Juegos Estaticos Con Información Completa

JUEGOS ESTATICOS CON INFORMACIN COMPLETA

Facultad de Ciencias Econmicas

Aula: 42 Seccin: A Turno: Maana

Ejercicios Propuestos

EJERCICIO 1

Considrense los siguientes juegos en forma estratgica:

Juego 2

J2

IMD

J1A7,22,73,6

C6,41,32,3

B2,77,24,5

Eliminacin Iterativa Estricta (EIE)

J2

IMD

J1A7,22,73,6

B2,77,24,5

Juego BipersonalJ1 = (A,B) J2 = (I,M,D)

a). Calculo de los E.N. en estrategias puras. En este juego no existen.

b). Calculamos E.N.que tengan soporte unitario.

Soporte unitario J1

No puede ser A. Respuesta ptima MNo puede ser B. Respuesta ptima I

Soporte unitario J2

No puede ser I. Respuesta ptima ANo puede ser M. Respuesta ptima BNo puede ser D. No existe repuesta ptima.

c). Calculamos E.N. que tengan soporte no unitario en estrategias de cada jugador.

Calculamos perfiles estratgicos para cada jugador

J1 = {(A,B) }J2 = {(I,M) (I,D) (M,D) (I,M,D) }

d). E.N. con soporte no unitario en las estrategias de ambos jugadores.

(A,B) x (I,M)

A1= 7 2A2 = 2 7

2 7 7 2

1 = {p, 1-p}2 = {q,1-q}

U1 = A1 2 = (q,1-q) 7 2

2 7

Mezcla:

7q + 2(1-q) = 2q + 7(1-q) q = 1/2

U2 = A2 1 = (p, 1-p) 2 7 72

Mezcla:

2p + 7(1-p) = 7p + 2(1-p) p = 1/2

U2 = {(1/2,1/2) (1/2,1/2) 2 7 }7 2

U2 = 1/2.1/2. 2 + 1/2.1/2. 7 + 1/2.1/2. 2 + 1/2.1/2. 7U2 = 9/2

U2 = {1, D}={(1/2,1/2) (6 5)}

U2 = (6) (1/2) + (5) (1/2)U2 = 11/2

Evaluando: 9/2 < 11/2 No hay E.N. con este soporte

(A,B) x (I,D)

A1= 7 3A2 = 2 62 4 7 5

1 = {p, 1-p}2 = {q,1-q}

U1 = A1 2 = (q,1-q) 7 3

2 4

Mezcla:

7q + 2(1-q) = 3q + 4(1-q) q = 1/3

U2 = A2 1 = (p, 1-p) 2 6 75

Mezcla:

2p + 7(1-p) = 6p + 5(1-p) p = 1/3

U2 = {(1/3,2/3) (1/3,2/3) 2 6 }7 5

U2 = 1/3.1/3. 2 + 2/3.2/3. 7 + 1/3.1/3. 6 + 2/3.2/3. 5U2 = 53/9

U2 = {1, M}={(1/3,2/3) (7 2)}U2 = (7) (1/3) + (2) (2/3)U2 = 11/3 = 33/9

Evaluando: 53/9 > 33/9Hay E.N.

(A,B) x (M,D)

A1 = 23A2 = 767 4 2 5

1 = {p, 1-p}2 = {q,1-q}

U1 = A1 2 = (q,1-q) 23 74

Mezcla:

2q + 7(1-q) = 3q + 4(1-q) q = 3/4

U2 = A2 1 = (p, 1-p) 7 6 25

Mezcla:

7p + 2(1-p) = 6p + 5(1-p) p = 3/4

U2 = {(3/4,1/4) (3/4,1/4) 7 6 }2 5

U2 = 3/4.3/4. 7 + 1/4.1/4. 2 + 3/4.3/4. 6 + 1/4.1/4. 5U2 = 31/4

U2 = {1, M}={(3/4,1/4) ( 2 7)}

U2 = (2) (3/4) + (7) (1/4)U2 = 13/4

Evaluando: 31/4 > 13/4Hay E.N.

(A,B) x (I,M,D)

A1 = 7 2 3 A2 =2 7 62 7 47 2 5

Dada 1 = {p, 1-p} de J1:

U1 (I) = 2p + 7 (1-p) = 2p + 7 7p = 7 -5pU1 (M) = 7p + 2 (1-p) = 7p + 2 2p = 2 + 5pU1 (D) = 6p + 5 (1-p) = 6p + 5 5p = 5 + p

La mezcla I, M y D 7 -5p = 2 + 5p = 5 + p (no ocurre). No hay E.N. con este soporte.

