I.

ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

VIII.1 OPERADORES DIFERENCIALES Una ecuacin diferencial de orden n es una ecuacin en la que la derivada n-sima de la variable y es una funcin lineal de las dems derivadas y de la propia funcin y, y cuya derivada de mayor ordenes la n-sima derivada. Dicho de otro modo, tiene la siguiente forma de acuerdo a la definicin de ecuacin diferencial lineal:d ny a0 x dx n d n 1y a1 x dx n 1 d n21 y a0 x dx n 2 ... an1

x

dy dx

an x y F x

(20)

Si F(x)=0 Entonces se dice que se trata de una ecuacin lineal homognea Si F(x)0 Entonces se trata de una ecuacin lineal completa o no homognea

Reescribiendo la expresin anterior, y asumiendo que an es siempre una funcin de la variable x:a0 d ny dx n a1 d n 1y dx n 1 a0 d n 2y dx n 2 ... an dy dx an y F x

1

Las expresiones anteriores pueden representarse de una forma mucho ms simple y resumida mediante el uso de los Operadores Diferenciales. En clculo, la derivada se representa con frecuencia por la letra mayscula D: dy Dy dx El smbolo D se llama operador diferencial y ste transforma una funcin diferenciable en otra funcin. As, para la ecuacin (2) se tiene:a0 D n y a1 D n 1 y a2 D n 2 y ... a n 1 D y an y F x

Donde Dny representa la derivada de orden n sobre la funcin y, es decir:

d ny dx n

Dny

Puesto que el operador diferencial D cuenta tambin con la propiedad de linealidad, D operando en una combinacin lineal de dos funciones diferenciables es lo mismo que la combinacin lineal de D operando en las funciones individuales. Expresado en forma matemtica esto significa:D af x bg x aDf x bDg x

Presenta propiedad distributiva

Donde a y b son constantes. Debido a lo anterior, la ecuacin (3) puede compactarse an ms de la siguiente manera:

a0 D n

a1D n

1

a2D n

2

... an 1D an

y

Fx

Lo cual nos muestra que todas las operaciones indicadas por D se realizan sobre la funcin y. De acuerdo a lo anterior, todo lo que se encuentra dentro del parntesis es una suma de operadores y en general es una Funcin de Operadores denotada por (D)y:D a0 D n a1 D n a2 D n D F x1 2

... a n 1 D an

Esta ltima expresin representa tambin por consecuencia a una ecuacin diferencial de orden n. Ejemplo 8.1 Transformar la siguiente ecuacin a la expresin de operadores correspondiente.d 3y dx 3 5 d 2y dx 2 6 dy dx 8y x2 ex

Solucin:D3y D3 5D 2 y 6Dy 8y 5D 2 6D 8y

x2 x2

ex ex

De manera general se describen las propiedades de los operadores: Un solo Operador Funcin de Operadores

Dn u Dn au

V

D nu aDn u

D nv

D D

u V au

D a D

u u

D

v

VIII.2 SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL DE ORDEN n Considrese la ecuacin lineal general de orden n dada en (20). Se est interesado en saber cmo se puede obtener su solucin general. Para hacer esto se asocia a la ecuacin general:

DOtra ecuacin auxiliar:

y

F x

(21)

D

y

0

(22)

Obtenida al reemplazar F(x) por cero. Por supuesto que si F(x) desde un principio ya es cero, entonces ambas ecuaciones son realmente las mismas. Se asumir por ello que F(x) 0. La ecuacin ecuacin

DDy

y

F x con F(x) 0 ser la ecuacin original, mientras que la0 ser una ecuacin auxiliar o complementaria. La ecuacin

diferencial original genera una solucin particular (YP) y la ecuacin diferencial auxiliar genera una solucin complementaria (YC), ambas nicamente satisfacen a las ecuaciones que les dieron origen. Sin embargo, la combinacin lineal (suma) de estas soluciones constituye la solucin completa de la Ecuacin Diferencial. Y = YC + YP Teorema Fundamental I Si y u x es cualquier solucin de la ecuacin original (21), y v x es cualquier solucin de la ecuacin auxiliar (22), entoncesy ux vx

(23)

Es una solucin que satisface a la ecuacin original. La demostracin de esto es la siguiente: Puesto que u x es una solucin de la ecuacin original, se tiene queDu

F x

(24)

Por otro lado, si v x es una solucin de la ecuacin auxiliarDv

0

(25)

Ahora bien, si sumamos ambas ecuaciones se obtiene lo siguiente:

D DDu

u v

F x 0v

Du v

F x

D

F x

Lo cual es otra manera de expresar que y u x v x es una solucin. Estas expresiones nos muestran que una ecuacin diferencial de orden n se convierte en una ecuacin diferencial de grado n.

Al inicio del curso se defini la solucin general de una ecuacin diferencial de orden n como una solucin que contiene n constantes arbitrarias. Del Teorema fundamental I se deduce que y u x v x ser la solucin general si u x no tiene constantes arbitrarias y v x tiene n constantes arbitrarias. Si v x cumple esta condicin, entonces es la solucin general a la ecuacin auxiliar (22). Si u x no tiene constantes arbitrarias es una solucin particular de la ecuacin dada (21). Teorema Fundamental II La solucin general de la ecuacin

D

y

F x se puede obtener al encontrar una

solucin particular y P a partir de esta ecuacin y aadirle la solucin complementaria y C , la cual es la solucin general de D y 0 . VIII.3 SOLUCIN COMPLEMENTARIA Como ya se ha indicado, la solucin complementaria se obtiene a partir de la ecuacin auxiliar y es precisamente la solucin general de sta. La solucin general de una ecuacin diferencial se define a partir del siguiente teorema: Teorema: Si y1 , y2 ,...,y k , son soluciones de

D

y

0 , entonces c1 y1

c2 y 2

... c k y k ,

donde c1, c2 y ck son constantes, es tambin una solucin. Mtodo de Solucin: Nos referiremos inicialmente al caso especial de la ecuacin diferencial lineal de segundo orden ay' ' by' cy 0 Siempre que los coeficientes de las derivadas sean constantes, la ecuacin se satisface con una solucin de la forma y e mx , entonces y' me mx y y' ' m 2 e mx , de modo que al sustituir en la ecuacin anterior se tiene:am2 e mx bme mx ce mx 0

O bien,

e mx am 2

bm c

0

Ahora, es necesario encontrar los valores de m que nos permitan conocer la solucin, y como sta debe ser real, entonces e mx 0 ; por lo tanto, cuando x tiene un valor real, la nica forma de que en la ecuacin anterior se satisfaga es eligiendo un valor de m, tal que sea una raz de la ecuacin cuadrtica generada para m:am2 bm c 0

Ntese que se acaba de transformar una Ecuacin Diferencial en una Ecuacin Algebraica. Enseguida se examinarn diferentes situaciones que se pueden originar dependiendo de los valores de las races obtenidas para cada ecuacin dada. a) Caso I : Todas las races son Reales y Diferentes Si la ecuacin cuadrtica de m, am2bm c 0 tiene dos races reales diferentes,mxm x

m1 y m2, se obtienen las soluciones y 1 e 1 y y 2 e 2 . Estas funciones son linealmente independientes, lo cual indica que constituyen una solucin fundamental. En consecuencia, la solucin general de la ecuacin diferencial de segundo orden est dada por:

yEjemplo 8.2

c1 e m1 x

c2 e m2 x

(26)

D2

3D 2 0

Solucin: 1. Establecer la solucin exponencial: y e mx D y me mx 2. Aplicar operadores a la solucin: 2 D y m 2 e mx 3. Sustituir en la ecuacin diferencial: m 2 emx 4. Factorizar y resolver para m:

3 me mx

2 e mx

0

e e

mx mx

m

2

3m 2

0

m 2 m 1 0 (m 2) 0 (m 1) 0m 2 m 1

5. Establecer la solucin general: y1

c1 e x

y1

c2 e 2 x

Ejemplo 8.3:

y' ' ' 6y' ' 11y' 6y 0 D3 e mx m 3 6D 2 6m 2 11D 6y

y e mx Dy D2y D3y me mx m 2 e mx m 3 e mx

0 0

11m 6

Ntese que es necesario Factorizar (encontrar races) de una ecuacin de grado superior, para lo cual se utilizar la Divisin Sinttica: 1 1 1 1m 1 m 2 m 3 0 m 1, m 2, m 3

-6 1 -5 2 -3 3

11 -5 6 -6

-6 6

1 2 3

La solucin general es: y

c1 e x

c2 e 2x

c 3 e 3x

a) Caso II : Races Repetidas

Si se tiene la siguiente ecuacin diferencial D2

6D 9 y 0 , y se desea conocer su solucin fundamental, entonces se realizan los pasos dichos con anterioridad:e mx m 2 6m 9 m 3 m 3 m m 0 0 3 3

Ntese que se tienen races repetidas, por lo que al sustituir en la solucin general se tiene: y c1 e 3 x c 2 e 3 x

y ce 3 xComo podemos darnos cuenta, la solucin se redujo a una solucin con una sola constante (c = c1 + c2), lo que nos indica que es solucin de una ecuacin de orden (n 1) 2 1 1 , lo cual no es cierto, pues sabemos que proviene de una ecuacin de segundo orden.

