DOMINGO GONZLEZ GARCA

EJERCICIOS DE REPASO DE PRSTAMOS.http:://www.matematicas-financieras.com1. Concepto de prstamoEl prstamo es una operacin financiera de prestacin nica y contraprestacin mltiple. En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamada prestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los) vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado) en los vencimientos sealados en el contrato.La operacin de amortizacin consiste en distribuir con periodicidad la devolucin del principal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida del prstamo. Los pagos peridicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad de reembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. Esto justifica el nombre de operacin de amortizacin y el de trminos amortizativos que suele asignarse a estos pagos.1.1. PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIN DE PRSTAMOSSegn la finalidad a la que se destinen los trminos amortizativos es posible admitir diversas interpretaciones de amortizacin, es decir, diferentes formas de llevar a cabo la amortizacin (devolucin) del capital inicial: es lo que se denomina sistema amortizativo o sistema de amortizacin del prstamo.a) Prstamos amortizables mediante reembolso nico del principal al final de la operacin. Sin pago peridico de intereses: prstamo simple. Con pago peridico de intereses: sistema americano. b) Prstamos reembolsables mediante una serie de pagos peridicos que constituyan renta, esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortizacin) con vencimientos peridicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando los trminos amortizativos.Segn la cuanta de los trminos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos: Trminos amortizativos constantes. Trminos amortizativos variables: Cuota de amortizacin constante. Trminos amortizativos variables en progresin geomtrica. Trminos amortizativos variables en progresin aritmtica. Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, sean fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada perodo.Estudiando la evolucin de la deuda pendiente se observa que sta crece en el interior de cada uno de los perodos en los que se divide la operacin, para disminuir al final de los mismos como consecuencia de la entrega del trmino amortizativo.Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de los perodos: uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro de disminucin por el pago del trmino amortizativo. La suma de estos dos movimientos nos da la variacin total de la deuda pendiente al final del perodo. Esta variacin supondr una disminucin de la deuda caso de ser el trmino amortizativo mayor que los intereses generados en el perodo y supondr un incremento de la deuda en el supuesto contrario, es decir, la cuota de inters mayor que el trmino amortizativo. En el caso concreto de que la cuanta del trmino amortizativo coincida con la cuota de inters no habr variacin de la deuda.El grfico de evolucin de la deuda pendiente de un prstamo y los pagos realizados durante tres perodos ser el siguiente:

1.2. NOMENCLATURA PARA PRSTAMOS DE AMORTIZACIN FRACCIONADALa terminologa utilizada ser la siguiente:C0: Importe del prstamo, cantidad financiada.n: Nmero de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contrada la deuda.i: Tipo de inters efectivo convenido (coste de la financiacin).ak: Trmino amortizativo al final del perodo k, pago total realizado por el prestatario en cada vencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...).ak = Ik + AkIk: Cuota de inters del perodo k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por el perodo correspondiente.Ak: Cuota de amortizacin del perodo k, cantidad destinada a devolver deuda en cada vencimiento.Ck: Capital pendiente de amortizacin en el momento k. Tambin se llama capital vivo, saldo de la operacin o reserva matemtica.mk: Capital total amortizado al final del perodo k.1.3. GENERALIDADES1. Los intereses de cada perodo se calculan sobre el capital vivo a principio del perodo.Ik = Ck-1 x i2. El parmetro que amortiza directamente el capital es la cuota de amortizacin (A), e indirectamente el trmino amortizativo.3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmtica de todas las cuotas de amortizacin.C0 = A1 + A2 + + An4. El capital vivo (pendiente) es la suma aritmtica de las cuotas de amortizacin que queden por amortizar.Ck = Ak+1 + Ak+2 + + AnAunque tambin se obtiene por la diferencia entre el importe del prstamo y el total amortizado hasta ese momento.Ck = C0 (A1 + A1 + + Ak) = C0 mkSin embargo, y a pesar de la sencillez de los sistemas anteriormente comentados, lo ms frecuente consiste en fraccionar la devolucin de la deuda destinando los trminos amortizativos simultneamente a pagar los intereses devengados en el perodo y cancelar parte de la deuda pendiente.En estos casos resulta til recoger en un cuadro el proceso de amortizacin del capital, reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en los diversos vencimientos de la operacin.La denominacin ser la de cuadro de amortizacin, y en l vamos a reflejar las cuantas de los trminos amortizativos (ak), las cuotas de intereses (Ik) y las cuotas de amortizacin (Ak) correspondientes a cada uno de los perodos, as como las cuantas del capital vivo (Ck) y del capital amortizado (mk) referidos a cada perodo de la operacin.El cuadro resultante es:Perodos Trmino amortizativo inters Cuota de Cuota de amortizacin Total amortizado Capital vivo

