Eda Tema04 4

Estructuras de Datos y AlgoritmosTema 4. Árboles binarios

Iván CantadorDavid Vallet, José R. DorronsoroEscuela Politécnica Superior

Universidad Autónoma de Madrid

1Contenidos

• Árboles

• Árboles binarios

• Árboles binarios de búsqueda

• Árboles AVL

Estructura de Datos y AlgoritmosEscuela Politécnica Superior


2Contenidos

• Árboles



• Árboles AVL



3

• Un grafo es una estructura de datos G = (V, R) compuesta de:

• Un conjunto V de vértices (nodos)

• Un conjunto R de ramas (arcos), conexiones entre los vértices

Grafos. Definición

• Un conjunto R de ramas (arcos), conexiones entre los vértices de V

• Ejemplo de grafo (dirigido)

1

32

6

4



• V= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• R= {(1,4), (1,5), (1,6), (2,3),…, (5,1), (6,2)}

• Un grafo es una EdD general, muy rica y flexible

5

4

• Un camino de un grafo G = (V, R) es una secuencia de nodos de V en los que cada nodo es adyacente al siguiente mediante un arco de R

Grafos. Caminos

siguiente mediante un arco de R

• Ejemplo

• V= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1

32

6

4

5



• V= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• R= {(1,4), (1,5), (1,6), (2,3),…, (5,1), (6,2)}

• Caminos: {1, 6, 2, 3}, {5, 1, 4}, …

5

• Un árbol ordenado con raíz es un grafo tal que:

• Tiene un único nodo, denominado raíz, sin ramas incidentes

• Cada nodo ≠ raíz recibe una sola rama

Árboles. Definición

Cada nodo ≠ raíz recibe una sola rama

• Cualquier nodo es accesible desde la raíz

• Ejemplo

raíz Nodos terminales

(hojas)1

32

45

6

71

2 3 4 5



Nodos intermedios

5

8

9

106

7 8

109

6

• Un sub-árbol de un árbol T es un subconjunto de nodos de T conectados mediante ramas de T

• Cada nodo de un árbol T junto con sus hijos da lugar a

Árboles. Sub-árboles

• Cada nodo de un árbol T junto con sus hijos da lugar a nuevo sub-árbol T’

1

2 3 4 5

6

109

2 3 4 5

6

7 8

109

6

7 8

1097 8



7 8

109

7

• La altura de un árbol es 1 más la longitud del camino más largo que conecta la raíz a una hoja

• La profundidad (nivel) de un nodo es el número de

Árboles. Altura y profundidad

• La profundidad (nivel) de un nodo es el número de ramas entre el nodo y la raíz

• La profundidad de un árbol es el máximo número de ramas entre la raíz una hoja del árbol (es -1 si el árbol está vacío)

• Ejemplo

T ≡ altura(T) = 1 + 3 = 41

2 3 4 5



profundidad(1) = 0

profundidad(5) = 1

profundidad(7) = 3

2 3 4 5

6

7 8

109

8

• Un árbol está equilibrado si para todo nodo el número de niveles de sus sub-árboles no difieren en más de una unidad

Árboles. Árboles equilibrados

unidad

• Un árbol con máximo número k de hijos por nodo está perfectamente equilibrado si todo nodo tiene k hijos



Árbol equilibrado Árbol perfectamente equilibrado

9Contenidos

• Árboles



• Árboles AVL



10

• Un árbol binario (AB) es un árbol ordenado con raíz tal que:

• cada nodo tiene a lo sumo 2 hijos

Árboles binarios. Definición

• Ejemploraíz raíz



hojas

nodos intermedios

hojas

11

• En un AB:

• Todo nodo excepto el raíz tiene un nodo padre

• Todo nodo tiene a lo sumo 2 nodos hijos: hijo izquierdo e hijo


• Todo nodo tiene a lo sumo 2 nodos hijos: hijo izquierdo e hijo derecho

padre de X

X



hijo izquierdo

de X

hijo derecho

de X

X

12

• Propiedad recursiva de los AB

• El hijo izquierdo de la raíz forma un nuevo árbol con dicho hijo como raíz

• El hijo derecho de la raíz forma un nuevo árbol con el dicho


El hijo derecho de la raíz forma un nuevo árbol con el dicho hijo como raíz

raíz

sub-árbol izquierdo sub-árbol

derecho sub-árbol derecho

sub-árbol izquierdo

raíz



13

• Un árbol se puede recorrer de distintas formas, pero siempre desde la raíz

• Para el recorrido normalmente se usa la propiedad recursiva de los árboles

Árboles binarios. Recorrido

recursiva de los árboles

• Cuando se aplica un algoritmo de visita de árboles se implementa la función "visitar" que puede realizar distintas operaciones sobre cada nodo

• Visitar un nodo puede ser p.e. imprimir el contenido del nodo o liberar su memoria 3



1 6

2 5 7

4

14

• Recorridos en profundidad

• preorden, postorden, inorden

Árboles binarios. Recorrido

• preorden, postorden, inorden

• Ejemplo de aplicación (en grafos): encontrar componentes conexas

• Recorrido en achura

• recorrido por nivel

• Ejemplos de aplicación (en grafos): camino más corto entre



• Ejemplos de aplicación (en grafos): camino más corto entre dos nodos, crawling Web

15

• Preorden = orden previo

• Desde la raíz y recursivamente:1. Visitamos un nodo n

Árboles binarios. Recorrido en profundidad: preorden

2. Recorremos en orden previo el hijo izquierdo de n

3. Recorremos en orden previo el hijo derecho de n

• Ejemplovisitar = printf del contenido de un nodo

resultado: C A B F E D G C

A F



A F

B E G

D

16

• Algoritmo recursivo• Caso base / condición de parada

• Caso general / llamada recursiva

• Pseudocódigo

Árboles binarios. Recorrido en profundidad: preorden

abPrerden(ArbolBinario T) {

3

1 6

2 5 7

4

abPrerden(ArbolBinario T) {

// árbol vacío

si abVacio(T) == TRUE

volver

else

visitar(T) // printf

abPreorden(izq(T))

abPreorden(der(T))

volver

}



• Observaciones• Árbol vacío ≡ no Nene nodos

• Árbol de un nodo ≡ un nodo raíz sin hijos

• Asociamos nodo ≡ raíz de un subárbol; úNl para la recursión

}

17

• Postorden = orden posterior

• Desde la raíz y recursivamente:1. Recorremos en orden posterior el hijo izquierdo de n

Árboles binarios. Recorrido en profundidad: postorden

2. Recorremos en orden posterior el hijo derecho de n

3. Visitamos un nodo n


resultado: B A D E G F C C

A F



A F

B E G

D

18

• Pseudocódigo compacto

Árboles binarios. Recorrido en profundidad: postorden

abPostorden(ArbolBinario T) {

// árbol no vacío

si abVacio(T) == FALSE:

abPostorden(izq(T))

• Pseudocódigo más eficiente

abPostorden(izq(T))

abPostorden(der(T))

visitar(T)

}

abPostorden(ArbolBinario T) {

// árbol no vacío


3

1 6

2 5 7

4




si abVacio(izq(T)) == FALSE:

abPostorden(izq(T))

si abVacio(der(T)) == FALSE:

abPostorden(der(T))

visitar(T)

}

19

• Inorden = orden medio

• Desde la raíz y recursivamente:1. Recorremos en orden posterior el hijo izquierdo de n

Árboles binarios. Recorrido en profundidad: inorden

2. Visitamos un nodo n

3. Recorremos en orden posterior el hijo derecho de n


resultado: A B C D E F G C

A F



A F

B E G

D

20

• Pseudocódigo compacto

Árboles binarios. Recorrido en profundidad: inorden

abInorden(ArbolBinario T) {

// árbol no vacío


abInorden(izq(T)) 3

• Pseudocódigo más eficiente

abInorden(izq(T))

visitar(T)

abInorden(der(T))

}

abInorden(ArbolBinario T) {

// árbol no vacío


3

1 6

2 5 7

4



si abVacio(izq(T)) == FALSE:

abInorden(izq(T))

visitar(T)

si abVacio(der(T)) == FALSE:

abInorden(der(T))

