ECUACIONES

EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS

Ing. Caribay Godoy

OBJETIVOS

2.2. LA ECUACIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA2.2.1. Enunciar y aplicar las propiedades de los logaritmos2.2.2 Enunciar el algoritmo para realizar el cambio de base en una expresión logarítmica2.2.3 Determinar el valor de un logaritmo en cualquier base, utilizando calculadora2.2.4 Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas2.2.5 Resolver modelos matemáticos de problemas que se expresen como una ecuación exponencial o logarítmica

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LEYES DE LOS EXPONENTES

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LEYES DE LOS LOGARITMOS

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CAMBIO DE BASE EN UNA EXPRESIÓN

LOGARÍTMICA

• Supongamos que deseo calcular:

𝑙𝑜𝑔536 =?

Por nuestros conocimientos de logaritmos sabemos que debemos buscar el

número al cual elevar 5 para que nos de 36.

5𝑦 = 36 𝑦 =?

Realizar este procedimiento en nuestra calculadora es muy sencillo y nos

basamos en la propiedad de cambio de base

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CAMBIO DE BASE EN UNA EXPRESIÓN

LOGARÍTMICA

• La calculadora nos permite calcular el logaritmo en base 10, y el logaritmo

natural.

Como vemos en la propiedad de cambio de base, podemos escribir el ejercicio

siguiente como:

𝑙𝑜𝑔536 =𝑙𝑜𝑔1036

𝑙𝑜𝑔105= 2.23

O lo que es lo mismo 52.23 = 36

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CAMBIO DE BASE EN UNA EXPRESIÓN

LOGARÍTMICA

• Determina el valor de los siguientes logaritmos con tu calculadora:

1.- 𝑙𝑜𝑔5(23)

2.- 𝑙𝑜𝑔16(4346)

3.- 𝑙𝑜𝑔433(15546)

4.- 𝑙𝑜𝑔6(5.6790)

5.-𝑙𝑜𝑔10(0.01)

6.- 𝑙𝑜𝑔20(0.001)

7.- ln(24568)

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ECUACIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS

• Recuerden que el objetivo de cualquier ecuación es poder resolverla

consiguiendo el valor de x.

• Para este tipo de ecuaciones nos ayudaremos con las propiedades de los

exponentes y los logaritmos para resolver la ecuación.

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• Encuentre el valor de x en 𝟐𝒙+𝟑 = 𝟑𝟏−𝟐𝒙

Se antepone el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:

𝑙𝑛2𝑥+3 = 𝑙𝑛31−2𝑥

Aplicamos la propiedad del logaritmo de potencia

𝑥 + 3 𝑙𝑛2 = 1 − 2𝑥 𝑙𝑛3

Aplicamos la propiedad distributiva

𝑥𝑙𝑛2 + 3𝑙𝑛2 = 𝑙𝑛3 − 2𝑥𝑙𝑛3

Agrupamos x de un solo lado de la igualdad

𝑥𝑙𝑛2 + 2𝑥𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛3 − 3𝑙𝑛2

𝑥 𝑙𝑛2 + 2𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛3 − 3𝑙𝑛2

𝑥 =𝑙𝑛3 − 3𝑙𝑛2

𝑙𝑛2 + 2𝑙𝑛3= −0.34

ECUACIONES EXPONENCIALES

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• Encuentre el valor de x en 𝟐𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 − 𝟒 − 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 + 𝟖 = 𝟎

Se despeja uno de los términos al otro lado de la igualdad:

2𝑙𝑜𝑔5 𝑥 − 4 = 𝑙𝑜𝑔5(𝑥 + 8)

Se aplica el logaritmo de una potencia:

𝑙𝑜𝑔5(𝑥 − 4)2= 𝑙𝑜𝑔5(𝑥 + 8)

Aplicando logaritmo de potencia de la base es igual al exponente.

5𝑙𝑜𝑔5(𝑥−4)2= 5𝑙𝑜𝑔5(𝑥+8)

(𝑥 − 4)2= (𝑥 + 8)

𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 𝑥 + 8

𝑥2 − 9𝑥 + 8 = 0

𝑥 − 8 𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 8 𝑥 = 1

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Ing. Caribay Godoy

• Encuentre el valor de x en 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝒙 + 𝟏 − 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟏 − 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟒𝟐

El lado izquierdo de la ecuación podemos aplicar logaritmo de un cociente:

𝑙𝑜𝑔4𝑥 + 1

1 − 𝑥= 𝑙𝑜𝑔42

Luego de aplicar la propiedad de logaritmo de potencia de la base igual al exponente, tenemos:

𝑥 + 1

1 − 𝑥= 2

Se resuelve la ecuación:

𝑥 + 1

1 − 𝑥= 2

𝑥 + 1 = 2(1 − 𝑥)

𝑥 + 2𝑥 = 2 − 1

3𝑥 = 1

𝑥 =1

3

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

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