EJERCICIOS DE RESOLUVIÓN DE ECUACIONES...

Programación y Métodos Numéricos Carlos Conde, Arturo Hidalgo y Alfredo López ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid

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EJERCICIOS DE RESOLUVIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES PROPUESTOS EN EXÁMENES DE LA ASIGNATURA

CURSO 2001-2002 Examen de control Siendo α un número real se quiere saber si la ecuación: y .sen(y) x− α =

define implícitamente una función y(x), esto es si para cada valor x* existe algún valor y* solución de la ecuación: y .sen(y) x *− α = . Señala entre las

opciones siguientes cual recoge un razonamiento correcto en su totalidad. A) La ecuación anterior sí que define una función y además es una función

multívoca (es decir para cada x* se tienen varios valores de la función y(x)). En efecto, para cada valor x* que se considere se está buscando el punto fijo y* de la ecuación: y – α .sen(y) = x*. Como por ser punto fijo debe verificar que y = x*, entrando en la ecuación resulta que: x* - α .sen(y) = x*, o lo que es igual, que α .sen(y) = 0. Y por tanto, para cualquier elección de 0α ≠ �que se realice, a x* le corresponderán todos los valores que anulen la ecuación sen(y) = 0. Es decir todos los múltiplos enteros del número π .

B) Si 1 1− < α < la ecuación anterior define una función implícitamente, y además es una función unívoca (esto es, para cada x* sólo hay un valor y* que le corresponda).En efecto, en ese caso la ecuación que se obtiene para cada x* considerado puede rescribirse en la forma: y = α .sen(y) + x*, que por aplicación del teorema del punto fijo, admite una y sólo una solución. No obstante si 1α ≥ ya no se puede afirmar lo anterior.

C) Sea cual sea el valor de α la ecuación anterior define una función

implícitamente, y además es una función unívoca (esto es, para cada x* sólo hay un valor y* que le corresponda). En efecto, en ese caso la ecuación que se obtiene para cada x* considerado puede rescribirse en la forma: y= α .sen(y) + x*, que por aplicación del teorema del punto fijo, admite una y sólo una solución.


2

D) La ecuación considerada sólo define una función si 1α >>> , esto es si el

valor absoluto de α es muy elevado. Ello es debido a que para cualquier valor de x* que se escoja, la ecuación: y - α .sen(y) = x* puede

rescribirse en la forma: sen(y) = y x *−α

. Por tanto debe satisfacerse la

relación: y x *y arcsen

−� �= � �α� �. Como la función arco seno sólo está definida

para argumentos comprendidos entre –1 y 1 y como además x* puede ser cualquiera es evidente que el valor absoluto de α debe ser mucho mayor que la unidad para garantizar la existencia de alguna solución.

Solución: Si x* se considera conocido (pues se trata de saber si para cualquier x* tiene solución la ecuación dada en el enunciado), y tomando como incógnita de la ecuación el valor que debe tomar “y”, se puede rescribir la ecuación en la forma:

y = x* + α .sen(y)

Como cualquier valor real de “y” es admisible, estamos trabajando en toda la recta real. Por ello, llamando g(y) a la función:

g(y) = x* + α .sen(y)

es fácil comprobar que: g’(y) = α .cos(y)

y que 1º) g(y) ∈ R y∀ ∈ R 2º) g(y) 1C ( )∈ R

por lo que para asegurar que es una contracción bastará con analizar cuando se puede asegurar que |g’(y)| < 1. Ello, al ser cos(x) una función con valores en [-1, 1], obviamente puede afirmarse siempre que | α |<1. Para otros valores de α ya no se podrá afirmar que

g(y) es una contracción. En conclusión, por aplicación del teorema del punto fijo se puede afirmar que si

1 1− < α < la ecuación considerada admitirá una única solución y* para cada valor de x* que se quiera considerar. Para otros valores de α no se verifican las condiciones del

teorema y no se puede afirmar que exista una única solución. En resumen la afirmación correcta es la recogida en la opción B).


3

Examen de control La raíz cúbica del número real A = 39 puede encontrarse resolviendo la ecuación:

x3 – A = 0 Para ello, trabajando en el intervalo [ [2.5 , ∞ , se quiere emplear un método

de tipo iterativo por lo que se rescribe la ecuación en la forma x = g(x) considerándose las siguientes elecciones para la función g(x):

2

1

A3.x

xg (x)4

+=

3

2 2

2.x Ag (x)

3.x+=

2

3

AA.x

xg (x)A 1

+=

+ 4 2

Ag (x)

x=

Se desea saber “a priori” (esto es, sin realizar las iteraciones correspondientes) cuál de los métodos anteriores convergerá más rápidamente. Por ello se pide que entre las opciones siguientes señales cuál es correcta en la clasificación de la velocidad del método iterativo para cada una de las funciones gi(x) consideradas:

A) En las cercanías de la raíz, la mayor velocidad de convergencia se obtiene con g1(x). Tras ello con g2(x). Después con g4(x). Y la elección que produce una convergencia más lenta es la correspondiente a g3(x).

B) En las cercanías de la raíz, la mayor velocidad de convergencia se

obtiene con g2(x). Tras ello con g3(x). Después con g1(x). Con la elección correspondiente a g4(x) el método no tiene garantizada su convergencia.

C) En las cercanías de la raíz, las elecciones g1(x) y g2(x) tienen la misma

velocidad de convergencia. Tras ellas la elección de g3(x) es la siguiente en rapidez. Con la elección correspondiente a g4(x) el método no tiene garantizada su convergencia.


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D) En las cercanías de la raíz, la mayor velocidad de convergencia se obtiene con g2(x). Tras ello con g1(x). Después con g3(x). Con la elección correspondiente a g4(x) el método no tiene garantizada su convergencia.

