ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La ecuación general de segundo grado completa es de la forma:

A la expresión que está dentro de la raíz se le llama discriminante.

Se debe tener en cuenta lo siguiente:1º) Según el signo de la expresión que está dentro de la raíz () la ecuación puede tener:

- 2 soluciones (si es positivo)Ej.1: 2x2+x-3=0

- 1 solución (si es cero)Ej2.: x2-2x+1=0

- ninguna solución (si es negativo) Ej.3: x2 +3x+5=0

2º) Si la expresión no es un cuadrado perfecto, la raíz se deja indicada.Ej:4 x2+x-5=0

3º) Si el coeficiente de x2 es negativo, se suele cambiar de signo toda la ecuación (equivale a multiplicar por (-1) los dos miembros de la ecuación).

Ej.5: -x2+5x-4=0

4º) Si se puede, se simplifica la ecuación dividiendo todos los coeficientes por el mismo número.Ej.6: 2x2 +4x-6=0

5º) Se puede aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado completa a la ecuación de segundo grado completa (el coeficiente del término que falta será 0 ).

Ej.7: x2-4=0

Ej.8: x2 +5x=0

LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

La ecuación general de segundo grado completa es de la forma:

A la expresión que está dentro de la raíz se le llama discriminante.

Se debe tener en cuenta lo siguiente:1º) Según el signo del discriminante la ecuación puede tener:

- 2 soluciones (si es positivo)

Ej.1: 2x2+x-3=0

- 1 solución (si es cero)

Ej.2: x2-2x+1=0

- ninguna solución (si es negativo)

Ej.3: x2 +3x+5=0

2º) Si la expresión no es un cuadrado perfecto, la raíz se deja indicada.

Ej4: x2+x-5=0

3º) Si el coeficiente de x2 es negativo, se suele cambiar de signo toda la ecuación (equivale a multiplicar por (-1) los dos miembros de la ecuación).

Ej5.: -x2+5x-4=0

4º) Si se puede, se simplifica la ecuación dividiendo todos los coeficientes por el mismo número.

Ej6.: 2x2 +4x-6=0

5º) Se puede aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado completa a la ecuación de segundo grado completa (el coeficiente del término que falta será 0 ).

Ej.7: x2-4=0

Ej8.: x2 +5x=0

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O. ECUACIONES

1.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:

2.- Calcular un número sabiendo que el doble y el triple de dicho número suman 60.

3.- Si a un número le restas 12 se reduce a su tercera parte. Calcularlo.

4.- Calcular un número cuya tercera parte, sumada con su quinta parte nos de 64.

5.- La suma de tres números consecutivos es 48. Calcularlos.

6.- Calcular un número cuya mitad es 20 unidades menor que su triple.

7.- Si al dinero que tengo ahora le añadiera su cuarta parte además 5 euros, tendría 60 euros. Calcular el dinero que tengo.

8.- La suma del doble de la edad de Luis mas 4 años es igual a 32. Calcular la edad de Luis.,

9.- Una madre tiene 40 años y su hijo 10. Calcular cuantos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple de la del hijo.

10.- Andrea tiene 16 años, su hermano Paco 14, y su padre 40 años. Calcular cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea la suma de las edades de los hijos.

11.- Un hijo tiene 24 años menos que su padre y éste tiene cinco veces la edad del hijo. Calcular la edad que tiene cada uno.

12.- Un hijo tiene 25 años menos que su padre. Dentro de diez años, la edad del padre será el doble que la del hijo. Calcular la edad de cada uno.

14.- Ana tiene el triple de la edad de María. Dentro de 5 años Ana solo tendrá el doble de la edad de María. Calcular las edades de cada una.

15.- Juan tiene hoy 13 años menos que Manuel. Dentro de 4 años, Juan tendrá el triple de la edad de Manuel. Calcular las edades de Juan y Manuel.

16.- Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es cuatro veces su altura y que su perímetro es 120 metros.

17.- En un almacén hay dos veces más microondas que televisores y cinco veces más lavadoras que microondas. Si en total hay 169 electrodomésticos, hallar cuántos hay de cada clase.

18.- En una granja hay pollos, ovejas y cerdos. El número de pollos es doble que el de ovejas y el de cerdos es el triple de la suma de los pollos y ovejas más 80. Calcular el número de animales de cada clase si el número total es 1148.

19.- Una abuela reparte 10 euros entre sus tres nietos, de manera que el mediano recibe 1 euro más que el pequeño, y el mayor 2 euros más que el mediano. Calcular cuánto recibe cada nieto.

20.- En un bosque del Parque Nacional de Doñana hay tres veces más pinos que alcornoques, y el doble de éstos que enebros. También hay 90 sabinas. En total, el bosque tiene 639 árboles y arbusto. Calcular cuántos hay de cada especie.

