Ejercicios Finanzas I Solemne 3

7/25/2019 Ejercicios Finanzas I Solemne 3

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Pauta Banco de Preguntas

Unidad II.

1. Presupuesto de Capital y Tcnicas para Evaluar Presupuesto deCapital

1. Suponga que una empresa est considerando un gasto de $1.6 millones paradesarrollar una mina de carbn. La mina producir un flujo de efectivo neto de $10millones al final del ao 1. Posteriormente al final del ao 2, se debern gastar $10millones para restaurar el terreno y dejarlo en condiciones originales. Si el costodel capital es del 10%:

a) De acuerdo al criterio del VAN, Aceptara el proyecto de la mina de carbn?

Respuesta

!"# ! !!!!!!"

!! ! !!!!!

!!"

!! ! !!!!! ! !!!!

De acuerdo al criterio del VPN el proyecto se rechaza.

b) Por qu aplicar el criterio de la TIR resultara inadecuado en este proyecto?

Respuesta

Porque si dicho criterio se aplica existirn tasas internas de rendimiento mltiples.Matemticamente, las TIR mltiples son resultado de la regla de los signos dedescartes, segn la cual cada vez que los flujos de caja cambian de signos seproduce una nueva raz para la solucin del problema. Para el ejemplo anterior,los signos de los flujos de caja cambian dos veces. La tasa de rendimiento internoes aquella que provoca que el valor descontado de los flujos de caja sea igual acero.De conformidad con esto, resolvemos la siguiente ecuacin para la TIR:

,)IRR1(

000,10

)IRR1(

000,10

)IRR1(

600,10VPN

210+

!

+

+

+

+

!

==

.10000)1(000,10)1(600,10 2 ++!+= IRRIRR

Esta es evidentemente una ecuacin de segundo grado y posee dos races. Tiene laforma general:


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02

=++ cbxax

Y se puede resolver mediante la ecuacin de segundo grado:

a

acbbx

2

42!!

=

Por lo tanto, en el caso de nuestro ejemplo, las races son:

)600,1(2

)000,10)(600,1(4000,10000,10)1(

2!

==+ xIRR

200,3

000,6000,10)1(

=+ IRR

%25=IRR

%400=IRR

Tasas internas de retornos mltiples

2. En la tabla de abajo se enumeran las estimaciones de flujo de caja de cuatroproyectos, cada uno con una duracin de cinco aos. Puesto que sonrecprocamente excluyentes, uno de ellos maximiza el precio de las acciones de laempresa; dicho de otro modo, hay uno solo que maximiza el patrimonio de losaccionistas. Suponga que los cuatro proyectos son igualmente riesgosos. La tasa dedescuento es del 10%.

Flujos de cajaAo A B C D Factor valor presente al 10

%


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0 -1000 -1000 -1000 -1000 10001 100 0 100 200 0,9092 900 0 200 300 0,8263 100 300 300 500 0,7514 -100 700 400 500 0,6835 -400 1300 1250 600 0,621

Determine qu proyecto maximiza el precio de las acciones de la empresa, dicho deotro modo, determine que proyecto maximiza el patrimonio de los accionistasutilizado:

a) El Mtodo de Amortizacinb)

La Tasa de Rendimiento Contablec) El Valor Presente Netod) La Tasa Interna de Rendimiento

Respuesta

a) El Mtodo de Amortizacin

El mtodo de amortizacin se refiere simplemente a la cantidad de aosnecesariospara recuperar el desembolso de caja inicial del proyecto. Los periodos deamortizacin de los cuatro proyectos son:

Proyecto A 2 aos

Proyecto B 4 aosProyecto C 4 aosProyecto D 3 aos

Si la administracin observase estrictamente el mtodo de amortizacin,escogera el proyecto A, que tiene el periodo de amortizacin ms breve

b) La Tasa de Rendimiento Contable (TRC)

La tasa de rendimiento contable es la utilidad promedio despus de impuestosdividida por el desembolso inicial de caja. Por ejemplo, suponiendo, para mayorcomodidad, que las cifras de la tabla son utilidades contables, la utilidad

promedio despus de impuestos (UPDI) correspondiente al proyecto A es:

