Ejemplos de Campos Eléctricos Estáticos

Nota: Ejemplo del capítulo 3 Campos Eléctricos Estáticos, autor: David Cheng

1.- Determinar la intensidad de campo eléctrico en P(-0.2, 0, -2.3) debida a una carga puntal de +5 (nC) en Q(0.2, 0.1, -

2.5) en el aire. Todas las direcciones esta en metros.

Solución: Ep = Ep

El vector de posición del punto campo P es: R = = 0.2 - 2.3

El vector de posición del punto campo Q es: = = 0.2 + 0.1 - 2.5

La diferencia es R - = 0.4 - 0.1 - 0.2

| R - = = 0.428 (m)

Al sustituir en la ecuación Ep = obtenemos

Ep = (9 x ) ( 0.4 0.1 + 0.2)

Ep = 214.5 ( 0.873 0.218 + 0.437) (V/m)

Donde = ( 0.873 0.218 + 0.437)

Y la magnitud del campo es 214.5 (V/m)

2.- Determine la intensidad de campo eléctrico de una carga recta, infinitamente larga, con densidad uniforme , en el

aire

Usando la ecuación E = (V/m), en este ejemplo es constante, y se elige un elemento

lineal dl = d de manera que este a una distancia arbitraria del origen. R es el vector distancia que va desde la fuente

hasta el punto campo. R = r - . El campo eléctrico dE producido por el elemento diferencial de carga =

es dE = donde dE = d + d

Donde d = y d = la componente se cancela en el proceso de integración

E = = = (V/m)

Solución:

Supongamos que la línea de carga se encuentra sobre el eje , como se

ilustra en la figura. Podemos efectuar esta suposición porque el campo no

depende de cómo designe la línea. Se utilizara con prima ( ) para los

puntos fuertes y sin para los puntos campo.

Trabajaremos con coordenadas cilimdricas

3.- Utilizar la Ley de Gauss para Determinar la intensidad de campo eléctrico de una línea carga recta, infinitamente

larga, con densidad uniforme , en el aire.

Aprovechemos la simetría radial, construimos una superficie gaussiana cilíndrica de radio

r longitud arbitraria L, con la línea de carga como eje, como se muestra en la figura,

es constante en esta superficie y ds = rd dz

= = rL

No hay contribución de las caras superior e inferior del cilindro ds = rd d , pero E no

tiene componente en z, de manera que E · ds = 0

Lo mismo sucede con la cara inferior. La carga encerada en el cilindro es Q = L

=

rL =

dE = (V/m)

4.- Determinar la intensidad de campo eléctrico de un plano de carga infinito con densidad superficial de carga uniforme

.

Solución: Usando el teorema de gauss, seleccionemos como superficie gaussiana una caja rectangular, con cara superior e

inferior de áreas arbitraria A equidistantes del plano de carga, como se muestra en la figura. Los lados de la caja son

perpendiculares a la lámina cargada. Si la lamina cargada coincide con el plano xy, tenemos entonces en la cara superior

E · ds = ( )· ) =

En la cara inferior

E · ds = ( )· ) =

Puesto que no hay contribución de las caras laterales, tenemos

= 2 = 2 A

La carga total encerada por la caja es Q = A por lo tanto

2 A =

De donde obtenemos

E = = Z 0 Y E = = Z 0

La lamina cargada no siempre coincide con el plano xy (así que no siempre se usa los términos arriba y abajo del plano),

pero el campo E siempre apunta alejándose de la lámina si es positiva.

5.- Determinar el campo E producido por una nube esférica de electrones con densidad volumétrica de carga =

para 0 R b (tanto como b son positivos) y = 0 para R b

E = , ds =

Donde el flujo total de salida E es = = 4

La carga total encerrada por la superficie gaussiana es Q = = =

Al sustituir en la ecuación = y resolviendo nos queda

Primero identifiquemos que la condición dada por la fuente tiene

simetría esférica. Por lo tanto, las superficies gaussiana apropiada

deben ser superficies esféricas concéntricas. Se tiene que hallar E

en dos regiones como se muestra en la figura.

Región 1: 0 R b

Se construye una superficie gaussiana esférica hipotética con R

b dentro de la nube de electrones. Sobre esta superficie, E es

radial y tiene magnitud constante.

E = - 0 R b

Vemos que este resultado demuestra que dentro de la nube de electrones uniforme, el campo E, esta dirigido hacia el

centro y tiene una magnitud proporcional a la distancia al centro

Región 2: R b

Para este caso construiremos una superficie gaussiana esférica con R b fuera de la nueve de electrones .

Obtenemos la misma expresión de = = 4 que en el caso de la región 1. La carga total es

Q =

Por consiguiente

E = - para R b

Observe que esta relación sigue la ley del inverso del cuadrado y pudo haberse obtenido de la ecuación de intensidad de

campo eléctrico de una carga puntual aislada situada en el origen. Este resultado generalmente es válido para cualquier

región cargada esféricamente simétrica, incluso si es función de R.

