Notas del Prof. José Alfredo Ramos Beltrán

ECUACIONES LINEALES Definición. Una E.D. de la forma:

1 0( ) ( ) ( )dy

a x a x y f xdx

donde 1( ) 0a x , 0 ( )a x y ( )f x son continuas en I, se le llama E.D. lineal en y de primer

orden.

Dividiendo por 1( )a x se obtiene la llamada ecuación en forma canónica ó forma estándar:

( ) ( )dy

P x y Q xdx

(1.8)

Donde 0

1

( )( )

( )

a xP x

a x y

1

( )( )

( )

f xQ x

a x .

Teorema 2.3 (Solución de la E.D. lineal de primer orden):

La solución general de la E.D. lineal en y , de primer orden: ( ) ( )dy

P x y Q xdx

es:

( ) ( )

( )P x dx P x dx

e y e Q x dx C

Demostración:

La ED ( ) ( )dy

P x y Q xdx

expresada de forma diferencial

( ) ( )P x ydx dy Q x dx

O sea que

( ) ( ) 0P x y Q x dx dy

Comparando con una E.D. exacta se llega a:

( )M

P xy

y 0

N

x

Entonces,

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( )

M N

y xP x

N

y por tanto el factor integrante (FI) es:

( )

( )P x dx

x e

Multiplicando la ecuación (1.8) por el FI se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx P x dxdy

e e P x y e Q xdx

O sea

( ) ( )

( )P x dx P x dxd

e y e Q xdx

E integrando respecto a x se obtiene

( ) ( )

( )P x dx P x dx

e y e Q x dx C

Y de forma explicita

( ) ( ) ( )

( )P x dx P x dx P x dx

y e e Q x dx Ce

Ejemplo 9. Hallar la solución general de la E.D. 2( 2) 5 8 4dx

x y xydy

Escribiendo la ED en la forma estándar

2

2 2

2

( 2) (4 8) 5

4( 2) 5

( 2)2

4 5

2 2

dyx x y

dx

dy xy

dx xx

dyy

dx x x

El FI: 4

4ln( 2) 42 ( 2)dx

xxe e x

Luego,

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4 4

2

4 2

3

4

5( 2) ( 2)

( 2)

( 2) 5( 2)

5( 2)

3 ( 2)

dx y x

dx x

x y x dx C

Cy x

x

Ejemplo 10. Hallar la solución general de la E.D. 2(6 2 ) 0dx

xy xdy

Dando a la ED la forma estándar

2

2

2

2

2

(6 2 ) 0

6 2

6 2

6 2

2 6

dxxy x

dy

dx x

dy xy

dx xy

dy x

dy y

dx x x

dyy

dx x x

La cual resulta ser lineal en y. El FI queda como

FI: 2

2ln

2

1dxxxe e

x

La solución general queda como:

2 2 2

2 4

2 3

2

1 6 1

1 6

1 2

2

dy

dx x x x

y dx Cx x

y Cx x

y Cxx

Notas del Prof. José Alfredo Ramos Beltrán

Actividad. Resuelve las siguientes ED lineales.

1. 2 cos 2 sindy

xy x x xdx

donde y es acotada cuando x Resp. siny x

2. 2 ydy dyy x y e

dx dx Resp.

xxy C

y

3. Hallar una solución continua de la ED 2(1 ) 2 ( )dy

x xy f xdx

Donde f(x) viene dada por la ecuación:

0 1( )

1

x xf x

x x

y (0) 0y

4. 4x y y xy si (1) 1y Resp. 2 3

1 1 5

62 3x xy e

5. 2 21

2 6x xdye y e

x dx

con 12

( ) 1y Resp.

6. El suministro de glucosa al torrente sanguíneo es una técnica importante para detectar la diabetes en una persona. Para estudiar este proceso, definimos G(t) como la cantidad de glucosa presente en la sangre de un paciente en el tiempo t. Suponga que la glucosa se suministra al sistema sanguíneo a una tasa constante k gr. min. . Al mismo tiempo la glucosa se transforma y se separa de la sangre a una tasa proporcional a la cantidad de glucosa presente. Construir la E.D. y resolverla.

Hallar G(t) cuando t → ∞.