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U N I D A D I I

PRUEBA DE HIPOTESIS

Las secciones anteriores han mostrado cmo puede estimarse un parmetro apartir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea unslo nmero (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo deconfianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniera, ciencia, yadministracin, requieren que se tome una decisin entre aceptar o rechazaruna proposicin sobre algn parmetro. Esta proposicin recibe el nombre dehiptesis. Este es uno de los aspectos ms tiles de la inferencia estadstica,puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas oexperimentos en el mundo de la ingeniera, pueden formularse como problemasde prueba de hiptesis.

Una hiptesis estadstica es una proposicin o supuesto sobre los parmetrosde una o ms poblaciones.

Suponga que se tiene inters en la rapidez de combustin de un agentepropulsor slido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para latripulacin de aeronaves. El inters se centra sobre la rapidez de combustinpromedio. De manera especfica, el inters recae en decir si la rapidez decombustin promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formalcomo

Ho; m = 50 cm/sH1; m 50 cm/s

La proposicin Ho; m = 50 cm/s, se conoce como hiptesis nula , mientras quela proposicin H1; m 50 cm/s, recibe el nombre de hiptesis alternativa.Puesto que la hiptesis alternativa especifica valores de m que pueden sermayores o menores que 50 cm/s, tambin se conoce como hiptesisalternativa bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular unahiptesis alternativa unilateral, como en

Ho; m = 50 cm/s Ho; m = 50 cm/s

H1; m < 50 cm/s H1; m > 50 cm/s

Es importante recordar que las hiptesis siempre son proposiciones sobre lapoblacin o distribucin bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por logeneral, el valor del parmetro de la poblacin especificado en la hiptesis nulase determina en una de tres maneras diferentes:

1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento delproceso, entonces el objetivo de la prueba de hiptesis usualmente esdeterminar si ha cambiado el valor del parmetro.

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2. Puede obtenerse a partir de alguna teora o modelo que se relaciona con elproceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hiptesis esverificar la teora o modelo.

3. Cuando el valor del parmetro proviene de consideraciones externas, talescomo las especificaciones de diseo o ingeniera, o de obligacionescontractuales. En esta situacin, el objetivo usual de la prueba de hiptesises probar el cumplimiento de las especificaciones.

Un procedimiento que conduce a una decisin sobre una hiptesis en particularrecibe el nombre de prueba de hiptesis . Los procedimientos de prueba dehiptesis dependen del empleo de la informacin contenida en la muestraaleatoria de la poblacin de inters. Si esta informacin es consistente con lahiptesis, se concluye que sta es verdadera; sin embargo si esta informacines inconsistente con la hiptesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacersehincapi en que la verdad o falsedad de una hiptesis en particular nunca puedeconocerse con certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la poblacin.Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prcticas. Por tanto, esnecesario desarrollar un procedimiento de prueba de hiptesis teniendo encuenta la probabilidad de llegar a una conclusin equivocada.

La hiptesis nula, representada por Ho, es la afirmacin sobre una o mscaractersticas de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, lacreencia a priori).

La hiptesis alternativa, representada por H1, es la afirmacin contradictoria aHo, y sta es la hiptesis del investigador.

La hiptesis nula se rechaza en favor de la hiptesis alternativa, slo si laevidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradicedecididamente a Ho, se contina creyendo en la validez de la hiptesis nula.Entonces, las dos conclusiones posibles de un anlisis por prueba de hiptesisson rechazar Ho o no rechazar Ho.

Prueba de una Hiptesis Estadstica

Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de la rapidez decombustin del agente propulsor presentado con anterioridad. La hiptesis nulaes que la rapidez promedio de combustin es 50 cm/s, mientras que la hiptesisalternativa es que sta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar:

Ho; m = 50 cm/sH1; m 50 cm/s

Supngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especmenes, yque se observa cual es la rapidez de combustin promedio muestral. La media

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muestral es un estimador de la media verdadera de la poblacin. Un valor de lamedia muestral x que este prximo al valor hipottico m = 50 cm/s es unaevidencia de que el verdadero valor de la media m es realmente 50 cm/s; estoes, tal evidencia apoya la hiptesis nula Ho. Por otra parte, una media muestralmuy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hiptesisalternativa H1. Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadstico deprueba.

La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supngase que si48.5 x 51.5, entonces no se rechaza la hiptesis nula Ho; m = 50 cm/s, y que six 51.5, entonces se acepta la hiptesis alternativa H1; m 50 cm/s.Los valores de x que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen laregin crtica de la prueba, mientras que todos los valores que estn en elintervalo 48.5 x 51.5 forman la regin de aceptacin. Las fronteras entre lasregiones crtica y de aceptacin reciben el nombre de valores crticos. Lacostumbre es establecer conclusiones con respecto a la hiptesis nula Ho. Portanto, se rechaza Ho en favor de H1 si el estadstico de prueba cae en la regincrtica, de lo contrario, no se rechaza Ho.

Este procedimiento de decisin puede conducir a una de dos conclusioneserrneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promediode combustin del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, paratodos los especmenes bajo prueba, bien puede observarse un valor delestadstico de prueba x que cae en la regin crtica. En este caso, la hiptesisnula Ho ser rechazada en favor de la alternativa H1cuando, de hecho, Ho enrealidad es verdadera. Este tipo de conclusin equivocada se conoce comoerror tipo I.

El error tipo I se define como el rechazo de la hiptesis nula Ho cuando sta esverdadera. Tambin es conocido como a nivel de significancia.

Si tuviramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de significanciasera del 5%. Anlogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entoncesel nivel de significancia sera del 10%.

Ahora supngase que la verdadera rapidez promedio de combustin es diferentede 50 cm/s, aunque la media muestral x caiga dentro de la regin de aceptacin.En este caso se acepta Ho cuando sta es falsa. Este tipo de conclusin recibeel nombre de error tipo II.

El error tipo II error b se define como la aceptacin de la hiptesis nulacuando sta es falsa.

Por tanto, al probar cualquier hiptesis estadstica, existen cuatro situacionesdiferentes que determinan si la decisin final es correcta o errnea.