Solución: La velocidad de convergencia de un método escrito en la forma xi+1 = g(xi), cuando el método es convergente y en las cercanías de la solución, se puede analizar utilizando los dos criterios siguientes:

a) La velocidad es mayor cuanto mayor sea el orden de convergencia del método (es decir, para órdenes enteros y expresando el método en la forma xi+1 = g(xi), el orden de la primera derivada de g(x) que no se anula en la solución x*).

b) Si dos métodos tienen el mismo orden de convergencia será más rápido aquel en el que la función g(x) utilizada tenga una menor constante de contracción (o equivalentemente que presente menor valor absoluto de su primera derivada)

Aplicando estos criterios a las funciones dadas resulta: *) Para la función g1(x):

2

1

A3.x

xg (x)4

+= � '

1 3

3 Ag (x)

4 2.x= − � '

1

3 A 1g (x*)

4 2.A 4= − =

Al no anularse la primera derivada en x* se puede concluir que este es un método de orden 1. Además en las cercanías de la raíz será del orden de 0.25. Como la segunda derivada, g1 ”(x) = (3/2).A.x.-4 , es positiva para cualquier valor de x se puede concluir que g’1(x) es creciente y como g’1(2.5) = -0.498 y g’1(x → ∞ ) = 0.75 puede concluirse que |g’1(x)| < 1

x [2.5, [∀ ∈ ∞ . Además es fácil comprobar que g1’(x) se anula en 3 26 2.9625≈ , por lo que en [2.5, 2.962....] la función g’1(x) es negativa (y g1(x) es decreciente) mientras que en [2.962..., ∞ [ la función g1’(x) es positiva (y por tanto la función g1(x) es creciente en ese intervalo). Puesto que se tiene que g1(2.5) = 3.435 y g1( 3 26 ) = 3.33.. se cumplirá que g1(x) [ [2.5,∈ ∞ [ [x 2.5,∀ ∈ ∞ . Por tanto g1(x) es una contracción en el intervalo de trabajo y puede afirmarse que el método convergerá con un orden de convergencia al menos 1 (pero sin llegar a ser cuadrático) y con una constante de contracción en las cercanías de la solución próxima a ¼. NOTA: Obsérvese que esta forma de rescribir la ecuación dada se obtiene mediante:

x3 – A = 0 ⇔ x.(x2) = A ⇔ x = A / x2 ⇔ 3.x + x = 3.x + (A/ x2) ⇔

⇔ 4.x = 3.x + (A/ x2) ⇔ x = (3.x + (A/ x2) ) / 4


5

*) Para la función g2(x):

3

2 2

2.x Ag (x)

3.x+= �

3'2 3

6.(x A)g (x)

9.x−= � g2’(x*) = 0

''2 4

2.Ag (x)

x= � ''

2

2g (x*) 0

x *= ≠

Al anularse la derivada primera en la solución y no hacerlo la segunda derivada podemos concluir que el método es de orden 2. Puesto que g2”(x) siempre es positiva, la función g’(x) siempre será creciente verificándose que: g2’(2.5) = -0.99... y que g2’(x → ∞ )=2/3 por lo que |g2’(x)| < 1 [ [x 2.5,∀ ∈ ∞ . Por otra parte g2’(x) se anula en x* (que

será mayor que 2.5 pues (2.5)3 = 15.625 < A = 39). Por tanto en [2.5, x*] la función g2(x) será decreciente (al ser la primera derivada negativa) y en [x*, ∞ [ será creciente (al ser la primera derivada positiva). Como g2(2.5) = 3.7... y g2(x*) = A/(x*)2 , verificándose que A/(x)2 > 2.5 (ya que 2.5 (x*)2 < x* . (x*)2 = (x*)3 = A), puede concluirse que g2(x)

[ [2.5,∈ ∞ [ [x 2.5,∀ ∈ ∞ . Por tanto g2(x) es una contracción en el intervalo de trabajo y

puede afirmarse que el método convergerá con un orden de convergencia al menos 2 (cuadrático) y con una constante de contracción en las cercanías de la solución próxima a 0. NOTA: Obsérvese que esta elección de la función g2(x) se corresponde con la que se obtiene al aplicar el método de Newton – Raphson a la ecuación dada. * Para la función g3(x):

2

3

AA.x

xg (x)A 1

+=

+ �

3'3

2.AA

xg (x)A 1

−=

+ � '

3

A 2g (x*) 0.925

A 1−= =+

Al no anularse la primera derivada en x* se puede concluir que este es un método de orden 1. Además en las cercanías de la raíz la constante de la contracción será del orden de 0.925. Como la segunda derivada, g3 ”(x) = (6.A/(A+1)).x.-4 , es positiva para cualquier valor de x se puede concluir que g’3(x) es creciente y como g’3(2.5) = 0.8502 y g’3(x → ∞ ) = A/(A+1) = 39/40, puede concluirse que |g’3(x)| < 1 x [2.5, [∀ ∈ ∞ . Además es fácil

comprobar que g3’(x) se anula en 3 2 (fuera de nuestro intervalo de trabajo), por lo que en [2.5, ∞ ] la función g’3(x) es siempre positiva y por tanto en este intervalo g3(x) es creciente. Puesto que se tiene que g3(2.5) = 2.59 se cumplirá que g3(x) [ [2.5,∈ ∞

[ [x 2.5,∀ ∈ ∞ . Por tanto g3(x) es una contracción en el intervalo de trabajo y puede

afirmarse que el método convergerá con un orden de convergencia al menos 1 (pero sin llegar a ser cuadrático) y con una constante de contracción en las cercanías de la solución próxima a 0.925.


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NOTA: Obsérvese que esta forma de rescribir la ecuación dada se obtiene mediante: x3 – A = 0 ⇔ x.(x2) = A ⇔ x = A / x2 ⇔ A.x + x = A.x + (A/ x2) ⇔

⇔ (A+1).x = A.x + (A/ x2) ⇔ x = (A.x + (A/ x2) ) / (A+1)

* Para la función g4(x):

4 2

Ag (x)

x= � '

4 3

2.Ag (x)

x−= � '

3g (x*) 2= −

Al ser el valor absoluto de la primera derivada en x* mayor que 1 se puede concluir que este método no tiene asegurada su convergencia en el entorno de raíz. Obsérvese que tampoco se verifica que todas las imágenes de los puntos considerados pertenezcan al intervalo de trabajo pues, al ser la función g4(x) decreciente, y como cuando x tiende a infinito la función tiende a cero habrá un valor de x para el que la función comience a tener valores inferiores a 2.5. Por tanto en este caso no se puede asegurar la convergencia del método. NOTA: Obsérvese que esta forma de rescribir la ecuación dada se obtiene mediante:

x3 – A = 0 ⇔ x.(x2) = A ⇔ x = A / x2 En resumen, en las cercanías de la solución el método convergerá más rápidamente con g2(x) (orden cuadrático), después con g1(x) (orden lineal y constante de contracción en torno a un ¼ ) y finalmente con g3(x) (orden lineal y constante de contracción en torno a 0.925). Con la elección de g4(x) no se garantiza la convergencia del método. Por tanto la opción correcta es la opción D). Examen de junio de 2002 Considérese un método de aproximaciones sucesivas de la forma:

x0 dado en [a, b], xi+1 = g(xi) (i = 0, 1, 2, .....)

donde g(x) es una contracción de razón K definida en el intervalo [a, b] y denotemos por x* al único punto fijo de g(x) en [a, b]. Se pide razonar la veracidad o falsedad de las siguientes desigualdades:

a) |xi+1 – xi| < Ki·(1+K)·|x0 – x*| (i = 0, 1, 2, ....).


