FUNCIÓN LOGARÍTMICAY ECUACIONES LOGARÍTMICAS

La función inversa de la Función Exponencial

𝑏𝑥 , 𝑏 > 0 , 𝑏 ≠ 1

se llama Función Logarítmica y se denota por

𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥

“Se lee 𝑓 𝑥 es igual al logaritmo en base b de 𝑥“

Luego:

Una función logarítmica con base 𝑏 , es la inversa de una funciónexponencial 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 , donde 𝑏 es un número real tal que, 𝑏 > 0 y 𝑏 ≠ 1 , y se escribe como:

𝑓−1 𝑥 = log𝑏 𝑥

Ejemplo : Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥 , su función inversa 𝑔 𝑥 = 𝑓−1 𝑥 = log5 𝑥

La expresión 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 ⟺ 𝑏𝑦 = 𝑥 , nos da la relación

entre la forma logarítmica y la forma exponencial

Relacionando un expresión en forma logarítmica a su expresión exponencial.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍMICA

Las funciones 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥 , 𝑔 𝑥 = log 1 𝑏𝑥 son simétricas

respecto del eje de abscisas 𝑂𝑋

EJEMPLO:

Gráfica de la función logarítmica y su inversa

Las gráficas de las

funciones exponencial y

logarítmica son simétricas

con respecto a la función identidad 𝑦 = 𝑥.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

RESUMEN

La función logarítmica sólo existe para valores de 𝑥 positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+∞), es decir, el dominio es el conjunto de todos los números reales positivos

𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = 0,+∞

Las imágenes obtenidas de una función logarítmica , son todos los reales. (Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función logarítmica es el dominio de la función exponencial).Es decir, el recorrido de esta función es :

𝑅𝑒𝑐 𝑓 𝑥 = ℝ.

La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). En el punto 𝑥 = 1, la función logarítmica se anula, ya que 𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 0, esto es en cualquier base.

La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

La función es continua y uno-a-uno:

La función logarítmica es continua, y es creciente para 𝑏 > 1 .

La función logarítmica es continua, y es decreciente para 𝑏 < 1.

TIPOS DE LOGARITMOS

Se distinguen dos tipos de logaritmos:

Logaritmo decimal,( Vulgar o de Briggs), es aquel que tiene como base 10, b = 10 , se denota por 𝑙𝑜𝑔 .

Logaritmo Natural , cuya base es el número e = 2,71882811828,se denota por 𝑙𝑛.

La función logarítmica natural, 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 es la inversa de la función exponencial natural de base, 𝑦 = 𝑒 𝑥 .

La gráfica de la función logarítmica natural 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 , se muestra a continuación.

Mediante uso adecuado de una calculadora, podemos realizar cálculos de logaritmos en ambas bases.

Ejemplo:Hallar los valores de :

a) log 45,73 = 3,822754537 → significa 103,822754537 = 45,73

b) ln 27,42 = 3,311272674 → significa e3,311272674 = 27,42

c) Hallar log2 32 =

Desarrollo:

Observamos que 32 puede expresarse en la base del log que es 2.

Por definición, se tiene que : 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 ⟺ 𝑏𝑦 = 𝑥

Luego, log2 32 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 322𝑥 = 25 ⇒ 𝑥 = 5

d) Hallar log5 32 =

¿Para este caso podrá proceder de la misma manera?

Para logaritmos de base distinta a 10 y 𝑒 , en donde no se puede hacer uso de calculadora, se opera de la siguiente forma:

1. 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0.

2. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1 ; 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥.

3. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑛 .

4. 𝑙𝑜𝑔𝑚

𝑛= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑛 .

5. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 .

6. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 𝑚 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚

1

𝑛 =1

𝑛∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 .

Las propiedades de los logaritmos nos permiten simplificarexpresiones en las que ellos aparecen, reescribiéndolosadecuadamente para resolver ecuaciones logarítmicas yexponenciales cuyas bases no pueden igualarse.

Inyectividad : log𝑎𝑚 = log𝑎 𝑛 ⟺ 𝑚 = 𝑛 .

Cambio de base : log𝑎𝑚 =log𝑐 𝑚

log𝑐 𝑎

8. log𝑎𝑦 𝑎𝑥 =𝑥

𝑦

9. 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥

10. 𝑒ln 𝑥 = 𝑥

1. Desarrollar aplicando las propiedades de logaritmos

log𝑏𝑏𝑥2

2𝑥3

Desarrollo:

log𝑏𝑏𝑥2

2𝑥3= 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑏𝑥2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏 2𝑥3 =

= 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏 2 + 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥3

= 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑏 + 2𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏 2 − 3𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥

= 1 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏 2

∴ log𝑏𝑏𝑥2

2𝑥3= 1 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏 2

2. Escriba en un solo logaritmo

log 𝑚 +2

5log 𝑛 − 3 log 𝑝

Desarrollo:

log 𝑚 +2

5log 𝑛 − 3 log 𝑝 = log 𝑚 + log 𝑛

25 − log 𝑝3

= log𝑚∙𝑛

25

𝑝3

∴ log 𝑚 +2

5log 𝑛 − 3 log 𝑝 = log

𝑚5𝑛2

𝑝3

Las ecuaciones que contienen términos de la forma log𝑏(𝑥) donde 𝑏es un número real positivo, con 𝑏 ≠ 1, se conocen como ecuaciones logarítmicas. Se pueden resolver aplicando las leyes de los logaritmos de forma tal que puedan obtenerse expresiones con logaritmos de la misma base. Por ejemplo, son ecuaciones logarítmicas explícitas:

Aplicando propiedades de logaritmos:

𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 3 = 1

𝑙𝑜𝑔 𝑥 ∙ 𝑥 − 3 = log 10

𝑥 ∙ 𝑥 − 3 = 10𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0𝑥 − 5 ∙ 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = 5 𝑦 𝑥 = −2

Verificamos las solucionesPara 𝑥 = 5𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 3 = 1𝑙𝑜𝑔 5 + 𝑙𝑜𝑔 5 − 3 = 1

𝑙𝑜𝑔 5 + 𝑙𝑜𝑔 2 = 1𝑙𝑜𝑔 5 ∙ 2 = 1𝑙𝑜𝑔 10 = 1

1 = 1

Al verificar, podemos ver que𝑥 = −2 no es solución, (−2 ∉ dominio)

∴ 𝑆 = 5

Desarrollo: Verificamos:

En la ecuación sustituimos𝑥1 = 3 ⋏ 𝑥2 = 4

log 3 3 − 7 3 2 + 22 3 − log 3 = 1

log 27 − 63 + 66 − log 3 = 1

log 30 − log 3 = 1

log30

3= 1

1= 1∴ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

Como ejercicio verifique si x=4 es solución.

log𝑥3 − 7𝑥2 + 22𝑥

𝑥= log 10

𝑥 ∙ 𝑥2 − 7𝑥 + 22

𝑥= 10

𝑥2 − 7𝑥 + 22 = 10

𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0

𝑥 − 4 ∙ 𝑥 − 3 = 0

𝑥1 = 3 ⋏ 𝑥2 = 4

El uso de los logaritmos esamplio en diversassituaciones de la vida diaria.Por ejemplo , para medir lamagnitud de un terremoto serealizan lecturas en unsismógrafo que deben serrepresentadas en una escala,como la Escala Richter cuyamagnitud se halla :

En ella, I es la intensidad delterremoto e I0 es la intensidadde un terremoto estándar dereferencia .

𝑀 = log𝐼

𝐼0

Los astrónomos utilizan la siguiente fórmula para determinar el diámetro, en kilómetros de planetas menores (asteroides):

𝑙𝑜𝑔 (𝑑) = 3,7 − 0,2𝑔 , donde 𝑔 es una cantidad llamada magnitud absoluta del asteroide.

a) Determine el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 20

b) Determine la magnitud absoluta de un asteroide cuyo diámetro mide 5,8km.

Solución.

a) Datos: 𝑔 = 20 , 𝑑 = ? , como 𝑙𝑜𝑔(𝑑) = 3,7 − 0,2 ⋅ 𝑔

𝑙𝑜𝑔 𝑑 = 3,7 − 4

𝑙𝑜𝑔 𝑑 = −0,3 / 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔

𝑑 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔(−03)

𝑑 = 0,5011873

Respuesta: ∴ El asteroide tiene un diámetro de 0,5012 Km. aprox.

b) Determine la magnitud absoluta de un asteroide cuyo diámetro mide 5,8 km.

Solución.

Datos: 𝑑 = 5,8 𝑘𝑚. , 𝑔 = ?

𝑙𝑜 𝑔 𝑑 = 3,7 − 0,2𝑔 𝑔 =3,7−𝑙𝑜𝑔 𝑑

0,2

𝑔 =3,7−𝑙𝑜𝑔 5,8

0,2= 14,68286

Respuesta: La magnitud absoluta de un asteroide de 5,8 km, es 14,68

Curva de aprendizaje Una curva de aprendizaje es una grafica de unafunción𝑃(𝑡) que mide el rendimiento de alguien que aprende una disciplinacomo función del tiempo t de capacitación. Al principio, la rapidez deaprendizaje es alta. Entonces, a medida que el rendimiento aumenta y seaproxima a un valor máximo M, la rapidez de aprendizaje disminuye. Se haencontrado que la función

𝑃 𝑡 = 𝑀 − 𝐶𝑒−𝑘𝑡

donde 𝑘 y 𝐶 son constantes positivas y 𝐶 < 𝑀 es un modelo razonablepara aprendizaje.Exprese el tiempo de aprendizaje t, como función del nivel derendimiento 𝑃.

Desarrollo:

𝑃 𝑡 = 𝑀 − 𝐶𝑒−𝑘𝑡

𝐶𝑒−𝑘𝑡 = 𝑀 − 𝑃

𝑒−𝑘𝑡 =𝑀−𝑃

𝐶∕ 𝑙𝑛

𝑡 = −1

𝑘𝑙𝑛

𝑀−𝑃

𝐶

1. Un lago formado por un dique contiene inicialmente 1000 peces. Se esperaque su población aumente según

𝑁 𝑡 =30

1 + 29𝑒−𝑘𝑡

donde N es el número de peces, en miles, que se espera después de t años. Si sesabe que al cabo de 6 meses la población aumentó a 1900 peces y se planea queel lago estará abierto a la pesca cuando el número de peces sea de 20000.¿Cuántos años pasarán para que se abra el lago a la pesca?

2. En un estudio de ayuno el peso de un voluntario bajó de 90Kg. a 60Kg. Si elpeso disminuye de acuerdo al modelo de decaimiento exponencial:

𝑁 = 𝑁 𝑡 = 𝑁0 ∙ 𝑒−𝑘𝑡

Donde 𝑡 es el tiempo medido en días, 𝑁0 es el peso inicial del voluntario, 𝑁 es elpeso después de 𝑡 días de iniciado el experimento, medido en kilos, k es laconstante de eliminación. ¿Cuánto tiempo puede durar el estudio, sin perjudicarla salud del voluntario, si lo mínimo que puede llegar a pesar son 50 kg.

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Datos Unidad