Teoria de Esfuerzos Estaticos

Recapitulacin Esfuerzos Estticos y Mecnica de Materiales -- Pg. 1 de 18

Repblica Argentina Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniera Departamento de Ingeniera Mecnica

67.12 - MECANISMOS B

RECAPITULACIN TEORA ESFUERZOS ESTTICOS Y MECNICA DE MATERIALES

Prof. Ing. MAYER Omar E. [email protected]

06 OCTUBRE 2 006Agradezco los comentarios que me haya hecho mi actual Ayudante Di IORIO Jos Mara en cuanto a errores, mejoras de exposicin y discordancias que contiene la edicin anterior y que hicieron posible esta nueva edicin corregida conforme.


DETERMINACIN DE FUERZAS INTERNAS O ESFUERZOSPuesto un sistema plano de fuerzas exteriores (cargas) y actuantes sobre un cuerpo en equilibrio, tal como el mostrado en la Figura 01a lateral, se trata de determinar las fuerzas internas o esfuerzos a que se encuentra sometido el mismo, en una seccin n - n cualquiera del mismo. A dichos efectos, se separa idealmente y por ejemplo, la parte izquierda del cuerpo (Figura 01b lateral) y se restituye en la seccin n - n, la accin de la parte derecha, colocando un sistema equivalente de fuerzas y momentos internos (esfuerzos), resultando as un esfuerzo tangencial Q, un esfuerzo normal N y un esfuerzo flector M, propios del sistema de cargas, de la configuracin del cuerpo y de la orientacin y ubicacin relativas de la seccin n - n.

Y P1 P2 n P3

P5

n

P4 Z

Figura 01aY P1 P2 n Q M N n

P5

Z

Figura 01b

Lo anterior equivale a expresar, tomando las fuerzas y momentos exteriores e interiores actuantes, cualquiera sea la seccin n - n considerada, que:

Fy = 0Y n N M

;;;;;;;;

Fz = 0

;;;;;;;;

M = 0

P3

Analizada la parte derecha (Figura 01c lateral) y la misma seccin n - n, el sistema de fuerzas y momentos internos equivalente a la accin de la parte izquierda, ser de signo opuesto al anterior, esto es -- Q, -- N y -- M.

Si el sistema de fuerzas exteriores resulta espacial y referenciada la seccin n n a una terna de ejes Figura 01c coordenados: el eje Z normal a la seccin y los ejes X e Y contenidos por la misma; resultan como fuerzas y momentos interiores equivalentes:

Q

n

P4 Z

Un esfuerzo tangencial Q, descriptible por dos componentes Qx y Qy.


Un esfuerzo normal N, de direccin Z. Un esfuerzo (momento) flector Mf, descriptible por dos componentes Mx y My. Mx acta en el plano YZ y My en el plano XZ Un esfuerzo (momento) torsor Mt, actuante en el plano XY.

Qx, Qy y N resultan ser las tres componentes de un nico esfuerzo dedireccin no siempre paralela a ninguno de los tres ejes coordenados (en tal caso, dos componentes sern nulas), como as tambin, Mx, My y Mt resultan ser las tres componentes de un nico momento forzal no siempre paralelo a ninguno de los tres ejes coordenados (en tal caso, dos componentes sern nulas).

TENSIONES o ESFUERZOS ESPECFICOS NORMALES P P

n

n

n

n

Sometido un cuerpo a una traccin o alargamiento como el mostrado en la Figura 02 lateral y considerada una seccin transversal a la direccin del alargamiento en cuestin como la n - n, en la misma existir una fuerza interna N

igual a la aplicada exteriormente; dicha fuerza internadN = * dA PA A

N=P0

N=

0

dN =

* dA Figura 02

resultar ser la integracin de esfuerzos elementales dN, aplicados a elementos diferenciales de rea dA, extendida a toda el rea transversal en consideracin.

Se llama tensin normal al cociente:

=

dN ------- dA

Su signo es positivo cuando corresponde a traccin (alargamiento) y negativo, cuando corresponde a compresin (acortamiento). Su valor es particular del punto que se considere y depender de la ley de distribucin de N a lo largo de la seccin n - n en anlisis.