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b) |xi+1 – x*| < −

iK1 K

·|x1- x0| (i = 0, 1, 2, …).

c) |xi+p – x*| < −

pK1 K

·|xi- x0| (i = 0, 1, 2, …).

d) ε +≤ �

ln( 1)i

ln(K) |xi+1 – x*| < εεεε

Solución: Al ser g(x) una contracción su constante K verifica que 0 < K < 1 y además:

|g(x) – g(y)| < K·|x-y| [ ]∀ ∈x, y a, b

Por otra parte, al ser x* el punto fijo se tiene que x* = g(x*). Con estos hechos presentes se tiene que: a) |xi+1 – xi| = |xi+1 –x* + x*– xi| < |xi+1 –x* | + | x*– xi| =

= |g(xi) –g(x*) | + | g(x*)– g(xi-1)| < K·|xi –x* | + K·| x*– xi-1| =

= K·|g(xi-1) –g(x*) | + K·| g(x*)– g(xi-2)| <

< K2·|xi-1–x* | + K2·| x*– xi-2| = K2·|g(xi-2)–g(x*) | + K2·|g(x*)– g(xi-3)| <

< ...... < Ki·|x1–x* | + Ki·| x*– x0| = Ki·(|x1–x* | +| x*– x0|) =

= Ki·(|g(x0)–g(x*)| +| x*– x0|) < Ki·(K·|x0–x*| +| x*– x0|) =

= Ki·(1+K)· | x*– x0|

Luego la desigualdad a) es correcta. b) |xi+1 – x*| = |xi+1 –xi+2 + xi+2 - x*| < |xi+1 –xi+2| + |xi+2 - x*| =

= |xi+1 –xi+2| + |xi+2 – xi+3 + xi+3 - x*| <

< |xi+1 –xi+2| + |xi+2 – xi+3| + |xi+3 - x*| < ..... <


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< ∞

+ + +=

−� i k 1 i kk 1

x x < ∞ ∞

+

= =

� �− = − =� ��

� �i k i k1 0 1 0

k 1 k 1

K · x x K · K · x x

= +

− = − ≤ −− − −

i 1 ii

1 0 1 0 1 0

K K KK · · x x · x x · x x

1 K 1 K 1 K

Luego la desigualdad b) es correcta. c) Nótese en primer lugar que, en las condiciones establecidas en el enunciado, se verifica que:

|xp+(j+1) · i – xp+j · i| = | g(xp+(j+1) · i - 1) – g(xp+j · i - 1)| < K·|xp+(j+1) ·i - 1 – xp+j · i -1| =

= K·| g(xp+(j+1) · i - 2) – g(xp+j · i -2)| < K2·|xp+(j+1) · i -2 – xp+j · i -2| =

= K2·| g(xp+(j+1) · i -3) – g(xp+j · i -3)| < ....... < Ki·|xp+(j+1) · i - i – xp+j · i - i| =

= Ki·|xp+j · i – xp+(j-1) · i| es decir: |xp+(j+1) · i – xp+j · i| < Ki·|xp+j · i – xp+(j-1) · i| (1) En la sucesión generada mediante aproximaciones sucesivas, la desigualdad anterior acota la distancia entre los elementos xp+(j+1) · i y xp+j · i (es decir, cuyos índices difieran en i unidades) por Ki veces la distancia entre xp+j · i y xp+(j-1) · i. Utilizando esta desigualdad de forma reiterada se tiene que:

n

p ( j 1)·i p j·ij 1

x x+ + +=

− =� |xp+2i – xp+i| + |xp+3i – xp+2i| + …. + |xp+(n+1) · i – xp+n · i| <

< Ki · |xp+i – xp| + K2i · |xp+i – xp| + …..+ K(n · i) · |xp+i – xp| =

n

( j·i)p i p

j 1

K · x x+=

� �= −� �� (2)

Por otra parte se verifica que: |xi+p – xp| = |g(xi+p-1) – g(xp-1)| < K· |xi+p-1 – xp-1| =

= K· |g(xi+p-2) – g(xp-2)| < K2· |xi+p-2 – xp-2| =

= K2· |g(xi+p-3) – g(xp-3)| < ….. < Kp · |xi – x0| (3)


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|xi+p – x*| p i p

i 0 i 0i

K K· x x · x x

1 K 1 K

+

≤ − ≤ −− −

lo que nos permite concluir que la desigualdad c) es correcta. d) La desigualdad recogida en el apartado d) es falsa pues indica que siendo i menor o igual que ln(ε+1) / ln(K) se verifica que xi+1 dista del punto fijo x* menos que el valor de ε. Ello implicaría, por ejemplo, que por pequeño que fuera ε y fuese cual fuese x0 la distancia de x0 al punto fijo x* sería inferior o igual a ε, lo cual es absurdo. Obsérvese además que puesto que 0 < K < 1 el valor de ln(K) será estrictamente negativo en tanto que, para valores positivos de ε, el valor de ln(1+ε) es positivo por lo que (ln(1+ε) / ln(K)) sería negativo y la desigualdad nos conduciría a tener que emplear índices negativos de los elementos de la sucesión, cosa que también es absurda. Y si para intentar resolver este absurdo se pensase en considerar valores de ε negativos se caería en el absurdo de acotar la distancia |xi+1 – x*| por un valor negativo, cosa que es imposible de satisfacer.