De modo, que la solucin encontrada no constituye una solucin fundamental puesto que falta una constante arbitraria. Para conocer la solucin fundamental de la ecuacin es necesario descomponer la solucin en y y 1v donde y1 es la solucin conocida y v es una solucin desconocida. Para el ejemplo anterior esto sera: y e 3x v Si ahora encontramos las derivadas de esta nueva solucin compuesta para satisfacer la ecuacin original:

y e 3x v y' e 3 x v' 3ve 3 x y' ' e 3 x v' ' 3v' e 3 x 9ve 3 x 3e 3 x v' e 3 x v' ' 6e 3 x v' 9ve 3 xAl sustituir en la ecuacin:

e 3 x v' ' 6e 3 x v' 9ve 3 x e 3 x v' ' 6e 3 x v' 9ve 3 x

6 e 3 x v' 3ve 3 x 6e 3 x v' 18ve 3 x

9e 3 x v 0 9e 3 x v 0 e 3 x v' ' 0

Donde e 3xconocer a v:

0 y v' ' 0 , por lo tanto, podemos integrar esta segunda expresin para

d 2v v' ' dx 2 d 2v 0 dx 2 dv d 0 dx dv d 0 dx dv c1 dx dv c1 dxv c1 x c 2

Sustituyendo v en y e 3 x v :

y

e 3 x c1 x c2

y c1 xe 3 x

c2e 3 x

(27)

Esta ltima expresin constituye la solucin fundamental de la ecuacin origina. Ntese que por cada solucin repetida se agrega una x como factor de una de las soluciones obtenidas para obtener la solucin fundamental. c) Caso III: Races Imaginarias Si las races obtenidas son del tipo a bi donde b 0 , la solucin estransformada a la forma:

y e ax c1 cos bx

c2 sinbxce abix

(28). Utilizando las

Si no se transformara, la solucin obtenida sera yidentidades de Euler la solucin se simplifica hasta (28).

Identidades de Euler e ix cos x i sin x e ix cos x i sin xNota: Los nmeros complejos aparecen conjugados, de manera que son dos resultados, es decir, dos races no repetidas.

Leonhard Euler (1707-1783)La precisin y alcance de sus descubrimientos en el campo del clculo infinitesimal le concedieron el mximo prestigio en las sociedades cientficas europeas. La brillantez de sus trabajos despert el inters de los principales matemticos de su poca, como Jean Bernoulli. La actividad de Euler no decay, ni siquiera cuando a los sesenta aos qued totalmente ciego.

Ejemplo 8.4 Encontrar la solucin fundamental de la siguiente ecuacin:y' ' y 0

D2Solucin:

1y 1 m

0 0 i

e mx m 2 m2

1 0

A partir de lo anterior, sin hacer transformacin, la solucin queda:

y c1 e ix

c2 e

ix

Por otro lado, haciendo la correspondiente transformacin, identificamos a y b de la expresin compleja y sustituimos en (28)

y e 0 c1 cos x c2 sin x y c1 cos x c2 sin x

Ejemplo 8.5 Encontrar la solucin fundamental de una ecuacin cuyas races fueron: 2, -1, 0, 0, 3 5i, 2, 0, 3 5i. Solucin: Es importante identificar antes que nada, que la ecuacin que dio origen a todas estas races es de dcimo orden (tiene diez races), y por lo tanto en la solucin deben estar presentes 10 constantes arbitrarias. Agrupamos pues las soluciones para conocer el nmero de veces que cada una de ellas se repiten: 1 Races

2,2 0,0,0

3 5i ,3 5i Escribimos la solucin fundamental basndonos en los criterios antes vistos, y aadiendo un elemento x por cada par sin-cos para las soluciones imaginarias:y c1 c2 x c3 x 2 c4 ex

c5e 2 x

c6 xe2 x

c7 e 3 x cos 5x

c8 sin5x

c9 xe 3 x cos 5x

c10 x sin5x

Ejemplo 8.6: Encontrar la solucin fundamental de la siguiente ecuacin:

D4

5D2 12D 28 y

0

Solucin: Es necesario primeramente encontrar las races de la ecuacin para m y en funcin a ello escribir la solucin, para ello utilizamos la divisin sinttica:

e mx m 4 m4

5m2 5m2

12m 28

0

12m 28 0

1 1 1

0 -2 -2 -2 -4

-5 4 -1 8 7

12 2 14 -14

28 -28

-2 Races -2

Discriminante negativo

Resolviendo la ltima expresin:m 4 2 2 12

3 4 1 2 2 3i Identificando los elementos de la raz del tipo a bi. Se tiene: a =2, b=3 Con esto, la solucin es:

y c1 e

2x

c2 xe

2x

c3e2x cos 3x c4 e2x sin 3x

VIII.4 SOLUCIN PARTICULAR Hasta ahora hemos visto cmo obtener la solucin general a partir de una ecuacin complementaria, sin embargo an debemos conocer una solucin particular para tener completa a la expresin que satisface por completo a la ecuacin original. Para conocer la solucin fundamental de esta ecuacin existen 3 mtodos principales cuya finalidad es manejar ms fcilmente la Ecuacin Diferencial a resolver, y encontrar las soluciones de manera ms rpida.

Mtodo de Coeficientes Indeterminados El mtodo de los coeficientes indeterminados se aplica en la Ecuacin Diferencial D y F x , donde F(x) contiene un polinomio con trminos de la forma sin rx, cos rx,e rx , donde r es constante, o combinaciones de sumas y productos de estos. El mtodo consiste en proponer una solucin particular yp que al sustituirla en la ecuacin diferencial dada produzca de alguna manera la F(x), sin importar el coeficiente o coeficientes numricos de la misma. Posteriormente se igualan los coeficientes de los trminos del lado derecho con los respectivos de los trminos correspondientes del lado izquierdo. Es muy importante que no se trasponga ningn trmino al otro lado de la ecuacin.

Veamos el siguiente ejemplo para una mejor comprensin del mtodo: Ejemplo 8.7 Encontrar la solucin completa de la ecuacin siguiente utilizando el mtodo de los coeficientes indeterminados:

D2 2D y

4e2 x

Solucin: Para resolver el problema seguiremos los siguientes pasos:

1. Plantear la solucin particular yp basndonos en F(x) (Es posible utilizar la tabla de la pgina siguiente). Para este caso, puesto que F(x) es una funcin exponencial la funcin que le dio origen debe ser exponencial tambin, ya que este tipo de funciones son cclicas o repetitivas, si se deriva, se obtiene otra exponencial, y si se integra, lo mismo (igual que el par sin-cos); para el caso de otras funciones se aade una tabla de soluciones particulares al final de este ejemplo, con la ayuda de dicha tabla es posible plantear la Ecuacin Diferencial. Ntese que se introducen parmetros desconocidos representados por las letras a, b, c, etc. Para denotar los coeficientes de la solucin particular: y p ae2 x 2. Derivar cuantas veces se indique: Como la ecuacin es de segundo orden, sse deriva dos veces. y' p 2ae 2 x Dyy' ' p 4ae 2 x D2 y

3. Sustituir Yp en la Ecuacin diferencial y encontrar el valor de los parmetros desconocidos igualando coeficientes de ambos lados de la ecuacin: D 2 2D y 4e 2 x 8a 4 4ae 2 x 2 2ae 2 x 4e 2 x 1 a 4ae 2 x 4ae 2 x 4e 2 x 2 8ae 2 x 4e 2 x 4. Establece la solucin particular yp sustituyendo los valores encontrados para a, b, c, etc.: 1 2x yp e 2

5. Plantear la solucin completa mediante la combinacin lineal de yp y yc1:y y yp yc c 2 sin2 x 1 2x e 2

c1 cos 2 x

Funcin F(x)1

Solucin yp

La solucin complementaria se obtuvo a partir de la ecuacin auxiliar D 2 2D

0 , donde las races

fueron imaginarias m

2i .

xn e ax sin bx c cos bx cx n e ax x n sin bx c

x n , x n 1 , x n 2 ,..., x ,1

e axsin bx c , cos bx c

x n e ax , x n 1 e ax , x n 2 e ax ,..., xe ax , e ax{ x n sin bx c , x n cos bx c , x n 1 sin bx c , x n 1 cos bx c ,..., x sin bx c , x cos bx c , sin bx c , cos bx c }

x n cos bx ce ax sin bx c

e cos bx c x e ax sin bx c x n e ax cos bx cn

ax

e ax sin bx c , e ax cos bx c x n e ax sin bx c , x n e ax cos bx c , x n 1 e ax sin bx c , x n 1 e ax cos bx c ,...,xe ax sin bx c , xe ax cos bx c , e ax sin bx c , e ax cos bx c

Con esta tabla es posible establecer la solucin particular de una ecuacin diferencial a partir del F(x), proporcionado en la ecuacin inicial.