TENSIONES o ESFUERZOS ESPECFICOS TANGENCIALES


dQ = * dA P P Q=P

P

A

A

Q=

0

dQ =

0

* dA

Figura 03

El caso de cizallamiento (corte) mostrado en la Figura 03 inmediato superior ejemplifica tpicamente la existencia de tensiones tangenciales

,

=

dQ ------- dA

resultando:

Siendo las tensiones, esfuerzos por unidad de superficie, considerados cubos elementales de lados unitarios y en consecuencia de reas laterales y volumen tambin unitarios, los esfuerzos aplicados en las caras laterales de los mismos resultan ser las respectivas tensiones.

DISTRIBUCIN DE TENSIONESResultan dos posibilidades: De NO resultar una distribucin uniforme de tensiones:

N = dN = * dA

Q = dQ = * dA

De SI resultar una distribucin uniforme de tensiones:

N = dN = * dA = * dA = * A Q = dQ = * dA = * dA = * ANuestros estudios se basarn considerando distribucin uniforme de tensiones, para lo cual se supone cierta la siguiente hiptesis: Las cargas aplicadas exteriormente estn distribuidas uniformemente y de no estarlo as, las secciones en estudio estn suficientemente alejadas de la zona de aplicacin de las mismas, resultando as, en ellas, distribucin uniforme de tensiones.

DEFORMACIONES Y DEFORMACIONES ESPECFICAS EN TRACCIN - COMPRESINTraccionado un cuerpo, como el de la FIGURA 04 siguiente y considerando distribucin uniforme de tensiones, el mismo sufrir un alargamiento tambin uniforme tal que la distancia L entre sus secciones transversales m - m y

n - n, se incrementa el valor ; siendo n - n, la posicin de la seccin transversal n - n, respecto a la m - m, una vez deformado el cuerpo bajo la carga P.


P

m m L

n n

n n

P

P

Figura 04Alargamiento (Acortamiento): Es el cambio total en la dimensin (lineal) original, conforme cierta direccin, de un elemento resistente Alargamiento (Acortamiento) especfico: Es el alargamiento por unidad de longitud, en una direccin dada. En nuestro caso: adimensional. Nota 1: Si la carga resulta ser excntrica, todas las fibras.

= / L.

Resulta

no tiene el mismo valor para

Nota 2: En traccin y por ser la longitud final mayor que la longitud inicial, resulta positivo, en cambio en compresin,

resulta negativo.

DEFORMACIONES Y DEFORMACIONES ESPECFICAS BAJO TENSIONES TANGENCIALES

Figura 05b

Figura 05a

Figura 05c

Sea un cubo elemental sometido nicamente a las tensiones tangenciales tal como muestra la Figura 05a inmediata superior; el mismo, por la accin de dichas tensiones, se deformar distorsionndose a la forma como indica la Figura 05b inmediata superior, sin modificar la longitud de sus lados. Siendo (ngulo de distorsin) pequeo (distorsin elstica), puede suponerse como estado final, al menos a manera simplificativa, el mostrado por la Figura 05c inmediata superior. Se llama distorsin especfica tangenciales, al valor j, tal que: deformacin especfica j = en radianes o por tensiones


APLICACIN ESTTICA DE CARGASSe dice que una carga es aplicada estticamente, cuando partiendo la misma con valor nulo (cero), resulta incrementada infinitesimalmente, dejando desarrollar previamente la deformacin correspondiente a cada incremento anterior de la carga. As las cosas, una aplicacin 100% esttica o esttica pura, requiere un tiempo infinito. A los efectos del presente estado del estudio de la asignatura, se considerar que las cargas son aplicadas de dicha manera, esto es, estticamente.

RELACIN ENTRE TENSIN Y DEFORMACIN ESPECFICAP

P C B A Escalarmente: kt = tg(

m

m

)

n n

n n

P P

Figura 06

Traccionado estticamente un cuerpo como el de la Figura 06 inmediata superior y tomadas sobre el mismo, dos secciones transversales de referencia como las m - m y la n - n, es posible registrar, para cada valor de la carga

P, el incremento correspondiente de la longitud L entre las secciones de referencia, tal como se muestra en el diagrama P - (Carga - Alargamiento)de la misma figura. El mismo resulta ser tpico de los aceros (aleaciones hierro - carbono al estado slido) dctiles. En el mismo caben distinguir los siguientes puntos:

Punto A: Punto lmite de proporcionalidad Punto B: Punto lmite elstico (comienzo de fluencia) o punto de fluencia. Punto C: Punto de rotura,


El tramo OA responde a la ecuacin de una recta, P = kt * , resultando kt en la constante de proporcionalidad del cuerpo, sometido el mismo a la traccin. Descargado el cuerpo en puntos anteriores al B, el mismo vuelve sobre el mismo diagrama, no quedando deformacin remanente o permanente alguna. Descargado el cuerpo en puntos posteriores al B, el mismo vuelve y a partir del punto de descarga, por una recta paralela a la OA, resultando una deformacin remanente o permanente. De ser el cuerpo, elemento componente de una mquina y siendo esta, cargada y descargada reiteradamente, resulta necesario que dicho cuerpo no sea cargado ms all del lmite elstico y no conociendo a ciencia cierta la ley que gobierna el tramo AB (posiblemente inexistente), no se podr sobrepasar el lmite de proporcionalidad A.

B A

C'

C

Siendo = P / A ; = / L y A y L invariables (caractersticas dimensionales del cuerpo), del diagrama P diagrama en la Figura 07 lateral. Considerado el tramo OA valiendo dentro del mismo:

puede obtenerse un - como el mostradoy

Escalarmente: E = tg()

Figura 07

P = kt * , se tiene:

* A = kt * * L kt * L = ---------- * A

Si:

kt * L --------A

=

E

= E *

A la relacin = E * , se la llama ley de proporcionalidad longitudinal de Hooke y a E, mdulo de proporcionalidad y/o de rigidez longitudinal y/o de Young (a mayor E, menor deformacin y mayor rigidez longitudinal). Su valor para los aceros, cualesquiera sean los mismos, es al menos considerado constante, y resulta con valor:


E

N = 210 * 10^9 -----m^2

=

210 GPa

kN = 21 * 10^3 -----cm^2 kt = E A * --L

Ntese que la constante kt de Proporcionalidad a la traccin de los cuerpos, resulta en:

Nota: Supuesto los aceros comportndose a la compresin, de idntica manera que a la traccin (al menos dentro del lmite de proporcionalidad), las caractersticas que se obtengan a la traccin para los mismos, resultan de aplicar en la compresin.

Para tensiones tangenciales, resulta:

= G * j

con G = Mdulo de elasticidad y/o de rigidez transversal, al menos a considerar constante para los aceros, cualesquiera sean los mismos y de valor:

G

=

N 80 * 10^9 ----m^2

=

80 Gpa

=

kN 8 * 10^3 ------cm^2

TENSIONES EN PLANOS OBLICUOS A UNA TRACCIN - COMPRESINP P

Figura 08n

m Amn

An

m

n

An

n

Nn=P*cos()

N=P P Q=P*sen()

Sea un cuerpo traccionado como el de las Figura 08 inmediata superior adjuntas y estdiese lo que acontece en las secciones m m (transversal a la traccin) y n n (no transversal a la traccin). Los valores relativos de las reas correspondientes entre ambas secciones, resultan ser:


rea seccin m m rea seccin n n

= =

Am An = Am / cos ()

Considerando la seccin n n y distribucin uniforme de tensiones sobre el rea correspondiente y descomponiendo la fuerza interna N = P, en Nn y Q, resulta:

N

=

Nn

+

Q

;;;;

Nn = N * cos ()

;;;;

Q = N * sen ()

N = m * Am ;;;; Nn = n * An ;;;; Q = n * AnOperando algebraicamente, resulta:

n =

Nn ---An

=

N * cos () -----------------Am / cos ()

n =Tambin se tiene:

N ---Am=

* ( cos () )^2 n = m * ( cos () )^2 Q ---An N * sen () ---------------Am / cos () N --Am

n

=

=

*

sen () * cos ()

Siendo sen () * cos () = ( 1 / 2 ) * sen (2)

n =

N -------2 * Am

*

sen (2)

n =

1 --2

*

m * sen(2)

Los valores mximos de

n

y

n

ocurren en y valen: ;;;;;;

En

= 0 o Npi

n =

N --------Am N ---------2 * Am N ---------2 * Am

=

m m

En

=

Npi -------------- ;;;;;; 4

n =

=

---2

En

=

Npi -------------- ;;;;;; n 4

m= ---2

=

La Figura 09 siguiente pgina, representa lo aqu apuntado.


P

m1

Figura 09

1

m245

m = P / Am n = P / (2 * Am) n = m / 2 n = P / (2 * Am) n = m / 2 n2

n n

n

P

n n

n n

TENSIONES NORMALES DIAGONALESPuesto un estado adjunta y aplicado laterales unitarias), tensiones normales plano de tensiones como el dibujado en la FIGURA 10 el mismo en un cubo elemental de lados unitarios (reas sobre las diagonales AD y BC, resultan respectivamente de traccin y de compresin, como sigue:

A

B

A

45

B

A

45

B

C

D

t

D C

c

Figura 10

AD * t = AB * * cos(Npi / 4) + BD * * cos(Npi / 4) AD * t = * (AB * cos(Npi / 4) + BD * cos(Npi / 4))Anlogamente:

BC * c = * (AB * cos(Npi / 4) + AC * cos(Npi / 4))como:

AD = AB * cos (Npi / 4) + BD * cos (Npi / 4) BC = AB * cos (Npi / 4) + AC * cos (Npi / 4)


resulta:

t = c =

Nota: Habindose satisfecho el equilibrio de las partes con t y c, sobre los planos donde las mismas actan, no resulta ninguna tensin tangencial. DISEO DE ELEMENTOS RESISTENTES COEFICIENTE DE SOBREDIMENSIONAMIENTOEl diseo racional de un elemento resistente, involucra conocer cual comportamiento limitar, en las condiciones de servicio, las cargas que pueden aplicarse sin hacer fallar el elemento. Se debe determinar entonces, el modo de falla, que puede ser uno de los cuatro siguientes. Fractura, si el material es de comportamiento frgil. Fractura, aunque el material sea de comportamiento dctil, luego que una gran deformacin plstica ha agotado la ductilidad del material en alguna zona localizada, aunque no se manifiesten deformaciones importantes en otros puntos del elemento. Deformacin plstica en las fibras ms tensionadas, que se extender a otras partes del elemento, si la carga excede la correspondiente al valor permisible de . Excesiva deformacin elstica, por encima de la admisible, lo que a pesar de no constituir una falla fsica en si misma, si lo puede ser desde el punto de vista funcional. Es conveniente indicar entonces, un valor admisible para

o

.

Ese valor mximo o crtico de las tensiones, debe luego reducrselo para el diseo, dividindolo por un coeficiente de sobredimensionamiento mayor (o igual) a la unidad, determinando as una tensin de trabajo mxima. Tensin de trabajo mxima

=

Tensin admisible --------------------------------------------------Cs (coef. de sobredimensionamiento)

Tensin de trabajo mxima Tensin admisible Coeficiente de Tensin admisible sobredimensionamiento Cs = ----------------------------Tensin de trabajo Cs (coeficiente de sobredimensionamiento) 1Luego que se determina la tensin de trabajo, la misma es usada en las ecuaciones correspondientes para determinar las dimensiones resistentes del elemento, conforme sean los requisitos para el mismo.

VALORES TENSIONES NORMALES ADMISIBLES


Usando el smbolo S (del trmino ingls Strength o Stress) para identificar las propiedades de los materiales en lo que a tensiones normales se refiera, se tiene: A) Para rotura de materiales de comportamiento frgil o dctil:

Su

B) Para pequeas magnitudes de alargamientos (acortamientos) plsticos en materiales dctiles, la resistencia a la fluencia: Sy C) Por lmite de proporcionalidad:

Sp Sfe

D) Por falla esttica establecida por el proyectista:

Sfe Sp Sy SuEn los casos en que se aplica los criterios A) o B) el criterio de diseo resulta por resistencia, en los casos en que se aplica C) o D), por resistencia o por rigidez (deformacin).

