TEMA 2 ( 30 puntos )

La proporcin de piezas defectuosas fabricadas por una mquina es p = 0.05 cuando la mquina

funciona bien y p = 0.1 cuando funciona mal.

Para determinar si la mquina funciona bien o no, se dispone de una muestra aleatoria de 100

piezas, de las cuales 8 son defectuosas.

a) Con un contraste con nivel de significacin 0.05, funciona bien la mquina ? b) Cul es error tipo II ?

TEMA 4 ( 30 puntos )

La tabla muestra la natalidad por cada 1000 habitantes en EE.UU. durante los aos 1915

1955. Ajustar a los datos: a) una parbola de mnimos cuadrados b) una exponencial. Cul de

los dos ajustes es ms conveniente ?

TEMA 4 ( 30 puntos )

En un experimento llevado a cabo para determinar cual de tres sistemas de misiles es preferible,

se midi el promedio de consumo de los propulsores para 24 encendidos estticos. Se utilizaron

cuatro tipo diferentes de propulsores. En el experimento se obtuvieron observaciones duplicadas

de promedios de consumos. Los datos, despus de codificarse, aparecen en la siguiente tabla.

Tipo de Propulsor

Sistema de misiles b1 b2 b3 b4

a1 34,0

32,7

30,1

32,8

29,8

26,7

29,0

28,9

a2 32,0

33,2

30,0

29,8

28,7

28,1

27,6

27,8

a3 28,4

29,3

27,3

28,9

29,7

27,3

28,8

29,1

Utilizando un nivel de significacin de 0,05 probar las siguientes hiptesis.

a) no existe diferencia entre las tasas de medias de consumo del propulsor cuando se utilizan diferentes misiles

b) no existe diferencia entre las tasas de medias de consumo de los cuatro tipos de propulsor c) no existe interaccin entre los diferentes sistemas de misiles y los diferentes tipos de

propulsor Solucin:

Clculo de totales en la tabla

b1 b2 b3 b4 Total

a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0

a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4

a3 27,7 56,2 57,.0 57,9 228,8

Total 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2

AO Natalidad por cada

1000 habitantes

1915 25

1920 23,7

1925 21,3

1930 18,9

1935 16,9

1940 17,9

1945 19,5

1950 23,6

1955 24,6

SST = 34,02 + 32,7

2 + ... + 29,1

2

24

7102=91,68

SSA = 52,1424

710

8

8,2284,2370,244 2222

SSB = 08,4024

710

6

2,1713,1701,1796,189 22222

SS(AB) = 17,2200,2101608,2105652,210302

9,57...2,657,66 222

SSE = 91,68 14,52 40,08 22,17 = 14,91

Con estos valores tenemos la siguiente tabla:

Fuente de

variacin

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Cuadrado medio f

calculada

Sistema de misiles 14,52 2 7,26 5,85

Tipo de propulsor 40,08 3 16,36 10,77

Interaccin 22,17 6 3,70 2,98

Error 14,91 12 1,24

Total 91,68 23

Regiones crticas: f1 > 3,89 ; f2 > 3,49 ; f3 < 3,00

Con estos valores, se concluye que:

a) sistemas diferentes de misiles implican diferentes tasas de promedio de consumo del propulsor b) las tasas de promedio de consumo del propulsor no son las mismas para los cuatro tipos de propulsor. c) la interaccin es insignificante al nivel 0,05.

TEMA1 ( 20 puntos )

Dado un conjunto de N datos: X1, X2, X3,...,XN, con media X y desviacin

tpica S, encontrar la media y la desviacin tpica de la variable:

Yi = A + BXi ( i = 1, 2, 3,...,N), en funcin de X y S.