Ejemplo 8.8 Encontrar la solucin completa de la ecuacin siguiente utilizando el mtodo de los coeficientes indeterminados:

D2

4D 4

y

6 sin 3x

Solucin: Para obtener la ecuacin completa es necesario plantear la ecuacin auxiliar que dar origen a yc y a solucin particular yp a partir de la tabla de soluciones particulares: Ecuacin Original Ecuacin Auxiliar

D2DD22

4D 44D 4 m 2

y

6 sin 3x00 0c1 e2x

4D 4 yy

m2

mD 4 02

m m

2 22x

Solucin Complementaria

yc

c 2 xe

Solucin Particular

yp

a cos 3x b sin3x

Derivadas Necesarias

y' p y' ' p

3a sin 3x 3b cos 3x 9a cos 3x 9b sin 3x

Sustitucin en la Ecuacin:

9a cos 3x 9bsen 3x 4 3a sin3x 3b cos 3x 4 a cos 3x b sin3x 6 sin3x 9a cos 3x 9bsen 3x 12a sin3x 12b cos 3x 4a cos 3x 4b sin3x 6 sin3x 5a cos 3x 5b sin3x 12a sin3x 12b cos 3x 6 sin3x

Agrupacin de trminos e igualacin de coeficientes:5a cos 3x 5b sin3x 12a sin3x 12b cos 3x 6 sin3x 5a 12b cos 3x 5b 12a sin3x 6 sin3x 5a 12b 5b 12a 0 6

a

Resolviendo por ecuaciones simultneas se obtienen los valores de a y b:b

72 169 30 169

Reconstruyendo la solucin completa: (Y =Yc + Yp)y c1 e2x

c2 xe

2x

72 30 cos 3x sin 3x 169 169

Ejemplo 8.9: Encontrar la solucin completa de la ecuacin siguiente utilizando el mtodo de los coeficientes indeterminados:

D2

3D 2 y

4e

2x

Solucin:

D2m2

3D 2 y0c2 e2x

0m m 1 2

3m 2 0

m 2 m 1Solucin complementaria: Solucin Particular:yc c1 ex

ypy' p y' ' p

ae

2x2x

2ae 4ae2x

2x

4ae

2x

6ae

2x

2ae

0

4e 4

2x

Inconsistencia Matemtica

Esto sucede porque la solucin particular que se plante ya est repetida en la solucin complementaria. Se debe ser muy cuidadoso cuando se emplea este mtodo, pues no nos permite visualizar de manera tan obvia la repeticin de las races, lo cual nos puede generar errores como en el caso anterior. Para que esto no ocurra, es necesario agregar el factor x en Yp para volverla diferente de la solucin complementaria:

y p axey' p ae y' ' p2x

2x

2axe2x 2x

2x 2x 2x

2ae 4ae

2ae

4axe

2x

4axe

Sustituyendo en la Ecuacin y evaluando coeficientes:

4ae

2x 2x

4axe

2x

3 ae2x

2x 2x

2axe

2x 2x

2 axe 2axe ae

2x 2x 2x

4e 4e

2x 2x 2x

4ae

4axe

3ae

6axe

4e a 4

ypy c1 ex

4 xec2 e

2x

Solucin Particular

2x

4e

2x

Solucin Completa

Ejemplo 8.10: Encontrar la solucin completa de la ecuacin siguiente utilizando el mtodo de los coeficientes indeterminados:

D2

D 1y

x 3e x

Solucin: Es necesario establecer las solucin complementaria y la solucin particular; para esta ltima se utiliza la tabla. Ecuacin Auxiliar:

D2

D 1y

01 2 1 2 3 i 2 1 4

m2 m 1 0 m m

a b

1 2 3 2

Solucin Complementaria:

ycSolucin Particular:

c1 e

1 x 2

cos

3 x 2

c2 sin

3 x 2

y p ax 3e xDerivadas:

bx 2 e x

cxe x

de x

y' p 3ax 2 e x y' ' p 6axe x ax 3 e x

ax 3 e x 3ax 2 e x 6ax 2 e x

2bxe x 3ax 2 e x bx 2 e x

bx 2 e x ax 3 e x 6axe x

ce x 2be x 4bxe x

cxe x

de x 2bxe x 2be x bx 2 e x 2ce x de x ce x ce x cxe x de x

2bxe x cxe x

Sustitucin en la Ecuacin:ax 3e x 6ax 2e x bx 2e x 6axe x 4bxe x cxex 2be x 2ce x de x 3ax 2e x ax 3e x 2bxe x bx 2e x ce x cxe x de x ax 3 e x bx 2 e x cxe x de x 3ax 3 e x 9ax 2 e x 3bx 2 e x 6axe x 6bxe x 3cxe x 2be x 3ce x 3de x

+ +

x 3e x

Factorizacin e igualacin de coeficientes:

3a x 3 e x3a 9a 3b 6a 6b 3c 2b 3c 3d

9a 3b x 2 e x1 0 0 0

6a 6b 3c xe x

2b 3c 3d e x

x 3e x

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene: a Solucin Particular: Solucin completa:yp 1 3 x x e 3 x 2e x 4 x xe 3

1 , b 3 2 x e 3

1, c

4 , d 3

2 3

y c1 e

1 x 2

cos

3 x 2

c2 sin

3 x 2

1 3 x x e 3

x 2e x

4 x xe 3

2 x e 3

VIII.5 MTODOS PARA LA SOLUCIN DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR Mtodo Aniquilador Es posible por el mtodo de coeficientes Indeterminados, es posible resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, pero no se muestran de manera tan explcita el nmero d soluciones repetidas. El mtodo aniquilador o de aniquilacin, a diferencia del mtodo anterior es un procedimiento que nos permite conocer el nmero de soluciones repetidas que podemos encontrar en nuestra solucin de una forma sencilla, de manera que nos permite plantear con seguridad y de manera correcta la solucin particular Yp. El mtodo consiste en transformar en cero el lado derecho de nuestra ecuacin, es decir F(x), mediante una serie de operaciones que nicamente se indican del lado izquierdo y se realizan del lado derecho.

Al final, obtendremos la solucin particular a partir de los operadores que se agregaron en el proceso y la solucin complementaria a partir de lo que originalmente se tena. El siguiente ejemplo nos permitir comprender mejor el mtodo.

Ejemplo 8.11 Encontrar la solucin completa de la siguiente ecuacin diferencial utilizando el mtodo de aniquilacin.

y' ' 4 y 4e 2 xSolucin: para la resolucin de este tipo de ejercicios es necesario seguir los siguientes pasos: 1. Expresar la ecuacin diferencial en forma de operadores:

D2

4

y

4e2 x

2. Derivar para volver cero el lado derecho de la ecuacin, manejando las ecuaciones como simultneas. Expresar operaciones en el lado izquierdo de la ecuacin y ejecutarlas en el lado derecho:D2 D D2 4 4y y

4e 2 x 8e 2 x

(1) (2)

(1)*-2 + (2) Operaciones para eliminar el lado derecho de la ecuacin.2 D2 D D2 4 4y y

8e 2 x 8e 2 x

D 2 D2

4

y

0

3. Una vez que el lado derecho de la ecuacin es cero podemos obtener la solucin particular y la complementaria. La primera se obtiene de la expresin nueva mientras que la segunda surge de lo que se tena al inicio:

D 2

y

Solucin Particular

D2 4 y Solucin Complementaria

0

Solucin Complementaria

D2 m2

4

y

0yc c1 cos 2x c2 sin2x

4 0 m 2i

Solucin Particular

D 2

y

0

m 2 0 m 2

yp4ae 2 x

ae2 x y p4 ae 2 x 8ae 2 x 4e 2 x 4e 2 x 1 2

1 2x e 2

y' p 2ae 2 x y' ' p 4ae 2 x

8a 4 a

4. Establecer la solucin completa como la combinacin lineal de la solucin particular y la solucin complementaria:

y c1 cos 2x c2 sin 2x

1 2x e 2

Ejemplo 8.12: Encontrar la solucin completa de la siguiente ecuacin diferencial utilizando el mtodo de aniquilacin.

D2

3D 2 y

4e

2x

Solucin:D2 D D2 3D 2 3D 2y y

4e

2x 2x

(1) (2)

8e

(1)*2 + (2) Operaciones para eliminar el lado derecho de la ecuacin.2 D2 D D2 3D 2 3D 2y y

8e

2x 2x

8e

D 2 D2 3D 2 y

0

D 2

y

Solucin ParticularSolucin Complementaria:

D2 3D 2 y Solucin Complementaria

0

D2 m2

3D 2

y

0 0

3m 2 0

m 1 m 2

m m

1 2

yc

c1 e

x

c2 e

2x

Solucin Particular: D 2y 0m 2 0 yp m 2

axe

2x

yp

2 2x e 3

Puesto que la solucin ya est repetida, es necesario agregar un trmino x para tener 2 soluciones diferentes y por lo tanto 2 constantes arbitrarias correspondiente con el orden de nuestra ecuacin original.

4axey' p y' ' p 2axe 4axe2x

2x

3 2ae 4axe2x

2x

2

1 xe 2

2x

4e 4e 4e 2 3

2x

6ae

2x

xe 6ae

2x 2x

2x 2x

2x

6a 4 a

Solucin completa:

y c1 e

x

c2 e

2x

2 e 3

2x

Ejemplo 8.13 Plantear la solucin complementaria y partculas de la siguiente ecuacin diferencial utilizando el mtodo de aniquilacin.