21.- Tres socios han de repartirse 1500000 euros. Calcular lo que le corresponde a cada uno si al primero ha de tener dos veces más que el segundo, y éste tres veces más que el tercero.

22.- Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 26 euros. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

23.- Tres niños juntan su dinero y comprueban que tienen 4 euros entre los tres. Calcular cuánto tenía cada uno sabiendo que el primero aporta 0,25 euros más que el segundo y éste el doble que el tercero.

24 un barril lleno de agua se saca primer la mitad del contenido y después un quinto del resto. Si en el barril quedan 300 litro, ¿cuál es la capacidad del barril?

25.-Ana pasó dos quintos de los días que estuvo de vacaciones en la montaña. Los cinco sextos de los que le quedaban los pasó en el mar y los últimos 6 días restantes, en casa preparando la vuelta al colegio. Calcular cuantos días ha estado de vacaciones Ana.

26- Un depósito está lleno de vino. Se extrae la mitad del contenido y luego la tercera parte del resto, quedando 1100 litros. Hallar la capacidad total del depósito.

27- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:a) x2-1=0 b) x2-4=0 c) x2-9=0 d) x2+4=0e) 2x2-50=0 f) 3x2-12=0 g) 5x2-45=0 h) x2+1=0i) 3x2-75=0 j) –x2+16=0 k) –x2+25=0 l) 5x2-80=0m) 4x2-1=0 n) 25x2-4=0 ñ) 9x2-16=0 o) 36x2-16=0

28.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:a) x2+x=0 b) x2-5x=0 c) x2+8x=0 d) x2-3x=0e) 2x2-3x=0 f) 5x2-10x=0 g) 3x2+7x=0 h) 2x2+8x=0i) –3x2-6x=0 j) –4x2+5x=0 k) –x2+3x=0 l) –5x2-10x=0

29.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:a) 3x2=0 b)5x2=0 c)-2x2=0 d)6x2=0

30.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:a) 3x2-5x=0 b) 3x2-27=0 c) x2=0 d) 2x2-4x=0e) 2x2-8=0 f) 5x2+5x=0 g) 5x2-5=0 h) x2-x=0i) x2-1=0 j) –x2-4x=0 k) x2 +1=0 l) –3x2+3=0m) –x2-4=0 n) –3x2-12x=0 ñ) –5x2=0 o) x2+9=0

31.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado, aplicando la fórmula

a) x2-2x-3=0 b) x2-2x-8=0 c) x2+9x+14=0 d) x2-6x+9=0e) x2+4x+5=0 f) x2+8x+16=0 g) x2+x+3=0 h) 2x2-3x-5=0i) x2+x-6=0 j) x2-x-12=0 k) x2-x-20=0 l) x2+5x-14=0m) 2x2-3x-2=0 n) 3x2+2x-1=0 ñ) 5x2-7x-6=0 o) 2x2+x-15=0p) x2-2x=0 q) 3x2-3=0 r) 5x2-20=0 s) x2+4x=0t) 2x(x-3)+1=x-2 u) (x-2)(x+3)-x+5=2x-1 v) x2+5x+2=2x+12 w) 2-x(x+3)+2x=2(x+1)

24.- Un padre dejó un tercio de sus bienes a uno de sus hijos, a otro las 5/16 partes, y a un tercero, 106250 euros. Calcular el total de euros repartidos.

26.- Se han consumido las 2/3 partes de un bidón de aceite. Se reponen 15 litros quedando lleno hasta la mitad. ¿Cuál es la capacidad del bidón?

Las ecuaciones se utilizan muchas veces para resolver problemas. La resolución de problemas mediante ecuaciones conlleva los siguientes pasos:1º) Comprender el problema: leer atentamente el enunciado y distinguir datos de incógnita.2º) Plantear la ecuación: que relaciones los datos con la incógnita (que llamaremos generalmente x)3º) Resolver la ecuación.4º) Comprobar la solución (viendo que satisface las condiciones del enunciado del problema) e interpretar los resultados (viendo si tienen sentido dentro de la naturaleza del problema).

En un problema intervienen generalmente:- valores conocidos: llamados datos,- valores desconocidos: llamados incógnitas,- relaciones entre los datos y las incógnitas que se expresan mediante ecuaciones.

Al resolver las ecuaciones se obtienen los valores de las incógnitas que resuelven el problema propuesto, siempre que dichas soluciones estén de acuerdo con los requisitos del enunciado, incluso con los que no se pueden reflejar en las ecuaciones (Por ejemplo: si al calcular la edad nos sale un número negativo no tendría sentido: o si se trata de calcular el número de personas y sale fracción, tampoco valdría).Los pasos a seguir pueden ser:1º Elegir la incógnita.2º Escribir las relaciones entre los datos y la incógnita: plantear la ecuación3º Resolver la ecuación obtenida.4º Comprobar (viendo que satisface las condiciones del enunciado del problema), discutir e interpretar las soluciones (viendo si tienen sentido dentro de la naturaleza del problema).