Solucin:

Datos: X1, X2, X3,...,XN ; N

)XX(S;

N

XX

2i

Y1 = A + BX1 ; Y2 = A + BX2 ; Y3 = A + BX3 ; ...; YN = A + BXN

SBS

XBAY

Y

SBN

)XXB

N

)YY(S

N

)XXB

N

)XBBX

N

)XBA(BXA

N

)YY(S

XBAN

XB

N

NA

N

XBNA

N

BXA...BXA2BXABXA

N

YY

2

12

Y

2

122

1

2

12

Y

N31i

489992,008,001,0

58,2;;

22

Npq

e

zN

N

pqze cc

166415,05,001,0

58,2N;pq

e

zN;

N

pqze

22

cc

Un artculo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notific los resultados de una investigacin sobre los

errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir informacin falsa a la tripulacin. Es posible

que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al

provocar que el piloto apagara el motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontr que el

8% tenan errores en el cableado que podan mostrar informacin falsa a la tripulacin.

a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporcin de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta.

b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimacin preliminar de p, de qu tamao debe se la muestra para producir una estimacin de p que difiera, con una confianza de 99% del verdadero

valor a lo ms en 1%?. Interpretar.

c) De que tamao debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporcin muestral difiera de la proporcin verdadera a lo ms en 1%, sin importar cual sea el valor verdadero de p ?

Interpretar.

Solucin:

a) N = 1600 aeroplanos ; p(error) = 0.08 ; p/ 99% de confianza: zc = 2,58

Respuesta: Con un 99% de confianza, podemos afirmar que la proporcin de aeroplanos que tienen este tipo de error

se encuentran entre el 6,3% y 9,7%.

b)

Respuesta: El tamao de la muestra debe ser de al

menos 4899 aeroplanos, para que la proporcin muestral no difiera del verdadero a lo ms en 1%.

c) Si no conocemos el valor de p tomamos p = 0,5 y q = 0,5 ya que estos son los valores que pueden producir el

mayor error posible:

Respuesta: Si no conocemos el valor de p, y tomamos

p = 0,5, entonces el tamao de la muestra debe ser de al menos 16641 aeroplanos. Esto es aproximadamente 3

veces mayor que si conocemos el valor de p.

Tema 5 El nmero Y de bacterias por unidad de volumen en un cultivo, despus de X horas est dado en la siguiente tabla:

Y(horas) 0 1 2 3 4 5 6

X(cantidad

De bacterias 32 47 65 92 132 190 275

a) ajustar una curva del tipo y = abx, por el mtodo de mnimos cuadrados.

b) expresar la ecuacin en la forma Y = A 10BX

.

c) estimar la cantidad de bacterias para 7 horas.

d) graficar los datos y la curva.

e) calcular el coeficiente de correlacin

Solucin:

y = abx ; log y = log a + x log b ; haciendo z = log y; log a = A; log b = B la ecuacin nos queda:

z = A + B x

La ecuacin de la recta auxiliar se obtiene resolviendo el sistema:

z = A N + B X

Xz = A X + B X2

X (cantidad ) Y(horas) z = log y X2 Xz

32 0 1,50515 0 0

47 1 1,67210 1 1,67210

65 2 1,81291 4 3,62582

92 3 1,96379 9 5,89137

132 4 2,12057 16 8,48228

190 5 2,27875 25 11,39375

275 6 2,43933 36 14,63598

21 13,7926 91 42,7013

017,008,0;1600

92,008,058,208,0;

N

pqzp c

13, 7926 = 7 A + 21 B

42,7013 = 21 A + 91 B

A = 1,82857 ; B = 0,04727 ; a = 67,39 ; b = 1,11499

a = 1,22107 ; b = 1,00674

Tema 4 (25 puntos) A una muestra aleatoria de 40 estudiantes universitarios el Departamento Acadmico le aplic una prueba estndar

de Matemtica. La media fue de 58,0 puntos y la desviacin tpica de 5,0 puntos.

a) probar la hiptesis de que en general los alumnos no superan el puntaje en sa prueba que es de 60 puntos.

(utilizar = 0,01).

Si se considera que si el puntaje promedio en la prueba es de 56 puntos se tiene una diferencia considerable respecto

del valor hipottico de 60,0 puntos, calcular e interpretar :

b) error tipo I y error tipo II

c) la potencia de la prueba.

