 Variacion de parametro.

    1. y+ y = secxResolvemos la parte homogenea de la ecuacion esta es yh = y+ y = 0Para la ecuacion homogenea asociada, resolvemos la ecuacion caracteristica.

    m2 + 1 = 0

    m2 = 1

    m1,2 =1 ; m1,2 = i

    m1,2 = i ; donde = 0 = 1

    21

  • yh = c1cosx+ c2senx

    Ahora identicamos y1 = cosx y y2 = senx y las derivamos.

    y1 = cosx y2 = senx

    y1 = senx y2 = cosx

    A continuacion calculamos el Wronskiano:

    W =y1 y2y1 y

    2

    =cosx senxsenx cosx = [(cosx)(cosx)] [(senx)(senx)] =

    cos2x+ sen2x = 1

    W1 =0 y2

    f(x) y2=

    0 senxsecx cosx

    = [(0)(cosx)] [(senx)(secx)] =

    senxsecx = senxcosx = tanx

    W2 =y1 0y1 f(x)

    =cosx 0senx secx = [(cosx)(secx) (0)(senx)] =

    cosxsecx = cosxcosx = 1

    u1 =W1W =

    tanx1 = tanx ; u1 =

    tanxdx = [ln(cosx)] = ln(cosx)

    u2 =W2W =

    11 = 1; u2 =

    dx = x

    yp = u1y1 + u2y2

    yp = ln(cosx)cosx+ xsenx

    y(x) = yh + yp

    y(x) = c1cosx+ c2senxi+ cosxln(cosx) + xsenx

    2. y+ y = senx

    Resolvemos yh = y+ y = 0

    m2 + 1 = 0

    m2 = 1

    m1,2 = 1 ; m1,2 = i

    Donde:

    = 0 y = 1

    yh = ex(c1cosx+ c2senx)

    yh = e0x(c1cosx+ c2senx)

    22

  • yh = c1cosx+ c2senx

    Denimos y1, y2

    y1 = cosx ; y1 = senx

    y2 = senx ; y2 = cosx

    Calculamos el Wronskiano.

    W =cosx senxsenx cosx = cos

    2x+ sen2x = 1

    W1 =0 senx

    senx cosx= sen2x

    W2 =cosx 0senx senx = senxcosx

    Ahora calculamos u1, u2.

    u1 = sen2x

    1 = sen2x

    u1 = sen2xdx = x2

    14sen2x

    u2 =senxcosx

    1 = senxcosx

    u2 =senxcosxdx = 12sen

    2x

    yp = u1y1 + u2y2 = (x2

    14sen2x)cosx+

    12sen

    2x(senx)

    yp =12xcosx

    14cosxsen2x+

    12sen

    3x

    y(x) = yp + yh

    y(x) = c1cosx+ c2senx+12xcosx

    14cosxsen2x+

    12sen

    3x

    3. y + y = cos2x

    Ecuacion homogenea asociada yh = y + y = 0

    Esta ecuacion tiene solucion de la forma:

    yh = c1cosx+ c2senx

    Denimos y1, y2

    y1 = cosx ; y1 = senx

    y2 = senx ; y2 = cosx

    Calculamos los Wronskianos:

    23

  • W =cosx senxsenx cosx = cos

    2x+ sen2x = 1

    W1 =0 senx

    cos2x cosx= senxcos2x

    W2 =cosx 0senx cos2x = cos

    3x

    Denimos u1, u2

    u1 =senxcos2x

    1= senxcos2x

    u1 = senxcos2xdx =

    [cos3x

    3

    ]=cos3x

    3

    u2 =cos3x

    1= cos3x

    u2 =cos3xdx = senx sen

    3x

    3

    yp = u1y1 + u2y2 =

    (cos3x

    3

    )(cosx) +

    (senx sen

    3x

    3

    )(senx)

    yp =cos4x

    3+ sen2x sen

    4x

    3

    y(x) = c1cosx+ c2senx+cos4x

    3+ sen2x sen

    4x

    3

    4.y y = coshx

    Ecuacion homogenea asociada y y = 0

    m2 1 = 0

    m2 = 1; m1,2 = 1 = 1

    yh = c1ex + c2e

    x

    Denimos y1 , y2

    y1 = ex ; y1 = e

    x

    y2 = ex ; y2 = ex

    Calculamos los Wronskianos:

    24

  • W =ex ex

    ex ex = ex(ex) ex(ex) = 1 1 = 2

    W1 =0 ex

    coshx ex = ex(coshx) = excoshx

    W2 =ex 0ex coshx

    = excoshx

    Calculamos u1 y u2

    u1 =excoshx2 =

    12excoshx

    u1 =12

    excoshxdx = 18e

    2x(2e2xx 1)

    u2 =excoshx

    2= 12e

    xcoshx

    u2 = 12excoshxdx = 12 [

    x

    2+e2x

    4]

    yp = ex[ 18e

    2x(2e2xx 1)] + (ex)(x4 e

    2x

    8)

    yp =18ex(2e2xx 1) + xe

    x

    4+ex

    8

    y(x) = c1ex + c2e

    x + 18ex(2e2xx 1) + xe

    x

    4+ex

    8

    4. y + 3y + 2y =1

    1 + ex

    Ecuacion homogenea asociada yh = y + 3y + 2y = 0

    m2 + 3m+ 2 = 0

    (m+ 2)(m+ 1) = 0

    m1 = 2 m2 = 1

    yh = c1e2x + c2e

    x

    Denimos y1, y2.

    y1 = e2x; y1 = 2e2x

    y2 = ex; y2 = ex

    Calculamos Wronskianos:

    25

  • W =e2x ex

    2e2x ex = (e2x)(ex) (ex)(2e2x) = e3x + 2e3x =

    e3x

    W1 =0 ex1

    1+ex ex =

    ex

    1 + ex

    W2 =e2x 02e2x 11+ex

    =e2x

    1 + ex

    Calculamos u1,u2

    u1 =

    ex

    1 + exe3x =

    ex

    (e3x)(1 + ex)=

    1

    e2x(1 + ex)=

    1

    e2x + ex

    u1 = 1e2x + ex

    dx = ex + ln(ex + 1) 1

    u2 =

    e2x

    1 + ex

    e3x=

    e2x

    (e3x)(1 + ex)=

    1

    ex + 1

    u2 = 1ex + 1

    dx = x+ ln(ex + 1)

    yp = (e2x)[ex + ln(ex + 1) 1] + [x+ ln(ex + 1)](ex)

    yp = ex + e2xln(ex + 1) e2x + xex + exln(ex + 1)

    y(x) = c1e2x + c2e

    x ex + e2xln(ex + 1) e2x + xex + exln(ex + 1)

