EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. Suponga que un conductor de automvil que maneja con exceso de velocidad, puede ser detectado por un sistema de radar. Se dice que de cada diez con exceso de velocidad, seis son detectados Un automovilista va con exceso de velocidad, en viaje entre Bogot y Tunja. Durante el trayecto hay ocho estaciones de vigilancia por radar.

a. Qu probabilidad hay de que este automovilista, por lo menos cinco veces, sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

10 con exceso de velocidad, 6 son detectados = 0.6 Son detectados = 0.4 No son detectados

Probabilidad: por lo menos 5 veces

P(X 5) = P(X= 5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)P(X=5) = 8C5 * ( * ( = P(X=5) = 56 * 0.07776 * 0.064 = P(X=5) = 0.2787

P(X= 6) = 8C6 * ( * (P(X= 6) = 28 * 0.0466 * 0.16P(X= 6) = 0.2090P(X= 7) = 8C7 * ( * (P(X= 7) = 8 * 0.0279 * 0.4P(X= 7) = 0.0.896

P(X= 8) = 8C8 * ( * (P(X= 8) = 1 * 0.01680 * 1P(X= 8) = 0.01680

P(X 5) = 0.2787 + 0.2090 + 0.0896 + 0.0168P(X 5) = 0.5941 * 100P(X 5) = 59.41%

RespuestaLa probabilidad de que por lo menos 5 veces sea detectado es de 59.41 %

b. Cuntas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?En 4 de 8 ocasiones puede ser detectado con exceso de velocidad. Por tanto:P(X= 4) = 8C4 * ( * ( = P(X= 4) = 70 * 0.1296 * 0.0256 = P(X= 4) = 0.2322 *100P(X= 4) = 23.22%RespuestaHay la probabilidad de un 23.22 % de posibilidades de ser detectado

c. Cul es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

P = 1 - P(X=3)P(X= 3) = 8C3 * ( * ( = P(X= 4) = 56 * 0.216 * 0.0102 = P(X= 4) = 0.1239 *100P(X= 4) = 12.39%P = 1 - P(X=3)P = 1 0.1239P = 0.8761RespuestaLa probabilidad de que no se detectado es de 0.8761

2. Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crdito. Los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes

10 solicitudes, 6 son aceptadas = 0.6 aceptadas = 0.4 rechazadas

a. Cul es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios?

P(X < 3) =

P(X = 2) = 4C2 * 6C4 = P(X = 2) = 15 * 6 = 90

P(X = 1) = 4C1 * 6C5 = P(X = 1) = 4 * 6 = 24

P(X = 0) = 4C0 * 6C6 = P(X = 0) = 1 * 1 = 1

P(X < 3) = P(X < 3) = P(X < 3) = 0.5476

La probabilidad es de 0.5476 de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios

b. Cuntas solicitudes se espera que sean autorizadas para grupos minoritarios?Nmero de solicitudes esperadas = x

E = + + + + E = + + + +E = + + + + E = E = E = 2.40La esperanza es que sean autorizadas 2.40 solicitudes para grupos minoritarias

3. Los clientes llegan a una exhibicin a razn de 6,8 clientes/hora. Calcule la probabilidad que:

a. En la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes.

X = clientes que llegan a la exhibicin

=6,8

= E(x)= = 3.4

= 3.4 x= 2 {0,1} e= 2.7128P(x 2)=1 P(x=0 1)=1 - [p(x=0)+p(x=1)]

P(x=0)=3.40 *e-3.4 = P(x=0)= 1*e-3.4 = P(x=0)= 0.033

P(x=1)= 3.41 *e-3.4 = P(x=1)= 3.4*e-3.4 = P(x=1)= 3.4 * 0.033P(x=1)= 0.112

E = 1- (p(x=0) + p(x=1))=E = 1- (0.033 + 0.112)=E = 1- (0.145) =E = 0.855E = 85.5%Hay una probabilidad de 85.5% de que en la primera media hora lleguen dos clientes

b. En el primer cuarto de hora no llegue ningn cliente

=6,8

= E(x)= = 1.7 = 1.7, x= 0, e= 2.7128, P (x0)=1P(x, )= x* e-xP (0,1.7) = 1.70 *e-1.7 = P (0,1.7) = 1* 0.18 = P (0,1.7) = 0.18 = 0.18*100 = 18%

Respuesta La probabilidad de que en el primer cuarto de hora no llegue ningn cliente es de 18.2%

c. En cualquier hora dada llegue ms de un cliente

Promedio (x=0>2)=-1P(x=0 60) = P(1 - )P (X > 60) = P(1-)P (X > 60) = P()P (X > 60) = (1-0.3329*3.87)P (X > 60) = 0.2883P (X > 60) = 28.83%b. Cul es el puntaje mximo para el 75% de las personas con menores puntajes.

P (X > 75%) = P(1 - )P (X > 60) = P(1- )P (X > 60) = P()P (X > 60) = (1-0.3329*2.5839)P (X > 60) = 0.1398P (X > 60) = 13.98%

17. Un estudio de las filas en las cajas de una entidad bancaria revel que durante un cierto periodo en la hora ms pesada, el nmero de clientes en espera, era en promedio de cuatro. Cul es la probabilidad de que:

a. En la prxima hora no haya clientes esperando

X = clientes que llegan a la exhibicin =4

P(x, )= P(x, )= P(x, )= P(x, )= 0.0183P(x, )= 1.83%

b. En la prxima media hora dos clientes estn en espera

=4 = = 2

P(x, )= P(x, )= P(x, )= P(x, )= P(x, )= 0.2707

c. En un cuarto de hora dos o ms clientes estn en espera

=4 = = 1

p (X = P(2, )+ P(3, )+ P(4, )=

P(2, ) = P(2, ) = P(2, ) = 0.1839

P(3, )= P(3, )= 0.0613

P(3, )= P(3, )= 0.01532

p (X = 0.1839+ 0.0613 + 0.01532=p (X = 0.26052

18. El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye segn una distribucin normal, con media de 30 minutos y desviacin estndar de 5 minutos. Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar

a. Realice la tarea en un tiempo inferior a 37 minutos

P (x