1 3.3 ANLISIS SSMICO DE UN CRUCE A DESNIVEL PARA AUTOPISTAS. Ilustraremos lo expuesto proyectando un puente para un cruce a desnivel en la vecindad de la colonia Centroamrica para una autopista de la ciudad de Managua, en un sitio cuya estratigrafa Fig (3.7), fue determinada mediante pruebas de prospeccin ssmica y pruebas de penetracin estndar (SPT), realizadas por el Earthquake Engineering Research Institute San Francisco Calif 1973. Las caractersticas geomtricas y estructurales del puente se muestran en la Fig (3.9). Sern determinadas las fuerzas ssmicas laterales en cada marco transversal tomando en consideracin las condiciones locales del suelo y las respuestas dinmicas del sistema estructural analizado con masas discretizadas y rigideces laterales elsticas provedas por los marcos rgidos de concreto reforzado cimentados sobre pilotes pretensados que transmiten las cargas verticales a un estrato de cimentacin y las horizontales a los estratos donde el pilote se apoya lateralmente idealizados como resortes elsticos. El sistema de rodamiento consiste de un deck de concreto reforzado y trabes de acero A-36 apoyadas en los tres marcos transversales y en las dos vigas cabezales de los estribos. DINAMICA DEL SUELO PARA EL CASO ANALIZADO.

Fig. (3.7): Propiedades dinmicas para los estratos de cimentacin del puente. Espectros de respuestas para el sito de la obra elaborados con el programa Shake 91.

2

ESPECTRO DE ACELERACION PARA EL SITIO DEL PUENTE

00.5

11.5

22.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1PERIODO (Seg)

AC

ELER

AC

ION

(%

g)

Para obtener los periodos predominantes, las configuraciones modales, y la amplificacin dinmica del suelo, procedemos de manera semejante a la del Art 2.6 calculando los periodos y las configuraciones modales mediante el uso de matrices de transferencia empleando la informacin contenida en la Fig. (3.7).

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA PARA EL SITIO DEL PUENTE

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

3MATRIZ DE TRANSFERENCIA

=uo0

.cos ( ).0.0866

sin( ).0.0866 sin( ).0.0866 cos ( ).0.0866

0

Q. G

=uo .Q. G sin( )

.0.0866 Q0 = n ..5.773 ( ).2 n 1 De donde: n = 1 1 = 18.14 rad/seg T1 = 0.35seg. n = 2 2 = 54.41 T2 = 0.12seg n = 3 3 = 90.69 T3 = 0.07seg

VECTORES DE FORMAS MODALES

=( ) o

=.0

1

1

0

0

Q. G

Q. G0

=( ) 1

=.0.320

0.947

0.947

0.320

0

Q. G

.0.947 Q. G.0.32 Q

. G

=( ) 2

=.0.587

0.815

0.815

0.587

0

Q. G

.0.815 Q. G

.0.587 Q. G

4

Normalizando respecto a 0.815Q/G obtenemos el vector modal correspondiente al primer modo n = 1

El vector modal correspondiente al segundo modo n = 2 es el siguiente:

=( ) o

=.0.984

0.176

0.176

0.984

0

Q. G

.0.176 Q. G

.0.984 Q. G

=( ) 1

=.0.932

0.363

0.363

0.932

0

Q. G

.0.363 Q. G

.0.932 Q. G

=( ) 2

=.0.804

0.595

0.595

0.804

0

Q. G

.0.595 Q. G

.0.804 Q. G

Normalizando respecto a 0.59Q/G obtenemos el vector caracterstico correspondiente al segundo modo de vibracin n=2

5

De modo semejante obtenemos la configuracin modal correspondiente al tercer modo de vibracin n = 3

=( ) o

.0.683 Q. G

.0.73 Q. G

=( ) 1

.0.996 Q. G

.0.084 Q. G

=( ) 2

.0.313 Q. G

.0.084 Q. G

Normalizando respecto a 0.31Q/G obtenemos el vector caracterstico para el tercer modo n = 3.

Ahora contamos con informacin de la dinmica del depsito estratigrfico del suelo donde se construir el cruce a desnivel, la cual ser utilizada para obtener las respuestas

6

espectrales de la estructura del puente. La configuracin correspondiente al modo fundamental de vibracin del depsito estratigrfico ser utilizada en el diseo ssmico de los pilotes de cimentacin del puente Art. (4.7) el cual constituye un problema de interaccin suelo estructura para lo cual es de gran utilidad la tcnica de las matrices de transferencia para obtener las figuras caractersticas de los modos fundamentales de vibracin de la formacin estratigrficas donde sern cimentados los pilotes. El anlisis dinmico del suelo tiene variadas aplicaciones en problemas de sismo resistencia a como veremos en el transcurso de este trabajo.

ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO DEL PUENTE

00.005

0.010.015

0.020.025

0.03

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

DINAMICA DEL PUENTE ANALIZADO. Ahora necesitamos conocer los periodos fundamentales de vibracin del puente, para lo cual una primera aproximacin se obtiene considerando que toda la estructura es un oscilador simple con un grado de libertad en traslacin cuyas masas se discretizan en cada marco transversal a como se muestra en la Fig (3.9).

Fig. (3.9): Oscilador simple empleado para una primera estimacin del periodo.

7

Fig. (3.10): Geometra del puente (m). La (CM) se desglosa del siguiente modo: Ver la Fig (3.10) N Descripcin Dimensiones(m) Peso

total(T) 01 Losa de concreto reforzado para

rodamiento 0.20x22x72x2.4T/m 760

02 Carpeta asfltica 20x72x20kg/m 29 03 Vigas longitudinales de A-36 W36x194x864 254 04 Vigas diafragmas transversales W24x117x308 54 05 Andenes de concreto reforzado 0.20x0.70x144x2.4(T/m 48 06 Parapetos de concreto reforzado 0.30x0.45x144x2.4(T/m) 47 07 Barandas 144x36(kg/m ) 4 08 Vigas transversales de concreto 0.75x0.90x60x2.4(T/m) 107 09 Miembros verticales de concreto (0.60)x43.20x2.40 38 CM 1341 La CM unitaria = 0.86 T/m La masa gravitatoria es la siguiente: m = 1.368(Tseg/ cm) Si los miembros horizontales del marco son mucho ms rgidos que los miembros verticales, la rigidez lateral de la estructura puede calcularse como se muestra a continuacin: La rigidez de cada marco transversal es: K=98.67 T/cm

8

= Kx = Kz =..12 E I

h3.296

Tcm

E= 281 T/cm

Columnas de 60x60cm =I ..1.08 106 cm4

Para obtener las frecuencias naturales de vibracin del puente idealizado como un oscilador simple estticamente determinado, con dos grados de libertad en traslacin horizontal y un grado de libertad en rotacin alrededor de un eje vertical que pasa por el centrode de la estructura, emplearemos la Ec (3.10)

Fig. (3.11): Rigidez torsionante del puente analizado

Momento polar de inercia: =J ..4.46 104 m4

Rigidez torsionante: Ky = Kzdx + Kxdz = ..2.79 107 Tm

=( )M

...100

010

00

326136.836 T

seg2

m

Matriz de rigidez:

=( )K

..100

010

00

944.6929600

Tm

9

Las frecuencias naturales se calculan resolviendo el determinantes de la Ec (3.10)

=

.2.96 102 .1.38 2

0

0

0

.2.96 102 .1.38 2

0

0

0

.2.79 105 .4.52 20

De donde: 1 = 2 = 14.645 rad/seg T1 = T2 = 0.43 seg 3 = 24.844 rad/seg T3 = 0.25 seg El valor obtenido para las frecuencias de la estructura del puente, idealizado como un oscilador simple con dos grados de libertad en traslacin y un grado en rotacin, es una primera aproximacin tosca si consideramos que al discretizar en una sola la masa y las propiedades de rigidez elstica, hacemos caso omiso de que tanto la carga muerta CM como la rigidez elstica, estn distribuidas en toda la longitud del puente, por lo que es necesario considerar el mayor nmero posible de masas y rigideces discretizadas para encontrar las respuestas estructurales mas representativas de la realidad fsica del sistema analizado. Otro aspecto que no considera esta primera aproximacin para los valores de la frecuencia angular natural y el periodo de vibracin del puente, son las condiciones de fronteras de los bordes extremos de la losa, lo cual cobra importancia en la medida en que dichas restricciones modifiquen los desplazamientos globales del sistema estticamente determinado, hasta convertirse en un sistema estrechamente acoplado estticamente indeterminado. Para esta primera aproximacin del valor del periodo fundamental de vibracin libre del puente, calcularemos el factor de amplificacin dinmica que deber emplearse para el clculo de las fuerzas ssmicas laterales del espectro dinmico de la Ec (3.12). El factor de amplificacin dinmica D () se calcula tomando en consideracin el periodo predominante del suelo, Ts, el periodo fundamental T y el porcentaje de amortiguamiento critico de la estructura, empleando la expresin:

(3.14) Considerando un valor = 5% para el amortiguamiento crtico del puente el valor del factor de amplificacin dinmica para estas condiciones es el siguiente:

