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MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas. Unidad 7 Página 1 Unidad 12: DERIVADAS EJERCICIOS PROPUESTOS (14 EJERCICIOS OBLIGATORIOS PARA ENTREGAR JUNTO AL EXAMEN DEL SEGUNDO PARCIAL) Encuentra en tu libro de texto la tasa de variación media. Cuando estudiamos el crecimiento o variación de una función en un intervalo utilizamos la tasa de variación media, y cuando lo hacemos en un valor concreto de x utilizamos la tasa de variación instantánea. Ejercicio 12 1 .- Resuelve el ejercicio que aparece en el siguiente video. Video 12 1 a : https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w La T.V.I se calcula como la T.V.M. pero en el intervalo (x, x+h) donde h es un valor infinitamente pequeño. Veamos un ejemplo, siguiendo con la función del ejercicio anterior, la temperatura de un sólido. Hallemos la T.V.I en el tiempo 1 minuto. Interpretamos que en el tiempo 1 minuto la temperatura tiende a bajar 6 grados. (Hemos obtenido h 6 pero como h es prácticamente cero, redondeamos a 6). A este valor de T.V.I. se denomina derivada de la función y en el valor de x = 1. La derivada de una función en un valor de x tiene un significado geométrico y es el siguiente: la inclinación de la recta tangente. Lo encontrarás en tu libro de texto.
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  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 1

    Unidad 12: DERIVADAS

    EJERCICIOS PROPUESTOS (14 EJERCICIOS OBLIGATORIOS PARA ENTREGAR

    JUNTO AL EXAMEN DEL SEGUNDO PARCIAL)

    Encuentra en tu libro de texto la tasa de variación media.

    Cuando estudiamos el crecimiento o variación de una función en un intervalo utilizamos la

    tasa de variación media, y cuando lo hacemos en un valor concreto de x utilizamos la tasa de

    variación instantánea.

    Ejercicio 12 – 1 .-

    Resuelve el ejercicio que aparece en el

    siguiente video.

    Video 12 – 1 – a :

    https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w

    La T.V.I se calcula como la T.V.M. pero en el intervalo (x, x+h) donde h es un valor

    infinitamente pequeño. Veamos un ejemplo, siguiendo con la función del ejercicio anterior, la

    temperatura de un sólido. Hallemos la T.V.I en el tiempo 1 minuto.

    Interpretamos que en el tiempo 1 minuto la temperatura tiende a bajar 6 grados. (Hemos

    obtenido h – 6 pero como h es prácticamente cero, redondeamos a 6).

    A este valor de T.V.I. se denomina derivada de la función y en el valor de x = 1.

    La derivada de una función en un valor de x tiene un significado geométrico y es el siguiente: la

    inclinación de la recta tangente. Lo encontrarás en tu libro de texto.

    https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w

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    Unidad 7 Página 2

    Observa que la curva de una función en cada valor de x, o punto de la curva, tiene una recta

    tangente. Pues bien la inclinación de esa recta es el valor de la derivada.

    (El cálculo de la inclinación de una recta que denominamos pendiente, lo estudiamos en la

    unidad 4. Entonces tomábamos dos puntos y calculábamos el cociente de los incrementos de

    las variables)

    Ejercicio 10 – 2 .-

    De una forma analítica hallar la derivada supone calcular un límite. Esto se hace de la

    siguiente manera:

    Debemos calcular la T.V.M en el intervalo (x, x+h) o lo que es lo mismo la T.V.I.

    Hemos calculado de golpe todas las derivadas, es decir, la derivada en cualquier valor de x, a esto

    se denomina función derivada. Por ejemplo, la derivada en x = 4 la obtenemos sustituyendo la x por

    4 en la expresión de la derivada ( ) , y obtenemos que la derivada vale 5 – 2 · 4 = - 3 De la misma forma la derivada en x = 7 sería 5 – 2 · 7 = 5 -14= - 9

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    Unidad 7 Página 3

    No te preocupes que no tendrás que resolver límites para calcular las derivadas. Ya lo han

    hecho otros por nosotros, los matemáticos de épocas anteriores, no hace tantos siglos, y han

    construido unas reglas de derivación como método sencillo de obtener la función derivada. Las

    veremos a continuación.

    Presta atención al ejemplo que aparece en el siguiente video.

    Video 7 – 3 – a :

    https://www.youtube.com/watch?v=a0R0iohHRRE

    Vamos a estudiar cómo se manejan las fórmulas del cálculo de derivadas con la ayuda de la

    página web VITUTOR. Allí encontrarás muchos ejercicios resueltos y es bueno que practiques todo

    lo que puedas pues coger agilidad en el cálculo de derivadas es complicado. En cualquier caso, ten

    presente que el próximo curso volveremos a estudiar las derivadas. Me conformo con que este curso

    aprendas más o menos las reglas de cálculo y el próximo ya las memorices.

    https://www.youtube.com/watch?v=a0R0iohHRRE

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    Ejercicio 10 – 3 .-

    Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las

    derivadas de las siguientes funciones:

    https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html

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    Unidad 7 Página 5

    Ejercicio 10 – 4 .-

    Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las

    derivadas de las siguientes funciones:

    https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html

  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 6

    Ejercicio 10 – 5 .-

    Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las

    derivadas de las siguientes funciones:

    https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html

  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 7

    Ejercicio 10 – 6 .-

    Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las

    derivadas de las siguientes funciones:

    Ejercicio 10 – 7 .-

    Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las

    derivadas de las siguientes funciones:

    https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.htmlhttps://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html

  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 8

    Ya hemos visto la derivación de funciones compuestas en el apartado anterior, pero vamos a seguir con más ejemplos y ejercicios. Se denomina regla de la cadena.