805

4001001009001001000TRC !="

#

$%&

' !!+++!=

Y la TRC es:

!"# !!"#$

!"#$%&'!!"#$#%&


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Las TCR correspondientes a los cuatro proyectos son:

Proyecto A ARR = - 8%Proyecto B ARR = 26%

Proyecto C ARR = 25%Proyecto D ARR = 22%

Si estuvisemos empleando la tcnica de la TCR, escogeramos el proyecto Bcomo el mejor.

c) El Valor Presente Neto (VPN)

Los VPN de los cuatro proyectos son:

Proyecto A NPV = -407.30

Proyecto B NPV = 510.70

Proyecto C NPV = 530.75

Proyecto D NPV = 519.20

Si estos proyectos fuesen independientes, en lugar de mutuamente excluyentes,rechazaramos A y aceptaramos B, C y D. Dado que son mutuamente excluyentes,seleccionamos el que posee el mayor VPN, es decir, el proyecto C. El NPV de unproyecto es exactamente lo mismo que el aumento del patrimonio de los accionistas.Este hecho hace de l la regla correcta de decisin para los efectos de elaborar elpresupuesto de capital.

d) La Tasa Interna de Rendimiento (TIR)

Las TIR de los cuatro proyectos son:

Proyecto A TIR =

Proyecto B TIR = 20.9%Proyecto C TIR = 22.8%Proyecto D TIR = 25.4%

Si empleamos el criterio de la IRR y los proyectos son independientes, aceptamostodo proyecto cuya IRR sea superior al costo de oportunidad del capital, que es de


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10%. Por lo tanto, aceptaramos los proyectos B, C y D. Sin embargo, dado que estosproyectos son recprocamente excluyentes, la norma de la TIR nos lleva a aceptar elproyecto D como el mejor.

3. La empresa QQ est considerando reemplazar una tecnologia que hace chocolates

por una con un diseo nuevo que incrementar las utilidades antes que ladepreciacin desde $20000 anual a $60000 anual. La tecnologia nueva tendr uncosto de $120000 y tendr una vida estimada de ocho aos, sin valor de rescate.Los impuestos son de un 20%, y la tasa de descuento de QQ es de 10%. Latecnologia vieja ha sido depreciada completamente y no tiene un valor de residual.Debera la tecnologia vieja ser reemplazada por la nueva? (Use el criterio delVAN).

Respuestatem Ao 0 Ao1 Ao 2 Ao 3 Ao 4 Ao 5 Ao 6 Ao 7 Ao 8

Ingresos 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000

(Depreciacin) -15000 -15000 -15000 -15000 -15000 -15000 -15000 -15000

UAI 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000

Impuestos -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000

UDI 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000

Inversin -120000

Depreciacin 15000 15000 15000 15000 15000 15000 15000 15000

Flujo de CajaNeto -120000 35000 35000 35000 35000 35000 35000 35000 35000

VAN = $ 66722,42

4. Explique otro defecto de la TIR, distinto al de las tasa internas de rendimiento

mltiple.

Respuesta

Defecto de la TIR: Prestar o Endeudarse?


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Puesto que no todos los flujos de caja tienen la propiedad de que el VAN disminuyaa medida que el tipo de inters aumenta, con el siguiente ejemplo veremos otrodefecto de la TIR;

Consideremos los Proyectos X e Y;Proyecto

0I 1I TIR en % VAN al 10%

X -1000 +1500 +50 +364

Y +1000 -1500 +50 -364

Como podemos apreciar cada proyecto tiene una TIR del 50%, es decir:

Para el proyecto X tenemos: 05,1

15001000 =+! y,

Para el proyecto Y tenemos: 05,1

15001000 =!+

Si considerramos como criterio de decisin la TIR, significara que los proyectos sonigualmente atractivos, lo que claramente nos conducira a un error.

En el caso del proyecto X, donde inicialmente estamos pagando 1000$, estamosprestando dinero al 50% en el caso Y, donde inicialmente estamos recibiendo 1000$estamos tomando dinero al 50%. Cuando prestamos dinero, deseamos una alta tasade rentabilidad; cuando nos endeudamos deseamos una tasa de rentabilidad baja.