Conclusin: SE.N. = {(1/3,2/3) (1/3,2/3) y (3/4,1/4) (3/4,1/4)}

EJERCICIO 2

Juego de las monedas

J2

CaraCruz

J1Cara1,-1-1, 1

Cruz-1, 11,-1

1). Hallar los E.N. en estrategias puras:

A1 = 1-1A2 = -1 1-1 1 1 -1

Hallar las utilidades esperadas de los jugadores.

- U1dado que (q, 1-q)- U2dado que (p, 1-p)

U1{A1 (p, 1-p)(q, 1-q)}= {(p, 1-p)1 -1 (q, 1-q)}-1 1

U1{A1 (p, 1-p)(q, 1-q)}= (p-1+p) q+ ((-2p+1) (1-q)) = pq q + pq + (-2p + 2pq + 1 - q) = pq q + pq 2p + 2pq + 1 q = 4pq 2q 2p + 1

U2 {A2 (p, 1-p)(q, 1-q)}= {(p, 1-p) -1 1 (q, 1-q)} 1 -1

U2 {A2 (p, 1-p)(q, 1-q)}= (-p+1-p)+ ((2p-1) (1-q)) = -2pq + q + 2p 1 - 2pq + q = -4pq + 2q + 2p -1

El J1 decidir el valor de p de tal modo que maximice sus ganancias esperadas dada la estrategia mixta del J2.

U1 = 4q 2 U2 = - 4p + 2 p q

4q = 2 q = 1/2

- 4p = -2 p = 1/2

SEN= {(1/2,1/2) (1/2,1/2)}

Correspondencia de Respuesta ptima

R1 (q2)

q< 1/2, U1/ p > 0, lo que significa P = 0 y J1 elige Cruz q> 1/2, U1/ p < 0, lo que significa P = 1 y J1 elige Caraq = 1/2, U1/ p = 0, Indiferente a jugar Cara o Cruz

R2 (q1)

p> 1/2, U2/ q < 0, lo que significa q = 0 y J2 elige Cruzp< 1/2, U2/ q > 0, lo que significa q = 1 y J2 elige Carap = 1/2, U2/ q = 0, Indiferente a jugar Cara o Cruz

EJERCICIO 3

Sean los siguientes juegos:

Juego 1

J2

ID

J1A4,4f,f

B 2-f,1 1,3

J2

ID

J1A4,4 0,0

B2,11,3

Valores: f = 0


A1 = 40 A2 = 4 02 1 1 3



U1{A1 (p, 1-p)(q, 1-q)}= {(p, 1-p) 4 0 (q, 1-q)} 2 1

U1{A1 (p, 1-p)(q, 1-q)}= 3pq + q p +1

U2 {A2 (p, 1-p)(q, 1-q)}= {(p, 1-p) 4 0 (q, 1-q)} 1 3

U2 {A2 (p, 1-p)(q, 1-q)}= 6pq 2q 3p + 3


U1 = 3q 1 U2 = 6p - 3 p q

3q = 1 q = 1/3

6p = 3 p = 1/2

SEN= {(1/3,2/3) (1/2,1/2)}


R1 (q2)

q 0, lo que significa P = 0 y J1 elige Aq>1/3, U1/ p < 0, lo que significa P = 1 y J1 elige Bq = 1/3, U1/ p = 0, Indiferente a jugar A o B

R2 (q1)

p > 1/2, U2/ q < 0, lo que significa q = 0 y J2 elige Dp < 1/2, U2/ q > 0, lo que significa q = 1 y J2 elige Ip = 1/2, U2/ q = 0, Indiferente a jugar I o D

Juego 3

J2

ID

J1A5,f9,2

B1,2 g,1

J2

ID

J1A5,19,2

B1,2 8,1

Valores: f = 1; g = 8


A1 = 59 A2 = 1 21 8 2 1



U1{A1 (p, 1-p)(q, 1-q)}= {(p, 1-p) 5 9 (q, 1-q)} 1 8

U1{A1 (p, 1-p)(q, 1-q)}= 4pq 8q - p + 8

U2 {A2 (p, 1-p)(q, 1-q)}= {(p, 1-p) 1 2 (q, 1-q)} 2 1

U2 {A2 (p, 1-p)(q, 1-q)}= -2pq + q + p +1


U1 = 4q - 1 U2 = -2p + 1 p q

4q = 1 q = 1/4

2p = 1 p = 1/2

SEN= {(1/4,3/4) (1/2,1/2)}


R1 (q2)

q 0, lo que significa P = 0 y J1 elige Aq>1/4, U1/ p < 0, lo que significa P = 1 y J1 elige Bq = 1/4, U1/ p = 0, Indiferente a jugar A o B