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Decisin Ho es verdadera Ho es falsaAceptar Ho No hay error Error tipo II b

Rechazar Ho Error tipo I a No hay error

1. Los errores tipo I y tipo II estn relacionados. Una disminucin en laprobabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en laprobabilidad del otro.

2. El tamao de la regin crtica, y por tanto la probabilidad de cometer un errortipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores crticos.

3. Un aumento en el tamao muestral n reducir a y b de forma simultnea.4. Si la hiptesis nula es falsa, b es un mximo cuando el valor real del

parmetro se aproxima al hipottico. Entre ms grande sea la distancia entreel valor real y el valor hipottico, ser menor b.

PASOS PARA ESTABLECER UN ENSAYO DE HIPOTESISINDEPENDIENTEMENTE DE LA DISTRIBUCION QUE SE ESTE TRATANDO

1. Interpretar correctamente hacia que distribucin muestral se ajustan los datosdel enunciado.

2. Interpretar correctamente los datos del enunciado diferenciando losparmetros de los estadsticos. As mismo se debe determinar en este puntoinformacin implcita como el tipo de muestreo y si la poblacin es finita oinfinita.

3. Establecer simultneamente el ensayo de hiptesis y el planteamiento grficodel problema. El ensayo de hiptesis est en funcin de parmetros ya quese quiere evaluar el universo de donde proviene la muestra. En este punto sedetermina el tipo de ensayo (unilateral o bilateral).

4. Establecer la regla de decisin. Esta se puede establecer en funcin del valorcrtico, el cual se obtiene dependiendo del valor de a (Error tipo I o nivel designificancia) o en funcin del estadstico lmite de la distribucin muestral.Cada una de las hiptesis deber ser argumentada correctamente paratomar la decisin, la cual estar en funcin de la hiptesis nula o Ho.

5. Calcular el estadstico real, y situarlo para tomar la decisin.

6. Justificar la toma de decisin y concluir.

Tipos de EnsayoSe pueden presentar tres tipos de ensayo de hiptesis que son: Unilateral Derecho Unilateral Izquierdo Bilateral

56

Dependiendo de la evaluacin que se quiera hacer se seleccionar el tipo deensayo.

Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hiptesis de unaumento en el parmetro, en este caso el nivel de significancia se carga todohacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptacin y de rechazo.

Ensayo de hiptesis:

Ho; Parmetro xH1; Parmetro > x

Parmetro = x Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hiptesis de una

disminucin en el parmetro, en este caso el nivel de significancia se cargatodo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptacin y derechazo.Ensayo de hiptesis:

Ho; Parmetro xH1; Parmetro < x

Parmetro = x

Bilateral: El investigador desea comprobar la hiptesis de un cambio en elparmetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regionesde rechazo.Ensayo de hiptesis:

Ho; Parmetro = xH1; Parmetro x

Parmetro = xPara realizar los ejemplos y ejercicios de ensayo de hiptesis se recomiendaseguir los pasos mencionados anteriormente. Los ejemplos siguientes sesolucionarn por los pasos recomendados, tenindose una variedad deproblemas en donde se incluirn a todas las distribuciones muestrales que sehan visto hasta aqu.

Ejemplos:

a

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

a

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

Ho

a/2

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1 H1

Regin deRechazo

a/2

57

1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el aopasado muestra una vida promedio de 71.8 aos. Suponga una desviacinestndar poblacional de 8.9 aos, esto parece indicar que la vida media hoyen da es mayor que 70 aos? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de medias con desviacin estndar

conocida.2. Datos:

m=70 aoss = 8.9 aosx = 71.8 aosn = 100a = 0.05

3. Ensayo de hiptesisHo; m = 70 aos.H1; m > 70 aos.

4. Regla de decisin:Si zR 1.645 no se rechaza Ho.Si zR> 1.645 se rechaza Ho.

5. Clculos:

02.2

1009.8

708.71=

-=

-=

n

xZ RR s

m

6. Justificacin y decisin.Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significanciadel 0.05 que la vida media hoy en da es mayor que 70 aos.

Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisin en base alestadstico real, en este caso la media de la muestra. De la formula de ladistribucin muestral de medias se despeja la media de la muestra:

n

xZ LL s

m-= 46.71

100)9.8)(645.1(

70 =+=+=n

Zx lL

sm

ZL = 1.645m = 70

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

46.71=Lxm = 70

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

58

Regla de decisin:Si Rx 71.46 No se rechaza HoSi Rx > 71.46 Se rechaza Ho

Como la media de la muestral es de 71.8 aos y es mayor al valor de la mediamuestral lmite de 71.46 por lo tanto se rechaza Ho y se llega a la mismaconclusin.

2. Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que sedistribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas yuna desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focostiene una duracin promedio de 788 horas, muestran los datos suficienteevidencia para decir que la duracin media ha cambiado? Utilice un nivel designificancia del 0.04.

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de medias con desviacin estndar

conocida.

2. Datos:m=800 horass = 40 horasx = 788 horasn = 30a = 0.04

3. Ensayo de hiptesisHo; m = 800 horasH1; m 800 horas

4. Regla de Decisin:Si 2.052 ZR 2.052 No se rechaza HoSi ZR < -2.052 si ZR > 2.052 Se rechaza Ho

5. Clculos:

643.1

3040

800788-=

-=

-=

n

xZ RR s

m

6. Justificacin y decisin:

ZL= -2.052 m = 800

Ho

a/2 = 0.02

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.02

ZL= 2.052

59

Como 2.052 -1.643 2.052 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluyecon un nivel de significancia del 0.04 que la duracin media de los focos noha cambiado.

Solucin por el otro mtodo:

===30

)40)(052.2(800

nZ

x lLs

m 785.02 y 814.98

Regla de decisin:Si 785.02 Rx 814.98 No se rechaza HoSi Rx < 785.02 Rx > 814.98 se rechaza Ho

Como la Rx = 788 horas, entonces no se rechaza Ho y se concluye que laduracin media de los focos no ha cambiado.

3. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maz pesan, en pomedio5.23 onzas con una desviacin estndar de 0.24 onzas. Pruebe la hiptesisde que m = 5.5 onzas contra al hiptesis alternativa, m < 5.5 onzas en el nivelde significamcia de 0.05.

