Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Olivera Lona Bryan

Grupo: 5

Presentación:

En el siguiente trabajo se expone una aplicación de las ecuaciones diferenciales en los fenómenos mostrados en el museo de las ciencias “Universum”.

El fenómeno físico de elección fue el de las ondas longitudinales, presentado en un experimento con 2 fluidos de distintas densidades. Estos se encuentran en un recipiente en forma de prisma rectangular recto y este a su vez, se encuentra apoyado en 4 muelles (uno en cada esquina), por la diferencia de densidades los fluidos no se mezclan y al mover el recipiente se generan ondas entre los dos fluidos que transportan energía sin implicar el movimiento total de la masa del cuerpo.

Introducción:

Numerosos fenómenos que se dan en la naturaleza requieren, para su explicación física, recurrir al modelo de movimiento ondulatorio. Las sondas se producen en la superficie del agua, las ondas sonoras o las ondas electromagnéticas constituyen buena prueba de ello. Así mismo, como se verá en los capítulos posteriores, incluso las partículas materiales en movimiento tienen asociado un carácter ondulatorio.

Un ejemplo sencillo de movimiento ondulatorio es el que se origina en una cuerda tensa cuando en uno de sus extremos se produce un movimiento transversal de los distintos puntos de la cuerda. Cada punto oscila alrededor de la posición de equilibrio (línea horizontal), de forma que arrastra a los vecinos, que también oscilan. El resultado es un pulso que se propaga a lo largo de la cuerda. Los puntos que constituyen la cuerda no se desplazan junto con la perturbación: tan solo oscilan alrededor de su posición de equilibrio de manera que no hay un transporte de materia.

Un proceso similar ocurre en las ondas que se producen en la superficie del agua o en las ondas sonoras: la perturbación que se origina en un punto hace oscilar a los puntos vecinos y éstos a sus contiguos y así sucesivamente de forma que la perturbación se propaga.

Existen ondas que requieren de un medio material para su generación y propagación. Tal es el caso de las denominadas ondas mecánicas (ondas sonoras, ondas superficiales en líquidos ondas transversales de una cuerda, ondas en un muelle, etc.), en las cuales las perturbaciones que se propagan es un cambio de equilibrio de los puntos materiales que constituyen en medio.

Por el contrario, las ondas electromagnéticas pueden producirse y propagarse en el vacío.

Ondas Longitudinales y ondas transversales.

La perturbación que se propaga en un movimiento ondulatorio se puede caracterizar por una magnitud escalar o por una magnitud vectorial. Así, en las ondas sonoras se puede asociar la presión o la densidad del medio, mientras que en las ondas electromagnéticas, las magnitudes que se propagan son los campos vectoriales E y B.

Si la dirección de variación de la magnitud que se propaga coincide con la dirección de propagación de la perturbación, la onda se llama longitudinal. Son ondas longitudinales las de desplazamiento asociadas al sonido. Por el contrario, si la dirección de oscilación de la magnitud considerada es perpendicular a la dirección de propagación, las ondas son transversales, como es el caso de las que se producen en una cuerda tensa o de las ondas o de las ondas electromagnéticas.

Deducción de la ecuación de onda:

u

x0 L

Consideremos una cuerda de longitud L

0

u

x

Cuando la cuerda comienza a vibrar, suponga que el movimiento tiene lugar en el plano xu de tal manera que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al eje x

u

u(x,t)

u(x+x,t)

sSea u(x,t) el desplazamiento vertical de cualquier punto sobre la cuerda medido sobre el eje x para t 0. Y s un segmento de cuerda.

La cuerda:

Es perfectamente flexible. Es homogénea; es decir, su masa por unidad de longitud p es una

constante. Los desplazamientos u son pequeños comparados con la longitud

de la cuerda. La pendiente de la curva es pequeña en todos los puntos

La tensión Ť actúa de forma tangente a la cuerda, y su magnitud T es la misma en todos los puntos.

La tensión es grande comparada con la fuerza de gravedad. Ninguna fuerza externa actúa sobre la cuerda.

Las tensiones Ť1 y Ť2 son tangentes a los extremos de la curva en el intervalo [x, x+x]. Para Θ1 y Θ2 pequeñas, la fuerza neta vertical que actúa en el elemento correspondiente s de la cuerda entonces:

u

x0 x x+x

u(x,t)

u(x+x,t)sSea u(x,t) el

desplazamiento vertical de cualquier punto sobre la cuerda medido sobre el eje x para t 0. Y s un segmento de cuerda.