    5.3y 6y + 6y = exsecx

    yh = 3y 6y + 6y = 0

    3m2 6m+ 6 = 0

    a = 3 , b = 6 , c = 6

    Denimos y1, y2

    m1,2 =(6)

    (6)2 4(3)(6)2(3)

    =6

    636 726

    = 1366

    = 1 i

    = 1 , = 1

    yh = ex(c1cosx+ c2senx)

    Deniendo y1 , y2

    26

  • y1 = excosx ; y1 = e

    xcosx exsenx

    y2 = exsenx ; y2 = e

    xsenx+ excosx

    Calculamos los Wronskianos

    W =excosx exsenx

    excosx exsenx exsenx+ excosx = (excosx)(exsenx+ excosx)

    (exsenx)(excosx exsenx) = ex(cosxsenx+ cos2x cosxsenx+ sen2x)

    W = ex(cos2x+ sen2x) = ex

    W1 =0 exsenx

    exsecx exsenx+ excosx= (exsenx)(exsecx) = ex(senx

    cosx) =

    extanx

    W2 =excosx 0

    excosx exsenx exsecx = (excosx)(exsecx) = ex(

    cosx

    cosx) = ex

    Calculamos u1, u2

    u1 = extanx

    ex= tanx

    u1 = tanxdx = (lncosx) = lncosx

    u2 =ex

    ex= 1

    u2 =dx = x

    yp = lncosx(excosx) + x(exsenx)

    y(x) = ex(c1cosx+ c2senx) + excosxlncosx+ xexsenx

    2.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler

    x2y 2y = 0

    Suponemos una solucin de la forma y = xm .

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Sustituimos en la ecuacin original.

    x2[(m 1)mxm2] 2(xm) = 0

    27

  • x2[(m 1)mxmx2] 2(xm) = 0

    (m 1)mxm 2xm = 0

    xm[(m 1)m 2] = 0

    xm(m2 m 2) = 0

    asi obtenemos la ecuacion auxiliar

    m2 m 2 = 0

    (m+ 1)(m 2) = 0

    m1 = 1 ; m2 = 2

    Son races reales y distintas, asi que la solucin es:

    y = c1x1 + c2x

    2

    2.x2y + y = 0

    Suponemos la solucion y = xm

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Sustituimos en la ecuacin

    x2[(m 1)mxm2] + xm = 0

    (m 1)mx2xmx2 + xm = 0

    (m2 m)xm + xm = 0

    xm(m2 m+ 1) = 0

    Ecuacin auxiliar

    m2 m+ 1 = 0

    m1,2 =12

    12

    3i

    donde: = 12 =12

    3

    y = c1x12+

    12

    3i + c2x

    12

    12

    3i

    28

  • Usando la identidad,

    xi = (elnx)i = eilnx

    con la formula de Euler, es lo mismo que

    xi = cos(lnx) + isen(lnx)

    xi = cos(lnx) isen(lnx)

    entonces

    xi + xi = cos(lnx) + isen(lnx) + cos(lnx) isen(lnx) = 2cos(lnx)

    xi xi = cos(lnx) + isen(lnx) cos(lnx) + isen(lnx) = 2isen(lnx)

    si y = C1x+i + C2x

    i

    y1 = x(xi + xi) = 2xcos(lnx)

    y2 = x(xi xi) = 2xisen(lnx)

    se concluye que

    y1 = xcos(lnx) y = xsen(lnx)

    As la solucion general es

    y = x[c1cos(lnx) + c2sen(lnx)]

    y = x12 [c1cos(

    12

    3lnx) + c2sen(

    12

    3lnx)]

    3.x2y + xy + 4y = 0

    Suponemos la solucin:

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Sustituimos en la ecuacin.

    x2[(m 1)mxm2] + x(mxm1) + 4(xm) = 0

    xm(m2 m+m+ 4) = 0

    xm(m2 + 4) = 0

    m2 = 4

    29

  • m1,2 = 4

    m1,2 = 2i

    = 0 = 2

    y = x0(c1cos2lnx+ c2sen2lnx)

    y = c1cos2lnx+ c2sen2lnx

    4.x2y 3xy 2y = 0

    Solucion propuesta.

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Sustituimos.

    x2[(m 1)mxm2] 3x(mxm1) 2(xm) = 0

    xm[(m2 m) 3m 2] = 0

    xm(m2 4m 2) = 0

    m1,2 = 26

    y = c2x2+6 + c1x

    26

    5.25x2y + 25xy + y = 0

    Solucin propuesta.

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Sustituimos.

    25x2[(m 1)mxm2] + 25x(mxm1) + xm = 0

    xm[25m2 25m+ 25m+ 1] = 0

    30

  • 25m2 + 1 = 0

    m1,2 = 125

    = 15i

    = 0, =1

    5

    y = x0(c1cos1

    5lnx+ c2sen

    1

    5lnx)

    y = c1cos1

    5lnx+ c2sen

    1

    5lnx

    6.x2y + 5xy + y = 0

    Solucion propuesta.

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Sustituimos.x2[(m 1)mxm2] + 5x(mxm1) + xm = 0xm(m2 m+ 5m+ 1) = 0m2 + 4m+ 1 = 0m1,2 = 2

    3

    y = c1x2+3 + c2x

    23

    7.xy 4y = x4

    Solucin propuesta.