VALORES TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS O CRTICASUsando el smbolo Ss para identificar las propiedades de los materiales en lo que a tensiones tangenciales se refiera, se tiene: A) Para rotura de materiales de comportamiento frgil o dctil:

Ssu

B) Para pequeas magnitudes de distorsin plstica en materiales dctiles, la resistencia a la fluencia: Ssy C) Por lmite de proporcionalidad:

Ssp Ssfe

D) Por falla esttica establecida por el proyectista:

Ssfe Ssp Ssy Ssu TENSIONES NORMALES MXIMA, DE TRABAJO Y COEFICIENTE DE SOBREDIMENSIONAMIENTOFijado el criterio de diseo por falla esttica establecida por el proyectista (falla esttica), por tratarse de piezas o elementos que deben volver a poder cumplir con sus funciones una vez descargadas y considerando aplicacin esttica de cargas, se usar Tensin lmite a la falla esttica (propiedad del material): Sfe Sp Sy Tensin de trabajo: Coeficiente de sobredimensionamiento:

Sfe= Cs = Sfe ---- 1

TENSIONES TANGENCIALES MXIMA, DE TRABAJO Y COEFICIENTE DE SOBREDIMENSIONAMIENTO


Fijado el criterio de diseo por falla esttica establecida por el proyectista (falla esttica), por tratarse de piezas o elementos que deben volver a poder cumplir con sus funciones una vez descargadas y considerando aplicacin esttica de cargas, se usar Tensin lmite a la falla esttica: Ssfe Ssp Ssy Tensin de trabajo:

SsfeCs = Ssfe ----- 1

Coeficiente de sobredimensionamiento:

TORSIN DE BARRAS CILNDRICAS

B A

A'

R Mt Mt

L

Figura 11a

Figura 11b

Momento Torsor (Mt): Es la suma algebraica de los momentos de lascargas (torsoras o torsionantes) exteriores, actuantes a uno de los lados de la seccin en estudio, respecto a su eje perpendicular.

Momento resistente a la torsin: Es el momento de las fuerzas internasque resultan en la seccin en estudio, a efectos mantener el equilibrio con las cargas torsionantes exteriores. Las mximas cargas de torsin que un cuerpo como el de la Figura 11 inmediata superior puede resistir, estn limitadas por alguna de las siguientes causas: A) Deformacin angular (ngulo de torsin aunque fuere elstico.

)

inadmisible funcionalmente,

B) Valores de las tensiones tangenciales , excediendo el lmite elstico, si el material es dctil, provocando una distorsin remanente no admisible. C) Valores de las tensiones tangenciales r, alcanzando el valor de Ssu, provocando la rotura del cuerpo bajo carga. Considerando que el cuerpo debe poder cumplir nuevamente su funcionalidad, corresponder al menos no sobrepasar el lmite elstico y en dichas condiciones resulta:


mx =

Ssfe -----Cs

con Ssfe Ssp Ssy

dA = 2 * Npi * dr

r RR r

dr Mt

dA = 2 * Npi * r * drR

R rr

R

dr

Figura 12a

Figura 12b

Supuesto un elemento con mdulo G constante y cierta la hiptesis de secciones planas y de radios rectos durante la deformacin, esta siempre elstica, sufrida por el elemento; el diagrama de tensiones tangenciales (Figuras 12 a y 12b inmediatas superiores) sobre las secciones transversales al eje de torsin resulta ser lineal con el radio de dichas secciones, si al menos el elemento se trata de un cilindro torsionado sobre su eje longitudinal. Supuesto un cilindro de seccin transversal constante como el de las figuras mencionadas, la linealidad de las tensiones tangenciales est ligada a la linealidad de las distorsiones. Supuesto fijo el extremo izquierdo del cilindro, sus radios no rotan ningn ngulo, muy por el contrario el extremo derecho (libre) sufre la rotacin (ngulo de torsin) de todos sus radios, que por hiptesis se mantienen rectos. Tomados en forma correspondiente los radios del extremo libre y del fijo, las generatrices del cilindro, tanto exteriores como interiores y existentes entre radios homnimos de ambos extremos, sufren una distorsin especfica jr que ser funcin lineal del radio, siendo nula en la fibra generatriz central y mxima en la periferia. Subindicando con r las caractersticas para un radio en general, con R las caractersticas para el radio exterior o mayor y teniendo por ngulos

r

y

r

los

y

en radianes respectivamente, resulta:


AA

=

SR = R * r = L * Rr ;;;; Sr = r * r = L * rr Sr --L r * r ------L Sr =

SR --R

*

r

jr = rr

=

=

r * G r = ---------- * rL

r = j r * G

Siendo que el valor genrico de r, integrado a toda el rea de la seccin en estudio, debe equilibrar el momento torsor Mt exterior actuante en dicha seccin y siendo:

r = R * =

r ---R

por la linealidad de

r con r

R r * r * dA = --Ry siendo:

resulta:

Mt

*

r^2 * dA

Debiendo ser:

R Ssfe

r^2 * dA = Jp

con Jp = Momento areolar polar de segundo orden de la seccin.