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Examen final – Convocatoria de septiembre de 2002 1º. Considera la ecuación no lineal:

3 25 11x .x .x 3

3 3+ − =

De dicha ecuación se sabe que existe una solución en el intervalo [0, 2] y se desea encontrarla utilizando un método de aproximaciones sucesivas. Para ello se consideran las tres ecuaciones equivalentes:

Opción 1ª) ( )3 21x . 3.x 5.x 9

11= + −

Opción 2ª) 2311 5

x 3 .x .x3 3

= + −

Opción 3ª) ( )31x . 9 11.x 3.x

5= + −

Se pide que, de forma justificada, respondas las siguientes cuestiones.

a) ¿Con cuál de las opciones anteriores se asegura una convergencia más rápida hacia la solución trabajando en el intervalo [0, 2]?. Y ¿con cuáles se asegura que el método converge?

b) Con la opción que tenga asegurada mayor velocidad de convergencia, determina la solución buscada, partiendo de un valor semilla x0 = 0 y determinando la solución con una precisión de, al menos, una centésima (en todo caso no realices más de 6 iteraciones del método de aproximaciones sucesivas).

c) Con la opción que tenga mayor velocidad de convergencia ¿cuál es el menor número de iteraciones que asegurarían que, una vez realizadas, la distancia entre el último valor hallado y la solución es inferior o igual a 10-7 veces la distancia entre el valor semilla elegido en [0, 2] y la solución?.

d) Resuelve la ecuación mediante el método de Newton – Raphson partiendo de x0 = 0 y hallando una solución con una precisión de, al menos, una centésima o, en su defecto, realizando 5 iteraciones.

Solución:


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a) Para cada una de las tres opciones consideradas en el enunciado debe examinarse si la función cuya expresión responde al segundo miembro de la igualdad es una contracción o no. Para ello denotaremos por g1(x), g2(x) y g3(x) a las funciones:

( )3 21

1g (x) . 3.x 5.x 9

11= + −

232

11 5g (x) 3 .x .x

3 3= + −

( )33

1g (x) . 9 11.x 3.x

5= + −

y debemos comprobar para cuales de ellas se verifica las tres condiciones siguientes: C-1: 1

ig (x) C ([0, 2])∈

C-2: [ ]'ig (x) 1 x 0,2< ∀ ∈

C-3: [ ] [ ]ig (x) 0, 2 x 0,2∈ ∀ ∈

La constante de cada una de ellas que sea contracción se estima mediante

Ki = [ ] ix 0,2

max g '(x)∈

Analicemos estos aspectos para cada una de las opciones planteadas.

Opción primera: La ecuación x = g1(x) es equivalente a la ecuación dada pues:

( )3 2 3 2 3 21

5 11 11 5 1x .x .x 3 x x .x 3 x . 3.x 5.x 9 g (x)

3 3 3 3 11+ − = ⇔ = + − ⇔ = + − =

Verifiquemos la primera condición. La función g1(x), al ser un polinomio de tercer grado, es continua en toda la recta real y por tanto lo es en el intervalo [0, 2]. Su primera derivada,

( )' 21

1g (x) . 9.x 10.x

11= +

es una función polinómica de segundo grado y por tanto también es continua en toda punto de la recta real. En conclusión, se puede afirmar que [ ]( )1

1g (x) C 0, 2∈ por lo que se

verifica la condición C-1.


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Ocupémonos ahora de la segunda condición. Para ello se tiene que "1

18 10g (x) .x

11 11= +

Esta segunda derivada es positiva en todo punto del intervalo [0, 2] por lo que se puede afirmar que la función '

1g (x) es creciente en el intervalo [0, 2]. Por tanto sus extremos en

[0, 2] se alcanzan en los extremos del intervalo. Y como '1g (0) 0= y '

1

56g (2)

11= puede

afirmarse que

[ ] '1

56x 0,2 : 0 g (x)

11∀ ∈ ≤ ≤

Al ser 56 / 11 > 1 la condición C-2 [ ]( )'1g (x) 1 x 0,2< ∀ ∈ no es satisfecha. Por tanto la

primera de las opciones no tiene asegurada su convergencia. Aunque ya no sería necesario analizar la tercera condición veamos si se verifica o no. Para

ello puede observarse que ( )' 21

1g (x) . 9.x 10.x

11= + es una función no negativa en [0, 2] lo

que nos conduce a que g1(x) es una función creciente en dicho intervalo. Por ello, sus valores en [0, 2] estarán comprendidos entre g1(0) = -9/11 y g1(2) = 35 / 11. Es obvio por tanto que la condición C-3 [ ] [ ]( )1x 0,2 : g (x) 0, 2∀ ∈ ∈ tampoco es satisfecha. Ello nos

vuelve a indicar que el esquema de aproximaciones sucesivas basado en esta primera opción no tiene garantizada su convergencia. NOTA: Las figuras siguientes recogen el grafo, en el intervalo [0, 2], de:

g1(x) junto a la bisectriz del primer cuadrante


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'1g (x) junto a las rectas horizontales que pasan por las ordenadas 1 y –1

y '2g (x)

Segunda opción: La ecuación x = g2(x) es equivalente a la ecuación dada pues:

1/ 33 2 3 2 2

2

5 11 11 5 11 5x .x .x 3 x 3 .x .x x 3 .x .x g (x)

3 3 3 3 3 3� �+ − = ⇔ = + − ⇔ = + − =� ��

Verifiquemos la primera condición. La función g2(x), al ser la raíz cúbica de un polinomio de segundo grado, es continua en toda la recta real y por tanto lo es en el intervalo [0, 2]. Su primera derivada,


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'2 2

23

11 10.x

1 3 3g (x) .3 11 5

3 .x .x3 3

� �−� �� =

� �+ −� ��

sólo podría presentar problemas de discontinuidad en los puntos en que se anule el denominador. Estos pueden calcularse fácilmente como sigue:

22 2 2.83....11 5 11 11 4 9 5

3 .x .x 0 5.x 11.x 9 0 x0.634...3 3 10

± + ⋅ ⋅+ − = � − − = � = = −�

Como ninguno de estos puntos pertenece al intervalo [0, 2], se puede afirmar que

[ ]( )12g (x) C 0, 2∈ por lo que se verifica la condición C-1.