R2 (q1)

p > 1/2, U2/ q < 0, lo que significa q = 0 y J2 elige Dp < 1/2, U2/ q > 0, lo que significa q = 1 y J2 elige Ip = 1/2, U2/ q = 0, Indiferente a jugar I o D

EJERCICIO 4

jugador 2

ID

jugador 1A-5;F7/2;7/2

B1;7/2F;F

1. Equilibrio de nash en estrategia mixtas:a. Sea (p;1-p) y (q;1-q) estrategia mixtas genricas para los jugadors 1 y 2 respectivamente. Sabiendo que p y q estn en el intervalo de (0;1)2. Fijada la estrategia mixta genrica (q;1-q) del jugador 2, para el jugador 1 calculamos:

3. Se tiene que:

Por lo tanto la respuesta ptima es: A s ; B si ; y cualquiera si

Como q(0; 1)

F (-5.015; 3.485)4. Fijando la estrategia mista genrica (p;1-p), para el jugador 2 calculamos:

5. Se tiene que:

Por lo tanto la respuesta optima es I si ; B si y cualquiera si

Como p al intervalo de (0; 1)F tiene que estar en el intervalo de: F> y F

EJERCICIO 5

Identifique para los juegos siguientes, cules de las afirmaciones que le siguen son ciertas y cuales son falsas.

A.7 + f, 7 + ff , 00 , g3 , 3DIBAJugador 2Jugador 1

EXISTE UN E

EXISTE UN EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS MIXTA S PROPIAS

1) Slo si g > 0 7 + f, 7 + ff , 00 , 0DIJugador 2Jugador 1

A

3 , 3

B

( (P, 1-P), I) = 3 P( (P, 1-P), D) = 7 + f -7P + Pf

( (P, 1-P), I) =( (P, 1-P), D

(7+ F) / (10 +F)7+ F, - 0

P= =3 + 7+ F (0 + 0)

(7+ F) / 10 ....... (Falso )

Q= = 3 + 7+ F (f + 0)7+ F - 0

2) Solo si g > -13

Jugador 1Jugador 2ABID3 , 30 , -13f , 07 + f, 7 + f

7+ F, - 03 + 7+ F (0 + 0)(7+ F) / (10 +F)

9 - 0

3 + 9 (0 +-13)9 /25

P = =

7+ F - 0

9 / 10

Q = = 3 + 9 - (2 + 0)

g > -14 ------------ f = 2 -------------------------------------------- (Falso)

3) Si g > -13

Jugador 2

Jugador 19 , 9ABID3 , 30, -132 , 0

9 - 0

3 + 9 (0 +-13)

9 /25

P = =

9 / 107+ F - 0

Q = 3 + 9 - (2 + 0)

g > -14 ------------ f = 2 -------------------------------------------- (Falso)

Slo si g > - 7 Jugador 2

7 + F / 10 --------------- (Falso)3 + 7 + F (0 + 7) Q = =P = =3 , 3

Jugador 19, 92 , 00, -13DIBA

3 + 7 + F (F + 0)

7+ F - 0(7 + F) / (17 + F)7 + F - 0

6)Si f =g =2

Jugador 2Jugador 19 , 92 , 00, -133 , 3DIBA

9 - 03 + 9 (0 + 2)

9 /10 < 1

P = =

7+ F - 09 / 10 ------- < 1

Q = = 3 + 9 - (2 + 0)

Hay equilibrio de NASH.

EJERCICIO 6

En el juego siguiente, demuestre que los perfiles estratgicos = [ (1/4 , 0, 3/4 ) , (0, 1/2, 1/2 )] =[( 1/2, 1/2 ,0) ,M) son equilibrios de Nash. Son ambos equilibrios perfectos?

Solucin:Extraemos las matrices:

Matriz A est formada por el primer elemento

A

Matriz A est formado por el segundo elemento

A

1. Dada la estrategia *= ( 1/ 2, 1/ 2, 0) el jugador 2, el jugar con (1/4, 0, 3/4 )el jugador 1?U(*, *) =* A, * = (1/4 0 3/ 4 )=(1/4 0 3/ 4 )

=(1/4 0 3/ 4 ) =5/2

U( I, *) = (1 0 0 )

=(1 0 0 )

= (1 0 0 ) =5/2U( D, *) = (0 0 1 )

=(0 0 1 )

= (0 0 1 ) =5/2Dado la estrategia * = (1/4, 0, 3/4) para el jugado 1; el jugador 2 usara la estrategia (1/2 ,1/2 , 0)U( *, *) =* A* = (1/4 0 3/4)

=(1/4 0 3/4)