Jpresulta:

Mt

Ssfe Jp --R

*

---- = Ssfe * Wp RMdulo resistente polar

con

Wp

=

=

Para secciones circulares macizas y siendo R el radio de las mismas:

Jp

Npi * R^4 = ---------------- ;;;;; 2

Wp

=

Jp ---R

Npi * R^3 = ---------------2

TENSIONES TANGENCIALES LONGITUDINALESDado que el cuerpo y consecuentemente cualquiera de sus cubos elementales, se encuentra en equilibrio y que resulta el teorema de Cauchy,


resultan tensiones longitudinales siguiente.

h = r,

tal cual muestra la Figura 13

h r h

rMt

Figura 13FLEXIN - FUERZAS INTERNASSupuesto una viga sometida a flexin como la de la Figura 14 siguiente, la parte izquierda a la seccin n n se encontrar en equilibrio, si la accin de la parte derecha es reemplazada por las fuerzas internas C, T y Q. La fuerza interna C resulta ser de compresin, la T de traccin, constituyendo ambas un momento flector Mf y la Q resulta ser tangencial cizallante.

P1 n n Ra

P2

P1

Figura 14

n n

Q T

C

Rb

Ra

En trminos generales, los efectos de Q, como esfuerzo cizallante, pueden resultar despreciables frente a los de Mf, por lo que en el curso no sern considerados, a efectos simplificar la cuestin. Se tiene entonces:

F horizontales = T C = 0 T = C F verticales = 0 Ra P1 + Q = 0 Q = P1 Ra


Momentos = Mf = 0

Mf por T y C = Mf por P1 y Ra

R / 2

R / 2

r / 2r R RT

C

Plano Neutro

Figura 15

R / 2

1

R / 2la del la las

Tomado un elemento de viga de longitud unitaria como muestra Figura 15 inmediatamente superior y supuesta cierta la hiptesis mantenimiento de la planitud de las secciones transversales durante deformacin, las secciones giran alrededor de algn punto o lnea de mismas.

Los puntos o lneas sobre los cuales giran ambas secciones extremas, definen una lnea o superficie longitudinal sobre la viga, que no sufre variacin de longitud y que da en llamarse lnea o superficie neutra. En el caso expuesto los planos longitudinales superiores al plano neutro se comprimen y los inferiores se alargan, hacindolo ambos linealmente con el valor genrico de r, al menos si el material con que est construida la viga es de E constante y si las secciones resultan regulares (rectngulos, crculos). Siendo entonces:

r

=

r ---R E E

*

R r R

r = R =

* *

R

r = ---- * rR

Viendo la seccin transversal de frente como en la Figura 16 siguiente pfgina se muestra y no habiendo variacin de las tensiones sobre el eje X, el momento flector debido a las mismas debe equilibrar al momento flector exterior actuante, por lo que:

Mf

=

R r * r * dA =-R *

r^2 * dA


dA r dr R RC

Plano neutro

R r rFigura 16

T

R

Plano de flexin

Debiendo ser: con Je

R Sfe

y siendo:

r^2 * dA = Je

= Momento areolar ecuatorial de segundo orden de la seccin enanlisis, respecto a la lnea neutra de la misma.

resulta:

Mf

Je --R

Sfe

*

Je ---R

=

Sfe * We

con

We

=

= Mdulo resistente ecuatorial

Para secciones circulares macizas y siendo R el radio de las mismas:

Je

Npi * R^4 = ---------------4

We

=

Je ---R

Npi * R^3 = ---------------4

Nota: Para secciones simtricas y de tratarse de materiales homogneos, la lnea neutra de la seccin resulta ser eje de simetra de la misma, si la flexin se distribuye uniformemente sobre la misma, siendo as la lnea neutra, normal al plano donde se produce la flexin.

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