D2

D 1y

x ex

3

Solucin:D2 D D2 D 1 D 1y y

x 3e x 3x 2 e x x 3e x

(1) (2)

(1)*-1 + (2):

1 D2 D D2

D 1 D 1

y y

x 3e x 3x 2 e x x 3e x(3)

D 1 D2 D D 1 D2

D 1

y y

3x 2 e x 6 xe x 3x 2 e x

D 1

(4)

(3)*-1 + (4):1 D 1 D2 D D 1 D2 D 1 D 1y y

3x 2 e x 6 xe xy y

3x 2 e x 6 xe x 6 xe x 6e x(5) (6)

D 1 D 1 D2 D D 1 D 1 D2

D 1 D 1

(5)*-1 + (6):1 D 1 D 1 D2 D D 1 D 1 D2 D 1 D 1y y

6 xe x 6 xe xy y

6e x 6e x 6e x(7) (8)

D 1 D 1 D 1 D2 D D 1 D 1 D 1 D2

D 1 D 1

(7)*-1 + (8):1 D 1 D 1 D 1 D2 D D 1 D 1 D 1 D2 D 1 D 1y y

6e x 6e x

D 1 D 1 D 1 D 1 D2

D 1y

0

D 1 D 1 D 1 D 1

y

Solucin Particular

D2 D 1 y Solucin Complementaria

0

Solucin Complementaria:

D2 m2

D 1y

0

m 1 0 m 1 2 3 i 2

yc

e

x

2

c1 cos

3 3 x c2 sin x 2 2

Solucin Particular:

D 1 D 1 D 1 D 1

y

0

m 1 m 1 m 1 m 1

yp

ae x

bxae x

cx 2ae x

dx 3e x

Ejemplo 8.14 Plantear la solucin complementaria y partculas de la siguiente ecuacin diferencial utilizando el mtodo de aniquilacin.

D2

4D 4

y

6 sin 3x

Solucin:D2 DD D D2 2 2

4D 4 4D 4 4D 4

y y y

6 sin 3x 18 cos 3x 54 sin 3x

(1) (2) (3)

(1)*9 + (3):9 D2 D D2 2

4D 4 4D 4

y y

54 sin 3x 54 sin 3x

D2

9 D2

4D 4

y

0

D2 9 y Solucin Particular

D2 4D 4 y Solucin Complementaria

0

Solucin Complementaria:

D2 m2

4D 4

y

0yc c1 e2x

4m 4 0c 2 xe2x

m 2 m 2 0 m 2 m 2

Solucin Particular:

D2 m2

9

y

0

9 0 m 3i

yp

a cos 3x b sin3x

Ejemplo 8.15: Plantear la solucin complementaria y partculas de la siguiente ecuacin diferencial utilizando el mtodo de aniquilacin.

D2 3D 2 ySolucin:D2 DD2

2x 2

ex

2xe x

4e 3x

3D 2 3D 2

y y

2x 2

exx

2 xe x 2 xex

4e 3 x 12e3x

(1) (2)

4 x 3e

(1)*-1 + (2):1 D2 D D2 3D 2 3D 2y y

2x 2

ex 2x 2

2 xe x 2 xe x

4e 3 x 12e 3 x 8e 3 x 24e 3 x(3) (4)

4 x 3e xy y

D 1 D2 D D 1 D2

3D 2 3D 2

4 x 2e x

4 x 4 2e x

(3)*-3 + (4):3 D 1 D2 D D 1 D2 3D 2 3D 2y y

6x 2 4x

12x 6e x 4 2e x

24e 3 x 24e 3 x

D 3 D 1 D2 DD 3 D 1 D2

3D 2 3D 2

y y

6x 2

16 x 4e xx

4

(5) (6)

12x 16 4e

(5)*-1 + (6):1 D 3 D 1 D2 D D 3 D 1 D2 3D 2 3D 2y y

6x 2

16 x 4e x6x 2 0y

4

12x 16 4e xy y

D 1 D 3 D 1 D2 D3 D 1 D 3 D 1 D2

3D 2 3D 2

28 x 20

D3 D 1 D 3 D 1 Solucin ParticularSolucin Complementaria:

D2 3D 2 y Solucin Complementaria

0

D2 m2

3D 2

y

0yc c1 e x c2 e 2 x

3m 2 0

m 1 m 2 0 m 1 m 2Solucin Particular:

D3 D 1 D 3 D 13

y

0 0

m m 1 m 3 m 1

m m m m m m

0 0 0 1 3 1

y p a bx cx 2

dxe x

fx 2 e x

ge 3x

Mtodo de Variacin de Parmetros de Lagrange. Los mtodos anteriores se aplican a las ecuaciones diferenciales de la forma D y F x , donde F x contiene un polinomio, trminos de la forma sin rx, cos rx,e rx , donde r es constante, o combinaciones de sumas y productos de estos, como consecuencia tienen muchas limitaciones. Existen ecuaciones que no cumplen con lo anterior y requieren de un mtodo ms eficaz para su resolucin. Por tan solo citar un ejemplo: d2y y tg (t ) dt 2Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Hijo del tesorero real de Cerdea, que perdi su fortuna, y descendiente de una familia emparentada con Ren Descartes, fund en 1748 la academia de Turn. Fue nombrado senador y conde por Napolen Bonaparte. Entre sus escritos los temas que predominaron fueron: ecuaciones diferenciales, probabilidad, teora de los nmeros y mecnica celeste.

El mtodo de variacin de parmetros, se desarrolla en conexin con la ecuacin diferencial lineal general de segundo orden de coeficientes variables.a0 x d n21 y dx n 2 a1 x dy dx a2 x y F x

(29)

Se supone que y 1 y y 2 son soluciones linealmente independientes de la ecuacin homognea correspondiente:a0 x d n21 y dx n 2 a1 x dy dx a2 x y 0

(30)

Entonces, la funcin complementaria de la ecuacin (29) es:c1 y 1 x c2 y 2 x ,

El procedimiento en el mtodo de variacin de parmetros es sustituir las constantes arbitrarias c 1 y c 2 de la funcin complementaria por las respectivas funciones u 1 y u 2 que sern determinadas de modo que la funcin resultante que est definida por:u1 x y1 x u2 x y 2 x

(31)

Sea una integral particular de la ecuacin (29) (de aqu el nombre de variacin de parmetros). Para simplificar la notacin de la ecuacin (31) se emplear:y u1 y1 u2 y2

Se tienen ahora dos funciones u 1 y u 2 que satisfacen la condicin nica de que (31) sea una solucin de (29). Puesto que se tienen dos funciones pero slo una condicin sobre ellas, se impondr una segunda condicin, que no contravenga a la primera. Se supone ahora una solucin de la forma (31) y se escribe:

ypDerivando y p se obtiene:

u1 y 1

u2 y 2u'2 y 2

(32) (33)

y' p u1 y'1 u2 y'2 u'1 y 1

Donde la notacin de primas se utiliza para denotar las derivadas de las funciones correspondientes. Es en este punto donde se impone la segunda condicin que es:u'1 y1 u'2 y 2 0

(34)

Con esta condicin impuesta, la ecuacin (19) se reduce a:

y ' p u1 y ' 1 u 2 y ' 2Derivando esta nueva ecuacin:

(35)

y' ' p u1 y' '1 u2 y' ''2 u'1 y'1 u'2 y''2

(36)

Obtenidas las ecuaciones anteriores, stas se sustituyen en la ecuacin original (29) puesto que la ecuacin (32) es una solucin particular que la satisface:a0 u1 y' '1 u2 y' ''2 u'1 y'1 u'2 y''2 a1 u1 y'1 u2 y''2 a2 u1 y 1 u2 y 2 a0 u1 y' '1 a0 u2 y' ''2 a0 u'1 y'1 a0 u'2 y''2 a1u1 y'1 a1u2 y''2 a2u1 y1 a2u2 y 2 a0 u1 y' '1 a0 u'1 y'1 a1u1 y'1 a2u1 y 1 a0 u2 y' ''2 a0 u'2 y''2 a1u2 y''2 a2u2 y 2 F x F x F x

Asociando:a0 u1 y' '1 a0 u'1 y'1 a1u1 y'1 a2u1 y 1 a0 u2 y' ''2 a0 u'2 y''2 a1u2 y''2 a2u2 y 2 F x u1 a0 y' '1 a1 y'1 a2 y 1 u2 a0 y' ''2 a1 y''2 a2 y 2 a0 u'1 y'1 a0 u'2 y''2 F x

Puesto que y 1 y y 2 son soluciones de la ecuacin auxiliar ( D

y

0 , los dos primeros

trminos de la ltima expresin se hacen cero, dando como expresin final:a 0 u'1 y'1 a 0 u'2 y''2 a 0 u'1 y'1 u'2 y''2 u'1 y'1 u'2 y''2 F x a0 F x F x

(37)

Finalmente, establecida la segunda condicin se llega al sistema de ecuaciones con dos incgnitas, u'1 y u'2 : u'1 y1 u'2 y 2 0 Sistema de 2 Ecuaciones F x u'1 y'1 u'2 y''2 con 2 incgnitas a0 Para obtener las funciones desconocidas u 1 y u 2 , se procede a la integracin de los valores obtenidos mediante la resolucin del sistema. Anlogamente, para una ecuacin de tercer orden, el sistema obtenido ser de 3 ecuaciones con 3 incgnitas:u'1 y 1 u'2 y 2 u' 3 y 3 u'1 y'1 u'2 y'2 u' 3 y' 3u'1 y' '1 u'2 y' ''2 u ' 3 y' ' 3

0 0F x a0

Sistema de 3 Ecuaciones con 3 incgnitas

Generalizando para toda ecuacin de orden superior, el sistema es:u'1 y1 u'2 y2 ... u' n y n 0 u'1 y'1 u'2 y'2 ... u' n y' n 0 : :u'1 y 1 n1

