Edo Sisa Skripta

7/21/2019 Edo Sisa Skripta

1/111

Matematika

za

ekonomiste

I

parcijala


2/111

Funkcije u ekonomiji1.DatajefunkcijapotranjeQuovisnostiocijenippojediniciproi

zvoda .Pri tome su varijabilni trokovi po jediniciproizvodnje40aukupnifiksnitrokovi1650.

(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobitikaofunkcijupotranje

(b)Odreditiintervalerentabilneproizvodnje.

(c)Nainivoproizvodnjeuz koji seostvarujemaksimalnadobit.Ko

likajetadobit?

2. Zadane su funkcije prihoda 600 i ukupnihtrokova 2 1500 300000.Odrediti funkciju dobiti , te intervale rentabilne proizvodnje.Kolika je maksimalnamoguadobitiuzkojupotranju?

3.DatajefunkcijapotranjeQuovisnostiocijenippojediniciproi





likajetadobit?

4.Zadanesu funkcijepotranje 70 iprosjenihtrokova 50 .Odrediti funkciju dobiti .Kolika jemaksimalnamoguadobitiuzkojucijenu?


3/111

5.Datajefunkcijaprosjenihtrokova 3 , ifunkcija

ukupnogprihodakaofunkcijacijene

.

a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje.

b)Kolikajemaksimalnamoguadobit iuzkojupotranju seostva

ruje?

6.Datajefunkcijaprosjenihtrokova 2 , ifunkcija

potranjekaofunkcijacijene .



ruje?

7. Data je funkcija prosjenih trokova 3 20 , i

funkcijaukupnogprihodakaofunkcijacijene

a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje

b)Kolikajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranjuseostva

ruje?

8. Data je funkcija prosjenih trokova 7 2, ifunkcijapotranjekaofunkcijacijene .

a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odrediti

intervale

rentabilne

proizvodnje.


4/111

b) Kolika je maksimalna mogua dobit i uz koju potranju se

ostvaruje?

9. Data je funkcija ukupnih trokova kao funkcija cijene:

4 32 98.Naiteminimalnemoguetrokove iuzkojecijenese ostvaruju?Izraziti cijenu kao funkciju trokova.Za koje iznose

trokovaetafunkcijaimatiekonomskogsmisla?

10. Data je funkcija potranje i funkcija prosjenihtrokova: 3 2 .Izraziti funkciju dobiti kao funkciju

potranje.Nakojemsenivouproizvodnjeostvarujemaksimalnadobitikolikoonaiznosi?

11.Datajefunkcijaukupnihtrokova 280 14400,ifunkcijaukupnogprihodakaofunkcijacijene

.

a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odrediti

intervalerentabilne

proizvodnje.


ruje?

12.Zadanasupotranjadiponudas,objekaofunkcijecijenep.Izraziti

ponuduskaofunkcijupotranjedigrafikijeprikazatiakosu:

1 1 , 3 2Zakojepotranjedfunkcijaponudesimaekonomskogsmisla?

13.Datajefunkcijapotranje 10 ifunkcijaprosjenihtrokova: 26 .

(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobiti


5/111

(b)Odreditipotranjuzakojujedobitjednakanuliiinterval

rentabilneproizvodnje

(c)Kojajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranju?

14.DatajefunkcijapotranjeQuovisnostiocijenippojediniciproi





likajetadobit?

15. Data je funkcija prosjenih trokova 30 , ifunkcijaukupnogprihodakaofunkcijacijene

45

a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje

b)Kolikajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranjuseostva

ruje?

16.Dataje funkcija prosjenih trokova 8 , i funkcija

potranjekaofunkcijacijene 10.



ruje?


6/111

17.Zadanajecijenapprvokaofunkcijapotranjednaslijedeinain:

3 , azatimikaofunkcijaponudessa:

12 1 1

a)Izrazitifunkcijeponudeipotranjekaofunkcijecijeneiobjeih

predstavitigrafikiuistomkoordinatnomsistemu.

b)Odredititakutrineravnotee.

18.

Data

je

funkcija

potranje

30 i

funkcija

prosje

nih

trokova: 6 .

(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobiti(b)Odreditipotranjuzakojujedobitjednakanuliiinterval

rentabilneproizvodnje

(c)Kojajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranju?

19.Datajefunkcijapotranje 6 3ifunkcijaprosjenihtrokova: 8 .

(a)Odreditifunkcijudobitikaofunkcijucijene.

(b)Zakojeecijenetafunkcijaimatiekonomskogsmisla?

(c)Kojajemaksimalnamoguadobitiuzkojucijenuseostvaruje?

20.Zadanajecijenakaofunkcijapotranjed, ikaofunkcijaponudes, 1 1a)Izrazitifunkcijeponudeipotranjekaofunkcijecijeneiobjeih

predstavitigrafikiuistomkoordinatnomsistemu. b)Odredititaku

trineravnotee.taesedesitiakoserobaprodajepocijeni 3?


7/111

RJEENJA:

1.

40, 1650

? Raunamofunkcijuprihodauzavisnostiodkoliinepotranje:

Iz slijedi:

1802 2 180 180 2 180 2

Raunamofunkcijuukupnihtrokovauzavisnostiodkoliinepotranje:

40 1650

Raunamofunkcijudobitiuzavisnostiodkoliinepotranje: 180 2 40 1650 2 140 1650 2 , 140 , 1650

0 :


8/111

0 2 140 1650 0

|

15 55

0 1650Tjemeparabole:

35

35 2 35 140 35 1650 80035,800Grafik:

D(Q)

T(35,800)

15 55 Q

(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 15,55(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje35,iona

iznosi: 800


9/111

2. 600 2 1500 300000?

Iz 600slijedi:

600 |: 600 600 Iz 6 0 0 600

600 2 1500 300000

3

2100 300000

3 , 2100 , 300000 0 : 0 3 2100 300000 0 |: 3

700 100000 0

|

200

500

Tjemeparabole:

350

350 3 350 2100 350 300000 67500


10/111

350,67500

Grafik:

D(Q)

T(350,67500)

200 500 Q

(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 200,500(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje350,iona

iznosi: 67500


11/111

3. 17, 2400

? Raunamofunkcijuprihodauzavisnostiodkoliinepotranje:

Iz

slijedi:

1973 3 197 197 3 197 3

Raunamofunkcijuukupnihtrokovauzavisnostiodkoliinepotranje:

17 2400

Raunamofunkcijudobitiuzavisnostiodkoliinepotranje: 197 3 17 2400 3 180 2400 3 , 180 , 2400 0 : 0 3 180 2400 0 |: 3

60 800 0


12/111

|

20

40

Tjemeparabole:

30

30 3 30 180 30 2400 30030,300

Grafik:

D(Q)

T(30,300)

20 40 Q

(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 20,40

(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje30,iona

iznosi: 300


13/111

4. 70 50

? Raunamofunkcijuprihodauzavisnostiodcijene:

Iz

7 0 slijedi:

7 0 70

Raunamofunkcijuukupnihtrokovauzavisnostiodcijene:

50 50 1000

7 0 507 0 1000 140 4900 3500 50 1000 90 2400

Raunamofunkcijudobitiuzavisnostiodcijene:

70 90 2400 2 160 2400 2 , 160 , 2400

0 :


14/111

0 2 160 2400 0 |: 2 80 1200 0

|

20

60

Tjemeparabole:

40

40 2 40 160 40 2400 80040,800

Grafik:

D(p)

T(40,800)

20 60 p

(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 20,60(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivoucijene40,iona

iznosi: 800


15/111

5.

