Salto Bungee

INTEGRANTES:

Cristian Beltrán

Diego Pacheco

Fernanda Yanchapanta

LANZAMIENTO DE UN PROYECTIL

Sea un proyectil de masa m lanzado con velocidad de módulo v0 y dirección que forma

un ángulo Ɵ con la horizontal.

A causa de la dirección de la velocidad inicial v0, el proyectil tiende a elevarse pero

como consecuencia de la fuerza vertical de la gravedad p=mg, la trayectoria se curva

hacia el suelo. ¿Cómo será la trayectoria de este proyectil, considerado como una

partícula? Adoptemos un sistema de coordenadas ortogonales x-y, eje x horizontal con

sentido positivo a derecha, eje y vertical positivo hacia arriba y sea r(t) el vector

posición del proyectil en el sistema en cualquier instante t.

Tomemos el instante del disparo en t = 0. La velocidad y aceleración están dadas por r′

(t) y r″(t) respectivamente. Sean P, peso del proyectil, resultan entonces

r (t) = (x, y) = ( X (t), Y (t)), P = (0, −mg). Se tiene que

P=mr' ' (t)

es decir (0, −mg) = m(x″, y″). De esto resulta el sistema de ecuaciones diferenciales

mr ' '(t )={ m x' '=0¿

m y ' '=−mg

Supongamos que el disparo se hace desde algún punto del eje y. Entonces

r (0 )=(0 , y0)

Además se tiene que:

r ' (0 )=(v0 cosθ , v0 senθ)

Las condiciones iniciales del problema son por lo tanto

x (0 )=0 x ' (0 )=v0cosθ y (0 )= y0 y ' (0 )=v0 senθ

La solución del problema, válida para t ≥ 0 resulta:

x=v0 cosθ ∙t

y= y0+v0 senθ ∙ t−g2

∙ t2

Eliminando el parámetro t:

y= y0+xtgθ−g2

∙( xv0 cosθ )

2

DEMOSTRACION:

1) m x' '=0

x ' '=0

x '=C1

x=C1∗t

2) m y ' '=−mg

y ' '=−g

y '=−g∗t+C2

y '=−g2

∗t 2+C2∗t +C3

Condiciones iniciales (t=0)

x=0

y= yo

x '=V o cosθ

y '=V o senθ

1) C1=V o cosθ

x=V o cosθ∗t

2) V o senθ=−g (0 )+C2

C2=V o senθ

yo=−g (0 )+C2 (0 )+C3

C3= yo

y=−g2

∗t 2+V O sin θ∗t+ y0

Eliminar t → t= xV o cosθ

y ( x )=−12

∗g ( xV o cosθ )

2

+ x∗sin θcos θ

+ yo

y ( x )=−12

∗g ( xV o cosθ )

2

+x∗tan θ+ yo

El 1996 el lanzador olímpico de jabalina Jan Zelezny alcanzó el record mundial

con una marca de 98.48 m. Si se sabe que la estatura del deportista es 1.86m y que

la masa de una jabalina olímpica es de 800g, calcule la velocidad con la que fue

lanzada la jabalina suponiendo que el ángulo de lanzamiento fue el de alcance

máximo.

Datos:

x=98.48 m y0=1.86 m m=800 gθ=4 5

y= y0+xtgθ−g2

∙( xv0 cosθ )

2

0=1.86+98.48 ∙ tg 45− g2

∙( 98.48v0cosθ )

2

95140.31 ∙( 1v0 )

2

=100.34

( 1v0 )

2

=0.00105

v0=√ 10.0103

=30.79[ms ]

Determine si dos balas de masa M, llegan al mismo tiempo al suelo, si una de ellas

es soltada desde el reposo a una altura H en el mismo instante en el que la otra es

disparada en dirección horizontal a la misma altura.

Datos:

y0=H m=M

Solo se necesita analizar al proyectil en su eje vertical ya que es independiente del

horizontal.

d=v0 ∙t−12

g ∙ t2

H=−12

g ∙ t2

t 2=−2 Hg

y= y0+v0 senθ ∙ t−g2

∙ t2

H=0+v0 sen0 ∙t− g2

∙ t2

H=−g2

∙ t 2

t 2=−2 Hg

En el clásico juego Angry Birds la distancia entre la resortera y el punto de

impacto es de 30m, además el objetivo se encuentra a una altura de 2m. Sabiendo

que la resortera tiene una altura de 1m y el ángulo de disparo es de 30º. Calcular la

velocidad con la que debe ser lanzado el pájaro.

Datos:

x=30 m y0=1m y=2m θ=30

y= y0+xtgθ−g2

∙( xv0 cosθ )

2

2=1+30 tg 30− g2

∙( 30v0cos 30 )

2

5886 ∙( 1v0 )

2

=16.32

( 1v0 )

2

=0.0027

v0=19[ ms ]

SALTO BUNGEE

Este deporte consiste en una plataforma de más de 50 mts de altura al vacío. Para no

golpear el piso los saltadores se atan a los tobillos una cuerda elástica, la cual se

asegura a la plataforma en el lado opuesto.

