RSM/20009 1

1500 mm

1500 mm

3000 mm

2000 mm

3000 mm

3000 mm

3000 mm

3000 mm

Espesores: 300 mm

Vigas: 500x300 mm

Datos:

Diafragmas rígidos.

RC, E=20000 MPa, µ=0.3

RSM/20009 2

X

Y

6000 mm

6000 mm

x4

x1

x2

x3

RSM/20009 3

PASOS:

1) Modelar cada marco (eje estructural) de manera plana, con el fin de determinar la matriz de rigidez en sus ejes locales.

Marco 1 y 2 Marco 3 Marco 4

RSM/20009 4

2) Determinar grados de libertad asociados a desplazamientos horizontales, y a desplazamientos verticales y giros, para luego realizar condensación estática.

Marco 1 y 2

Marco 3

Marco 4

t=[10 16];

0=[7 8 9 11 12 13 14 15 17 18];

t=[10 16];

0=[7 8 9 11 12 13 14 15 17 18];

t=[4 7];

0=[5 6 8 9];

Khor = Ktt – K0t · K00-1 · K0t

Kh1=[2.1820e+004 -1.0257e+004

-1.0257e+004 9.2218e+003]

Kh2=[8.7868e+005 -2.8860e+005

-2.8860e+005 1.5168e+005]

Kh3=[1.0722e+006 -3.5110e+005

-3.5110e+005 1.6609e+005]

RSM/20009 5

Solo como comprobación y para saber como obtener la matriz de rigidez horizontal con un programa comercial.

Marco 1

-Restringir los desplazamientos laterales necesarios.

-Aplicar desplazamientos unitario en dichas restricciones de manera sucesiva.

-Las reacciones de apoyo corresponden a los coeficientes de la matriz de rigidez lateral.

1mm≠ 1mm debido a

deformación axialK11

K12

RSM/20009 6

1mm

K22

RSM/20009 7

3) Determinar las matrices de transformación de cada eje estructural y calcular matrices de rigidez en coordenadas globales del edificio.

[A]= [ cos γi · [I] sen γi · [I] ± dai· [I] ]

I: matriz identidad de NxNN: número de pisos o diafragmas.

γi : ángulo entre eje estructural o marco y el eje x.

θ

θ

θ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

=

N

2

1

yN

2y

1y

xN

2x

1x

N

2

1

u

u

u

u

u

u

dsincos

dsincos

dsincos

dsincos

dsincos

u

u

u

M

M

M

M

M

M

M

M

RSM/20009 8

Marco 1

Marco 3

Marco 4

Marco 2

A1=[0 0 1 0 b 0

0 0 0 1 0 b];

A2=[1 0 0 0 -b 00 1 0 0 0 -b];

A3=[0 0 1 0 -b 00 0 0 1 0 -b];

A4=[1 0 0 0 b 00 1 0 0 0 b];

Ki= At ·K hor · A

K1=[0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 2.1820e+004 -1.0257e+004 6.5460e+007 -3.0770e+007

0 0 -1.0257e+004 9.2218e+003 -3.0770e+007 2.7665e+007

0 0 6.5460e+007 -3.0770e+007 1.9638e+011 -9.2309e+0100 0 -3.0770e+007 2.7665e+007 -9.2309e+010 8.2996e+010]

K2=[2.1820e+004 -1.0257e+004 0 0 -6.5460e+007 3.0770e+007

-1.0257e+004 9.2218e+003 0 0 3.0770e+007 -

2.7665e+007

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

-6.5460e+007 3.0770e+007 0 0 1.9638e+011 -9.2309e+010

3.0770e+007 -2.7665e+007 0 0 -9.2309e+010 8.2996e+010]

K3=[ 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 8.7868e+005 -2.8860e+005 -2.6361e+009 8.6579e+008

0 0 -2.8860e+005 1.5168e+005 8.6579e+008 -4.5505e+008

0 0 -2.6361e+009 8.6579e+008 7.9082e+012 -2.5974e+012

0 0 8.6579e+008 -4.5505e+008 -2.5974e+012 1.3652e+012]