Obviamente, el criterio de la TIR, como se ha indicado anteriormente, no funciona eneste caso; tenemos que buscar una TIR menor que el costo de oportunidad del capital.

2. Tpicos Avanzados de Presupuesto de Capital (Opcional)

1. Proyectos con distintas duraciones

A continuacin estudiaremos los mtodos ocupados para evaluar proyectosmutuamente excluyentes con diferentes tiempos de duracin (diferentes vidas).

Empezamos demostrando la tcnica correcta. Esta usa el VPN asumiendo que losproyectos son repetitivos infinitamente a igual escala (igual tamao). Un buenejemplo de proyecto repetitivo es la tala de rboles. Despus de la tala, unasuperficie idntica es replanteada y el proyecto comienza nuevamente a igualescala.

1.1 Una tcnica VPN para evaluacin de proyectos con diferentesduraciones


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Considere los flujos de caja estimados para dos proyectos que se muestraen la tabla 1.1. Si el costo de oportunidad del capital es 10 %, el VPN para losproyectos ser:

41.0=APROYECTO

VPN

50.0=BPROYECTO

VPN

TABLA 1.1. PROYECTOS CON DIFERENTES VIDAS

Aos Proyecto A Proyecto B0 -10 -101 6 42 6 43 4.75

Por ms que tengan sentido que los proyectos puedan ser replicados a igual

escala, el proyecto A debera ser superior al proyecto B porque ste recupera msrpido el flujo de caja. Para comparar proyectos con diferentes duraciones,calculamos el VPN para un flujo infinito de repeticiones de igual escala.

Permitamos que el ),( !NVPN sea el VPN de N proyectos con )(NVPN de

infinitas replicaciones. Esto es exactamente lo mismo que se pagara la anualidad alprincipio del primer perodo y al final de todos los N aos desde que empez.

El VPN de la anualidad es:

!+

+

!

+

+

!

+!="!NN

k

NVPN

k

NVPNNVPNNVPN

2)1(

)(

)1(

)()(),( Ecuacin 1.1

Sea, Uk

N =

+ )1(

1

Luego tenemos;

]1[)(),( 2 nUUUNVPNNVPN ++++!="! ! Ecuacin 1.2

Multiplicando ambos lados porU

[ ] ][)(),( 12 +++++!="! nn UUUUNVPNNVPNU ! Ecuacin 1.3

Ahora restando la Ecuacin 1.2 menos la Ecuacin 1.3, tenemos:

]1[)(),(),( 1+

!"=#"!# n

UNNPVNNPVUNVPN

Y reordenando nos queda:


8/26

]1[

]1[)(),(

1

U

UNVPNNVPN

n

!

!"

=#

+

Y tomando el limite como el numero de replicaciones, n , aproximado a infinito:

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

!"

#$%

&

+

'

(='

=))* Nn

k

NVPNU

NVPNNNPVLim

)1(

11

1)(

]1[

)(),(

Y finalmente obtenemos:

!"

#

$%

&

'+

+

(=) 1)1(

)1(

)(),( k

k

NVPNNVPN

N

Ecuacin 1.4

Adems, el VPN de un proyecto replicado infinitamente es el mismo que el

valor de la riqueza de los accionistas. Este es el valor presente de un flujo enterode proyecto. En nuestro ejemplo, el valor de dos aos del proyecto A, replicado aescala constante es:

!"

#$%

&

'+

+

==(1)010.1(

)10.01()2(),2(

2

2

VPNVPN

36.2$),2(

21.021.1)41.0($),2(

=!

"#$

%&'

=!

VPN

VPN

Y para el proyecto B de tres aos tenemos;

02.2$),3(

33.0

33.1)50.0($),3(

1)10.1(

)10.01()3(),3(

3

3

=!

"

#

$%

&

'(=!

"#

$%&

'

)

+

=!

VPN

VPN

VPNVPN

Por lo tanto, podramos elegir aceptar el proyecto A sobre el proyecto B porquecuando los flujos de cajas son ajustados para proyectos con diferentes duraciones,A proporciona la mayor riqueza.