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de medias con desviacin estndar

desconocida, pero como el tamao de muestra es mayor a 30 se puedetomar la desviacin muestral como un estimador puntual para la poblacional.

2. Datos:m= 5.5 onzass= 0.24 onzasx = 5.23 onzasn = 64a = 0.05

3. Ensayo de hiptesisHo; m = 5.5 onzasH1; m < 5.5 onzas

ZL= -1.645

02.785=Lx m = 800

Ho

a/2 = 0.02

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.02

98.814=Lx

m = 5.5

Ho

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1

60

4. Regla de decisin:Si ZR -1.645 No se rechaza HoSi ZR < -1.645 Se rechaza Ho

5. Clculos:

9

6424.0

5.523.5-=

-=

-=

n

xZ RR s

m

6. Justificacin y decisin:Como 9 < -1.645 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel designificancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menosde 5.5 onzas.

Solucin por el otro mtodo:

45.564

)24.0)(645.1(5.5 =-=-=

nZ

x lLs

m

Regla de decisin:Si Rx 5.45 No se Rechaza HoSi Rx < 5.45 Se rechaza Ho

Como la Rx = 5.23 y este valor es menor que 5.45 pot lo tanto se rechaza Ho.

4. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas lascasas que se construyen hoy en da en la ciudad de Richmond. Estara deacuerdo con esta afirmacin si una investigacin de casas nuevas en estaciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice unnivel de significancia de 0.10.

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de proporciones.2. Datos:

P= 0.70p = 8/15 = 0.5333n = 15a = 0.10

45.5=Lx m = 5.5

Ho

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1

61

3. Ensayo de hiptesisHo; P = 0.70H1; P 0.70

4. Regla de Decisin:Si 1.645 ZR 1.645 No se rechaza HoSi ZR < -1.645 si ZR > 1.645 Se rechaza Ho

5. Clculos:

41.1

15)30.0)(70.0(

70.0533.0-=

-=

-=

nPq

PpZR

6. Justificacin y decisin:Como 1.645 -1.41 1.645 No se rechaza Ho y se concluye con un nivel designificancia de 0.10 que la afirmacin del constructor es cierta.

Solucin por el otro mtodo:

15)30.0)(70.0(

645.170.0 ==n

PqzPp LL = 0.505 y 0.894

Regla de decisin:Si 0.505 pR 0.894 No se rechaza HoSi pR < 0.505 si ZR > 0.894 Se rechaza Ho

Como el valor del estadstico real es de 0.533 por lo tanto no se rechaza Ho y sellega a la misma conclusin.

5. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean enaplicaciones de motores automovilsticos. El cliente requiere que la fraccinde controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura crticos nosea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta caracterstica delproceso de fabricacin con este nivel de calidad, utilizando a = 0.05. El

ZL= -1.645 P = 0.70

Ho

a/2 = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1 H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.05

ZL= 1.645

pL= 0.505 P = 0.70

Ho

a/2 = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.05

pL= 0.894

62

fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. El fabricantepuede demostrar al cliente la calidad del proceso?

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de proporciones.

2. Datos:P= 0.05p = 4/200 = 0.02n = 200a = 0.05

3. Ensayo de hiptesisHo; P = 0.05H1; P < 0.05

4. Regla de decisin:Si ZR -1.645 No se rechaza HoSi ZR < -1.645 Se rechaza Ho

5. Clculos:

946.1

200)95.0)(05.0(

05.002.0-=

-=

-=

nPq

PpZR

6. Justificacin y decisin:Puesto que 1.946

63

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de medias con desviacin

estndar conocida.

2. Datos:s1=s2= 8

min112min121

2

1

==

xx

n1=n2= 10a = 0.05

3. Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 > 0 Se desea rechazar Ho si el nuevo ingrediente disminuye eltiempo promedio de secado, por eso se pone la diferencia mayor a cero osea positiva para poder probar que m2 es menor que m1.

4. Regla de decisin:Si zR 1.645 no se rechaza Ho.Si zR> 1.645 se rechaza Ho.

5. Clculos:

52.2

108

108

0)112121()()(22

2

22

1

21

2121 =

+

--=

+

---=

nn

xxZR

ss

mm

6. Justificacin y decisin:Puesto que 2.52>1.645, se rechaza Ho, y se concluye con un nivel designificancia de 0.05 que la adicin del nuevo ingrediente a la pintura sidisminuye de manera significativa el tiempo promedio de secado.

ZL = 1.645m 1-m2=070

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

64

Solucin por el otro mtodo:

88.5108

108

645.10)()(22

2

21

1

21

2121 =++=++-=- nnzxx L

ssmm

Regla de decisin:Si Rxx )( 21 - 5.88 No se rechaza HoSi Rxx )( 21 - > 5.88 Se rechaza Ho

Puesto que Rxx )( 21 - = 121-112 = 9 y este nmero es mayor a 5.88 por lo tantose rechaza Ho.

7. Se utilizan dos mquinas para llenar botellas de plstico con un volumen netode 16.0 onzas. Las distribuciones de los volmenes de llenado puedensuponerse normales, con desviaciones estndar s1= 0.020 y s2 = 0.025onzas. Un miembro del grupo de ingeniera de calidad sospecha que elvolumen neto de llenado de ambas mquinas es el mismo, sin importar siste es o no de 16 onzas. De cada mquina se toma una muestra aleatoriade 10 botellas. Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice a = 0.05

MAQUINA 1 MAQUINA 216.03 16.01 16.02 16.0316.04 15.96 15.97 16.0416.05 15.98 15.96 16.0216.05 16.02 16.01 16.0116.02 15.99 15.99 16.00

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de medias con desviacin

estndar conocida.

2. Datos:s1= 0.020s2= 0.025

015.161 =x Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en lamquina 1.

88.521 =- xxm 1-m2=0

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

65

005.162 =x Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en lamquina 2.n1=n2 = 10a = 0.05

3. Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 0 Si se cae en Ho se podr probar que el volumen de llenado es elmismo en las dos mquinas.