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Hacemos la ecuacion de la forma de Cauchy Euler, para esto la multiplicamospor x.

    x2y 4xy = x5Resolvemos la parte homogenea.yh = x

    2y 4xy = 0Sustituimosx2[(m 1)mxm2] 4x(mxm1) = 0

    31

  • xm(m2 m 4m) = 0m(m 5) = 0m1 = 0 m2 = 5yh = c1x

    0 + c2x5

    yh = c1 + c2x5

    Resolvemos por variacion de parmetros.Para esto tenemos que escribir la ecuacion en la forma estandar P (x)y +

    Q(x)y = f(x)Dividimos la ecuacin original entre xy 4 yx = x

    3

    identicamos f(x) = x3

    Denimos y1, y2y1 = 1 , y

    1 = 0

    y2 = x5 , y2 = 5x

    4

    W =1 x5

    0 5x4= 5x4 0 = 5x4

    W1 =0 x5

    x3 5x4= 0 x8 = x8

    W2 =1 00 x3

    = x3

    Calculamos u1, u2u1 =

    x85x4 =

    15x

    4

    u1 = 15x4dx = 125x

    5

    u2 =x3

    5x4 =15x

    u2 =15

    1xdx =

    15 lnx

    yp = 125x5(1) + 15 lnx(x

    5)

    yp = 125x5 + x

    5

    5 lnxy(x) = yh + yp

    y(x) = c+ c2x5 125x

    5 + x5

    5 lnx7.

    x2y xy + y = 2x

    Solucion propuesta.

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    Resolvemos la ecuacion homogenea asociada.yh = x

    2y xy + y = 0Sustituimos en la ecuacin original.x2[(m 1)mxm2] x(mxm1) + xm = 0m2 mm+ 1 = 0m2 2m+ 1 = 0

    32

  • (m 1)2m1,2 = 1yh = c1x+ c2xlnxPonemos la ecuacin en la forma estandary 1xy

    + 1x2 y =2x

    Identicamos f(x) = 2xIdenticamos y1 = x , y2 = xlnx y y

    1 = 1 , y

    2 = lnx+ 1

    Calculamos los Wronskianos

    W =x lnx1 lnx+ 1

    = (x)(lnx + 1) (lnx)(1) = xlnx + x lnx = xlnx

    lnx+ x = xlnxx + x = xln(1) + x = x

    W1 =0 lnx2x lnx+ 1

    = (lnx)( 2x ) =2x lnx

    W2 =x 01 2x

    = 2xx 0 = 2

    Calculamos u1, u2

    u1 =2x lnx

    x =2lnxx2

    u1 = 2lnxx2 =

    lnx+1x

    u2 =2x

    u2 = 2

    1x = 2lnx

    yp = y1u1 + y2u2 = x( lnx+1x ) + xlnx(2lnx) = lnx+ 1+8.

    x2y 2xy + 2y = x4ex

    Solucin propuesta.

    y = xm

    y = mxm1

    y = (m 1)mxm2

    x2[(m 1)mxm2] 2x(mxm1) + 2xm = x4exSolucionamos la ecuacion homogeneax2y 2xy + 2y = 0xm(m2 m 2m+ 2) = 0m2 3m+ 2 = 0(m 2)(m 1) = 0m1 = 2 , m2 = 1yh = c1x

    2 + c2xConvertimos la ecuacion original a la forma estandary 2xy

    + 2x2 y = x2ex

    Denimos y1, y2 , f(x) = x2ex

    y1 = x2 ; y1 = 2x

    y2 = x ; y2 = 1

    Calculamos el Wronskiano

    33

  • W =x2 x2x 1

    = x2 2x2 = x2

    W1 =0 x

    x2ex 1= 0 x3ex = x3ex

    W2 =x2 02x x2ex

    = x4ex

    Calculamos u1, u2u1 =

    x3exx2 = xe

    x

    u1 =xexdx = ex(x 1)

    u2 =x4ex

    x2 = x2ex

    u2 = x2exdx = ex(x2 2x+ 2)

    yp = u1y1 + u2y2 = [ex(x 1)]x2 + [ex(x2 2x+ 2)]x

    yp = x2ex(x 1) + xex(x2 2x+ 2)

    y(x) = yp + yhy(x) = c1x

    2 + c2x+ x2ex(x 1) + xex(x2 2x+ 2)

    9.

    3 Soluciones en series de potencias

    1.y xy = 0

    Sutituyendo y =n=0 cnx

    n y la segunda derivada y =n=2(n1)ncnxn2

    n=2(n 1)ncnxn2 x (n=0 cnx

    n) = 0n=2(n 1)ncnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    Ahora sumamos las dos series igualando los indices de ambas sumas.

    2(1)c2x0n=3 n(n 1)cnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    2c2n=3 n(n 1)cnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    hacemos k = n 2 para la primera serie y k = n+ 1 para la segunda serie,de modo que: n = k + 2 , n = k 1 respectivamente.

    Sutituimos

    2c2n=3 n(n 1)cnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    2c2k=1(k + 2)(k + 1)ck+2x

    k k=1 ck1x

    k = 0

    2c2k=1[(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1]xk = 0

    (k + 2)(k + 1)ck+2 ck1 = 0

    ck+2 =ck1

    (k + 2)(k + 1)

    34

  • Esta relacion genera coecientes consecutivos de la solucion propuesta, conel valor de k como enteros positivos.

    Ahora

    2c2 = 0 ; c2 = 0

    k = 1 , c3 =c03(2) =

    16c0

    k = 2 , c4 =c14(3)

    = 112c1

    k = 3 , c5 =c25(4)

    = 120c2 = 0 c2 = 0

    k = 4 , c6 =c36(5)

    = 130 (16 )c0 =

    1180c0

    k = 5 , c7 =c47(6)

    = 142 (112 )c1 =

    1504c1

    k = 6 , c8 =c58(7)

    = 0 c5 = 0

    k = 7 , c9 =c69(8)

    = 172 (1

    180 )c0 =1

    12960c0

    k = 8 , c10 =c7

    10(9)= 110(9)(504)c1

    k = 9 , c11 =c8

    11(10)= 0 c8 = 0

    Sustituyendo coecientes en la suposicion original

    y =c0+c1x+c2x

    2+c3x3+c4x

    4+c5x5+c6x

    6+c7x7+c8x

    8+c9x9+c10x

    10+c11x11+...,

    y =c0+c1x+0+

    16c0x

    3+ 112c1x4+0+ 1180c0x

    6+ 1504c1x7+0+ 112960c0x

    9+ 190(504)c1x10+0

    y = c0(1 +16x

    3 + 1180x6 + 112960x

    9) + c1(x+112x

    4 + 1504x7 + 190(504)x

    10)

    2y+ x2y+ xy = 0

    Sutituyendo:y =

    n=0 cnx

    n

    y =n=1 cnnx

    n1

    y =n=2(n 1)ncnxn2

    En la ecuacin originaln=2(n 1)ncnxn2 + x2

    [n=1 cnnx

    n1]+ x [ cnxn] = 035

  • n=2(n 1)ncnxn2 +

    n=1 cnnx

    n+1 +n=0 cnx

    n+1 = 02c2x

    0+6c3xn=4(n1)ncnxn2+

    n=1 cnnx

    n+1+c0x1n=1 cnx

    n+1 = 0Hacemos k = n2 para la primera serie, yk = n+1para la segunda y tercera

    series.2c2x

    0+6c3xk=2(k+21)(k+2)ck+2xk+22+

    k=2 ck1(k1)xk1+1+

    c0x1k=2 ck1x

    k1+1 = 02c2 + 6c3x+ c0x

    k=2(k + 1)(k + 2)ck+2x

    k + ck1(k 1)xk + ck1xk = 02c2 + 6c3x+ c0x

    k=2[(k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1(k 1) + ck1]xk = 0

    (k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1(k 1) + ck1Entonces tenemos2c2 = 0 ; c2 = 06c3 + c0 = 0c3 = 16c0ck+2 =

    [(k1)+1]ck1(k+1)(k+2) =

    kck1(k + 1)(k + 2)

    Sustituyendo k = 2, 3, 4, ... en la formula se obtienec4 =

    2c13(4) =

    16c1

    c5 =3c24(5) = 0 c2 = 0

    c6 =4c35(6) =

    215 (

    16c0) =

    145c0

    c7 =5c46(7) =

    542 (

    16c1) =

    5136c1

    c8 =6c57(8) =

    656 (0) = 0

    c9 =7c68(9) =

    772 (

    145 )c0 =

    772(45)c0

    c10 =8c79(10) =

    445 (

    5136c1) =

    545(34)c1

    c11 =9c8

    10(11) =9

    110 (0) = 0

    c12 =10c911(12) =

    566 (

    772(45)c0) =

    766(72)(9)c0

    Por tanto,y = c0 + c1x+ c2x

    2 + c3x3 + c4x

    4 + c5x5 + c6x

    6 + c7x7 + c8x

    8 + c9x9 + ...

    y = c1[16x

    4 + 5136x7 + 59(34)x

    10] c0[ 145x6 + 772(45)x

    9 + 766(72)(9)x12]

    3.y 2xy+ y = 0

    Sutituyendo:y =

    n=0 cnx

    n

    y =n=1 cnnx

    n1

    y =n=2(n 1)ncnxn2

    En la ecuacin originaln=2(n 1)ncnxn2 2x

    [n=1 cnnx

    n1]+n=0 cnxn = 0n=2(n 1)ncnxn2 2

    n=1 cnnx

    n +n=0 cnx

    n = 02c2n=3(n 1)ncnxn2 2

    n=1 cnnx

    n + c0n=1 cnx

    n = 0Hacemos k = n 2 para la serie uno y k = n para las dos y tres.2c2k=1(k + 2 1)(k + 2)ck+2xk+22 2

    k=1 ckkx

    k + c0k=1 ckx

    k = 02c2 + c0

    k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x

    k +k=1 ckkx

    k +k=1 ckx

    k = 02c2 + c0

    k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x

    k 2ckkxk + ckxk = 02c2 + c0

    k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x

    k 2ckkxk + ckxk = 0

    36

  • De esta igualdad se concluye que2c2 + c0 = 0c2 = 12c0(k + 1)(k + 2)ck+2x

    k 2ckkxk + ckxk = 0[(k + 1)(k + 2)ck+2 2ckk + ck]xk = 0(k + 1)(k + 2)ck+2 2ckk + ckck+2 =

    (2k + 1)ck(k + 1)(k + 2)

    Sustituyendo k = 1, 2, 3, 4, ...

    c3 =3c12(3) =

    12c1

    c4 =5c23(4) =

    512 (

    12c0) =

    524c0

    c5 =7c34(5) =

    720 (

    12c1) =

    740c1

    c6 =9c45(6) =

    930 (

    524c0) =

    116c0

    c7 =11c56(7) =

    1142 (

    740c1) =

    116(40)c1

    c8 =13c67(8) =

    1356 (

    116c0) =

    1356(16)c0

    c9 =15c78(9) =

    1572 (

    116(40)c1) =

    16172(240)c1

    c10 =17c89(10) =

    17(13)9(10)(56)(16)c0

    c11 =18c910(11) =

    155 (

    1618(240) )c1

    y = c1

    [12x

    3 + 740x5 + 11240x

    7 + 16172(240)x9 + 16155(8)(240)x

    11]

    c0

    [524x

    4 + 116x6 + 1356(16)x

    8 + 17(13)90(56)(16)x10]

    4.(x2 + 2)y+ 3xy y = 0

    Sutituyendo:

    y =n=0 cnx

    n

    y =n=1 cnnx

    n1

    y =n=2(n 1)ncnxn2

    (x2 + 2)n=2(n 1)ncnxn2 + 3x

    n=1 cnnx

    n1 n=0 cnx

    n = 0

    x2n=2(n1)ncnxn2+2

    n=2(n1)ncnxn2+

    n=1 3cnnx

    nn=0 cnx

    n =0

    37

  • n=2(n 1)ncnxn +

    n=2 2(n 1)ncnxn2 +

    n=1 3cnnx

    n n=0 cnx

    n = 0n=2(n 1)ncnxn +

    n=2 2(n 1)ncnxn2 + 3c1x

    n=2 3cnnx

    n c0 +c1x

    n=2 cnx

    n = 0

    3c1x+ c0 + c1xn=2(n 1)ncnxn + 2(2 1)2c2x22 + 2(3

    1)3c3x32

    n=4 2(n 1)ncnxn2 +n=2 3cnnx

    n n=2 cnx

    n = 0

    3c1x+ c0 + c1x+ 4c2 + 12c3xn=2(n 1)ncnxn +

    n=4 2(n 1)ncnxn2 +

    n=2 3cnnxn

    n=2 cnx

    n = 0

    Hacemos k = n 2 para la segunda serie y k = n para las demas

    3c1x+ c0 + c1x+ 4c2 + 12c3xk=2(k 1)kckxk +

    k=2 2(k + 2 1)(k +

    2)ck+2xk+22 +

    k=2 3ckkx

    k k=2 ckx

    k = 0

    4c1x+ c0+4c2+12c3xk=2[(k1)kck+2(k+1)(k+2)ck+2+3ckk ck]xk = 0

    De esta igualdad se obtiene4c1 + 12c3 = 0c3 = c13c0 + 4c2 = 0c2 = c04(k 1)kck + 2(k + 1)(k + 2)ck+2 + 3ckk ckck+2 =