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Otra manera de comparar los Proyectos, se obtiene de la multiplicacin de los

VPN de los proyectos replicados infinitamente ( ),( !NVPN ), por el costo de

oportunidad de capital ( k), a esta tcnica se le denomina, valor equivalente anual

( ],[ !NVEA ):

!"

#$%

&

'+

+((=)(=)1)1(

)1()(),(],[

N

N

k

kkNVPNNVPNkNVEA Ecuacin 1.5

Esta regla para tomar decisiones es equivalente a la estipulada en la ecuacin 1.4

siempre y cuando los proyectos que se van a comparar tengan igual riesgo.

Si ellos tienen diferente riesgo, el Valor equivalente anual no debera usarse. Porejemplo, suponga que estbamos considerando dos proyectos con el mismo VPN ,

como el proyecto A en el ejemplo previo, pero que tienen diferentes riesgos. El clculodel ),( !NVPN nos dir que proyecto con el mayor riesgo contribuye menos al valor de

una compaa porque tendr un menor ),( !NVPN . An, cuando el menor

),( !NVPN del proyecto ms riesgoso es multiplicado por un mayor costo de

oportunidad ajustado a los riesgos, k, con esto es posible llegar a una conclusin

opuesta.2.El Problema de la Duracin1

Hemos visto cuando los proyectos tienen diferentes duraciones, la regla simple de VPN cuando

no se usa correctamente puede conducir a decisiones incorrectas.

El uso correcto del VPN simple depende de si se puede determinar si unproyecto est razonablemente replicable. Si este es el nico y no puede serrepetido, el VPN simple calcula el incremento de la riqueza de los accionistas de unasola empresa. Si el proyecto es replicable (y lo son muchos proyectos en larealidad) el VPN (N, !) entrega un cambio en el valor de la compaa desde unaestrategia de repeticiones a escala constante cada N aos. Pero Por qu estareplica a escala constante es un criterio correcto de decisin para proyectosrepetidos? Por qu esto maximiza el VPN de la riqueza de los accionistas cuandouna simple comparacin de VPN o el uso de la TIR no lo hacen?

Un interesante tipo de problema que destaca las diferencias entre el VPN simple,el VPN con replicacin infinita a escala constante y la TIR, es la determinacin de

una vida ptima o duracin de un proyecto. Por ejemplo, cundo deberan crecerlos rboles para ser talados?.

2.1Usando el VPN Simple para resolver el problema de duracin

1Aqu nos referimos al tiempo optimo que maximiza el VPN, la TIR y el VPN con replicacin infinita a escala constante


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Consideremos como ejemplo el crecimiento de los rboles (tala de un bosque).

Permitamos que los ingresos,t

vRe2, puedan ser obtenidos desde la tala de

rboles a tiempo t, esto se representa por la siguiente expresin:

.1000,10Re tvt

+!= Ecuacin 2.1.1

Con respecto al costo inicial del proyecto c , Supongamos que es $ 15.000 y el

costo de oportunidad del capital ser de un 5% compuesto continuamente3(Figura 1.1).

La Figura 1.1 muestra un grfico de los ingresos en funcin del tiempo.Como podemos apreciar el eje vertical esta en escala logartmica, funcin que seincrementa geomtricamente. Los intereses compuestos aparecen como lneasrectas.

El VPN Simple con intereses compuestos continuamente y con ingresos queson funcin del tiempo es:

cevVPN tk

t !=

!

Re Ecuacin 2.1.2

FIGURA 2.1. EL PROBLEMA DE DURACIN PARA LA TALA DE ARBOLES

Por lo tanto, para encontrar el tiempo de tala que maximiza el VPN simpledel proyecto con una duracin de taos, tomamos la primera derivada del VPN

(Ecuacin 2.2) con respecto a te igualamos a cero.

2Esto indica que los ingresos son funcin del tiempo (en el ejemplo, el tiempo en que se talaran los arboles)3Ver apndice 1


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0Re

Re =+!= !! tkttk

t edt

vdevk

dt

dVPN

Y despejando el costo de capital del proyecto knos queda:

t

t

v

dt

vd

kRe

Re

!"

