Investigación de Operaciones

MÉTODO GRÁFICO CON TRES RESTRICCIONESMinimización

Docente: Rafael Cortina Rodríguez

Tecnología en Gestión de la Producción

Una fábrica cuenta con los servicios de sus líneas de producción en dos de sus máquinas, con las que tiene el compromiso de fabricar 8 Artículos tipo A, 8 Artículos tipo B y 24 artículos Tipo C. Diariamente, la máquina 1 produce 3 Artículos tipo A, 1 Artículo Tipo B y 4 Artículos Tipo C. La Máquina 2 produce 1 Artículo tipo A, 3 Artículos Tipo B y 4 Artículos Tipo C. Si por el día de trabajo de la Máquina 1 se generan costos totales por $ 560 y por el día de trabajo de la Máquina 2 se generan $ 690, cuantos días tendrían que trabajar las dos máquinas para generar una orden de producción lo menos costosa posible?

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

De acuerdo con la información suministrada, se construye una tabla, teniendo en cuenta los datos que arroja el problema

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Las variables de decisión:

De acuerdo con la información suministrada, se construye una tabla, teniendo en cuenta los datos que arroja el problema.

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

3 1 4 600

1 3 4 560

8 8 24

Tabla de datos

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Tabla de datos

Se construyen las restricciones:

𝟑 𝒙+𝒚 ≥𝟖

𝟒 𝒙+𝟒 𝒚 ≥𝟐𝟒𝒙+𝟑 𝒚 ≥𝟖

𝒙≥𝟎 ;𝒚 ≥𝟎 ;𝒁𝒎𝒊𝒏=𝟔𝟎𝟎𝒙+𝟓𝟔𝟎𝒚

3 1 4 600

1 3 4 560

8 8 24

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Se buscan los cortes de la línea recta que representa cada restricción con el eje de las X y el eje de la Y

𝑹𝟏 :𝟑 𝒙+𝒚 ≥𝟖Si

𝟑 (𝟎 )+𝒚 ≥𝟖

𝒚 ≥𝟖

8

Si

𝟑 𝒙+ (𝟎 )≥𝟖

𝟑 𝒙≥𝟖

𝒙=𝟖𝟑𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 : 𝒙=𝟐 ,𝟔𝟔𝟔

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Se buscan los cortes de la línea recta que representa cada restricción con el eje de las X y el eje de la Y

𝑹𝟐 :𝒙+𝟑 𝒚 ≥𝟖Si

(𝟎 )+𝟑𝒚 ≥𝟖

𝟑 𝒚 ≥𝟖

𝒚=𝟖𝟑𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 :𝒚=𝟐 ,𝟔𝟔𝟔

Si

𝒙+𝟑 (𝟎 )≥𝟖

𝒙≥𝟖

𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 :𝒙=𝟖

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Se buscan los cortes de la línea recta que representa cada restricción con el eje de las X y el eje de la Y

𝑹𝟑 :𝟒 𝒙+𝟒 𝒚 ≥𝟐𝟒Si

𝟒 (𝟎 )+𝟒 𝒚 ≥𝟐𝟒

𝟒 𝒚 ≥𝟐𝟒

Si

𝟒 𝒙+𝟒 (𝟎 )≥𝟐𝟒

𝟒 𝒙 ≥𝟐𝟒

𝒙=𝟐𝟒𝟒;𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙=𝟔𝒚=

𝟐𝟒𝟒;𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚=𝟔

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Se grafican las tres restricciones

-10 -5 0 5 10 15 20

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

R1: 3X+8Y<=8R2: X+3Y<=8R3: 4X+4Y<=24

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Se genera un área factible, a diferencia del área común de los problemas de maximización, que es en donde se encuentran todos los puntos que hacen posible el Zmin que se pide en el ejercicio. En este área factible, también están todos los puntos que hacen que se satisfagan todas las restricciones. Es decir; que todas cumplan con los valores «mayor que». La zona factible estará por encima de las tres restricciones, ubicada hacia la derecha de las líneas rectas.

𝐸𝑗𝑒 𝑥

𝐸𝑗𝑒 𝑦(0,8 );𝐸𝑠𝑡𝑒𝑒𝑠𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑅1 𝑦 𝑒𝑙𝑒𝑗𝑒 𝑦

(5 ,1 ) ;𝐸𝑠𝑡𝑒𝑒𝑠𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑅2 𝑦 𝑅3

(1,5 ) ;𝐸𝑠𝑡𝑒𝑒𝑠𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑅1 𝑦𝑅 3

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

Con los puntos que se destacan en la zona común se evalúa el Z max y el resultado es el Z máx. que tenga mayor valor.

𝒁𝒎𝒊𝒏=𝟔𝟎𝟎𝒙+𝟓𝟔𝟎𝒚

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒆𝒍𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟎 ,𝟖 ) 𝒁𝒎𝒊𝒏=𝟔𝟎𝟎 (𝟎 )+𝟓𝟔𝟎 (𝟖 )=$𝟒𝟒𝟖𝟎

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒆𝒍𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟖 ,𝟎 ) 𝒁𝒎𝒊𝒏=𝟔𝟎𝟎 (𝟖 )+𝟓𝟔𝟎 (𝟎 )=$𝟒𝟖𝟎𝟎

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒆𝒍𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟏 ,𝟓 ) 𝒁𝒎𝒊𝒏=𝟔𝟎𝟎 (𝟏 )+𝟓𝟔𝟎 (𝟓 )=$𝟑𝟒𝟎𝟎

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒆𝒍𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟓 ,𝟏 ) 𝒁𝒎𝒊𝒏=𝟔𝟎𝟎 (𝟓 )+𝟓𝟔𝟎 (𝟏 )=$𝟑𝟓𝟔𝟎

La respuesta a este ejercicio es que el costo mínimo que se espera es de $ 3400, el cual se genera cuando la Máquina 1 trabaja 1 día y la máquina 2 trabaja 5 días.

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

La respuesta a este ejercicio es que el costo mínimo que se espera es de $ 3400, el cual se genera cuando la Máquina 1 trabaja 1 día y la máquina 2 trabaja 5 días.

Si se considerara el otro punto, es decir (5,1), eso quiere decir que estaríamos considerando que la máquina 1 trabajara 5 días y la máquina 2 trabajara 1 día. Pero como se observa en la fórmula, el costo se aumentaría.

Los otros puntos no se toman en consideración por dos razones:

a) Porque cuando se reemplazan generan valores mayores para el costo.

b) Porque una de las coordenadas es cero y las variables de decisión no deben ser iguales a cero.

Lo que queda es comprobar que el punto (1,5) haga que se cumplan las tres restricciones.

EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES RESTRICCIONES

COMPROBACIÓN : R2COMPROBACIÓN : R1 COMPROBACIÓN : R3

Muchas gracias