0 1 2 n a1 a2

I1 = C0 x i1 I2 = C1 x i2

A1 = a1 I1 A2 = a2 I2

m1 = A1m2 = A1 + A2

C0C1 = C0 A1 C2 = C0 A1 A2

EJEMPLO 1 Construir el cuadro de amortizacin del siguiente prstamo: Importe: 30.000 euros. Devolucin del principal en tres pagos anuales vencidos de igual cuanta. Tipo de inters anual del 10%. Grficamente, el esquema de pagos de la operacin es:

Cuadro de amortizacin:(5) (4) (1) (2) (3)

Aos Trmino amortizativo Cuota de inters Cuota de amortizacin Total amortizado Capital vivo

0 1 2 3 13.000,00 12.000,00 11.000,00 3.000,002.000,001.000,0010.000,0010.000,0010.000,0010.000,0020.000,0030.000,0030.000,0020.000,0010.000,00

Total 36.000,00 6.000,00 30.000,00

Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:(1) Se calcula la cuota de amortizacin a travs del fraccionamiento en pagos iguales del importe del prstamo.(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital a principios de cada perodo la cuota de amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo (C0) se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de inters se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada perodo (3).(5) El trmino amortizativo de cada perodo ser la suma de las columnas (1) y (4)

2. Reembolso nico sin pago peridico de intereses prstamo simpleSe trata de diferir la devolucin del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operacin, pagando todo conjuntamente de una sola vez. Grficamente:

Para el prestatario esta operacin solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del prstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del prstamo ms los intereses devengados y acumulados. La acumulacin de intereses se puede realizar tanto en rgimen de capitalizacin simple como en compuesta. EJEMPLO 2 Se solicita el siguiente prstamo simple: Capital prestado: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Inters del 12% anual. Se pide: Determinar el capital a devolver.

3. Reembolso nico con pago peridico de intereses prstamo americanoSe trata de diferir la devolucin del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operacin, pagando todo conjuntamente de una sola vez. Grficamente:

Para el prestatario esta operacin solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del prstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del prstamo ms los intereses devengados y acumulados. La acumulacin de intereses se puede realizar tanto en rgimen de capitalizacin simple como en compuesta. EJEMPLO 2 Se solicita el siguiente prstamo simple: Capital prestado: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Inters del 12% anual. Se pide: Determinar el capital a devolver.

4. Amortizacin con trminos amortizativos constantes mtodo francsEste sistema de amortizacin se caracteriza porque: Los trminos amortizativos permanecen constantes, y El tanto de valoracin permanece constante. ambos durante toda la vida del prstamo.De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad destinada a amortizacin muy pequea. Esta proporcin va cambiando a medida que el tiempo va transcurriendo.Grficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el prestatario el prstamo es el siguiente:

Donde C0 representa el importe del prstamo, n el nmero de pagos en los que se amortiza el prstamo, a el trmino amortizativo e i el tipo de inters de la operacin.4.1. PASOS A SEGUIRSe trata de ver los clculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortizacin del prstamo, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (trmino amortizativo) y su descomposicin en cuota de amortizacin (Ak) y cuota de inters (Ik), as como otros datos como capitales vivos en cada momento (Ck) sobre los que calcular los intereses y el total amortizado (mk).4.1.1. Clculo del trmino amortizativo (a)Los pagos constantes que se realizan durante la vida del prstamo incorporan, en parte el coste del aplazamiento (cuota de inters), en parte la devolucin de una porcin de la deuda (cuota de amortizacin). Para eliminar los intereses bastara con actualizar los trminos amortizativos a la tasa de inters del prstamo, con lo cual slo quedaran las cuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del prstamo.Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del prstamo y la renta formada por los trminos amortizativos:

de donde se despeja el trmino:

4.1.2. Clculo de las cuotas de amortizacin: ley de recurrencia 4.1.2.1. 1. posibilidad: a travs de la estructura del trmino amortizativoUna vez calculado el trmino amortizativo, se cumple lo siguiente:Perodo 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo dems se conoce).Perodo 2: a = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 A1) x i + A2, y despejamos A2.Perodo 3: a = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 A2) x i + A3, y despejamos A3.y as se continuara hasta calcular el resto de cuotas de amortizacin.4.1.2.2. 2. posibilidad: a travs de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortizacinAl ser constante el trmino amortizativo las cuotas de amortizacin necesariamente tendrn que ir creciendo, mientras que las cuotas de intereses decrecern (porque se van calculando sobre capitales vivos cada vez menores). Y adems, lo hacen siguiendo una ley matemtica (ley de recurrencia).La ley de recurrencia es la relacin en la que se encuentran dos trminos consecutivos, en este caso, las cuotas de amortizacin y para buscarla se relacionan por diferencias los trminos amortizativos de dos perodos consecutivos cualesquiera, as:Perodo k: a = Ik + Ak = Ck-1 x i + AkPerodo k+1: a = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1------------------------------------------a a = (Ck-1 Ck) x i + Ak Ak+1siendo Ck-1 Ck = Ak, queda:0 = Ak x i + Ak Ak+1de donde se obtiene:Ak+1 = Ak x (1 + i)Al aplicar esta ley para cualesquiera dos perodos consecutivos, se observa que varan siguiendo una progresin geomtrica de razn 1 + i , por tanto, cualquier cuota se puede calcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carcter genrico, se pondrn en funcin de la primera que es la ms fcil de obtener:Ak+1 = A1 x (1 + i)kEs por esto, el aumento de las cuotas de amortizacin con el transcurso del tiempo, por lo que a este sistema se le conoce como mtodo progresivo.4.1.3. Clculo de la primera cuota de amortizacin (A1)Una vez calculada la primera cuota, todas las dems se podrn obtener aplicando la ley de recurrencia anterior. El clculo de la primera cuota de amortizacin se puede realizar de dos formas posibles:4.1.3.1. 1. posibilidad: a travs de la estructura del primer trmino amortizativoPerodo 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1 ---> A1 = a C0 x i4.1.3.2. 2. posibilidad: por la definicin de capital prestadoEn todo prstamo se cumple que la suma aritmtica de todas las cuotas de amortizacin es el importe del prstamo:A1 + A2 + A3 + + An = C0Adems en este sistema amortizativo todas las cuotas de amortizacin se pueden poner en funcin de la primera de ellas, como se ha visto anteriormente:A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + + A1 (1 + i)n-1 = C0Simplificando la expresin, sacando factor comn en el primer miembro A1:A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + + (1 + i)n-1] = C0donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n trminos (el nmero de cuotas de amortizacin) al tanto del prstamo, por tanto:

de donde:

4.1.4. Clculo del total amortizado despus de k perodos (mk)Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles: Por diferencia, entre el importe del prstamo y lo que an se debe:mk = C0 Ck Por sumas de cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha:mk = A1 + A2 + + AkAdems todas las cuotas de amortizacin se pueden poner en funcin de la primera de ellas:mk = A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + + A1 (1 + i)k-1Simplificando la expresin:mk = A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + + (1 + i)k-1]donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de k trminos al tanto del prstamo, por tanto:

4.1.5. Clculo del capital vivo a principio del perodo k+1 (Ck)4.1.5.1. 1. posibilidad: a travs de las cuotas de amortizacin

Bien considerando las cuotas de amortizacin ya satisfechas (mtodo retrospectivo):

Bien considerando las cuotas de amortizacin pendientes (mtodo prospectivo):

4.1.5.2. 2. posibilidad: a travs de trminos amortizativosAl trabajar con los trminos amortizativos se debern hacer en trminos financieros (no bastar con sumar y restar aritmticamente, como en el caso anterior) puesto que los trminos incorporan intereses y principal; habr que mover financieramente las cantidades correspondientes.

4.1.5.3. 1. posibilidad: mtodo retrospectivo, a travs de los trminos amortizativos pasados

En k se debe cumplir:lo que se debe en k = [lo recibido lo pagado]kPor tanto en k:

4.1.5.4. 2. posibilidad: mtodo prospectivo, a travs de los trminos amortizativos futuros

En k se debe cumplir:lo que supondra la cancelacin total en k = [cantidades pendientes de pagar]kPor tanto en k:4.1.6. Clculo de la cuota de inters del perodo k+1 (Ik+1)Los intereses de cualquier perodo se calcularn a partir de la deuda pendiente a principios de ese perodo, al tanto efectivo vigente durante el mismo.Ik+1 = Ck x iEJEMPLO 4 Construir el cuadro de amortizacin del siguiente prstamo: Importe: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Tipo de inters: 10% anual. Trminos amortizativos anuales constantes.

(1)(2) (3) (4)(5)

Aos Trmino amortizativo Cuota de inters Cuota de amortizacin Total amortizado Capital vivo

01 2 3 40.211,48 40.211,48 40.211,48 10.000,00 6.978,85 3.655,59 30.211,48 33.232,63 36.555,89 30.211,48 63.444,11 100.000,00 100.000,0069.788,5236.555,89

Total 120.634,4420.634,44 100.000,00

Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:(1) Se calcula el importe del pago total a realizar (trmino amortizativo) a travs de la frmula anterior.