#$%

&

= Ecuacin 2.1.3

La Ecuacin 2.3 muestra que la tasa marginal de retorno de los ingresos

[ ]t

t

MRI v

dt

vdRe/

Re

!"

#$%

&=' es igual al costo de oportunidad del capital k.

Grficamente, este es un punto de tangencia entre la lnea recta, que tiene una

inclinacin de 5% y la funcin ingreso. Como se mostr en la Figura 1.1.Latangencia ocurre en aost 9= .

Lo anterior puede obtenerse matemticamente usando la funcin ingreso.Recordemos que el ingreso en funcin del tiempo es:

21)1(000,10Re tvt

+!=

Y la derivada con respecto a t (ingreso marginal) nos queda:

21)1()000,10(2

1Re !+"= t

dt

vd t

Y la tasa marginal de retorno es:

)1(2

1

)1(000,10

)1(000,5

Re

Re

21

21

tt

t

v

dt

vd

t

t

+!=

+!

+!=

"#

$%&

'(

Igualando la tasa marginal de retorno con el costo de oportunidad de capital, k, obtenemos:

05.0)1(2

1=

+ t

aost 9=

Es decir, en 9 aos se maximiza el VPN Simple del proyecto, o dicho de otro modo la

Duracin ptima del proyecto es 9 aos. En el ejemplo, se deberan talar los rboles en 9 aos


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Para maximizar el VPN del proyecto, es decir: ( ) 57.516315000)91(10000 905.021

=!"#

$%&

'+(= (!eVPN

2.2 Usando el TIR para resolver el problema de duracin

Ahora vamos a comparar el VPN simple con el tiempo de tala que maximiza elTIR del proyecto. Recordemos que el TIR es la tasa que hace que el VPN de unproyecto sea igual a cero. Matemticamente tenemos:

cevVPN tTIR

t !==

! )(Re0 Ecuacin 2.2.1

Despejando c y tomando el logaritmo natural, tenemos:

cIntTIRvInt

=!" )(Re

Y resolviendo para el TIR tenemos:

c

vIn

tTIR

tRe1

= Ecuacin 2.2.2

Sustituyendo en la funcin de ingreso, obtenemos:

!!!

"

#

$$$

%

&+'

=

000,15

)1(000,101 21

tIn

tTIR Ecuacin 2.2.3

Si probamos valores distintos de t, la vida del proyecto que maximiza el TIR al

valor del 9.98% es 4 aos. Para encontrar este resultado grficamente,observemos la Figura 1.1, es decir cuando la TIR es 9.98% la lnea recta interceptaen cln (en 0=t , si el logaritmo natural del Valor presente del ingreso es igual a

cln , luego el VPN del proyecto es cero). Este es un argumento frecuente en que la

regla TIR da la mejor solucin al problema simple de duracin. Sin embargo, esto esincorrecto porque la regla TIR supone implcitamente que los fondos entregados porel proyecto pueden continuamente se reinvertidos en proyectos con escala deexpansin proporcional. Esto significa que si partimos de con una inversin de

15000=c , luego de 4 aos, podramos reinvertir:

2235915000 )(

=! !tTIR

e Ecuacin 2.2.4


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As sucesivamente en montos cada vez crecientes Tan pronto como la TIR seamayor que el costo de oportunidad de capital (5 % en nuestro ejemplo), el valorpresente de una replicacin infinita de flujos que crecen en forma proporcional esinfinita, lo que es absurdo.

2.3 Usando el VPN con replicacin a escala constante

La formulacin correcta del problema de duracin ptima, supone que elproyecto puede ser replicado indefinidamente a escala constante. En el ejemplo detala de rboles esto es equivalente a asumir que una vez que los rboles sontalados, es replantada la misma superficie tal como al comienzo del proyecto,nuevamente a escala constante. Si el proyecto est reformulado con una escalaconstante de repeticin, el VPN de un flujo infinito de proyectos es:

....)(Re)(Re 2 +!+!+!= !! tkt

tk

t ecvecvcVPN Ecuacin 2.3.1

Lo que se transforma en4

1

Re

!