4. Regla de Decisin:Si 1.96 ZR 1.96 No se rechaza HoSi ZR < -1.96 si ZR > 1.96 Se rechaza Ho

5. Clculos:

987.0

10025.0

10020.0

0)005.16015.16()()(22

2

22

1

21

2121 =

+

--=

+

---=

nn

xxZR

ss

mm

6. Justificacin y decisin:Como 1.96 0.987 1.96 entonces no se rechaza Ho y se concluye con un nivelde significancia de 0.05 que las dos mquinas tienen en promedio la mismacantidad de llenado.

Solucin por el otro mtodo:

=+=+-=-10025.0

10020.0

96.10)()(22

2

21

1

21

2121 nnzxx L

ssmm -0.019 y 0.019

ZL= -1.96 m1-m2 = 0

Ho

a/2 = 0.025

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1 H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.025

ZL= 1.96

019.0)( 21 -=- xx m1-m2 = 0

Ho

a/2 = 0.025

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1 H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.025

019.0)( 21 =- xx

66

Regla de decisin:Si 0-019 Rxx )( 21 - 0.019 No se rechaza HoSi Rxx )( 21 - < -0.019 Rxx )( 21 - > 0.019 Se rechaza Ho

Como Rxx )( 21 - = 16.015 16.005 = 0.01, entonces cae en la regin deaceptacin y no se rechaza Ho.

8. Existen dos tipos de plstico apropiados para su uso por un fabricante decomponentes electrnicos. La tensin de ruptura de ese plstico es unparmetro importante . Se sabe que s1=s2= 1.0 psi. De una muestra aleatoriade tamao 10 y 12 para cada plstico respectivamente, se tiene una mediade 162.5 para el plstico 1 y de 155 para el plstico 2. La compaa noadoptar el plstico 1 a menos que la tensin de ruptura de ste exceda a ladel plstico 2 al menos por 10 psi. Con base a la informacin contenida en lamuestra, la compaa deber utilizar el plstico 1? Utilice a = 0.05 parallegar a una decisin.

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de medias con desviacin

estndar conocida.

2. Datos:s1=s2= 1.0 psi

psixpsix

1555.162

2

1

==

n1= 10n2= 12a = 0.05

3. Ensayo de hiptesis

Ho; m1-m2 = 10H1; m1-m2 > 10 Se desea rechazar Ho si la media del plstico 1 supera a lamedia del plstico 2 en por lo menos 10 psi.

ZL = 1.645m 1-m2=10

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

67

4. Regla de decisin:Si zR 1.645 no se rechaza Ho.Si zR> 1.645 se rechaza Ho.

5. Clculos:

83.5

121

101

10)1555.162()()(22

2

22

1

21

2121 -=

+

--=

+

---=

nn

xxZR

ss

mm

6. Justificacin y decisin:No existe evidencia suficiente para apoyar el uso del plstico 1 ya que5.83 1.645, por lo tanto no se rechaza Ho.

Solucin por el otro mtodo:

70.10121

101

645.110)()(22

2

21

1

21

2121 =++=++-=- nnzxx L

ssmm

Regla de decisin:Si Rxx )( 21 - 10.70 No se rechaza HoSi Rxx )( 21 - > 10.70 Se rechaza Ho

Puesto que Rxx )( 21 - = 162.5-155 = 7.5 y este nmero es no es mayor a 10.7 porlo tanto no se rechaza Ho.

9. Se evalan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible usoen una operacin de pulido en la fabricacin de lentes intraoculares utilizadosen el ojo humano despus de una ciruga de cataratas. Se pulen 300 lentescon la primera solucin y, de stos, 253 no presentaron defectos inducidospor el pulido. Despus se pulen otros 300 lentes con la segunda solucin, delos cuales 196 resultan satisfactorios. Existe alguna razn para creer quelas dos soluciones para pulir son diferentes? Utilice a = 0.01

70.1021 =- xxm 1-m2=10

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

68

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de proporciones.

2. Datos:p1= 253/300= 0.8433p2 = 196/300= 0.6533n1=n2 = 300

3. Ensayo de hiptesis:Ho; P1-P2 = 0H1; P1-P2 0

4. Regla de Decisin:Si 2.575 ZR 2.575 No se rechaza HoSi ZR < -2.575 si ZR > 2.575 Se rechaza Ho

5. Clculos:

2

22

1

11

2121 )()(

nqP

nqP

PPppZR

+

---=

En esta frmula se puede observar que en el denominador se tienen a lasproporciones poblacionales o sea los parmetros, los cuales no se conocen,por lo que en el ensayo de hiptesis la frmula para poder calcular la ZRcambia, estimando a el parmetro comn P de la siguiente forma:

21

21

nnxx

P++

= bien 21

2211

nnpnpn

P++

=

Entonces la frmula de ZR quedara de la siguiente manera:

+

---=

21

2121

11

)()(

nnPq

PPppZR

ZL= -2.575 P1-P2 = 0

Ho

a/2 = 0.005

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1 H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.005

ZL= 2.575

69

Se calcular el valor de P:

7483.0300300196253

21

21 =++

=++

=nnxx

P

36.5

3001

3001

)2517.0)(7483.0(

0)6533.08433.0(

11

)()(

21

2121 =

+

--=

+

---=

nnPq

PPppZR

6. Justificacin y decisin:Puesto que 5.36>2.575, se rechaza la hiptesis nula y se concluye con unnivel de significancia de 0.01 que los dos fluidos para pulir son diferentes.

10. Se tomar el voto entre los residentes de una ciudad y el condadocircundante para determinar si se debe construir una planta qumicapropuesta. El lugar de construccin est dentro de los lmites de la ciudad ypor esta razn muchos votantes del condado consideran que la propuestapasar debido a la gran proporcin de votantes que favorecen laconstruccin. Para determinar si hay una diferencia significativa en laproporcin de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorecen lapropuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudadfavorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado tambin lohacen, estara de acuerdo en que la proporcin de votantes de la ciudadque favorecen la propuesta es ms alto que la proporcin de votantes delcondado? Utilice un nivel de significancia de 0.025.

Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de proporciones.