TEMA 4 Se tiene inters en estudiar la rapidez de combustin de un agente propulsor slido. Suponiendo que la desviacin

estndar de combustin es de = 2,5 cm/s y que la rapidez de combustin sigue una distribucin normal.

Se realiza una prueba sobre una muestra de 35 especimenes y se observa que el promedio de rapidez de combustin

es de 48, 9 cm/s.

El inters recae en decidir si la rapidez de combustin promedio es o no de 50 cm/s.

a) Cul sera la hiptesis alternativa y cual la hiptesis nula? Explicar el significado de cada una de ellas.(2p) b) Usara un contraste a una o dos colas? por qu? (2 puntos) c) Qu regla de decisin adoptara para un nivel de significacin del 5%? (2 puntos) d) Cul es la probabilidad de cometer error tipo I? (1 punto)

e) Suponiendo que la hiptesis alternativa especfica es = 52 cm/s, cul es el error tipo II? (2 puntos) f) Calcular e interpretar la potencia de la prueba. (1 punto)

Solucin:

a) H0: = 50 cm/s y el promedio de combustin es de 50 cm/s

H1: 50 cm/s y el promedio de combustin no es de 50 cm/s

En la hiptesis nula se plantea lo que el investigador quiere anular, en este caso en decidir si la rapidez de

combustin promedio es o no de 50 cm/s.

En la hiptesis alternativa se plantea si la rapidez de combustin promedio es o no de 50 cm/s.

b) Se usara un contraste a dos colas, porque interesa saber si la rapidez de combustin promedio mayor o menor de

50 cm/s

c) Para un nivel = 0,05: z = 1,96

Regla de decisin: a) Aceptar H0 si zc ( z calculada con los datos ) se encuentra entre 1,96 y 1,96.

b) Rechazar H0 en caso contrario.

a) la probabilidad de cometer error tipo I es del 5%. e)

8,05,2

5250z

: del apndice II, para = 0,7881

Respuesta: la probabilidad de cometer error tipo II es del 78,81%.

b) la potencia de la prueba est dado por 1 = 1 0,7881 = 0,2119 Respuesta: la probabilidad de rechazar correctamente una hiptesis nula falsa es del 21,19%.

9,48 5250

50x

96,11z

96,12z

aceptacin

dezona

9,48

0z

TEMA 5 La presin P de un gas correspondiente a varios volmenes V se registr de la siguiente manera:

La ley de los gases ideales est dado por la frmula P V = C, donde y C son constantes.

Determinar si la parbola P = a V2 + b V + c ajusta mejor a los datos dados que la frmula P V

= C.

Solucin:

Para verificar cual de las dos curvas ajusta mejor a los datos, calculamos el coeficiente de correlacin de ambas

curvas.

Para P V = C:

Tomando logaritmos: ln (P V ) = ln C ; ln P + ln V = ln C ; para ln P = y ; ln V = x; ln C = b ; = a ;

tenemos: y = a x + b ( ecuacin de una recta )