    Ejercicio 10 – 8 .-

    Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las

    derivadas de las siguientes funciones:

    TE AVISO QUE ESTE TEMA LO VOLVERÁS A ESTUDIAR EN LA

    ASIGNATURA DE SEGUNDO CURSO. POR LO TANTO TIENES DOS

    CURSOS PARA APRENDER A DERIVAR UNA FUNCIÓN.

    APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

    La ecuación de la recta tangente a una curva.

    Si queremos calcular la derivada de una función en un punto recurrimos a la función

    derivada. Por ejemplo:

    ¿Cuánto vale la derivada de la función ( ) √ en el punto x = 2?

    Obtenemos la función derivada: ( )

    √ ( )

    Calculamos la derivada en x = 2, ( )

    Una de las aplicaciones geométricas de la derivada más interesantes es la ecuación de la

    recta tangente. Encuentras la fórmula en tu libro de texto.

    https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html

  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 9

    ( ) ( ) ( ) ( )

    Aquí tienes un ejemplo:

    La ecuación de la recta tangente en x = 2

    Primero calculamos la derivada ( )

    Necesitamos conocer tres números: a, f(a), f ’(a).

    El valor a nos viene dado es a = 2

    El valor f(a) se calcula sustituyendo en f(x) la variable x por el valor a, que es 2, así:

    ( ) ( )

    El valor f ‘(a) se calcula haciendo lo mismo pero en la derivada f ‘(x)

    ( ) ( )

    Sustituimos estos tres valores en la fórmula que aparece en el recuadro inferior, y obtenemos

    ( ) que es lo mismo que

    La ecuación de la recta tangente a la curva de f(x) en x = 2 es la recta

    Ejercicio 10 – 9 .-

    Resuelve el siguiente ejercicio que

    aparece en el video.

    Video 7 – 7 – a:

    https://www.youtube.com/watch?v=YQ4R4RRr2dI

    MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN

    La aplicación de la derivada que resulta más interesante es la obtención de máximos y

    mínimos locales o relativos de una función.

    Para ello se estudian los puntos singulares, aquellos

    donde la derivada se anula. Estos son los candidatos a ser

    máximos o mínimos relativos.

    Ejercicio 7 – 10 .-

    En el siguiente video quiero que prestes atención

    únicamente al cálculo de los máximos y los mínimos. Luego

    intenta calcularlos tú en tu cuaderno. Video 7 – 8 – a : https://www.youtube.com/watch?v=5PnzLrfz0Dg

    https://www.youtube.com/watch?v=YQ4R4RRr2dIhttps://www.youtube.com/watch?v=5PnzLrfz0Dg

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    Unidad 7 Página 10

    Determinar los tramos donde una función crece o decrece.

    En VITUTOR tienes algunos ejercicios resueltos: https://www.vitutor.com/fun/5/a_2.html

    https://www.vitutor.com/fun/5/a_2.html

  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 11

    (El criterio para determinar si en un intervalo la función crece o decrece es el siguiente:

    Toma un número dentro de dicho intervalo, y sustituyelo en la función derivada; si obtienes

    un valor positivo concluimos que la función crece; si obtienes un valor negativo concluyes que

    la función decrece. Lo verás en los siguientes videos)

    Ejercicio 10 – 11 .-

    Resuelve en tu cuaderno el ejercicio que aparece en este video (pero sólo la parte donde se

    pide estudiar el crecimiento y los máximos y mínimos).

    Video 10 – 9 – a : https://www.youtube.com/watch?v=2MgUEATf72Q

    Representar una función de la que se le dan todos los datos más relevantes

    (ramas infinitas y puntos singulares).

    Es muy importante que sepas “leer” una gráfica, es decir, que puedas visualizar los

    elementos más característicos de la curva.

    Presta atención a los siguientes ejemplos:

    https://www.youtube.com/watch?v=2MgUEATf72Q

  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 12

  • MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.

    Unidad 7 Página 13

    Con todo lo estudiado hasta ahora ya deberías ser capaz de representar funciones

    polinómicas.

    Ejercicio 10 – 12.-

    Representa la función que aparece en el

    siguiente video. (Presta atención a todos los datos

    que obtiene de la expresión algebraica de la

    función. En este curso no hace falta saber

    obtenerlos todos. Limítate a estudiar el

    crecimiento y los máximos y mínimos. Con una

    tabla de valores adecuada obtendrás la gráfica de

    la función) ( )

    Video 10 – 12 – b :

    https://www.youtube.com/watch?v=-UDfG9DJ58Y

    CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS UTILIZANDO LAS DERIVADAS

    Regla de L’Hôpital

    https://www.youtube.com/watch?v=-UDfG9DJ58Y

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    Unidad 7 Página 14

    Ejercicio 10 – 13.-

    Hemos acabado la unidad y con los contenidos de la segunda evaluación. El próximo

    curso volverás a estudiar las derivadas y verás que se utilizan en problemas con enunciado. Te

    adelanto un problema que estudiaremos entonces.

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    Unidad 7 Página 15

    Ejercicio 10 – 14.-

    Resuelve en tu cuaderno el ejercicio anterior cambiando en el enunciado el 60 por 120.