2. Datos:p1= 120/200= 0.60p2 = 240/500= 0.48n1 = 200n2 = 500

3. Ensayo de hiptesis:Ho; P1-P2 = 0H1; P1-P2 > 0

ZL = 1.96P1-P2=0

a = 0.025

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

70

4. Regla de decisin:Si zR 1.96 no se rechaza Ho.Si zR> 1.96 se rechaza Ho.

5. Clculos:Se calcular el valor de P:

51.0500200240120

21

21 =++

=++

=nnxx

P 51.0500200240120

21

21 =++

=++

=nnxx

P

9.2

5001

2001

)49.0)(51.0(

0)48.060.0(

11

)()(

21

2121 =

+

--=

+

---=

nnPq

PPppZR

6. Justificacin y decisin:Puesto que 2.9>1.96, se rechaza la hiptesis nula y se concluye con un nivelde significancia de 0.025 que la proporcin de votantes de la ciudad a favorde la propuesta es ms alta que la proporcin de votantes del condado.

Uso de valores P para la toma de decisiones

Al probar hiptesis en las que la estadstica de prueba es discreta, la regincrtica se puede elegir de forma arbitraria y determinar su tamao. Si a esdemasiado grande, se puede reducir al hacer un ajuste en el valor crtico. Puedeser necesario aumentar el tamao de la muestra para compensar la disminucinque ocurre de manera automtica en la potencia de la prueba (probabilidad derechazar Ho dado que una alternativa especfica es verdadera).

Por generaciones enteras de anlisis estadstico, se ha hecho costumbre elegirun nivel de significancia de 0.05 0.01 y seleccionar la regin crtica enconsecuencia. Entonces, por supuesto, el rechazo o no rechazo estricto de Hodepender de esa regin crtica. En la estadstica aplicada los usuarios hanadoptado de forma extensa la aproximacin del valor P. La aproximacin sedisea para dar al usuario una alternativa a la simple conclusin de rechazo ono rechazo.

La aproximacin del valor P como ayuda en la toma de decisiones es bastantenatural pues casi todos los paquetes de computadora que proporcionan elclculo de prueba de hiptesis entregan valores de P junto con valores de laestadstica de la prueba apropiada.

Un valor P es el nivel (de significancia) ms bajo en el que el valorobservado de la estadstica de prueba es significativo.

71

El valor P es el nivel de significancia ms pequeo que conduce al rechazode la hiptesis nula Ho.

El valor P es el mnimo nivel de significancia en el cual Ho sera rechazadacuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjuntodado de informacin. Una vez que el valor de P se haya determinado, laconclusin en cualquier nivel a particular resulta de comparar el valor P cona:

1. Valor P a rechazar Ho al nivel a.2. Valor P > a No rechazar Ho al nivel a.

Ensayo Unilateral Derecho:

Ensayo Unilateral Izquierdo:

Ensayo Bilateral:

Z= 0

Valor P

ZR calculada

Z= 0

Valor P

ZR calculada

ZR, -ZR calculadas

Valor P = Suma de las dos reas

72

Ejemplos:1. Calcular el valor de P para el primer ejemplo de ensayo de hiptesis en

donde se quera probar que la edad media de los habitantes de EstadosUnidos es superior a 70 aos.

Solucin:

1. Ensayo de hiptesisHo; m = 70 aos.H1; m > 70 aos.

2. Regla de decisin:Si P 0.05 se rechaza Ho.Si P > 0.05 No se rechaza Ho.

3. Clculos:

02.2

1009.8

708.71=

-=

-=

n

xZ RR s

m

Esta es el valor de Z que se utilizar para calcular el valor de P, como es unensayo unilateral derecho se calcular el rea a la derecha de este valor.

4. Justificacin y decisin:Como el valor de P es 0.217 y es menor al valor del nivel de significancia de0.05 por lo tanto se rechaza H0, y se concluye que la edad media de loshabitantes es mayor a 70 aos.

2. Calcular el valor de P para el ejemplo 7 de esta seccin en donde se tienedos mquinas y se quiere ver si tienen la misma cantidad promedio dellenado en las botellas de plstico.

Solucin:1. Ensayo de hiptesis

Ho; m1-m2 = 0

ZL = 1.645m = 70

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

Z= 0

Valor P = 0.0217

ZR = 2.02

73

H1; m1-m2 0 Si se cae en Ho se podr probar que el volumen de llenado es elmismo en las dos mquinas.

2. Regla de Decisin:Si P 0.05 Se rechaza HoSi P > 0.05 No se rechaza Ho

3. Clculos:

987.0

10025.0

10020.0

0)005.16015.16()()(22

2

22

1

21

2121 =

+

--=

+

---=

nn

xxZR

ss

mm

Como este es un ensayo bilateral se proceder a calcular el valor de P medianteel valor de la ZR, positiva y negativa y luego se sumarn las reas.

Como el valor de P es mayor al de a, se no se rechaza H0, y se concluye que lasmaquinas tienen el mismo llenado promedio.

3. Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de 20,000kilmetros por ao. Para probar esta afirmacin, se pide a una muestra de100 propietarios de automviles que lleven un registro de los kilmetros queviajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la muestra aleatoria tiene unpromedio de 23,500 kilmetros y una desviacin estndar de 3900kilmetros? Utilice un valor P para su conclusin.

Solucin:En este ejercicio no nos manejan ningn valor de a, por lo que se proceder aplantear el ensayo y luego calcular z para poder conocer el valor de P y llegar auna conclusin.

ZL= -1.96 m1-m2 = 0

Ho

a/2 = 0.025

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.025

ZL= 1.96

ZR = -0.987 ZR = 0.987

Valor P = 0.1618 + 0.1618 = 0.3236

74

1. Ensayo de hiptesisHo; m = 20,000 kilmetros.H1; m > 20,000 kilmetros.

2. Clculos:

97.8

1003900

2000023500=

-=

-=

n

xZ RR s

m

3. Decisin.Se observa que este valor de Z es muy grande, ni siquiera se encuentra en latabla, entonces quiere decir que el rea a la derecha de ese valor es cero yeste sera el valor de P, por lo que no apoya a la hiptesis nula y seconcluye que los automviles se manejan en promedio ms de 20,000kilmetros por ao.