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

TIPOS DE IGUALDADES

El signo igual se puede utilizar en matemáticas en expresiones que tienen distintos significados. Se llama:- Igualdad numérica : aquella igualdad en la que sólo intervienen números. Ej: 3+4=5+2- Identidad algebraica o literal : aquella igualdad en la que intervienen letras y números y que se

verifican para cualquier valor que se de a las letras. Ej: 3(x+y)=3x+3y- Ecuación : aquella igualdad en la que intervienen letras y números y que sólo se verifica para algún

valor de las letras. Ej: x+3=5 (Este último tipo de igualdad, será el que estudiemos en este tema)

PARTES DE UNA ECUACIÓN

Miembros de una ecuación: lo escrito a cada lado del signo igual (el primer miembro está a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha)

Incógnita: la letra desconocida.Términos: cada uno de los sumandos que intervienen en cada miembro (positivos o negativos).Términos independientes: los que no tienen incógnita.Grado de una ecuación: el máximo exponente de la incógnita.Solución : los valores numéricos de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones.Comprobar: consiste en sustituir las letras por los valores obtenidos para ver si la igualdad es cierta.

ECUACIONES EQUIVALENTES: PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA

Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las mismas soluciones.Para resolver una ecuaciones va transformando ésta en otra equivalente más sencilla, aplicando los siguientes principios de equivalencia :

1º) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número ( o una misma expresión algebraica) resulta otra ecuación equivalente a la dada. (3x+2=6 es equivalente a 3x+2-2=6-2)Consecuencias de este principio:

Si los dos miembros de una ecuación tienen dos términos iguales se pueden suprimir sin que varíen las soluciones. Ej: x+5+3x = 2-7x+5 es equivalente a: x+3x=2-7x

Este principio nos permite transponer términos, es decir: pasar términos de un miembro a otro cambiándolo de signo. Ej: 3x+5=2 es equivalente a: 3x=2-5

2º) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número (distinto de cero), se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Consecuencias de este principio:

Se pueden cambiar de signo todos los términos de una ecuación (equivale a multiplicar ambos miembros por –1). Ej: -3x-5=-2+4x es equivalente a 3x+5=2-4x

Este principio nos permite pasar dividendo al segundo miembro los números que están multiplicando en el primero, y al revés (si están dividiendo pasarán multiplicando). Ej: 3x=6 es equivalente a x=6/3

Este principio también nos permite resolver ecuaciones con números fraccionarios (multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores).

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Conviene seguir los siguientes pasos:1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones indicadas.2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común denominador ambos miembros.3.- Transponer de términos: pasando a un mismo miembros todos los términos que contenga la incógnita y al otro los restantes.4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar 5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro.6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la ecuación inicial.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA (Matemáticas 2º ESO)Recordar: CONVIENE SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS:1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones indicadas.2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común denominador ambos miembros.3.- Transponer de términos: pasando a un mismo miembros todos los términos que contenga la incógnita y al otro los restantes.4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar 5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro.6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la ecuación inicial.

Como afecta un signo “-“ delante de una fracción cuando se quitan los denominadores

EJERCICIOS

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 2º E.SO. ECUACIONES1.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:

a) 3x+7=0b) 2(x-3)-5(x-2)=3x-4(3x-1)

c)

2.- Si al dinero que tengo ahora le añado su tercera parte y 10 euros más, tendría el doble de lo que tengo ahora. Calcular el dinero que tengo ahora.

3.- Una persona tiene el triple de años que otra. Dentro de 6 años sólo tendrá el doble. Calcular las edades de cada una.

4.- Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en tren; los 7/8 del resto en coche y los 26 km restantes en moto. Calcular cuántos kilómetros recorre.

5.- Tres niños juntan su dinero y en total tienen 20 euros. Calcular cuánto tenía cada uno sabiendo que el primer aporta 5 euros más que el segundo y que el segundo aporta el doble que el primero.

6.- Resolver utilizando la fórmula, indicando cuántas soluciones tiene cada una:a) 3x2-4x+1=0b) x2+2x+1=0c) 5x2-4x+1=0d) –x2+5x-6=0

7.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:a) 5x2-3=0b) 5x2-7x=0

c) x2+25=0d) 2x2+8x=0

8.- Resolver las siguientes ecuaciones:a) 2x(x-3)+1=x-2b) x2+2x-3(x-3)=9+2xc) (x-2)(x+3)-x+5=2x-1d) x2+5x+2=2x+12e) 5x(x-3)-2x+6=x2-9f) 2-x(x+3)+2x=2(x+1)

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 2º E.SO. ECUACIONES

1.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:c) 3x+7=0

d) 2(x-3) - 5(x-2) = 3x - 4(3x-1)

c)

2.- Si al dinero que tengo ahora le añado su tercera parte y 10 euros más, tendría el doble de lo que tengo ahora. Calcular el dinero que tengo ahora.