K4=[1.0722e+006 -3.5110e+005 0 0 3.2166e+009 -1.0533e+009

-3.5110e+005 1.6609e+005 0 0 -1.0533e+009 4.9828e+008

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

3.2166e+009 -1.0533e+009 0 0 9.6498e+012 -3.1599e+012

-1.0533e+009 4.9828e+008 0 0 -3.1599e+012 1.4948e+012]

RSM/20009 9

4) Ensamblar matrices y calcular matriz de rigidez lateral total. Esta matriz está referida al centro de masas de la planta. Ahora el edificio que tenía originalmente 14(nodos)x6=84 gdl en el espacio 3D, solamente asociados a los marcos (podrían ser muchos más si el modelo incluyera las losas discretizadas por EF por ejemplo), puede ser analizado solo con 6 gdl. Si se definen fuerzas

KT=K1+K2+K3+K4

KT= [1.0940e+006 -3.6135e+005 0 0 3.1512e+009 -1.0225e+009

-3.6135e+005 1.7531e+005 0 0 -1.0225e+009 4.7061e+008

0 0 9.0050e+005 -2.9885e+005 -2.5706e+009 8.3502e+008

0 0 -2.9885e+005 1.6091e+005 8.3502e+008 -4.2739e+008

3.1512e+009 -1.0225e+009 -2.5706e+009 8.3502e+008 1.7951e+013 -5.9419e+012

-1.0225e+009 4.7061e+008 8.3502e+008 -4.2739e+008 -5.9419e+012 3.0260e+012]

RSM/20009 10

5) Si se aplican fuerzas horizontales a nivel de cada diafragma, que pueden corresponder a fuerzas sísmicas, el edificio ahora se puede analizar con solo 6 grados de libertad, 3 por piso. Las fuerzas sísmicas actúan en el centro de masa de la planta.

[ ] [ ] [ ] [ ]

==

θ

θ

=

0

0

0

0

2000

1000

Fu

u

u

u

KuK 6x1

21

1

2y

1y

2x

1x

6x16x6

u=[4.7974e+000

9.6477e+000

-3.3524e+000

-5.5705e+000

-1.2222e-003

-2.1410e-003] mm / rad

RSM/20009 11

COMPROBACION (RAM ADVANSE)

Centros de masa

RSM/20009 12

?? Algo pasó que no da lo mismo, el modelo de RAM es más rígido y da menos desplazamiento. Razón: los muros estaban empotrados en su eje débil, y nuestra teoría o

simplificación considera que los marcos y muros solo contribuyen a la rigidez en su propio plano, no considera la rigidez fuera del plano (en el eje débil).

RSM/20009 13

Al rotular los apoyos en su eje débil, los resultados son casi exactamente iguales. Ojo, aquí

en ambos análisis (“a mano” y RAM) se consideró la deformación por corte.

Posible razón para la diferencia: en RAM el análisis en tridimensional, esto es, considera 6gdl por nodo, rigideces flexurales en ambos ejes, rigideces torsionales, etc, que nuestro análisis pseudo-tridimensional simplificado no considera.

RSM/20009 14

6) Con los desplazamientos por piso conocidos, se pueden calcular los desplazamientos laterales de cada marco a nivel de piso (ecuación pag. 7); estos son los desplazamientos condensados. Con ellos, se pueden calcular los desplazamientos nodales, es decir, el resto de los grados de libertad, utilizando la ecuación:

u0=-k00-1k0tut

0: grados de libertad a condensar

t : grados de libertad o desplazamientos laterales de cada piso

Con los desplazamientos nodales conocidos en el plano de cada marco, se pueden calcular las fuerzas locales (axial, corte y momento) de manera usual: f=k·u+kip

Otra posibilidad, para utilizar la misma rutina ya implementada para análisis de marcos

planos, es volver un paso más atrás, y calcular las fuerzas laterales a nivel de piso para cada marco multiplicando la matriz de rigidez horizontal de cada marco (NxN) por los desplazamientos de piso (Nx1). Estas fuerzas se aplican a los marcos individuales, y se procede de manera usual: calculo de desplazamientos (en el plano), reacciones y fuerzas locales nodales.

RSM/20009 15

Desplazamientos laterales de cada marco:

u1 = -7.0191e+000 mm

-1.1994e+001

u2 = 8.4641e+000

1.6071e+001

u3 = 3.1435e-001

8.5263e-001

u4 = 1.1306e+000

3.2246e+000

f1 = 30144 N

38611

f2 = 19856

61389

f3 = 30144

38611

f4 = 80144

138610

Comparando con RAM, bastante bien!

RSM/20009 16

Marco 1

30144N

38611N

Desplazamientos

1.0000e+000 0 0 0

2.0000e+000 0 0 0

3.0000e+000 7.0041e+000 1.1797e-001 -7.3442e-004

4.0000e+000 7.0191e+000 -1.1797e-001 -7.3658e-004

5.0000e+000 1.1974e+001 1.5199e-001 -3.6731e-004

6.0000e+000 1.1994e+001 -1.5199e-001 -3.6762e-004

Fuerzas nodales

1.0000e+000 -3.4343e+004 -7.0782e+004 5.4820e+007

2.0000e+000 -3.4412e+004 7.0782e+004 5.4932e+007

3.0000e+000 0 0 0

4.0000e+000 3.0144e+004 0 0

5.0000e+000 0 0 0

6.0000e+000 3.8611e+004 0 0

Fuerzas internas

1.0000e+000 -7.0782e+004 3.4343e+004 5.4820e+007 7.0782e+004 -3.4343e+004 4.8210e+0072.0000e+000 -2.0410e+004 1.9304e+004 2.7304e+007 2.0410e+004 -1.9304e+004 3.0608e+007

3.0000e+000 7.0782e+004 3.4412e+004 5.4932e+007 -7.0782e+004 -3.4412e+004 4.8303e+007

4.0000e+000 2.0410e+004 1.9307e+004 2.7300e+007 -2.0410e+004 -1.9307e+004 3.0621e+007

5.0000e+000 -1.5039e+004 -5.0372e+004 -7.5514e+007 1.5039e+004 5.0372e+004 -7.5604e+007

6.0000e+000 -1.9304e+004 -2.0410e+004 -3.0608e+007 1.9304e+004 2.0410e+004 -3.0621e+007

Comparar con valores página anterior

RSM/20009 17

Marco 2 Desplazamientos

1.0000e+000 0 0 0

2.0000e+000 0 0 0

3.0000e+000 8.4541e+000 1.6509e-001 -9.8338e-004

4.0000e+000 8.4641e+000 -1.6509e-001 -9.8657e-004

5.0000e+000 1.6040e+001 2.1836e-001 -5.6107e-004

6.0000e+000 1.6071e+001 -2.1836e-001 -5.6366e-004

Fuerzas nodales

1.0000e+000 -4.0607e+004 -9.9057e+004 6.5336e+007

2.0000e+000 -4.0638e+004 9.9057e+004 6.5396e+007

3.0000e+000 0 0 0

4.0000e+000 1.9856e+004 0 0

5.0000e+000 0 0 0

6.0000e+000 6.1389e+004 0 0

Fuerzas internas

1.0000e+000 -9.9057e+004 4.0607e+004 6.5336e+007 9.9057e+004 -4.0607e+004 5.6486e+007

2.0000e+000 -3.1962e+004 3.0659e+004 4.4089e+007 3.1962e+004 -3.0659e+004 4.7890e+007

3.0000e+000 9.9057e+004 4.0638e+004 6.5396e+007 -9.9057e+004 -4.0638e+004 5.6517e+0074.0000e+000 3.1962e+004 3.0730e+004 4.4191e+007 -3.1962e+004 -3.0730e+004 4.7997e+007

5.0000e+000 -9.9480e+003 -6.7094e+004 -1.0057e+008 9.9480e+003 6.7094e+004 -1.0071e+008

6.0000e+000 -3.0659e+004 -3.1962e+004 -4.7890e+007 3.0659e+004 3.1962e+004 -4.7997e+007