(2) La cuota de inters se calcula sobre el capital pendiente a principios del perodo correspondiente (5) y se pagan al final del perodo anterior.(3) La cantidad destinada a amortizar ser la diferencia entre el total pagado en el perodo (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha.(5) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital vivo a principios de cada perodo la cuota de amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado.

5. Mtodo de cuota de amortizacin constante mtodo lineal (Alemn)En este tipo de prstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los perodos la misma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortizacin (Ak) se mantiene constante durante todo el prstamo.Considerando que el importe del prstamo es C0, con un tipo de inters constante i, y amortizable en n perodos, en este caso debe cumplirse que:A1 = A2 = A3 = = An = A5.1. PASOS A SEGUIREn este caso, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortizacin, fciles de calcular, a continuacin los intereses y, finalmente, los trminos amortizativos.5.1.1. Clculo de la cuota de amortizacin (A)Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del prstamo y que, adems, stas se mantienen constantes se debe cumplir:C0 = A1 + A2 + A3 + + An = A x nde donde se obtiene:C0A = -------- n5.1.2. Clculo del total amortizado despus de k perodos (mk)

Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fecha ser la suma aritmtica de las cuotas ya practicadas.mk = A1 + A2 + + Ak = A x k5.1.3. Clculo del capital vivo a principios del perodo k+1 (Ck)Se realizar a travs de las cuotas de amortizacin (pasadas o futuras).

5.1.3.1. 1. posibilidad: por el mtodo retrospectivo, el capital pendiente ser el importe del prstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortizacin ya practicadasCk = C0 mk = C0 [A + A + + A] = C0 A x k5.1.3.2. 2. posibilidad: por el mtodo prospectivo, el capital pendiente ser la suma aritmtica de las cuotas de amortizacin an pendientes de realizarCk = Ak+1 + Ak+2 + + An = (n k) x A5.1.4. Clculo de cuota de inters del perodo k+1 (Ik+1)Los intereses de cualquier perodo se calcularn a partir de la deuda pendiente a principios de ese perodo, al tanto efectivo vigente durante el mismo.Ik+1 = Ck x i5.1.5. Clculo de los trminos amortizativos: ley de recurrencia (ak)Puesto que los trminos amortizativos son la suma de la cuota de inters (decrecientes porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortizacin (en este caso constantes), los trminos variarn como lo hacen las cuotas de inters y seguirn una ley matemtica.5.1.5.1. 1. posibilidad: calcular el importe del trmino amortizativo a travs de su propia estructura, calculando la cuota de inters y aadiendo la cuota de amortizacin constante ya conocidaPerodo 1: a1 = I1 + A = C0 x i + APerodo 2: a2 = I2 + A = C1 x i + A = (C0 A) x i + A...5.1.5.2. 2. posibilidad: consistir en calcular el primer trmino y obtener todos a travs de la ley de recurrencia que stos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dos trminos amortizativos consecutivos cualesquieraPerodo k: ak = Ik + A = Ck-1 x i + APerodo k+1: ak+1 = Ik+1 + A = Ck x i + A ------------------------------------------------------- ak ak+1 = (Ck-1 Ck) x i siendo: Ck-1 Ck = A, queda:ak ak+1 = A x ide donde se obtiene:ak+1 = ak A x ilo que indica que cualquier trmino amortizativo es el anterior menos una cuanta constante, es decir, los trminos varan en progresin aritmtica de razn (A x i), por lo que todos los trminos se pueden calcular a partir del primero de ellos:ak+1 = a1 k x A x iEJEMPLO 5 Construir el cuadro de amortizacin de un prstamo de 300.000 euros, al 10% de inters anual, amortizable en 3 aos, con cuotas de amortizacin anuales constantes.(5) (4) (1)(2)(3)

Aos Trmino amortizativoCuota de inters Cuota de amortizacin Total amortizadoCapitalvivo

0 1 2 3 130.000,00 120.000,00 110.000,00 30.000,00 20.000,00 10.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 200.000,00 300.000,00300.000,00200.000,00100.000,00

Total 360.000,00 60.000,00 300.000,00

Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:(1) Se calcula la cuota de amortizacin a travs del fraccionamiento del importe del prstamo en pagos iguales.300.000A = ----------- = 100.0003(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital pendiente a principios de cada perodo la cuota de amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de inters se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada perodo (3) y se pagan al final del mismo.(5) El trmino amortizativo de cada perodo ser la suma de las columnas (1) y (4).