3

?

Iz

slijedi:

|:

20 3

Iz 2 0 3 20 3

3 3 30

20 3 3 30 2 23 30 2 , 23 , 30

0 :

0 2 23 30 0 | 1 2 23 30 0

|

3

20


16/111

Tjemeparabole:

5,75

5,75 2 5,75 23 5,75 30 36,1255,75;36,125

Grafik:

D(Q)

T(5,75;36,125)

3 20 Q

(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 3,20(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje5,75iona

iznosi 36,125


17/111

6.

2

?

Iz slijedi:

2 15 15 2Iz 1 5 2 15 2

2 2 30

15 2 2 30 17 30 1 , 17 , 30 0 :

0 17 30 0 | 1 17 30 0

|

2

15

Tjemeparabole:


18/111

8,5

8,5 8,5 17 8,5 30 42,25

8,5;42,25

Grafik:

D(Q)

T(

8,5;42,25)

2 15 Q


iznosi 42,25


19/111

7.

3 20

?

Iz

slijedi:

|:

14 4

Iz 1 4 4 14 4

3 20 3 20 264

14 4 3 20 264 34 264 1 , 34 , 264

0 :

0 34 264 0 | 1 34 264 0

|

7

22


20/111

Tjemeparabole:

17

17 17 34 17 264 2517,25

Grafik:

D(Q)

T(17,25)

7 22 Q

(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 7,22(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje17iona

iznosi 25


21/111

8.

7 2

?

Iz slijedi:

5 10 10 5Iz 1 0 5 10 5

7 2 2 7 14

10 5 2 7 14 3 17 14 3 , 17 , 14 0 :

0 3 17 14 0 | 1 3 17 14 0

|

1

4,7

Tjemeparabole:


22/111

2,8

2,8 3 2,8 17 2,8 14 10,1

2,8;10,1

Grafik:

D(Q)

T(

2,8;10,1)

1 4,7 Q

(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 1;4,7(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje2,8iona

iznosi 10,1


23/111

9. 4 32 98 4, 32, 98Takatjemenaparabolejeujednoiminimumdatefunkcije:

4

4 4 32 4 98 34Dakle,minimalnimoguitrokoviseostvarujunanivoucijene

4iiznose 34

Iz 4 32 98 4 8

8 8 16 16

4 4

4 34

34 4

Ovaefunkcijaimatiekonomskogsmislazaiznosetrokovakoji

zadovoljavajuuslov: 34 0 34,


24/111

10.

2 3

?

Iz slijedi:

2 7 2 7Iz 2 7 2 7

2 3 3 2 14

2 7 3 2 14 9 14 1 , 9 , 14 0 :

0 9 14 0 | 1 9 14 0

|

2

7

Tjemeparabole:


25/111

4,5

4,5 4,5 9 4,5 14 6,25

4,5;6,25

Grafik:

D(Q)

T(

4,5;6,25)

2 7 Q


iznosi 6,25


26/111

11.

280 14400

?

Iz slijedi:

|:

1200 3

Iz 12003 1200 3

1200 3 280 14400 4 1480 14400 4 , 1480 , 14400 0 : 0 4 1480 14400 0 |: 4

370 3600 0

|

10

360

Tjemeparabole:


27/111

185

185 4 185 1480 185 14400 122500

185,122500

Grafik:

D(Q)

T(185,122500)

10 360 Q

Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 10,360(b)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje185,iona

iznosi: 122500


28/111

12. , 3 2

Iz 1

1,uvrstimoizraenopufu

nkcijuponude: 3 1 2 3 2

1Grafikfunkcijeponudeuzavisnostiodpotranjepredstavljahipe

rboluijesuasimptote: 1 , 0,apresjeksadosomje:

0 1 0 3

s(d)

0 3 d

1

Funkcijaponudeimasmislauzuslov: 0 0,3


29/111

Input output model


30/111

Inputoutput model1.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije

Akose

planiraju

novi

ukupni

outputi

220300440,atehnoloki

uvjeti

se

ne

mjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.

2. Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije

Sastaviti novu tabelu ako se planiraju nove finalne potranje prvog

sektora20,drugogsektora9,atehnolokiuvjetisenemjenjaju.

50 30 80 340500 300 90 80 100 120 120 60

140

50

70 120 30

20


31/111

3.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije

Akoseplanirajunoviukupnioutputi300420550,atehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.

4. Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije

Sastavitinovu tabeluako seplanirajunove finalnepotranje:prvog


5. Zadana je matrica tehnikih koeficijenata jedne trosektorske

ekonomije:

00 0 0

.SastavitiodgovarajuuIOtabelu,akoje

vektorfinalnepotranje80220120.

24 70 80 66 24 105 160 61400 48 70 120

100180

4550 30

30


32/111


Ako se planira poveanje ukupnog outputa prvog sektora za 20%

,drugogsektoraza25%ismanjenjefinalnepotranjeprvogsektoraza

20%,atehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuIOtabelu.


ekonomije: 0,1 0,25 0,150,3 0,25 0,25

0 , 1 5 0 , 2 0 , 1

.SastavitiodgovarajuuIOtabeluakojeukupnioutputprvogsektora100,ukupnioutputdrugogsektora120,afinalnapotranjatreegsektora105jedinica.


Ako se planira poveanje ukupnog outputa drugog sektora za 40%

treeg sektora za30% i,a tehnolokiuvjeti senemjenjaju,sastaviti

novuIOtabelu.

150 30 40 50 30

200 50 80 50 20250 30 60 100 60

200 . 20 100 80

. 20 0 200 180400 100 200 . 100


33/111

9.Zadanajematricatehnologije:

1 0 , 1 0 , 20,3 0,8 0,40,2 0,3 0,9

Ukupnioutputprvogsektoraje100,finalnapotranjadrugogsektora

je50ifinalnapotranjatreegsektoraje100.SasatavitipripadnuIO

tabelu.


Akoseplanirapoveanjesvihukupnihoutputaza20%,a tehnoloki

seuvjetinemjenjaju,sastavitinovuIOtabelu.




100 0 40 50

200 20 40 30

300 50 40 60

180240

45 6090 40


34/111


Akose

planiraju

novi

ukupni

outputi


uvjeti

se

ne






30 40 10 20 20 40 0 140 40 50 125 35

210

240 35 80

70 40

210 6035 120 80 85


35/111




Akoseplanirajunoviukupnioutputi240440360,atehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.


Akoseplanirajunoviukupnioutputi609060,a tehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.

200 20 100 60400 40 160 160

320 100 180

20

200 50 20 20150 20 50 30 300 40 60 150


36/111


Akose

planiraju

novi

ukupni

outputi


uvjeti

se

ne



Akoseplanirajunoviukupnioutputi

300800800

,atehnolokiuvjetisene



100 10 0 80200 50 100 10400 150 200 30

60 80 20 40

40 80 0 280 80 100 250 70

360

120 90 120

45 20


37/111

Sastavitinovutabeluakoseplanirajunovefinalnepotranje:

180110

,a

tehnolokiseuvjetinemjenjaju.


Sastavitinovutabeluakoseplanirajunovefinalnepotranje:80120,atehnolokiseuvjetinemjenjaju.


Ako se planira smanjenje ukupnog outputa prvog sektora za 10% ipoveanje ukupnog outputa drugog sektora za 20%,a tehnoloki

uvjetisenemjenjaju,sastavitinovuIOtabelu.