4. Se estudia la fraccin de circuitos integrados defectuosos producidos en unproceso de fotolitografa. Para ello se somete a prueba una muestra de 300circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probarHo: P=0.05 contra H1: P 0.05. Utilice un valor de P para su conclusin.

Solucin:1. Ensayo de hiptesis

Ho; P = 0.05H1; P 0.05

2. Clculos:

53.0

300)95.0)(05.0(

05.0043.0-=

-=

-=

nPq

PpZR

3. Decisin:Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se concluye que lafraccin defectuosa de circuitos integrados es de 0.05, o sea no se rechazaHo.

ZR = -0.53 ZR = 0.53

Valor P = 0.298 + 0.298 = 0.596

75

ERROR TIPO II b

Al evaluar un procedimiento de prueba de hiptesis, tambin es importanteexaminar la probabilidad del error tipo II, el cual se denota por b. Esto es,

b = P(error tipo II) = P(aceptar Ho/ Ho es falsa)

Para calcular b se debe tener una hiptesis alternativa especfica; esto es, debetenerse un valor particular del parmetro. Por ejemplo, supngase que esimportante rechazar la hiptesis nula Ho: m = 50 cada vez que la rapidezpromedio de combustin m es mayor que 52 cm/s o menor que 48 cm/s. Paraello, puede calcularse la probabilidad b de un error tipo II para los valores m = 52y m = 48, y utilizar este resultado para averiguar algo con respecto a la forma enque se desempear la prueba. De manera especfica, cmo trabajar elprocedimiento de prueba si se desea detectar, esto es, rechazar Ho, para unvalor medio de m = 52 m = 48? Dada la simetra, slo es necesario evaluar unode los dos casos, esto es, encontrar la probabilidad de aceptar la hiptesis nulaHo: m = 50 cuando el valor verdadero es m = 52.

Para hacer este clculo se tendr un tamao de muestra de 10 y una desviacinestndar de la poblacin de 2.5 cm/s. Adems se evaluar el error tipo II con unnivel de significancia de 0.06.

Ho: m = 50H1: m 50

Como ya sabemos se trata de un ensayo bilateral por lo que se tendr quecalcular el valor del estadstico Lx de la siguiente manera:

===10

)5.2)(88.1(50

nZ

x lLs

m 48.51 y 51.48

Para facilitar los clculos se redondearn estos nmeros a 48.5 y 51.5

Para poder comprender mejor el clculo del error tipo II se delimitar el rea dela regin de aceptacin con dos lneas ya que es bilateral y se evaluar laprobabilidad de caer en esa rea cuando la media tiene un valor de 52 y de 48.

5.48=Lx m = 50

Ho

a/2 = 0.03

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.03

5.51=Lx

76

43.4

105.2

525.48-=

-=z

63.0

105.2

525.51-=

-=z

63.0

105.2

485.48=

-=z

43.4

105.2

485.51=

-=z

Como se puede observar en cada calculo del valor b se tuvieron que evaluar losdos valores de z. En el primer calculo de b se tiene un valor de z=-4.43, estoquiere decir que no existe rea del lado izquierdo del 48.5, por lo que b slo serel rea que corresponda a la z=-0.63. Lo mismo pasa con el segundo clculo deb. Como las medias de 52 y 48 son equidistantes del 50 por este motivo losvalores del error tipo II son los mismos.En caso que no estn equidistantes se tienen que calcular por separado ycalcular los valores correspondientes de z porque en ocasiones se tiene un reaque no est dentro de la regin de aceptacin, la cual no se tiene que tomar encuenta para evaluar al error tipo II.A continuacin se proceder a generar algunas curvas caractersticas deoperacin para evaluar al error tipo II, entre ms se aleja el valor verdadero de lamedia de la media de la hiptesis nula, menor es la probabilidad del error tipo IIpara un tamao de muestra y nivel de significancia dadas. A medida que eltamao de la muestra aumenta la probabilidad de cometer el error tipo IIdisminuye. Esto se observar en los ejercicios siguientes.

Ejemplos:

1. Generar una curva caracterstica de operacin para el ejercicio nmero 1 dela seccin de ensayo de hiptesis con las siguientes medias supuestas:m = 70.5, 71, 71.5, 72, 72.5, 73, 73.5, y 74.

5.48=Lx m = 50

Ho

a/2 = 0.03

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1 H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.03

5.51=Lx

m = 52

b = 0.2643

m = 48

b = 0.2643

77

2. Datos:m=70 aoss = 8.9 aosx = 71.8 aosn = 100a = 0.05

3. Ensayo de hiptesisHo; m = 70 aos.H1; m > 70 aos.

Se calcular el estadstico lmite:

46.71100

)9.8)(645.1(70 =+=+=

nZ

x lLs

m

08.1

1009.8

5.7046.71=

-=z

517.0

1009.8

7146.71=

-=z

m = 71

46.71=Lxm = 70

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

ZL = 1.645m = 70

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

m = 70.5

b= 0.8599

b= 0.6974

78

044.0

1009.8

5.7146.71-=

-=z

606.0

1009.8

7246.71-=

-=z

168.1

1009.8

5.7246.71-=

-=z

73.1

1009.8

7346.71-=

-=z

29.2

1009.8

5.7346.71-=

-=z

85.2

1009.8

7446.71-=

-=z

m = 74

m = 73

m = 72.5

m = 72

m = 71.5

b= 0.4824

b= 0.2722

b= 0.1214

b= 0.0418

m = 73.5

b= 0.011

b= 0.0021

79

En la mayora de los libros de estadstica existen las curvas caractersticas deoperacin para diferentes tamaos de muestra y stas se proporcionan tantopara a = 0.05 como para a = 0.01 (son las ms comunes). Para poder utilizar lascurvas se define un parmetro llamado d, que estandariza para cualquier valorde m y s:

sd

s

mm ||=

-=

od

Si se quisiera consultar en un libro, cul es la probabilidad de cometer el errortipo II b cuando la media verdadera es de 72?; se tendra que calcular el valorde d y buscar en las curvas la que pertenezca a un tamao de muestra de 100con un a = 0.05.