El articulo utiliza el método de modelación del sistema para analizar la dinámica del

juego bungee y crear un modelo matemático que permita realizar saltos simulados

variando los parámetros, analizar los resultados para aportar conocimiento sobre el

tema en el medio.

Para lograr el objetivo se recurre a los principios físicos que rigen el movimiento de los

cuerpos en caída libre y desacelerada.

Para ello se definen:

L1 Longitud de la cuerda elástica.

L2 Elongación máxima de la cuerda elástica.

L3 Margen de seguridad

L4 Distancia de la plataforma al piso.

En general el movimiento puede dividirse en dos partes: la primera es donde el saltador

no es afectado por la acción de la cuerda. Esta situación se presenta en el lanzamiento

inicial y en los rebotes que alcancen una altura en la que la cuerda elástica. Esta

situación se presenta para posiciones por debajo de L1.

Primera parte: desde el lanzamiento hasta que la cuerda comienza a tensionarse; el

deportista desciende en caída libre.

La fuerza de la gravedad (Fg) es la principal fuerza, pero existen otras fuerzas

involucradas:

1. La fuerza de fricción (F1) entre el cuerpo del saltador y el aire. Esta fuerza se

desprecia debido a que no es representativa sino a altas velocidades.

2. La fuerza de inercia (F).

Sea L1(t) la distancia vertical desde la plataforma donde se lanza el saltador hasta el

punto donde se encuentra la parte inferior de su cuerpo en cualquier momento.

F1=md2 L1

d t 2

Fg=mg

F f =[d L1]

2

[4 t ]2

d2 L1

dt2= aceleración del saltador en m/ s2

d2 L1

dt2 = velocidad del saltador en m/ s

m=masadel saltador

g=gravedad terrestre=9.8m

s2

Q=constantede friccion entre el aire y el saltador

t=tiempo ensegundos

La suma de todas las fuerzas da cero

∑ F=0=mg−md2 L1

d t 2

Despejando e integrando:

∫0

t

g−∫ d2 L1

dt 2 dt

¿+v0=

dL1

dt

v0 Es la velocidad inicial con que se lanza el saltador. En este caso el parte del reposo,

luego v0=0.

Esta ecuación también es válida para cuando en los rebotes el saltador venga desde

abajo y cruce la línea que divide a L1 y L2. De ahí hacia arriba esta será la ecuación que

describe la velocidad del movimiento. El valor de v0 es el del instante anterior.

Se integra de nuevo:

∬o

t

g=∬ d2 L1

d t2 dt

12

g t2+v0t +L0=L1

L0 es la distancia inicial. En este caso L0=0 porque se comenzó a medir

desplazamiento desde la plataforma hacia abajo, luego L1=12

g t2.

El tiempo que toma la cuerda para comenzar a tensionarse se obtiene L1=L1

despejando t

t 1=( 2L1 ) 1/2

( g ) 1/2

t 1 es el tiempo que tarda la cuerda en tensiones a partir del momento en que el saltador

se lanza desde la plataforma. La velocidad para este tiempo t 1 es:

d L1

dt=(2l1 g)1 /2

Segunda parte: según la Ley de Hooke que describe la acción del resorte establece que

la cuerda del bungee ejerce en este punto una fuerza proporcional a su distancia pasada

la longitud natural de la cuerda.

m L2' '=mg+b L2−β L2

'

La ecuación diferencial no es lineal, pero contiene dos ecuaciones lineales que intentan

salir.

El canon del rio Malad, localizado en el Parque Estatal Malad Gorge, en

Hargerman, Idaho, tiene un puente ubicado a una altura de 174ft y se lanza del

mismo con una cuerda de 100ft;

Resuelva la ecuación para L2(t) dado que baja el puente, es decir, ni salto ni

clavado. Bajarse significa que las condiciones iniciales L2(0)= -100, x’(0)=0.Use

mg =160,β=1 y g=32

5 L2' '+L2

'=160

L2' '+0.2 L2

'=32

L2=C1+C2 e−0.2 t+160 t

Aplicando condiciones iniciales:

L2=−900+800 e−0.2 t+160 t

Use la solución anterior para calcular el tiempo de caída libre (el tiempo que

tarda en alcanzar la longitud de la cuerda.

100=−900+800 e−0.2 t+160 t

Utilizando el Teorema de Newton:

t=4.0061 seg

Calcule la derivada de la solución primera. Encuentre la velocidad con la que

pasa por el punto donde la cuerda empieza a jalar

L2' =−160 e−0.2 t+16 0

L2' =−160 e−0.2 (4.0061)+16 0L2

' =88.19 [ fts ]