Sistema de n Ecuaciones con n incgnitas

u'2 y '2 n

1

u'n yn n

1

F x a0

Para la solucin de los sistemas se emplea la regla de Cramer y se obtiene el Wronskiano para cada incgnita, de modo que:

u' k

Wk W

k 1,2,3,...,n

A continuacin se muestra el caso particular para el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, es decir, para una ecuacin de tercer orden:

1) Colocar los coeficientes de cada una de las variables en las columnas,

procurando ordenarlos y as mantenerlos:u'1 y1 u'2 y2u' 3

y3

W=

y1 ' y1 ''

y'2 y2 ''

y'3 y3 ''

2) Obtener el Wronskiano W aplicando la regla de Cramer:

u'1y1 y1 ' y1 ''

u'2y2 y'2 y2 ''

u' 3

W=

y3 y'3

y1 y1 'y1 '' +

-

-

-

y3 '' +

y2 y'2 y2 ''

+

3) Obtener el Wronskiano para cada incgnita: W1, W2, W3, sustituyendo los trminos independientes de las ecuaciones en la columna correspondiente a la incgnita de la cual se desea obtener el Wronskiano:

u'10 0 F x a0

u'2 y2 y'2 y2 ''

u' 3

W1 =

y3 y'3y3 ''

0 0 F x a0

y2 y'2 y2 ''

u'1 y1 y1 ' y1 ''

u'200 F x a0

-

+u' 3

+

+

W2 =

y3 y'3y3 ''

y1 y1 ' y1 ''

0 0 F x a0

-

-

-

+

+

+

u'1y1 y1 '

u'2y2 y'2

u' 3

W3 =

y1 ''

y2 ''

0 0 F x a0

y1 y1 '

y2 y'2

y1 ''

y2 ''

-

-

-

+

+

+

2) Obtenidos los Wronskianos particulares de cada incgnita W1, W2, W3, y el

Wronskiano del sistema W, podemos conocer el valor de cada una de las incgnitas:u'1 W1 W u'2 W2 W u' 3 W3 W

Sin embargo, lo que nosotros deseamos conocer es el valor de u k y no el de su derivada, por lo que se integra para obtener el valor de cada una de las funciones desconocidas:uk u1 W1 dx C 1 W u2 Wk dx W W2 dx C 2 W u3 W3 dx C 3 W

Finalmente, conociendo los valores de las funciones desconocidas se sustituye en la ecuacin planteada originalmente (17) y u1 y1 u2 y2 .

Ejemplo 8.16: Encontrar la solucin a la ecuacin diferencial mediante el mtodo de Variacin de Parmetros.

D2 1 y

tanx

Solucin: A partir de la ecuacin auxiliar obtendremos las equivalencias de y 1, y2, u1 y u2:

D2 m2 m

1y 1 0 i

0yc c1 cos x c2 sinxy1 y2 cos x sinx c1 u1 c2 u2

Partiendo de yc , establecemos:

Sustituyendo en (31):

y u1 cos x u2 sin x

Para poder la obtencin de los Wronskianos es necesario obtener las derivadas de y 1 y y2 : y1 ' sinx y 2 ' cos x Sustituyendo en las ecuaciones, el sistema resultante es el siguiente:u'1 cos x u'2 sin x 0 tan x u'1 sin x u'2 cos x 1Obtencin de Wrosnkianos:

u'1cos x sin x

u'2sin x cos x

W=

= cos 2 x

sin2 x 1

u'10 tax

u'2sin x cos x

W1 =

=

sin x tan x

u'1cos x sin x

u'20 tax

W1 = Obteniendo uk :u1 W1 dx W sin x tan x dx 1 sin x tan xdx cos x tan x cos x sin x u1 sin x cos x sec xdx tan x C1

= sin x

u2cos x sec 2 xdx cos x 1 dx cos 2 x

W2 dx W sin x dx 1 sin xdx cos x C 2

u2

sin x ln sec x

La solucin completa es:y sin x ln sec x tan x C 1 cos x cos x C 2 sin x

y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tanx

Ejemplo 8.17 Encontrar la solucin a la ecuacin diferencial mediante el mtodo de Variacin de Parmetros.

2y ' ' ' 6 y ' ' x 2Solucin: Antes que nada, es necesario obtener la ecuacin auxiliar y la solucin complementaria:

2D3 6D22D 3 2m 3 6D 2

y

x20 0yc c1 xc 2 c3e 3x

y

6m 2

2m 2 m 3 0 m 0 m 0 m 3

Haciendo el cambio de constantes por funciones: y c Planteando el sistema de Ecuaciones: u1 ' u 2 ' x u 3 e 3 x 00 u2 ' u3 ' 3e 3 x 0 0 u 3 ' 9e 3 x 0 x2 2 Resolviendo los Wronskianos:

c1

xc 2

c3e 3x

u'1

u'2x

u' 3

1W=0 0

e 3x

10 0

x

10

3e 3 x9e 3 x

1 0

= 9e3x

0

x

e 3x3e 3 x

0 0x2 2

x

W1 =0x2 2

10

10

=

3 3 3x 1 2 3x x e x e 2 2

9e 3 x

1W2 =0

00

e 3x

10

0 0=-

3e 3 x 9e 3 x

3 2 3x x e 2

0

x2 2

0

x2 2

1W3 =0 0

x

00

10 0

x

10

10

=-

x2 2

x2 2

u1

u1

W1 dx W 1 3x 3 x 2 dx 18 1 3 4 1 3 x x C1 18 4 3 1 4 1 3 x x C1 24 54

u2

W2 W 1 6 1 6 1 6

dx x 2 e 3x dx e 3x x 2 dx x3 3 C2 C2

u2

1 3 x 18

u3

W3 dx W 1 x 2 e 3 x dx 18 1 x 2 e 3x 2 xe 18 3 3 1 2 x e 54 1 2 x e 54 1 2 x e 54 1 2 x e 183x

3x

dx

3x

1 xe 3 x dx 27 1 1 xe 3 x 27 3 1 xe 81 1 xe 813x

1 e 3

3x

3x

u3

3x

3x

1 1 3x e C3 81 3 1 e 3 x C3 243

Sustituyendo en la solucin:y y x4 24 x4 24 x3 C1 54 x3 C1 54 x4 81 x3 C2 x 81 xC 2y

1 2 x e 54 1 x 18

3x

1 xe 18

3x

1 e 243

3x

C 3 e 3x

1 2 x 54x4 72 x3 54

1 C 3e 3x 243C1

x2 C 2 x C 3e 3 x 54

II.

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)Fue una persona con diversos intereses, entre ellos, la Astronoma, la Mecnica, las Matemticas, el Electromagnetismo y la Qumica. Trabaj junto con Antoine-Laurent Lavoisier en demostrar que la respiracin es una forma de combustin. Aunque de humilde origen, lleg a adquirir el ttulo de marqus de Laplace, otorgado por Luis XVIII de Francia, debido a su destacada actividad cientfica.

En los cursos anteriores de Clculo se aprendi que tanto la diferenciacin como la integracin son transformadas, es decir, transforman una funcin en otra. Adems, en ambos casos, poseen la propiedad de la linealidad, pues la integral de una suma, es la suma de las integrales, y la derivada de una suma, es la suma de las integrales.

(x2+x3-3) dx =x2dx +x dx -3dx3

La transformada de Laplace se define como una integral impropia, y es un mtodo muy eficiente para encontrar la solucin a ecuaciones diferenciales de orden superior.

L

f (t )

0

e

st

f (t )dt

b

lm

b 0

e

st

f (t )dt

F (s)

Definicin de Transformada de Laplace.

Adems de la propiedad de la linealidad, la transformada de Laplace tambin tiene muchas otras propiedades que la hacen til en la resolucin problemas de valor iniciales (PVI). En los siguientes ejemplos se muestra como se obtienen las transformadas de diversas funciones por la definicin de Transformada de Laplace.

Ejemplo 9.1 Encontrar la transformada de la funcin indicada utilizando la definicin de lmites.

a) L 1

0

e st dt

b

lm

b 0

e st dt

b

lm

1 e s

b st 0 b

lm

1 e s

sb

1 e s

s (0)

1 s

b) L e

3t

b

lm e0

b

( s 3t

dt lmb

1 s 3

b

e

( s 3)t 0

b

lm

1 s 3

e

( s 3)b

1 s 3

e0

1 s 3

Condiciones para la existencia de L f (t )

No es necesario que converja la integral que define a la Transformada de Laplace; por 2 1 ejemplo, ni L e t ni L existen. t Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de una transformada de una funcin f (t) son: 1.- Que f sea continua parte por parte en [0, ) si, en cualquier intervalo 0 a t b, existe a lo sumo un nmero finito de puntos tk para k=1,2,..,n, siendo tk-1< tk en los que la funcin tiene discontinuidades finitas y es continua en cada intervalo abierto tk-1 < t < tk . En la siguiente grfica se muestra una funcin continua parte por parte.

Funcin continua parte por parte

2.- Una funcin es de orden exponencial si existen nmeros k, M>0 y T>0 tales que

f (t )

Mekt .

Intuitivamente esto significa que la funcin f(t) esta por debajo de una funcin exponencial, como se muestra en la siguiente grfica:

Funcin de orden exponencial: permanece debajo de Mekt , es decir: |y| MektObservacin: algunas veces, para verificar que una funcin f(t) es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente lmite:

Para algn valor de k. Si L es finito, entonces M puede ser cualquier nmero mayor que L(y este determinaT). Por otro lado, s iL=, f no es de orden exponencial.