9.8|2|

9.8

7072=

-=d = 0.2247

Este valor se encuentra en el eje de las x. Si se transforma la curvacaracterstica de operacin con el valor de d quedara de la siguiente manera:

CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION

0.950.8599

0.6974

0.4824

0.2722

0.12140.0418 0.011 0.00210

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

70 70.5 71 71.5 72 72.5 73 73.5 74 74.5

Valor de la media

Pro

bab

ilid

ad e

rro

r ti

po

II

80

Se coment anteriormente que si el tamao de la muestra aumenta los dos tiposde errores a y b disminuyen. Para probar esto y especficamente en lo que serefiere al error tipo II se realizar el ejercicio anterior suponiendo que en lugar detener 100 personas, el tamao de la muestra aumenta a 150 personas.

Se calcular el estadstico lmite:

2.71150

)9.8)(645.1(70 =+=+=

nZ

x lLs

m

963.0

1509.8

5.702.71=

-=z

CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION

0.950.8599

0.6974

0.4824

0.2722

0.12140.04180.011 0.00210

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

d

Pro

babi

lidad

err

or ti

po II

2.71=Lxm = 70

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

m = 70.5

b= 0.8322

81

275.0

1509.8

712.71=

-=z

412.0

1509.8

5.712.71-=

-=z

10.1

1509.8

722.71-=

-=z

79.1

1509.8

5.722.71-=

-=z

47.2

1509.8

732.71-=

-=z

16.3

1509.8

5.732.71-=

-=z

m = 72

m = 71.5

m = 71

b= 0.6083

m = 73

m = 72.5

b= 0.3407

b= 0.1356

b= 0.0367

b= 0.0067

m = 73.5

b= 0.0007

82

3. Generar una curva caracterstica de operacin (CCO) para el ejercicio 5 deensayo de hiptesis. Suponer los siguientes valores de P; 0.04, 0.03, 0.025,0.02 y 0.01. Enseguida se proporciona la informacin necesaria para realizarla CCO:

Datos:P= 0.05p = 4/200 = 0.02n = 200a = 0.05

Ensayo de hiptesisHo; P = 0.05H1; P < 0.05

Solucin:Se proceder a calcular el estadstico lmite pL:

0246.0200

)95.0)(05.0(645.105.0 =-=-=

nPq

zPpL

CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

70 70.5 71 71.5 72 72.5 73 73.5 74 74.5

Valor de la media

Pro

bab

ilid

ad e

rro

r ti

po

II

n=100

n=150

a = 0.05

P = 0.05

HoRegin derechazo

Regin de aceptacin

H1

ZL= -1.645

83

11.1

200)96.0)(04.0(

04.00246.0-=

-=z

447.0

200)97.0)(03.0(

03.00246.0-=

-=z

036.0

200)975.0)(025.0(

025.00246.0-=

-=z

464.0

200)98.0)(02.0(

02.00246.0=

-=z

075.2

200)99.0)(01.0(

01.00246.0=

-=z

P = 0.02

P = 0.025

P = 0.03

P = 0.04

a = 0.05

P = 0.05

HoRegin derechazo

Regin de aceptacin

H1

pL= 0.0246

b=0.8665

b=0.6725

b=0.5143

b=0.3213

P = 0.01

b=0.0189

84

En una distribucin muestral de proporciones, para graficar la CCO, se necesitacalcular el valor de np, que es el que ir en el eje de las x para estandarizar lacurva.

4. Genere un CCO para el ejercicio nmero 6 de la seccin anterior. Supongalas siguientes diferencias de medias: m1-m2 =2, 4, 6, 7, 9, 12 y 14.Datos:s1=s2= 8

min112min121

2

1

==

xx

n1=n2= 10a = 0.05

Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 > 0

88.5108

108

645.10)()(22

2

21

1

21

2121 =++=++-=- nnzxx L

ssmm

CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION

0.950.8665

0.6725

0.5143

0.3213

0.018900.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

1 3 5 7 9

np

Pro

bab

ilid

ad e

rro

r ti

po

II

ZL = 1.645m 1-m2=0

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

85

086.1

108

108

288.522

=

+

-=z

526.0

108

108

488.522

=

+

-=z

033.0

108

108

688.522

-=

+

-=z

313.0

108

108

788.522

-=

+

-=z

873.0

108

108

988.522

-=

+

-=z

m 1-m2=7

m 1-m2=6

m 1-m2=4

m 1-m2=2

88.5)( 21 =- Lxxm 1-m2=0

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

b= 0.8612

b= 0.70

b= 0.4868

b= 0.3768

m 1-m2=9

b= 0.1913

86

714.1

108

108

1288.522

-=

+

-=z

274.2

108

108

1488.522

-=

+

-=z

Para graficar la curva se utilizar el valor de d, el cual para una distribucinmuestral de diferencia de medias tiene la siguiente frmula:

22

21

22

21

21

ss

d

ss

mm

+=

+

-=d

En los libros de estadstica lo que se acostumbra en algunos de los ejercicios espreguntar slo un punto de la CCO, por lo que a continuacin se resolvern dosproblemas tipo.

5. Se require que la tensin de ruptura de un hilo utilizado en la fabricacin dematerial de tapicera se al menos de 100 psi. La experiencia ha indicado quela desviacin estndar de la tensin de ruptura es de 2 psi. Se prueba una

m 1-m2=14

m 1-m2=12

b= 0.0432

b= 0.011

CURVA CARACTERISTICA DE OPERACION

0.950.8612

0.7

0.48680.3768

0.1913

0.0432 0.01100.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

d

Pro

bab

ilid

ad e

rro

r ti

po

II

87

muestra aleatoria de nueve especmenes, y la tensin de ruptura promedioobservada en ella es de 98 psi. Cual es la probabilidad de aceptar lahiptesis nula con un a = 0.05 si la tensin promedio de ruptura verdadera dela fibra es 104 psi?

