Jose Armando Rubio Reyes

2° “B”

Procesos Industriales Área

Manufactura

Ejemplos Prueba de Hipótesis

Profesor: Edgar Mata Ortiz

Ejemplo 1

Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones:

11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8,23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15.

A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo?

SOLUCIÓN

1º Ho = 11,5

2º H1 > 11,5

3º El estadístico de contraste en este caso es: t=

x−μ0

S√n−1

4º La media muestral = 11+9+12+17+8+11+9+4+5+9+14+9+17+24+19+10+17+17+8+23+8+ 6+14+16+6+7+15+20+14+15= 374/30= 12.47

La desviación típica de la muestra es = 5.22, sustituyendoen el estadístico estos valores se obtiene:

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t= 12.47−11.5

5.22

√30−1 = t=

0.975.22

√29 = t=

0.970.96

= t= 1.00

5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la t de Student, con 29grados de libertad, el valor que deja por debajo de sí una probabilidad de 0.95, que resulta ser 1.699

6º El valor del estadístico es menor que el valor crítico, por consiguiente se acepta lahipótesis nula.

7º La interpretación sería que no hay evidencia de que el programa sea efectivo.

Ejemplo 2Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 4,35 libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos ( en libras). 

 

      4,41       4,37       4,33       4,35       4,30       4,39       4,36       4,38       4,40       4,39

En el nivel 0,01, el aditivoa ha aumentado el peso medio de los pollos?  Estime el valor  de p.

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Ejemplo 3

En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido 542 ¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en general nacen más niños que niñas? SOLUCIÓN:

1º La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que es lomismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2.

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Por consiguiente: Ho P = 0,5

2º H1 P > 0,5

3º El estadístico de contraste es:

p−P0

√ P0∗Q 0

n

4º Como la proporción muestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene el valordel estadístico:

0.542−0.5

√ 0.5∗0.51000

= 0.042

√ 0.251000

= 0.0420.158

= 2.66

5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor de lavariable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282.

6º El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por consiguiente, serechaza la hipótesis nula.

7º Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas.

Ejemplo 4Una empresa que se dedica a hacer en cuestas se queja de que un agente realiza en promedio 53 encuestas por semana. Se ha introducido una forma más moderna de realizar las encuetas y la empresa quiere evaluar su efectividad. Los números de encuestas realizadas en una semana por una muestra aleatoria de agentes son:

    53       57       50       55       58       54       60       52       59       62       60       60          51       59       56

En el nivel de significancia 0,05, puede concluirse que la cantidad media de entrevistas realizadas  por los agentes es superior a 53 por semana? Evalúe el valor p.

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Ejemplo 5

En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación de Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y el tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad, obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza

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del 95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario debemos rechazarla.

SOLUCIÓN:1º Ho = 0

2º H1 0

3º El estadístico de contraste es: t= r √n−2

√1−r 2

4º Sustituyendo tenemos:

t= 0.24√64

√1−0.242 = t= 0.24∗8

√1−0.0576 = t=

1.920.970

= t= 1.98

5º El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student, con 60grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la región de aceptación será el intervalo (-2 ,, 2).

6º El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por consiguiente se acepta la hipótesis nula.

7º No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el tiempo

empleado no influye en la calificación.

Ejemplo 6Lisa Monnin es directora de presupuesto en la empresa New Process Company,

desea comparar los gastos diarios de transporte del equipo de ventas y del personal de cobranza. Recopiló la siguiente información muestral ( importe en

dólares).

   Ventas ($)        131       135       146       165       136       142 

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   Cobranza ($)    130       102       129       143       149       120       139 

Al nivel de significancia de 0,10, puede concluirse que los gastos medios diarios del equipo de ventas son mayores? cuál es el valor p?

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 7De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia 0,04.

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Ho: u1 = u2Ho: u1 ≠ u2

a) Es esta una prueba de una o de dos colas?

    Esta es una prueba de hipótesis de dos colas

b ) Establezca la regla de decisión 

    Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa  

c) Calcule el valor del estadístico de prueba  

 

Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1

 

d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula?

    Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa  

    Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05 

   

 

e) Cuál es el valor p?

     Z = 2,59  Area 0,4952 

            0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096 

Ejemplo 8Las puntuaciones en un test de razonamiento abstracto siguen una distribución Normal de media 35 y varianza 60. Para evaluar un programa de mejora de las

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capacidades intelectuales, a 101 individuos que están realizando este programa se les pasa el test, obteniéndose una media de 50 puntos y una varianza de 80 ¿Puede asegurarse, a un nivel de confianza del 90%, que el programa incrementa las diferencias individuales en esta variable?

SOLUCIÓN:

1º H0 s2 60

2º H1 s2 60

3º El estadístico de contraste es: nS2

σ02

4º Sustituyendo en el estadístico obtenemos:101∗80

60 = 8080

60 = 134.7

5º Como el contraste es unilateral buscamos en las tablas de la Ji-cuadrado, con 100grados de libertad, el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 118,5.

6º El valor del estadístico es mayor que el valor crítico, por consiguiente se rechaza lahipótesis nula.

7º En efecto, la varianza es significativamente mayor lo que indica que ha aumentado ladispersión de la puntuaciones lo que indica que se han incrementado las diferencias entre los individuos.

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