}

21

• Recorrido en anchura = recorrido por nivel

• Algoritmo

• Recorre de arriba abajo y de izquierda a derecha

• Nunca recorre un nodo de nivel i sin haber visitado los de nivel

Árboles binarios. Recorrido en anchura

• Nunca recorre un nodo de nivel i sin haber visitado los de nivel i-1

• Implementación mediante el TAD Cola, sin recursividad

• Ejemploresultado: C A F B E G D

C

A F



A F

B E G

D

22

• Pseudocódigo

• Recorre de arriba abajo y de izquierda a derecha

• Nunca recorre un nodo de nivel i sin haber visitado los de nivel


• Nunca recorre un nodo de nivel i sin haber visitado los de nivel i -1abAnchura(ArbolBinario T) {

colaInicializar(Q)

colaInsertar(Q, T)

mientras colaVacia(Q) == FALSE:

colaExtraer(Q, T’)

visitar(T’)

para cada hijo H de T’:




colaInsertar(Q, H)

}

23

• Ejemplo


abAnchura(ArbolBinario T) {

colaInicializar(Q)

colaInsertar(Q, T)


C

A F

VISITAR Q

C

C A F

A F B


colaExtraer(Q, T’)

visitar(T’)


colaInsertar(Q, H)

}



A F

B E G

D

F B E G

B E G

E 7 D

G D

D

24

• Un Árbol de Expresión (AdE) es un árbol binario donde:

• Los nodos tienen operadores

Árboles binarios. Árboles de expresión

• Las hojas tienen operandos

• (Todo nodo tiene 2 hijos, i.e. operador sobre dos valores)

*

+ -

B C /A



B C /

E

A

D

25

• Los sub-árboles de un AdE son AdE


operador

AdEAdE

• Un AdE almacena una expresión (aritmética)*

+ -

B C /A

AdE2AdE1

*

(A+B) -

C (D/E)

*

(A+B) (C-(D/E))



EDC (D/E)

((A+B)*(C–(D/E)))

26

• Recorrido en orden previo (preorden)

• Salida: * + A B – C / D E

• Forma prefijo de la expresión


*

+ -

B C /A

• Recorrido en orden posterior (postorden)

• Salida: A B + C D E / - *

• Forma posfijo/sufijo de la expresión

• Recorrido en orden medio (inorden)

• “Imprimiendo” paréntesis al comienzo y al final de la llamada

ED



• “Imprimiendo” paréntesis al comienzo y al final de la llamada

a cada sub-árbol

• Salida: ((A + B) * (C – (D / E)))

• Forma infija de la expresión

27

• Construcción de un AdE

• El paso de una expresión infija a un AdE es natural


*

((A + B) * (C – (D / E)))*

(A + B) (C-(D / E))

*

(A + B) -

C (D / E)*

+ -



B C /

E

A

D

28

• Construcción de un AdE

• Basada en la evaluación de expresiones mediante el TAD Pila

• Consistente en la evaluación de una expresión guardando en


• Consistente en la evaluación de una expresión guardando en una pila árboles generados para sub-expresiones

• El algoritmo de evaluación más sencillo es el de expresiones sufijo

• Si se tiene una expresión prefijo o infijo, ésta se pasa a sufijo para evaluarla



para evaluarla

- (A+B)*(C-D/E) � a sufijo � A B + C D E / - * � evaluación

29

• Ejemplo 1: A B + C D E / - *


Símbolo Pila

A, BA B

+

A

+

BA

C, D, E +

BA

B

C D E



/ +

BA C

/

ED

30

• Ejemplo 1: A B + C D E / - *


-

Símbolo Pila

- +

BA

-

C /

ED

*

+ -



*+ -

B C /

E

A

D

31

• Ejemplo 2: (A + B – C) * (D ^ (E / F)) �� A B + C – D E F / ^ *


A, B, +, C +

Símbolo Pila

BA C

+

BA

-

C-, D, E, F, /

D

/

FE

^



^

^

D /

E F

+

BA

-

C

32

• Ejemplo 2: (A + B – C) * (D ^ (E / F)) �� A B + C – D E F / ^ *


*

Símbolo Pila

*

+

BA

-

C

^

D /

E F

*



33Árboles binarios. Implementación en C

• Estructura de datos de un nodo de un árbol binariotypedef struct _NodoAB {

generic info;

struct _NodoAB *izq;

struct _NodoAB *der;struct _NodoAB *der;

} NodoAB;

#define izq(pnodo) ((pnodo)->izq)

#define der(pnodo) ((pnodo)->der)