Ť1

Ť2

Θ1

Θ2

Tsen(Θ2)-Tsen(Θ1) Ttan(Θ2) – Ttan(Θ1) = T[ux(x+x, t) – ux(x,t)]

En donde:

T=| Ť1|=| Ť2|

Ahora p s es la masa del resorte en [x, x+x] y, por lo tanto, de la segunda ley de Newton se obtiene:

T[ux(x+x, t) – ux(x,t)] = p xutt

O bien:

∂u(x+Δx ,t )∂ x

–∂u(x ,t )

∂ x∆ x

= pT∂2u∂t 2

Si se toma el límite x0, el término de la izquierda de la ecuación:

uxx= lim

∆x →0¿u x(x+∆x ,t )−ux (x , y)

∆x¿

Con lo que tenemos una ecuación diferencial parcial:

∂2u∂ x2

= pT∂2u∂t 2

Al cociente de p sobre T le corresponde el valor del inverso del cuadrado de la velocidad, entonces:

∂2u∂ x2

= 1v2

∂2u∂ t 2

Que es más comúnmente encontrada de la siguiente forma:

v2∂2u∂x2

=∂2u∂ t 2

Resolviendo por separación de variables, para R+¿ :¿

X ' 'X

= T ' '

v2T=λ2

Ejemplo:

Encontrar la ecuación g(x,t) de una onda que se mueve a 3(m/s) en sentido opuesto sobre el eje OX.

Solución:

Para R+¿ ¿

De la separación de variables, si g(x,t)=F(x)G(t):

v2F ' '

F=G' '

G=λ2

Resolviendo para F:

9 F ' '−λ2F=0

9m2−λ2=0

m1=−λ3

;m2=λ3

F=C1e− λx3 +C2 e

λx3

Resolviendo para G:

G ' '−G λ2=0

m2−λ2=0

m3=λ ; m4=−λ

G=C3 eλt+C4 e

− λt

Dado que g es el producto de F y G:

g ( x , t )=C1C3eλ(t− x

3 )+C1C4 e− λ(t+ x

3 )+C2C3eλ(t+ x

3 )+C2C4 e

λ( x3−t )

Renombrando los productos de las constantes como A, B, C y D:

g(x , t)=Aeλ(t− x

3)+Be

−λ(t+ x3)+C e

λ(t+ x3)+De

λ( x3−t )

Para R−¿:¿

v2F ' '

F=G' '

G=− λ2

Resolviendo para F:

9F ' 'F

=− λ2

9 F ' '+F λ2=0

9D2F+F λ2=0

9m2+λ2=0

m5,6=±iλ3

F=C5 sen(λx3

)+C6cos (λx3

)

Resolviendo para G:

G' 'G

=−λ2

G' '+G λ2=0

D2G+Gλ2=0

m2+λ2=0

m7,8=± iλ

G=C7 sen (λ t)+C8 cos( λ t)

Entonces g(x,t) = F(x)G(t)

g(x , t)=C5C7 sen ( λx3

) sen(λt )+C6C7 cos (λx3

)sen( λt )+C5C8 sen(λx3

)cos( λt )+C6C8cos (λx3

)cos( λt )

Sustituyendo los productos de las constantes:

g(x , t)=αsen( λx3

)sen (λt )+β cos( λx3

)sen (λt )+γsen( λx3

)cos (λt )+δ cos( λx3

)cos (λt )

Para 0:

v2F ' '

F=G' '

G=0

Resolviendo para F:

9 F ' '=0

m2=0

m9,10=±0

F=C9+C10 x

Resolviendo para G:

G' '=0

m2=0

m11,12=±0

G=C11+C12 t

Entonces si g(x,t)=F(x)G(t):

g(x , t)=C9C11+C9C11 t+C11C10 x+C10C12 xt

Renombrando los productos de las constantes:

g(x , t)=Ρ+Σt+Γx+Δxt

La solución matemática para la ecuación de onda se separa en los 3 casos presentados, sin embargo en la práctica los casos para los reales positivos y cero generalmente no definen los valores de las constantes cuando éstas se intentan definir por valores de frontera. Entonces propondremos para este ejercicio, en el caso de los reales negativos valores iniciales (valores en la frontera) para definir algunas de las constantes en el problema, así como el valor de lamda, aunque este en la realidad no se conozca.

Solución general:

g(x , t)=αsen( λx3

)sen (λt )+β cos( λx3

)sen (λt )+γsen( λx3

)cos (λt )+δ cos( λx3

)cos (λt )

Condiciones iniciales:

g (0 , t )=2 sen (3 t )+6cos (3 t )

g( π2, t)=sen (3 t)+3cos(3 t )

Entonces evaluando (0,t) en g:

g(0 ,t)=βsen( λt)+δ cos (λt)

Igualando con la ecuación de condiciones iniciales se tiene:

2 sen (3 t )=βsen ( λt ) ; β=2 , λ=3

6cos (3 t)=δ cos (λt);δ=6 , λ=3

Evaluando (π2, t) t en g:

g( π2, t)=αsen(λt )+γ cos( λ t)

Igualando a las condiciones iniciales en ese punto:

sen(3 t)=αsen(λt );α=1 , λ=3

3cos (3 t)=γ cos (λt);γ=3 , λ=3

Sustituyendo los valores encontrados de las constantes llegamos una solución particular:

g(x , t)=sen(x )sen(3t )+2cos (x )sen(3 t )+3 sen(x )cos(3 t)+6 cos(x )cos (3 t)