Ocupémonos ahora de la segunda condición. Para ello se tiene que

2

"2 2 2

2 2 23 3

11 10.x

2 10 13 3g (x) . .9 911 5 11 5 11 5

3 .x .x 3 .x .x 3 .x .x3 3 3 3 3 3

� �−� �− � �= −� � � � � �+ − ⋅ + − + −� � � � � ��

La segunda derivada se anulará en los puntos que satisfagan:

2

2" 22

2

11 10.x

2 10 11 10 11 53 3g (x) 0 . 0 2. .x 10. 3 .x .x11 59 9 3 3 3 33 .x .x3 3

� �−� �− � � � �� = ⇔ − = ⇔ − − = + −� � � �� + −� ��

Operando la expresión anterior se tiene que los puntos en que se anula la segunda derivada deben satisfacer la ecuación:

22 55 55 4 256 25 55 22575

25.x 55.x 256 0 x50 50

± − ⋅ ⋅ ± −− + = � = =

En resumen, la segunda derivada no se anula en el dominio de los reales y por tanto la función '

2g (x) no tiene puntos singulares. Sus extremos en [0, 2] se encontrarán por ello en


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los extremos del intervalo. Y como '2 3

11g (0) 0.58758....

9. 9= = y

'2

3

1g (2) 0.426....

1219

−= = − puede concluirse que:

[ ] '1x 0, 2 : -0.426... g (x) 0.5876...∀ ∈ ≤ ≤

Por ello la condición C-2 [ ]( )'2g (x) 1 x 0,2< ∀ ∈ si es satisfecha. Además, en el

intervalo [0, 2] puede tomarse como constante de la contracción g2(x) (a falta de verificar la tercera condición) el máximo valor absoluto que alcanza su primera derivada en este intervalo, es decir, K2 = 0.5876. Analicemos la tercera condición. Para ello puede observarse que '

2g (x) se anulará cuando:

'2g (x) 0 11 10.x 0 x 1.1= ⇔ − = ⇔ =

Luego los valores extremos de g2(x) en [0, 2] se alcanzan en alguna de las tres abscisas siguientes: x = 0, x = 1.1 ó x = 2. Como g2(0) = 3 3 1.442...= , g2(1.1) = 1.711... y

g2(2) = 1.542... se puede afirmar que: [ ] [ ] [ ]2x 0,2 : g (x) 1.44,1.72 0, 2∀ ∈ ∈ ⊂

Es obvio por tanto que la condición C-3 si que se satisface. En resumen, el método de aproximaciones sucesivas basado en la segunda opción tiene garantizada su convergencia hacia la única raíz de la ecuación existente en [0, 2] sea cual sea el valor semilla x0 que se escoja en dicho intervalo.

NOTA: Las figuras siguientes recogen el grafo, en el intervalo [0, 2], de:



17


y "2g (x)

Tercera opción: La ecuación x = g3(x) es equivalente a la ecuación dada pues:

( )1/ 2

3 2 2 3 33

5 11 5 11 1x .x .x 3 .x 3 .x x x . 9 11.x 3.x g (x)

3 3 3 3 5� �+ − = ⇔ = + − ⇔ = + − =� ��

Verifiquemos la primera condición. La función g3(x), al ser la raíz cuadrada de un polinomio de tercer grado no estará definida en el dominio real cuando el polinomio tome valores negativos. Llamemos p(x) al polinomio p(x) = 9 + 11.x – 3.x3 y examinemos cómo son sus valores en [0, 2]. Para ello se tiene que p’(x) = 11 – 9.x2 , resultando que p’(x) = 0 equivale a que x = 11/ 9± = ± 1.105... La abscisa negativa así determinada no pertenece al

intervalo [0, 2]. En la abscisa positiva p”(x) toma un valor negativo (pues p”(x) = -18.x y p”(1.105) = -18 . 1.105.. < 0) por lo que se sabe que p(x) alcanza en 1.105... un máximo, de valor p(1.105...) = 17.107.... >0. Como además p(0) = 9 >0 y p(2) = 7 >0 puede


18

concluirse que en [0, 2] el polinomio p(x) siempre es estrictamente positivo y por tanto g3(x) es continua en dicho intervalo. La primera derivada

( )

( )

2

'3

3

1. 11 9.x1 5g (x) .

2 1. 9 11.x 3.x

5

−=

+ −

sólo podría presentar problemas de discontinuidad en los puntos en que se anule el denominador. Pero, como acabamos de comprobar, el denominador es la raíz cuadrada de un polinomio de tercer grado que toma valores estrictamente positivos en el intervalo [0,2]. Por tanto '

3g (x) también será continua en [0, 2]. En resumen [ ]( )13g (x) C 0,2∈ y sí que se

verifica la condición C-1. Ocupémonos ahora de la segunda condición. Para ello se tiene que

( )

( ) ( ) ( )

22

"3

3 3 3

1 18. 11 9.x .x1 125 5g (x) . .

4 21 1 1. 9 11.x 3.x 9 11.x 3.x 9 11.x 3.x

5 5 5

−−= −+ − ⋅ + − + −

En [0, 2] la segunda derivada siempre será negativa (pues cada uno de sus sumandos, al ir precedido por el signo negativo y ser el cociente de cantidades positivas, será negativo). Ello nos demuestra que '

3g (x) es una función decreciente en [0, 2] por lo que sus valores

extremos se alcanzan en los extremos del intervalo. Como '3g (0) 0.81...= y

'3g (2) 2.11...= − se tiene que: [ ] '

3x 0, 2 : -2.11 g (x) 0.82∀ ∈ < < por lo que no se puede

asegurar que se satisfaga la condición C-2 y por tanto el método de aproximaciones sucesivas basado en la tercera opción tampoco tiene garantizada su convergencia. Aunque no es necesario, analicemos la condición C-3. Para ello puede observarse que

'3g (x) se anulará cuando:

' 23

11g (x) 0 11 9.x 0 x 1.105...