6.- En la figura se muestra un dipolo eléctrico que consiste en dos cargas puntuales iguales y opuestas +q y –q,

separadas una pequeña distancia d. Determine el potencial V y la intensidad eléctrica E en un punto arbitrario P a una

distancia R d del dipolo

Sea R+ y R- las distancias de las cargas +q y –q al punto campo P, respectivamente. El en P puede obtenerse

directamente de la ecuación

V = (v)

V = ( - )

Si d R

R+ ( R - ) y R- ( R + ) se sustituye en la ecuación

V= ( - ) = ( )

Con ello podemos determinar el potencial electrostático a partir del momento dipolar eléctrico

Donde p = qd

V=

El campo E puede obtenerse de - . En coordenadas esféricas

E = - = - - - = ( +

7.- Obtenga una fórmula para la intensidad del campo eléctrico en el eje de un disco circular de radio b que tiene una

densidad superficial de carga uniforme

Solución:

Aunque el disco tiene simetría circular, no podemos visualizar una superficie a su alrededor en la cual la componente

normal de E tenga magnitud constante, por consiguiente, la ley de Gauss no sirve para resolver este problema. En su

lugar usaremos la ecuación y trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Ver figura

V = recuerde que es una integral doble

´= y R =

El potencial eléctrico en el punto P(0,0,z) con un respecto al

potencial en un punto en el infinito es

V = d d = ( - ) donde el

signo absoluto alrededor de z describe el hecho de que V es lo

mismo si z es positivo (un punto por encima del disco o negativo (un

punto debajo del disco).Por consiguiente.

E = - = - donde

E= 1-z ] para z 0

E= [1+z ] para z 0

8.- Una carga puntual positiva Q esta en el punto de una caga conductora esférica con radio interior y radio exterior

. Determine E y V como funciones de la distancia radial R.

La geometría del problema se muestra en la figura. Puesto que hay simetría esférica, lo más sencillo es usar la ley de

gauss para determinar E y luego hallar V por integración. Hay tres regiones distintas a) R , b) , c) R .

Construiremos superficies Gaussianas esféricas apropiadas en estas regiones. Por simetría se requiere que E = en

las tres regiones.

El campo E es el mismo que el de una carga puntual Q sin la presencia de la capa. El potencial con respecto al infinito es

= dr =

b) R (superficie gaussiana ): A partir de que el campo eléctrico dentro de un conductor en condiciones

estáticas es igual a cero = 0, puesto que = 0 en la capa conductora y dado que la carga total encerrada por la

superficie debe ser cero, se habrá inducido una cantidad de carga negativa igual a – Q en la superficie interior de la

Solución:

a) R > , superficie Gaussiana

= 4 =

=

capa, en R = (Esto significa que se induce una cantidad de carga positiva igual a + Q en la superficie exterior de la

carga, en R = ). La capa conductora de un cuerpo equipotencial. Por lo tanto,

= =

c) R (superficie gaussiana ); Al aplicar la ley de Gauss se obtiene la misma fórmula para que la de

=

El potencial en la región es = - dR + K = + k , donde la constante de integración K se determina que

en R = , sea igual que . Tenemos que

K = ( - )

Y = ( - )

Las variaciones de y V con respecto a R en las tres regiones están representada gráficamente en la figura. Observe

que la intensidad eléctrica tiene saltos discontinuos, pero el potencial no pierde continuidad.

Podemos concluir que el potencial es continuo a través de las fronteras y un salto discontinuo del potencial indicaría que

el campo magnético es infinito

9.- Se introduce perpendicularmente una lámina de Lucita ( = 3,2 ) en un campo eléctrico uniforme = en el

espacio libre. Determinar , , y dentro de la Lucita

La intensidad de campo eléctrico en la lámina de Lucita = = =

Por consiguiente, el efecto de la lámina de Lucita es reducir la intensidad eléctrica. El vector de polarización es cero fuera

de la lámina de Lucita = 0, dentro de la lámina es = - = ( 1- ) = ( 0,687) (C/ )

Solución: Supongamos que la introducción de la lámina de Lucita no perturba el

Campo Eléctrico uniforme original , como se muestra en la figura. Puesto que las

superficies de separación son perpendiculares al campo eléctrico, solo tenemos que

considerar las componentes de campo normal . No hay libre.

La condición de frontera para la superficie de separación izquierda nos indica

= =

= ,

No hay cambio en la densidad de flujo eléctrico a través de la superficie de separación

10.- Dos medios dieléctricos con permitividades y están separado por una frontera libre de cargas, como se muestra

en la figura. La intensidad de campo eléctrico en el punto del medio 1 tiene magnitud y forma un ángulo con la

normal. Determine la magnitud y la dirección de la intensidad de campo eléctrico en el punto en el medio 2

La magnitud de es

= =

=

Solución: Se requiere de dos ecuaciones para resolver las dos incógnitas

= se obtiene la ecuación y

De la teoría y la figura = (1)

Y = (2)

Al dividir (1) entre (2) se obtiene =