    3kck + ck (k 1)kck2(k + 1)(k + 2)

    =[3k + 1 k2 k]ck

    2(k + 1)(k + 2)=

    [4k + 1 k2]ck2(k + 1)(k + 2)

    Sustituyendo valores de k = 2, 3, 4, 5, ...c2 = c04c3 = c13c4 =

    (6+142)c22(3)(4) =

    1124 (

    14c0) =

    1196c0

    c5 =(12+19)c3

    2(4)(5) = 2040c3 =

    12 (

    13c1) =

    16c1

    c6 =(16+116)c4

    2(5)(6) = 3160c4 =

    3160 (

    1196c0) =

    31(11)(60)(96)c0

    c7 =(20+125)c5

    2(6)(7) =4484 c5 =

    1121 (

    16c1) =

    11126c1

    c8 =(24+136)c6

    2(7)(8) =59112 (

    11(31)60(96)c0) =

    11(31)112(60)(96)c0

    y = c0[ 14x2 + 1190x

    4 + 31(11)60(96)x6 + 11(31)112(60)(96)x

    8] + c1[ 13x3 + 16x

    5 + 11126x7]

    4 Transformada de Laplace

    1.

    f(t)

    {1, 0 t < 11, t 1

    L{f(t)} =0estf(t)dt =

    10est(1) +

    1est(1)

    = est

    s |10 +

    est

    s |1

    38

  • = es(1)

    s [es(0)

    s ] +es(1)

    s es()

    s

    = es

    s 1s +

    es

    s +0s

    = 2es

    s 1s

    2.

    f(t) =

    {t,

    1,

    0 t < 1t 1

    L[f(t)] =0estf(t) =

    10esttdt+

    1est(1)dt

    = est

    s (t1s )|

    10 + e

    st

    s |1

    = es(1)

    s (11s ) [

    es(0)

    s (01s )] + [

    es()

    s es(0)

    s ]

    = es

    s +es

    s2 +1s2

    1s

    f(t) = te4t

    L{te4t} =0estte4tdt =

    0te(s4)tdt

    = e(s4)t

    (s 4)2[s+ 3]|0

    = e(s4)

    (s 4)2 [

    e(s4)0

    (s 4)2]

    =0

    (s 4)2+

    1

    (s 4)2

    =1

    (s 4)2

    3.y+ 3y+ 2y = 0

    y(0) = 1 , y(0) = 1Aplicamos transformada de Laplace a toda la ecuacinL[y] + 3L[y] + 2L[y] = 0[s2Y (s) sy(0) y(0)] + 3[sY (s) y(0)] + 2[Y (s)] = 0s2Y (s) sy(0) y(0) + 3sY (s) 3y(0) + 2Y (s) = 0Sustituimos los valores inicialess2Y (s) s(1) 1 + 3sY (s) 3(1) + 2Y (s) = 0s2Y (s) s 1 + 3sY (s) 3 + 2Y (s) = 0FactorizandoY (s)(s2 + 3s+ 2) s 4

    39

  • Y (s) =4 + s

    s2 + 3s+ 2Separamos en fracciones parciales

    4 + s

    (s+ 2)(s+ 1)=

    A

    s+ 1+

    B

    s+ 2Por el mtodo de Heaviside

    A =(4 + s)(s+ 1)

    (s+ 2)(s+ 1)|s=1 =

    4 + (1)1 + 2

    = 3

    B =(4 + s)(s+ 2)

    (s+ 1)(s+ 2)|s=2 =

    4 22 + 1

    = 2

    Sustituimos en la ecuacion transformada.

    Y (s) =3

    s+ 1 2s+ 2

    Aplicamos la transformada inversa a cada trmino del desarrollo anterior.

    y(t) = L1[ 3s+ 1

    ] L[ 2s+ 2

    ]

    y(t) = 3L1[ 1s+ 1

    ] 2L[ 1s+ 2

    ]

    y(t) = 3et 2e2t

    y xy = 0

    Sutituyendo y =n=0 cnx

    n y la segunda derivada y =n=2(n1)ncnxn2

    n=2(n 1)ncnxn2 x (n=0 cnx

    n) = 0n=2(n 1)ncnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    Ahora sumamos las dos series igualando los indices de ambas sumas.

    2(1)c2x0n=3 n(n 1)cnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    2c2n=3 n(n 1)cnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    hacemos k = n 2 para la primera serie y k = n+ 1 para la segunda serie,de modo que: n = k + 2 , n = k 1 respectivamente.

    Sutituimos

    2c2n=3 n(n 1)cnxn2

    n=0 cnx

    n+1 = 0

    2c2k=1(k + 2)(k + 1)ck+2x

    k k=1 ck1x

    k = 0

    2c2k=1[(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1]xk = 0

    (k + 2)(k + 1)ck+2 ck1 = 0

    ck+2 =ck1

    (k + 2)(k + 1)

    40

  • Esta relacion genera coecientes consecutivos de la solucion propuesta, conel valor de k como enteros positivos.

    Ahora

    2c2 = 0 ; c2 = 0

    k = 1 , c3 =c03(2) =

    16c0

    k = 2 , c4 =c14(3)

    = 112c1

    k = 3 , c5 =c25(4)

    = 120c2 = 0 c2 = 0

    k = 4 , c6 =c36(5)

    = 130 (16 )c0 =

    1180c0

    k = 5 , c7 =c47(6)

    = 142 (112 )c1 =

    1504c1

    k = 6 , c8 =c58(7)

    = 0 c5 = 0

    k = 7 , c9 =c69(8)

    = 172 (1

    180 )c0 =1

    12960c0

    k = 8 , c10 =c7

    10(9)= 110(9)(504)c1

    k = 9 , c11 =c8

    11(10)= 0 c8 = 0

    Sustituyendo coecientes en la suposicion original

    y =c0+c1x+c2x

    2+c3x3+c4x

    4+c5x5+c6x

    6+c7x7+c8x

    8+c9x9+c10x

    10+c11x11+...,

    y =c0+c1x+0+

    16c0x

    3+ 112c1x4+0+ 1180c0x

    6+ 1504c1x7+0+ 112960c0x

    9+ 190(504)c1x10+0

    y = c0(1 +16x

    3 + 1180x6 + 112960x

    9) + c1(x+112x

    4 + 1504x7 + 190(504)x

    10)

    2.y (x+ 1)y y = 0

    Sutituyendo y =n=0 cnx

    nla primera derivadan=1 cnnx

    n1 y la segundaderivada y =

    n=2(n 1)ncnxn2

    n=2(n 1)ncnxn2 (x+ 1)n=1 cnnx

    n1 n=0 cnx

    n = 0n=2(n 1)ncnxn2

    n=1 cnnx

    n n=1 cnnx

    n1 n=0 cnx

    n = 0

    41

  • 2c2x0n=3(n 1)ncnxn2

    n=1 cnnx

    n c1x0n=2 cnnx

    n1 c0x

    0n=1 cnx

    n = 0

    hacemos k = n 2 para la primera serie, k = n 1 para la tercera, k = npara la segunda y la cuarta serie.

    c2c1c0+n=3(n1)ncnxn2

    n=1 cnnx

    nn=2 cnnx

    n1n=1 cnx

    n =0

    c2 c1 c0 +k=1(k + 2 1)(k + 2)ck+2xk

    k=1 ckkx

    k k=1 ck+1(k +

    1)xk k=1 ckx

    k = 0

    c2 c1 c0 +k=1[(k + 1)(k + 2)ck+2 kck (k + 1)ck+1 ck]xk = 0

    De aki se concluye que

    c2 = 0

    c1 = 0

    c0 = 0

    (k + 1)(k + 2)ck+2 (k + 1)ck+1 kck ck = 0

    ck+2 =(k + 1)ck+1 + (k + 1)ck

    (k + 1)(k + 2)

    Sustituyendo k = 1, 2, 3, ...,k = 1 , c3 =

    2c2+2c12(3) = 0

    k = 2 , c4 =3c3+3c2

    3(4) =312c3 = 0

    k = 3 , c5 =4c4+4c3

    4(5) = 0

    Serie de Taylor

    1.y = x+ 2y2

    y(0) = 0

    y(o) = 1

    Derivando

    y = 1 + 4yy

    y = 4yy + 4yy

    yiv = 4yy + 4yy + 4yy + 4yy = 12yy + 4yy

    yv = 12yy + 12yy + 4yy + 4yyiv

    42

  • yvi = 12yy+12yy+12yy+12yyiv+4yy+4yyiv+4yyiv+4yyv =36yy + 12yyiv + 4yy + 4yyiv + 4yyiv + 4yyv

    y(0) = 1 , y(0) = 4 , yiv(0) = 12 , yv(0) = 76 , yvi(0) = 408

    y(x) = x1! +x2

    2! +4x3

    3! +12x4

    4! +76x5

    5! +408x6

    6!

    1.f(t) = 4t 10

    L[f(t)] = 4L[t] 10L[1]L[f(t)] = 4

    0testdt 10

    0estdt

    Integramos por partes la primera integral40testdt =

    u = t , du = 1

    dv = est , v = est

    s

    = 4[(1)( est

    s )|0 +

    1s

    0

    (1)(est)]dt

    = 4ses() ( 4se

    s(0)) + 1sest

    s |0

    = 4s +1s

    [( es()

    s es(0)

    s )]

    = 4s +1s (

    1s ) =

    4

    s 1s2

    Hacemos la segunda integral

    100estdt = e

    st

    s |0

    = es()

    s (es(0)

    s )

    =1

    sentonces

    L[f(t)] =4

    s

    1

    s2

    1

    s=

    3

    s

    1

    s2

    2.f(t) = et/5

    L[f(t)] = L[et/5] =0et/5estdt

    =0e

    t5 (15s)dt = e

    t5(15s)

    15 (15s)

    |0

    = e5

    (15s)

    15 (15s)

    e05(15s)

    15 (15s)

    = 51 5s

    =5

    5s 1

    3.f(t) = et2

    L[f(t)] = L[et2]

    43

  • =0et2estdt = e2

    et(1s)dt

    = e2[ et(1s)

    1s ]|0 = (e

    2)( e()(1s)

    1s ) (e2)( e

    (0)(1s)

    1s )

    = e2

    1 s=

    e2

    s 1

    4.f(t) = et cos t

    L[f(t)] = L[et cos t]Por el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)a = 1

    L[cos t] = ss2+1 = L[et cos t] =

    s

    (s 1)2 + 1

    5.f(t) = et cos t

    L[f(t)] = L[et cos t]Por el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)a = 1L[cos t] =

    0est(cos t)dt

    Integramos por partesu = cos t , du = sin tdv = est, v =

    estdt = e

    st

    s0est(cos t)dt = cos t(

    est

    s)|0

    0ests ( sin t)dt

    = (cos t)est

    s|0 1s

    0est(sin t)dt

    Evaluamos el primer trmino y volvemos a integrar por partes el segundotrmino

    u = sin t , du = cos t

    dv = est , v = est

    s

    = [(cos)e

    s (cos 0)e

    0

    s] 1s

    [sin t( e

    st

    s )|0

    0

    ( est

    s ) cos tdt]

    =(1 + 1s2

    ) (0est cos tdt

    )=

    1

    s2estsin t|0

    1

    sestcos t|0 =

    1

    s

    0est cos tdt =

    1s

    1 + 1s2=

    s

    s2 + 1Aplicando el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)

    44

  • a = 1

    L[et cos t] =s+ 1

    (s+ 1)2 + 1

    6.

    f(t) =

    10

    1

    0 < t < 2

    2 t < 4t 4

    L[f(t)] =0estf(t)dt =

    20est(1)dt+

    42est(0)dt+

    4est(1)dt

    20est(1)dt = [

    1

    sest]20 =

    1

    se2s

    1

    se0 =

    1

    s

    [e2s 1

    ] 42est(0)dt = 0

    4est(1)dt =

    1

    sest|4 =

    1

    set +

    1

    se4s =

    1

    se4s

    L[f(t)] =1

    s

    (e2s 1

    )+

    1

    se4s =

    1

    s

    (e2s + e4s 1

    )7.

    f(t) =

    {3t

    0

    0 < t < 1

    t 1

    L[f(t)] = 10est3tdt+

    1est(0)dt 1

    0est3tdt = 3

    10testdt

    u = t , du = 1

    dv = est , v = est

    s

    = 3

    {t(

    est

    s)|10

    10(est

    s)dt = t(

    est

    s)|10

    1

    s[est

    s]

    }

    =3

    s

    {t(est)|10

    1

    s[est]10

    }=

    1

    s

    {[(es) 0] 1s [(e

    s) 1]}

    3

    s[es 1se

    s] =3

    ses(1

    1

    s) +

    1

    s21

    0dt = 0

    L[f(t)] =3

    ses(1

    1

    s+

    1

    s)

    Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F (s), donde f(t) = L1{F (s)}

    8.