= (1/4 0 3/4 ) =21/8

U(*, I) = (1/4 0 3/4 )

=(1/4 0 3/4 )

= (1/4 0 3/4 )

=(4 x 1 /4+ 5 x 0 +3/4 x1 )

=7 / 4

U(*, D) = (1/4 0 3/4 )

=(1/4 0 3/4 )

= (1/4 03/4 )

=(4 x 1 /4+ 5 x 0 +3/4 x1 )

=7 / 2

Resultados:1. En general, dada la estrategia * del jugador 2, cualquier estrategia del jugador 1 generara una ganancia de 5/2 para el jugador 1.2. En general dad la estrategia * del jugador 1 , cualquier estrategia del jugador 2 dara diferentes ganancias.3. Dada la estrategia *=M =(0, 1 , 0 ) del jugador 2, el jugador 1 obtiene las mismas ganancias al utilizar *=(0 , 1 /2 , 1/2 )?

U( *, *) =* A* = (0 1/ 21/2)

=(0 1/21/2)

=(0 1/21/2)

=5/2

U( M , *) = (0 1 0)

=(0 1 0)

=(0 1 0)

=3U( D , *) = (0 0 1)

=(0 0 1)

=(0 0 1) = 24. Dado la estrategia * = (0, 1 / 2, 1 / 2) del jugador 1, el jugador 2 obtiene:U (*, *) = * A *= (0 1/2 1/2)

=(0 1/2 1/2)

=(0 1/2 1/2)

= 7/2Podemos decir por lo tanto:Que sin importar las estrategias aplicadas por el jugador 1, si el jugador 1 elige la estrategia M, tendr el mismo nivel de ganancia.

EJERCICIO 7

EJERCICIO 8

EJERCICIO 10

En el siguiente juego,Jugador 2

ABC

Jugador 1A2,22,10,0

B2,20,12,2

Identifique, si los hay, todos los perfiles de estrategias puras que sean:a) Equilibrios perfectos (es decir, que tengan la particularidad de ser robustos a alguna sucesin de temblores de tamao tendente a cero)b) Equilibrios estrictos.

EJERCICIO 11

En los juegos llamados concursos de belleza, hay n jugadores

Cada uno de los cuales escribe un nmero entre 0 y 100. Resulta vencedor aquel jugador cuyo numero resulte estar ms cercano de , siendo y siendo la media aritmtica de todos los nmeros escritos, es decir (si varios nmeros estn igual de cerca de , se elige de entre ellos un nico vencedor al azar). El premio al vencedor es una cantidad de 1000 euros. Considrense los siguientes casos:

1. Hay n=2 jugadores, r=1 y el numero ha de ser entero

2. Hay n=2 jugadores, r=3/4 y el numero ha de ser entero

3. Hay n=2 jugadores, y el numero ha de ser real

Determine, para los dos primeros casos, los valores de seguridad, y calcule el valor del juego. Calcule asimismo las estrategias racionalizarles y los EN del juego para los tres casos.

SOLUCION:

1. n=2r=1

Si:Promedio: 45

Se toma al azar el y por ser el vencedor se le da 1000 euros.

2. n=2r=3/4

Si:Promedio: 45

Se toma porque es el valor mas cercado a 33.75 y por ser el vencedor se le da 1000 euros

EJERCICIO12

Sea el juego con tres jugadores, adaptado a partir de Fundenberg y Tirole (1991, pags. 62-63)

Jugador 3 : XJugador 2

ID

Jugador 1A3,3,30,0,0

B0,0,00,-5,0

Jugador 3 : TJugador 2

ID


B0,0,02,2,2

Jugador 3 : ZJugador 2

ID

Jugador 1A0,0,00,-5,0

B-5,0,03,-3,3

Jugador 3 : YJugador 2

ID

Jugador 1A0,0,03,-3,3

B-3,3,30,-5,0

Demuestre que la estrategia pura T del jugador 3 es nunca optima, a pesar de que no est estrictamente dominada, y calcule las estrategias racionalizables y los EN.

SOLUCION:

Jugador 3 : YJugador 2

ID

Jugador 1A0,0,03,-3,3

B-3,3,30,-5,0

EQUILIBRIOS DE NASHJugador 3 : XJugador 2

ID


B0,0,00,-5,0

Jugador 3 : TJugador 2

ID


B0,0,02,2,2

Jugador 3 : ZJugador 2

ID

Jugador 1A0,0,00,-5,0

B-5,0,03,-3,3

ESTRATEGIAS DE SOLUCION:Cuando J3 decide usar la estrategia X : (A,I)Cuando J3 decide usar la estrategia Y : (A,I)Cuando J3 decide usar la estrategia Z : (A,I)

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