19856N

61389N

RSM/20009 18

Marco 3 Desplazamientos

1.0000e+000 0 0 0

2.0000e+000 0 0 0

3.0000e+000 2.9564e-001 3.8083e-003 -1.4605e-004

4.0000e+000 3.1435e-001 -3.8083e-003 -1.5182e-004

5.0000e+000 8.2296e-001 5.8663e-003 -1.7419e-004

6.0000e+000 8.5264e-001 -5.8663e-003 -1.7725e-004

Fuerzas nodales

1.0000e+000 -3.2258e+004 -1.1425e+004 1.3054e+008

2.0000e+000 -3.6497e+004 1.1425e+004 1.4014e+008

3.0000e+000 0 0 0

4.0000e+000 3.0144e+004 0 0

5.0000e+000 0 0 0

6.0000e+000 3.8611e+004 0 0

Fuerzas internas

1.0000e+000 -1.1425e+004 3.2258e+004 1.3054e+008 1.1425e+004 -3.2258e+004 -3.3769e+007

2.0000e+000 -6.1738e+003 1.9784e+004 4.5504e+007 6.1738e+003 -1.9784e+004 1.3849e+007

3.0000e+000 1.1425e+004 3.6497e+004 1.4014e+008 -1.1425e+004 -3.6497e+004 -3.0652e+007

4.0000e+000 6.1738e+003 1.8827e+004 4.2547e+007 -6.1738e+003 -1.8827e+004 1.3934e+007

5.0000e+000 -1.2473e+004 -5.2512e+003 -1.1735e+007 1.2473e+004 5.2512e+003 -1.1895e+007

6.0000e+000 -1.9784e+004 -6.1738e+003 -1.3849e+007 1.9784e+004 6.1738e+003 -1.3934e+007

RSM/20009 19

Marco 4 Desplazamientos

1.0000e+000 0 0 0

2.0000e+000 1.1306e+000 0 -5.5797e-004

3.0000e+000 3.2245e+000 0 -7.1391e-004

Fuerzas nodales

1.0000e+000 -2.1875e+005 0 1.0721e+009

2.0000e+000 8.0144e+004 0 0

3.0000e+000 1.3861e+005 0 0

Fuerzas internas

1.0000e+000 0 2.1875e+005 1.0721e+009 0 -2.1875e+005 -4.1583e+008

2.0000e+000 0 1.3861e+005 4.1583e+008 0 -1.3861e+005 0

RSM/20009 20Resultados OK comparando con RAM (análisis tridimensional)

RSM/20009 21

ANALISIS MODAL

1) Determinar masa traslacional y rotacional de cada piso. Si m es la masa de un diafragma uniformemente distribuida, Io=m(b2+d2)/12 es el momento de inercia del diafragma con respecto a un eje vertical que pasa a través de O (centro de masa)

2) Escribir la matriz de masas

3) Resolver problema de valores propios: det(KT-λM)=0

KT fue calculada en página 9 (está en unidades N-mm)

m piso 1 = 30000 kg ; m piso 2 = 20000 kg ;

IO piso 1 =180000 kgm2

=

120000

180000

20000

30000

20000

30000

M

En Matlab:

[V,D]=eig(KT,M);

[frec2,index]=sort(diag(D));

frec=frec2.^0.5;

T=1./frec;

RSM/20009 22

RESULTADOS

Vectores propios

Periodos=2π/w (s)

392.58

196.66

97.149

55.286

49.888

21.372

Frecuencias (1/s)

0.001001800.000094100.002371700.000692990.000062800.00110070

-0.00188000-0.000113710.00077411-0.000980390.000055950.00066682

-0.00084661-0.00208940-0.002155200.002835100.004426300.00355570

0.001590700.00383100-0.00102800-0.002783800.001712400.00209480

0.00108190-0.001923500.00189680-0.002524400.00472120-0.00358740

-0.002079400.003628600.000827790.002879000.00156370-0.00210310

Periodos (s), con RAM

0.016005

0.031949

0.064675

0.11365

0.12595

0.29399

0.01489

0.02926

0.06415

0.09374

0.12476

0.29075

RSM/20009 23

CENTRO DE RIGIDEZ

[yr] · [Kxx] – [xr] · [Kyx] + [Kθx] = [0]

[yr] · [Kxy] – [xr] · [Kyy] + [Kθy] = [0]-2.3745-2.4345piso 2

-2.9883-2.9519piso 1

yr (m)xr (m)

x

y

CR nivel 1

CR nivel 2

x

y