10

Segn el (RNC1983) el sistema estructural analizado clasifica como Tipo K5 = 1.33A, para el cual dt = 1.50, y (1+KtVs) = 1.20, con auxilio del mapa de isoaceleraciones para Nicaragua obtenemos la mxima esperanza de aceleraciones A = 0.35g para un periodo de retorno de 500 aos, correspondiente a la ciudad de Managua. Para estos valores el espectro de fuerzas dinmicas es el siguiente:

Los vectores de formas modales en traslacin pura para las condiciones mostradas en la Fig (3.12), se obtienen estableciendo las ecuaciones de equilibrio para el movimiento de cada masa m del siguiente modo:

=.m d

d

2

2tz1 .k ( )2z1 z2

=.m d

d

2

2tz2 .k ( )2z2 z1 z3 (3.15)

=.m d

d

2

2tz3 .k ( )2z3 z2

Fig.(3.12): Modelo para el caso con restricciones en los extremos.

Como el sistema tiene modos naturales de vibracin. admitimos que las respuestas son armnicas de la forma:

=z1 .A1 cos ( ) t =z2 .A2 cos ( ) t =z3 .A3 cos ( ) t

11

Llevando estos valores a las ecuaciones (3.15) y definiendo =Skm

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

=.A1 2 2S A2S 0

=A1S .A2 2 2S A3S 0 (3.16)

=A2S .A3 ( ) 2 2S 0 Resolviendo el determinantes del sistema de ecuaciones (3.16), e igualndolo a cero, obtenemos la ecuacin de frecuencias del prototipo dinmico del puente:

=. 2 2S 4 ..4 2 S .2 S2 0 (3.17) Llevando al sistema (3.16) las races = (2 2) S de la ecuacin (3.17), obtenemos:

A1= A3= .1

2A2

La otra raz nos proporciona la forma caracterstica del tercer modo de vibracin A1 = -A3 A2 = 0 De manera que los vectores para las tres figuras modales caractersticas son los siguientes: T1 T2 T3

=( )Z1

0.71

1

0.71

=( )Z2

0.71

1

0.71

=( )Z3

1

0

1

Para ilustrar las variaciones de los valores de las fuerzas ssmicas inducidas en la estructura por efecto de las restricciones de los extremos de la losa de rodamiento, procederemos al anlisis de tres casos correspondientes a tres diferentes condiciones de apoyos extremos

12

Caso1: Ambos extremos restringidos a desplazamientos verticales y transversales.

Fig. (3.13): Condiciones de apoyos extremos correspondientes al Caso 1. Procederemos a calcular los periodos fundamentales de vibracin de la estructura del puente para las diferentes condiciones de apoyos extremos de la losa con auxilio del programa Risa 3D COORDENADAS x y z N1 0 0 0 0 N2 16 0 0 0 N3 36 0 0 0 N4 56 0 0 0 N5 72 0 0 0 N6 16 0 11 0 N7 36 0 11 0 N8 56 0 11 0 N9 0 0 22 0 N10 16 0 22 0 N11 36 0 22 0 N12 56 0 22 0 N13 72 0 22 0 N14 16 -4.8 0 0 N15 36 -4.8 0 0 N16 56 -4.8 0 0 N17 16 -4.8 11 0 N18 36 -4.8 11 0 N19 56 -4.8 11 0 N20 16 -4.8 22 0 N21 36 -4.8 22 0 N22 56 -4.8 22 0

13 SECCIONES SEC1 CONC 600X600 360000 1.2 1.2 1.08e+10 1.08e+10 1.8252e+10 SEC2 CONC 750X900 675000 1.2 1.2 3.16406e+10 4.55625e+10 6.27875e+10 PERIODOS DE VIBRACIN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL CASO 1 n (T) Seg Sx( %) Sy(%) Sz (%) 1 1.635 0.612 99.999 2 4.963 0.202 81.475 3 13.196 0.076 0.065 Totals: 99.999 0.065 81.475 5 7797.297 0 El factor de amplificacin dinmica para el modo de vibracin transversal (z) es:

14

El espectro de fuerzas dinmicas del (RNC1983) es:

De igual modo se obtienen los factores de amplificacin dinmica y las aceleraciones espectrales correspondientes a los dems modos de vibracin. ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 1.

MODO FRECUENCIAS CIRCULARES NATURALES

AMPLIFICACIN DINAMICA

ACELERACIN ESPECTRAL (m/seg)

COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL

1 10.26 0.484 0.930 Sx = 0.99999 2 31.04 1.494 2.872 Sz = 0.81475 3 82.67 1.049 2.016 Sy = 0.065

CONFIGURACIONES MODALES CARACTERSTICAS PARA EL CASO 1 n =1 T1=0.612seg n=2 T2= 0.202 seg n=3 T3 =0.076seg.