V(cm3) P(kg/cm

2) x = ln V y = ln P x

2 xy y

2

50 64,7 3,91202 4,16976 15,30392 16,31220 17,38691

60 51,3 4,09434 3,93769 16,76366 16,12226 15,50541

70 40,5 4,24850 3,70130 18,04971 15,72496 13,69964

90 25,9 4,49981 3,25424 20,24829 14,64347 10,59001

100 7,8 4,60517 2,05412 21,20759 9,45959 4,21942

= 370 190,2 21,35984 17,11714 91,57317 72,26248 61,40139

y = a N + b x 17,11714 = a 5 + b 21,35984 a = 14,7594

xy = a x + b x2 72,26248 = a 21,35984 + b 91,57317 b = 2,65357

Con estos resultados, la recta auxiliar es: y = 5,32437 + 0,307411 x

C = ln-1

14,7594 = 2569957,706 ; = 2,65357

Con estos resultados, la ecuacin pedida es: P V2,65357

= 2568863,128

Para P = a V2 + b V + c

V(cm3) P(kg/cm

2) V

2 V

3 V

4 V P V

2 P Pest

50 64,7 2500 125000 6250000 3235 161750

60 51,3 3600 216000 12960000 3078 184680

70 40,5 4900 343000 24010000 2835 198450

90 25,9 8100 729000 65610000 2331 209790

100 7,8 10000 1000000 100000000 780 78000

= 370 190,2 29100 2413000 118830000 12259 832670

P = a N + b V + c V2 190,2 = a 5 + b 370 + c 29100

VP = a V + b V2 + c V

3 12259 = a 370 + b 29100 + c 2413000

V2 P = a V

2 + b V

3 + c V

4 832670 = a 29100 + b 2413000 + c 118830000

resolviendo el sistema: a = 116,176 ; b = 1,05609 ; c = 0,0000026

con lo que la ecuacin de la parbola queda: P = 116,176 V2 1,055609 V + 0,0000026

TEMA 4

El nmero de pulgadas que una estructura recin construida se hunde en el suelo est dado por:

y = 3 (1 e- x

), donde x es el nmero de meses que lleva construido.

Con los siguientes valores de x e y en mediciones hechas, calcular:

V(cm3) 50 60 70 90 100

P(kg/cm2) 64,7 51,3 40,5 25,9 7,8

x 2 4 6 12 18 24

y 1,04 1,88 2,26 2,78 2,97 2,99

a) la ecuacin que ajusta los datos b) el coeficiente de correlacin c) estimar el hundimiento de una estructura a los 3 aos de haberse construido.

Solucin:

Y = 3 ( 1 e-ax

) ; y = 3 3 e

-ax ; 3 e

-ax = 3 y ; tomando logaritmos miembro a

miembro:

ln (3 e-x

) = ln (3 y) ; ln 3 + ln e-x

= ln (3 y) ; ln 3 x = ln ( 3 y). Haciendo ln 3

= A, x = X, = B, y ln (3 y) = Y, tenemos: Y = A + B X

x y Y = ln ( 3 - x ) Y2

X y x2

y e s t ( y e s t - y m e d )2

( y - y m e d )2

2 1 . 0 4 0 . 6 7 0 . 4 5 1 . 3 5 4 1 . 1 4 1 . 3 8 3 8 1 . 6 3 8 4

4 1 . 8 8 0 . 1 1 0 . 0 1 0 . 4 5 1 6 1 . 8 5 0 . 2 1 9 7 1 . 1 9 3 6

6 2 . 2 6 - 0 . 3 0 0 . 0 9 - 1 . 8 1 3 6 2 . 2 9 0 . 0 0 0 9 0 . 0 0 3 6 y m e d = 2 . 3 2

1 2 2 . 7 8 - 1 . 5 1 2 . 2 9 - 1 8 . 1 7 1 4 4 2 . 8 3 0 . 2 6 1 7 0 . 2 1 1 6

1 8 2 . 9 7 - 3 . 5 1 1 2 . 3 0 - 6 3 . 1 2 3 2 4 2 . 9 6 0 . 4 0 9 7 0 . 4 2 2 5

2 4 2 . 9 9 - 4 . 6 1 2 1 . 2 1 - 1 1 0 . 5 2 5 7 6 2 . 9 9 0 . 4 4 9 6 0 . 4 4 8 9

6 6 . 0 0 1 3 . 9 2 - 9 . 1 5 3 6 . 3 5 - 1 9 0 . 0 1 1 1 0 0 . 0 0 2 . 7 2 5 4 2 . 9 1 8 6