!

+!=tk

t

e

cvcVPN Ecuacin 2.3.2

Para maximizar, derivamos el VPN con respecto t(la vida del proyecto) eigualamos a cero, es decir:

[ ] 0)1()(Re 1 =!"!+!= tk

t ecvc

dt

d

dt

dNPV

Despejando tenemos5:

tk

tt

e

crevk

dt

vd

!

!

!"

=

1

)(Re Ecuacin 2.3.3

Usando los datos del ejemplo, obtenemos:

t

e

t

t

05.0

2

1

2

1 1

05.0000,15)1(000,10

)1(

000,5!!

"#$

%&'

(!+"

=

+

La duracin ptima es aproximadamente 4.6 aos. Esta respuesta seencuentra entre la solucin por duracin simple con la regla VPN (9 aos) y la

4Ver apndice 25Ver apndice 3


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de replicacin proporcionalmente incrementando la escala usando la regla TIR(4 aos).

Para obtener el VPN con replicacin constante a escala reemplazamos laduracin optima ( aost 6.4= ) en la Ecuacin 2.3.2, es decir:

[ ] 71.18504

1

15000)6.41(10000

150006.405.0

2

1

=

!

""#

$

%%&

'!(

()

*++,

-+.

+!=.

eVPN

2.3.1 Comparacin de las tres tcnicas para resolver el problema deduracin

Dados los datos del problema de tala de rboles y recordando que los tresproyectos tienen la misma escala porque cada uno requiere un gasto de $15000.Sin embargo sus duraciones varan entre 4 y 9 aos. Una pregunta importante es:

Cunto podras pagar la desarrollar la operacin forestal, asumiendo que talastedespus de t aos, luego replantaste, replicando el proyecto a escala constantecada t aos por siempre, y que el valor monetario de tu tiempo es 5 %? Larespuesta es $18505. Este es un valor comn para una operacin forestal porquerepresenta el valor presente de un flujo de caja provisto por una operacin dentrode un futuro indefinido. Este es el valor presente de una estrategia de tala derboles cada 4.6 aos.

2.4 Apndice

2.4.1 Apndice 1

El valor Futuro para un rendimiento de k con q capitalizaciones en un tiempo t

es:

tq

tq

kPF

!

"#

$%&

'+!= 1

0 Ecuacin 2.4.1.1

Si hacemos un cambio de variables de la forma:

tkk

qtq !!"

#

$%&

'=!

Y reemplazamos en la Ecuacin 2.4.1.1, nos queda:

tk

k

q

tq

kPF

!

"""

#

$

%%%

&

'

"#

$%&

'+!= 1

0 Ecuacin 2.4.1.2


15/26

Ahora si definimosk

q=! y lo reemplazamos en la Ecuacin 2.4.1.2, obtenemos:

tk

t PF

!

"

"

#

$

%

%

&

'"

#

$%

&

'+!=

(

(

11

0 Ecuacin 2.4.1.3

"#$# %#&'$#( )%*'+,)*- +.)/ q 0'1 %'*,# &' +)%,2)1,3)+,4/5 +*'+'- ! 2)$6,7/ +*'+'8 9#*

1# 2)/2# (, 2#$)$#( '1 1:$,2' +.)/ ! 2,'/&' ) ,/;,/,2# 0!"#

Lim5- #62'/'$#(? >? @?>?

A>-BC

>AC

Recordemos que el retorno que ofrece el bono de la empresa es:

Por lo tanto el premio ofrecido en tasa (TIR) por la empresa es:

14.Considere un bono con tasa cupn de 8%, precio de 953,1, tres aos hastamadurez y con perodos de pago anual para los cupones y el principal. Las tasasde inters en los prximos 3 aos sern con certeza: R1=8%, R2=10% yR3=12%. Calcule el rendimiento a la madurez (TIR) y la tasa real compuesta

del bono.

Respuesta

=' )+.'* ) 1) ,/;#*$)+,4/- #62'/'$#(

Ejercicios Finanzas I Solemne 3

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