En la grfica anterior se puede observar que la funcin f (t) es de orden exponencial desde t T

En las grficas anteriores se observa que todas son de orden exponencial con excepcin de la grfica D que no es de orden exponencial como se aprecia en la grfica, pues e t crece con mayor rapidez, o no permanece debajo de et.2

Ejemplo: Compruebe que f(t) = t3 es de orden exponencial. Solucin Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L' Hpital:

Para cualquier nmero positivo . Por lo tanto, si y as es de orden exponencial.

es suficientemente grande |t3| b. De donde, ebt T, entonces:lm L f (t)s

0

A.1) 1 Teorema de Traslacin: Traslacin en el eje s.Esta propiedad operacional se emplea cuando una funcin f(t) cuya transformada de Laplace converge es multiplicada por eat. Es posible obtener la transformada de Laplace siempre y cuando s (s-a). Expresndolo matemticamente:

L e at f (t)Demostracin

L

f (t )

s

s a

F ( s a)

La demostracin es inmediata, dada la definicin de la transformada de Laplace:

LeEjemplos 9.4

at

f (t )0

e st e at f (t )dt0

e

( s a )t

f (t )dt

F ( s a)

a)

Le Le Le

5t 3

t

Lt

3 s s 5

6 s4

6s ( s 5)

s 5

4

b)

5t

cos 3t

L cos3t L sen

ss s 5

( s 5) 9s ( s 5)

s

2

s 5

2

9

c)

5t

senh 7t

7t

7s s 5

7 7s ( s 5)

s

2

s 5

2

7

A.2) Forma Recproca del Primer Teorema de TraslacinEn muchas aplicaciones prcticas ser necesario utilizar el primer Teorema de Traslacin en su forma inversa para determinar una funcin f(t) dada una funcin F(s)

e

at

f (t )

L

1

F (s a)

L

1

F(s)

s

s a

f(t)=

L

1

F (s)

Ejemplos 9.5Aqu se muestran algunas de las aplicaciones de la forma recproca del Primer Teorema de Traslacin en la transformacin de funciones:

a)

L-1

(s

2

s 6s 11)

L1

s (s 3) 2

2

L1

(s 3) 3 (s 2 3) 2

Se completa el binomio cuadrado perfecto Y separamos los trminos resultantes de sumar y restar 3 a la vez

L1

( s 3) ( s 3) 2 2

L1

(s

2

3 3) 2

L1

s s2

2

L1s ( s 3)

3 s2

2

s

( s 3)

Se utilizan artificios algebraicos para poder hacer la transformacin, adems del 1er Teorema de Traslacin .

L1

s s2

2

3 2 L 2 2 s 2

e

3t

cos 2t

3 e 2

3t

sin 2t

b)

L-1

s ( s 3) 2s s2

2

L-1s ( s 3)

( s 3) 3 ( s 3) 2 2

L-12)

( s 3) ( s 3) 2 2

+L

-1

3 ( s 3) 23 2 e3t

2

= L-1

2

+L

-1

3 2 2 (s2 s ( s 3)

=e

3t

cos 2t

sin 2t

Se multiplic por 1= (2/2) y se saca el -3, que no coincide con el modelo, tambin 1/2.

c)

L-1

2s 5 ( s 3) 2

L1

A s 3

L1

B ( s 3) 2

Se utilizan las fracciones parciales

2s 5 ( s 3) 22s 5 A 2 B 11

A s 3A( s 3) B

B ( s 3) 2

Sustituyendo en la ecuacin originalmente planteada:

L1

2s 5 ( s 3) 2

L1

2 s 3

L1

11 ( s 3) 2

Ahora supondremos que 1/(s-3)2 es F(s)=1/s2 habiendo sido desplazada en tres unidades a la derecha en el eje s, que se representa as:

L-1

2s 5 ( s 3) 2

2L 1

1 s

11L 1s ( s 3)

1 s2

2e 3ts ( s 3)

11e 3t t

Al final solo se aade e multiplicando por cada funcin o constante obtenidos usando la forma recproca del 1 Teorema de Traslacin.

at

IX.2.1 2 TEOREMA DE TRASLACIN: TRASLACIN EN EL EJE T Para introducir este teorema es necesario definir una funcin de uso comn en ingeniera, la funcin escaln unitario o funcin de Heaviside. Es una funcin efinida por partes. Esta ecuacin sirve para representar sistemas que despus de cierto tiempo se activan o desactivan, como por ejemplo, una fuerza aplicada para realizar un trabajo mecnico, o cierto voltaje que acta sobre un circuito despus de cierto tiempo. Su identidad es:

(t a)

0, 0 t a 1,t a

Observe que se define u(t-a) solo en el eje t no negativo, puesto que esto es todo lo que interesa en el estudio de la Transformada de Laplace. En el primer teorema de Traslacin se vio que un mltiplo exponencial de f(t) da como resultado un desplazamiento o traslacin en el eje s de la transformada F(s). De manera anloga, y como consecuencia de este teorema, se ve que siempre que F(s) se multiplica por una funcin exponencial e-as, a > 0, la transformada inversa del producto F(s) e-as es la funcin f desplazada a lo largo del eje t. Si

F ( s)

L 1 f (t )

, y adems a > 0, entonces;

L 1 f (t a)Demostracin Expresamos a:

(t a)

e

as

F ( s)

[e0

st

f (t ) (t

a)]dt

Como la suma de dos integrales:e0 st a 1 ,t f (t ) (t a)dt 0

e

st

0, 0 t a f (t ) (t a)dt 0

e

st

f (t a)dt

Ahora igualamos W= (t-a) y dW=dt

L f (t a) (t a)0

e

s(w a)

f ( w)dw e

as 0

e

sw

f ( w)dw e as L f (t )

IX.4 DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA La transformada de Laplace del producto de una funcin f(t) con t se puede encontrar mediante la diferenciacin de la Transformada de Laplace de f(t). Para hacer mas sencillo esta consideracin, se asumir que F(s)=L {f (t)} existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciacin e integracin. De esta forma:

d F ( s) ds

d e ds 0

st

f (t )dt0

s

e

st

f (t ) dt0

te

st

f (t )dt

L 1 tf (t )

d 1 L f (t ) ds

Se usa el ltimo trmino para encontrar la Transformada de Laplace de t2 f(t):

L 1 t 2 f (t )

L 1 tt f (t )

d 1 L t f (t ) ds

d ds

d 1 L f (t ) ds

d2 1 L f (t ) ds 2

A partir de las expresiones obtenidas se puede deducir la siguiente frmula general:

LtEjemplos 9.5a)

n

f (t )

( 1)n

dn ds n

L

f (t )

( 1)n

dn F (s) ds n

Siendo n= 1, 2, 3

L tecos ts

t

cos ts 1

( 1)1d ds s 2

d ds s1s s 1

Le

t

cos t

d ds

L

d s 1 ds (s 1)2 1

s 1

2

1 s 1

s 12s 12

s 1 s 1

2 2

1 12

1

2

b)

L t sin ktsin kt

( 1)1

d ds

Ld k 2 ds s k2 2ks (s k 2 )22

d 1 L sin kt ds

A partir de estos resultados se obtienen nuevos datos para las tablas de transformacin directa.

*Nota Importante: Para hallar las transformadas de funciones tneat se puede usar el 1Teorema de traslacin o la propiedad operacional de la Derivada de una Transformada. Usando el 1er Teorema de Traslacin:

L

te 3t

Lt

t

( t 3)

1 s2

t

( t 3)

1 (s 3) 2

Usando la Derivada de una Transformada:

L

te 3t

Lt

t

( t 3)

d 1 3t L e ds

t

( t 3)

d 1 ds ( s 3)

(s

3)

2

1 ( s 3) 2

IX.5 TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA El objetivo inmediato de la Transformada de Laplace es resolver de manera rpida y eficiente, Ecuaciones Diferenciales, para ello en ocasiones se hace necesario evaluar cantidades como L 1 d 2 Por ejemplo, suponiendo que f(t) es continua para t 0,dt 2

entonces, mediante integracin por partes se obtiene:

L 1 f (t )0

e

st

f ' (t )dt

e

st

f ' (t ) o

s e0

st

f (t )dt

L 1 f (t ) L 1 f ' (t )

f (0) sL 1 f (t ) sF ( s) f (0)

Se puede generalizar de la siguiente manera: Si f (t), f (t),, f(n-1)(t) son continuas para t 0 y de orden exponencial, y si f(n)(t) es continua parte por parte para t 0, entonces:

LEjemplos 9.6

f ( n ) (t )

s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f (0) , , , s n n f ( n 1) (0)

a) y ( 4)Solucin:

y

0

Condiciones Iniciales

y (0) 1 y(0) 0 y(0) 1 y(0) 0

L

y ( 4)(4 )

Ly

(0)

Ls

0

Ly Ly L

s 4 y(s) s 3

(0)

y(s)

0

0s y(s) 0 1)y(s) s 3 s

s 4 y(s) s 3 (s 4

L

1

y(s)

L

1

s3 s4

s 1

y(t)=

L

1

s(s 2 1) (s 2 1)(s 2 1)

L

1

s s2

1

y(t) = cost

b) Suponga la ecuacin:dy 3 y 13 sin 2t dt y ( 0) 6 Transformando... L dy dt 3L y 13L sin 2t 262

s 4 26 ( s 3)Y ( s ) 6 2 s 4 6 26 6 s 2 50 A Y (s) 2 2 ( s 3) ( s 4) ( s 3)(s 4) ( s 3) resolviendo... 8 2s 6 Y (s) s 3 s2 4 1 s 2 y (t ) L 1 2L 1 2 3L 1 2 s 3 s 4 s 4 y (t ) 8e3t

s Y ( s ) 6 3Y ( s )

Bs C ( s 2 4)

2 cos 2t 3 sin 2t

IX.5 Teorema de la Convolucin Si las funciones f y g son continuas por partes en [0, ), entonces, un producto especial, denotado por f*g, se define mediante la integral:f *gt 0

f ( ) g (t

)d

Y se llama convolucin de f y g. La convolucin de f*g es una funcin de t. Por ejemplo:

e t * sin t

t 0

e t sin(t

)d

1 ( sin t cost 2

et )

No necesariamente la integral de un producto de funciones es el producto de las integrales. Aun as, es cierto que la transformada de este producto especial es el producto de sus transformadas. Esto nos muestra algo interesante: Es posible evaluar la Transformada de Laplace de una convolucin sin evaluar la integral.