10.16611006

)01.190(66110015.9

XXN

XYXXYA

222

2

24.0

6611006

)15.9(66)01.190(6

XXN

YXXYNB

222

Como = B, tenemos que = 0.24

Verificacin para el valor de A:

de la ecuacin: ln 3 = 1.10

de los datos: A = 1.10. Entonces se verifica que ln3 A

a) Con esto, la ecuacin que ajusta los datos es: y = 3 (1 e- 0.24 X)

b) 97.09186.2

7254.2

)yy(

)yy(r

2med

2medest

Conclusin: la correlacin entre los datos y la curva de ajuste es perfecta

c) Para 3 aos, o sea 36 meses, tenemos: y = 3 (1 e- 0.24 36

) = 3

Conclusin: se estima que el hundimiento de la estructura a los 3 aos de haberse

construido es de 3 pulgadas. TEMA 3

Se toma una muestra de estudiantes y se les pide su opinin en cuanto a una propuesta de cambio de plan de

estudios. Los resultados son los siguientes:

Pruebe la hiptesis de que la opinin con respecto al cambio es independiente del nivel de la

clase. Utilice = 0.05

Clase A favor En contra

Primer ao 120 80

Segundo ao 70 130

Tercer ao 60 70

Cuarto ao 40 60

Solucin: Hemos de decidir entre las hiptesis:

H0: La opinin con respecto al cambio es independiente del nivel de clase.

HA: La opinin con respecto al cambio no es independiente del nivel de clase.

Calculo de las frecuencias esperadas:

Clculo de 2:

97.26

54

)5460(

70

)7070(

108

)108130(

108

)10880(

46

)4640(

60

)6060(

92

)9270(

92

)92120(

2

222222222

Del apndice IV, para (4-1)(2-1) = 3 grados de libertad,

el valor de 2

.95 es 7.81

2

.95 = 7.81

Como 2.95 cae en la regin crtica se rechaza H0 y se acepta HA.

Conclusin: La opinin de los estudiantes con respecto al cambio no es independiente del nivel

de clase.

TEMA 1 a) Cuando se toman muestras en una poblacin infinita, qu sucede son el error estndar

promedio si el tamao de la muestra : i) aumenta de 100 a 200 ? ii) disminuye de 360 a

90 ?

b) Dado una tabla de contingencia, se calcula 2. Luego, cada nmero se multiplica por una

constante k. Cunto valdra la nueva 2 ?

Solucin:

a) i) Sea e1 el error antes de la variacin en la cantidad muestreada: 100N

e1

1

. Luego

del incremento, el error ser de: 200N

e2

2

. Entonces,

2

ee;2

200

100

e

e 12

2

1

Conclusin: si la muestra aumenta de 100 a 200, el error queda dividido por 2 ,

respecto del error inicial.

Clase A favor

frec. obs.

A favor

frec. esp.

En contra

frec. obs.

En contra

frec. esp.

total

1 ao 120 290200/630=

92

80 340200/630=

108

200

2 ao 70 290200/630=

92

130 340200/630=

108

200

3 ao 60 290130/630=

60

70 340130/630=

70

130

4 ao 40 290100/630=

46

60 340100/630=

54

100

total 290 340 630

ii) Sea e1 el error antes de la variacin en la cantidad muestreada: 360N

e1

1

. Luego

del incremento, el error ser de: 90N

e2

2

. Entonces, 12

2

1 e2e;2

1

90

360

e

e

Conclusin: si la muestra aumenta de 100 a 200, el error queda multiplicado por 2,

respecto del error inicial.

c) Sea 2 el valor ji-cuadrado para los datos iniciales y 2 el valor ji-cuadrado para los datos multiplicados por una constante k.

d) Por definicin: e

)eo( 22 . Tambin: 222222 k

e

)eo(k

ke

)eo(k

ke

)keko('

Conclusin: Si de una tabla de contingencia, se calcula 2. Luego, cada nmero se

multiplica por una constante k, entonces el nuevo valor de 2. queda multiplicado por la

constante k.

TEMA 3 El representante de una comunidad informa a una empresa que se propone construir un centro comercial que el

ingreso medio por hogar es de 150.000 gs diarios. Para ese tipo de rea, puede suponerse que los ingresos tienen

una distribucin aproximadamente normal y que puede suponerse una desviacin estndar es de 12.000 gs.