9= ⇔ − = ⇔ = ± = ±

Luego los valores extremos de g3(x) en [0, 2] se alcanzan en alguna de las tres abscisas siguientes: x = 0, x = 1.105.. ó x = 2. Como g3(0) = 1.34.., g3(1.105...) = 1.849..... y g3(2) = 1.183... se puede afirmar que:


19

[ ] [ ] [ ]3x 0,2 : g (x) 1.18,1.85 0, 2∀ ∈ ∈ ⊂

siendo obvio por tanto que la condición C-3 si que se satisface. En resumen, el método de aproximaciones sucesivas basado en la tercera opción no tiene garantizada su convergencia en [0, 2]. NOTA: Las figuras siguientes recogen el grafo, en el intervalo [0, 2], de:




20

y "3g (x)

En conclusión, entre las tres opciones consideradas sólo la segunda de ellas tiene garantizada la convergencia del método de aproximaciones sucesivas. No obstante lo anterior puede comprobarse en la práctica que con la tercera opción también converge el método. b) Puesto que sólo la segunda opción tiene garantizada la convergencia, en lo que sigue nos centraremos en ella y denotaremos por g(x) a la función

1/ 32

2

11 5g(x) g (x) 3 .x .x

3 3� �= = + −� ��

que sabemos que en [0, 2] es una contracción de razón K = 0.5876. Las primeras iteraciones del método, arrancando del valor semilla x0 = 0 se resumen en la tabla siguiente: i xi xi+1 = g(xi) |xi+1 – xi| 0 0 1.442.. 1.442.. 1 1.442.. 1.689.. 0.247.. 2 1.689.. 1.643.. 0.046... 3 1.643.. 1.6539.. 0.0106.. 4 1.6539.. 1.65159.. 0.0023…


21

c) Al ser g(x) una contracción de razón K < 1 y x* su punto fijo, el valor hallado en la iteración i-ésima, verificará:

|xi – x*| = |g(xi-1) – g(x*)| < K.|xi-1 – x*| = K.|g(xi-2) – g(x*)| < K2. |xi-2 – xi-3| < ... <

< Ki. |x0 – x*| Por tanto, se puede asegurar que |xi – x*| < 10-7.|x0 – x*| si Ki. |x0 – x*| < 10-7 por lo que:

Ki. |x0 – x*| < 10-7 � i.log10(K) < -7

Como en este caso K = 0.5876 se tiene que:

i.log10(0.5875) < -7 � i.(-0.2309921291) < -7 � i > 7

0.230992191 = 30.3…

Por tanto 31 iteraciones del método asegurarán la precisión deseada.

d) Siendo f(x) = 3 25 11x .x .x 3

3 3+ − − , la ecuación dada puede escribirse como f(x) = 0. Por

otra parte, f’(x) = 2 10 113.x .x

3 3= + − por lo que el esquema itertivo del método de Newton-

Raphson puede escribirse en este caso como: 3 2i i i

ii 1 i i

2ii i

5 11x .x .x 3f (x ) 3 3x x x

10 11f '(x ) 3.x .x3 3

+

+ − −= − = − =

+ −

3 2i i

2i i

6.x 5.x 99.x 10.x 11

+ ++ −

En la cabecera de la tabla siguiente se ha denotado por h(x) a la función: 3 2

2

6.x 5.x 9h(x)

9.x 10.x 11+ +=+ −

y se recogen los valores hallados, partiendo de x0 = 0, mediante este esquema iterativo. i xi xi+1 = h(xi) |xi+1 – xi| 0 0 -0.818181.. 0.818181.. 1 -0.818181.. -0.688670 0.1295111... 2 -0.688670 -0.6911032.. 0.0024326... Con este esquema se ha alcanzado la precisión deseada con sólo 3 iteraciones. No obstante puede observarse que el método ha convergido hacia otra de las raíces de la ecuación.


22

NOTAS:

1ª. En iteraciones posteriores del método de Newton-Raphson se obtendría:

i xi xi+1 = h(xi) |xi+1 – xi|

3 -0.6911032.. -0.6911038... 0.524 ⋅ 10-6

4 -0.6911038... -0.6911038... 0.4 ⋅ 10-9

2ª. La tercera de las opciones planteadas en este ejercicio también converge hacia la raíz

(aunque no se haya podido garantizar su convergencia mediante el teorema del punto fijo

al no ser g3(x) una contracción en el intervalo [0 , 2]). Los valores que, partiendo de x0 = 0

se obtienen con dicha opción son los siguientes:

i xi xi+1 = g(xi) |xi+1 – xi|

0 0 1.3416.. 1.3416..

1 1.3416.. 1.8175.. 0.4756..

2 1.8175.. 1.4822.. 0.3351..

3 1.4822.. 1.7625.. 0.2804..

4 1.7625.. 1.5465.. 0.2161

... ...... ...... .....

Puede observarse que aunque el método converja lo hace mucho más lentamente que con

la segunda de las opciones.


23

CURSO 2003-2004 Examen de diciembre de 2003l Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) ¿Es posible aplicar el método de bipartición a la resolución de la ecuación f(x)=0 en un intervalo en el que en el que sólo existen raíces de multiplicidad par? . ¿Y en el caso de que en el intervalo sólo haya raíces de multiplicidad impar se puede aplicar siempre el método de bipartición?

b) Se desea aplicar el método de Newton-Raphson a la resolución de la ecuación:

3x = a

En el supuesto de que 0α ≠ y se considere un intervalo en el que el método de Newton-Raphson es convergente ¿qué puedes afirmar respecto de la velocidad de convergencia del método aplicado a la resolución de la ecuación anterior en el entorno del punto x = 3 a ? .

Considera ahora el caso particular en que αααα = 0. ¿qué puedes afirmar respecto de la velocidad de convergencia del método de Newton-Raphson aplicado a la resolución de la ecuación anterior en el entorno del punto x = 0?

Solución Apartado a) El método de bisección requiere, para que se pueda aplicar a la búsqueda de una raíz de una función f(x) en cierto intervalo [a,b], que se cumplan las condiciones del teorema de Bolzano:

i) f(x) sea continua en el intervalo [a,b]. ii) f(x) tome signo contrario en los extremos del intervalo.

Por tanto:


24

• En el caso de que dentro del intervalo existan únicamente raíces de multiplicidad par, la función toma el mismo signo en los extremos del intervalo, por lo que no es posible aplicar el método de bipartición.

A modo de ilustración de este hecho, consideramos la función: f(x)=(x-1)2(x+2)2, cuyas raíces son x=1 (doble) y x= - 2 (doble) cuya representación gráfica es:

Por lo tanto, no es posible encontrar un intervalo en el que el método de bipartición consiga localizar alguna de las raíces.