Solucin:Ensayo de hiptesis:Ho; m = 100H1; m > 100

Se calcula el estadstico lmite:

09.1019

)2)(645.1(100 =+=+=

nZ

x lLs

m

32.6

102

100104=

-=z

6. Del ejercicio nmero 7 de la seccin anterior encontrar el error tipo II bsuponiendo que la diferencia verdadera entre las medias de las mquinas esfe 0.03

Datos:s1= 0.020s2= 0.025

015.161 =x005.162 =x

n1=n2 = 10a = 0.05

09.101=Lxm = 100

a = 0.05

Regin derechazo

Regin de aceptacin

HoH1

m = 104

b= 0

88

Solucin:Ensayo de hiptesisHo; m1-m2 = 0H1; m1-m2 0

=+=+-=-10025.0

10020.0

96.10)()(22

2

21

1

21

2121 nnzxx L

ssmm -0.019 y 0.019

83.4

10025.0

10020.0

03.0019.022

-=

+

--=z

086.1

10025.0

10020.0

03.0019.022

-=

+

-=z

Por ser bilateral se calcularon dos valores de z, y como se puede observar dellado izquierdo de 0.019 ya no se encuentra rea, por lo que el error tipo II sloser el rea a la izquierda del valor de la diferencia del estadstico lmite 0.019.

Problemas propuestos1. En un estudio para estimar la proporcin de residentes de cierta ciudad y sus

suburbios que estn a favor de la construccin de una planta de energanuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos estn a favor de laconstruccin mientras que slo 59 de 125 residentes suburbanos lafavorecen. Hay una diferencia significativa entre la proporcin de residentesurbanos y suburbanos que favorecen la construccin de la planta nuclear?Use un valor de P para su conclusin.

2. Una compaa petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudadse calientan con petrleo. Tenemos razn en dudar de esta afirmacin si,en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta ciudad, se encuentra que136 se calientan con petrleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01.

019.0)( 21 -=- xx m1-m2 = 0

Ho

a/2 = 0.025

Regin derechazo

Regin de aceptacin

H1 H1

Regin deRechazo

a/2 = 0.025

019.0)( 21 =- xx

m 1-m2=0.03

b= 0.1387

89

3. Se sabe que la duracin, en horas, de un foco de 75 watts tiene unadistribucin aproximadamente normal, con una desviacin estndar de 25horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener unaduracin promedio de 1014 horas.a) Existe evidencia que apoye la afirmacin de que la duracin promedio

del foco es mayor que 1000 horas? Utilice un a = 0.05.b) Cual es el valor P para la prueba?c) Cul es el valor de b para la prueba del inciso a) si la verdadera

duracin promedio del foco es de 1050 horas?

4. Se estudia la tasa de combustin de dos propelentes slidos utilizados en lossistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa decombustin de los dos propelentes tiene aproximadamente la mismadesviacin estndar de 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de 20especmenes cada una, obtenindose medias de 18 y 24 cm/srespectivamente.a) Pruebe la hiptesis de que los dos combustibles slidos tienen la misma

rapidez promedio de combustin. Utilice un a = 0.05.b) Cul es el valor de P de la prueba?c) Cul es el valor de b para la prueba del inciso a) si la verdadera

diferencia en la rapidez promedio de combustin es 2.5 cm/s?

5. Un artculo publicado en Fortune afirma que casi la mitad de todos losingenieros continan sus estudios acadmicos despus de obtener lalicenciatura. Un artculo publicado en Engineering Horizons indica que 117 de484 recin graduados planean continuar sus estudios.a) Los datos publicados en Engineering Horizons son consistentes con los

publicados en Fortune?b) Encuentre el valor de P de la prueba.

6. En un invierno con epidemia de gripe, una compaa farmacutica bienconocida estudi 2000 bebes para determinar si la nueva medicina de lacompaa era efectiva despus de dos das. Entre 120 bebes que tenangripe y se les administr la medicina, 29 se curaron dentro de dos das. Entre280 bebs que tenan gripe pero que no recibieron la medicina, 56 se curarondentro de dos das. Hay alguna indicacin significativa que apoye laafirmacin de la compaa de la efectividad de la medicina? Calcule el valorP.

7. Se lanza 20 veces una moneda, con un resultado de cinco caras. Esta essuficiente evidencia para rechazar la hiptesis de que la moneda estabalanceada a favor de la alternativa de que las caras ocurren menos de 50%de las veces.? Realice la prueba con un nivel de significancia de 0.03 y citeun valor P.

90

8. Se supone que los neumticos para automvil de cierto tipo recincomprados deben llenarse a una presin de 30 lb/pulg2. Se representa con mel verdadero promedio de presin. Encuentre el valor P asociado con cadavalor del estadstico z dado para probar Ho; m = 30 contra H1; m 30.a) 2.10 b) 1.75 c) 0.55 d) 1.41 e) 5.3

9. Se realiz un experimento para comparar la resistencia a la fractura del acerocon nquel maragizado, con el acero de pureza comercial del mismo tipo.Para 32 especmenes, la resistencia promedio muestral fue de 65.6 para elacero de alta pureza, mientras que se obtuvo una media muestral de 59.8 en38 especmenes del acero comercial. Debido que el acero de alta pureza esms costoso, su uso para cierta aplicacin puede justificarse slo si suresistencia a la fractura excede la del acero de pureza comercial en ms de5. Suponga que ambas distribuciones de resistencias son normales.a) Si se supone que s1 = 1.2 y s2 = 1.1, pruebe las hiptesis pertinentes

usando a = 0.001.b) Calcule b para la prueba del inciso anterior cuando m1-m2 = 6.

10. Se cree que la portada y la naturaleza de la primera pregunta de encuestaspor correo influyen en la tasa de respuesta. Un artculo prob esta teora alexperimentar con diferentes diseos de portadas. Una portada sencilla, y laotra utiliz la figura de un paracaidista. Los investigadores especularon que latasa de devolucin sera menor para la portada sencilla.

Portada Nmero de envos Nmero de devolucionesSencilla 207 104Paracaidista 213 109

Esta informacin apoya la hiptesis de los investigadores? Haga laprueba con un nivel de significancia de 0.10, calculando primero un valorP.

Respuesta a los Problemas propuestos1. z= 2.40; s, P=0.012. P