As que se puede generalizar de la siguiente manera:

Si f (t) y g (t) son funciones continuas parte por parte de [0, ) y de orden exponencial, entonces:

L 1 f *g

L 1 f (t ) L 1 g (t )

F ( s)G ( s)

Y tambin se puede usar de manera inversa Demostracin: Sean:

F ( s) G ( s)

L 1 f (t )0

e e0

s

f ( )d g ( )d

L 1 g (t )

s

Si se procede de manera formal, se tiene:

F ( s )G ( s )0

e)

s

f ( )d0

e

s

g ( )d e0 s( )

e0 0

s(

f ( ) g ( )d d0

f ( )d

g ( )d

Puesto que f y g son continuas parte por parte en (0, ] y de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de la integracin:t t

F ( s)G ( s)0

e dt f ( ) g (t0

st

)d0

e

st 0

f ( ) g (t

)d

dt

L f *g

Que es el teorema de convolucin. Ejemplos:a)

LLs s2

t

e sin(t0

)d

L et

L sin t

1 s 1 s2

1 1

1 ( s 1)(s 2

1)

Ahora veamos la aplicacin de la forma inversa del Teorema de Convolucinb)1

s s2

4

2

L

1

s s2

4 s

*

12

4

L

1

4

cos 2t

L

1

1 s2

2 4 2 *

1 2

L

1

2 s2

4

1 sen 2t 2

De modo que los resultados son: f(t)=cos2t1 g(t)= sen2t 2

X. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES

a1 (t)

+ a2 (t)

+ a3 (t) x + a4 (t) y = F1 (t) 7.1

b1 (t)

+ b2 (t)

+ b3 (t) x + b4 (t) y = F2 (t)

Para que sea un sistema lineal de ecuaciones debe ser: elevado a la 1er potencia en cada una de sus derivadas as como en las funciones desconocidas. El sistema 7.1 es de primer orden por que la derivada de ms ato orden presente es de primer orden.

EJEMPLO: 2 dx/dt + 3 dy/dt - 2x + y = t2

dx/dt - 2 dy/dt + 3x +4 y = et

Una solucin del sistema 7.1 es una pareja ordenada de funciones reales (f , g), tales que x = f (t) y Y = g (t), satisfacen simultneamente las 2 ecuaciones del sistema 7.1 en algn intervalo.

X.1 SISTEMA LINEAL GENERAL DE 3 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sea un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables:a1 (t) dx/dt + a2 (t) dy/dt + a3 (t) dz/dt + a4 (t) x + a5 (t) y + a6 (t) z = F1 (t)

b1 (t) dx/dt + b2 (t) dy/dt + b3 (t) dz/dt + b4 (t) x + b5 (t) y + b6 (t) z = F2 (t)

7.2

c1 (t) dx/dt + c2 (t) dy/dt + c3 (t) dz/dt + c4 (t) x + c5 (t) y + c6 (t) z = F3 (t)

Ejemplo:dx/dt + dy/dt - 2dz/dt + 2 x - 3y + z = t 2 dx/dt - dy/dt + 3 dz/dt + x + 4 y -5 z = sen t dx /dt + 2 dy/dt + dz/dt - 3 x + 2y - z = cos t

Una solucin del sistema 7.2 es una triada ordenada de funciones reales (f , g, h) tales que x = f (t), y = g( t) y z = h (t), es decir, funciones de t. Una forma de resolverlo es mediante la transformada de Laplace, obteniendo la transformada de las derivadas, de las variables, la de los resultados, y planteando un determinante, con el sistema de las ecuaciones obtenidas del procero de transformacin. Usando la regla de Cramer, se obtiene la ecuacin de X(s), Y(s) y Z(s), de las cuales se obtienen las transformadas inversas para obtener X(t), Y(t) y Z(t). En resumen: 1.- Se obtienen las transformadas de las ecuaciones originales.

2.- Se obtienen ecuaciones con X(s), Y(s) y Z(s) de ser necesario, se factorizan para no tenerlos repetidos en ninguna ecuacin del sistema. 3.- Se plantean los determinantes, en este caso que se trata de un sistema de tres ecuaciones se necesitaran cuatro determinantes de 3x3. 4.- Se resuelven los determinantes haciendo uso de la regla de Cramer. En este punto se obtienen las ecuaciones de X(s), Y(s) y Z(s). 5.- Se obtienen las transformadas inversas de cada ecuacin y as se obtiene X(t), Y(t) y Z(t), estas ecuaciones son la solucin del sistema de ecuaciones. En un problema real estas ecuaciones describen el comportamiento de algo con respecto a una variable independiente, como el tiempo. En general, nos permite predecir eventos fsicos, pues se pueden plantear sistemas de ecuaciones de por ejemplo, un sistema de dos, tres, o n tanques interconectados.

X.2 SISTEMA LINEAL DE SEGUNDO ORDENa1 (t) + a2 (t) + a3 (t) + a4 (t) + a5 (t) x + a6 (t) y = F1 (t)

b1 (t)

+ b2 (t)

+ b3 (t)

+ b4 (t)

+ b5 (t) x + b6 (t) y = F2 (t)

EJEMPLO:

2 d2x/dt2 + 5 d2y/dt2 + 7 dx/dt + 3dy/dt + 2 y = 3t + 1

3 d2x/dt2 + 2 d2y/dt2 - 2 dy/dt + 4x + y = 0

X.3 SISTEMA ESTANDAR LINEAL

dx /dt dy /dt

= a11 (t) x + a12 (t) y + F1 (t) = a21 (t) x + a22 (t) y + F2 (t)

EJEMPLOS dx/dt = t2 x + ( t + 1 ) y + t3 dy /dt = t et x + t 3 y - e t

dx /dt = 5x + 7y + t2 dy/dt = 2x 3y + 2t=

dx1/dt dx2/dt dxn/dt

a11 (t) x1 + a12 (t) x2 + ..... + a1n (t) xn + f1 (t) a21 (t) x1 + a22 (t) x2 + ..... + a2n (t) xn + f2 (t) an1 (t) x1 + an2 (t) x2 + ..... + ann (t) xn + fn (t) 7.5

=

=

Una propiedad fundamental importante de un sistema normal es su relacin con una sola ecuacin diferencial lineal de orden n con una funcin desconocida. Especficamente se considera la llamada ecuacin diferencial lineal normalizada de orden n (normalizada, significa que el coeficiente de la mayor derivada es 1).

X1 = x

x2 = dx/dt

x3 = dx/dt

x n-1 = d n-2 x/dtn-2

xn = d n-1 x/dtn-1

7.7

A partir de 7.7 se obtiene lo siguiente:

dx/dt = dx1

d2x/dt2 = dx2

d3x/dt3 = dx3

d n-1x/dtn-1 = dx n-1

... dn x/dtn = dxn

X.4 OPERADORES DIERENCIALES Es comun en clculo diferencial representar las derivadas con operadores diferenciales, por comodidad y sencillez. Deesta manera, se expresa: Dx = dx/dt D nx = d nx/dtn

Tambien es posible factorizar la variable sobre La cual se opera, por poner um ejemplo, siendo C una constante: ( D + C )x dx/dt + Cx

(aDn + bDm) x = ad nx /dtn + bd mx/dtm As, en general, para la siguiente expresin, es posible representarla:

ao d n x/dtn + a1 d n-1x/dtn-1 + ... + a n-1 dx/dt + a n x = ( aoDn + a1 Dn-1 +...+ a n-1 D + an) x

Notas: Los operadores no representan cantidades que se multiplican por la funcin x, si no operaciones(derivadas, en este caso) que se llevan a cabo sobre una funcin.

La expresin (aoDn + a1 Dn-1 +.......+ a n-1 D + an) se llama en este nuevo contexto, operadordiferencial.