Si de una muestra de 15 hogares se obtiene una media de 152.000 gs, contrastar la hiptesis de la empresa

constructora que afirma que el ingreso medio por hogar es de 150.000 con un nivel de significacin = 0.05.

Suponiendo, en el problema anterior, que el equipo de ingenieros de la empresa constructora afirma que el salario

medio por hogar es de 160.000 gs, en discrepancia con lo que afirma el representante de la comunidad ( 150.000 gs

por hogar):

Con el mismo nivel de significacin, calcular e interpretar: a) la probabilidad del error tipo I b) la probabilidad

del error tipo II c) la potencia asociada a esta prueba.

TEMA 5 Las cantidades Y de una sustancia no transformada en 6 reacciones qumicas similares despus de X minutos son:

a) dibujar el diagrama de dispersin b) ajustar una curva de la forma Y = C DX y graficar. c) estimar la cantidad de sustancia no transformada despus de

un periodo de 4 minutos.

TEMA 4 Los datos siguientes datos se refieren a la cantidad de hidrgeno presente (y, en partes por milln) en muestras de

sondaje taladradas en intervalos de un pie de longitud de un molde de fundicin al vaco (x, localizacin de la

muestra de sondaje en pies desde la base):

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 1,28 1,53 1,03 0,81 0,74 0,65 0,87 0,81 1,10 1,03

a) Ajustar una parbola por el mtodo de mnimos cuadrados. b) Graficar los datos y la parbola.

c) Calcular el coeficiente de correlacin y estimar la cantidad de hidrgeno presente cuando la

localizacin de la muestra de sondaje es de 7 pies desde la base.

X

(minutos)

Y

(miligramos)

1 23,5

2 16,9

2 17,5

3 14,0

5 9,8

5 8,9

Solucin: a) sea Y = a0 + a1 X + a2 X

2 la ecuacin de la parbola pedida. Formamos el sistema:

y = a0 N + a1 x + a2 x2

xy = a0 x + a1 x2 + a2 x

3

x2y = a0 x

2 + a1 x

3 + a2 x

4

9,85 = 10 a0 + 55 a1 + 385 a2

51,04 = 55 a0 + 385 a1 + 3025 a2

358,1 = 385 a0 + 3025 a1 + 25333 a2

Resolviendo el sistema se obtiene:

a0 = 1,751 ; a1 = 0,316 ; a2 = 0,025

Rta: la parbola de mnimos cuadrados que ajusta los datos es Y = 1,751 0,316 X + 0,025 X2

TEMA 5 Se est capacitando a nueve personas en cuatro materias distintas y se les asigna, en forma aleatoria, a tres mtodos

diferentes de instruccin. A cada instruccin se le asignaron tres estudiantes, como se indica en el siguiente cuadro.

Realizar un anlisis de todas las diferencias posibles a un nivel de significacin 0.05.

MATERIA Mtodo de Instruccin

A1 A2 A3 70 83 81

B1 79 89 86

72 78 79

77 77 74

B2 81 87 69

79 88 77

82 94 72

B3 78 83 79

80 79 75

85 84 68

B4 90 90 71

87 88 69

Solucin

MATERIA Mtodo de Instruccin

A1 A2 A3 x 70 83 81 234 78

B1 79 89 86 254 84,67

72 78 79 229 76,33

77 77 74 228 76

B2 81 87 69 237 79

79 88 77 244 81,33

82 94 72 248 82,67

B3 78 83 79 240 80

80 79 75 234 78

85 84 68 237 79

B4 90 90 71 251 83,67

87 88 69 244 81,33

960 1020 900 2880

x 80 85 75

x y xy x2y x

2x

3x

4yest (yest-ymed)

2(y-ymed)