#define info(pnodo) ((pnodo)->info)

info



derizq


• Estructura de datos de un árbol binariotypedef NodoAB *ArbolBinario;

// Arbol es el puntero a nodo raíz

// Se puede aplicar izq(pnodo) y der(pnodo) a un tipo árbol

// ArbolBinario* es NodoAB**

3arbolBinario

3

1 6

5

1 6



55


• Funciones de creación y liberación de un nodo de un • Funciones de creación y liberación de un nodo de un árbol binario• NodoAB *abCrearNodo();

// Crea un nuevo nodo e inicializa sus campos

• status abLiberarNodo(NodoAB *pn);

// Libera la memoria de un nodo tras llamar a liberarInfo




NodoAB *abCrearNodo() {

NodoAB *pn = NULL;

pn = malloc(sizeof(NodoAB));

if (!pn) return NULL; if (!pn) return NULL;

izq(pn) = der(pn) = NULL;

return OK;

}

status abLiberarNodo(NodoAB *pn) {

if (!pn) return ERROR;

liberarInfo(info(pn));

free(pn);



free(pn);

pn = NULL;

return OK;

}


• Primitivas del TAD árbol binario• Primitivas del TAD árbol binario• boolean abVacio(ArbolBinario *pa);

// Indica si un árbol está vacío

• status abInicializar(ArbolBinario *pa);

// Inicializa un árbol

• status abLiberar(ArbolBinario *pa);

// Libera la memoria de un árbol llamando a abLiberarNodo




status abInicializar(ArbolBinario *pa) {

if (pa == NULL) return ERROR;

*pa = NULL; *pa = NULL;

return OK;

}

boolean abVacio(ArbolBinario *pa) {

if (*pa == NULL) // Ojo: pa==NULL es ERROR

return TRUE;

else return FALSE;

}



status abLiberar(ArbolBinario *pa); // Recorrido postorden

39Árboles binarios. Implementación en Cstatus abLiberar(ArbolBinario *pa) { // Versión con macros

if (!pa) return ERROR;

if (!abVacio(&izq(*pa)) {

abLiberar(&izq(*pa));

}

if (!abVacio(&der(*pa)) {

abLiberar(&der(*pa));abLiberar(&der(*pa));

}

abLiberarNodo(*pa); // visitar es liberar el nodo

return OK;

}

status abLiberar(ArbolBinario *pa) { // Versión sin macros

if (!pa) return ERROR;

if (!abVacio(&((*pa)->izq)) {

abLiberar(&((*pa)->izq));

}



}

if (!abVacio(&((*pa)->der)) {

abLiberar(&((*pa)->der));

}

abLiberarNodo(*pa); // visitar es liberar el nodo

return OK;

}

40

25

• Profundidad de un árbol

• T ≡ ∅ profundidad(T)= -1

• T ≡ profundidad(T)= 0

Árboles binarios. Profundidad

25

25

43

T ≡ profundidad(T)= 0



(la mayor profundidad de todas

25

25

43



(la mayor profundidad de todas

las hojas)4312

7 32

29

41

• Cada nivel de profundidad d de un AB puede albergar 2d nodos


4

3 6

20= 1

21 = 2

• En total, un árbol de profundidad p completo puede albergar (2p+1–1) nodos

4

3 6

1= 21 – 13 = 22 – 1

7 = 23 – 1

2 5 71 22= 4



� profundidad mínima necesaria para albergar n nodos:p = prof(T) = ⌈log2(n + 1)) – 1⌉

3 6

2 5 71

42

• AB casi completo

• Todos los niveles con profundidad d < p están completos, i.e.tienen 2d nodos

• AB completo


• AB completo

• Todos los niveles con profundidad d ≤ p están completos, i.e.tienen 2d nodos

• (casi completo y tiene exactamente 2p hojas a profundidad p)

4

completo

4

casi completo

4

no completo



4

3 6

2 5 71

4

3 6

71

4

3

1 2

43Contenidos

• Árboles



• Árboles AVL



44

• Un Árbol Binario de Búsqueda (ABdB) es un árbol binario T tal que ∀ sub-árbol T’ de T se cumple que

Árboles binarios de búsqueda. Definición

info(izq(T’)) < info(T’) < info(der(T’))

∀

dado un criterio de ordenación de info(T)

info(izq(T’)) < info(T’) < info(der(T’))

3

1 6

2 5 7



• Cada subárbol de un ABdB es a su vez un ABdB

4

45

• Recorrido en orden medio de un ABdB

Árboles binarios de búsqueda. Orden medio

Recorrido en orden medio de un ABdB

• Salida => 1 2 3 4 5 6 7

• ¡Listado ordenado de los nodos!

3

1 6

2 5 7



2 5 7

4

46

• Creación de ABdB: inserción iterativa de valores en ABdB parciales

• Ejemplo

Árboles binarios de búsqueda. Creación

Ejemplo25 43 12 7 32 29

2525

43

25

4312

25

4312

7

25 25



4312

7 32

4312

7 32

29

47

• La función inserta(T, d) que introduce un dato d en un árbol T realiza lo siguiente:

Árboles binarios de búsqueda. Inserción

árbol T realiza lo siguiente:

• Si T está vacío, se crea un nodo con d y se inserta

• Si no, se hace una llamada recursiva a insertar

- Si d < info(a), entonces se ejecuta insertar (izq(T))

- Si d > info(a), entonces se ejecuta insertar (der(T))

- Caso excepcional: si dato d = info(T), se devuelve ERROR o



- Caso excepcional: si dato d = info(T), se devuelve ERROR o se ignora devolviendo OK

48

• Pseudocódigo


status abdbInsertar(ArbolBinario T, dato d)

si abVacio(T) // Caso basesi abVacio(T) // Caso base

T = abCrearNodo()

si (T == NULL) devolver ERROR

info(T) = d

devolver OK

else // Caso general

si info(T) < d

devolver abdbInsertar(izq(T), d)

else



else

devolver abdbInsertar(der(t), d)

49

• Código C


status abdbInsertar(ArbolBinario *pa, generic *d) {

if (pa == NULL) return ERROR;

if (abVacio(pa)) { // Caso base (condición de parada)if (abVacio(pa)) { // Caso base (condición de parada)

*pa = abCrearNodo();

if (*pa == NULL) return ERROR;

info(*pa) = *d;

return OK;

}

else { // Caso general (llamada recursiva)

if (compararInfo(d, info(*pa)) < 0)

return abdbInsertar(&izq(*pa), d);



return abdbInsertar(&izq(*pa), d);

else

return abdbInsertar(&der(*pa), d);

}

}

50Árboles binarios de búsqueda. Creación y búsqueda

• Dado un vector de valores representados en una lista, la construcción de su correspondiente ABdB es como sigue:status abdbCrear(ArbolBinario T, Lista L)

st = OK

mientras listaVacia(L) == FALSE && st == OK

• Una vez creado el ABdB

• Recorrer el árbol en orden medio recupera los datos ordenados

mientras listaVacia(L) == FALSE && st == OK

listaExtraerInicio(L, d)

st = abdbInsertar(T, d)

si st == ERROR

abLiberar(T) // Ojo: la lista L no se ha recuperado

devolver st



• Recorrer el árbol en orden medio recupera los datos ordenados

• Buscar un dato en el árbol es muy eficiente

- Buscar en una lista desordenada es menos eficiente, pues hay que recorrerla de forma secuencial

51Árboles binarios de búsqueda. Búsqueda

• Búsqueda de un dato, e.g. 32

1: comparar(25, 32)?

• ¿Búsqueda de 33?

25

4312

7 32

29



3: comparar(32, 32)!



• ¿Búsqueda de 33?

- Se hacen llamadas recursivas hasta llegar a un árbol vacío

52Árboles binarios de búsqueda. Búsqueda

• PseudocódigoArbol abdbBuscar(ArbolBinario T, dato d)


devolver NULLdevolver NULL

else si info(T) == d

devolver T

else si d < info(T)

devolver abdbBuscar(izq(T), d)

else

devolver abdbBuscar(der(T), d)



• ¿Cuántas comparaciones en promedio se tienen que hacer para encontrar un dato en un ABdB?