EJERCICIOS: Considere que el operador diferencial lineal 3D2 + 5D 2 si x es una funcin de t derivable 2 veces. Realice si x = t 3 (3D2 + 5D 2) x 3D2 x +5Dx 2x 3 d 2t3 /dt2 + 5 d t 3/dt - 2t 3 x=t3

18t + 15t 2 2t 3

Resultado

X.5 SISTEMAS DE ECUACIONES L1 = ao Dm + a2 Dm-1 + ........ + am-1 D + am

Sea L1 y L2 ;

Dos operadores diferenciales con coeficientes constantes ao, a1,........ an, y para la otra ecuacin: bo, b1....... bn

Sean L1 (r) = ao rm + a1 rm-1 +.......................+ am-1 r + am L2 (r) = bo rn + b1 rn-1 +.......................+ bn-1 r + bn

Los dos polinomios de la cantidad que se obtuvieron de los operadores L 1 y L2, respectivamente al sustituir formalmente ( D ) r la D2 r2 la Dk rk. Se representara el producto de los polinomios L1 (r) L2 (r) como L (r). Entonces si f es una funcin que posee n + m derivadas se puede demostrar que L1L2 F = L2L1 F = LF donde L es el operador que se obtiene del producto polinomial L (r) al sustituir formalmente: r m+n D m+n r2 r D2 D

L1 D2 + 1

L2 3D + 2

f (t) = t3

(D2 + 1)(3D + 2) t3 = (D2 + 1)(9t2 + 2t3) = (18 + 12t +9t2 + 2t3) (3D + 2)( D2 + 1) = (3D + 2)(6t + t3 ) = ( 18 + 9t2 + 12t+ 2t3) (3D3 + 3D + 2D2 +2) t3 (3D3 + 3D + 2D2 +2) t3 = 18 + 12 t + 9t 2 + 2t 3

Sea r1, r2 .rn las races de la ecuacin polinomial L (r) = 0, entonces L ( R) se puedeescribir en la forma factorizada L (r) = a o (r - r1) (r - r2) (r - rn) en donde al sustituir r por D se obtiene el operador L = ao (D - r1)(D - r2)(D - rn).

Se observa entonces que los operadores diferenciales lineales con coeficientesconstantes se pueden formalmente multiplicar y factorizar exactamente como si fueran polinomios en la cantidad algebraica D.

L1 x + L2 y = f1 (t) L3 x + L 4y = f2 (t)

ec 1 ec 2

7.11

Eliminar a y Ec 1 * L 4 Ec 2 * L2

L 4L1 x + L 4 L2 y = L 4 f1 (t) L2L3 x + L2L 4y = L2 f2 (t)

ec 1 ec 2

Restar

( L 4L1 - L2L3)x = L 4 f1 (t) - L2 f2 (t) Eliminar a x Ec 1 * L3 Ec 2 * L1

7.12

L3 L1 x + L3 L2 y = L3 f1 (t)

L1 L3 x + L1 L 4 y = L1 f2 (t)

(L3 L2 - L1 L 4)y = L3 f1 (t) - L1 f2 (t)

L5 x = g1 (t) L5 x = 0

ecuacin 7.13

X = C1U1 + C2U2CnUn + V1

ecuacin 7.14

L5 y = g2 (t) L5 xy= 0

ecuacin 7.15

y = k1U1 + k2U2knUn + V2

ecuacin 7.16

Se puede demostrar que el nmero de constantes independientes en la llamada solucin general del sistema lineal 7.11 es igual al operador L1 L 4 - L2 L3 que se obtienen del determinante de los coeficientes operadores de x

L1 L3

L2 L4

Y y en 7.11, siempre que este determinante no sea cero.

EJERCICIOS: Suponga que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales; 2dx/dt 2dy/dt 3x = t 2dx/dt + 2dy/dt + 3x +8y = 2 Se ponen en formato de operadores: (2D 3)x 2Dy = t (2D + 3)x + (2D + 8)y = 2

Ahora, por inspeccin se identifica que: L1 = 2D -3 Se sustituye: L2 = -2D L3 = 2D + 3 L4 = 2D + 8

(L1 x + L2y = t) (L3 x + L4y = 2) Ahora eliminamos y : (L1 x + L2y = t) L4 (L3 x + L4y = 2)(-L2) (L4L1 L2L3)(x) = L4t 2L2

Se vuelve a poner en forma de operadores: [ (2D + 8)(2D 3) (-20)(2D + 3)]x = (2D + 8)t (-2D)2 [4D2 6D + 16D -2y + 4D2 + 6D]x = 2 + 8t (D2 + 2D 3)x = t + Ahora se tiene una ecuacin que se puede resolver por el mtodo aniquilador: El objetivo ser igualarlo a cero, para a la vez obtener las races para plantear la solucin particular yp. (D2 + 2D 3)x = t + D(D2 + 2D 3)x = 1 D2(D2 +2D -3)x = 0 sabemos que una solucin es: m2(m2 + 2m -3)emx = 0, pero emx0, as que: m2(m2 + 2m -3) = 0 m2(m + 3)(m + 1) = 0 m3 = 0 m4 = 0 races de yp m1 = 1 m2 = -3 races de yc

yp = ate0t + be0t = at +b

yc = c1et + c2e-3t

Se deriva yp dos veces debido que la ecuacin es de 2 orden. y'p = a y''p = 0

Sustituimos las derivadas de Yp en nuestra ecuacin original que est en operadores D2(D2 +2D -3)x = 0

(0 + 2a 3at - 3b) = t + 2a 3b = -3a = 1 a = -1/3 -3b = - 2a b = -11/36

Planteamos la ecuacin de x en funcin de t: X(t) = c1et + c2e-3t 1/3t 11/36 Ec. 1

Si ahora tratamos las dos primeras ecuaciones y las sumamos, obtenemos: 2dx/dt 2dy/dt 3x = t 2dx/dt + 2dy/dt + 3x +8y = 2 4x' + 8y = t + 2 Se despeja y: y = (t + 2 4x')/ 8 Derivar Ec.1 y sustituimos en x': x' = c1et 3c2e-3t 1/3

Quedando y, en funcin de t: y = (t + 2 -4c1et + 12c2e-3t + 4/3) / 8 y(t) = 1/8t - 1/2c1et + 3/2c2e-3t + 5/12 Ec. 2

X.6 APLICACIONES Y MODELADO CON SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Una sola Ecuacin diferencial puede servir para diversos sistemas fsicos, un modelo utilizado para describir un sistema de tanques en una planta qumica tambin puede

ser til para modelar la contaminacin de un lago, o la retencin de cierto medicamento en el cuerpo humano. A continuacin se revisa una aplicacin de las Ecuaciones Diferenciales: Considere una serie de tanques interconectados tal como se muestra en el siguiente diagrama:

Tal como se muestra en la figura, la cantidad de agua que entra en cada tanque es igual a la que sale, de manera que el volumen es constante. An si no fuera constante se podra plantear el modelo siempre y cuando se obtuviera una ecuacin de volumen. Cada tanque contiene dos entradas y dos salidas. Suponga que X 1(t) es la cantidad de sal que hay en el tanque A en cualquier instante y X 2(t) la cantidad de sal a cualquier instante tambin pero del tanque B. La cantidad de sal que hay con respecto al tiempo ser proporcional lo que entra menos lo que sale. Para el tanque A:

dx1 dt dx1 dt

[(3gal / min)(0lb / gal ) (1gal / min)( x 2 lb / gal )] [(4 gal / min)( x1lb / gal )] 1 x2 50 4 x1 50

Tanto la ecuacin del tanque A como la del B son homogneas, pues en ningn trmino independiente se incluye t, adems estn en la forma normal pues el coeficiente de la derivada de ms alto orden es uno.

Para el tanque B:

dx2 dt dx2 dt

4 1 x1 [( x 2 50 50 4 ( x1 x 2 ) 50

3 x 2 )] 50

Para resolver el sistema de ecuaciones se ponen las ecuaciones en formato de operadores diferenciales:

ec.1)

4 x2 50

(D 4 ) x2 50

ec.2)(D

1 ) x1 50 4 x1 50

0 0

A fin de eliminar una incgnita, se multiplicar la ecuacin (1) por (D+4/50) y la (2) por (4/50), una vez hecho esto, se resta la ecuacin (1) menos la (2) y una vez simplificado nos queda:

D2 m2 Pero e mx As; m2

4 D 25 4 m 25 0 4 m 25 4 25

3 x1 0 625 3 e mx 625 0

3 625 4 25

0

2

4(1) 2

3 625

m m1 m2 1 25 3 25

De esta manera es posible obtener la ecuacin de la cantidad de sal en el tanque A en cualquier instante es:

X1(t)= C1e-t/25 +C2e-3t/25En algunos casos, como en este, es posible averiguar el valor de x 2(t) a partir de sustituir en una ecuacin original, en este caso, si sustituimos en la ecuacin 1 original:

x 2 (t ) x 2 (t ) x 2 (t )

50 D 50

2 x1 25 1 c1e 25t 25 t 25

3 c2 e 25 1 c2 e 253t 25

3t 25

2 c1e 25 2c1et 25

t 25

2 c2 e 25 2c 2 e3t 25

3t 25

1 50 c1e 25

Pero si revisamos las condiciones ideales podemos notar que: X1(0)=25 X2(0)=0 Dicho de otra manera al instante cero, la cantidad de sal en cada tanque es de 25 lb en el tanque A y de 0 lb en el tanque B. Sabiendo que e-3t/25 y e-t/250, entonces nos queda un simple sistema de ecuaciones simultneas:

x1 x2 c1 2c c1

25 0 c2 25 c2

c1 2c1

c2 2c 2

25 2

Una vez obtenido el valor de las constantes se sustituye en las ecuaciones de cantidad de sal en funcin del tiempo:

x1 (t ) x 2 (t )

25 e 2 25e

t 25

25 e 2 25e

3t 25

t 25

3t 25