2

1 1.28 1.28 1.28 1 1 1 1.46 0.225625 0.087025

2 1.53 3.06 6.12 4 8 16 1.22 0.055225 0.297025

3 1.03 3.09 9.27 9 27 81 1.03 0.002025 0.002025

4 0.81 3.24 12.96 16 64 256 0.89 0.009025 0.030625

5 0.74 3.7 18.5 25 125 625 0.8 0.034225 0.060025

6 0.65 3.9 23.4 36 216 1296 0.76 0.050625 0.112225

7 0.87 6.09 42.63 49 343 2401 0.76 0.050625 0.013225

8 0.81 6.48 51.84 64 512 4096 0.82 0.027225 0.030625

9 1.1 9.9 89.1 81 729 6561 0.93 0.003025 0.013225

10 1.03 10.3 103 100 1000 10000 1.1 0.013225 0.002025

55 9.85 51.04 358.1 385 3025 25333 0.47085 0.64805

78,533XxxxcV

600XxacV

89,30XxbcV

35136gl;1600V

358602640XxV

8036

2880X

2kjjK

JKI

2k

b

1kC

2j

a

1jR

2

l,k,jl,k,j

Variacin Grados de libertad Cuadrado medio F de la prueba Valores de F para

nivel 0,05

entre materias

VR = 30,89

a 1 = 3 3,10

1a

Vs R2R

5676,0

s

s2E

2R

p/ 3 y 24 gl:

FC = 3

entre mtodos

VC = 600

b 1 = 2 300

1b

Vs C2C

54,16

s

s2E

2C

p/ 2 y 24 gl:

FC = 3,41

Interaccin

VI = 533,78

(a 1)( b 1) = 6 96,88

)1b)(1a(

Vs I2I

905,4

s

s2E

2I

p/ 6 y 24 gl:

FC = 2,51

Residual

VE = 453,33

ab(c 1) = 24 14,18

)1c(ab

Vs E2E

Total

V = 1600

abc 1 = 35

Conclusin: al nivel 0,05 se puede concluir:

Existe diferencia significativa entre mtodos de instruccin

Existe diferencia significativa entre mtodos de instruccin

No existe diferencia significativa entre materias

TEMA 3 ejercicio resuelto 10.27 en Estadstica - Murray Spiegel

Una moneda da 6 caras en 6 tiradas. Podemos concluir al nivel de significacin a) 0.05 b) 0.01 de que la moneda

es buena?

Solucin:

Contraste a dos colas

Hay que decidir entre dos hiptesis:

H0: p = 0,5 y la moneda es buena

HA: p 0,5 y la moneda no es buena

La probabilidad de obtener 6 caras en 6 tiradas, con p = 0,5 utilizando la distribucin binomial est dada por:

015625,064

1

2

1

2

1C)6X(p

06

66

las dems posibilidades estn dadas por: 015625,064

1)6X(p)0X(p

64

20)3X(p;

64

15)4X(p)2X(p;

64

6)5X(p)1X(p

la distribucin de probabilidades es como se indica

Contraste a una sola cola:

como 1/64 = 0,015625 > 0,01 y 1/64 = 0,015625 < 0,05 rechazamos H0 al nivel 0,05 pero no al nivel 0,01

Contraste a dos colas:

como 1/64 + 1/64 = 1/32 > 0,01 y 1/64 + 1/64 < 0,05 rechazamos H0 al nivel 0,05 pero no al nivel 0,01

641

641

646

646

6415

6415

6420

X

)X(p

TEMA 4 Un cientfico de la computacin ha desarrollado un algoritmo para generar nmeros enteros aleatorios en el intervalo

0 9. El cientfico codifica el algoritmo y genera 1000 dgitos aleatorios. La siguiente tabla contiene los datos de las

frecuencias observadas. Existe evidencia de que el generador funciona de manera correcta al nivel de significacin

0.05?

Solucin:

Calculamos las frecuencias esperadas:

Nmeros aleatorios 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 total

Frec. Observadas 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94 1000

Frec. Esperadas 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000

Formulamos las hiptesis:

H0: El generador de nmeros aleatorios funciona de manera correcta.

HA: El generador de nmeros aleatorios funciona de manera incorrecta.