160

180 80 60

40 30

280

160

210 80 30 10


38/111


ekonomije:

0

.SastavitiodgovarajuuIOtabelu,akoje

vektorfinalnepotranje 4 5 1 0 5 9


39/111

RJEENJA:

1.NajprijeispunimodatuIOtabelu:

50 30 80 340 500 500 300 90 80 30 100 120 120 60 400Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: 0,1 0,6 0,06 0,18 0,2 0,2

0,2 Matricatehnikihkoeficijenata: 0,24 0,1 0,06 0,20,6 0,18 0,20,2 0,24 0,3

0, 3

500 50 30 80 340500 300 90 80 30

400 100 120 120 60


40/111

Noviinputi:

0,1 220 22 0,06 300 18 0,2 440 88 0,6 220 132 0,18 300 54

0,2 440 88

0,2 220 44 0,24 300 72 0,3 440 132Novefinalnepotranje:

220 22 18 88 92

300 132 54 88 26 440 44 72 132 192NovaIOtabela:

220 22 18 88 92300 132 54 88 26

440 44 72 132 192


41/111

2.NajprijeispunimodatuIO tabelu:

140 50 30 60

70 120 20 210

Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: Matricatehnikihkoeficijenata: Formiramotehnolokumatricu:

1 00 1

Novioutputi:

Izmatrinejednaine priemusuivektormatriceukupnihoutputa,odnosnofinalnepotranjeimamo:

|

Raunamoinverznumatricu:

140210 50 6070 120 30 20


42/111

Determinantamatrice:

Minori: , , Kofaktori: 1 , , Matrica

kofaktora:

Adjungovanamatrica:

Inverznamatrica:

Matricaukupnihoutputaje:

209 20 9 20 9 84119

Noviinputi: 84 30 119 34 84 42 119 68


43/111

NovaIOtabela:

3.NajprijeispunimodatuIOtabelu:

24 70 80 66 240

24 105 160 61 350 400 48 70 120 162Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente:

0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,4

0,2 Matricatehnikihkoeficijenata:

84119 30 3442 68 20 9

240 24 70 80 66350 24 105 160 61

400 48 70 120 162


44/111

0,2 0,1 0 ,2 0 ,20,1 0 ,3 0 ,40,2 0 ,2 0 ,3

0, 3

Noviinputi: 0,1 300 30 0,2 420 84

0,2 550 110 0,1 300 30 0,3 420 126

0,4 550 220

0,2 300 60 0,2 420 84 0,3 550 165Novefinalnepotranje:

300 30 84 110 76

420 30 126 220 44 550 60 84 165 241


45/111

NovaIOtabela:

4.NajprijeispunimodatuIO tabela:

100 45 30 25 180 50 30 100Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente:

Matricatehnikihkoeficijenata:

Formiramotehnolokumatricu:

300 30 84 110 76420 30 126 220 44

550 60 84 165 241

100

180

25 45

50 30

30

100


46/111

1 00 1

Novioutputi:

Izmatrinejednaine priemusuivektormatriceukupnihoutputa,odnosnofinalnepotranjeimamo:|

Raunamoinverznumatricu:

Determinantamatrice: Minori: , , Kofaktori: 1

, , Matricakofaktora: Adjungovanamatrica: Inverznamatrica:

2



47/111

2

60120 2 60 120 60

120 160240

Noviinputi: 160 40 240 60 160 80 240 40NovaIOtabela:

5. Matricatehnikihkoeficijenata:

12 14 00 12 120 18 0

Formiramotehnolokumatricu: 1 0 00 1 00 0 1

00 0

0

00 0

1

Novioutputi:

160

240

40 60

80 40

60

120


48/111

Izmatrinejednaine priemusuivektormatriceukupnihoutputa,odnosnofinalnepotranjeimamo:

| Raunamoinverznumatricu: Determinantamatrice:

00 0 1

1

Minori:

1

; 0 0 1

0; 0 0

0 0 1 ; 00 1 ; 0 0 ;

00 ; 0

Kofaktori:

1

; 0 ; 0 ; ; ; ;


49/111

Matricakofaktora:

0 0

Adjungovanamatrica: 0 0

Inverznamatrica: 0 0 0 0


0 0 80220120

8 0

220

1200 80 220 1200 80 220 120

10514043,75

480640200

Noviinputi: 480 240 640 160

0 200 0

0 480 0


50/111

640 320

200 100

0 480 0 640 80 0 200 0NovaIOtabela:

6. IzdateIOtabeleraunamotehnikekoeficijente: 0,2 0, 3 0,2 0,4 0,2 0,2 0,2 Matricatehnikihkoeficijenata: 0,3 0 ,2 0 ,2 0 ,20, 3 0,4 0,2

0 ,2 0 ,3 0 ,4

0,4

480 240 160 0 80

640 0 320 100 220

200 0 80 0 120


51/111

PostavimosistemjednainaIOmodelatrosektorskeekonomije: Iztekstazadatkauzimamodatevrijednosti,teskupasaodree

nimtehnikimkoeficijentimauvrstimousistemjednaina

1,2 150 180

1,25 200 250 0,8 30 24180 0,2 180 0,2 250 0.2 24 250 0. 3 180 0,4 250 0,2

0,2 180 0,3 250 0,4

180 110 0.2 250 160 0,2 0,6 111 0.2 70 350

0,2 90 70 90 20

0,6 111 210 111 99Ostalojejodaizraunamonoveinpute:

Noviinputi:

0,2 180 36

0,2 250 50


52/111

0,2 350 70

0. 3 180 60

0,4 250 100 0,2 350 70 0,2 180 36 0,3 250 75

0,4 350 140

NovaIOtabela:

7. Matricatehnikihkoeficijenata:

0,1 0,25 0,150,3 0,25 0,250 , 1 5 0 , 2 0 , 1

PostavimosistemjednainaIOmodelatrosektorskeekonomije: Iztekstazadatkauzimamodatevrijednosti,teskupasaodree

nimtehnikimkoeficijentimauvrstimousistemjednaina:

180 36 50 70 24

250 60 100 70 20

350 36 75 140 99


53/111

100 120 105100 0,1 100 0,25 120 0.15 120 0.3 100 0,25 120 0,25 0,15 100 0,2 120 0,1 105

100 40 0.15

120 60 0,25 0,9 144 1600.15 60 24 60 36 0,25 60 40 60 20Ostalojejodaizraunamo inpute: 0,1 100 10 0,25 120 30

0,15 160 24

0,3 100 30 0,25 120 30 0,25 160 40 0,15 100 15

0,2 120 24

0,1 160 16


54/111

NovaIOtabela:

8. NajprijeispunimodatuIOtabelu:

200 20 100 80 0

20 0 200 180 400

400 100 200 100 0Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: 0 0,1

0,05

0

100 10 30 24 36120 30 30 40 20

160 15 24 16 105

200 0 20 100 80

400 20 0 200 180

400 100 200 0 100


55/111

0,25 0,5

0,5 Matricatehnikihkoeficijenata: 0,5 0 0 , 0 5 0 , 2 50,1 0 0,50,5 0,5 0

0Novioutputi: 400 40100 400 240, 400 30100 400 280

Noviinputi:

0 200 0 0,05 240 12 0,25 280 70 0,1 200 20 0 240 0 0,5 280 140

0,5 200 100 0,5 240 120 0 280 0Novefinalnepotranje:

200 0 12 70 118


56/111

240 20 0 140 80 280 100 120 0 60NovaIOtabela:

9. Matricatehnikihkoeficijenata: :

1 0 00 1 00 0 1

1 0 , 1 0 , 20,3 0,8 0,40,2 0,3 0,9

0 0 , 1 0 , 20,3 0 ,2 0 ,40.2 0 ,3 0 ,1

PostavimosistemjednainaIOmodelatrosektorskeekonomije:

Iztekstazadatkauzimamodatevrijednosti,teskupasaodree

nimtehnikimkoeficijentimauvrstimousistemjednaina: 100 50 100

100 0 100 0,1 0.2

200 0 12 70 118

240 20 0 140 80

280 100 120 0 60


57/111

0.3 100 0,2 0,4 50 0,2 100 0,3 0,1 100100 0,1 0.2 0,8 80 0,4|: 0,4 2 200 0,9 120 0,3|: 0,3 3 400 IzposlednjedvijejednainemoemoizraunatiiIz

2 200 imamo

2 200pauvrtavanjemu

3 400 slijedi:6 600 400 5 1000 200Iz 2 200slijedi: 2 200 200 200Nakrajukoristimoprvujednainusistema:

100 0,1 0.2 izkojeje:

100 0,1 0.2 100 0,1 200 0.2 200 40Ostalojejodaizraunamo inpute:

0 100 0

0,1 200 20 0,2 200 40 0,3 100 30 0,2 200 40

0,4 200 80

0,2 100 20


58/111

0,3 200 60 0,1 200 20NovaIOtabela:

10. NajprijeispunimodatuIOtabelu:

100 0 40 50 10

200 20 40 30 110

300 50 40 60 150Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: 0 0,2

0,2

0,2

100 0 20 40 40

200 30 40 80 50

200

20

60

20

100

100 0 40 50 10

200 20 40 30 110

300 50 40 60 150


59/111

0,16 0,1

0,5

Matricatehnikihkoeficijenata:

0,2 0 0 , 2 0 , 1 60 , 2 0 , 2 0 , 10 , 5 0 , 2 0 , 2 0,2Novioutputi:

100 20100 100 120, 200 20100 200 240 300 300 360Noviinputi:

0 120 0 0,2 240 48 0,16 360 60 0,2 120 24

0,2 240 48

0,1 360 36 0,5 120 60 0,2 240 48 0,2 360 72Novefinalnepotranje:

120 0 48 60 12


60/111

240 24 48 36 132 360 60 48 72 180

120 0 48 60 12

240 24 48 36 132

360 60 48 72 180


61/111

1

Matrini raun1. Rijeiti matrinujednainu:

2 gdjeje:

5 52 4

ajejedininamatrica.2. Date su matrice 2 1 1 3 0 1 4 2 3 i

1 0 2 2 1 45 3 6 .Nai 2 3. Rijeiti matrinujednainu: 2 gdjeje: 2 51 1ajejedininamatrica.4.Datesumatrice 3 1 0 2 2 1 4 1 3 i

1 5 22 1 41 3 0Nai

3

5.Rijeitimatrinujednainu2 2,akoje: 0 1 1 1 2 0 1 2 1, 1 3 1 2 1 0 0 1 1

6.Rijeitimatrinujednainu 3 ,akoje: 1 0 2 1 1 3 0 2 1, 1 3 1 2 1 0 0 1 1

7.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje: 6 0 1 2 5 0

0 6 3

, 1 2 3 0 1 0 1 0 2

8.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje:


62/111

2

4 1 0 3 3 50 1 0

, 1 2 3 0 1 0 1 0 2

9.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje: 0 1 2 2 3 4 1 0 110.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje:

4 1 2 2 1 4 1 0 3

11.Datesumatrice 4 1 21 0 12 2 1 i 1 3 1 2 1 10 2 1

Nai 12..Datesumatrice 2 1 22 2 11 2 3 i 2 0 31 1 12 1 0Nai 13.Nekasudatematrice: 1 2 1 2 1 3

41 30 11 1 3 1

2 0 1

Izraunati 14..Datesumatrice 1 2 14 3 11 0 1 i

1 3 1 2 1 32 0 1Nai


63/111

3

15.Datesumatrice 2 24 3 i 1 2 13 2 1Nai

16.Rijeitimatrinujednainu: akoje: 1 2 3 4 1 3 0 117.Datesumatrice 1 12 1

3 2 i 3 21 2.Nai

18.Nekasudatematrice: 2 2 3 1 4 1 2 1 21 32 2 0 22 1 1Izraunati i 19.Datesumatrice

2 2 2 0 2 4 3 1 2

i

2 1 1 3 0 43 2 1

Nai 20.Datesumatrice 1 2 33 2 42 1 0 i

1 0 22 1 00 1 3Nai


64/111

4

RJEENJA:

1. 2 2 2 Nekaje 5 52 4 1 00 1 4 52 3Nekaje 2 2 5 52 4 1 00 1 1 0 1 04 8 1 00 1

1 1 1 04 9 Jednainupiemouobliku: Salijevestranejednainumnoimosa

,paje:

Raunamoinverznumatricu: DeterminantamatriceM: 4 52 3 12 10 2

Minori:

3 , 2 5 , 4Kofaktori: 1 3 , 2 5 , 4Matricakofaktora: 3 25 4Adjungovanamatrica:

3 52 4

Inverznamatrica: 3 52 4Nepoznatamatrica:

3 52 4

1 1 1 04 9

33 20 3 0 4 522 16 20 36

1 3 1 5 6 1 6 3 8


65/111

5

2. 2

2 1 1 3 0 1 4 2 3 1 2 50 1 32 4 6 2 2 1 1 3 0 1 4 2 3

2 1 1 3 0 1 4 2 3 1 2 50 1 32 4 6 2 2 1 1 3 0 1 4 2 3 2 1 1 3 0 1 4 2 3

2 0 2 4 1 4 10 3 63 0 2 6 0 4 15 0 64 0 6 8 2 12 20 6 18 2 4 3 4 2 0 2 2 1 36 0 4 3 0 2 3 0 38 6 12 4 0 6 4 2 9

0 1 1 9 5 2 9 1 0 2 4 2 1 1 0 2 2 5 61 0 1 0 1 5

0 1 1 9 5 2 9 1 0 2 4 2 2 0 4 4 1 0 1 22 0 2 0 3 0

22 1 15

1 1 2 2 1 3 0 1 8 2 6


66/111

6

3. 2 2 2Nekaje

2 51 1

1 00 1

3 51 2

Nekaje 2 2 51 1 2 1 00 1 2 51 1 2 00 2 4 51 3Jednainupiemouobliku: Salijevestranejednainumnoimosa

,paje:

Raunamoinverznumatricu: DeterminantamatriceM: 3 51 2 6 5 1

Minori:

2 , 1 5 , 3Kofaktori: 1 2 , 1 5 , 3Matricakofaktora: 2 15 3Adjungovanamatrica:

2 51 3

Inverznamatrica: 2 51 3 Nepoznatamatrica:

2 51 3

4 51 3

8 5 10 154 3 5 9

3 51 4


67/111

7

4. 3

1 2 1 5 1 32 4 0 3 1 0 2 2 1 4 1 3 3 1 5 2 2 1 41 3 0

1 2 1 5 1 32 4 0 3 1 0 2 2 1 4 1 3 3 1 5 2 2 1 41 3 0

1 5 2 2 1 41 3 0

3 4 4 1 4 1 0 2 315 2 12 5 2 3 0 1 96 8 0 2 8 0 2 12 03 1 10 2 5 5 6 2 20 02 2 4 10 1 12 4 4 01 6 0 5 3 0 2 12 0