53

• Coste (número de accesos/comparaciones) de buscar un dato en un ABdB

• Para un ABdB (casi) completo con profundidad p:

– a lo sumo p accesos

Árboles binarios de búsqueda.Complejidad búsqueda

– a lo sumo p accesos

• Para un ABdB (casi) completo de n nodos:

– a lo sumo tantos accesos como la profundidad del árbol ≡ ⌈ log2(n + 1))–1⌉ ≡ Orden (log(n)) ≡ O(log(n))

Búsqueda secuencial en una lista desordenada de n nodos, a lo sumo n accesos: O(n)



O(n)

O(log(n))

54

• Para n elementos, hay que realizar n inserciones• Dado árbol (casi) completo, cada inserción es a lo sumo del orden de la

profundidad actual del árbol ≤ ⌈ log2(n + 1))–1⌉ ≡ orden (log(n)) ≡ O(log(n))

• La creación del árbol es O(n�log(n)), pues involucra n inserciones de orden

Árbolesbinariosdebúsqueda.Complejidad ordenación

⌈ ⌉

• La creación del árbol es O(n�log(n)), pues involucra n inserciones de orden O(log(n))

• Una vez creado el árbol, éste se puede usar para ordenar sus elementos recorriéndolo por orden medio ≡ O(n) � ordenación es O(n�log(n)) + O(n) ≡O(n��log(n))

Ordenación de una lista de nnodos mediante algoritmos como BubbleSort, InsertSort: O(n2)



O(n2)

O(n*log(n))

55Árboles binarios de búsqueda. Extracción

• Pseudocódigostatus abdbExtraer(ArbolBinario T, dato d)status abdbExtraer(ArbolBinario T, dato d)


devolver ERROR

T’ = abdbBuscar(T, d)

if T’ == NULL

devolver OK

else

devolver abdbReajustar(T’)




• Reajuste de un (sub-)árbol T’ por la extracción de su raíz

1. La raíz de T’ es hoja

2. La raíz de T’ tiene 1 hijo

3. La raíz de T’ tiene 2 hijos





1. La raíz de T’ es hoja: reajustar puntero del padre de (la raíz

de) T’ a NULL, eliminar T’



Ejemplo: abdbExtraer(T, 2)

3

1 6

3

1 6

T



1 6

2 5 7

4

T’

1 6

5 7

4




2. La raíz de T’ tiene 1 hijo: reajustar puntero del padre de T’ al hijo de T’, eliminar de T’



3

1 6

T

T’

3

2 6



1 6

2 5 7

4

2 6

5 7

4





3. La raíz de T’ tiene 2 hijos: buscar “sucesor” de T’, guardar 3. La raíz de T’ tiene 2 hijos: buscar “sucesor” de T’, guardar info del sucesor en T’, extraer sucesor


3

1 6

T’

3

1 6

T

4

1 6

El sucesor de T’ se obtiene:

1. Bajando a la derecha de T’ un nivel

2. Bajando a continuación a la izquierda

hasta el último nivel (nodo hoja)



1 6

2 5 7

4

1 6

5 7

4

1 6

5 7

sucesor de T’

2 2

60

• Problema de ABdB: árboles no equilibradosL = {1,2,3,4,5,6}

abdbCrear(T, L)

Árboles binarios de búsqueda.Árboles no equilibrados

1

2

3

4

5

6



• El acceso ya no es O(log(n)), sino O(n), por lo que:

• Coste de la búsqueda: O(n�log(n)) � O(n)

• Coste de la ordenación: O(n) � O(n2)

61Árboles binarios de búsqueda.Árboles no equilibrados

• ¿Cómo crear ABdB equilibrados?

• Mediante el algoritmo AVL



62Contenidos

• Árboles



• Árboles AVL



63Árboles AVL. Definición

• Factor de equilibrio de un árbol binario Tfe(T)=profundidad(izq(T))–profundidad(der(T))fe(T)=profundidad(izq(T))–profundidad(der(T))

2

1 5

4 6

fe(2)=-2

fe(5)=1

fe(6)=0

fe(4)=1

fe(1)=0



3fe(3)=0

fe(4)=1

64Árboles AVL. Definición

• Árbol AVL (Adelson-Velskii y Landis)

• Un árbol AVL es un ABdB* T en el que todo sub-árbol T’ cumple • Un árbol AVL es un ABdB* T en el que todo sub-árbol T’ cumple que:

• Proposición:

- Si T es un árbol AVL con N nodos, entonces:

fe(T’)=0, fe(T’)=1 ó fe(T’)=-1



- Si T es un árbol AVL con N nodos, entonces:

profundidad(T) = O(log2N)

* La definición de AVL se puede aplicar a cualquier árbol binario, pero en la asignatura seusará con árboles binarios de búsqueda

65Árboles AVL. Rotaciones

• El algoritmo AVL establece “rotaciones” de 2 nodos A y B en un árbol binario para tratar ciertos “desequilibrios”• RI = rotación izquierda

• RD = rotación derecha

• RID = rotación izquierda + rotación derecha• RID = rotación izquierda + rotación derecha

• RDI = rotación derecha + rotación izquierda

fe(A) fe(B) Rotación

-2 -1 RI(B)

2 1 RD(B)

A

A

B

B

-2

-1

2

1

A

A

B

B

-2

-1

2

1B

B

A

A



-2 1 RDI(izq(B))

2 -1 RID(der(B))

A

A

B

B

-2

1

2

-1

A

A

B

B

-2

1

2

-1

A

A

B

B

BA

BA

66Árboles AVL. Construcción

• Construcción de un AVL

• Tras realizar una inserción de ABdB, se comprueba la condición de AVL para realizar o no rotación




• Ejemplo: crear el árbol AVL para la lista[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8]

1Inserción de 1 0

2

1Inserción de 2 -1

0



3

2

1Inserción de 3

RI(2)

-2

-1

01 3

2

00

0



4

1 3

2Inserción de 4 -1

-10

04

4

5

1 3

2Inserción de 5

RI(4)

-2

-20

-1

03 5

1 4

2

-1

0

0

0

0



3 5

6

1 4

2Inserción de 6

RI(4)

-2

-1

0

0

-1

01 3 6

2 5

4

0

-10

0 00



1 3 6

2 5

4Inserción de 7

RI(6)

-1

-20

0 -101 3 5 7

2 6

4

0

0

0

0

0 001 3 6 1 3 5 7

1 3 5 7

15

2 6

4Inserción de 15 -1

-1

0

0

0 -1

0

0

7

0

Inserción de 14 -2 -2 -1



1 3 5 7

15

2 6

4Inserción de 14

RDI(14)

-2

-2

0

0

0 -2

1

01 3 5 7

14

2 6

4

-2

-2

0

0

0 -2

-1

01 3 5 14

157

2 6

4

-1

-1

0

0

0 0

0 0

0

14

015

0



1 3 5 14

2 6

4Inserción de 13

RDI(7)

-2

-2

0

0

0 1

1 0

01 3 5 7

2 6

4

-2

-2

0

0

0 -2

0

01 3 6 14

2 7

4

-1

0

1

0

0 0

0 0 0

01 3 5 14

157

1 01 3 5 7

14

01 3 6

5

14

1513

0 0 0

1 3 6 14

1513

2 7

4Inserción de 12

RI(7)

-2

-1

1

0

0 1

1 0

02

31

6 13

12

15

4 14

7

0

1

1

0

0

0

0

0 0

1

13

015

013

0

12

05

05

0



2

31

6

5

13

12

15

4 14

7Inserción de 11

RD(12)

-1

2

2

0

0

0

0

0 0 1

12

31

6

5

12

1311

15

4 14

7

0

-1

0

0

0

0

0

0 0 0 0

-1

12

11

0



Inserción de 10

2 6 12 15

4 14

7

-1

2

1

0

0 01RD(12)

2 6 11 14

4 12

7

0

0

1

0

0 01

Inserción de 9

2

31

6

5

12

1311

15

0 0 0 1 0

10

0

2

31

6

5

11

10

14

0 0 0 015

013

0

2

31

6

5

11

10

14

4 12

7

-1

1

2

0

0

0

0

0 0 1

1

15

013

0

9

0

RD(10)

2

31

6

5

10

9

14

4 12

7

0

0

0

0

0

0

0

0 0 0

1

15

013

011

0



Inserción de 8

9

2

31

6

5

10

9

14

4 12

7

-1

1

1

0

0

0

0

0 0 1

1

15

013

011

0

8

0

Estructuras de Datos y AlgoritmosTema 4. Árboles binarios

Iván CantadorDavid Vallet, José R. DorronsoroEscuela Politécnica Superior


Eda Tema04 4

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