Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales a _ Orlando Cabrales -...

7/25/2019 Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales a _ Orlando Cabrales - Academia

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EJERCICIOS RESUELTOS DE

TRANSFORMADA DE

LAPLACE DE ECUACIONES

DIFERENCIALES A

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UniversidadNacionalExperimentaldelTchira.

DepartamentodeIngenieraElectrnica.

NcleodeInstrumentacinyControl.

Profesor:TitoGonzlez.

SanCristbal,Jueves15deOctubredel2009.

EJERCICIOSRESUELTOSDETRANSFORMADADELAPLACEDEECUACIONESDIFERENCIALES

INTRODUCCION.

Acontinuacinseobtienelasolucindetresecuacionesdiferencialespormediodelautilizacin

detransformadadirectaeinversadeLaplaceconelobjetodeestablecerlastcnicasbsicasparalaaplicacindelaherramientaenestaclasedeproblemas.

Losejerciciosseinicianhallandolasolucincompletaorespuestatotal,yposteriormentese

desarrollanlosconceptosderespuestalibre,respuestaforzada,larespuestatotalcomosumaalgebraicade

la respuesta libre y la respuesta forzada, para finalmente desarrollar el concepto de funcin de

transferencia.

Porotraparte,cadaunodelosejerciciosseacompaadesusrespectivasgrficastantoenel

dominiodelafrecuenciacomplejaScomoeneldominiodeltiempo,paramostrarelsignificadoy

valorescaractersticosdelatransformacin,enparticularlarelacinquehayentrelaposicindelospolos

yelcomportamientoentiempo.

Estosgrficos, serealizaron pormediode scripts enMatlabversin5.3, los cuales estnadisposicindelpublicoenotroapartado,aobjetodequeelinteresadoenel reaexperimenteconla

modificacindelosparmetrosqueseencuentranidentificadosparatalfinaliniciodelscript.

Cadaejercicioseencuentraidentificadoensuinicioconunnombrecdigocomo:TLEDE01,el

cualsignifica: Transformadade Laplacede Ecuaciones Diferenciales Ejercicio 01,demanerataldeno

perderelenlaceentreelejercicioresueltoylacodificacinenMatlab.
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UNET,Dpto.Electrnica,Nuc.Inst.yControl,TitoGonzlez,[email protected],15Oct2009.EjerciciosResueltosdeTransformadadeLaplacedeEcuacionesDiferenciales. 1/28


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( )

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( )

( )( )( )

d gt

dtg t sen t con g y g

Solucin

Aplicando Transformada Directa de Laplace

D g t g t sen t

D g t g t sen t

S G s Sg g G s

S

S G s G sS

G s S

S

G s SS

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

4 4 0 0 0 1

5

4 4

4 4

0 0 44

4

0 1

5 4

4

4

4 1

5

4

4

44

4

1

5

20

+ = = =

+ =

+ =

+ =

+

+ =+

+ =

+

+ =+

+ =+

:

L L

L L L

( )

( ) ( )

( ) ( )

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( )

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S

S

S

S

G sS

S SG s

S

S S

Aplicando Transformada Inversa de Laplace

G sS

S S

S

S S

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1

2 2

2 2 2 2

1

2 2

2 2 2 2

4

5 4

36

5 4

6

5 2 4

15

6

2 4

15

6

2 4

15

0 6

0 2 0 4

+

+=

+

+

=+

+ +

=+

+ +

=+

+ +

=

+ +

+ + + +

L L L

Ejercicio: TLEDE01

ObtengalaecuacinqueessolucindelasiguienteecuacindiferencialporelmtododelaTransformadadeLaplace,haciendousodetablasypropiedades.

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L L

L L L

L

=

+ ++

+ +

=

+ +

+

+ +

= + + +

1 1 1 1

2 2

2 2

2 2

1 1 1 1

1

2

12

1 2 2

2

2

22

1 1

1

1 1

2

2

2 2

0 2 0 4

1 2

G sM

S

M

S

G sM

S

M

S

G sM

sen tM

sen te et t forma de la

respuesta

( ) ( )[ ]{ } ( )

( )

( ) ( )[ ]{ } ( )

( )

( ){ } ( )

Hallando los coeficientes

M G s SS

SM

M G s S

S

S M

sustituyendo en la forma de la respuesta

G s g t sen

S j S j

S j S j

te

1 1 1

2

1

2

1 1

2

20 2

1 1

2 2 2

2

2

2

2

2

20 4

2 2

1 0

15

36

16

8

15 05333 0

15

36

4

1

3 03333

05333

2

2

= + + =+

+= = =

= + + =

+

+ = = =

= =

= + = +

= + = +

.

.

.L ( )

( )( )

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2 003333

4 4

02667 2 0 0834 4

0

1

t sen t

G s g t sen t sen t

e t+ +

+

= = + +

.

. .

L


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