3 2 1 2 9 0 1 0 2 1 0 1 4 3 1 3 4 1 8 0 23 0 5 2 1 4

3 2 1 2 9 0 1 0 2 1 0 1 4 3 9 1 2 5 4 0 6 9 0 1 5 6 4 2

4 2 1 4 5 3 2 9 6 9 1 0 1 7 4 5 6


68/111

8

5. Nekaje 2

2 0 1 1 1 2 0 1 2 1

1 0 00 1 00 0 1

0 2 2 2 4 0 2 4 2

1 0 00 1 00 0 1

1 2 2 2 3 0 2 4 1Nekaje 2

1 3 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 00 1 00 0 1 1 3 1 2 1 0 0 1 1 2 0 00 2 00 0 2

3 3 1 2 1 0 0 1 3 Sadaje:2 2 Pomnoimojednainusalijevestrane matricom:

Raunamo: 1 2 2 2 3 0

2 4 1 1 22 3

2 4 3 16 12 4 5

Minori:

3 04 1 3; 2 0 2 1 2; 2 3 2 4 2 2 24 1 10; 1 2 2 1 5; 1 2 2 4 0

2 23 0 6; 1 22 0 4; 1 22 3 1


69/111

9

Kofaktori: 1

3;

2;

2

10; 5; 0 6; 4; 1Matricakofaktora: 3 2 2 1 0 5 06 4 1Adjungovanamatrica:

3 1 0 62 5 42 0 1Inverznamatrica:

15

3 1 0 62 5 42 0 1

Iz slijedi: 3 1 0 62 5 42 0 1

3 3 1 2 1 0 0 1 3

9 20 0 9 10 6 3 0 186 10 0 6 5 4 2 0 126 0 0 6 0 1 2 0 3 1 1 7 1 5 4 3 1 0

6 7 5

3 2

1


70/111

10

6. Nekaje 3

1 0 00 1 00 0 1 3

1 0 2 1 1 3 0 2 1

1 0 00 1 00 0 1

3 0 6 3 3 9 0 6 3

4 0 6 3 4 9 0 6 2Sadaje: 3

Pomnoimojednainusadesnestrane matricom

:

Raunamo:

4 0 6 3 4 9 0 6 2

4 03 4 0 6 32 108 216 356

Minori:

4 9 6 2 62; 3 9 0 2 6; 3 4

0 6 18

0 6 6 2 36; 4 60 2 8; 4 00 6 24 0 64 9 24; 4 6 3 9 54; 4 03 4 16


71/111

11

Kofaktori: 1

62;

6;

18

36; 8; 24 24; 54; 16Matricakofaktora: 6 2 6 1 8 3 6 8 2 4 2 4 5 4 1 6Adjungovanamatrica:

6 2 3 6 2 4 6 8 5 4 1 8 2 4 1 6Inverznamatrica:

1356

6 2 3 6 2 4 6 8 5 4 1 8 2 4 1 6

Iz slijedi: 1 3 1 2 1 0 0 1 1

6 2 3 6 2 4 6 8 5 4 1 8 2 4 1 6

62 18 18 36 24 24 24 162 16124 6 0 72 8 0 48 54 00 6 18 0 8 24 0 54 16

6 2 3 6 2 0 2 1 1 8 8 0 6 1 2 1 6 7 0


72/111

12

7. Nekaje 2

6 0 1 2 5 0 0 6 3 2

1 0 00 1 00 0 1

6 0 12 5 00 6 3

2 0 00 2 00 0 2

4 0 12 3 00 6 1Nekaje

1 2 3 0 1 0 1 0 2

1 0 00 1 00 0 1

2 2 3 0 2 0 1 0 3

2 2 3 0 2 0 1 0 3 Sadaje: 2 Pomnoimojednainusalijevestrane matricom:

Raunamo: 4 0 12 3 0

0 6 1 4 02 3

0 6 12 12 24

Minori: 3 06 1 3; 2 00 1 2; 2 30 6 12 0 16 1 6; 4 10 1 4; 4 00 6 24

0 13 0 3;

4 12 0 2;

4 02 3 12

Kofaktori: 1


73/111

13

3; 2; 12 6; 4; 24 3; 2; 12Matricakofaktora: 3 2 1 26 4 2 43 2 1 2 Adjungovanamatrica:

3 6 32 4 2 1 2 2 4 1 2

Inverznamatrica: 3 6 32 4 2 1 2 2 4 1 2Iz slijedi:

3 6 32 4 2 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 1 0 0 1 3 9 12 0 9 6 3 3 0 96 8 0 6 4 2 2 0 636 48 0 36 24 12 12 0 36

2 1 1 8 1 22 4 81 2 0 2 4 0 1


74/111

14

8. Nekaje 2

4 1 0 3 3 50 1 0 2

1 0 00 1 00 0 1

4 1 0 3 3 50 1 0

2 0 00 2 00 0 2

2 1 0 3 1 5 0 1 2Nekaje

1 2 3 0 1 0 1 0 2 1 0 00 1 00 0 1 0 2 30 0 01 0 1

Sadaje: 2 Pomnoimojednainusadesnestrane matricom: Raunamo

:

2 1 0 3 1 5 0 1 2

2 1 3 1 0 1 4 10 6 8Minori:

1 5 1 2 7; 3 50 2 6; 3 10 1 3 1 01 2 2; 2 0 0 2 4; 2 1 0 1 2 1 0

1 5 5; 2 0

0 2 4; 2 1

3 1 5

Kofaktori: 1


75/111

15

7; 6; 3 2; 4; 2 5; 4; 5Matricakofaktora: 7 6 3 2 4 25 4 5Adjungovanamatrica:

7 2 5 6 4 4 3 2 5

Inverznamatrica: 7 2 5 6 4 4 3 2 5Iz slijedi: 0 2 30 0 01 0 1 7 2 5 6 4 4 3 2 5 0 12 9 0 8 6 0 8 150 0 07 0 3 2 0 2 5 0 5

2 1 1 4 2 30 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0


76/111

16

9. Nekaje 2

0 1 2 2 3 4 1 0 1 2

1 0 00 1 00 0 1

0 1 2 2 3 4 1 0 1

2 0 00 2 00 0 2

2 1 2 2 1 4 1 0 1Nekaje

0 1 2 2 3 4 1 0 1

1 0 00 1 00 0 1

1 1 2 2 4 4 1 0 2

1 1 2 2 4 4 1 0 2 Sadaje: 2 Pomnoimojednainusalijevestrane matricom:

Raunamo: 2 1 2 2 1 4

1 0 1 2 1 2 1

1 0 2 4 2 2 6

Minori: 1 40 1 1; 2 41 1 6; 2 11 0 1 1 20 1 1; 2 2 1 1 0; 2 11 0 1

1 21 4 2;

2 2 2 4 12;

2 1 2 1 4

Kofaktori: 1


77/111

17

1; 6; 1 1; 0; 1 2; 12; 4Matricakofaktora: 1 6 1 1 0 1 2 1 2 4Adjungovanamatrica:

1 1 2 6 0 1 2 1 1 4

Inverznamatrica: 1 1 2 6 0 1 2 1 1 4Iz slijedi:

1 1 2 6 0 1 2 1 1 4 1 1 2 2 4 4 1 0 2 1 2 2 1 4 0 2 4 46 0 12 6 0 0 12 0 241 2 4 1 4 0 2 4 8

1 5 2 6 6 1 2 7 5 1 4 1 1 2


78/111

18

10. Nekaje

2 4 1 2 2 1 4 1 0 3 2

1 0 00 1 00 0 1 4 1 2 2 1 4 1 0 3 2 0 00 2 00 0 2 2 1 2 2 1 4 1 0 1

Sadaje: 2

Pomnoimojednainusadesnestrane matricom

:

Raunamo:

2 1 2 2 1 4 1 0 1

2 1 2 1 1 0 2 4 2 2 6

Minori:

1 40 1 1; 2 41 1 6; 2 11 0 1 1 20 1 1; 2 2 1 1 0; 2 11 0 1 1 21 4 2; 2 2 2 4 12; 2 1 2 1 4Kofaktori: 1 1; 6; 1 1; 0; 1 2; 12; 4


79/111


80/111

Procentni raun1.Radnici sudnevnoproizvodili12600komadaproizvodaA,azatim

su povealiproizvodnjuiondajeiznosila14994komadadnevno.Za

kolikojepoveanauprocentimadnevnaproizvodnja?Zatimjepro

izvodnjapalaza13,5%.Kolikosadaiznosiproizvodnja?Dalijeukupna

proizvodnjapoveana ili smanjenauodnosunapoetnu i zakoliko

posto?