Clculo de 2:

72,336,059,001,0026,015,001,029,149,036e

)eo( 22

Como 2 < 9,16295. , entonces caemos

en zona de aceptacin.

Conclusin: Al nivel 0,05 no hay razn para rechazar

la hiptesis nula, con lo que se concluye que el

generador de nmeros aleatorios funciona de manera

correcta.

*Una compaa de productos para el consumidor est desarrollando un nuevo shamp y est interesada en la altura

de la espuma ( en mm ). La altura de la espuma tiene una distribucin normal con desviacin tpica de 20 mm. La

compaa desea probar:

HO: = 175 mm, contra HA: > 175 mm, utilizando resultados obtenidas con 10 muestras.

a) encontrar la probabilidad del error tipo I si la regin crtica es X > 185 mm ( 7 puntos ) b) cul es la probabilidad de error tipo II si la verdadera altura promedio de la espuma es de 195 mm? (7

puntos )

c) Si el tamao de la muestra fuese 16, donde debe colocarse la frontera de la regin crtica si se desea que la probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el tamao de la muestra era de 10 ? (6 puntos )

Solucin:

a)

58,1

1020

175185

1020

xz

del apndice II, para z = 1,58: A = 0,0571

Respuesta: el error tipo I, o sea la probabilidad de rechazar una

hiptesis verdadera, es del 5,71 %

Nmeros

aleatorios 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94

05,0

9,16295.

185X

z

175

0z

A

b)

58,1

1020

195185

1020

xz

del apndice II, para z = 1,58: = 0,0571

Respuesta: el error tipo II, o sea la probabilidad de

aceptar una hiptesis falsa, es del 5,71 %

c)

9,18217516

2058,1

NzX

Respuesta: Para tamao de la muestra 16, y si se desea que la

probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el

tamao de la muestra era de 10, la frontera de la regin crtica debe

colocarse en X = 182,9 mm.

TEMA 3

Una muestra aleatoria de 30 empleados de nivel secretarial de una organizacin grande, el

departamento de seleccin de personal le aplica una prueba estndar de mecanografa. Los

resultados muestrales son: X = 63 p.p.m. (palabras por minuto) y S = 5 p.p.m. Pruebe la

hiptesis de las secretarias exceden la velocidad de mecanografa de 60 p.p.m., utilizando =

1%.

Considerando que si la velocidad promedio de mecanografa es de 64 p.p.m. se tiene una

diferencia considerable con respecto al valor hipottico de 60 p.p.m., determinar:

a) Error tipo I (). Interpretar.

b) Error tipo II (). Interpretar.

Encontrar la potencia de la prueba (1 - ) e interpretar lo que ello significa.

Solucin:

N = 30 ; X =63 ppm ; S = 5 ppm H0 : m = 60 ppm, y no hay diferencia entre las velocidades en mecanografa con el valor

hipottico

H1 > m = 60 ppm, y hay diferencia entre las velocidades en mecanografa con el valor hipottico

De la tabla, para a = 1%

z = 2.33

Clculo de z:

28.3

30

5

6063

N

Xzc

Como zc > z rechazamos H0 y aceptamos A1

Conclusin: las secretarias exceden en velocidad mecanogrfica al valor hipottico 60 ppm.

Otra forma: calculando X: 13.626030

533.2X;

N

Xz

Como X > X concluimos que las secretarias exceden en velocidad mecanogrfica al valor

hipottico 60 ppm.

175 195185X

?X

58,1z

175

0z

A

a) a = 1% Conclusin: La probabilidad de rechazar una hiptesis verdadera es de 1%

b) 13.626030

533.2X

05.29128.0

87.1

30

5

6413.62

N

Xzc

b = 0.5 ( Area entre z = 0 y z = -2.05 = 0.5 0.4798 = 0.0202

Conclusin: La probabilidad de aceptar una hiptesis falsa es de 2.02%

c) Potencia = 1 b = 0.9798 Conclusin: La probabilidad de rechazar una hiptesis falsa es de 97.98 %