    F (s) =1

    s2

    45

  • L1[ 1s2 ]L1[ n!sn+1 ] = f(t) = t

    n

    L1[ 1s2 ] = t

    Usar el teorema de la transformada de la derivada de una funcion paraencontrar F (s) dada f(t)

    9.

    f(t) = t sin 3t

    sean f(t) = t sin 3t , f(0) = 0f (t) = sin 3t+ 3t cos 3t, f (0) = 0f (t) = 3 cos 3t+ 3 cos 3t 9t sin 3t, f (0) = 6L[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)L[3 cos 3t+ 3 cos 3t 9t sin 3t] = s2L[t sin 3t] 0 06L[cos 3t] 9L[t sin 3t] = s2L[t sin 3t]6L[cos 3t] = s2L[t sin 3t] + 9L[t sin 3t]6L[cos 3t] = (s2 + 9)L[t sin 3t]6[

    s

    s2 + 9] = (s2 + 9)L[t sin 3t]

    L[t sin 3t] = 6s(s2 + 9)2

    10.f(t) = t cosh t

    sean:f(t) = t cosh t , f(0) = 0f (t) = cosh t+ t sinh t , f (0) = 1f (t) = sinh t+ sinh t+ t cosh tL[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)L[2 sinh t+ t cosh t] = s2L[t cosh t] 0 12L[sinh t] + L[t cosh t] = s2L[t cosh t] 12L[sinh t] = s2L[t cosh t] L[t cosh t] 12

    1

    s2 1= (s2 1)L[t cosh t] 1

    2

    (s2 1)+ 1 = (s2 1)L[t cosh t]

    2 + s2 1(s2 1)

    = (s2 1)L[t cosh t]

    L[t cosh t] = s2 + 1

    (s2 1)2

    46

  • 11.f(t) = t2 cos 3t

    Sean:

    f(t) = t2 cos 3t , f(0) = 0

    f (t) = 2t cos 3t 3t2 sin 3t , f (0) = 0

    f (t) = 2 cos 3t6t sin 3t(6t sin 3t+9t2 cos 3t) = 2 cos 3t12t sin 3t9t2 cos 3t

    Aplicando el teorema

    L[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)

    L[2 cos 3t 12t sin 3t 9t2 cos 3t] = s2L[t2 cos 3t] 0 0

    2L[cos 3t] 12L[t sin 3t] 9L[t2 cos 3t] = s2L[t2 cos 3t]

    2L[cos 3t] 12L[t sin 3t] = s2L[t2 cos 3t] + 9L[t2 cos 3t]

    2s

    s2 + 9 12 6s

    (s2 + 9)2= (s2 + 9)L[t2 cos 3t] podemos observar que la

    transformada de t sin 3t es6s

    (s2 + 9)2pues ya la habiamos resuelto

    anteriormente.

    2s(s2 + 9) 36s(s2 + 9)2

    = (s2 + 9)L[t2 cos 3t]

    2s3 + 18s 36s(s2 + 9)2

    = (s2 + 9)L[t2 cos 3t]

    2s3 18s(s2 + 9)2(s2 + 9)

    = L[t2 cos 3t]

    L[t2 cos 3t] = 2s3 18s

    (s2 + 9)3

    . Hallar f(t) mediante el teorema de la transformada de la integral dadaF (s)

    12.

    F (s) =1

    s(s 4)

    L1[

    1

    s(s 4)

    ]Sabemos que L1

    [1

    s a

    ]= eat, entonces:

    47

  • L1[

    1

    s(s 4)

    ]= t0ead =

    ea

    a|t0 =

    eat

    a 1adonde: a = 4

    =e4t

    4 1

    4=

    1

    4(e4t 1)

    13.

    F (s) =1

    s2(s+ 3)

    L1[

    1

    s2(s+ 3)

    ]=

    Si L1[

    1

    (s+ a)

    ]= eat , donde a = 3, entonces:

    L1[

    1

    s(s+ 3)

    ]= t0e3d =

    1

    3e3 |t0 =

    1

    3e3t 1

    3

    L1[

    1

    s2(s+ 3)

    ]= t0

    (1

    3e3t 1

    3

    )d =

    [1

    9e3 1

    3

    ]t0

    =1

    9e3t 1

    3t 1

    9

    f(t) =1

    9(e3t 3t 1)

    14.

    F (s) =3

    s2(s2 9)

    L1[

    3

    s2(s2 9)

    ]=

    Conociendo L1[

    a

    s2 a2

    ]= sinh at, donde a = 3, entonces:

    L1[

    3

    s(s2 9)

    ]= t0sinh 3d =

    1

    3cosh 3 |t0 =

    1

    3cosh 3t 1

    3

    L1[

    3

    s2(s2 9)

    ]= t0

    (1

    3cosh 3 1

    3

    )d =

    [1

    9sinh 3 1

    3

    ]t0

    =1

    9sinh 3t

    1

    3t

    f(t) =1

    9(sinh 3t 3t)

    Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, usando la transformada deLaplace

    15.y+ y = 0 , y(0) = 1

    L{y+ y} = L{0}

    48

  • Por el teorema de transformadas de derivadass2Y (s) sy(0) y(0) + Y (s) = 0Sustituyendo el valor inicials2Y (s) s(1) 0 + Y (s) = 0Y (s)(s2 + 1) 1 = 0Y (s) =

    1

    s2 + 1Aplicamos la transformada inversa a Y (s)

    L1[

    1

    s2 + 1

    ]= et

    por linealidady = ex

    16.y+ 4y = 2 , y(0) = 0 , y(0) = 0

    L [y+ 4y] = L [2]s2Y (s) sy(0) y(0) + 4Y (s) = 2

    sSustituyendo el valor inicial

    s2Y (s) 0 0 + 4Y (s) = 2s

    Y (s)(s2 + 4) =2

    s

    Y (s) =2

    s(s2 + 4)se aplica la transformada inversa

    L1[

    2

    s(s2 + 4)