2.Cijenanekerobejeprvosmanjenazajednuestinu,azatimpove

anaza14procenata i iznosila171KM.Kolikajecijena robebilana

poetku?

3.Trgovcisucijenuautomobilakojajeiznosila35000prvosmanjiliza

6%,azatimpovealiza7%.Odreditinovucijenuautomobila.Da lije

novacijenamanjailiveaodpoetne?

4.Fabrikajecijenuautomobilapovealasa21000KMna23000KMa

zatim je dodala PDV od 17%.Koliki je ukupni procenat poveanja

prvobitnecijeneautomobila?

5.Poslijedvaposkupljenjapostopama12,6% i18,3% ijednogpoje

ftinjenja od 22,5% cijena neke robe je 4526KM.Kolika je poetna

cijenarobe?Dalijekrajnjacijenaveailimanjaodpoetne?Kolikaje

tarazlikauprocentima?

6.Sumunovcaod2600KMtrebapodijelitinatriradnikatakodasvaki

dobijeza20%vieodpredhodnog.Kolikoedobitisvakiodradnika?

7.Nakon pojeftinjenja od 20%,a zatim poskupljenja od 15% cijena

artiklaiznosi115KM.Kolikajeprvobitnacijenaartikla?Kolikajerazlika

uprocentimauodnosunapoetnucijenu?


81/111

8. Cijena hljeba uveanaje za 150%.Za koliko procenata treba da

pojeftinidabikotaoistokaoi prijeposkupljenja?

9.Cijenaneke robejeprvopoveana za3,4%,a zatim smanjena za

treinu.Dalijedolodopoveanjailismanjenjaprvobitnecijeneiza

kolikoprocenata?

10.Cijenanekerobejeprvosmanjenaza43,3%,azatimpoveanaza

etvrtinu.Da lijedolodopoveanja ilismanjenjaprvobitnecijene i

zakolikoprocenata?

11.Nakon

smanjenja

od

20%,cijena

nekog

desktop

ra

unara

iznosi

1250KM.Kolikajebilaprvobitnacijenaraunara(tj,prijesnienja)

12.MaloprodajnacijenaDVDplejeraiznosi210KM.Akoseznadaje

procenatPDVa17%,kolikajecijenaplejerabezPDVa?

13.Nakonpoveanjaproduktivnostiza30%,ufabriciobuese

dnevnoproizvede2145paripatika.Kolikojeiznosiladnevna

proizvodnjapatikaufabriciprijepoveanjaproduktivnosti?

14.Cijenarobejeprijemjesecdanabila351KM.Zatimjecijenaprvo

poveanazapetinu,aondasmanjenaza20%.Kolikajenovacijenate

robe?

15.KupilistenoviaparatzasatelitskunavigacijuuSlovenijiza324

euraiuzelisteformularzapovratPDVanagranici.Akoznatedajeu

SlovenijistopaPDVa20%,kolikoevamnovcavratiticariniknaizlazu

izEuropskeunije?

16.Cijenaraunarajeprvopoveanaza10%,azatimsmanjenaza

15%isadaiznosi1122KM.Kolikajebilaprvobitnacijenaraunara?

17.Cijenaautomobilaunekojfirmijeprijeestmjeseciiznosila

22000KM.Akosecijenaprijetrimjesecasmanjilaza6%,azatimprije

mjesecdanapovealaza8%,kolikojenovacijenaautomobila?


82/111

18.Poslijepoveanjacijenenekerobeujanuaruod10%,tesnienjau

februaruod22%,cijenateisterobeumartuiznosi394,68KM.Kolikaje

bilacijenarobeujanuaru?

19.Nekarobaposkupiza5%.Zakolikopostotakatrebadapojeftinida

bisevratilanaistucijenu?

20.Cijenanekerobejeprvopoveanaza30%,azatimsmanjenaza

etvrtinu.Dalijedolodopoveanjailismanjenjaprvobitnecijenei

zakolikoprocenata?


83/111

RJEENJA:

1.Procenatpoveanjadnevneproizvodnjeiznosi:

14994 12600 12600|1001499400 1260000 12600|:2007497 6300 63 63 7497 6300 63 1197

19

Poetnadnevnaproizvodnjajepoveanaza19%.

Iznosproizvodnjenakonpadaza13,5%:

14994 , 14994 14994 0,135 14994 12969,81

Ukupnaproizvodnjajeidaljeveaodpoetnednevneproizvodnje,

arazlikauprocentimaje:

12969,81 12600 12600|100

1296981 1260000 12600|:10012969,81 12600 12612969,8112600 126 126 369,81|: 126

2,935%2. Nekajepoetnacijenarobex.Tadavrijedinaosnovuuslovazada

ka:

171

171

171

171

57 10260 180.Poetnacijenaiznosi180KM


84/111

3. Nekajenovacijenaautomobilax.Tadavrijedinaosnovuuslovaza

datka: 35000 35000 35000

35000

329002303 35203Daklenovacijenaautomobilaiznosi35203KM.Novacijenajevea

odpoetne

4. Prvobitnacijenaautomobilaje21000KM,novacijenaje23000KM.

AkonanovucijenudodamovrijednostPDVaod17%imamo:

23000 23000 230003910 26910KM.

Dakleukupniprocenatpoveanjacijeneautomobilaje:

26910 21000 21000 26910 1 21000

1

| 100 100

128,14 100

28,14%5. 12,6%

18,3% 22,5%

?

4526

4526 1,126 0,183 1,126 0,2251,126 0,183

1,126


85/111

4526 1,332058 0,2251,332058

4526 1,03234495 , 4384,2

Daklepoetnacijenajemanjaodkrajnje,arazlikauprocentimaje

4526 4384,2 4384,2 4384,2 141,8

,, 3,23%

6. Nekajesumanovcakojutrebadadobijeprviradnikx,tadajepre

mauslovimazadatka:

2600

2600 1,2 1,2 0,2 1,22600 1,2 1,2 0,24 3,64 2600

714,3

Dakleprviradnikedobitiiznosod714,3KM

Drugiradnikiznosod1,2 714,3 857,1Treiradnikiznosod1,2 857,16 1028,6

7. 20%

15% ?

115

115 0,8 0,15 0,8

115 0,8 0,12 0,92 115 125


86/111

Daklepoetnacijenajeveaodkrajnje,arazlikauprocentimaje

125 115 115 115 10 | 100

115 1000 8,69%8. Nekajecijenahljebaprijeposkupljenjax.Izuslovazadatkaimamo:

|:

1 2,5 2,5 | 100 100 250 2,5 2,5 150

60%Dakletrenutnacijenahljebatrebadasesmanjiza60%kakobibila

jednakaonojprijeposkupljenja.

