EJERCICIO  4  OPCIÓN  A.  MATEMÁTICAS  APLICADAS  A  LAS  CIENCIAS  SOCIALES  

Se  supone  que  el  peso  en  kilogramos  de  los  alumnos  de  un  colegio  de  Educación  Primaria  el  primer  día  del  curso  se  puede  aproximar  por  una  variable  aleatoria  con   distribución   normal   de   desviación   típica   igual   a   2,8   kg.   Una   muestra  aleatoria   simple   de   8   alumnos   de   ese   colegio   proporciona   los   siguientes  resultados  (en  kg):  

26   27,5   31   28   25,5   30,5   32   31,5  

a) Determínese  un   intervalo  de  confianza   con  un  nivel  del  90%  para  el  peso  medio  de  los  alumnos  de  ese  colegio  el  primer  día  de  curso.  

b) Determínese   el   tamaño   muestral   mínimo   necesario   para   que   el   valor  absoluto  de  la  diferencia  entre  la  media  muestral  y  la  media  poblacional  sea  menor  o  igual  que  0,9  kg  con  un  nivel  de  confianza  del  97%.  

Solución:  𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎  𝑑𝑒  𝑙𝑎  𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛:  𝛔 = 𝟐,𝟖  

𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜  𝑑𝑒  𝑙𝑎  𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎:𝒏 = 𝟖  Cálculo  de  la  media  muestral:  

𝑋 =26 + 27,5 + 31 + 28 + 25,5 + 30,5 + 32 + 31,5

8 = 29  

a) 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙  𝑑𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎:𝟏 − 𝜶 = 𝟎,𝟗  𝒁𝜶

𝟐= 𝟏,𝟔𝟒𝟓  

El  intervalo  de  confianza  viene  dado  por  la  siguiente  expresión:  

𝑋 ± 𝑍!!∗𝜎𝑛

 

Sustituyendo   por   los   respectivos   valores,   tendremos   el   intervalo   de  confianza  pedido:  

29 − 1,645 ∗2,88; 29 + 1,645 ∗

2,88

𝟐𝟕,𝟑𝟕;𝟑𝟎,𝟔𝟑  

b) El   error   cometido   en   la   estimación   (E)   es   0,9;   y   viene   dado   por   la  siguiente  expresión:  

𝐸 = 𝑍!!∗𝜎𝑛  

Teniendo  en  cuenta  que:  

Para   un   nivel   de   confianza:   𝟏 − 𝜶 = 𝟎,𝟗𝟕 𝒁𝜶𝟐= 𝟐,𝟏𝟕.  Por   tanto,  

sustituyendo,  tendríamos:  

 

 

0,9 = 2,17 ∗2,8𝑛

𝒏 = 𝟒𝟓,𝟓𝟕.  

Por  lo  tanto,  la  muestra  debe  tener  un  mínimo  de  46  alumnos.