=( )Z1

0

0

0 =( )Z2

0.307

0.475

0.307 =( )Z3

0.43

0

0.43

DESPLAZAMIENTOS MODALES TRANSVERSALES PARA EL CASO 1

= i

..Ai Ci

i2 ij

0 = 1

= 2 =..

00.3070.4750.307

0

2.8720.814

31.042

0

7.449 10 4

1.153 10 3

7.449 10 4

0

m

15

= 3 =..

00.43

00.430

2.016 0.065

82.672

0

8.245 10 6

0

8.245 10 6

0

m

FUERZAS SISMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 1

Fi= K*rrelativo

Modo 2:

=F1 0 =F5

=F2 =F4 =...2.964 104 7.449 10 4 22.079 T

=F3 =...2.964 104 1.153 10 3 34.175 T

Modo 3:

=F1 0 =F3 =F5

=F2 =F4 =...2.964 104 8.245 10 6 0.244 T FUERZAS SSMICAS NORMALIZADAS PARA EL CASO 1

=F2 =F4 =22.0792 0.2442 22.08 T

F3 = 34.175 T Las fuerzas ssmicas modales obtenidas, sern combinadas con la CM para determinar los elementos mecnicos de diseo correspondientes al caso ssmico.

16

Fig. (3.13): Cargas ssmicas correspondientes al Caso 1

Fig. (3.14): Resultados del anlisis ssmico para el Caso 1.

17

Caso 2: Un extremo restringido a desplazamientos verticales y transversales, y el otro restringido a desplazamientos en las tres direcciones ortogonales.

Fig. 3.15: Condiciones de apoyos extremos correspondientes al Caso 2. Ahora analizaremos el Caso 2 correspondiente a un extremo con rodillos y el otro articulado tal a como se muestra en la Fig (3.15), procediendo de manera semejante como en el Caso 1 obtenemos los siguientes resultados: PERIODOS DE VIBRACIN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL CASO 2 n T Sx Sy Sz 1 6.49 0.154 81.055 2 8.391 0.119 87.737 3 14.015 0.071 33.729 Totals: 87.739 33.729 81.055 5 8588.458 0 ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 2 MODO FRECUENCIA

CIRCULAR NATURAL

AMPLIFICACIN DINAMICA

ACELERACIN ESPECTRAL (m/seg)

COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL

1 40.799 1.238 2.380 0.877 2 52.799 1.130 2.172 0.337 3 88.05 1.043 2.005 0.810

18 CONFIGURACIONES MODALES CARACTERSTICAS PARA EL CASO 2 n=1 T1=0.154seg n=2 T2= 0.119g n=3 T3= 0.071seg

=( )Z10.233

0.491

0.361 =( )Z2

0.035

0.024

0.013 =( )Z3

0.003

0.001

0.003

DESPLAZAMIENTOS MODALES TRANSVERSALES PARA EL CASO 2 MODO 1:

= 1

=..

00.2330.4910.361

0

2.38 0.877

40.7792

0

2.925 10 4

6.163 10 4

4.531 10 4

0

m

MODO 2:

= 2

=..

00.0350.0240.013

0

2.172 0.337

52.7992

0

9.19 10 6

6.302 10 6

3.413 10 6

0

m

MODO 3:

= 3

=..

00.0030.0010.003

0

2.005 0.81

882

0

6.292 10 7

2.097 10 7

6.292 10 7

0

m

19

FUERZAS SSMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 2 MODO 1: FI = F5=0 F2= 6.79T F3= 18.25T F4= 13.43T MODO 2: F2=0.27 T F3=0.19 T F4=0.10 T El vector de desplazamientos correspondiente al tercer modo de vibracin presenta valores muy pequeos, por lo que su contribucin es despreciable.