9. Nekaje x prvobitna vrijednost robe. Iz uslova zadatka imamo:

,

, 1,341 0,3 1,341 0,894

Daklekrajnjacijena(0,894x)jemanjaodpoene,pri emujerazlikau

procentima:

1 0,894 0.106 100 10,6%

10. Nekajexprvobitnavrijednost robe. Izuslovazadatka imamo:

,

, 0,567 0,25 0,567 0,709

Daklekrajnjacijena(0,709x)jemanjaodpoene,priemujerazlika

uprocentima:

1 0,709 0.291 100 29,1%


87/111

Sistemi linearnih algebarskih jednaina1. Ispitatisaglasnostsistema: 2 2 3 2 4 2iusluajusaglasnostirijeitigaCramerovimmetodom.

2. Ispitatisaglasnostsistema:

1 2 3 2 4 2iusluajusaglasnostirijeitigaCramerovimmetodom

3.Datjesistem:

2 3 4 3 3 2 2 3 1(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema

(b)Akojesistemsaglasan,rijeitigaproizvoljnommetodom

4.Datjesistem:4 3 2 3 2 4 2 2

(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema


5.Datjesistem: 2 2 3 3 2 3 4 1(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema



88/111

6.Datjesistem:

5 4 2 2 3 2 4 3 7 0(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema


7.Rijeitisistem:

2 3 4 2 3 8 7 2 0 5 3 2

8.Rijeitisistem: 3 5 7 2 3 3 4 2 4 4 3 1

9.RijeitisistemGausovommetodom:

2 2 2 2 1 3 0

10.RijeitisistemKramerovommetodom:

3 2 2 5 0 2 2 4


7 2 3 1 4 3

12.RijeitisistemKramerovommetodom: 2 2 2 1 3 2 1


1 2 3 2 3 2 2 1


89/111

14.Rijeitisistem:

2 1 2 2 3 2 2 32 2 3 0


2 3 2 2 2 22 2 2 5


2 2 2 3 1 2 3 4 2


2 2 2 5 5 318.Datjesistemlinearnihalgebarskihjednaina:

7 5 3 9 6 4 6 2 3 2 3 4 1

(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema.

(b)Akojesaglasanrijeitiga


90/111

RJEENJA:

1.Saglasnostsistema: 1 1 12 1 3 1 1 4 2 22 2 ~ 1 1 10 3 10 2 3 22 0 2 3~

1 1 10 3 10 0 7 224

3 3

Rijeenjesistema:

2 3 2 7 4

1 1 10 3 10 0 7 1 3 7 21

2 1 1 2 3 1 4 0 7 2 1 2 34 0 42 4 12 14 12

1 2 10 2 10 4 7 1 2 1 4 7 14 4 18

1 1 20 3 20 0 4 1 3 4 12

Krameroveformule:

: , , , ,


91/111

2.Saglasnostsistema: 1 1 12 1 3 1 1 4 1 22 2 ~ 1 1 10 1 10 2 3 1 01 2 ~

1 1 10 1 10 0 1 1 01

3 3

Rijeenjesistema:

1 0 1

1 1 10 1 10 0 1 1 1 1 1

1 1 10 1 1 1 0 1 1 10 11 0 1 1 1 1

1 1 10 0 10 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 10 1 00 0 1 1 1 1 1

Krameroveformule:

1 1

1 : ,,1,1,1


92/111

3. Saglasnostsistema:

2 3 43 2 11 1 3

3 21

3 22~

2 3 40 5 1 00 5 10

35 5

~

2 3 40 5 1 00 0 0 35 0

2 2 Rijeenjesistema:

2 3 4 3 5 10 5 |: 5 , 2 3 4 3 2 1 2 3 3 4 2 1

2 30 1 2 0 2

3 4 32 1 13 4 32 1 22 3 4 0 2 1 22 1 0 22 1Krameroveformule:

2 1

: ,,, 2 1,


93/111


4 3 13 1 21 2 1

2 42

3 44~

4 3 10 5 50 5 5

21010

1 ~

4 3 10 5 50 0 0 2100


4 3 2 5 5 10 |: 5 , 4 3 2 2 2 3 2 2

Iz

2 imamodirektnorjeenjesistemapopromje

njivojIz2 3 2 slijedi:2 32 2 2 6 3 2 2 8 4 |: 2 4 2

: ,,4 2, 2 ,


94/111


2 1 23 2 31 1 1

3 4 1

3 22~

2 1 20 1 00 1 0

31 1

~

2 1 20 1 00 0 0 31 0


2 2 3 1 |: 1 , 2 2 3 1 2 3 2 1

2 10 1 2 0 2

3 2 11 1 3 2 1 4 2 2 3 20 1 2 0 2Krameroveformule:

2 1

: ,,2 , 1 ,


95/111


5 1 41 2 34 3 7

220

54 5~

5 1 40 1 1 1 90 11 19

28 8

~

5 1 40 1 1 1 90 0 0 28 0


5 4 2 11 19 8 , 5 4 2 11 19 8 5 2 4 11 19 8

Iz11 19 8

Iz

5 2 4 5 2 4|11

55 19 8 22 44 55 25 30

: , , , ,


96/111


2 3 4 1 3 8 7 21 5 3 1

202

3 22~

2 3 4 1 0 7 2 1 0 7 2 1 26 6

~ 2 3 4 1 0 7 2 1 0 0 0 0

26 0 2 2

Rijeenjesistema:2 3 4 2 7 2 6 , ; , 2 3 4 2 7 2 6

2 3 2 4 7 2 6

Iz7 2 6 Iz2 3 2 4 2 3 2 4

2

2 4 | 7

14 6 3 18 14 28 714 32 22 4 ,, , , , ,


97/111


3 5 7 21 1 3 12 4 4 3

341

32 3~

3 5 7 20 2 2 50 2 2 5 399

1 ~ 3 5 7 20 2 2 50 0 0 0

390

2

2

Rijeenjesistema:3 5 7 2 3 2 2 5 9 , ; , 3 5 7 2 3

2 2 5 9 3 5 3 7 22 2 5 9

Iz2 2 5 9 Iz3 5 3 7 2 3 5 3 7 5

3 3 7 5| 26 10 25 45 6 14 106 51 24 15 ,, , , , ,


98/111

Aritmetiki i geometrijski nizovi1.Unekompreduzeuurazdobljuod1991do1997godineproizve

denoje56028automobila.Kolikojeautomobilaproizvedenou1993i

1996 godini,ako se u tom razdoblju proizvodnja automobila

konstantnopoveavalaza899automobilagodinje?

2.Urazdobljuodjanuaradoavgustaovegodinefabrikajeproizvela

6965paricipela.Kolikajeproizvodnjabilau februaru,akolikaujulu

akosesvaki mjesecsmanjivalaza4procentauodnosunaprethodni

mjesec.

3. Izraunati nepoznate elemente plana uvoza za petogodinje

razdoblje,akosepredviada euvozrastisvakegodinezakonstantni

iznos,premaslijedeojtabeli:

Godina Uvoz 1.

2.

3.

4.

5.

5

Ukupno 35

4. Neka osobaje u banku uloila sumu novca na koju se na kraju

svakog obraunskog perioda dodaje kamata od 6% po principu

kamatanakamatu.Akonakonsedmogobraunskogperiodataosoba

imanaraunu2556,17KM,kolikojenovcanapoetkuuloila?