3.- Una persona tiene el triple de años que otra. Dentro de 6 años sólo tendrá el doble. Calcular las edades de cada una.

4.- Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en tren; los 7/8 del resto en coche y los 26 km restantes en moto. Calcular cuántos kilómetros recorre.

5.- Tres niños juntan su dinero y en total tienen 20 euros. Calcular cuánto tenía cada uno sabiendo que el primer aporta 5 euros más que el segundo y que el segundo aporta el doble que el primero.

6.- Resolver utilizando la fórmula (ax, indicando cuántas soluciones tiene cada una:

a) 3x2 - 4x + 1 = 0

b) x2 + 2x + 1 = 0

c) 5x2 - 4x + 1 = 0

d) –x2 + 5x – 6 = 0

e) x2 - 3x – 5 = 0

7.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:a) 5x2-3=0 b) 5x2-7x=0

c) x2+25=0 d) 2x2+8x=0

e)3x2-3=0 f) 10x2-15x=0

8.- Resolver las siguientes ecuaciones:a) 2x(x-3) + 1 = x - 2 b) x2 + 2x - 3(x-3) = 9 + 2x

c)(x-2)·(x+3) – x + 5 = 2x - 1 d) x2 + 5x + 2 = 2x + 12

e) 5x(x-3) - 2x + 6 = x2 - 9 f) 2 - x(x+3) + 2x = 2(x+1)

g) x(x-8) – 3 + 4x = 2 + x - 5 h) 2x2 – 70 -x(x-2) = x + x + 11

h) 2x (x-1) + 7 = 3 + x2 + 4x + 4 i) 3x – x (2-x) + 5 = 5 (x-1) + 6

NOMBRE:……………………………………………………………………………….GRUPO:………..EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O. NÚMEROS ENTEROS, POTENCIAS Y FRACCIONES

1.- Efectuar:

2.- Simplificar aplicando las propiedades de las potencias y calcular el resultado:

3.- Efectuar las siguientes operaciones:

4.- Calcular utilizando la regla y sacar una cifra decimal:

5.- Representar gráficamente en la rectas las siguientes fracciones:

6.- Efectuar y simplificar:

7.- María gasta 1/4 del total dinero que tiene en frutas, 1/5 del total en verduras. Se pide:a) ¿Qué fracción del total de dinero le queda?b) Si después de estas compras le quedan 22 euros, ¿qué cantidad de dinero tenía al principio?

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O. NÚMEROS ENTEROS, POTENCIAS Y FRACCIONES

1.- Efectuar:

2.- Simplificar aplicando las propiedades de las potencias y calcular el resultado:

3.- Efectuar las siguientes operaciones:

4.- Calcular utilizando la regla y sacar una cifra decimal:

5.- Representar gráficamente los números fraccionarios:

6.- Efectuar y simplificar:

7.- Unos albañiles han embaldosado el primer día 2/5 de una habitación, el segundo día 1/3 de la misma. Se pregunta:

a) ¿Qué fracción de la habitación queda por embaldosar?b) Si quedan 20 baldosas para embaldosar el total de la habitación, ¿cuántas baldosas tiene la

habitación en total?

ECUACIONES

Distintas expresiones que se expresan con el signo igual se pueden dibujar en balanzas.En toda igualdad hay un primer miembro, que está a la izquierda del signo igual, y un segundo miembro, que está a la derecha. Hay tres tipo:

- igualdades numéricas,- identidades- ecuaciones.

En una ecuación distinguimos:- la incógnita: la letra desconocida,- los términos: los sumandos de cada miembro,

- término independiente: los que no llevan incógnita,- grado: el máximo exponente de la incógnita,- solución: los números reales que al sustituirlos en la incógnita, hacen que la igualdad sea

cierta,- resolver una ecuación: es encontrar sus soluciones.

Las ecuaciones que tienen la misma solución se dice que son equivalentes. Para resolver una ecuación se va pasando a ecuaciones equivalentes más sencillas, aplicando los principios de equivalencia.

Los pasos a seguir para resolver una ecuación son:1º Eliminar paréntesis.2º Eliminar denominadores.3º Transponer términos.4º Simplificar.5º Despejar la incógnita.6º Comprobar.

EJERCICIOS

Resolver las siguientes ecuaciones: