Unidad 4 Derivadas

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    10-Aug-2015
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CALCULO DIFERENCIALOBJETIVO EDUCACIONAL El estudiante comprender el concepto de derivada; su interpretacin geomtrica y fsica, desarrollar la capacidad de derivar funciones algebraicas y trascendentes mediantereglas dederivaciny latcnicadederivacin implcita.714.1 Definicin de la derivada. 4.2 Interpretacin geomtrica y fsica de la derivada. 4.3 Derivada de la funcin constante, derivada del producto de una constante por una funcin, derivada de la funcin xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un nmero real, derivada de una suma de funciones, derivada de un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones. 4.4 Derivada de las funciones exponenciales. 4.5 Derivada de las funciones trigonomtricas. 4.6 Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena). 4.7 Derivada de la funcin inversa. 4.8 Derivada de las funciones logartmicas. 4.9 Derivada de las funciones trigonomtricas inversas. 4.10 Derivada de las funciones implcitas. 4.11 Derivadas sucesivas. 4.12 Funciones hiperblicas y sus derivadas.4.13 Teorema del valor medio y teorema de Rolle. 4LA DERIVADA CALCULO DIFERENCIAL4.1 Definicin de derivada.-La derivacin de una funcin y = f (x) con respecto a x en un punto ox x . Se define por l lmite: o ox 0 x 0(x x) f(x ) ylim limx x + 4.2 Interpretacin geomtrica y fsica de la derivada.La derivacin nos representa un movimiento de la secante (recta pendiente), a travs de una curva cualquiera, hasta lograr sertangente de la misma, por lo que va tomando valores diferenciales. 1dy yydx x Que nos da la pendiente (m) de la tangente a la curva y = f (x) en el punto P. Como se indica en la figura de acuerdo a su interpretacin geomtrica. 72SecanteP2 ()x y P1 (x, y)ym tag Pendientex yx(fx) CALCULO DIFERENCIALAplicacin de la definicin de derivada a funciones por medio de Incrementos. Consiste en encontrar la derivada de una funcin sustituyendo directamente en la expresin de su definicin. o ox 0 x 0(x x) f(x ) ylim limx x + Ejemplos:22x 0 x 02 2x 0x 0 a). y = x+ 3xy y +y = (x +x) + 3 (x +x) lim=lim =x xy +y - y = (x +x)+ 3 (x +x) - x - 3xlimxy - y + lim 2 2 22x 0 x 0y = x+ 2x x +( x )+ 3x + 3x - x- 3x

xy 2x x +x+ 3 xlim=limx xy = 2x + 3x x 0x 0 x 0b). y x y y - y x x x limxy x x x ( x x x)( x x x)x xx( x x x)x x x 1x( x x x) x x xy 1lim limxx x xy 1x2 x + + + + + + + ++ + + + ++ +73ym tg derivadax CALCULO DIFERENCIAL4.3 Derivada de las funciones. Reglas para aplicar la derivacinAqu se desarrollan frmulas que permiten acortar el largo proceso al derivar funciones sencillas hasta la ms complicada, en forma casi instantnea haciendosudeduccinpor mediodeincrementos. Larepresentacindela funcin, puede ser f(x) o simplemente y. Por lo tanto la representacinde su derivada ser f1(x) o tambin y1. Regla 1.De la funcin constante11x 0 x 0 x 0Si f(x) = c entonces f (x) 0(x x) f(x) c c 0f (x) lim lim lim 0x x x + Ejemplos:a). f(x) = 2 f1(x) = 0b). y = 2345y1 = 0c). y = 0.675f1(x) = y1= 0Regla 2.De la funcin identidad 11x 0 x 0 x 0Si f(x)=xEntonces f (x) 1(x x) f(x) x x x xf (x) lim lim lim 1x x x + + Ejemplos:a). y= x y1 = 1b). y = x+1 y1 = 1c). y = x - 4y1 = 174 CALCULO DIFERENCIALRegla 3.Del mltiplo constante1 11x 01x 0 x 0si f(x) c f(x)entonces f (x) c f (x)c. f (x x)-c . f (x)f (x) limx f (x x)- f (x) f (x x)- f (x)lim c.c . limc . f (x)x x + + + Ejemplos:a). y = 3x y1 = 3(1) y1 = 3b). y = 3x2 y1 = 3(2)x2-1 y1 = 6xRegla 4.De las potenciasn 1 n 1n n1x 0 x 0n n 1 n 2 2 n 1 nx 0n 1 n 2 2 nx 0si f(x) x entonces f (x) nxf (x x)-f (x) (x x) xf (x) lim limx xn(n 1)limx nx x n ( x) ..... nx( x) ( x) x2n(n 1)nx x ( x) ..... nx( x)2lim x [ + + + + + + + + + + + 2 n 11 n 1( x)]xf (x) nx+Ejemplos:a). y = x2 y1 = 2x2-1 y1 = 2xb). y = 5x3 - 3x2 +x 3 y1 = (5)(3)x3-1 - (3)(2)x2-1 + x1-1 - 0 y1 = 15x2 6x + 175 CALCULO DIFERENCIAL1 1 3 -12 2 231 1 3 2 5 1 -1-1 12 2 2 2 223 5 5c). y x y x3x- x4x 4x1 3 5 1 9 5y x3 x xy x 2 2 4 2 4x2 x

+ + _ + + + ,En este caso podemos transformar la funcin xn a um quedando la frmula para la derivacin de la siguiente forma:y = um y1 = m u m-1 duEjemplos:a). y = (x2 -3)4 y1 = 4(x2 3)4 1 (2x)y1 = 8x(x2 3)32 22 21 2 2 1 1 2 3 12 33b). yy = 3(x 16) (x 16)12y (3)( 2)(x 16) (2x) y 12x(x 16)y(x 16) 2c). y x 8x 4 + +

122y (x 8x 4) + +

1 11 2 1 12 22 21 2x 8 x 4y (x 8x 4) (2x + 8) y y22 x 8x 4 x 8x 4+ + + + + + + +

Regla 5.De lasumaSi f(x) + g(x) son funciones diferenciables.Entonces (f + g)1(x) = f1(x) + g1(x) Donde:x 0 x 0 x 0[f(x x) g(x x)] [f(x) g(x)] f(x x) f(x) g(x x) g(x)lim lim[ ] lim[ ]x x x + + + + + + + = f1(x) + g1(x) Regla 6.Del cociente76 CALCULO DIFERENCIALSean f y g dos funciones diferenciables y g(x) 0 11 12f f g(x)f (x) f(x)g (x)si entonces (x)g g g (x) _ ,x 0 x 0x 0x 0f(x x) f(x)g(x)f(x x) f(x)g(x x) 1 g(x x) g(x)lim limx x g(x)g(x x)g(x)f(x x) g(x) f(x)g(x) f(x)g(x x 1limx g(x)g(x x)f(x x) f(x) g(x x) g(lim g(x) f(x)x + 1 + + + 1 1 1 + ] ] 1 + + + 1 1 1 + ] ]+ + 1 12x) 1 g(x)f (x) f(x)g (x)x g(x)g(x x) g (x) 1 1 1 1 + ] ]Ejemplos:( )( )( ) ( )( )3223 22 2 2 222 2 2 2 312 23 5 7 2 4 612-3xa). y2x 4u 2-3x du3 2-3x ( 6x) 18x(2 3x )v 2x-4 dv 2(2x-4)(2) (8x-16) (2x 4) ( 18x)(2 3x ) (2 3x ) (8x 16) y[(2x 4) ]3136x 1728x 648x 1344x 3456x 2592x 1536x 256 y = (2 + + +4 x-4)77 CALCULO DIFERENCIAL12 22m m-12 2 2 2 22 2 21 22 22 212212x 2 x 2b).y yx 3 x 3 u mu du u vdu-udv dv dvx 2 (x 3)(2x)-(x 2)(1) 2x 6x x 2 x 6x 2 u dux 3 (x 3) (x 3) (x 3)1 x 2 x 6x 2 y2 x 3 (x 3)x 6x 2yx 22 _

+ + , + + + + + + + + + _ _ + + + + , ,+ +( )2212 3

x 3x 3x 6x 2y2( x 2)( (x 3) ) _+ + ,+ + +Regla 6. Del producto:x 0x 0x 0x 0 x 0 x 0d u(x x)v(x x) u(x)v(x)(uv) limdx xu(x x)v(x x) u(x x)v(x) u(x x)v(x) u(x)v(x)limxv(x x v(x) v(x x) u(x)lim u(x x) v(x)x xv(x x) v(x)lim u(x x). lim v(x). limx + + + + + + + + + 1 + + 1 ]+ + +u(x x) u(x)x+ duv = udv +vduEjemplos;( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21 21 2a). y x 3 x 4y x 3 1 x 4 2xy 3x 4x 3 + + + +78 CALCULO DIFERENCIAL( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2 2 221 11 2 2 22 231 22b). y x 2 x 3x 2 x 31y x 2 2x x 3 x 2 2x2x 6xy 2x x 2x 2 _ + , +( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 31 3 2 3 21 5 3 2c). y 4 x x x 2y 4 x 3x 1 x x 2 3xy 6x 3x 6x 4 + + + + + ( )( )( )2 2 3 32 2 2 233 3 2 2 2 3 221 2 2 3 2 3 3 21 10 9 8 7 6 5 4 3d).y (x 4) (2x 1) u = (x 4) du2x 4 (2x) 4x(x 4)v 2x 1 dv3(2x -1) (6x ) 18x (2x -1)y x 4 18x (2x -1) (2x -1 ) 4x(x 4)y =88x 640x 1152x -96x 672x 1152x 30x 192x 2 + + + + + + ++ + + + +288x 8

4.4 Derivadas de funciones exponencialesu uu uu uReglas de derivacind du(a )aln adx dx d du(e )e dx dxd du(ce )ce dx dx 79 CALCULO DIFERENCIALEjemplos:333xu u321 x 212 x a). y 3ed du(ce )ce dx dx u x c 3du3x dxy 3e (3x )y 9x e 3332xu u3 21 2x 21 22xb). y ad du(a ) (a )ln a dx dxduu 2x 6x dxy a ln a6xy 6x a ln a 3 xn n 1x u3 x2 x1 3 x x 21 3 x x 2c). y x ad dv du(u) (v)u vdx dx dxd(x ) nxdxd du(a ) a ln a dx dxu xv adu du3x a ln adx dxy x (a ln a) a (3x ) yxaln a 3a x + + +80 CALCULO DIFERENCIAL4.5 Derivadas de funciones trigonomtricasFrmulas que aplicamos para las funciones trigonomtricas.22d du(sen u) cos udx dxd du(cos u) sen udx dxd du(tag u) sec udx dxd du(cotu) csc udx dxd du(secu) secutanudx dxd du(cscu) cscucot udx dx Identidades que aplicamos en las funciones trigonomtricas.81( ) ( ) ( ) ( )ax axax ax2ax ax ax ax ax ax ax ax1ax ax 22ax 2ax 2ax 2ax1ax ax 21ax ax 2e ed). ye edu dvv ud udx dxdx v ve e a e e e e a e ey(e e )ae a a ae ae a a aey(e e )4ay(e e ) + 11+ + ] ]++ + + + + ++ CALCULO DIFERENCIALsenx 1tanxsec xcosx cosxcosx 1cot xcot xsenx tanx1csc x senx 2 22 2 2 2sen x cos x 11 tan x sec x1 cos x csc xcat opsenx hip+ + + cat adcosxhipcat optanxcat ad Ejemplos:

a). y =sen xy1 = cos x (1)y1 = cos x b). y = sen 2x + cos 3xy1 = cos 2x (2) + (- sen 3x)(3) y1 = 2 cos 2x 3 sen 3xc). y = tag x2y1 = sec2 x2 (2x)y1 = 2x sec2 x2 d). y = tag2 xy = (tag x)2y1 = 2(tagx)2-1 (sec2x) y1 = 2tagx sec2xe). y = cot(2 3x2)y1 = -csc2(2 - 3x2)(-6x)82 CALCULO DIFERENCIALy1 = 6x csc2(2 - 3x2)f). y = x2 senxy1 = x2(cosx)(1) + senx(2x)y1 = x2 cosx + 2x senx g).senxyx12x(cosx)(1) senx(1)yx +12xcosx senxyx +y = (-csc 4x)(cot 4x)y1 = (-csc 4x)(-csc2 4x)(4) + (cot 4x)(-csc 4x)(cot 4x)(4)y1 = 4 csc34x 4 cot24xcsc4x 4.6 Derivadas de las funciones compuestas (Regla de la Cadena).Regla de la cadena. Es una forma prctica de derivar funciones, la podemos definir de la siguiente forma:Si f(u) es diferenciable en el punto u = g(x), y g(x) es diferenciable en x, esto determina la funcin compuesta y = (f g)(x) f(g(x)) es diferenciable en x, y1 1 1(f g) (x) [f (g(x))][g (x)] Si suponemos que y = f(u) y u = g(x) tenemos que dy dy du*dx du dxEjemplos:83 CALCULO DIFERENCIALa). y = (4x2 6x)5Tomaremosy = u5 yu =4x2 6xdy dy du*dx du dxdydx (5u4)(8x 6)dydx 5(4x2 6x)4(8x 6)22b). y x 4tomaremos f(u)= u y u x 4 + +dy dy du*dx du dxdydx 12 u* 2xdydx 212 x 4 +* 2x1c). y sen x1u x u2 xdy 1cos x *dx2 x 4.7 Derivadas de funciones trigonomtricasinversas.84 CALCULO DIFERENCIALComo ejemplo la funcin inversa de x = senyesy = arc senx. Obedece a las siguientes reglas para su derivacin. 222222d 1 du (arc sen u) dx dx1-ud 1 du (arc cos u) dx dx1-ud 1 du (arc tag u) dx 1 u dxd 1 du (arc cot u) dx 1 u dxd 1 du (arc sec u) dx dxu u 1d 1 du (arc csc u) dx u (u 1) dx + + Ejemplos:12 a). yarc sen x1 y (1)1-xb). y = arc sen (6x 4)111y (6)1 (6x 4)6y1 (6x 4) c). y = arc cos x4 1 383181y (4x )1 x4xy1 x d). y = arc tag 3x285 CALCULO DIFERENCIAL16161y (6x)1 9x6xy1 9x++4.8 Derivadas de funciones logartmicas.Propiedades de los logaritmos de base a.a a a a a aya a aRegla del producto Regla del cociente xlog xy log x log ylog log x log yyRegla de la potencia Regla del reciproco1log log x log x yx + alog xa aFrmulas de derivacinlogartmicad 1 du(log u)loge dx u dxd 1 du(ln u) dx u dx Ejemplos:2a1a 21a 2a). y log (3x 2)1y log e (6x)3x 26xy log e 3x 2 +