99/111

5.Izraunatinepoznateelementeplanaproizvodnjenekogpreduzea

zapetogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:

Predvidja se da e proizvodnja rasti svake godine za20%proizvodnjeizpetegodine.



Predvidjasedaeproizvodnjarastisvakegodinezakonstantaniznos.

Godina Proizvodnja

1.

2.

3.

4.

5.

Ukupno 75

Godina Proizvodnja

1.

2.

3.

4.

5.

15

25

Ukupno 75


100/111



Predvidjaseda eproizvodnjarastisvakegodineza20%proizvodnjeizpetegodine.



Predvidjasedaeproizvodnjarastisvakegodinezakonstantaniznos.

9.Proizvodnjaseunekompreduzeuzarazdobljeod2007.Do2011.

godine poveavala svake godine u odnosu na prethodnu za

konstantnustopupromjene.Odrediti tustopupromjene,proizvodnju

u 2009.godini i ukupnu proizvodnju na kraju 2011.godine,ako je

proizvodnjau2008.godinibila25000,au2010.godinibila45000.

Godina Proizvodnja

1.

2.

3.

4.

5.

Ukupno 45

Godina Proizvodnja 1.

2.

3.

4.

5.

6

15

Ukupno


101/111

10. Izraunati nepoznate elemente plana proizvodnje nekog

preduzeazaetverogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:

Akoseproizvodnjasmanjisvakegodine8%uodnosunaprethodnu.

11. Unekom preduzeu u razdoblju od 2001 do 2005.godine

proizvedeno je 1221020 proizvoda A.Kolika je proizvodnja bila u

2003,a kolika u 2005.godini,ako se proizvodnja poveavala 10%

godinjeuodnosunapredhodnugodinu?

12. Izraunati nepoznate elemente plana proizvodnje nekog

preduzeazatrogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:

Akoseproizvodnjapoveasvakegodine15%uodnosunaprethodnu.

Godina Proizvodnja

1.

2.

3.

4.

Ukupno 3545088

Godina Proizvodnja

1.

2.

3.

Ukupno 6945


102/111

RJEENJA:

1.Brojgodinjeproizvedenihautomobilapredstavljalanaritmeti

kogniza.Zanavedenorazdobljeod1991do1997imamosedam

lanovaniza.Traisetreiiestilantogniza:

56028 2 1 899 2 7 1 899

, ? 56028 2 5394| 2 1 112056 14 37758

2 14 74298 5307 5307 2 899 7105 5 5307 5 899 9802Zakljuak:Proizvodnjaautomobilau1993.godinijeiznosila7105,a

u1996.godini9802automobila.

2. Brojmjesenoproizvedenihparicipelapredstavljalangeometri

jskogniza.Zanavedenorazdobljeodjanuaradoavgustaimamo

osamlanovaniza.Traisedrugiisedmilantogniza:

6965 4% 0,04? ?Proizvodnjasesvakogmjesecasmanjujeuodnosunaprethodni


103/111

Za4%,pavrijedi:

1

1 1 1 1 1 1 itd.Zakljuujemodajerije oopadajuemgeometrijskomnizuijije

kolinikjednak: 1 1 0,04 0,96

Iz

6965

,,

6965 6,965 1000Iz 1000 0,96 960

1000 0,96 783Zakljuak:Ufebruarujeproizvedeno960,aujulu783paracipela.

3. Podaciiztabelepredstavljajuelementearitmetikognizauzdati

uslovdaseuvozpoveavasvakegodinezakonstantaniznos:

5 Iz 1slijedi: 35 5

? ? Iz 2 1slijedi:

2 410 20 70 2 7

5 2 7

Iz 5slijedi: 5


104/111

Iz 2 7slijedi:5 2 7 2 5 5 2 3

5 7 9 11 3 5 7 9 11 35

4. Sloenoukamaivanjeprincipkamatanakamatu:

Napoetkujeuloeniznos,nakrajuprvogobraunskogperiodaiznosjeuveanzavrijednostkamatekojuobraunavamopokama

tnojstopi,tj.: 1 ovajiznosje

ujednovrijednostnakojuseobraunavakamatanakrajudrugog

obraunskogperioda,tj.: 1

Principseprenosinantiperiod,pauoptenovrijedi:

1 ,topredstavljageometrijskuprogresiju,priemujekolinik 1 poznatkaokamatnidekurzivni

Godina Uvoz

1.

2.

3.

4.

5.

3 5

79

11Ukupno 35


105/111

faktor.

6%

2556,17? Iz formulezaoptilangeometrijskeprogresije,

Anaosnovugoreopisanogprincipaslijedi: 1

,

, 1700

Zakljuak:osobajenapoetkuuloila1700KM



Iz 1slijedi:

75 4 5 4? ? Iz 2 1slijedi:

2 4

10 20 150 2 15 5 4 2 15

Iz5 4 slijedi:

Iz 2 15 slijedi: 2 15 3 15 5


106/111

Iz 5 10

15 20 25



15 Iz 1slijedi: 25 2 2 15? ? 4 4 25

2 15 4 25Iz 2 15slijedi: 15 2Iz 4 25 slijedi:15 2 4 25 2 10

5Iz 15 2 15 10 5

10 15 20 25

5 10 15 20 25 75

Godina Uvoz

1.

2.

3.

4.

5.

5 10

15

20

25

Ukupno 75


107/111



Iz 1slijedi:

45 4 5 4? ? Iz 2 1slijedi:

2 4

10 20 90 2 9 5 4 2 9

Iz5 4 slijedi: Iz

2 9 slijedi:

2 9 3 9 3

Iz 3 6 9 12

15

Godina Uvoz

1.

2.

3.

4.

5.

5 10

15

20

25

Ukupno 75

Godina Uvoz

1.

2.

3.

4.

5.

3 6

9

12

15

Ukupno 45


108/111

3 6 9 12 15 45



6 Iz 1slijedi: 15 6? ? 4 4 15 6 4 15

Iz 6slijedi: 6 Iz 4 15 slijedi:6 4 15 3 9 3

Iz 6 6 3 3

6 9 12 15

3 6 9 12 15 45

Godina Uvoz

1.

2.

3.

4.

5.

3 6

9

12

15

Ukupno 45


109/111

9. Godinjaproizvodnjapreduzeapredstavljalangeometri

jskogniza.Zanavedenorazdobljeod2007.do2011.imamo

petlanovaniza.Traisetreilantognizaisumadatogniza

25000 45000? ?Proizvodnjasesvakogmjesecapoveavauodnosunaprethodni

Zap%,pavrijedi:

1 1 1 1 1 1

1

Zakljuujemo da je rije o rastuem geometrijskom nizu iji je

kolinikjednak: 1 Iz 25000

45000Kombinacijomovedvijejednaineimamo:25000 45000

1,8 1,34 1,34 1 0,34 34%Iz imamo: , 18656,7Iz imamo: 18656,71,8 33582,1Iz

imamo:

182199,2


110/111

10. 3545088 8% 0,08

Proizvodnjasesvakogmjesecasmanjujeuodnosunaprethodni

za8%,pavrijedi:

1 1 1 1 1

1

Zakljuujemo da je rije o opadajuem geometrijskom nizu iji je

kolinikjednak: 1 1 0,08 0,92Iz

3545088

,,

3545088 3,545088 1000000Iz 1000000 0,92 920000

1000000 0,92 846400 1000000 0,92 778688

1000000 920000 846400778688 3545088

Godina Proizvodnja

1.

2.

3.

4.

1000000 920000

846400 778688

Ukupno 3545088


111/111

Edo Sisa Skripta

Documents

Transcript of Edo Sisa Skripta