1Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Existencia y Unicidad de Soluciones

Lema de la contraccion:corolario: Sea (X,d) un espacio metrico completo y F : X X es continua y paraalgun m, Fm es una contraccion. Entonces existe un unico punto fijo p, ademas p esun atractor para F.

Demostracion:Fm es una contraccion, entonces por el lema de la contraccion, Fm posee un punto fijop que ademas es atractor.

1. Probaremos que F posee un punto fijo.

F(p) = F ( lmn

xn)

= lmn

F (xn)

= lmn

F (F n(x))

= lmn

F n+1(x)

= lmn

xn+1

= lmn

xn

= p

2. Probaremos ahora que F posee un punto atractor es decir:

lmn

F n(x) = p , x X

consideremos n=mk + r ; r = 0,m, k Z+

lmk

F n(x) = lmk

Fmk+r(x)

= lmk

(Fm)k(F r(x))

= lmk

(Fm)k(y)

= p

Teorema de Picarcorolario: Sea abierto en RxE y sea f : E continua con D2f tambien con-tinua. Para todo punto (t0, x0) en existe una vecindad V = I(t0)xB(x0) tal quex =f(t,x),x(t0) = x0 tiene una unica solucion en I(t0). Ademas de esto el grafico deesta solucion esta contenido en V .

2DemostracionSea U una vecindad de (t0, x0) tal que f |U es lipschitziana y |f | M en U.Sea un > 0 lo suficientemente pequeno para que dado

V = I(t0)xBb(x0) U

donde b=M ahora por el argumento del teorema de picar se existe solucion unica loque demuestra el enunciado.

Dependencia de las Soluciones en Relacion a lasCondiciones Iniciales y Parametros

Lema: Sea {n} una sucesion equicontinua y uniformemente limitada de funcionesreales y continuas en un espacio metrico compacto. Supongamos que toda subsucesionuniformemente convergente de esta sucesion tiene el mismo limite Demostracion

supongamos por el absurdo que {n} no converge uniformemente para .

> 0, n |n(tn) n(tn)| ....(1)

para alguna sucesion {tn} en X.Ahora como {n} es equicontinua y uniformemente limitada, entonces el teorema deArzela nos garantiza que {n} posee una subsucesion {n},la cual es uniformementeconvergente.Ahora por hipotesis toda subsucesion de la sucesion {n} tiene como limite a enton-ces,

> 0, n0, n0 > n |n(tn) (tn)| < lo que contradice (1).Luego esto prueba el lema.

Teorema: Sea f continua en un conjunto abierto RxEx. Para cada (t0, x0, ) supongamos que el problema de datos iniciales con fijo.

x = f(t, x, ), x(t0) = x0

tiene una unica solucion = (t, t0, x0, ), definida en un intervalo maximo (w, w+), w(t0, x0, )Entonces

D = {(t, t0, x0, ); (t0, x0, ) , t (w(t0, x0, ), w+(t0, x0, ))}

es abierto en Rx y es continua en D.Demostracion:

utilizando la proposicion anterior

Sea fn = f, n Z+ {0}

3Sea f(t, x) = xn, xn = (tn)

Ahora utilizando el resultado de la proposicion anterior

(t,x0) , > 0 y sea [a, b] I(x0, t0)

donde I(x0, t0) = w(t0, x0); I(x0, t0) [a, b]n0 = n0(a, b) talque n > n0 In [a, b]

Ahora n|[a,b] 0|[a,b] > 0 , n0 tal que n > n0 = |(t, tn, xn) (t, t0, x0)| t [a, b]

ahora por la continuidad en t de

> 0 > 0 tal que |t s| < = |(s, t0, x0) (t, t0, x0)| < /2

Luego para demostrar la continuidad de sobre (a,b)x observar que

(s, tn, xn) (t, t0, x0)| = |(s, tn, xn) (s, t0, x0) + (s, t0, x0) (t, t0, x0)| |(s, tn, xn) (s, t0, x0)|+ |(s, t0, x0) (t, t0, x0)|< /2 + /2

<

Luego es continua lo que demuestra el teorema.