Fig. (3.16): Fuerzas ssmicas para el Caso 2

20

Fig (3.17): Resultados del anlisis ssmico para el Caso 2. Caso 3: Este caso corresponde a los dos extremos de la losa restringidos a traslaciones en las tres direcciones ortogonales ha como se muestra en la Fig (3.18)

Fig. (3.18): Condiciones de apoyos para el Caso 3

21 PERIODOS DE VIBRACIN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL CASO 3 n T Sx Sy Sz 1 8.191 0.122 85.29 2 14.006 0.071 38.293 3 14.054 0.071 0.014 Totals: 38.307 85.292 ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 3 MODO FRECUENCIA

CIRCULAR NATURAL

AMPLIFICACIN DINAMICA

ACELERACIN ESPECTRAL (m/seg)

COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL

1 51.465 1.137 2.185 0.853 2 88.000 1.130 2.172 0.383 3 88.303 1.043 2.005 0 CONFIGURACIONES MODALES CARACTERSTICAS PARA EL CASO 3 n=1 T1=0.122seg n=2 T2=0.071seg T3=0.071seg

=( )Z10.289

0.531

0.289 =( )Z2

0

0.001

0 =( )Z3

0

0.001

0

DESPLAZAMIENTOS MODALES TRANSVERSALES PARA EL CASO 3

= 1 =..

00.2890.5310.289

0

2.185 0.853

51.4652

0

2.034 10 4

3.737 10 4

2.034 10 4

0

m

FUERZAS SSMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 3 F1 = F5 = 0 F2 = F4 = 6.03 T F3 = 11.08 T Despreciamos el aporte de los modos de vibracin n = 2 y n = 3 por ser insignificantes.

22

Fig. (3.19): Fuerzas ssmicas correspondientes al Caso 3

Fig. (3.21): Resultados del anlisis ssmico para el Caso 3. RESUMEN DE FUERZAS SSMICAS PARA LOS TRES CASOS ANALIZADOS NODOS N1 N2 N3 N4 N5 Caso1 0 22.08 34.18 22.08 0 78.34 Caso2 0 6.79 18.25 13.43 0 38.47 Caso3 0 6.03 11.08 6.03 0 23.14

23

A pesar de la diversidad en cuanto a dimensiones, sistemas estructurales y materiales conocidos, los puentes ofrecen caractersticas comunes desde el punto de vista de las respuestas ssmicas tales como la susceptibilidad de los apoyos a sufrir movimientos diferenciales durante los terremotos, debidos parcialmente a la distancia entre apoyos y a las caractersticas de la geologa y condiciones topogrficas locales. Tambin amerita atencin el caso de puentes libremente apoyados, los cuales tienden a fallar por la perdida de sus apoyos por lo que se debern revisar cuidadosamente los detalles de las uniones para evitar que esto ocurra. Del anlisis realizado para las tres variantes de los apoyos extremos observamos que en la medida en que aumenta el numero de restricciones a los desplazamientos en los extremos del puente, nos aproximamos a un sistema estrechamente acoplado y estticamente indeterminado, con mayor numero de fuerzas redundantes que restringen los desplazamientos laterales, marcndose una tendencia a la reduccin de las cortantes ssmicas inducidas mientras aumenta el grado de hiperestaticidad del sistema estructural. Los resultados obtenidos para el caso ssmico debern superponerse con los resultados correspondientes al anlisis de las cargas vivas mviles de acuerdo con las especificaciones ASSTHO y el RNC1983 a fin de conocer los elementos mecnicos de diseo finales para el dimensionamiento de la superestructura y los cimientos del puente. El anlisis ssmico de los pilotes de cimentacin del puente se muestra en el Art. 4.7

24

25

26

27

Espectros de respuestas para diferentes espesores de suelos aluviales.

28

29

DINAMICA DEL SUELO PARA EL CASO ANALIZADO. Fig. (3.7): Propiedades dinmicas para los estratos de cimentacin del puente. MATRIZ DE TRANSFERENCIA VECTORES DE FORMAS MODALES

DINAMICA DEL PUENTE ANALIZADO. Fig. (3.10): Geometra del puente (m). K=98.67 T/cm

Fig. (3.11): Rigidez torsionante del puente analizado A1 = -A3 A2 = 0 COORDENADAS SECCIONES PERIODOS DE VIBRACIN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL CASO 1 ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 1. FUERZAS SSMICAS NORMALIZADAS PARA EL CASO 1 F3 = 34.175 T

Fig. (3.13): Cargas ssmicas correspondientes al Caso 1 ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 2 DESPLAZAMIENTOS MODALES TRANSVERSALES PARA EL CASO 2

FUERZAS SSMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 2 FI = F5=0 F2= 6.79T F3= 18.25T F4= 13.43T F2=0.27 T F3=0.19 T F4=0.10 T Fig. (3.18): Condiciones de apoyos para el Caso 3 PERIODOS DE VIBRACIN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL CASO 3

FUERZAS SSMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 3 F1 = F5 = 0 F2 = F4 = 6.03 T F3 = 11.08 T Fig. (3.19): Fuerzas ssmicas correspondientes al Caso 3 RESUMEN DE FUERZAS SSMICAS PARA LOS TRES CASOS ANALIZADOS NODOSN1

Caso2