• En el caso de f(x) sea tal que en el intervalo sólo existan raíces de

multiplicidad impar, la aplicabilidad del método de bipartición a la determinación de una de las raíces de f(x) dependerá de que la función sea

continua en el intervalo así como de que la suma de las multiplicidades de todas las raíces existentes sea un número par o impar. En efecto, si la suma de las multiplicidades de las raíces es impar quedaría garantizada la alternancia de signos en los valores que f(x) toma en los exteemos del intervalo por lo que, si f(x) es continua en dicho intervalo, sí que será aplicable el método de bipartición.

A modo de ilustración de lo anterior, si consideramos la función

f(x) = (x-1)3 ·x3 ·(x+1)3 que tiene por raíces x = -1 (triple), x = 0 (triple) y x = -1 (triple) y un intervalo que incluya a estas tres raíces (por ejemplo [-1.1, 1.2]) es ovio que


25

la suma de las multiplicidades es impar (concretamente 9) por lo que el método de bipartición sí que sería aplicable. En la figura siguiente puede visualizarse el grafo de esta función:

No obstante, si la suma de las multiplicidades de las raíces existentes en el intervalo fuese par no se produciría la alternancia de signos en los valores que toma f(x) en los extremos del intervalo por lo que en dicha situación no sería aplicable el método de bipartición para la búsqueda de ninguna de sus raíces. A modo de ilustración, consideramos la función f(x)=(x-1)3(x+1)3, que tiene como raíces x=1 (triple) y x= -1 (triple), cuya representación gráfica es:

En cualquier intervalo que incluya a las dos raíces (por ejemplo [-3, 3]) la suma de las multiplicidades es un número par (concretamente 6) por lo que no es posible aplicar el método de bipartición.


26

Apartado b) Sabemos que la velocidad de convergencia del método de Newton-Raphson es, al menos, cuadrática en el caso de que se aplique a la búsqueda de raíces simples de unaa función tenga raíces simples, pero sólo se puede garantizar velocidad de convergencia lineal si las raíces son múltiples. En el caso que estamos estudiando, la función f(x) = x3 – α tiene como raíz 3x = a con multiplicidad 3. Antes de analizar la velocidad de convergencia del método de Newton-Raphson para este caso, obtendremos la expresión del método. Para ello, transformamos la ecuación f(x)=0 en la ecuación equivalente x=g(x), siendo la función g(x):

3 3

2 2

x 2xg(x) x

3x 3x- a + a

= - =

Obtenemos ahora las derivadas primera y segunda de g(x):

3

3

4

xg (x) 2

3x2

g (x)x

- a¢ =

a¢¢ =

Para obtener la velocidad de convergencia del método de Newton-Raphson (suponiendo que, tal y como se dice en el enunciado, el método es convergente) en el entorno de la raíz

3x*= a , particularizamos las derivadas sucesivas de la función g(x) en el punto 3x*= a , resultando que con la hipótesis 0α ≠ :

( ) ( )( )

( )( )

33

33

3

34 33

g 2 03

2 2g 0

a - a¢ a = =

a

a¢¢ a = = ¹aa

Por lo tanto, al no anularse la segunda derivada de g(x) en la raíz, podemos afirmar que el método tiene una velocidad de convergencia de al menos orden 2.

En el caso en que α=0, tan sólo podríamos asegurar velocidad de convergencia lineal (orden 1), pues:

3

3

x 2g (x) 2 0

33x¢ = = ¹


27

Examen de diciembre de 2003 Sea la matriz:

1 x 1 0A 0 x 0 x

0 1 x

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= Îç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

¡

Se considera la función f(x) = det(A). Se quiere obtener un valor del parámetro x para el que la matriz A sea singular (es decir det(A)=0) aplicando el método de Newton-Raphson. Se pide: a) Determina si es posible garantizar, de acuerdo con el teorema del punto fijo, que el método de Newton-Raphson permite localizar una raíz en el intervalo [-0.5,0.4]. b) Transforma la ecuación f(x)=0 en una ecuación equivalente x=g(x) tal que la función g(x) sea una contracción en el intervalo [-0.5,0.4]. Tomando como constante de Lipschitz de la contracción g(x) el valor máximo de |g’(x)| en [-0.5,0.4], ¿cuántas iteraciones (iter) garantizan que la distancia de x(iter) a la solución exacta es menor o igual a 0’0001 veces la distancia de la solución exacta a la solución inicial x(0) ? Solución Apartado a) La función a la que se desea aplicar el método de Newton-Raphson para hallar su raíz es:

f(x) = det(A) = x2 - x3 El método de Newton-Raphson es un método de aproximaciones sucesivas del tipo:

Dado x(0) generar la sucesión.

{ }n(i 1) (i)

i 0x g(x )+

==

donde la función f (x)g(x) x

f (x)= -

¢

Por lo tanto, dado que 2 3f (x) x x= - y 2f '(x) 2x 3x= - , se obtiene:


28

2 3 2 3 2

2 2

x x x 2x x 2xg(x) x

2x 3x 2x 3x 2 3x- - -

= - = =- - -

Para conocer si se puede garantizar, mediante el teorema de punto fijo, la convergencia del método de Newton-Raphson para la obtención de una raíz de f(x) = 0, independientemente de la solución inicial de la que se parta, se deberá cumplir que g(x) sea una contracción en el intervalo en estudio (que denotaremos por I). Para analizar esta condición, lo más cómodo es aplicar el teorema de caracterización de una contracción:

( )11) g(x) C I

2) g(x) I x I

3) g '(x) 1 x I

Î

Î " Î

< " Î

Condición 1): El denominador de g(x), dado por (2-3x), se anula en el punto x=2/3 = 0.666.... que no pertenece al intervalo [-0.5,0.4]. Por tanto para cualquier valor x*∈ [-0.5, 0.4] se verifica que:

2

x x*

x * 2(x*)lim g(x) g(x*)

2 3x *®

-= =

-

por lo que g(x) es continua en [ ]0.5,0.4- .

Analizamos ahora si su primera derivada es también continua. Puesto que:

2

(x 1)(3x 1)g '(x) 2

(3x 2)- -

=-

y dado que el denominador (3x-2)2 no se anula en ningún punto del intervalo [-0.5,0.4] se tiene que:

[ ]*

* ** *2x x

*

(x 1)(3x 1)x 0.5,0.4 : lim g (x) 2 g (x )

(3x 2)®

- -¢ ¢" Î - = =-


29

Por tanto, g’(x) también es continua en todo punto del intervalo [-0.5,0.4]. Condición 2):

Queremos comprobar ahora si las imágenes de todos los puntos del intervalo [-0.5,0.4] pertenecen a ese mismo intervalo. Para ello, tendremos en cuenta que, si g(x) es monótona (es decir, si g’(x) no se anula en ningún punto del intervalo), bastará con analizar si los valores que toma en los extremos del intervalo pertenecen al mismo. Si g(x) no es monótona, será necesario además comprobar si las imágenes de los puntos para los que g’(x) = 0, así como los valores g(-0.5) y g(0.4), se encuentran también dentro del intervalo.