    ]=

    Si L1[

    s2 + 2

    ]= sint donde = 2, entonces

    L1[

    2

    s(s2 + 4)

    ]= t0sin 2d = 1

    2cos 2 |t0 =

    1

    2cos 2t+

    1

    2

    f(t) =1

    2 1

    2cos 2t

    por linealidad

    y =1

    2 1

    2cos 2x

    17.y+ 16y = 4 , y(0) = 1 , y(0) = 0

    Aplicamos transformada de Laplace a la ecuacinL[y+ 16y] = L[4]

    49

  • s2Y (s) + sy(0) + y(0) + 16Y (s) = 4s

    Sustituimos los valores iniciales, y despejamos Y (s)

    Y (s)(s2 + 16) + s+ 0 =4

    s

    Y (s) =

    4

    s s

    (s2 + 16)=

    4s2s

    (s2 + 16)=

    4 s2

    s(s2 + 16)Aplicamos transformada inversa

    L1[

    4 s2

    s(s2 + 16)

    ]= L1

    [4

    s(s2 + 16)

    ] L1

    [s

    (s2 + 16)

    ]=

    L1[

    s

    s2 + 2

    ]= cost , donde = 4

    L1[

    s

    (s2 + 16)

    ]= cos 4t

    Entonces para L1[

    4

    s(s2 + 16)

    ]si L1

    [

    s2 + 2

    ]= sint , donde = 4

    L1[

    4

    s(s2 + 16)

    ]= t0sin 4d =

    [1

    4cos 4

    ]t0

    = [1

    4cos 4t 1

    4

    ]=

    14cos 4t+

    1

    4

    L1[

    4 s2

    s(s2 + 16)

    ]= 1

    4cos 4t+

    1

    4 cos 4t = 3

    4cos 4t+

    1

    4

    por linealidad

    y =3

    4cos 4x+

    1

    418.

    y 2y+ 5y = 0 , y(0) = 2 , y(0) = 4;Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuacinL [y 2y+ 5y] = L [0]Usamos formulas de transformadas de Laplace de derivadasL[y](s) = Y (s)L[y](s) = sY (s) y(0) = sY (s) 2L[y](s) = s2Y (s) sy(0) y(0) = s2Y (s) 2s 4Al sustituir estas expresiones en la ecuacin nos das2Y (s) 2s 4 2 [sY (s) 2] + 5Y (s) = 0s2Y (s) 2s 4 2sY (s) 4 + 5Y (s) = 0Factorizamos y despejamos Y (s)Y (s)(s2 2s+ 5) 2s 8 = 0Y (s)(s2 2s+ 5) = 2s+ 8Y (s) =

    2s+ 8

    (s2 2s+ 5)Ahora calculamos la transformada inversa de la funcin racional Y (s), para

    esto usaremos un desarrollo en fracciones parciales

    50

  • Como s22s+5 es irreducible, escribimos este factor en la forma (s)2+2(s 1)2 + 22

    Y (s) =2s+ 8

    (s 1)2 + 22=A(s 1) + 2B(s 1)2 + 4

    2s+ 8 = A(s 1) + 2BHacemos s = 1, 1en el primer caso obtenemos2(1) + 8 = A(2) + 2B , 6 = 2A+ 2B2(1) + 8 = A(0) + 2B , B = 56 = 2A+ 10 , A = 2Sustituimos estos valores en el desarrolo de fracciones parciales.

    Y (s) =2(s 1) + 2(5)(s 1)2 + 4

    =2s 2 + 10(s 1)2 + 4

    =2s+ 8

    (s 1)2 + 4aplicamos transformada inversa de Laplace

    2L1[

    s

    (s 1)2 + 4

    ]+ 4L1

    [2

    (s 1)2 + 4

    ]f(t) = 2et cos 2t+ 4et sin 2t

    19.w+ w = t2 + 2 , w(0) = 1 , w(0) = 1

    s2W (s) sw(0) w(0) +W (s) = L[t2] + L[2]W (s)(s2 + 1) s+ 1 = 2

    s3+

    2

    s

    W (s)(s2 + 1) =2 + 2s2

    s3+ s 1

    W (s) =

    2(1 + s2) + s4 s3

    s3

    s2 + 1=

    2 + 2s2 + s4 s3

    s3(s2 + 1)Aplicamos la transformada inversa

    f(t) = L1[

    2

    s3(s2 + 1)

    ]+L1

    [2

    s(s2 + 1)

    ]+L1

    [s

    (s2 + 1)

    ]L1

    [1

    (s2 + 1)

    ]Aplicamos el teorema de la transformada de la integral para las dos primeras

    transformadas inversas.

    L1[

    2

    s3(s2 + 1)

    ]= t02 sin d = 2 cos |t0 = 2 cos t+ 2

    = 2 t0[cos 1] d = 2(sin )|t0 = 2(sin t t) = 2t 2 sin t

    = 2 t0( sin )d = 2(1

    22 + cos )|t0 = t2 + 2 cos t 1

    = t0(2 + 2 cos 1)d = (1

    33 + 2 sin )|t0 =

    1

    3t3 + 2 sin t t

    L1[

    2

    s(s2 + 1)

    ]= t02 sin d = 2 cos |t0 = 2 cos t+ 2

    L1[

    s

    (s2 + 1)

    ]= cos t

    51

  • L1[

    1

    (s2 + 1)

    ]= sin t

    Sustituyendo

    f(t) =1

    3t3 + 2 sin t t 2 cos t+ 2 + cos t sin t

    References

    [1] Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill,Novena edicin, Editorial Cengage learning. Ejercicios 7.1, Problema 21

    [2] Ecuaciones diferenciales, Isabel Carmona Jover, Cuarta edicin, EditorialPearson Educacin, Ejercicios 7.1, Problemas 1, 4, 14, 18. Ejercicios 7.2,Problemas 1, 2, 5, 9, 10, 15, 18, 19

    [3] Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, R. Kent Na-gle, Edward B. Sa, Arthur David Snider, Cuarta edicin, Editorial Pearsoneducacin. Ejercicios 7.5, Problemas 1

    52