Como 2

(x 1)(3x 1)g '(x) 2

(3x 2)- -

=-

se anula en los puntos x = 1 y x = 1/3, la función g(x)

presenta un punto crítico en dichos puntos. Dado que el punto x=1/3 se encuentra dentro del intervalo en estudio la función g(x) no es monótona y tendremos que verificar si:

[ ][ ][ ]

g( 0.5) 0.5,0.4g(0.4) 0.5,0.4g(1/ 3) 0.5,0.4

- Î -Î -Î -

Como, efectivamente, resulta que:

g(-0.5)= [ ]2( 0.5) 2( 0.5)

0.2857.... 0.5,0.42 3( 0.5)

- - -= - Î -

- -

g(0.4)= [ ]20.4 2(0.4)

0.1 0.5,0.42 3(0.4)

-= Î -

-

g(1/3)= [ ]21 1

3 3

13

2( ) 10.1111... 0.5,0.4

2 3( ) 9-

= = Î --

Por lo tanto, podemos concluir que [ ] [ ]x 0.5,0.4 : g(x) 0.5,0.4" Î - Î -

Condición 3): Para saber si |g’(x)| < 1 ( ⇔ -1 < g(x) < 1) para cualquier punto del intervalo [ 0.5,0.4- ]

procederemos de manera similar al apartado anterior. Comprobaremos, en primer lugar, si la función g’(x) es monótona o no. Para ello observamos que:


30

3

4g ''(x)

( 2 3x)=

- +

no se anula en ningún punto. Por lo tanto, para todo punto del intervalo [ 0.5,0.4- ] la

función g’(x) es monótona y además decreciente pues g”(-0.5)<0 y g”(0.4)<0, por lo que g”(x) < 0 para todo punto del intervalo [-0.5, 0.4]. Por ello tendremos que verificar si:

] [] [

g '( 0.5) 1,1g '(0.4) 1,1

- Î -Î -

obteniéndose que, efectivamente,

g’(-0.5)= ] [2

( 0.5 1)·(3( 0.5) 1)2 0.6122... 1,1

(3·( 0.5) 2)- - - -

= Î -- -

g’(0.4)= ] [2

(0.4 1)·(3·0.4 1)2 0.375 1,1

(3·0.4 2)- -

= - Î --

Por lo tanto, podemos concluir que [ ]x 0.5,0.4 : g '(x) 1" Î - < .

Dado que se verifican las tres condiciones para la función g(x) y al ser cerrado el intervalo [-0.5,0.4], podemos concluir que, por aplicación del teorema de punto fijo, está asegurada la convergencia del método de Newton-Raphson para la resolución de f(x)=0 (con la función f(x) dada en el enunciado) independientemente del valor inicial (perteneciente al intervalo [-0.5,0.4]) del que se parta. Apartado b) Tomaremos como contracción la función g(x) descrita en el apartado a) (pues ya comprobamos que era contracción):

2x 2·xg(x)

2 3·x-

=-


31

Sabemos, por el apartado anterior, que g’(x) es continua y estrictamente decreciente en el intervalo [-0.5,0.4], por lo tanto el máximo valor de |g’(x)| en dicho intervalo se alcanzará en uno de los extremos. Esos valores fueron ya calculados en el apartado a) y son:

|g’(-0.5)| 0.6122448980; |g’(0.4)|= 0.375

Por lo que el máximo valor que toma |g’(x)| en [-0.5,0.4] es 0.6122448980 , que será

considerada como la constante de Lipschitz (“K”) de la contracción tal y como se indica en el enunciado. Llamando x(0) a un valor “semilla” para inicializar el proceso iterativo y x* a la solución exacta de x=g(x) (o, lo que es lo mismo, de f(x)=0), por ser g(x) contracción se verifica: (0) (0)g(x ) g(x*) K x x *- £ × - (siendo K<1) (1)

Recordando que un proceso iterativo del tipo punto fijo responde a la expresión:

Dado x(0) se genera la sucesión: x(iter) = g(x(iter-1)) (iter = 1,2,...)

y como además, x* = g(x*) por ser x* solución de la ecuación, a expresión (1) se puede rescribir como: (1) (0)x x * K x x *- £ × - (2)

Análogamente, para la siguiente iteración se tendrá:

(1) (1) (2) (1)g(x ) g(x*) K x x * x x * K x x *- £ × - Þ - £ × -

que, teniendo en cuenta la expresión (2), conduce a:

(2) 2 (0)x x * K x x *- £ × -

Análogamente, para la siguiente iteración se obtendría:


32

(3) 3 (0)x x * K x x *- £ × -

Siguiendo el proceso hasta una iteración genérica, es obvio que se podrá escribir: (iter) iter (0)x x * K x x *- £ × - (3)

Por otra parte, el enunciado nos dice que calculemos cuántas iteraciones (iter) garantizan que la distancia de x(iter) a la solución exacta es menor o igual a 0’0001 veces la distancia de la solución exacta a la solución inicial. Es decir: (iter) 4 (0)x x * 10 x x *-- £ × - (4)

Comparando las expresiones (3) y (4), resulta: iter 4K 10-£

con el fin de obtener el número de iteraciones necesarias, tomamos logaritmos decimales en la expresión anterior:

iter log(K) 4× £ -

Cambiando los signos en ambos miembros se tendrá:

( )iter log(K) 4× - ³

donde, tal y como se indica en el enunciado y se obtuvo al inicio del apartado:

K=x [ 0.5,0.4]

max g (x)Î -

¢ 0.6122448980;

Con todo lo anterior resulta:

4iter

log(K)³

- � 4 4

iter 18.772....log(0.6122448980) 0.2130748253

³ = =-

Luego el número mínimo de iteraciones que aseguran la precisión deseada es iter = 19.

EJERCICIOS DE RESOLUVIÓN DE ECUACIONES...

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